Найдвартай онол. Анхан шатны үр дүнгийн орон зай

“Осол бол санамсаргүй биш”... Гүн ухаантан хэлсэн үг шиг сонсогддог ч үнэн хэрэгтээ санамсаргүй байдлыг судлах нь математикийн агуу шинжлэх ухааны хувь тавилан юм. Математикт тохиолдлыг магадлалын онолоор авч үздэг. Томъёо, даалгаврын жишээ, түүнчлэн энэ шинжлэх ухааны үндсэн тодорхойлолтыг нийтлэлд танилцуулах болно.

Магадлалын онол гэж юу вэ?

Магадлалын онол нь санамсаргүй үйл явдлыг судалдаг математикийн салбаруудын нэг юм.

Үүнийг бага зэрэг ойлгомжтой болгохын тулд жижиг жишээ хэлье: хэрэв та зоос дээш шидвэл энэ нь толгой эсвэл сүүл дээр бууж болно. Зоос агаарт байх үед эдгээр магадлал хоёулаа боломжтой. Өөрөөр хэлбэл, болзошгүй үр дагавар гарах магадлал 1: 1 байна. Хэрэв нэг нь 36 картын тавцангаас сугалсан бол магадлалыг 1:36 гэж заана. Энд, ялангуяа математикийн томьёоны тусламжтайгаар судлах, урьдчилан таамаглах зүйл байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та тодорхой үйлдлийг олон удаа давтвал та тодорхой хэв маягийг тодорхойлж, үүн дээр үндэслэн бусад нөхцөлд үйл явдлын үр дүнг урьдчилан таамаглах боломжтой.

Дээр дурдсан бүх зүйлийг нэгтгэн дүгнэхэд магадлалын онол нь тоон утгаар боломжтой үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох боломжийг сонгодог утгаараа судалдаг.

Түүхийн хуудаснаас

Магадлалын онол, томьёо, анхны даалгавруудын жишээ нь алс холын дундад зууны үед, хөзрийн тоглоомын үр дүнг урьдчилан таамаглах оролдлого анх гарч ирэх үед гарч ирсэн.

Эхэндээ магадлалын онол нь математиктай ямар ч холбоогүй байв. Үүнийг эмпирик баримтууд эсвэл практикт хуулбарлаж болох үйл явдлын шинж чанаруудаар зөвтгөсөн. Математикийн чиглэлээр энэ чиглэлээр анхны бүтээлүүд 17-р зуунд гарч ирэв. Үүсгэн байгуулагчид нь Блэйз Паскаль, Пьер Фермат нар юм. Тэд бооцоот тоглоомыг удаан хугацаанд судалж, тодорхой хэв маягийг олж харсан бөгөөд энэ тухай олон нийтэд хэлэхээр шийджээ.

Үүнтэй ижил аргыг Кристиан Гюйгенс зохион бүтээсэн боловч Паскаль, Фермат нарын судалгааны үр дүнг сайн мэдэхгүй байв. Тэрээр "Магадлалын онол" хэмээх ойлголтыг, энэ салбарын түүхэнд анхдагч гэж тооцогддог томъёо, жишээг нэвтрүүлсэн.

Жейкоб Бернулли, Лаплас, Пуассоны теоремуудын бүтээлүүд бас чухал ач холбогдолтой юм. Тэд магадлалын онолыг математикийн хичээл шиг болгосон. Магадлалын онол, томьёо, үндсэн даалгаврын жишээнүүд нь Колмогоровын аксиомуудын ачаар одоогийн хэлбэрээ авсан. Бүх өөрчлөлтийн үр дүнд магадлалын онол нь математикийн салбаруудын нэг болсон.

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд. Үйл явдал

Энэ хичээлийн гол ойлголт нь "үйл явдал" юм. Гурван төрлийн үйл явдал байдаг:

Найдвартай.Ямар ч байсан тохиолдох зүйлүүд (зоос унах болно).
Боломжгүй.Ямар ч нөхцөлд тохиолдохгүй үйл явдлууд (зоос агаарт өлгөөтэй хэвээр байх болно).
Санамсаргүй.Болох ч юм уу, болохгүй ч юм шиг. Тэд урьдчилан таамаглахад маш хэцүү янз бүрийн хүчин зүйлүүдэд нөлөөлж болно. Хэрэв бид зоосны тухай ярих юм бол үр дүнд нөлөөлж болох санамсаргүй хүчин зүйлүүд байдаг: зоосны физик шинж чанар, түүний хэлбэр, анхны байрлал, шидэлтийн хүч гэх мэт.

Жишээн дэх бүх үйл явдлыг өөр үүрэг гүйцэтгэдэг P-ээс бусад тохиолдолд латин том үсгээр тэмдэглэсэн болно. Жишээ нь:

A = "Оюутнууд лекц уншихаар ирсэн."
À = "Оюутнууд лекцэнд ирээгүй."

Практик даалгаварт үйл явдлуудыг ихэвчлэн үгээр бичдэг.

Үйл явдлын хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг бол тэдгээрийн тэгш боломж юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв та зоос шидвэл анхны уналтын бүх сонголтууд унах хүртэл боломжтой. Гэхдээ үйл явдлууд бас адилхан боломжгүй юм. Энэ нь хэн нэгэн үр дүнд санаатайгаар нөлөөлөх үед тохиолддог. Жишээлбэл, таталцлын төвийг шилжүүлсэн тоглоомын карт эсвэл шоо "тэмдэглэсэн".

Үйл явдал нь нийцтэй, нийцэхгүй байж болно. Тохиромжтой үйл явдлууд нь бие биенийхээ тохиолдлыг үгүйсгэхгүй. Жишээ нь:

A = "Оюутан лекцэнд ирсэн."
B = "Оюутан лекцэнд ирсэн."

Эдгээр үйл явдлууд нь бие биенээсээ хамааралгүй бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөөд нь нөлөөлөхгүй. Тохиромжгүй үйл явдлууд нь нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэж байгаагаар тодорхойлогддог. Хэрэв бид ижил зоосны тухай ярих юм бол "сүүл" алдагдах нь ижил туршилтанд "толгой" гарч ирэх боломжгүй болгодог.

Үйл явдал дээрх үйлдлүүд

Үйл явдлуудыг үржүүлж, нэмж болно, "AND" ба "OR" гэсэн логик холболтыг хичээлд нэвтрүүлсэн.

Хэмжээ нь А, В, эсвэл хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдож болох тул тодорхойлогддог. Хэрэв тэдгээр нь таарахгүй бол сүүлчийн сонголт нь A эсвэл B өнхрөх болно.

Үйл явдлыг үржүүлэх нь А ба В хоёрын нэгэн зэрэг харагдахаас бүрдэнэ.

Одоо бид суурь, магадлалын онол, томъёог илүү сайн санахын тулд хэд хэдэн жишээ өгч болно. Асуудлыг шийдвэрлэх жишээг доор харуулав.

Даалгавар 1: Тус компани нь гурван төрлийн ажлын гэрээ авах уралдаанд оролцдог. Боломжит үйл явдлууд:

A = "Пүүс анхны гэрээг хүлээн авна."
A 1 = "Пүүс анхны гэрээг хүлээн авахгүй."
B = "Пүүс хоёр дахь гэрээг хүлээн авах болно."
B 1 = "Пүүс хоёр дахь гэрээг хүлээн авахгүй"
C = "Пүүс гурав дахь гэрээг хүлээн авна."
C 1 = "Пүүс гурав дахь гэрээг хүлээн авахгүй."

Үйл явдал дээрх үйлдлүүдийг ашиглан бид дараах нөхцөл байдлыг илэрхийлэхийг хичээх болно.

K = "компани бүх гэрээг хүлээн авах болно."

Математик хэлбэрээр тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: K = ABC.

M = "Компани нэг ч гэрээ хүлээн авахгүй."

M = A 1 B 1 C 1.

Даалгаврыг хүндрүүлье: H = "компани нэг гэрээ авна." Компани ямар гэрээг (эхний, хоёр, гурав дахь) авах нь тодорхойгүй байгаа тул болзошгүй үйл явдлын бүх цувралыг бүртгэх шаардлагатай.

H = A 1 BC 1 υ AB 1 C 1 υ A 1 B 1 C.

Мөн МЭӨ 1 1 бол пүүс эхний болон гурав дахь гэрээг хүлээн авдаггүй, харин хоёр дахь гэрээг хүлээн авдаг цуврал үйл явдлууд юм. Бусад боломжит үйл явдлыг зохих аргыг ашиглан бүртгэсэн. Сахилга батын υ тэмдэг нь "OR" гэсэн холбогчийг илэрхийлдэг. Дээрх жишээг хүний хэл рүү хөрвүүлбэл компани гурав дахь гэрээгээ, эсвэл хоёр дахь, эсвэл эхнийхийг нь авна. Үүнтэй адилаар та "Магадлалын онол" хичээлийн бусад нөхцлүүдийг бичиж болно. Дээр үзүүлсэн томьёо болон асуудлыг шийдэх жишээнүүд нь танд үүнийг өөрөө хийхэд тусална.

Үнэндээ магадлал

Математикийн энэхүү шинжлэх ухаанд үйл явдлын магадлал нь гол ойлголт юм. Магадлалын 3 тодорхойлолт байдаг:

сонгодог;
статистик;
геометрийн.

Магадлалын судалгаанд тус бүр өөрийн гэсэн байр суурь эзэлдэг. Магадлалын онол, томьёо, жишээнүүдэд (9-р анги) голчлон сонгодог тодорхойлолтыг ашигладаг бөгөөд энэ нь иймэрхүү сонсогддог.

А нөхцөл байдлын магадлал нь түүнийг бий болгоход таатай үр дагаврын тоог бүх боломжит үр дагаврын тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Томъёо дараах байдалтай байна: P(A)=m/n.

А нь үнэндээ үйл явдал юм. Хэрэв A-ийн эсрэг тоо гарч ирвэл Ā эсвэл A 1 гэж бичиж болно.

m нь боломжит таатай тохиолдлын тоо юм.

n - тохиолдож болох бүх үйл явдлууд.

Жишээлбэл, A = "зүрхний костюмны картыг зур." Стандарт тавцан дээр 36 карт байдаг бөгөөд тэдгээрийн 9 нь зүрхэн карт юм. Үүний дагуу асуудлыг шийдэх томъёо дараах байдалтай байна.

P(A)=9/36=0.25.

Үүний үр дүнд зүрхний костюмны картыг тавцангаас гаргах магадлал 0.25 болно.

Дээд математик руу

Одоо магадлалын онол гэж юу болох нь бага зэрэг тодорхой болсон, сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт гарч ирдэг асуудлыг шийдвэрлэх томъёо, жишээнүүд. Гэсэн хэдий ч магадлалын онол нь их дээд сургуулиудад заадаг дээд математикт бас байдаг. Ихэнхдээ тэд онолын геометрийн болон статистикийн тодорхойлолт, нарийн төвөгтэй томъёогоор ажилладаг.

Магадлалын онол их сонирхолтой. Магадлалын статистик (эсвэл давтамж) тодорхойлолттой томьёо, жишээг (дээд математик) бага хэмжээгээр судалж эхлэх нь дээр.

Статистикийн арга нь сонгодог арга барилтай зөрчилддөггүй, гэхдээ бага зэрэг өргөжүүлдэг. Хэрэв эхний тохиолдолд үйл явдал ямар магадлалтайгаар тохиолдохыг тодорхойлох шаардлагатай байсан бол энэ аргаар хэр олон удаа тохиолдохыг зааж өгөх шаардлагатай. Энд "харьцангуй давтамж" гэсэн шинэ ойлголт гарч ирсэн бөгөөд үүнийг W n (A) гэж тэмдэглэж болно. Томъёо нь сонгодог хувилбараас ялгаатай биш юм:

Хэрэв сонгодог томъёог урьдчилан таамаглахад зориулж тооцоолсон бол туршилтын үр дүнгийн дагуу статистикийг тооцоолно. Жишээ нь, жижиг даалгавар авч үзье.

