Параметр бүхий системийн шалгалтын шийдэл. Квадрат гурвалжны судалгаа

Маягтын тэгшитгэл е(x; а) = 0 гэж нэрлэдэг хувьсагчтай тэгшитгэл Xба параметр А.

Параметр бүхий тэгшитгэлийг шийд А– энэ нь утга тус бүрийн хувьд гэсэн үг Аутгыг олох X, энэ тэгшитгэлийг хангаж байна.

Жишээ 1. Өө= 0

Жишээ 2. Өө = А

Жишээ 3.

x + 2 = аа
x – ah = -2
x(1 – a) = -2

Хэрэв 1 - А= 0, өөрөөр хэлбэл. А= 1, тэгвэл X 0 = -2 үндэс байхгүй

Хэрэв 1 - А 0, өөрөөр хэлбэл. А 1, тэгвэл X =

Жишээ 4.

(А 2 – 1) X = 2А 2 + А – 3
(А – 1)(А + 1)X = 2(А – 1)(А – 1,5)
(А – 1)(А + 1)X = (1А – 3)(А – 1)

Хэрэв А= 1, дараа нь 0 X = 0
X- дурын бодит тоо

Хэрэв А= -1, дараа нь 0 X = -2
үндэс байхгүй

Хэрэв А 1, А-1 тэгвэл X= (цорын ганц шийдэл).

Энэ нь хүчинтэй утга бүрийн хувьд гэсэн үг юм Анэг утгатай таарч байна X.

Жишээ нь:

Хэрэв А= 5, тэгвэл X = = ;

Хэрэв А= 0, тэгвэл X= 3 гэх мэт.

1. Өө = X + 3

2. 4 + Өө = 3X – 1

3. А = +

цагт А= 1 үндэс байхгүй.

цагт А= 3 үндэс байхгүй.

цагт А = 1 X– бусад бодит тоо X = 1

цагт А = -1, А= 0 шийдэл байхгүй.

цагт А = 0, А= 2 шийдэл байхгүй.

цагт А = -3, А = 0, 5, А= -2 шийдэл байхгүй

цагт А = --тай, -тай= 0 шийдэл байхгүй.

Параметр бүхий квадрат тэгшитгэл

Жишээ 1.Тэгшитгэлийг шийд

(А – 1)X 2 = 2(2А + 1)X + 4А + 3 = 0

At А = 1 6X + 7 = 0

тохиолдолд А 1, бид эдгээр параметрийн утгыг онцлон тэмдэглэв Дтэг рүү очдог.

D = (2(2 А + 1)) 2 – 4(А – 1)(4А + 30 = 16А 2 + 16А + 4 – 4(4А 2 + 3А – 4А – 3) = 16А 2 + 16А + 4 – 16А 2 + 4А + 12 = 20А + 16

20А + 16 = 0

20А = -16

Хэрэв А < -4/5, то Д < 0, уравнение имеет действительный корень.

Хэрэв А> -4/5 ба А 1, тэгвэл Д > 0,

X =

Хэрэв А= 4/5, тэгвэл Д = 0,

Жишээ 2. a параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэлийг хийдэг

x 2 + 2( А + 1)X + 9А– 5 = 0 нь 2 өөр сөрөг язгууртай юу?

D = 4( А + 1) 2 – 4(9А – 5) = 4А 2 – 28А + 24 = 4(А – 1)(А – 6)

4(А – 1)(А – 6) > 0

Виетагаар дамжуулан: X 1 + X 2 = -2(А + 1)
X 1 X 2 = 9А – 5

Нөхцөлөөр X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(А + 1) < 0 и 9А – 5 > 0

Үүний үр дүнд

4(А – 1)(А – 6) > 0 - 2(А + 1) < 0 9А – 5 > 0

А < 1: а > 6 А > - 1 А > 5/9

(Цагаан будаа. 1) < а < 1, либо а > 6

Жишээ 3.Утгыг ол А, энэ тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна.

x 2 – 2( А – 1)X + 2А + 1 = 0

D = 4( А – 1) 2 – 4(2А + 10 = 4А 2 – 8А + 4 – 8А – 4 = 4А 2 – 16А

4А 2 – 16 0

4А(А – 4) 0

А( А – 4)) 0

А( А – 4) = 0

a = 0 эсвэл А – 4 = 0
А = 4

(Цагаан будаа. 2)

Хариулт: А 0 ба А 4

Дидактик материал

1. Ямар үнээр Атэгшитгэл Өө 2 – (А + 1) X + 2А– 1 = 0 нь нэг үндэстэй юу?

