Цувралыг нэгтгэхэд зайлшгүй шаардлагатай шалгуур (нотлох).
Теорем 1.(тооны цувааг нэгтгэхэд зайлшгүй шаардлагатай нөхцөл). Хэрэв тооны цуврал бол нийлдэг, Тэр .
Баталгаа.Цуврал нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. хязгаар бий. Үүнийг анхаарна уу.
Ингээд авч үзье. Дараа нь . Эндээс, .
Дүгнэлт 1.Хэрэв нөхцөл хангагдаагүй бол, дараа нь цуврал ялгаатай.
Тайлбар 1.Нөхцөл нь тооны цувааг нэгтгэхэд хангалтгүй. Жишээлбэл, гармоник цувралтохиолдож байгаа хэдий ч ялгаатай.
Тодорхойлолт 1.Тооны цуврал a n +1 +a n+2 +…=, өгөгдсөн мөрөөс эхнийхийг нь хаяснаар авсан nгишүүдийг дууддаг n-м үлдсэнэнэ эгнээний ба томилогдсон Rn.
Теорем 2.Хэрэв тооны цуврал бол нийлнэ, дараа нь аливаа үлдэгдэл нийлнэ. Буцах:Хэрэв цувралын ядаж нэг үлдэгдэл нийлбэл цуврал өөрөө нийлнэ. Түүнээс гадна, ямар ч nАСААЛТТАЙ тэгш байдал С=S n+Rn .
Дүгнэлт 2.Хэрэв та эхний хэдэн гишүүнийг хасаж эсвэл нэмбэл тооны цувааны нийлмэл байдал, ялгаа өөрчлөгдөхгүй.
Дүгнэлт 3..
32. Эерэг цувааны харьцуулах шалгуур ба тэмдэг
Теорем 1(тэгш бус байдлын эерэг нөхцөлтэй цувралыг харьцуулах тэмдэг) . БолъёТэгээд - сөрөг бус нөхцөл бүхий цуврал, мөн n бүрийн хувьдАСААЛТТАЙ a n нөхцөл хангагдсан байна£ bn. Дараа нь:
1) цувралын нэгдлээстом томьёогоор цуваа нийлдэгжижиг гишүүдтэй;
2) цувралын зөрүүгээсжижиг нэр томьёотой бол цуваа зөрүүтэй байнатом хөхтэй.
Тайлбар 1.Хэрэв нөхцөл байвал теорем үнэн болно a n£ б нзарим тооноос гүйцэтгэсэн НÎ Н .
Теорем 2(хязгаарлалтын хэлбэрийн эерэг нөхцөл бүхий цувралыг харьцуулах тэмдэг) .
БолъёТэгээд - сөрөг бус нөхцөл бүхий цуврал ба байдаг 
. Дараа нь эдгээр цувралууд нэгэн зэрэг нийлдэг эсвэл салдаг .
33. Эерэг тэмдэгт цувааг нэгтгэх D'Alembert тест
Теорем 1(Д'Аламберын тэмдэг). Болъё - эерэг нэр томъёо бүхий цуврал байдаг .
Дараа нь цуваа q дээр нийлнэ<1 ба q-д зөрөөд байна>1 .
Баталгаа.Болъё q<1. Зафиксируем число rтиймэрхүү q<х< 1. По определению
тооны дарааллын хязгаар, зарим тооноос НÎ Нтэгш бус байдал бий a n +1
/a n<p,тэдгээр. a n +1 <p×a n .Дараа нь а Н +1 < p×a N, a N +2 <p 2 ×a N .Үүнийг ямар ч тохиолдолд индукцаар харуулахад хялбар байдаг кÎ Нтэгш бус байдал үнэн , a N + k<p k ×a N .Гэхдээ цуврал нь геометрийн цуваа шиг нийлдэг ( х<1). Следовательно, по признаку сравнения рядов с неотрицательными членами, ряд 
бас нэгддэг. Үүний үр дүнд цувралууд бас нийлдэг (Теорем 2.2).
Болъё q>1. Дараа нь зарим тооноос НÎ Нтэгш бус байдал үнэн a n +1 /a n>1, өөрөөр хэлбэл. a n +1 >a n.Тиймээс тооноос Ндэд дараалал ( a n) нэмэгдэж байгаа бөгөөд нөхцөл хангагдаагүй байна. Эндээс, үр дүн 2.1-ээс үзэхэд цувралууд нь өөр өөр байдаг q>1.
