Онгоц ба түүн дээр хэвтээгүй цэгийг өгье.
Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд унасан перпендикуляр нь өгөгдсөн цэгийг хавтгай дээрх цэгтэй холбож, хавтгайд перпендикуляр шулуун шугам дээр хэвтэж буй хэрчмийг хэлнэ;
- хавтгайд хэвтэж буй энэ сегментийн төгсгөлийг перпендикулярын суурь гэж нэрлэдэг;
- цэгээс хавтгай хүртэлх зай нь энэ цэгээс хавтгайд татсан перпендикулярын урт;
Өгөгдсөн цэгээс өгөгдсөн хавтгайд татсан налуу шугам нь өгөгдсөн цэгийг хавтгайд перпендикуляр биш байгаа цэгтэй холбосон аливаа хэрчмийг хэлнэ;
- хавтгайд хэвтэж буй сегментийн төгсгөлийг налуу суурь гэж нэрлэдэг;
Нэг цэгээс татсан перпендикуляр ба ташуугийн суурийг холбосон хэрчмийг ташуу проекц гэнэ.
Зураг дээр А цэгээс перпендикуляр AB ба налуу АС-ийг хавтгайд татсан байна. В цэг нь перпендикулярын суурь, С цэг нь налуугийн суурь, BC нь налуу АС-ийн хавтгай дээрх проекц юм.
Гурван перпендикуляр теорем:
Хэрэв хавтгай дээр зурсан шулуун шугам дамжин налуу суурь, түүнд перпендикуляр төсөөлөл, тэгвэл перпендикуляр байна налуу. Мөн эсрэгээр: Хэрэв хавтгайн шулуун шугам нь налуутай перпендикуляр байвал перпендикуляр ба ташуу проекц.
Хэрэв эдгээр хавтгайн огтлолцлын шугамтай перпендикуляр гурав дахь хавтгай нь перпендикуляр шугамын дагуу огтлолцвол хоёр огтлолцсон хавтгайг перпендикуляр гэж нэрлэдэг.
Жишээ №1
Гурвалжны хавтгайд перпендикуляр гурвалжинд сийлсэн тойргийн төв дундуур шулуун шугам татна. Энэ шулуун дээрх цэг бүр гурвалжны талуудаас ижил зайд байгааг батал.
Гурвалжны талуудын тойрогтой шүргэх цэгүүдийг A, B, C, тойргийн төвийг O, перпендикуляр дээрх цэгийг S гэж үзье. ОА радиус нь гурвалжны тал руу перпендикуляр байдаг тул гурван перпендикулярын теоремын дагуу SA сегмент нь энэ тал руу перпендикуляр байх ба түүний урт нь S цэгээс гурвалжны тал хүртэлх зай юм. Пифагорын теоремын дагуу SA=, энд r нь бичээстэй тойргийн радиус юм. Үүнтэй адилаар бид дараахь зүйлийг олно. 
, өөрөөр хэлбэл S цэгээс гурвалжны талууд хүртэлх бүх зай тэнцүү байна.
Аюулгүй байдлын асуултууд:
- Өгөгдсөн цэгээс хавтгайд унасан перпендикуляр гэж юу вэ?
- Ташуу проекц гэж юу вэ?
Практик хэсэг:
1. Шулуун шугам a ба хавтгай өгөгдсөн. Шулуун дундуур хавтгайд перпендикуляр хавтгай зур.
2. Хэрэв шулуун хавтгайтай параллель байвал түүний бүх цэгүүд хавтгайгаас ижил зайд байгааг батал.
3. Нэг цэгээс хавтгай руу хоёр налууг зурсан бөгөөд тэдгээрийн нэг нь нөгөөгөөсөө 20 см том байна. Налуу проекц нь 10 см ба 30 см налууг ол.
4. Квадратын тал нь 4 см, дөрвөлжингийн бүх оройноос ижил зайд байгаа цэг нь түүний диагональуудын огтлолцлын цэгээс 6 см зайд байна. Энэ цэгээс квадратын орой хүртэлх зайг ол.