2. Ямар үнээр Атэгшитгэл ( А + 2) X 2 + 2(А + 2)X+ 2 = 0 нь нэг үндэстэй юу?

3. Тэгшитгэл нь a-ийн аль утгуудын хувьд ( А 2 – 6А + 8) X 2 + (А 2 – 4) X + (10 – 3А – А 2) = 0 нь хоёроос олон үндэстэй юу?

4. 2-р тэгшитгэлийн ямар утгуудын хувьд X 2 + X – А= 0 нь 2-р тэгшитгэлтэй дор хаяж нэг нийтлэг язгууртай X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Тэгшитгэлийн ямар утгуудын хувьд X 2 +Өө+ 1 = 0 ба X 2 + X + А= 0 дор хаяж нэг нийтлэг үндэстэй юу?

1. Хэзээ А = - 1/7, А = 0, А = 1

2. Хэзээ А = 0

3. Хэзээ А = 2

4. Хэзээ А = 10

5. Хэзээ А = - 2

Параметртэй экспоненциал тэгшитгэл

Жишээ 1.Бүх утгыг ол А, үүний төлөө тэгшитгэл

9 х – ( А+ 2)*3 x-1/x +2 А*3 -2/x = 0 (1) нь яг хоёр үндэстэй.

Шийдэл. (1) тэгшитгэлийн хоёр талыг 3 2/x-ээр үржүүлснээр бид эквивалент тэгшитгэлийг олж авна.

3 2(x+1/x) – ( А+ 2)*3 x+1/x + 2 А = 0 (2)

3 x+1/x = байг цагт, тэгвэл (2) тэгшитгэл хэлбэрийг авна цагт 2 – (А + 2)цагт + 2А= 0, эсвэл

(цагт – 2)(цагт – А) = 0, хаанаас цагт 1 =2, цагт 2 = А.

Хэрэв цагт= 2, өөрөөр хэлбэл. 3 x+1/x = 2 X + 1/X= log 3 2 , эсвэл X 2 – Xбүртгэл 3 2 + 1 = 0.

Энэ тэгшитгэл нь жинхэнэ үндэсгүй тул үүнээс хойш Д= бүртгэл 2 3 2 – 4< 0.

Хэрэв цагт = А, өөрөөр хэлбэл 3 x+1/x = АТэр X + 1/X= бүртгэл 3 А, эсвэл X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)

Тэгшитгэл (3) нь зөвхөн хоёр үндэстэй байна

D = log 2 3 2 – 4 > 0, эсвэл |log 3 a| > 2.

Хэрэв log 3 a > 2 байвал А> 9, хэрэв log 3 бол a< -2, то 0 < А < 1/9.

Хариулт: 0< А < 1/9, А > 9.

Жишээ 2. a-ийн ямар утгуудад тэгшитгэл 2 2x - ( А - 3) 2 x - 3 А= 0 шийдэлтэй юу?

Өгөгдсөн тэгшитгэл шийдэлтэй байхын тулд тэгшитгэл байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай т 2 – (a - 3) т – 3а= 0 нь дор хаяж нэг эерэг язгууртай байсан. Виетийн теоремыг ашиглан үндсийг нь олъё. X 1 = -3, X 2 = А = >

a нь эерэг тоо.

Хариулт: хэзээ А > 0

Дидактик материал

1. Тэгшитгэл болох a-ийн бүх утгыг ол

25 х – (2 А+ 5)*5 x-1/x + 10 А* 5 -2/x = 0 нь яг 2 шийдэлтэй.

2. Тэгшитгэл нь a-ийн ямар утгыг илэрхийлдэг вэ?

2 (a-1)x?+2(a+3)x+a = 1/4 нь нэг үндэстэй юу?

3. a параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэл үүсдэг

4 х - (5 А-3)2 x +4 А 2 – 3А= 0 өвөрмөц шийдэлтэй юу?

Жишээ 1.Бүх утгыг ол А, үүний төлөө тэгшитгэл

бүртгэл 4x (1 + Өө) = 1/2 (1)

өвөрмөц шийдэлтэй.

Шийдэл. (1) тэгшитгэл нь тэгшитгэлтэй тэнцүү байна

1 + Өө = 2Xцагт X > 0, X 1/4 (3)

X = цагт

сар 2 - цагт + 1 = 0 (4)

(3)-ын (2) нөхцөл хангагдаагүй байна.