Тайлбар 1.Интеграл тестийг ашиглан тооны цувааг шалгахад хялбар байдаг нийлдэг бол А>1, хэрэв зөрүүтэй бол а£1. Мөр дуудсан гармоник цуврал, болон цуврал дур зоргоороо аÎ Рдуудсан ерөнхий гармоник цуврал.
34. Ээлжит эгнээ. Хувьсах цувралын шинж тэмдгүүдийн нийлэлтийг тодорхойлох Лейбницийн тест
Дурын тэмдгийн нөхцөл бүхий цувааг судлах нь илүү хэцүү ажил боловч хоёр тохиолдолд тохиромжтой шинж тэмдгүүд байдаг: ээлжлэн тэмдэгтүүдийн цувралын хувьд - Лейбницийн теорем; Үнэмлэхүй нийлсэн цувралын хувьд бид сөрөг бус нэр томъёо бүхий цуврал судлах шинж тэмдгийг ашигладаг.
Тодорхойлолт 1.Тооны цувралыг дууддаг дохио өгөх, хэрэв зэргэлдээх хоёр нэр томъёо нь эсрэг тэмдэгтэй бол, i.e. цуврал нь эсвэл хэлбэртэй байна, хаана a n>0 хүн бүрт nÎ Н .
Теорем 1(Лейбниц). Дараах тохиолдолд ээлжлэн цуваа нийлнэ:
1) (a n) - өсөхгүй дараалал;
2) цагт.
Энэ тохиолдолд ээлжийн цувааны нийлбэрийн модуль нь түүний эхний гишүүний модулиас хэтрэхгүй, өөрөөр хэлбэл.|С|£ а 1 .
Гармоник цуврал- натурал цувралын дараалсан тоонуудын урвуу тооны хязгааргүй тооны гишүүнээс бүрдэх нийлбэр:
texvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(k=1)^\mathcal(\infty) \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1 ) (3) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(k) + \cdots
.
Цувралын эхний n гишүүний нийлбэр
Цувралын бие даасан гишүүд тэг байх хандлагатай байдаг ч нийлбэр нь зөрүүтэй байдаг. Гармоник цувралын n-р хэсэгчилсэн нийлбэр s n нь n-р гармоник тоо юм.
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): s_n=\sum_(k=1)^n \frac(1)(k)=1 + \frac(1)(2) + \frac(1)(3 ) + \frac(1)(4) + \cdots +\frac(1)(n)
Зарим хэсэгчилсэн нийлбэр утгууд
Эйлерийн томъёо
At Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvc утга учир Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Математик/README-г үзнэ үү - тохируулахад тусална уу.): \varepsilon _n \rightarrow 0, тиймээс, том Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvc
:
texvcолдоогүй; Математик/README-г үзнэ үү - тохируулахад тусална уу.): s_n\ойролцоогоор \ln(n) + \гамма- Эхний нийлбэрийн Эйлерийн томъёо Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): nгармоник цувралын гишүүд. Гармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрийн илүү нарийвчлалтай асимптотик томъёо:
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): s_n \asymp \ln(n) + \gamma + \frac(1)(2n) - \frac(1)(12n^2) + \frac(1)( 120n ^4) - \frac(1)(252n^6) \цэг = \ln(n) + \гамма + \frac(1)(2n) - \sum_(k=1)^(\infty) \frac ( B_(2k))(2k\,n^(2k)), Хаана Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.: B_(2k)- Бернуллигийн тоо. Энэ цуврал нь ялгаатай боловч түүний тооцооллын алдаа нь эхний хасагдсан хугацааны хагасаас хэтрэхгүй.
Хэсэгчилсэн нийлбэрийн тоо-онолын шинж чанарууд
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \forall n>1\;\;\;\;s_n\notin\mathbb(N)
Цувралуудын зөрүү
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Math/README-г үзнэ үү - тохируулахад тусална уу.): s_n\rightarrow \inftyцагт Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): n\rightarrow \infty
Гармоник цуваа нь хуваагддагмаш удаан (хэсэгчилсэн нийлбэр 100-аас хэтрэхийн тулд цувралын 10 43 орчим элемент шаардлагатай).
Гармоник цувралын зөрүүг телескоп цувралтай харьцуулан харуулж болно.