Технологийн хяналтын хэлтэс нь бүтээгдэхүүний чанарыг шалгадаг. 100 бүтээгдэхүүнээс 3 нь чанаргүй байсан. Чанартай бүтээгдэхүүний давтамжийн магадлалыг хэрхэн олох вэ?

A = "чанартай бүтээгдэхүүний харагдах байдал."

W n (A)=97/100=0.97

Тиймээс чанартай бүтээгдэхүүний давтамж 0.97 байна. 97-г хаанаас авсан бэ? Шалгалтанд 100 гаруй бүтээгдэхүүн хамрагдахаас 3 нь чанаргүй байсан. Бид 100-аас 3-ыг хасаад 97-г авдаг, энэ бол чанартай барааны хэмжээ юм.

Комбинаторикийн талаар бага зэрэг

Магадлалын онолын өөр нэг аргыг комбинаторик гэж нэрлэдэг. Үүний үндсэн зарчим нь хэрэв тодорхой А сонголтыг m өөр аргаар хийж, В сонголтыг n өөр аргаар хийж болох юм бол А ба В сонголтыг үржүүлэх замаар хийж болно.

Тухайлбал, А хотоос Б хот руу чиглэсэн 5 зам бий. В хотоос С хот хүртэл 4 замтай. А хотоос С хот руу хэдэн замаар хүрч болох вэ?

Энэ нь энгийн: 5x4=20, өөрөөр хэлбэл, хорин өөр аргаар та А цэгээс С цэг хүртэл хүрч болно.

Даалгаврыг хүндрүүлье. Solitaire дээр карт байрлуулах хэдэн арга байдаг вэ? Тавцан дээр 36 карт байдаг - энэ бол эхлэх цэг юм. Аргын тоог мэдэхийн тулд та эхлэх цэгээс нэг нэг картыг "хасаж" үржүүлэх хэрэгтэй.

Өөрөөр хэлбэл, 36x35x34x33x32...x2x1= үр дүн нь тооны машины дэлгэцэн дээр таарахгүй байгаа тул үүнийг зүгээр л 36 гэж тодорхойлж болно! "!" гэж тэмдэг тавих. тооны хажууд байгаа нь бүх тооны цувралыг хамтад нь үржүүлж байгааг харуулж байна.

Комбинаторикт орлуулах, байрлуулах, хослуулах гэх мэт ойлголтууд байдаг. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн томъёотой байдаг.

Олонлогийн элементүүдийн дараалсан багцыг зохицуулалт гэнэ. Байршлыг давтаж болно, өөрөөр хэлбэл нэг элементийг хэд хэдэн удаа ашиглаж болно. Мөн давталтгүйгээр, элементүүд давтагдахгүй байх үед. n нь бүх элементүүд, m нь байрлуулахад оролцдог элементүүд юм. Дахин давтагдахгүйгээр байрлуулах томъёо нь дараах байдалтай байна.

A n m =n!/(n-m)!

Зөвхөн байршлын дарааллаар ялгаатай n элементийн холболтыг сэлгэлт гэнэ. Математикийн хувьд энэ нь: P n = n!

m-ийн n элементийн хослолууд нь тэдгээр нь ямар элемент байсан, тэдгээрийн нийт тоо хэд байх нь чухал байдаг нэгдлүүд юм. Томъёо нь дараах байдлаар харагдах болно.

A n m =n!/m!(n-m)!

Бернуллигийн томъёо

Магадлалын онолд аливаа салбар дахь нэгэн адил шинэ шатанд гаргасан шилдэг судлаачдын бүтээлүүд байдаг. Эдгээр ажлын нэг нь Бернулли томьёо бөгөөд энэ нь бие даасан нөхцөлд тохиолдох тодорхой үйл явдлын магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Энэ нь туршилтанд А тохиолдох нь өмнөх болон дараагийн туршилтуудад ижил үйл явдал тохиолдох, эс тохиолдохоос хамаардаггүйг харуулж байна.

Бернуллигийн тэгшитгэл:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

Туршилт бүрийн хувьд (A) үйл явдал тохиолдох магадлал (p) тогтмол байна. Нөхцөл байдал яг m удаа тохиолдох магадлалыг дээр дурдсан томъёогоор тооцоолно. Үүний дагуу q тоог хэрхэн олох вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Хэрэв А үйл явдал p олон удаа тохиолдвол энэ нь тохиолдохгүй байж болно. Нэгж гэдэг нь тухайн салбар дахь нөхцөл байдлын бүх үр дүнг тодорхойлоход хэрэглэгддэг тоо юм. Иймд q нь үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлалыг илэрхийлдэг тоо юм.

Одоо та Бернуллигийн томъёог (магадлалын онол) мэддэг болсон. Бид асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүдийг (эхний түвшин) доор авч үзэх болно.

Даалгавар 2:Дэлгүүрт зочилсон хүн 0.2 магадлалтай худалдан авалт хийнэ. Дэлгүүрт 6 зочин бие даан орж ирэв. Зочин худалдан авалт хийх магадлал хэр вэ?

Шийдэл: Хэдэн зочин худалдан авалт хийх нь тодорхойгүй, нэг юм уу зургаан хүн худалдан авалт хийх нь тодорхойгүй байгаа тул Бернулли томъёог ашиглан бүх боломжит магадлалыг тооцоолох шаардлагатай.

A = "зочин худалдан авалт хийх болно."

Энэ тохиолдолд: p = 0.2 (даалгаварт заасны дагуу). Үүний дагуу q=1-0.2 = 0.8.

n = 6 (дэлгүүрт 6 үйлчлүүлэгч байгаа тул). m тоо нь 0-ээс (нэг ч үйлчлүүлэгч худалдан авалт хийхгүй) 6 хүртэл (дэлгүүрт ирсэн бүх зочдод ямар нэгэн зүйл худалдаж авах болно) хэлбэлзэнэ. Үүний үр дүнд бид шийдлийг олж авна:

P 6 (0) = C 0 6 ×p 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

Худалдан авагчдын хэн нь ч 0.2621 магадлалтай худалдан авалт хийхгүй.

Бернуллигийн томъёог (магадлалын онол) өөр яаж ашигладаг вэ? Асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүд (хоёр дахь түвшин).

Дээрх жишээний дараа C, r хоёр хаашаа явсан тухай асуулт гарч ирнэ. p-тэй харьцуулахад 0-ийн зэрэгтэй тоо нэгтэй тэнцүү байна. С-ийн хувьд үүнийг дараах томъёогоор олж болно.

C n m = n! /м!(н-м)!

Эхний жишээнд m = 0 тус тус C = 1 байгаа тул зарчмын хувьд үр дүнд нөлөөлөхгүй. Шинэ томъёог ашиглан хоёр зочин бараа худалдаж авах магадлал хэд болохыг олж мэдье.

P 6 (2) = C 6 2 ×p 2 ×q 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

Магадлалын онол нь тийм ч төвөгтэй биш юм. Дээр дурдсан жишээг өгсөн Бернуллигийн томъёо нь үүний шууд нотолгоо юм.

Пуассоны томъёо

Пуассоны тэгшитгэлийг магадлал багатай санамсаргүй нөхцөл байдлыг тооцоолоход ашигладаг.

Үндсэн томъёо:

P n (m)=λ м /м! × e (-λ) .

Энэ тохиолдолд λ = n x p байна. Энд энгийн Пуассоны томъёо (магадлалын онол) байна. Бид асуудлыг шийдвэрлэх жишээг доор авч үзэх болно.

Даалгавар 3: Үйлдвэр нь 100,000 ширхэг эд анги үйлдвэрлэсэн. Гэмтэлтэй хэсэг үүсэх = 0.0001. Нэг багцад 5 гэмтэлтэй эд анги байх магадлал хэд вэ?

Таны харж байгаагаар гэрлэх нь магадлал багатай үйл явдал тул тооцоололд Пуассоны томъёог (магадлалын онол) ашигладаг. Энэ төрлийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээ нь тухайн хичээлийн бусад даалгавраас ялгаатай биш бөгөөд бид шаардлагатай өгөгдлийг өгөгдсөн томъёонд орлуулдаг.

A = "санамсаргүй байдлаар сонгосон хэсэг нь гэмтэлтэй байх болно."

p = 0.0001 (даалгаврын нөхцлийн дагуу).

n = 100000 (хэсгийн тоо).

m = 5 (гажигтай хэсгүүд). Бид өгөгдлийг томъёонд орлуулж, дараахь зүйлийг авна.

R 100000 (5) = 10 5 /5! X e -10 = 0.0375.

Бернуллигийн томьёо (магадлалын онол) дээр дурдсан шийдлийн жишээнүүдийн нэгэн адил Пуассоны тэгшитгэл нь тодорхойгүй e байна.

e -λ = lim n ->∞ (1-λ/n) n .

Гэсэн хэдий ч e-ийн бараг бүх утгыг агуулсан тусгай хүснэгтүүд байдаг.

Де Мойвр-Лапласын теорем

Хэрэв Бернулли схемд туршилтын тоо хангалттай их, бүх схемд А үйл явдал тохиолдох магадлал ижил байвал А үйл явдал хэд хэдэн удаа тохиолдох магадлалыг цуврал туршилтаар олж болно. Лапласын томъёо:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

Лапласын томъёог (магадлалын онол) илүү сайн санахын тулд асуудлын жишээг доор харуулав.

Эхлээд X m-ийг олж, өгөгдлийг (тэдгээрийг бүгдийг нь дээр дурдсан) томъёонд орлуулж, 0.025-ыг авна уу. Хүснэгтүүдийг ашиглан бид ϕ(0.025) тоог олдог бөгөөд түүний утга нь 0.3988 байна. Одоо та бүх өгөгдлийг томъёонд орлуулж болно:

P 800 (267) = 1/√(800 x 1/3 x 2/3) x 0.3988 = 3/40 x 0.3988 = 0.03.

Иймээс сурталчилгааны хуудас яг 267 удаа ажиллах магадлал 0.03 байна.

Бэйсийн томъёо

Бэйсийн томьёо (магадлалын онол), асуудлыг шийдвэрлэх жишээнүүдийг доор өгөх болно, энэ нь үйл явдлын магадлалыг түүнтэй холбоотой байж болох нөхцөл байдалд үндэслэн тодорхойлсон тэгшитгэл юм. Үндсэн томъёо нь дараах байдалтай байна.

P (A|B) = P (B|A) x P (A) / P (B).

А ба В нь тодорхой үйл явдлууд юм.

P(A|B) бол нөхцөлт магадлал, өөрөөр хэлбэл В үйл явдал үнэн байх тохиолдолд А үйл явдал тохиолдож болно.

P (B|A) - Б үйл явдлын нөхцөлт магадлал.

Тиймээс "Магадлалын онол" богино хугацааны сургалтын төгсгөлийн хэсэг нь Байесийн томъёо бөгөөд асуудлын шийдлийн жишээг доор харуулав.

Даалгавар 5: Гурван компанийн утсыг агуулахад авчирсан. Үүний зэрэгцээ эхний үйлдвэрт үйлдвэрлэсэн утаснуудын эзлэх хувь 25%, хоёрдугаарт - 60%, гуравдугаарт - 15% байна. Эхний үйлдвэрт гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний дундаж хувь 2%, хоёрдугаарт - 4%, гуравдугаарт - 1% байдаг нь мэдэгдэж байна. Санамсаргүй байдлаар сонгосон утас гэмтэлтэй байх магадлалыг олох хэрэгтэй.

A = "санамсаргүй сонгосон утас."

B 1 - анхны үйлдвэр үйлдвэрлэсэн утас. Үүний дагуу B 2 ба B 3 танилцуулга гарч ирнэ (хоёр ба гурав дахь үйлдвэрүүдэд).

Үүний үр дүнд бид:

P (B 1) = 25%/100% = 0.25; P(B 2) = 0.6; P (B 3) = 0.15 - ингэснээр бид сонголт бүрийн магадлалыг олсон.

Одоо та хүссэн үйл явдлын нөхцөлт магадлалыг, өөрөөр хэлбэл компаниудад гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний магадлалыг олох хэрэгтэй.