5. Нэг цэгээс 10 см ба 17 см-тэй тэнцүү хоёр налуу налууг зурсан.
6. Нэг цэгээс хавтгай руу 23 см ба 33 см-тэй тэнцүү хоёр налуу налуу зурсан бол налуугийн проекц 2:3 харьцаатай байвал энэ цэгээс хавтгай хүртэлх зайг ол.
8. a шулуун ABC хавтгайд перпендикуляр байна. MD = 13. AC = 15, BC = 20. AC BC, MD AB. MC-г олоорой.
9. ABC тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүд (C = 90°) 4 см-тэй тэнцүү ба M цэг нь ABC гурвалжны хавтгайгаас √6 см зайд, түүний бүх оройноос ижил зайд байрладаг. М цэгээс гурвалжны орой хүртэлх зайг ол.
Уран зохиол:
1. Математик: анхан шатны байгууллагуудад зориулсан сурах бичиг. болон Лхагва гараг проф. боловсрол / M.I. Башмаков. –М.: “Академи” хэвлэлийн төв, 2010 он.
Бие даасан ажил No5.
Байршил, сэлгэлтийн тоог тоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх.
Хичээлийн зорилго: дээжийн тоог тооцоолохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх аргуудыг эзэмших
Онолын хэсэг:
Комбинаторик нь өгөгдсөн дүрмийн дагуу тодорхой хязгаарлагдмал олонлогийн элементүүдийг сонгох, байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд зориулагдсан математикийн нэг хэсэг юм. комбинаторик нь хязгаарлагдмал олонлогоос элементүүдийг сонгох, эдгээр элементүүдийг тодорхой дарааллаар байрлуулах асуудлыг шийддэг.
n - элементүүдийн m - элементүүдийн зохион байгуулалтууд () нь өгөгдсөн n - m элементүүдээс бүрдсэн хослолууд бөгөөд тэдгээр нь бие биенээсээ элементүүдийн хувьд эсвэл элементүүдийн дарааллаар ялгаатай байдаг.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Жишээ No 1. 1...9 тооноос гурван оронтой хэдэн тоо гаргаж болох вэ?
n-элементүүдийн сэлгэлт нь эдгээр n-элементүүдийг n-элементүүдэд байршуулах тоо юм.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Жишээ No 2. 5 номыг тавиур дээр хэдэн янзаар байрлуулж болох вэ?
n - элементүүдийн m - элементүүдийн хослолууд нь өгөгдсөн n - m элементүүдээс бүрдэх, бие биенээсээ дор хаяж нэг элементээр ялгаатай нэгдлүүд юм.
Жишээ No 3. Нэг бүлэгт 30 оюутан байна. Шалгалтанд тэнцэхийн тулд тэдгээрийг гурван бүлэгт хуваах ёстой. Үүнийг хэдэн аргаар хийж болох вэ?
Аюулгүй байдлын асуултууд:
1. Комбинаторикийн зорилгыг тоймлон бич.
2. m-ийн n элементийн хослолын тоог юу гэж нэрлэдэг вэ?
3. m-д n элементийг байрлуулах тоог юу гэж нэрлэдэг вэ?
4. n элементийн сэлгэлтийг юу гэж нэрлэдэг вэ?
Практик хэсэг:
1. 25 хүний бүрэлдэхүүнтэй баг 4 оюутныг шинжлэх ухаан практикийн бага хуралд хэдэн янзаар явуулах вэ?
2. Арван сурагч гар барив. Хэдэн гар барив?
3. Гурван өнгийн судалтай тугийг долоон ширхэг өөр өнгийн материалаар хэдэн аргаар хийж болох вэ?
4. Таван хэлнээс аль нэгэнд нь орчуулж чадахын тулд хэдэн толь бичиг хэвлэгдсэн байх ёстой вэ?
5. Тооцоол:
6. Тооцоол:
7. Тооцоол: 5! + 6!