Болъё А 0, тэгвэл AU 2 – 2цагт+ 1 = 0 нь жинхэнэ язгууртай, зөвхөн хэрэв байгаа бол Д = 4 – 4А 0, өөрөөр хэлбэл. цагт А 1.Тэгш бус байдлыг (3) шийдвэрлэхийн тулд функцүүдийн графикийг зурцгаая Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И.Алгебр, математик анализын хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах. - М.: Боловсрол, 1990 он

болон бусад. Сургалтын гарын авлага. – М.: Шалгалт, 2001–2008.
1. Даалгавар. аЯмар параметрийн утгууд дээр а - 1)x 2 + 2x + атэгшитгэл (

- 1 = 0 нь яг нэг язгууртай юу?
1. Шийдэл. а At x= 1 бол тэгшитгэл нь 2 x= 0 ба нэг үндэстэй нь тодорхой а= 0. Хэрэв а 4а 2 - 8а№1, тэгвэл энэ тэгшитгэл нь квадрат бөгөөд квадрат гурвалжны ялгаварлагч нь тэгтэй тэнцүү байх параметрийн утгуудын нэг үндэстэй байна. Дискриминантыг тэгтэй тэнцүүлэхдээ бид параметрийн тэгшитгэлийг олж авна а= 0, хаанаас а = 2.

= 0 эсвэл 1. Хариулт: атэгшитгэл нь нэг язгууртай

O (0; 1; 2).
2. Даалгавар. аБүх параметрийн утгыг ол x 2 +4, тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй+8а+3 = 0.
сүх
2. Шийдэл. x 2 +4, тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй+8аТэгшитгэл +3 = 0 нь хоёр ялгаатай язгууртай, хэрэв зөвхөн, хэрэв байгаа бол = 16а 2 -4(8аД а 2 -8а+3) > 0. Бид (4-ийн нийтлэг хүчин зүйлээр бууруулсны дараа) 4-ийг авна

-3 > 0, хаанаас

) БА (1 +
Энэ нь мэдэгдэж байна
е 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Функцийн графикийг зур е 1 (x) цагт а = 1.
б) Ямар үнээр афункцын графикууд е 1 (x) Мөн е 2 (x) нэг нийтлэг зүйл байна уу?

3. Шийдэл.
3.а.Өөрчилье е 1 (x) дараах байдлаар
Энэ функцийн график нь а= 1-ийг баруун талын зурагт үзүүлэв.
3.б.Функцийн графикууд гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе y = kx+бТэгээд y = , тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй 2 +bx+в (аҮгүй 0) нэг цэгт огтлолцоно, хэрэв зөвхөн квадрат тэгшитгэл байвал kx+б = , тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй 2 +bx+внэг үндэстэй. View ашиглах е 1-ийн 3.а, тэгшитгэлийн дискриминантыг тэгшитгэе а = 6x-x 2-6-аас тэг хүртэл. 36-24-4 тэгшитгэлээс а= 0 бид авна а= 3. 2-р тэгшитгэлтэй ижил зүйлийг хий x-а = 6x-x 2-6 бид олох болно а= 2. Эдгээр параметрийн утгууд нь асуудлын нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгахад хялбар байдаг. Хариулт: а= 2 эсвэл а = 3.

4. Даалгавар.
Бүх утгыг ол а, үүний төлөө тэгш бус байдлын шийдлийн багц x 2 -2, тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй-3а i 0 нь сегментийг агуулна.

4. Шийдэл.
Параболын оройн эхний координат е(x) = x 2 -2, тэгшитгэл нь хоёр өөр үндэстэй-3атэнцүү байна x 0 = а. Квадрат функцийн шинж чанараас нөхцөл е(x) сегмент дээрх i 0 нь гурван системийн олонлогтой тэнцүү байна
яг хоёр шийдэл байна уу?

5. Шийдэл.
Энэ тэгшитгэлийг хэлбэрээр дахин бичье x 2 + (2а-2)x - 3а+7 = 0. Энэ нь квадрат тэгшитгэл бөгөөд хэрэв дискриминант нь тэгээс их байвал яг хоёр шийдэлтэй болно. Дискриминантыг тооцоолохдоо яг хоёр үндэс байх нөхцөл нь тэгш бус байдлын биелэлт гэдгийг бид олж мэднэ. а 2 +а-6 > 0. Тэгш бус байдлыг шийдэж, бид олно а < -3 или а> 2. Тэгш бус байдлын эхнийх нь натурал тоонуудын шийдэлгүй нь ойлгомжтой бөгөөд хоёр дахь нь хамгийн бага натурал шийд нь 3-ын тоо юм.

5. Хариулт: 3.

6. Асуудал (10 товчлуур)
Бүх утгыг ол а, үүнд функцийн график эсвэл тодорхой хувиргасны дараа, а-2 = | 2-а| . Сүүлийн тэгшитгэл нь тэгш бус байдалтай тэнцүү байна аби 2.

6. Хариулт: аТУХАЙ)