P (A/B 1) = 2%/100% = 0.02;

P(A/B 2) = 0.04;

P (A/B 3) = 0.01.

Одоо өгөгдлийг Bayes томъёонд орлуулж, дараахийг олж авцгаая.

P (A) = 0.25 x 0.2 + 0.6 x 0.4 + 0.15 x 0.01 = 0.0305.

Уг нийтлэлд магадлалын онол, томьёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээг харуулсан боловч энэ нь асар том шинжлэх ухааны мөсөн уулын зөвхөн орой юм. Тэгээд бичсэн бүхний дараа магадлалын онол амьдралд хэрэгтэй юу гэсэн асуултыг тавих нь зүйд нийцнэ. Энгийн хүн хариулахад хэцүү байдаг, үүнийг ашигласан хүнээс нэгээс олон удаа жекпот хожсон нь дээр.

гэж нэрлэгддэг хууль тогтоомжийн сургаал. санамсаргүй үзэгдэл. Орос хэлэнд орсон гадаад үгсийн толь бичиг. Чудинов А.Н., 1910 ... Орос хэлний гадаад үгсийн толь бичиг

магадлалын онол- - [Л.Г.Суменко. Мэдээллийн технологийн англи-орос толь бичиг. М.: ЦНИИС улсын аж ахуйн нэгж, 2003.] Мэдээллийн технологийн ерөнхий сэдвүүд EN магадлалын онолын магадлалын тооцооллын онол ... Техникийн орчуулагчийн гарын авлага

Магадлалын онол- янз бүрийн үйл явдлын магадлалын хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн нэг хэсэг (Магадлал ба Статистикийг үзнэ үү). Энэ шинжлэх ухаантай холбоотой хамгийн чухал теоремуудыг жагсаацгаая. Хэд хэдэн үл нийцэх үйл явдлын аль нэг нь тохиолдох магадлал нь ... ... тэнцүү байна. Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Ефрон

МАГАДЛЫН ОНОЛ- математик Зарим санамсаргүй үйл явдлын магадлалаас (харна уу) k.l-тэй холбоотой санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг олох боломжийг олгодог шинжлэх ухаан. эхнийхтэй нь адилхан. Орчин үеийн T.v. A. N. Колмогоровын аксиоматик дээр үндэслэсэн (Аксиоматик аргыг үзнэ үү). Асаалттай...... Оросын социологийн нэвтэрхий толь бичиг

Магадлалын онол- зарим санамсаргүй үйл явдлын өгөгдсөн магадлалд үндэслэн эхнийхтэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой бусад үйл явдлын магадлалыг олдог математикийн салбар. Магадлалын онол нь мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн болон санамсаргүй үйл явцыг судалдаг. Голуудын нэг ...... Орчин үеийн байгалийн шинжлэх ухааны үзэл баримтлал. Үндсэн нэр томъёоны тайлбар толь

магадлалын онол- tikimybių teorija statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. магадлалын онол vok. Wahrscheinlichkeitstheorie, Орос. магадлалын онол, f pranc. théorie des probabilités, f … Физикос терминų žodynas

Магадлалын онол- ... Википедиа

Магадлалын онол- санамсаргүй үзэгдлийн зүй тогтлыг судалдаг математикийн салбар... Орчин үеийн байгалийн шинжлэх ухааны эхлэл

МАГАДЛЫН ОНОЛ- (магадлалын онол) Магадлалыг үзнэ үү... Том тайлбартай социологийн толь бичиг

Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ- ("Магадлалын онол ба түүний хэрэглээ") ЗХУ-ын ШУА-ийн Математикийн тэнхимийн шинжлэх ухааны сэтгүүл. Магадлалын онол, математик статистикийн ерөнхий асуудлууд, тэдгээрийг байгалийн шинжлэх ухаан,... ... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

Магадлалын онол. , Ventzel E.S.. Энэхүү ном нь коллежийн ердийн курсын хүрээнд математикийн мэдлэгтэй, магадлалын онолын техникийн хэрэглээг сонирхож буй хүмүүст зориулагдсан сурах бичиг юм.
Магадлалын онол. , Ventzel E.S.. Энэхүү номыг таны захиалгын дагуу Print-on-Demand технологийг ашиглан үйлдвэрлэх болно.

Уг ном нь математикийн энгийн мэдлэгтэй хүмүүст зориулагдсан сурах бичиг юм...

Зуны урт амралтын төгсгөлд аажмаар дээд математик руу буцаж, Вердовын хоосон файлыг нээж, шинэ хэсгийг үүсгэж эхлэх цаг болжээ. Би хүлээн зөвшөөрч байна, эхний мөрүүд нь тийм ч амар биш, гэхдээ эхний алхам бол замын тал нь тул би хүн бүрд танилцуулах нийтлэлийг сайтар судлахыг зөвлөж байна, үүний дараа сэдвийг эзэмших нь 2 дахин хялбар болно! Би ерөөсөө хэтрүүлсэнгүй. …Ирэх есдүгээр сарын 1-ний өмнөх өдөр би нэгдүгээр анги, анхан шатны хичээлийг санаж байна…. Үсэг нь үе, үе нь үг, үг нь богино өгүүлбэр үүсгэдэг - Ээж нь жаазыг угаав. Турвер болон математикийн статистикийг эзэмших нь уншиж сурахтай адил хялбар юм! Гэсэн хэдий ч үүний тулд та энэ хичээлийн сэдэв болох үндсэн нэр томъёо, ойлголт, тэмдэглэгээ, түүнчлэн зарим тодорхой дүрмийг мэдэх хэрэгтэй.

Гэхдээ эхлээд хичээлийн жилийн эхэнд (үргэлжлэл, төгсөлт, зохих тэмдэглэгээ) миний баяр хүргэж, бэлгийг хүлээн авна уу. Хамгийн сайн бэлэг бол ном бөгөөд бие даасан ажилд би дараахь уран зохиолыг санал болгож байна.

1) Гмурман В.Е. Магадлалын онол, математик статистик

Арав гаруй дахин хэвлэгдсэн домогт сурах бичиг. Энэ нь ойлгомжтой, материалын маш энгийн танилцуулгагаараа ялгагддаг бөгөөд эхний бүлгүүдийг 6-7-р ангийн сурагчдад аль хэдийн бүрэн ашиглах боломжтой гэж бодож байна.

2) Гмурман В.Е. Магадлалын онол, математик статистикийн асуудлыг шийдвэрлэх гарын авлага

Дэлгэрэнгүй жишээ, асуудлуудтай ижил Владимир Ефимовичийн шийдлийн ном.

ЗААВАЛХоёр номыг интернетээс татаж авах эсвэл цаасан эх хувийг нь аваарай! 60-70-аад оны хувилбарууд бас ажиллах болно, энэ нь даммигийн хувьд илүү дээр юм. Хэдийгээр бараг бүх зүйл энгийн арифметик үйлдлээр хязгаарлагддаг тул "даммигийн магадлалын онол" гэсэн хэллэг нь нэлээд инээдтэй сонсогдож байна. Гэсэн хэдий ч тэд зарим газраа алгасдаг деривативуудТэгээд интеграл, гэхдээ энэ нь зөвхөн зарим газарт байдаг.

Би илтгэлийнхээ ижил тодорхой байдалд хүрэхийг хичээх болно, гэхдээ миний курс үүнд чиглэж байгааг анхааруулах ёстой асуудал шийдвэрлэхмөн онолын тооцоог хамгийн бага хэмжээнд байлгадаг. Тиймээс, хэрэв танд теоремын нарийвчилсан онол, нотолгоо (теорем-теорем!) хэрэгтэй бол сурах бичигт хандана уу. За, хэн хүсэх билээ асуудлыг шийдэж сурахмагадлалын онол, математик статистикийн чиглэлээр аль болох богино хугацаанд, намайг дага!

Энэ нь эхлэхэд хангалттай =)

Нийтлэлүүдийг уншиж байхдаа авч үзсэн төрлийн нэмэлт ажлуудтай (ядаж товчхон) танилцахыг зөвлөж байна. Хуудас дээр Дээд математикийн бэлэн шийдлүүдШийдлийн жишээ бүхий холбогдох pdf файлуудыг нийтлэх болно. Мөн дорвитой тусламж үзүүлнэ IDZ 18.1 Рябушко(илүү энгийн) ба Чудесенкогийн цуглуулгын дагуу IDZ-ийг шийдсэн(илүү хэцүү).

1) Дүнхоёр үйл явдал бөгөөд үйл явдлыг энэ нь болох гэж нэрлэдэг эсвэлүйл явдал эсвэлүйл явдал эсвэлхоёр үйл явдал нэгэн зэрэг. Үйл явдал болсон тохиолдолд нийцэхгүй, сүүлчийн сонголт алга болно, өөрөөр хэлбэл энэ нь тохиолдож болно эсвэлүйл явдал эсвэлүйл явдал.

Дүрэм нь олон тооны нэр томъёонд, жишээлбэл, үйл явдалд хамаарна юу болох вэ ядаж нэгүйл явдлуудаас , А үйл явдлууд хоорондоо нийцэхгүй байвал – дараа нь нэг зүйл, зөвхөн нэг зүйлэнэ дүнгээс гарсан үйл явдал: эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал, эсвэлүйл явдал.

Маш олон жишээ байна:

Үйл явдал (шоо шидэх үед 5 оноо гарахгүй) гарч ирнэ эсвэл 1, эсвэл 2, эсвэл 3, эсвэл 4, эсвэл 6 оноо.

Үйл явдал (унана дахиад байхгүйхоёр цэг) 1 гарч ирнэ эсвэл 2оноо.

Үйл явдал (тэгш тооны оноо байх болно) гарч ирнэ эсвэл 2 эсвэл 4 эсвэл 6 оноо.

Үйл явдал бол тавцангаас улаан карт (зүрх) авах явдал юм эсвэлхэнгэрэг), үйл явдал - "зураг" гарч ирнэ (жак эсвэлхатагтай эсвэлхаан эсвэлхөзрийн тамга).

Хамтарсан арга хэмжээний тухайд арай илүү сонирхолтой юм:

Үйл явдал бол тавцангаас клуб сугалах явдал юм эсвэлдолоо эсвэлдолоон клуб Дээр дурдсан тодорхойлолтын дагуу ядаж ямар нэг зүйл- эсвэл аль нэг клуб эсвэл аль нэг долоо эсвэл тэдгээрийн "уулзвар" - долоон клуб. Энэ үйл явдал нь 12 үндсэн үр дүнд (9 клубын карт + үлдсэн 3 долоо) тохирч байгааг тооцоолоход хялбар байдаг.

Үйл явдал нь маргааш 12.00 цагт ирнэ Хамтарсан арга хэмжээнүүдийн НААДДАЖ НЭГ, тухайлбал:

– эсвэл зөвхөн бороо орно / аянга цахилгаантай / зөвхөн нар орно;
– эсвэл зөвхөн зарим хос үйл явдал тохиолдох болно (бороо + аянга цахилгаан / бороо + нар / аадар бороо + нар);
– эсвэл бүх гурван үйл явдал нэгэн зэрэг гарч ирнэ.

Өөрөөр хэлбэл, үйл явдал нь 7 боломжит үр дүнг багтаасан болно.

Үйл явдлын алгебрын хоёр дахь багана:

2) ажилхоёр үйл явдал бөгөөд эдгээр үйл явдлуудын хамтарсан тохиолдлоос бүрдэх үйл явдлыг нэрлэх, өөрөөр хэлбэл үржүүлэх гэдэг нь зарим нөхцөл байдалд байх болно гэсэн үг юм. Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал. Үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь олон тооны үйл явдлын хувьд үнэн байдаг, жишээлбэл, ажил нь тодорхой нөхцөлд ийм зүйл болно гэсэн үг юм Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал, Тэгээдүйл явдал, …, Тэгээдүйл явдал.

Хоёр зоос шидсэн тестийг авч үзье болон дараах үйл явдлууд:

– 1-р зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 1-р зоос толгой дээр бууна;
– 2 дахь зоос дээр толгойнууд гарч ирнэ;
– 2-р зоос толгой дээр бууна.