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): v_n = \ln(n+1)-\ln n = \ln \left(1+\frac(1)(n)\right)\underset(+\infty ) (\sim)\frac (1)(n)
,
хэсэгчилсэн нийлбэр нь тодорхой тэнцүү байна:
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Математик/README-г үзнэ үү - тохируулахад тусална уу.): \sum_(i=1)^(n-1) v_i= \ln n \sim H_n
.
Оресмегийн нотолгоо
Зөрчилдөөний нотолгоог нэр томьёог дараах байдлаар бүлэглэн гаргаж болно.
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \begin(align) \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k) & () = 1 + \left[\frac(1)( 2) \right] + \left[\frac(1)(3) + \frac(1)(4)\баруун] + \left[\frac(1)(5) + \frac(1)(6) + \ frac(1)(7) + \frac(1)(8)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(9)+\cdots\баруун] +\cdots \\ & () > 1 + \left [\frac(1)(2)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(4) + \frac(1)(4)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(8) + \ frac(1)(8) + \frac(1)(8) + \frac(1)(8)\баруун] + \зүүн[\frac(1)(16)+\cdots\баруун] +\ cdots \ \ & () = 1 + \ \frac(1)(2)\ \ \ + \quad \frac(1)(2) \ \quad + \ \qquad\quad\frac(1)(2)\ qquad\ \quad \ + \quad \ \ \frac(1)(2) \ \quad + \ \cdots. \төгсгөл(зохицуулах)
Сүүлийн эгнээ нь мэдээжийн хэрэг зөрүүтэй байна. Энэ нотолгоо нь дундад зууны үеийн эрдэмтэн Николас Орем (1350 он) юм.
Зөрчлийн өөр нотолгоо
Хоорондын ялгаа Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): nгармоник тоо ба натурал логарифм Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): nЭйлер-Машерони тогтмолд нийлдэг.
Янз бүрийн гармоник тоонуудын ялгаа нь бүхэл тоотой хэзээ ч тэнцүү байдаггүй бөгөөд үүнээс бусад гармоник тоо байдаггүй Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): H_1=1, бүхэл тоо биш.
Холбоотой цуврал
Дирихлетийн цуврал
Ерөнхий гармоник цуврал (эсвэл Дирихлегийн цуврал) нь цуврал юм
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(k=1)^\infty \frac(1)(k^\alpha)=1 + \frac(1)(2^\alpha) + \frac ( 1)(3^\альфа) + \frac(1)(4^\альфа) + \cdots +\frac(1)(k^\alpha) + \cdots
.
Ерөнхий гармоник цуваа нь -д хуваагдана Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \alpha \leqslant 1мөн цагт нийлдэг Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \alpha > 1
.
Дарааллын ерөнхий гармоник цувралын нийлбэр Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдсонгүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \alpha Riemann zeta функцийн утгатай тэнцүү:
texvcолдсонгүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(k=1)^\mathcal(1) \frac(1)(k^\alpha)=\zeta(\alpha)
Тэгш тооны хувьд энэ утгыг pi-ээр тодорхой илэрхийлнэ, жишээлбэл, Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): \zeta(2)=\frac(\pi^2)(6), мөн аль хэдийн α=3-ийн хувьд түүний утга аналитик байдлаар тодорхойгүй байна.
Гармоник цувралын ялгааг харуулсан өөр нэг жишээ нь хамаарал байж болно Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулах тусламжийг math/README-с харна уу.): \zeta(1+\frac(1)(n)) \sim n
.
Ээлжит цуврал
Бүх нэр томъёог "+" тэмдгээр авдаг гармоник цувралаас ялгаатай нь цуврал
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Тохируулахад туслахыг math/README-с харна уу.): \sum_(n = 1)^\infty \frac((-1)^(n + 1))(n) \;=\; 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)(4) \,+\, \frac(1) (5) \,-\, \cdots
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): 1 \,-\, \frac(1)(2) \,+\, \frac(1)(3) \,-\, \frac(1)( 4) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \cdots \;=\; \ln 2.
Энэ томъёо нь Mercator цувралын онцгой тохиолдол юм ( Англи), Натурал логарифмын хувьд Тейлорын цуврал.
Үүнтэй төстэй цувралыг арктангентын хувьд Тейлорын цувралаас гаргаж болно.
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(n = 0)^\infty \frac((-1)^(n))(2n+1) \;\;=\;\; 1 \,-\, \frac(1)(3) \,+\, \frac(1)(5) \,-\, \frac(1)(7) \,+\, \cdots \;\ ;=\;\; \frac(\pi)(4).
Энэ харилцааг Лейбницийн цуврал гэж нэрлэдэг.