8. 4-ийн 10 элементийн зохион байгуулалтын тоог ол.
9. Тооцоол:
10. Гучин оюутан гэрэл зургаа солилцов. Нийт хэдэн зураг байсан бэ?
11. Гурван албан тушаалд найман нэр дэвшигчээс гурван хүнийг хэдэн аргаар сонгох вэ?
12. Тэгшитгэлийг шийд:
13. Илэрхийллийн утгыг тооцоол.
14. Илэрхийллийн утгыг тооцоол.
2. C цэгт огтлолцсон хоёр шулуун өгөгдсөн. Эдгээр шулуун тус бүртэй нийтлэг цэгтэй, тэдгээртэй нэг хавтгайд орших гуравдагч шулуун байна уу?
3.
4. Зэрэгцээ хоёр онгоцны хоорондох зай 8 см. Тэдний хооронд 17 см урттай шулуун сегмент байрладаг бөгөөд ингэснээр түүний төгсгөлүүд хавтгайд хамаарна. Энэ сегментийн хавтгай тус бүр дээрх проекцийг ол.
5. Зөв мэдэгдлийг хийхийн тулд өгүүлбэрийг гүйцээнэ үү:
D) Би мэдэхгүй
6. a ба b шугамууд перпендикуляр байна. А ба В цэгүүд нь а шулуунд, С ба D цэгүүд b шулуунд хамаарна. AC ба BD шулуунууд нэг хавтгайд орших уу?
7. ABCDA1B1C1D1 куб дээр AC ба B1D1 нүүрний диагональуудыг зурсан. тэдний харьцангуй байр суурь юу вэ?
8. ABCDA1B1C1D1 шоо дөрвөлжин ирмэг нь m-тэй тэнцүү байна. AB ба CC1 шулуун шугамуудын хоорондох зайг ол.
A) 2м B) 1/2м C) м D) Мэдэхгүй
9. Энэ мэдэгдэл үнэн эсэхийг тодорхойлох:
A) тийм B) үгүй C) үргэлж биш D) би мэдэхгүй
10. ABCDA1B1C1D1 кубаас BCD ба ВСС1В1 хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.
A) 90° B) 45° C) 0° D) 60°
11. Суурьтай перпендикуляр зөвхөн нэг талын нүүртэй призм байдаг уу?
A) тийм B) үгүй C) мэдэхгүй
12. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ нь хажуугийн ирмэгээс бага байж болох уу?
A) тийм B) үгүй C) мэдэхгүй
13. 10 ирмэгтэй шоо дөрвөлжингийн хажуугийн гадаргуугийн талбай хэд вэ?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Диагональ нь d бол кубын нийт гадаргуугийн талбай хэд вэ?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Энгийн дөрвөлжин пирамид хэдэн тэгш хэмийн хавтгайтай вэ?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Аливаа ердийн пирамидын тэнхлэгийн хэсэг нь юу вэ?
A) тэгш талт гурвалжин
B) тэгш өнцөгт
B) трапец
D) ижил өнцөгт гурвалжин
тестийг шийдвэрлэхэд тусална уу1. Хоёр өөр давхцаагүй хавтгай хэдэн нийтлэг шугамтай байж болох вэ?
A) 1 B) 2 C) хязгааргүй тооны D) аль нь ч биш E) би мэдэхгүй
2. С цэг дээр огтлолцсон хоёр шулуун өгөгдсөн. Эдгээр шулуун тус бүртэй нийтлэг цэгтэй, гуравдагч шулуун тэдгээртэй нэг хавтгайд орших уу?
A) үргэлж тийм B) үргэлж үгүй C) худал хэлдэг, гэхдээ үргэлж биш D) би мэдэхгүй
3. Энэ мэдэгдэл үнэн эсэхийг тодорхойл.
Нэг шулуунтай параллель байвал хоёр хавтгай зэрэгцээ байна.