Дараа нь:
Тэгээд 2-р) толгойнууд гарч ирнэ;
– үйл явдал нь хоёр зоос дээр (1-р Тэгээд 2-нд) энэ нь толгой байх болно;
– үйл явдал нь 1-р зоос толгой буух болно Тэгээд 2 дахь зоос нь сүүл;
– үйл явдал нь 1-р зоос толгой буух болно Тэгээд 2 дахь зоос дээр бүргэд байдаг.

Тэр үйл явдлуудыг харахад амархан нийцэхгүй (жишээ нь, 2 толгой, 2 сүүл зэрэг унах боломжгүй учраас)болон хэлбэр бүтэн бүлэг (харгалзаж авснаас хойш Бүгдхоёр зоос шидэх боломжтой үр дүн). Эдгээр үйл явдлуудыг тоймлон хүргэе: . Энэ оруулгыг хэрхэн тайлбарлах вэ? Маш энгийн - үржүүлэх нь логик холболтыг хэлнэ БА, мөн нэмэх - ЭСВЭЛ. Тиймээс хүний ойлгомжтой хэлээр уг хэмжээг уншихад хялбар байдаг: “Хоёр толгой гарч ирнэ эсвэлхоёр толгой эсвэл 1-р зоос толгой дээр буух болно Тэгээд 2-р сүүл дээр эсвэл 1-р зоос толгой дээр буух болно Тэгээд 2 дахь зоосон дээр бүргэд байгаа"

Энэ бол нэг жишээ юм нэг туршилтандхэд хэдэн объект оролцдог, энэ тохиолдолд хоёр зоос. Практик асуудлын өөр нэг нийтлэг схем бол дахин туршилт хийж байна , жишээ нь, ижил үхрийг 3 удаа дараалан өнхрүүлэх үед. Жагсаалтын хувьд дараах үйл явдлуудыг авч үзье.

- 1-р шидэлтэнд та 4 оноо авах болно;
– 2 дахь шидэлтэнд та 5 оноо авна;
– 3 дахь шидэлтэнд та 6 оноо авна.

Дараа нь үйл явдал 1-р шидэхэд 4 оноо авна гэсэн үг Тэгээд 2 дахь шидэлтэд та 5 оноо авах болно Тэгээд 3 дахь өнхрөхөд та 6 оноо авах болно. Мэдээжийн хэрэг, шоо дөрвөлжингийн хувьд бид зоос шидэж байснаас хамаагүй илүү олон хослол (үр дүн) гарах болно.

...Шинжилж буй жишээнүүд нь тийм ч сонирхолтой биш байж магадгүй, гэхдээ эдгээр нь асуудалд байнга тулгардаг, үүнээс зугтах боломжгүй зүйл гэдгийг би ойлгож байна. Зоос, шоо, хөзрийн тавцангаас гадна олон өнгийн бөмбөлөг бүхий савнууд, хэд хэдэн нэргүй хүмүүс бай руу буудаж, зарим нарийн ширийн зүйлийг байнга нунтаглаж байдаг уйгагүй ажилчин таныг хүлээж байна =)

Үйл явдлын магадлал

Үйл явдлын магадлал магадлалын онолын гол ойлголт юм. ...Алууртай логик зүйл, гэхдээ бид хаа нэгтээ эхлэх ёстой байсан =) Үүнийг тодорхойлох хэд хэдэн хандлага байдаг:

;
Магадлалын геометрийн тодорхойлолт ;
Магадлалын статистик тодорхойлолт .

Энэ нийтлэлд би боловсролын даалгаварт хамгийн өргөн хэрэглэгддэг магадлалын сонгодог тодорхойлолтод анхаарлаа хандуулах болно.

Тэмдэглэлүүд. Тодорхой үйл явдлын магадлалыг латин үсгээр том үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд үйл явдлыг өөрөө хаалтанд авч, нэг төрлийн аргумент болж өгдөг. Жишээ нь:

Мөн жижиг үсэг нь магадлалыг илэрхийлэхэд өргөн хэрэглэгддэг. Ялангуяа та үйл явдлын төвөгтэй тэмдэглэгээ, тэдгээрийн магадлалыг орхиж болно дараах хэв маягийг дэмжинэ:

– зоос шидэхэд толгой гарах магадлал;
– шоо шидэхэд 5 оноо гарах магадлал;
– клубын костюмны картыг тавцангаас гаргах магадлал.

Энэ сонголт нь практик асуудлыг шийдвэрлэхэд түгээмэл байдаг, учир нь энэ нь шийдлийн бичлэгийг мэдэгдэхүйц багасгах боломжийг олгодог. Эхний тохиолдлын нэгэн адил энд "ярьдаг" доод үсэг/давуу бичгийг ашиглах нь тохиромжтой.

Миний дээр бичсэн тоонуудыг хүн бүр эртнээс таамаглаж байсан бөгөөд одоо тэд хэрхэн болсныг олж мэдэх болно.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт:

Тодорхой туршилтанд тохиолдох үйл явдлын магадлалыг харьцаа гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд:

- бүх нийт тоо адил боломжтой, анхан шатныэнэ туршилтын үр дүн, ямар хэлбэр үйл явдлын бүрэн бүлэг;

- тоо хэмжээ анхан шатныүр дүн, таатай үйл явдал.

Зоос шидэх үед толгой эсвэл сүүл нь унаж болно - эдгээр үйл явдлууд үүсдэг бүтэн бүлэг, ингэснээр үр дүнгийн нийт тоо; Үүний зэрэгцээ тус бүр нь анхан шатныТэгээд адил боломжтой. Үйл явдал нь үр дүн (толгой) -д таатай байна. Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын дагуу: .

Үүний нэгэн адил үхэл шидсэний үр дүнд энгийн ижил боломжтой үр дүн гарч ирж, бүрэн бүтэн бүлгийг бүрдүүлж, үйл явдал нь нэг үр дүнгээр (тавыг өнхрүүлэх) давуу тал болно. Тийм учраас: ЭНЭ ХИЙХИЙГ ХҮЛЭЭН АВАХГҮЙ (хэдийгээр таны толгойд хэдэн хувийг тооцохыг хориглодоггүй).

Нэгжийн бутархайг ашиглах нь заншилтай байдаг, мөн магадлал нь дотор өөр байж болох нь ойлгомжтой. Түүнээс гадна хэрэв , дараа нь үйл явдал болно боломжгүй, Хэрэв - найдвартай, хэрэв , дараа нь бид ярьж байна санамсаргүйүйл явдал.

! Хэрэв та аливаа асуудлыг шийдэж байхдаа өөр магадлалын утгыг олж авбал алдааг хайж олоорой!

Магадлалыг тодорхойлох сонгодог аргад туйлын утгыг (тэг ба нэг) яг ижил үндэслэлээр олж авдаг. 10 улаан бөмбөлөг агуулсан тодорхой савнаас санамсаргүй байдлаар 1 бөмбөг сугалж ав. Дараах үйл явдлуудыг авч үзье.

нэг удаагийн туршилтаар бага магадлалтай үйл явдал гарахгүй.

Ийм учраас энэ үйл явдлын магадлал 0.00000001 байвал та сугалаанд азтан хожихгүй. Тийм ээ, тийм ээ, энэ бол та тодорхой эргэлтэнд байгаа цорын ганц тасалбартай. Гэсэн хэдий ч олон тооны тасалбар, олон тооны зураг танд тийм ч их тус болохгүй. ...Би бусдад энэ тухай ярихдаа “гэхдээ хэн нэгэн хождог” гэсэн хариуг бараг үргэлж сонсдог. За, тэгвэл дараах туршилтыг хийцгээе: өнөөдөр эсвэл маргааш ямар нэгэн сугалааны тасалбар худалдаж аваарай (битгий хойшлуул!). Хэрэв та ялах юм бол ... ядаж 10 кг-аас дээш бол бүртгүүлэхээ мартуузай - яагаад ийм зүйл болсныг би тайлбарлах болно. Мэдээж тодорхой хувиар =) =)

Гэхдээ гуниглах шаардлагагүй, учир нь эсрэг зарчим байдаг: хэрэв ямар нэгэн үйл явдлын магадлал нэгтэй маш ойрхон байвал нэг удаагийн туршилтаар энэ нь тийм болно. бараг л тодорхойтохиолдох болно. Тиймээс шүхрээр үсрэхээсээ өмнө айх шаардлагагүй, харин эсрэгээрээ инээмсэглээрэй! Эцсийн эцэст, шүхэр хоёулаа амжилтгүй болохын тулд огт төсөөлшгүй, гайхалтай нөхцөл байдал үүсэх ёстой.

Хэдийгээр энэ бүхэн уянгын шинж чанартай боловч үйл явдлын агуулгаас хамааран эхний зарчим нь хөгжилтэй, хоёр дахь нь гунигтай байж болно; эсвэл бүр хоёулаа зэрэгцээ байна.

Магадгүй энэ нь одоохондоо хичээл дээр хангалттай байх Сонгодог магадлалын асуудлуудБид томъёоноос хамгийн их ашиг хүртэх болно. Энэ өгүүллийн төгсгөлд бид нэг чухал теоремыг авч үзэх болно.

Бүтэн бүлгийг бүрдүүлэх үйл явдлын магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна. Товчхондоо, хэрэв үйл явдлууд бүхэл бүтэн бүлгийг бүрдүүлбэл 100% магадлалтайгаар аль нэг нь тохиолдох болно. Хамгийн энгийн тохиолдолд бүрэн бүлэг нь эсрэг үйл явдлуудаар үүсдэг, жишээлбэл:

– зоос шидсэний үр дүнд толгойнууд гарч ирнэ;
– зоос шидэлтийн үр дүн нь сүүл байх болно.

Теоремын дагуу:

Эдгээр үйл явдлууд нь адилхан боломжтой бөгөөд магадлал нь ижил байх нь туйлын тодорхой юм .

Магадлалын тэгш байдлаас шалтгаалан адил боломжтой үйл явдлуудыг ихэвчлэн дууддаг адил магадлалтай . Мөн энд хордлогын зэргийг тодорхойлох хэл мушгиа =)

Шоотой жишээ: үйл явдлууд эсрэгээрээ байна .

Харж буй теорем нь эсрэг үйл явдлын магадлалыг хурдан олох боломжийг олгодог тул тохиромжтой. Тиймээс, хэрэв тав өнхрөх магадлал мэдэгдэж байгаа бол өнхрөхгүй байх магадлалыг тооцоолоход хялбар байдаг.

Энэ нь таван үндсэн үр дүнгийн магадлалыг нэгтгэн дүгнэхээс хамаагүй хялбар юм. Анхан шатны үр дүнгийн хувьд энэ теорем нь бас үнэн юм.
. Жишээлбэл, хэрэв буудагч нь бай онох магадлал бол түүнийг алдах магадлал юм.

! Магадлалын онолын хувьд үсгийг бусад зорилгоор ашиглах нь зохисгүй юм.

Мэдлэгийн өдрийг тохиолдуулан би гэрийн даалгавар өгөхгүй =), гэхдээ та дараах асуултуудад хариулах нь маш чухал юм.

-Ямар төрлийн арга хэмжээ болдог вэ?
– Аливаа үйл явдлын боломж ба тэгш боломж гэж юу вэ?
– Үйл явдлын нийцтэй/үл нийцэхгүй гэдэг ойлголтыг та хэрхэн ойлгож байна вэ?
– Үйл явдлын бүрэн бүлэг, эсрэг үйл явдлууд гэж юу вэ?
– Үйл явдлыг нэмэх, үржүүлэх гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
– Магадлалын сонгодог тодорхойлолтын мөн чанар юу вэ?
– Бүтэн бүлэг үүсгэх үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем яагаад хэрэгтэй вэ?