Санамсаргүй гармоник цуврал
2003 онд санамсаргүй цувралын шинж чанарыг судалсан
Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файлtexvcолдоогүй; Math/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): \sum_(n=1)^(\infty)\frac(s_(n))(n),
Хаана Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Математик/README - тохиргооны тусламжийг үзнэ үү.): s_n- ½-ийн ижил магадлалтай +1 ба −1 утгыг авдаг бие даасан, ижил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд. Энэ цуваа 1-р магадлалаар нийлдэг бөгөөд цувралын нийлбэр нь сонирхолтой шинж чанартай санамсаргүй хэмжигдэхүүн болохыг харуулсан. Жишээлбэл, +2 эсвэл -2 цэгүүдэд тооцоолсон магадлалын нягтын функц нь дараах утгатай байна.
⅛-ээс 10 −42-оос бага ялгаатай.
"Нимгэнүүлсэн" гармоник цуврал
Кемпнерийн цуврал ( Англи)Хэрэв бид хуваагч нь 9-ийн тоог агуулаагүй зөвхөн нэр томъёо үлдсэн гармоник цувралыг авч үзвэл үлдсэн нийлбэр нь тоонд нийлдэг.<80 . Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, так как с ростом разрядов в числе Илэрхийлэлийг задлан шинжлэх боломжгүй (Гүйцэтгэх боломжтой файл texvcолдоогүй; Тохируулгын тусламжийг math/README-с харна уу.): n, "нимгэрүүлсэн" цувралын нийлбэрт улам бүр цөөхөн нэр томъёог авдаг. Өөрөөр хэлбэл, гармоник цувралын нийлбэрийг бүрдүүлдэг нэр томъёоны дийлэнх хэсгийг дээрээс нь хязгаарласан геометрийн прогрессоос хэтрүүлэхгүйн тулд хаядаг.
"Гармоник цуврал" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичээрэй
Тэмдэглэл
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Гармоник цувралыг тодорхойлсон ишлэл
Аймшигт өдөр дуусах дөхөж байв. Би онгорхой цонхны дэргэд суугаад юу ч мэдэрч, сонссонгүй. Дэлхий миний хувьд хөлдөж, баяр баясгалангүй болсон. Ядарсан тархи руу минь орохгүй, надад огтхон ч хүрэхгүй тусад нь оршдог юм шиг санагдсан... Цонхны тавцан дээр тоглож, тайван бус “Ром” бор шувууд орилолдоно. Доор нь хүний дуу хоолой, өдрийн цагаар хөл хөдөлгөөн ихтэй хотын ердийн чимээ шуугиан байв. Гэвч энэ бүхэн дуу чимээ нэвтрүүлэхгүй шахам маш нягт “хана”-гаар дамжин надад ирсэн юм... Миний ердийн дотоод ертөнц хоосон, дүлий байв. Тэр огт харь, харанхуй болсон... Эелдэг, энхрий аав байхгүй болсон. Тэр Жироламог дагасан...Гэхдээ надад Анна байсаар л байсан. Өөрийгөө "Бурханы ван" буюу Гэгээн Пап лам хэмээн нэрлэсэн, ядаж л түүнийг алуурчин, аврахын тулд би амьдрах ёстой гэдгээ мэдэж байсан... Караффа түүний "орлогч ван" байсан бол төсөөлөхөд ч бэрх байлаа. ” Тэгвэл түүний хайрт Бурхан ямар араатан болж хувирах ёстой юм бэ?!. Би "хөлдөөсөн" байдлаасаа гарах гэж оролдсон боловч энэ нь тийм ч амар биш байсан - бие нь огт дуулгавартай байсангүй, амьдралд ирэхийг хүсээгүй бөгөөд ядарсан сүнс зөвхөн амар амгаланг хайж байв. Тэгээд ямар ч сайн зүйл болохгүй байгааг хараад би зүгээр л бүх зүйлийг өөрийнхөөрөө орхихоор шийдэв.
Өөр юу ч бодсонгүй, юу ч шийдэлгүй зүгээр л шархадсан Сүнсийнхээ тэмүүлж буй газар руу аврагдахын тулд “нисч одлоо”... Жаахан ч болов амарч, мартахын тулд муу “дэлхийн” ертөнцөөс холдлоо. Зөвхөн гэрэл хаанчлах газар ...