A) тийм B) үгүй C) мэдэхгүй D) үргэлж биш
4. Зэрэгцээ хоёр хавтгайн хоорондох зай 8 см. Тэдний хооронд 17 см урттай шулуун хэрчмийг байрлуулснаар түүний төгсгөлүүд хавтгайд хамаарна. Энэ сегментийн хавтгай тус бүр дээрх проекцийг ол.
A) 15 см B) 9 см C) 25 см D) Мэдэхгүй
5. Зөв мэдэгдлийг хийхийн тулд хэллэгийг гүйцээнэ үү.
Хоёр перпендикуляр хавтгайн аль нэгэнд байрлах шулуун шугам нь тэдгээрийн огтлолцлын шугамтай перпендикуляр байвал энэ нь...
A) өөр хавтгайтай зэрэгцээ
B) өөр хавтгайтай огтлолцдог
B) өөр хавтгайд перпендикуляр
D) Би мэдэхгүй
6. a ба b шулуунууд перпендикуляр байна. А ба В цэгүүд нь а шулуунд, С ба D цэгүүд b шулуунд хамаарна. AC ба BD шулуунууд нэг хавтгайд орших уу?
A) тийм B) үгүй C) үргэлж биш D) би мэдэхгүй
7. ABCDA1B1C1D1 шоонд AC ба B1D1 нүүрний диагональуудыг зурсан. тэдний харьцангуй байр суурь юу вэ?
A) огтлолцох B) огтлолцох C) зэрэгцээ D) мэдэхгүй
8. ABCDA1B1C1D1 кубын ирмэг нь m-тэй тэнцүү. AB ба CC1 шулуун шугамуудын хоорондох зайг ол.
A) 2м B) B) м D) Би мэдэхгүй
9. Энэ мэдэгдэл үнэн эсэхийг тодорхойл.
Хэрэв хоёр шулуун шугам нь ижил хавтгайтай тэнцүү өнцөг үүсгэдэг бол тэдгээр нь параллель байна.
A) тийм B) үгүй C) үргэлж биш D) би мэдэхгүй
10. ABCDA1B1C1D1 кубаас BCD ба ВСС1В1 хавтгайн хоорондох өнцгийг ол.
A) 90 B) 45 C) 0 D) 60
11. Суурьтай перпендикуляр зөвхөн нэг талын нүүртэй призм байдаг уу?
A) тийм B) үгүй C) мэдэхгүй
12. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ нь хажуугийн ирмэгээс бага байж болох уу?
A) тийм B) үгүй C) мэдэхгүй
13. 10 ирмэгтэй кубын хажуугийн гадаргуугийн талбай хэд вэ?
A) 40 B) 400 C) 100 D) 200
14. Диагональ нь d бол кубын нийт гадаргуугийн талбай хэд вэ?
A) 2d2 B) 6d2 B) 3d2 D) 4d2
15. Энгийн дөрвөлжин пирамид хэдэн тэгш хэмийн хавтгайтай вэ?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 6
16. Аливаа ердийн пирамидын тэнхлэгийн хэсэг нь юу вэ?
A) тэгш талт гурвалжин
B) тэгш өнцөгт
B) трапец
D) ижил өнцөгт гурвалжин
нэг шулуун дээр оршдоггүй цэгүүд?
2. Хоёр өөр хавтгайд зөвхөн хоёр нийтлэг цэг байж болох уу?