Үгүй ээ, та юу ч шахах шаардлагагүй, эдгээр нь магадлалын онолын үндэс суурь юм - таны толгойд хурдан багтах нэг төрлийн праймер. Үүнийг аль болох хурдан хийхийн тулд би хичээлүүдтэй танилцахыг санал болгож байна

Нижний Новгородын улсын техникийн их сургууль

тэд. Алексеева А.Е

Магадлалын онолын хичээлийн хураангуй

Гүйцэтгэсэн: Ruchina N.A gr 10MEnz

Шалгасан: Гладков В.В.

Нижний Новгород, 2011 он

Магадлалын онол………………………………………

Магадлалын онолын сэдэв………………………………

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд……………

Санамсаргүй үйл явдал, үйл явдлын магадлал……………………………………………………………

Хязгаарын теоремууд………………………………………

Санамсаргүй үйл явц………………………………………………………

Түүхэн үндэслэл……………………………………………………

Ашигласан уран зохиол……………………………………………………………

Магадлалын онол

Магадлалын онол -Зарим санамсаргүй үйл явдлын магадлалаас эхнийхтэй ямар нэгэн байдлаар холбоотой бусад санамсаргүй үйл явдлын магадлалыг олох боломжийг олгодог математикийн шинжлэх ухаан.

Магадлалтай үйл явдал тохиолддог гэсэн мэдэгдэл , Жишээ нь, 0.75-тай тэнцэх нь өөрөө эцсийн утгыг илэрхийлдэггүй, учир нь бид найдвартай мэдлэгийг эрэлхийлдэг. Эцсийн танин мэдэхүйн үнэ цэнэ нь магадлалын онолын үр дүн бөгөөд аливаа үйл явдал тохиолдох магадлалыг тодорхойлох боломжийг олгодог. Аэв нэгдэлтэй эсвэл (энэ нь ижил) үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлалд маш ойрхон байна Амаш жижиг. "Хангалттай бага магадлалыг үл тоомсорлох" зарчмын дагуу ийм үйл явдлыг бараг тодорхой гэж үздэг. Шинжлэх ухаан, практик сонирхол бүхий ийм төрлийн дүгнэлтүүд нь ихэвчлэн үйл явдал болсон эсвэл болоогүй гэсэн таамаглал дээр суурилдаг. Аолон тооны санамсаргүй, бага холбоотой хүчин зүйлээс хамаардаг . Тиймээс магадлалын онол нь олон тооны санамсаргүй хүчин зүйлсийн харилцан үйлчлэлийн явцад үүсэх зүй тогтлыг тодруулдаг математикийн шинжлэх ухаан гэж бас хэлж болно.

Магадлалын онолын сэдэв

Магадлалын онолын сэдэв.Тодорхой нөхцлийн хоорондох байгалийн хамаарлыг тайлбарлах Сболон үйл явдал А,Өгөгдсөн нөхцөлд үүссэн эсвэл тохиолдохгүй байгаа эсэхийг нарийн тодорхойлох боломжтой байгалийн шинжлэх ухаан ихэвчлэн дараах хоёр схемийн аль нэгийг ашигладаг.

a) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд Сүйл явдал ирдэг А.Жишээлбэл, энэ хэлбэр нь бие махбодь эсвэл биетүүдийн системд үйлчилж буй анхны нөхцөл, хүчийг өгөгдсөн тохиолдолд хөдөлгөөн нь өвөрмөц байдлаар явагдана гэж сонгодог механикийн бүх хуулиудтай байдаг.

б) Нөхцөлөөр Сүйл явдал Атодорхой магадлал байдаг П(A/S), тэнцүү байна r.Жишээлбэл, цацраг идэвхт цацрагийн хуулиудад цацраг идэвхт бодис бүрийн хувьд тодорхой хугацааны туршид тодорхой хэмжээний бодис ялзрах магадлал тодорхой байдаг. Натомууд.

Үүнийг үйл явдлын давтамж гэж нэрлэе А-аас энэ цувралд nтестүүд (өөрөөр хэлбэл nнөхцөлийг давтан хэрэгжүүлэх С) хандлага h = м/нтоо мтэдгээр туршилтууд Аирсэн, тэдний нийт тоо n.Арга хэмжээний бэлэн байдал Анөхцөлд Стодорхой магадлал тэнцүү байна r,Энэ нь хангалттай урт цуврал туршилт бүрт үйл явдлын давтамжийг харуулж байгаагаар илэрдэг Аойролцоогоор тэнцүү байна r.

Статистикийн хэв маяг, өөрөөр хэлбэл (b) төрлийн схемээр дүрсэлсэн хэв маягийг анх шоо гэх мэт бооцоот тоглоомуудаас олж илрүүлсэн. Төрөлт, нас баралтын статистик хэв маяг нь маш удаан хугацаанд мэдэгдэж байсан (жишээлбэл, нярай хүүхэд хөвгүүн байх магадлал 0.515). 19-р зууны сүүлч ба 20-р зууны 1-р хагас. физик, хими, биологи гэх мэт олон тооны статистик хуулиудыг нээснээр тэмдэглэгдсэн.

Бие биенээсээ маш алслагдсан шинжлэх ухааны салбаруудтай холбоотой статистикийн зүй тогтлыг судлахад магадлалын онолын аргуудыг ашиглах боломж нь үйл явдлын магадлал нь тодорхой энгийн харилцааг үргэлж хангаж байдагт суурилдаг. Эдгээр энгийн харилцаанд үндэслэн үйл явдлын магадлалын шинж чанарыг судлах нь магадлалын онолын сэдэв юм.

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд.Математикийн шинжлэх ухааны хувьд магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудыг энгийн магадлалын онол гэж нэрлэгдэх хүрээнд хамгийн энгийнээр тодорхойлдог. Туршилт бүр Т,Магадлалын анхан шатны онолд энэ нь зөвхөн нэг үйл явдлаар төгсдөг Э 1 , Э 2 ,..., Э S (хэргээс хамааран нэг арга зам). Эдгээр үйл явдлуудыг туршилтын үр дүн гэж нэрлэдэг. Үр дүн бүрээр Э кхолбоотой эерэг тоо r руу - энэ үр дүнд хүрэх магадлал. Тоонууд х кнэг хүртэл нэмэх ёстой. Дараа нь үйл явдлыг авч үзэх болно А,гэсэн баримтаас бүрдэх “энэ нь тохиолдох буюу Э би , эсвэл Э j ,..., эсвэл Э к" Үр дүн Э би , Э j ,..., Э ктаатай гэж нэрлэдэг А,мөн тодорхойлолтоор тэд магадлалыг тооцдог Р(А) үйл явдал А, түүнд таатай үр дүнгийн магадлалын нийлбэртэй тэнцүү:

П(А) =х би +х с +… +х к . (1)

Онцгой тохиолдол х 1 =х 2 =...х s = 1/Стомъёонд хүргэдэг

Р(А) =r/s.(2)

Формула (2) нь магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг илэрхийлдэг бөгөөд үүний дагуу үйл явдлын магадлалыг тодорхойлдог. Атооны харьцаатай тэнцүү байна rэерэг үр дүн А,тоо руу сбүх "ижил боломжтой" үр дүн. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь зөвхөн "магадлал" гэсэн ойлголтыг "тэнцүү боломж" гэсэн ойлголт болгон бууруулж, тодорхой тодорхойлолтгүй хэвээр байна.

Жишээ. Хоёр шоо шидэх үед 36 боломжит үр дүн тус бүрийг ( би,j), Хаана би- эхний шоо дээр өнхрүүлсэн онооны тоо, j-хоёр дахь дээр. Үр дүн нь адилхан магадлалтай гэж үздэг. Үйл явдал А -"онооны нийлбэр нь 4" гэсэн гурван үр дүн эерэг байна (1; 3), (2; 2), (3; 1). Тиймээс, Р(А) = 3/36= 1/12.

Өгөгдсөн аливаа үйл явдалд үндэслэн хоёр шинэ үйл явдлыг тодорхойлж болно: тэдгээрийн нэгдэл (нийлбэр) ба хослол (бүтээгдэхүүн).

Үйл явдал INүйл явдлыг нэгтгэх гэж нэрлэдэг А 1 , А 2 ,..., А r ,-, Хэрэв энэ нь: "ирдэг эсвэл А 1 , эсвэл А 2 ,..., эсвэл А r ».

С үйл явдлыг үйл явдлын хослол гэж нэрлэдэг А 1 , А. 2 ,..., А r , Хэрэв энэ нь дараах хэлбэртэй бол: "ирдэг ба А 1 , Тэгээд А 2 ,..., Тэгээд А r » . Үйл явдлыг нэгтгэхийг тэмдгээр, хослолыг тэмдгээр тэмдэглэнэ. Тиймээс тэд бичдэг:

Б = А 1  А 2  …  А r , C = А 1  А 2  …  А r .

Үйл явдал АТэгээд INХэрэв тэдгээрийг нэгэн зэрэг хэрэгжүүлэх боломжгүй бол, өөрөөр хэлбэл туршилтын үр дүнд нэг ч таатай зүйл байхгүй бол тэдгээрийг нийцэхгүй гэж нэрлэдэг. АТэгээд IN.

Үйл явдлыг нэгтгэх, нэгтгэх үйлдлүүд нь магадлалын онолын хоёр үндсэн теоремтой холбоотой байдаг - магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх теоремууд.

Магадлалын нэмэх теорем: Хэрэв үйл явдлууд А 1 ,А 2 ,...,А rХэрэв тэдгээрийн хоёр нь хоорондоо таарахгүй байвал тэдгээрийн нэгдэх магадлал нь магадлалын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Тэгэхээр дээрх хоёр шоо шидэх жишээнд үйл явдал IN -"онооны нийлбэр 4-өөс хэтрэхгүй" гэсэн гурван үл нийцэх үйл явдлын нэгдэл байдаг А 2 ,А 3 ,А 4, онооны нийлбэр нь 2, 3, 4-тэй тэнцүү байх бөгөөд эдгээр үйл явдлын магадлал нь 1/36; 2/36; 3/36. Нэмэх теоремын дагуу магадлал Р(IN) тэнцүү байна

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

Үйл явдал А 1 ,А 2 ,...,АХэрэв бусдын аль нэг нь тохиолдсон тохиолдолд тэдгээрийн тус бүрийн нөхцөлт магадлал нь түүний "болзолгүй" магадлалтай тэнцүү байвал r-ийг бие даасан гэж нэрлэдэг.

Магадлалын үржүүлэх теорем: Үйл явдлыг нэгтгэх магадлал А 1 ,А 2 ,...,А r нь үйл явдлын магадлалтай тэнцүү А 1 , үйл явдлын магадлалаар үржүүлнэ А 2 гэсэн нөхцөлтэйгээр авсан А 1 болсон,..., үйл явдлын магадлалаар үржүүлсэн Агэж заасан А 1 ,А 2 ,...,А r-1 ирлээ. Бие даасан үйл явдлуудын хувьд үржүүлэх теорем нь дараах томъёонд хүргэдэг.

П(А 1 А 2 …А r) =П(А 1 )П(А 2 )· … · П(А r), (3)

өөрөөр хэлбэл, бие даасан үйл явдлуудыг нэгтгэх магадлал нь эдгээр үйл явдлын магадлалын үржвэртэй тэнцүү байна. Формула (3) нь хоёр хэсэгт зарим үйл явдлыг эсрэгээр нь сольсон тохиолдолд хүчинтэй хэвээр байна.

Жишээ. Нэг суманд 0.2 онох магадлал бүхий бай руу 4 удаа бууддаг. Янз бүрийн цохилтоос онилсон цохилтыг бие даасан үйл явдал гэж үздэг. Байгаа яг гурван удаа онох магадлал хэд вэ?