Караффа намайг саяхан туулсан зүйлийг үл харгалзан намайг удаан ганцаардуулахгүй гэдгийг би мэдэж байсан, харин эсрэгээр тэр өвдөлт намайг сулруулж, зэвсэггүй болгосон гэж бодож, магадгүй энэ мөчид тэр намайг бууж өгөхийг оролдох болно. ямар нэгэн төрлийн цохилт өгөх - өөр нэг аймшигтай цохилт ...
Өдөр хоног өнгөрөв. Гэвч Караффа гарч ирээгүй нь миний гайхшралыг төрүүлэв... Энэ бол маш том тайвшрал байсан ч харамсалтай нь намайг тайвшруулах боломж олгосонгүй. Түүний хар муу сүнс надад ямар шинэ доромжлол төрүүлэхийг би хором бүрт хүлээж байлаа...
Өвдөлт нь өдөр бүр аажмаар буурч, гол нь хоёр долоо хоногийн өмнө тохиолдсон гэнэтийн, баяр баясгалантай үйл явдлын ачаар намайг бүрмөсөн гайхшруулж байсан - нас барсан аавыгаа сонсох боломж надад олдсон! ..
Би түүнийг харж чадаагүй ч аав минь миний хажууд байгаа юм шиг үг бүрийг нь маш тод сонсож, ойлгосон. Эхэндээ би итгээгүй, өөрийгөө бүрэн ядарсандаа л дэмийрч байна гэж бодсон. Гэтэл дахин залгасан... Үнэхээр аав нь байсан.
Баярласандаа ухаан орж чадалгүй, яг одоо тэр гэнэт босоод алга болчих вий гэж айсан хэвээрээ л байлаа!.. Гэвч аав минь алга болоогүй. Тэгээд бага зэрэг тайвширсны эцэст би түүнд хариулж чадлаа...
- Энэ үнэхээр чи мөн үү!? Чи одоо хаана байна?.. Би яагаад чамайг харж чадахгүй байна вэ?
– Охин минь... Чи бүрэн ядарсан болохоор харахгүй байна, хонгор минь. Анна намайг түүнтэй хамт байсныг харж байна. Мөн та харах болно, хонгор минь. Та зүгээр л тайвшрах цаг хэрэгтэй.
Цэвэр, танил дулаан миний бүх биеэр тархаж, намайг баяр баясгалан, гэрэл гэгээгээр бүрхэв ...
- Сайн байна уу, аав аа!? Энэ өөр амьдрал ямар харагддагийг надад хэлээч?.. Энэ ямар байдаг вэ?
– Тэр гайхалтай, хонгор минь!.. Зөвхөн тэр ер бусын хэвээр байна. Бидний өмнөх дэлхийгээс тэс өөр!.. Энд хүмүүс өөрсдийн ертөнцөд амьдардаг. Тэд үнэхээр үзэсгэлэнтэй, эдгээр "ертөнцүүд"!.. Гэхдээ би үүнийг хийж чадахгүй хэвээр байна. Миний хувьд арай эрт байгаа бололтой... – энэ хоолой цааш ярих эсэхээ шийдэх мэт хэсэг чимээгүй болов.
- Чиний Жироламо надтай уулзлаа, охин минь... Тэр дэлхий дээр байсан шигээ амьд, хайрт ... Тэр чамайг маш их санаж, санаж байна. Тэгээд тэр надаас чамд хайртай гэдгээ хэлэхийг хүссэн... Тэгээд чамайг ирэх болгонд хүлээж байгаа... Ээж чинь ч бас бидэнтэй хамт байгаа. Бид бүгд чамайг хайрлаж, хүлээж байна, хонгор минь. Бид чамайг үнэхээр их санаж байна... Охин минь өөрийгөө сайн бодоорой. Караффад чамайг шоолох баяр баясгаланг бүү өг.
- Аав аа, чи над дээр дахиад ирэх үү? Би чамайг дахин сонсох уу? – тэр гэнэт алга болох вий гэж айж, би залбирав.
- Тайвшир, охин минь. Одоо энэ бол миний ертөнц. Мөн Караффагийн хүч түүнд хамаарахгүй. Би чамайг эсвэл Аннаг хэзээ ч орхихгүй. Чамайг дуудах болгонд би чам дээр ирнэ. Тайвшир, хонгор минь.
-Аав аа, танд ямар санагдаж байна? Танд ямар нэгэн юм мэдрэгдэж байна уу?.. – гэнэн асуултаасаа бага зэрэг ичингүйрэн асуусан хэвээр.