Шууд а баб цэг дээр огтлолцоно М.М цэгийг өнгөрөөгүй шулуун c шулуун шугамыг огтолно АТэгээд б. Эдгээр гурван шугам бүгд нэг хавтгайд оршдог уу? Шулуунуудын харьцангуй байрлал хэд вэ: 1) А 1 Д Тэгээд М.Н; 2) А 1 Д Тэгээд V 1C; 3) М.Н Тэгээд A 1B1(Зураг 1). Шууд АТэгээд б шулуун шугамаар гаталсан -тай.Шулуун болно АТэгээд б зэрэгцээ байх уу? Хоёр шугам нь нэг хавтгайд параллель байна. Эдгээр шугамууд хоорондоо параллель байна гэж хэлж болох уу? Хэрэв тийм биш бол тэдний харьцангуй байр суурь юу вэ? Зураг 2-т шулуун шугамууд байна төрөл зэрэгцээ. Оноо АТэгээд INшууд төрөлд хамаарах; б онгоцонд хэвтэж байна α, a\\б. b ба c шугамуудын харьцангуй байрлал хэд вэ? Дөрвөн өнцөгт өгөгдсөн ABCD болон онгоц α. Түүний диагональууд АСТэгээд Б.Д хавтгайтай зэрэгцээ α. Ямар байр суурьтай байна ABболон онгоцууд α? Онгоц α ба β параллель байна. Нэг цэг дээр огтлолцдог Мшулуун АТэгээд б онгоцыг огтолно α цэгүүдэд тус тус INТэгээд А,ба β онгоц - цэгүүдэд ЭТэгээд ФХандлагаа олох
10. Хавтгай байдал α параллелепипедийн суурийн диагональ ба дээд суурийн аль нэг талын дундуур дамждаг. Хэсгийн төрлийг тодорхойлох.
5. Зэрэгцээ шугамууд
Хоёр шулуун шугам гэж нэрлэдэг зэрэгцээ, хэрэв нэг хавтгайд байгаа бол огтлолцохгүй.
Шугамын параллел байдлыг || тэмдгээр илэрхийлнэ (жишээ нь AB||CD).
Теорем. Нэг шулууны хоёр перпендикуляр параллель байна.
Нотлох баримт: Хэрэв перпендикулярууд аль нэг цэгт огтлолцсон бол энэ цэгээс шулуун шугам руу хоёр перпендикуляр татагдах бөгөөд энэ нь боломжгүй юм.
Хоёр шулуун шугам гуравны нэгтэй огтлолцох үед олж авсан өнцгийн нэрс
Зэрэгцээ байдлын шинж тэмдэг.
Хоёр шулуун шугам гурав дахь шулуунтай огтлолцвол:
аливаа харгалзах өнцөг нь тэнцүү,
эсвэл зарим хөндлөн өнцөг нь тэнцүү,
эсвэл аль нэг дотоод эсвэл хоёр гадаад нэг талын өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү,
тэгвэл хоёр шугам зэрэгцээ байна.
Зэрэгцээ шугамын аксиом.
Нэг цэгээр дамжуулан нэг шулуунтай зэрэгцээ хоёр өөр шугам зурах боломжгүй.Дүгнэлт 1. Хэрэв шугам нь зэрэгцээ шугамуудын аль нэгийг нь огтолж байвал нөгөөг нь мөн огтолно.
Дүгнэлт 2. Гурав дахь параллель хоёр шугам нь зэрэгцээ байна.
Параллель эсвэл перпендикуляр талуудтай өнцөг.
Теорем. Хэрэв нэг өнцгийн талууд нь нөгөө өнцгийн талуудтай тус тус параллель байвал ийм өнцөг нь тэнцүү эсвэл хоёр тэгш өнцөгт нийлбэр болно.
Теорем. Хэрэв нэг өнцгийн талууд нь нөгөө өнцгийн талуудтай тус тус перпендикуляр байвал ийм өнцөг нь тэнцүү эсвэл хоёр тэгш өнцөгт нийлбэр болно.
Гурвалжин ба олон өнцөгтийн өнцгийн нийлбэр.
Теорем. Гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь хоёр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
Үр дагавар
:1. Гурвалжны гадна талын өнцөг бүр нь хоёр дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
2. Нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү бол гурав дахь өнцөг нь мөн тэнцүү байна.
3. Тэгш өнцөгт гурвалжны хоёр хурц өнцгийн нийлбэр тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
Теорем. Өнцгийн нийлбэр
n-gon нь 180*(n-2) градус.Теорем. Олон өнцөгтийн гадна талын өнцгийн нийлбэр нь дөрвөн тэгш өнцөгтэй тэнцүү байна.