Туршилтын үр дүн бүрийг дөрвөн үсгийн дарааллаар зааж болно [жишээ нь, (y, n, n, y) нь эхний ба дөрөв дэх цохилт оносон (амжилттай), хоёр ба гурав дахь цохилт нь оноогүй (бүтэлгүйтсэн) гэсэн үг]. 2·2·2·2 = 16 үр дүн гарна. Бие даасан буудлагын үр дүнгийн бие даасан байдлын таамаглалын дагуу эдгээр үр дүнгийн магадлалыг тодорхойлохын тулд томъёо (3) ба түүний тэмдэглэлийг ашиглана. Тиймээс үр дүнгийн магадлал (y, n. n, n) нь 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024-тэй тэнцүү байх ёстой; Энд 0.8 = 1-0.2 нь нэг удаагийн цохилтоор алдах магадлал юм. "Олонтыг гурван удаа онох" үйл явдлыг үр дүн нь (y, y, y, n), (y, y, n, y), (y, n, y, y) давуу талтай. (n, y, y, y), тус бүрийн магадлал ижил байна:

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... =0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064;

тиймээс шаардагдах магадлал нь тэнцүү байна

4·0.0064 = 0.0256.

Шинжилсэн жишээний үндэслэлийг нэгтгэн дүгнэж үзвэл магадлалын онолын үндсэн томъёоны нэгийг гаргаж болно: хэрэв үйл явдал бол А 1 , А 2 ,..., А nбие даасан бөгөөд тус бүр нь магадлалтай r,тэгвэл тохиолдох магадлал яг таарна мүүнээс тэнцүү байна

П n (м)= C n м х м (1 - х) н-м ; (4)

Энд C n м-ийн хослолын тоог илэрхийлдэг nэлементүүд м.Томоор нь n(4) томъёог ашиглан тооцоо хийхэд хэцүү болно.

Магадлалын анхан шатны онолын үндсэн томьёог мөн гэж нэрлэдэг нийт магадлалын томъёо: хэрэв үйл явдал А 1 , А 2 ,..., А rнь хосоороо нийцэхгүй бөгөөд тэдгээрийн нэгдэл нь найдвартай үйл явдал юм, дараа нь аливаа үйл явдлын хувьд INтүүний магадлал нь тэдний нийлбэртэй тэнцүү байна.

Магадлалын үржүүлэх теорем нь нийлмэл тестийг авч үзэхэд онцгой ач холбогдолтой. Тэд үүнийг шалгалт гэж хэлдэг Ттуршилтуудаас бүрддэг Т 1 , Т 2 ,..., Т n-1 , Т n, Хэрэв туршилтын үр дүн бүр Тзарим үр дүнгийн хослол байдаг А би , Б j ,..., X к ,Y лхолбогдох туршилтууд Т 1 , Т 2 ,..., Т n-1 , Т n. Нэг шалтгааны улмаас магадлал нь ихэвчлэн мэдэгддэг

П(А би), П(Б j /А би), …,П(Ю л /А би Б j …X к). (5)

Үржүүлэх теоремыг ашиглан магадлалаас (5) магадлалыг тодорхойлж болно Р(Э) бүх үр дүнгийн хувьд Энийлмэл тест, үүнтэй зэрэгцэн энэ туршилттай холбоотой бүх үйл явдлын магадлал. Практик талаас нь авч үзвэл хоёр төрлийн нийлмэл туршилт нь хамгийн чухал юм шиг санагддаг:

a) тестийн бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь бие даасан, өөрөөр хэлбэл магадлал (5) нь болзолгүй магадлалтай тэнцүү байна. П(А би), П(Б j),..., П(Ю л);

б) аливаа туршилтын үр дүнгийн магадлалд зөвхөн өмнөх туршилтын үр дүн нөлөөлдөг, өөрөөр хэлбэл магадлал (5) тэнцүү байна. П(А би), П(Б j /А би),..., П(Ю би /X к). Энэ тохиолдолд бид Марковын гинжин хэлхээнд холбогдсон туршилтуудын талаар ярьдаг. Нийлмэл тесттэй холбоотой бүх үйл явдлын магадлалыг энд анхны магадлалаар бүрэн тодорхойлно Р(А би) болон шилжилтийн магадлал П(Б j /А би),..., П(Ю л /X к).

Магадлалын онолын үндсэн томъёо

Магадлалын онолын томъёо.

1. Комбинаторикийн үндсэн томьёо

а) дахин зохион байгуулалт.

\b) байрлуулах

в) хослолууд .

2. Магадлалын сонгодог тодорхойлолт.

Үйл явдалд таатай үр дагаврын тоо хаана байна, бүх энгийн адил боломжтой үр дүнгийн тоо хаана байна.

3. Үйл явдлын нийлбэрийн магадлал

Тохиромжгүй үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем:

Хамтарсан үйл явдлын магадлалыг нэмэх теорем:

4. Үйл явдал болох магадлал

Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем:

Хамааралтай үйл явдлын магадлалыг үржүүлэх теорем:

Үйл явдал болсон гэж үзвэл үйл явдлын нөхцөлт магадлал

Үйл явдал болсон гэж үзвэл үйл явдлын нөхцөлт магадлал.

Комбинаторик бол өгөгдсөн объектуудаас тодорхой нөхцлийн дагуу хэдэн өөр хослол хийж болох тухай асуултуудыг судалдаг математикийн салбар юм. Комбинаторикийн үндэс нь санамсаргүй тохиолдлын магадлалыг тооцоолоход маш чухал, учир нь Эдгээр нь үйл явдлыг хөгжүүлэх үндсэн боломжит хувилбаруудыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог.

Комбинаторикийн үндсэн томъёо

k бүлэг элемент байх ба i-р бүлэг нь ni элементээс бүрдэнэ. Бүлэг бүрээс нэг элемент сонгоцгооё. Тэгвэл ийм сонголт хийх боломжтой N аргын нийт тоог N=n1*n2*n3*...*nk харьцаагаар тодорхойлно.

Жишээ 1. Энэ дүрмийг энгийн жишээгээр тайлбарлая. Хоёр бүлэг элемент байг, эхний бүлэг нь n1 элементээс, хоёр дахь нь n2 элементээс бүрдэнэ. Энэ хоёр бүлгээс хэдэн өөр хос элемент хийж болох бөгөөд энэ хос нь бүлэг тус бүрээс нэг элементийг агуулж болох вэ? Бид эхний бүлгээс эхний элементийг авч, түүнийг өөрчлөхгүйгээр бүх боломжит хосуудыг дамжуулж, зөвхөн хоёрдугаар бүлгийн элементүүдийг өөрчилсөн гэж үзье. Энэ элементийн хувьд ийм хос n2 байна. Дараа нь бид эхний бүлгээс хоёр дахь элементийг авч, түүнд тохирох бүх хосыг хийнэ. Мөн n2 ийм хос байх болно. Эхний бүлэгт зөвхөн n1 элемент байгаа тул нийт боломжит сонголтууд нь n1*n2 болно.

Жишээ 2. 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6-ын цифрүүд давтагдаж байвал гурван оронтой тэгш тоо хэд болох вэ?

Шийдэл: n1=6 (1, 2, 3, 4, 5, 6-аас ямар ч тоог эхний орон болгон авч болно), n2=7 (0-ээс ямар ч тоог хоёр дахь цифр болгон авч болно, 1, 2). , 3, 4, 5, 6), n3=4 (0, 2, 4, 6-аас эхлэн дурын тоог гурав дахь орон болгон авч болно).

Тэгэхээр N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

Бүх бүлгүүд ижил тооны элементүүдээс бүрдэх тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл. n1=n2=...nk=n сонголт бүрийг нэг бүлгээс хийсэн, сонгосны дараах элементийг бүлэгт буцаана гэж бид үзэж болно. Дараа нь бүх сонголтын аргын тоо nk-тэй тэнцүү байна.

Жишээ. 1, 5, 6, 7, 8 гэсэн цифрүүдээс дөрвөн оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?

Шийдэл. Дөрвөн оронтой тооны цифр бүрт таван боломж байгаа бөгөөд энэ нь N=5*5*5*5=54=625 гэсэн үг юм.

n элементээс бүрдэх олонлогийг авч үзье. Үүнийг бид нийт хүн ам гэж нэрлэнэ.

Тодорхойлолт 1. n элементийн m-ээр зохион байгуулалт гэдэг нь n элементийн олонлогоос сонгогдсон m өөр элементээс бүрдэх аливаа эрэмбэлэгдсэн олонлог юм.

Жишээ. Гурван элементийн (1, 2, 3) хоёроор өөр өөр зохицуулалт нь (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3), (3) олонлогууд байх болно. , 2). Байрлуулалт нь элементүүд болон дарааллаар нь бие биенээсээ ялгаатай байж болно.

Байршлын тоог n-ээс A, m-ээр тэмдэглэж, дараах томъёогоор тооцоолно.

Тайлбар: n!=1*2*3*...*n (унш: "en factorial"), үүнээс гадна 0!=1 гэж үзнэ.

Жишээ 5. Аравтын орон ба нэгжийн орон нь өөр, сондгой хоёр оронтой хэдэн тоо байдаг вэ?

Шийдэл: учир нь Хэрэв 1, 3, 5, 7, 9 гэсэн таван сондгой цифр байгаа бол энэ даалгавар нь таван өөр цифрээс хоёрыг сонгож, хоёр өөр байрлалд байрлуулах явдал юм. заасан тоонууд нь:

Тодорхойлолт 2. m-ийн n элементийн нэгдэл нь n элементтэй олонлогоос сонгогдсон m өөр элементээс бүрдэх ямар ч эрэмбэлэгдээгүй олонлог юм.

Жишээ 6. (1, 2, 3) олонлогийн хувьд (1, 2), (1, 3), (2, 3) хослолууд байна.

Хослолын тоог Cnm-ээр тэмдэглэж, дараах томъёогоор тооцоолно.

Тодорхойлолт 3. n элементийн орлуулалт нь эдгээр элементүүдийн аль нэг эрэмбэлэгдсэн багц юм.

Жишээ 7a. Гурван элементээс (1, 2, 3) бүрдэх олонлогийн бүх боломжит орлуулалтууд нь: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3) , ( 3, 2, 1), (3, 1, 2).

n элементийн өөр өөр сэлгэлтийн тоог Pn гэж тэмдэглэж Pn=n! томъёогоор тооцоолно.

Жишээ 8. Өөр өөр зохиолчдын долоон номыг тавиур дээр нэг эгнээнд хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?

Шийдэл: Энэ асуудал нь долоон өөр номын сэлгэлтийн тооны тухай юм. Номыг цэгцлэх P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 арга бий.

Хэлэлцүүлэг. Боломжит хослолуудын тоог янз бүрийн дүрмийн дагуу (сэлгэн залгалт, хослол, байршил) тооцоолж болох бөгөөд үр дүн нь өөр байх болно гэдгийг бид харж байна, учир нь Тооцооллын зарчим, томъёо нь өөр өөр байдаг. Тодорхойлолтыг анхааралтай ажиглавал үр дүн нь хэд хэдэн хүчин зүйлээс нэгэн зэрэг хамааралтай болохыг анзаарах болно.

Нэгдүгээрт, бид хэдэн элементээс тэдгээрийн багцыг нэгтгэж чадах вэ (элементүүдийн нийт хэмжээ хэр их вэ).

Хоёрдугаарт, үр дүн нь бидэнд хэрэгтэй элементийн багцын хэмжээнээс хамаарна.

Эцэст нь, багц дахь элементүүдийн дараалал нь бидний хувьд чухал ач холбогдолтой эсэхийг мэдэх нь чухал юм. Дараах жишээг ашиглан сүүлчийн хүчин зүйлийг тайлбарлая.

Жишээ. Эцэг эхийн хуралд 20 хүн оролцож байна. Эцэг эхийн хорооны бүрэлдэхүүнд 5 хүний бүрэлдэхүүнтэй байх ёстой бол хэчнээн өөр хувилбар байдаг вэ?

Шийдэл: Энэ жишээнд бид хорооны жагсаалтын нэрсийн дарааллыг сонирхохгүй байна. Хэрэв үр дүнд нь ижил хүмүүс түүний нэг хэсэг болж хувирвал бидний хувьд энэ нь ижил сонголт юм. Тиймээс бид 5-ын 20 элементийн хослолын тоог томъёогоор тоолж болно.