- Дэлхий дээр мэдэрсэн бүх зүйлээ би илүү тод мэдэрч байна. Гэнэт өнгөөр дүүрэн харандаагаар зурсан зураг төсөөлөөд үз дээ - миний бүх мэдрэмж, бүх бодол санаа илүү хүчтэй, илүү өнгөлөг болсон. Бас нэг зүйл... Эрх чөлөөний мэдрэмж үнэхээр гайхалтай!.. Би урьдын адил хэвээрээ байгаа ч тэр үед тэс өөр юм шиг санагддаг... Чамд яаж тайлбарлахаа мэдэхгүй байна. илүү нарийн, хонгор минь... Би хорвоогийн бүх зүйлийг шууд тэвэрч чадах юм шиг, эсвэл зүгээр л хол, хол, одод руу нисэх мэт ... Бүх зүйл боломжтой юм шиг, би хүссэн бүхнээ хийж чадах юм шиг! Хэлэхэд, үгээр илэрхийлэхэд маш хэцүү... Гэхдээ надад итгээрэй, охин минь, энэ үнэхээр гайхалтай! Бас нэг зүйл ... Би одоо бүх амьдралаа санаж байна! Надад тохиолдсон бүх зүйлийг би санаж байна ... Энэ бүхэн гайхалтай. Энэ "өөр" амьдрал бол тийм ч муу биш юм... Тийм учраас охин минь, чи энд ирэх шаардлагатай бол бүү ай, бид бүгд чамайг хүлээж байх болно.
– Надад хэлээч, ааваа... Тэнд үнэхээр Караффа шиг хүмүүсийг үнэхээр гайхалтай амьдрал хүлээж байна уу?.. Гэхдээ ийм тохиолдолд энэ нь дахиад л аймшигтай шударга бус явдал болно!.. Үнэхээр дэлхий дээрх бүх зүйл дахин ийм байх болов уу?!. . Тэр үнэхээр хэзээ ч өшөө авахгүй гэж үү?!!
- Үгүй ээ, миний баяр баясгалан, энд Караффад байх газар байхгүй. Би түүн шиг хүмүүс аймшигт ертөнцөд очдог гэж сонссон ч би тэнд очиж үзээгүй л байна. Тэд үүнийг хүртэх ёстой зүйл гэж хэлдэг!.. Би үүнийг үзэхийг хүссэн боловч надад хараахан амжаагүй байна. Санаа зоволтгүй охин минь, тэр энд ирээд авах ёстой зүйлээ авна.
"Тэндээс надад тусалж чадах уу, аав аа?" гэж би далд итгэл найдвараар асуув.
– Мэдэхгүй ээ, хонгор минь... Би энэ ертөнцийг хараахан ойлгоогүй байна. Би яг л анхны алхмаа хийж байгаа хүүхэд шиг... Чамд хариулахаасаа өмнө эхлээд “алхаж сурах” хэрэгтэй... Тэгээд би одоо явах ёстой. Уучлаарай хонгор минь. Эхлээд би хоёр ертөнцийн хооронд амьдарч сурах ёстой. Тэгээд би чам дээр илүү олон удаа ирэх болно. Зоригтой байгаарай, Исидора, Караффад хэзээ ч бүү бууж өг. Тэр заавал авах ёстой зүйлээ авах болно, надад итгээрэй.
Аавын минь хоолой бүр мөсөн нимгэрч алга болтлоо намуухан болж... Сэтгэл минь тайвширлаа. Энэ бол үнэхээр ТЭР байсан!.. Тэгээд тэр зөвхөн одоо л өөрийн гэсэн, надад танил бус, нас барсны дараах ертөнцөд дахин амьдарлаа... Гэхдээ тэр саяхан хэлсэн шигээ бодож, мэдэрсэн хэвээр байна - тэр одоо амьдарч байсан үеэсээ ч илүү гэрэл гэгээтэй байсан. Дэлхий. Би түүний тухай хэзээ ч мэдэхгүй байхаас айхаа больсон... Тэр намайг үүрд орхисон гэж.