Хорооны гишүүн бүр ажлын тодорхой чиглэлийг хариуцдаг бол бүх зүйл өөр байх болно. Дараа нь, хорооны жагсаалтын ижил бүрэлдэхүүнтэй, дотор нь 5 байж магадгүй! чухал өөрчлөлтүүд. Янз бүрийн сонголтуудын тоог (бүрэлдэхүүн ба хариуцлагын хүрээнд) энэ тохиолдолд 5-ын 20 элементийн байршлын тоогоор тодорхойлно.

Магадлалын геометрийн тодорхойлолт

Санамсаргүй тестийг G геометрийн мужид (шулуун шугам, хавтгай эсвэл орон зайд) санамсаргүй байдлаар цэг шидэж байна гэж төсөөлье. Анхан шатны үр дүн нь G-ийн бие даасан цэгүүд, аливаа үйл явдал нь энэ талбайн дэд олонлог, G-ийн анхан шатны үр дүнгийн орон зай юм. Бид G-ийн бүх цэгүүд "тэнцүү" бөгөөд дараа нь цэгийн тодорхой дэд олонлогт орох магадлал нь дараах байдалтай байна. түүний хэмжигдэхүүнтэй (урт, талбай, эзэлхүүн) пропорциональ бөгөөд түүний байршил, хэлбэрээс хамаардаггүй.

А үйл явдлын геометрийн магадлалыг дараах харьцаагаар тодорхойлно: , энд m(G), m(A) нь үндсэн үр дүн ба А үйл явдлын бүх орон зайн геометрийн хэмжүүр (урт, талбай эсвэл эзэлхүүн) юм.

Жишээ. r () радиустай тойргийг тэнхлэгийн шугамуудын хоорондох зай нь 2D-тэй тэнцүү 2d өргөнтэй параллель туузаар дүрсэлсэн хавтгай дээр санамсаргүй байдлаар шиддэг. Тойрог тодорхой зурвастай огтлолцох магадлалыг ол.

Шийдэл. Энэхүү туршилтын үндсэн үр дүнд бид тойргийн төвөөс тойрогтой хамгийн ойр байгаа туузны төв шугам хүртэлх x зайг авч үзэх болно. Дараа нь анхан шатны үр дүнгийн бүх орон зай нь сегмент юм. Хэрэв түүний төв нь туузанд унасан бол, өөрөөр хэлбэл, туузны ирмэгээс радиусаас бага зайд байрладаг бол туузтай тойргийн огтлолцол үүснэ.

Хүссэн магадлалын хувьд бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үйл явдлыг боломжит, магадлалтай, санамсаргүй гэж ангилах. Энгийн ба нийлмэл энгийн үйл явдлын тухай ойлголт. Үйл явдал дээрх үйл ажиллагаа. Санамсаргүй үйл явдлын магадлал ба түүний шинж чанарын сонгодог тодорхойлолт. Магадлалын онол дахь комбинаторикийн элементүүд. Геометрийн магадлал. Магадлалын онолын аксиомууд.

1. Үйл явдлын ангилал

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол үйл явдлын тухай ойлголт юм. Үйл явдал бол туршлага эсвэл туршилтын үр дүнд тохиолдож болох аливаа баримт юм. Туршлага, туршилт гэж бид тодорхой нөхцлийн хэрэгжилтийг хэлнэ.

Үйл явдлын жишээ:

– буунаас буудах үед бай онох (туршлага - буудлага хийх; үйл явдал - бай онох);

– зоосыг гурван удаа шидэх үед хоёр бэлгэ тэмдэг алдагдах (туршлага - зоосыг гурван удаа шидэх; үйл явдал - хоёр бэлгэ тэмдгийг алдах);

- зорилтот хүрээг хэмжихэд тогтоосон хязгаарт хэмжилтийн алдаа гарч ирэх (туршлага - хүрээний хэмжилт; үйл явдал - хэмжилтийн алдаа).

Үүнтэй төстэй жишээг тоо томшгүй олон гаргаж болно. Үйл явдлыг Латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэсэн.

Хамтарсан болон хамтарсан бус үйл явдлуудыг ялгаж үздэг. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол үйл явдлуудыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хоёр шоо шиддэг. Үйл явдал - эхний үхэлд унасан гурван оноо, хоёр дахь үхэлд гурван оноо унана. Дэлгүүрт ижил загвар, хэмжээтэй, гэхдээ өөр өөр өнгийн гутал хүлээн ав. Үйл явдал - санамсаргүй байдлаар авсан хайрцагт хар гутал, үйл явдал - хайрцагт хүрэн гутал, үл нийцэх үйл явдлууд гарч ирнэ.

Тухайн тохиолдлын нөхцөлд тохиолдох нь гарцаагүй бол тухайн үйл явдлыг найдвартай гэж нэрлэдэг.

Тухайн туршлагын нөхцөлд тохиолдох боломжгүй үйл явдлыг боломжгүй гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, стандарт эд ангиудын багцаас стандарт хэсгийг авах нь найдвартай боловч стандарт бус хэсгийг авах боломжгүй юм.

Туршлагын үр дүнд гарч болох боловч гарч ирэхгүй байж болзошгүй үйл явдлыг тохиолдлын эсвэл тохиолдлын гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй тохиолдлын жишээ нь бэлэн бүтээгдэхүүний багцыг шалгах явцад бүтээгдэхүүний согогийг тодорхойлох, боловсруулсан бүтээгдэхүүний хэмжээ болон заасан хэмжээ хоорондын зөрүү, эсвэл автомат удирдлагын системийн аль нэг холбоосын эвдрэл байж болно. .

Туршилтын нөхцлийн дагуу эдгээр үйл явдлын аль нь ч бусдаас илүү бодитой боломжгүй бол үйл явдлуудыг адил боломжтой гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хэд хэдэн үйлдвэрүүд гэрлийн чийдэнг дэлгүүрт (мөн тэнцүү хэмжээгээр) нийлүүлдэг. Эдгээр үйлдвэрүүдийн аль нэгээс гэрлийн чийдэн худалдаж авахтай холбоотой үйл явдлууд адил боломжтой.

Чухал ойлголт бол үйл явдлын бүрэн бүлэг юм. Туршилтын үр дүнд ядаж нэг нь гарч ирэх нь гарцаагүй бол тухайн туршилтын хэд хэдэн үйл явдлууд бүрэн бүлгийг бүрдүүлнэ. Жишээлбэл, уринганд арван бөмбөг байдаг бөгөөд тэдгээрийн зургаа нь улаан, дөрөв нь цагаан, таван бөмбөг нь тоотой байдаг. - нэг сугалааны үед улаан бөмбөг гарч ирэх, - цагаан бөмбөг харагдах, - тоотой бөмбөг харагдах. Үйл явдал нь хамтарсан үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Эсрэг буюу нэмэлт үйл явдлын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Эсрэг үйл явдал нь ямар нэгэн үйл явдал тохиолдохгүй бол зайлшгүй тохиолдох ёстой үйл явдал юм. Эсрэг үйл явдлууд нь хоорондоо нийцэхгүй бөгөөд цорын ганц боломжтой юм. Тэд үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл, хэрэв үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний багц нь сайн, гэмтэлтэй бүтээгдэхүүнээс бүрддэг бол нэг бүтээгдэхүүнийг арилгахад энэ нь сайн - үйл явдал эсвэл гэмтэлтэй - үйл явдал болж хувирдаг.

2. Үйл явдал дээрх үйлдлүүд

Магадлалын онолд санамсаргүй үйл явдлыг судлах төхөөрөмж, арга зүйг боловсруулахад үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн тухай ойлголт маш чухал байдаг.

Үйл явдлын ангилал

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол үйл явдлын тухай ойлголт юм. Доод үйл явдалтуршлага эсвэл туршилтын үр дүнд тохиолдож болох аливаа баримтыг ойлгох. Доод туршлага, эсвэл тест, тодорхой багц нөхцөлийг хэрэгжүүлэхийг хэлнэ.

Үйл явдлын жишээ:

Үүнтэй төстэй жишээг тоо томшгүй олон гаргаж болно. Үйл явдлыг латин цагаан толгойн том үсгээр тэмдэглэсэн.

Ялгах хамтарсан арга хэмжээТэгээд нийцэхгүй. Хэрэв тэдгээрийн аль нэг нь тохиолдоход нөгөө нь тохиолдохыг үгүйсгэхгүй бол үйл явдлуудыг хамтарсан гэж нэрлэдэг. Үгүй бол үйл явдлуудыг үл нийцэх гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, хоёр шоо шиддэг. Үйл явдал нь эхний үхэлд гурван оноо, хоёр дахь үхэлд гурван оноо алдах явдал юм. ба - хамтарсан арга хэмжээ. Дэлгүүрт ижил загвар, хэмжээтэй, гэхдээ өөр өөр өнгийн гутал хүлээн ав. Үйл явдал - санамсаргүй байдлаар авсан хайрцагт хар гутал, үйл явдал - хайрцагт хүрэн гутал, үл нийцэх үйл явдлууд байх болно.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг найдвартай, хэрэв энэ нь тухайн туршилтын нөхцөлд гарцаагүй тохиолдох юм бол.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг боломжтой, эсвэл санамсаргүй, хэрэв туршлагын үр дүнд энэ нь гарч ирж магадгүй, гэхдээ энэ нь харагдахгүй байж магадгүй юм. Санамсаргүй тохиолдлын жишээ нь бэлэн бүтээгдэхүүний багцыг шалгах явцад бүтээгдэхүүний согогийг тодорхойлох, боловсруулсан бүтээгдэхүүний хэмжээ болон заасан хэмжээ хоорондын зөрүү, эсвэл автомат удирдлагын системийн аль нэг холбоосын эвдрэл байж болно.

Үйл явдал гэж нэрлэдэг адил боломжтой, хэрэв туршилтын нөхцлийн дагуу эдгээр үйл явдлын аль нь ч бусдаас илүү бодитой байж болохгүй. Жишээлбэл, дэлгүүрт хэд хэдэн үйлдвэрүүд гэрлийн чийдэнг (тэнцүү хэмжээгээр) нийлүүлдэг. Эдгээр үйлдвэрүүдийн аль нэгээс чийдэнг худалдаж авахтай холбоотой үйл явдлууд адил боломжтой.

Нэг чухал ойлголт үйл явдлын бүрэн бүлэг. Туршилтын үр дүнд ядаж нэг нь гарч ирэх нь гарцаагүй бол тухайн туршилтын хэд хэдэн үйл явдлууд бүрэн бүлгийг бүрдүүлнэ. Жишээлбэл, уринганд арван бөмбөг байдаг бөгөөд тэдгээрийн зургаа нь улаан, дөрөв нь цагаан, таван бөмбөг нь тоотой байдаг. - нэг сугалааны үед улаан бөмбөг гарч ирэх, - цагаан бөмбөг харагдах, - тоотой бөмбөг харагдах. Үйл явдал нь хамтарсан үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг.

Эсрэг буюу нэмэлт үйл явдлын тухай ойлголтыг танилцуулъя. Доод эсрэгАливаа үйл явдал тохиолдоогүй тохиолдолд зайлшгүй тохиолдох ёстой үйл явдлыг үйл явдал гэж ойлгодог. Эсрэг үйл явдлууд нь хоорондоо нийцэхгүй бөгөөд цорын ганц боломжтой юм. Тэд үйл явдлын бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл, хэрэв үйлдвэрлэсэн бүтээгдэхүүний багц нь сайн, гэмтэлтэй бүтээгдэхүүнээс бүрддэг бол нэг бүтээгдэхүүнийг арилгахад энэ нь сайн эсвэл гэмтэлтэй болж хувирдаг.

Үйл явдал дээрх үйл ажиллагаа

Хэд хэдэн үйл явдлын нийлбэр буюу нэгдэл нь эдгээр үйл явдлын дор хаяж нэг тохиолдсон үйл явдлаас бүрдэх үйл явдал юм.

Үйл явдлын нийлбэрийг дараах байдлаар харуулав.

Жишээлбэл, хэрэв үйл явдал эхний цохилтоор байг онож байгаа бол үйл явдал - хоёрдугаарт, дараа нь тухайн үйл явдал ерөнхийдөө байг онож байна, аль нь хамаагүй - эхний, хоёр дахь эсвэл хоёулаа хамт.

Хэд хэдэн үйл явдлын бүтээгдэхүүн буюу огтлолцол нь эдгээр бүх үйл явдлын хамтдаа тохиолдсон үйл явдлуудаас бүрдэх үйл явдал юм.

Үйл явдлын үйлдвэрлэлийг зааж өгсөн болно

Тухайлбал, эхний сумаар бай оносон үйл явдал бол хоёр дахь сумаар бай оносон үйл явдал бол бай нь хоёр сумаар оносон үйл явдал юм.

Үйл явдлын нийлбэр ба үржвэрийн тухай ойлголтууд нь тодорхой геометрийн тайлбартай байдаг. Үйл явдал нь бүс рүү орох цэгээс, үйл явдал нь бүс нутагт орохоос, дараа нь үйл явдал нь Зураг дээр сүүдэрлэсэн бүс рүү орох цэгээс бүрдэнэ. 1, зурагт сүүдэрлэсэн хэсэгт цэг тусах үйл явдал юм. 2.

Санамсаргүй тохиолдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолт

Үйл явдлыг тохиолдох магадлалын түвшингээр нь харьцуулахын тулд үйл явдлын магадлал гэж нэрлэгддэг тоон хэмжүүрийг нэвтрүүлдэг.

Үйл явдлын магадлал гэдэг нь үйл явдал болох объектив боломжийн хэмжүүрийг илэрхийлсэн тоо юм.

Үйл явдлын магадлалыг тэмдэгтээр тэмдэглэнэ.

Үйл явдлын магадлал нь онцгой боломжтой, адил боломжтой, үл нийцэх тохиолдлын нийт тооноос түүнд тааламжтай тохиолдлын тоог тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.өөрөөр хэлбэл

Энэ бол магадлалын сонгодог тодорхойлолт юм. Тиймээс, үйл явдлын магадлалыг олохын тулд туршилтын янз бүрийн үр дүнг харгалзан үзэх шаардлагатай бөгөөд өвөрмөц боломжтой, адил боломжтой, үл нийцэх тохиолдлуудын багцыг олох, тэдгээрийн нийт тоо, өгөгдсөн тохиолдолд таатай тохиолдлын тоог тооцоолох шаардлагатай. үйл явдал, дараа нь томъёог (1.1) ашиглан тооцоолно.

Томьёо (1.1)-ээс харахад үйл явдлын магадлал нь сөрөг бус тоо бөгөөд нийт тохиолдлын тооноос таатай тохиолдлын эзлэх хувьас хамааран тэгээс нэг хүртэл хэлбэлзэж болно.

Магадлалын шинж чанарууд

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Хэрэв бүх тохиолдлууд тухайн үйл явдалд таатай байвал энэ үйл явдал тохиолдох нь дамжиггүй. Иймээс тухайн үйл явдал найдвартай бөгөөд түүний тохиолдох магадлал нь .

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Хэрэв тухайн үйл явдалд тааламжтай ганц тохиолдол байхгүй бол туршлагаас болж энэ үйл явдал тохиолдож болохгүй. Иймээс тухайн үйл явдал боломжгүй бөгөөд түүний тохиолдох магадлал нь , учир нь энэ тохиолдолд:

Эд хөрөнгө 3. Бүрэн бүлгийг бүрдүүлдэг үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү байна.

Үл хөдлөх хөрөнгө 4. Эсрэг үйл явдал тохиолдох магадлалыг тухайн үйл явдал тохиолдох магадлалын нэгэн адил тодорхойлно.

эсрэг үйл явдал тохиолдоход таатай тохиолдлын тоо хаана байна. Иймд эсрэг үйл явдал болох магадлал нь нэгдмэл байдал ба үйл явдлын магадлалын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Үйл явдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолтын нэг чухал давуу тал нь түүний тусламжтайгаар үйл явдлын магадлалыг туршлагад хандахгүйгээр, харин логик үндэслэл дээр үндэслэн тодорхойлох явдал юм.

Жишээ 1. Захиалагч утасны дугаараа залгахдаа нэг оронтой тоог мартаж санамсаргүй байдлаар залгасан байна. Зөв дугаар залгасан байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Шаардлагатай дугаарыг залгах үйл явдлыг тэмдэглэе. Захиалагч 10 оронтой тооноос аль нэгийг нь залгаж болох тул боломжит үр дүнгийн нийт тоо нь 10 байна. Эдгээр үр дүн нь цорын ганц боломжтой (тоонуудын аль нэгийг нь залгах ёстой) мөн адил боломжтой (тоог санамсаргүй байдлаар залгадаг). Зөвхөн нэг үр дүн нь үйл явдлыг дэмжинэ (зөвхөн нэг шаардлагатай тоо байна). Шаардлагатай магадлал нь тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог бүх үр дүнгийн тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Комбинаторикийн элементүүд

Магадлалын онолд байршуулалт, сэлгэлт, хослолыг ихэвчлэн ашигладаг. Хэрэв багц өгсөн бол байрлуулах (хослол) of elements by нь олонлогийн элементүүдийн аль нэг эрэмблэгдсэн (захиалгагүй) дэд олонлог юм. Байрлуулсны дараа дууддаг дахин зохион байгуулалтэлементүүдээс.

Жишээлбэл, багцыг өгье. Энэ хоёр багцын гурван элементийн байрлал нь , , , , , ; хослолууд - , , .

Хоёр хослол нь дор хаяж нэг элементээр ялгаатай бөгөөд байршил нь элементүүдийн хувьд эсвэл харагдах дарааллаар нь ялгаатай байдаг. Элементүүдийн хослолын тоог томъёогоор тооцоолно

элементүүдийн байршлын тоо нь ; - элементүүдийн сэлгэцийн тоо.

Жишээ 2. 10 хэсгээс бүрдсэн багцад 7 стандарт байдаг. Санамсаргүй байдлаар авсан 6 хэсгээс яг 4 стандарт байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Туршилтын боломжит үр дүнгийн нийт тоо нь 10-аас 6 хэсгийг гаргаж авах аргуудын тоотой тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 6-ын 10 элементийн хослолын тоотой тэнцүү байна. Үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоо (дунд) авсан 6 хэсэг нь яг 4 стандарт байдаг) дараах байдлаар тодорхойлогддог: 4 стандарт хэсгийг 7 стандарт хэсгээс янз бүрийн аргаар авч болно; энэ тохиолдолд үлдсэн хэсгүүд нь стандарт бус байх ёстой; Стандарт бус хэсгээс стандартын бус 2 хэсгийг авах арга бий. Тиймээс таатай үр дүнгийн тоо тэнцүү байна. Анхны магадлал нь тухайн үйл явдалд таатай үр дүнгийн тоог бүх үр дүнгийн тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Магадлалын статистик тодорхойлолт

Формула (1.1)-ийг зөвхөн тохиолдлын загвар болгон туршсан тохиолдолд л үйл явдлын магадлалыг шууд тооцоолоход ашигладаг. Практикт магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг ихэвчлэн хоёр шалтгааны улмаас хэрэглэх боломжгүй байдаг: нэгдүгээрт, магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь нийт тохиолдлын тоо хязгаартай байх ёстой гэж үздэг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь ихэвчлэн хязгаарлагдахгүй. Хоёрдугаарт, туршилтын үр дүнг ижил төстэй, үл нийцэх үйл явдлуудын хэлбэрээр төсөөлөх нь ихэвчлэн боломжгүй байдаг.

Давтагдсан туршилтын үед тохиолдох давтамж нь зарим тогтмол утгын эргэн тойронд тогтворжих хандлагатай байдаг. Тиймээс тодорхой тогтмол утгыг авч үзэж буй үйл явдалтай холбож болох бөгөөд энэ нь давтамжийг тойруулан бүлэглэж, туршилт хийх нөхцөл ба үйл явдлын хоорондын объектив холболтын шинж чанар юм.

Санамсаргүй тохиолдлын магадлал нь туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр энэ үйл явдлын давтамжийг тойрон бүлэглэсэн тоо юм.

Магадлалын энэхүү тодорхойлолтыг нэрлэдэг статистик.

Магадлалыг тодорхойлох статистик аргын давуу тал нь бодит туршилтанд тулгуурладагт оршино. Гэсэн хэдий ч түүний мэдэгдэхүйц сул тал бол магадлалыг тодорхойлохын тулд олон тооны туршилт хийх шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн материалын зардалтай холбоотой байдаг. Үйл явдлын магадлалын статистик тодорхойлолт нь энэ үзэл баримтлалын агуулгыг бүрэн харуулсан боловч магадлалыг бодитоор тооцох боломжгүй юм.

Магадлалын сонгодог тодорхойлолт нь хязгаарлагдмал тооны тэнцүү боломжтой үйл явдлын бүрэн бүлгийг авч үздэг. Практикт туршилтын үр дүнгийн тоо хязгааргүй байдаг. Ийм тохиолдолд магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг хэрэглэх боломжгүй. Гэсэн хэдий ч заримдаа ийм тохиолдолд та магадлалыг тооцоолох өөр аргыг ашиглаж болно. Тодорхой байхын тулд бид хоёр хэмжээст тохиолдлоор өөрсдийгөө хязгаарладаг.

Талбайн өөр мужийг агуулсан талбайн тодорхой мужийг хавтгай дээр өгье (Зураг 3). Тухайн газар санамсаргүй байдлаар цэг шиддэг. Тухайн бүсэд оноо унах магадлал хэд вэ? Санамсаргүй байдлаар шидсэн цэг нь тухайн бүс нутгийн аль ч цэгийг онох боломжтой гэж үздэг бөгөөд тухайн бүс нутгийн аль ч хэсгийг онох магадлал нь тухайн хэсгийн талбайтай пропорциональ бөгөөд түүний байршил, хэлбэрээс хамаардаггүй. Энэ тохиолдолд тухайн бүсэд орох магадлал

Тиймээс, ерөнхий тохиолдолд, хэрэв шугам, хавтгай эсвэл орон зайд тодорхой талбайн доторх цэгийн санамсаргүй харагдах боломжийг энэ талбайн байрлал, хил хязгаараар биш, харин зөвхөн хэмжээ, өөрөөр хэлбэл уртаар тодорхойлдог. , талбай эсвэл эзлэхүүн, дараа нь Тодорхой бүс дотор санамсаргүй цэг унах магадлалыг энэ бүс нутгийн хэмжээ нь тухайн цэг гарч ирж болох бүх бүсийн хэмжээтэй харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлогддог. Энэ бол магадлалын геометрийн тодорхойлолт юм.

Жишээ 3. Дугуй бай тогтмол өнцгийн хурдтайгаар эргэлддэг. Зорилтот хэсгийн тавны нэг нь ногоон өнгөтэй, үлдсэн хэсэг нь цагаан өнгөтэй байна (Зураг 4). Байгаа онох нь найдвартай үйл явдал болохуйц байдлаар бай руу бууддаг. Та зорилтот салбарыг ногоон өнгөөр цохих магадлалыг тодорхойлох хэрэгтэй.

Шийдэл. "Буудсан сум нь ногоон өнгөтэй салбарыг оносон" гэж тэмдэглэе. Дараа нь . Магадлалыг ногооноор будсан байны хэсгийн талбайн нийт талбайн харьцаагаар олж авдаг, учир нь байны аль ч хэсгийг онох нь адил боломжтой юм.

Магадлалын онолын аксиомууд

Санамсаргүй тохиолдлын магадлалын статистик тодорхойлолтоос харахад үйл явдлын магадлал нь туршилтаар ажиглагдсан энэ үйл явдлын давтамжийг бүлэглэсэн тоо юм. Иймд үйл явдлын магадлал нь давтамжийн үндсэн шинж чанартай байхаар магадлалын онолын аксиомуудыг нэвтрүүлсэн.

Аксиом 1. Үйл явдал бүр нь нөхцөлийг хангасан тодорхой тоотой тохирч, түүнийг магадлал гэж нэрлэдэг.