Гэвч эмэгтэйлэг сэтгэл минь бүх зүйлийг үл харгалзан түүнд харамссаар л... Ганцаардахдаа түүнийг хүн шиг тэвэрч чадахгүй байсан тухай... Уйтгар гуниг, айдсаа нууж чадсангүй. түүний өргөн цээж, амар амгаланг хүссэн ... Түүний хүчтэй, зөөлөн алга нь бүх зүйл бүтнэ, бүх зүйл гарцаагүй сайхан болно гэж хэлэх мэт ядарсан толгойг минь илэхээ больсон нь... Би эдгээр өчүүхэн, өчүүхэн мэт санагдах зүйлсийг үнэхээр санаж байсан ч ийм эрхэм, цэвэр "хүний" баяр баясгалан, сүнс нь өлсөж, амар амгаланг олж чадахгүй байв. Тиймээ би дайчин байсан... Гэхдээ би бас эмэгтэй хүн байсан. Хамгийн муу зүйл тохиолдохоос өмнө аав минь үргэлж дэргэд, үргэлж надтай хамт байх болно гэдгийг мэддэг байсан түүний цорын ганц охин нь ... Тэгээд би энэ бүхнийг маш их санаж байсан ...
Уйтгарласан гунигийг ямар нэг байдлаар салгаж, би Караффагийн тухай бодохоор өөрийгөө хүчлэв. Энэ "энх тайван" бол түр зуурын амралт гэдгийг би маш сайн ойлгосон тул ийм бодлууд намайг тэр дор нь тайвшруулж, өөрийгөө дотроо цуглуулахад хүргэв ...
Гэхдээ намайг гайхшруулсан нь Караффа одоо болтол гарч ирээгүй...
Өдөр хоног өнгөрч, түгшүүр нэмэгдэв. Би түүний эзгүйд ямар нэгэн тайлбар олох гэж оролдсон боловч харамсалтай нь санаанд ямар ч ноцтой зүйл тохиолдсонгүй ... Тэр ямар нэгэн зүйл бэлдэж байгааг би мэдэрсэн ч юу болохыг тааж чадсангүй. Ядарч туйлдсан мэдрэл нь зам тавьж өгсөн. Тэгээд хүлээж байгаад бүрэн галзуурахгүйн тулд өдөр бүр ордныг тойрон алхаж эхлэв. Намайг гадагш гарахыг хориглоогүй, гэхдээ бас зөвшөөрөөгүй тул үргэлжлүүлэн хорихыг хүсэхгүй байгаа тул хэн нэгэнд таалагдахгүй байж магадгүй ч гэсэн би өөрөө зугаалахаар шийдсэн. Ордон асар том бөгөөд ер бусын баян болжээ. Өрөөнүүдийн гоо үзэсгэлэн нь төсөөллийг гайхшруулж байсан ч би хувьдаа хэзээ ч ийм нүд булаам тансаг амьдарч чадахгүй... Хана, таазны алтадмал нь дарангуйлж, гайхалтай гэрэлт зургуудын урлалд халдаж, гялалзсан орчинд амьсгал хураажээ. алтан өнгө. Энэхүү гайхамшигт гэрийг зурж, тэдний бүтээлийг олон цагаар биширч, шилдэг гар урлалыг чин сэтгэлээсээ биширч байсан зураачдын авъяас чадварыг би баяртайгаар үнэлэв. Одоо болтол хэн ч намайг зовоож байгаагүй, хэн ч намайг зогсоож байгаагүй. Хэдийгээр уулзаж, хүндэтгэлтэйгээр бөхийж, урагшилдаг хүмүүс үргэлж байсан бөгөөд тус бүр өөрийн гэсэн ажилдаа яарав. Ийм хуурамч "эрх чөлөө" байсан ч энэ бүхэн түгшүүр төрүүлж, шинэ өдөр бүр улам их түгшүүрийг авчирдаг байв. Энэ "тайван" мөнх үргэлжлэх боломжгүй. Энэ нь миний хувьд ямар нэгэн аймшигтай, гашуун зовлонг "төрнө" гэдэгт би бараг итгэлтэй байсан ...
Гармоник цуврал - тооны цуврал
Хоёр дахь хэсгээс эхлэн гармоник цувралын гишүүн бүр нь хоёр хөршийн гармоник дундажтай тэнцүү байдаг тул үүнийг ингэж нэрлэдэг (Дундаж утгыг үзнэ үү). Гармоник цувааны нөхцлүүд нь тоо нэмэгдэх тусам буурч, тэг болох хандлагатай байдаг боловч хэсэгчилсэн нийлбэрүүд нь хязгааргүй нэмэгддэг. Үүнд итгэлтэй байхын тулд үүнийг тэмдэглэхэд хангалттай
,
, 
,
Эдгээр аргументуудыг үргэлжлүүлснээр бид гармоник цувааны нөхцлийн нийлбэр нь -ээс их байна гэсэн дүгнэлтэд хүрч байна. Үүнээс үзэхэд гармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүд хязгааргүй нэмэгддэг, i.e. гармоник цуврал нь ялгаатай (цувралыг үзнэ үү). Гэсэн хэдий ч энэ өсөлт маш удаан байна. Гармоник цувааны шинж чанарыг судалсан Л.Эйлер олсон
А 
.
Түүгээр ч барахгүй Эйлер гармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэрүүдийн хувьд гайхалтай харилцааг бий болгож, ялгаа нь хязгаарлагдмал гэдгийг харуулсан, өөрөөр хэлбэл. 
.
Түүний хүндэтгэлийн тоог Эйлерийн тогтмол гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь ойролцоогоор 0.5772-тэй тэнцүү байна (Эйлер өөрөө бусад үндэслэлд үндэслэн үүнийг 15 оронтой нарийвчлалтайгаар тооцоолсон).
Ижил тоосгоор хийсэн "шат" -ыг дараах байдлаар төсөөлөөд үз дээ: хоёр дахь тоосго нь эхнийх нь доор байрладаг бөгөөд эхнийх нь хүндийн төв нь хоёр дахь хэсгийн баруун ирмэг дээр, гурав дахь нь эдгээр хоёр тоосгоны доор байрладаг. Эхний хоёрын нийтлэг хүндийн төв нь баруун захын гуравны нэгд унадаг гэх мэт. (Зураг 1). Ийм "шат" -ын хувьд хүндийн төвийг цэг рүү чиглүүлдэг тул "шат" унахгүй. Хэрэв тоосгоны урт нь 1-р байрыг 2-р, 2-р нь 3-р, 2-р нь 3-р, 3-р нь 3-р, бүхэл бүтэн "шат"-ыг шилжүүлнэ. яг хажуугаар
.
Хаалтанд байгаа илэрхийлэл нь гармоник цувралын хэсэгчилсэн нийлбэр юм. Тиймээс, энэ аргыг ашигласнаар та "шат" -ыг хүссэнээрээ баруун тийш шилжүүлж болно. Гэсэн хэдий ч, тэмдэглэснээр, энэ нь маш удаан ургадаг. Жишээлбэл, хэрэв та 1000 тоосго овоолсон бол энэ нь зөвхөн 3.8 тоосгоны урттай байх болно.
дэд хязгаарлах функц нь монотоноор нэмэгддэг болэсвэл
эсвэл
Өмнөх нэгээс харахад гармоник цуврал нь салангид цуврал, i.e. түүний эхний n гишүүний нийлбэр нь авсан гишүүний тоогоор хязгааргүй өсдөг. Гэсэн хэдий ч бусад ялгаатай цувралуудаас ялгаатай нь нийлбэрийн өсөлтийн хурд нь гишүүний тоо нэмэгдэх тусам удааширдаг. Гармоник цуваа нь n-ийн өсөлттэй харьцуулахад сул ялгаатай байна. Энэ талаар гармоник цувааг тодорхойлсон дараах теоремыг баталъя.
Теорем. Аливаа n-ийн хувьд ойролцоо тэгш байдал байна
хаана 0< g
n < 1.
Баталгаа.Тэгшитгэл нь y = 1/x, aA ба bB хоёр ординатаар тэгшитгэл нь x = 1, тэгшитгэл нь асимптотуудтай холбоотой тэгш талт гиперболоор хязгаарлагдах муруй шугаман трапецын талбайг aABb өгье. x = n, мөн абсцисса тэнхлэг. "Тэгш өнцөгтийн томьёо" -ыг ашиглан бид энэ талбайг дутагдалтай (Зураг 2) ба илүүдэлтэй (Зураг 1) тооцоолно. Суурийг n тэнцүү хэсэгт хуваахад aABb талбай тэнцүү болохыг олж мэднэ
эсвэл
|
|
|
|
Гармоник цувааны гишүүний тоо ихсэх тусам g n-ийн утга нэмэгдэнэ. Гэхдээ 0< g n < 1- 1/n. Поэтому существует предел g n , меньший или равный единицы, т.е.
Энэ хязгаарыг "Эйлерийн тогтмол" гэж нэрлэдэг. H n- 1 ба ln(n) тооцоог ашиглан энэ тооны утгыг маш нарийвчлалтай олж C = 0.57721566490... авах боломжтой болсон.
