Экспоненциал өсөлт. Бизнес дэх эрх мэдлийн хууль

Альберт Эйнштейнээс дэлхийн хамгийн хүчирхэг хүчийг нэрлэхийг асуухад тэрээр эргэлзэлгүйгээр "Нэгдэл хүү" гэж хариулсан.

Урт хугацааны өсөлтийн мөн чанар, үр дагаврыг жинхэнэ утгаар нь ойлгоход суут ухаан хэрэгтэй. Туршилтаар математикийн мэдлэгтэй боловсролтой хүмүүс ч өсөлтийн үр нөлөөг дутуу үнэлдэг болохыг харуулсан. Жишээлбэл, нэг судалгаанд* субъектуудаас 1976 онд ажиллаж эхэлсэн, жилд 1000 трактор үйлдвэрлэх хүчин чадалтай тракторын үйлдвэрийн шаардагдах бүтээмжийг тооцоолохыг хүссэн бөгөөд үүний дараа эрэлт жил бүр 6 хувиар өссөн байна. 1990, 2020, 2050, 2080 онд үйлдвэр хэдэн трактор үйлдвэрлэх шаардлагатай гэж тэднээс асуув. Ердийн хариултууд нь аажмаар шугаман өсөлтөд суурилдаг байсан тул 1990 оноос өмнөх эрэлтийн тооцоолол зөв хариулттай ойролцоо байсан. Гэвч дараагийн зөв хариултуудын тоо "экспоненциал" өссөн бол хариулагчдын оноо тогтвортой өсөлтөд тулгуурласан хэвээр байна. Судалгаанд оролцогчдын ихэнх нь 2080 онд 30,000 тракторын эрэлт хэрэгцээтэй байна гэж хариулсан бол зөв хариулт нь 350,000 орчим буюу 10 дахин их байна!

Одоо оньсого тааварлаарай. 13 мянган хавтгай дөрвөлжин метр талбай бүхий цөөрөмд. фут, нэг усны сараана навч хөвж, 1 квадрат талбайг эзэлдэг. хөл. Долоо хоногийн дараа аль хэдийн хоёр навч байна. Хоёр долоо хоногт дөрөв. Усны сараана цөөрмийг бүхэлд нь бүрхэхэд хэр хугацаа шаардагдахыг тооцоол.

16 долоо хоногийн дараа тэд цөөрмийн хагасыг хамрах болно. Одоо надад хэлээч, цөөрөм бүхэлдээ усны сараана цэцэгт бүрхэх хүртэл хэр хугацаа шаардагдах вэ? Усны сараана цөөрмийн талыг бүрхэхэд 16 долоо хоног зарцуулсан. Гэхдээ навчны талбай долоо хоног бүр хоёр дахин нэмэгддэг тул хоёрдугаар хагасыг хамрахын тулд долоо хоног хангалттай байх болно. Эцсийн хариулт нь 17 долоо хоног байна.

* см.: ^ Дитрих Дорнер.Бүтэлгүйтлийн логик: яагаад бүх зүйл буруу болж, тэдгээрийг сайжруулахын тулд бид юу хийж чадах вэ? (Дитрих Дорнер.Бүтэлгүйтлийн логик: Бүх зүйл яагаад бурууддаг вэ, тэдгээрийг засахын тулд бид юу хийж чадах вэ? 1996, Метрополитан ном, Нью Йорк). Эх хувийг 1989 онд Германд Роволт Верлаг "Die Logik des Misslingcns" нэртэйгээр хэвлүүлсэн.

Шатар зохион бүтээгчийг шагнаж урамшуулахыг хүссэн Энэтхэгийн хааны тухай үлгэрийг та санаж байна уу? Зохион бүтээгч хэдхэн ширхэг будаа авахыг хүсэв: нэг нүдэн дээр нэг, хоёр дахь нь хоёр, гурав дахь нь дөрөв, бусад бүх эсүүд дээр тавь. Хаан мэргэнийг даруухан гэж бодсон - сүүлчийн үүрэнд 9,223,372,036,000,000,000 үр тариа буюу 153 тэрбум тонн буюу хоёр сая хагас гаруй асар том (тус бүр нь 60,000 тонн) хуурай ачааны хөлөг онгоц байрлуулах шаардлагатай болох нь тодорхой болтол, хажуу талаас нь будаагаар дүүргэсэн. Энэ бүхэн нь "экспоненциал" өсөлттэй холбоотой бөгөөд энэ тохиолдолд эс бүрт цагаан будааны үр тариа хоёр дахин нэмэгддэг.

^ Экспоненциал өсөлтийн мөн чанар юу вэ?

Хэмжигдэхүүн нь өөрөө хэдэн удаа үржих ёстойг харуулсан тоо юм. Жишээлбэл, илтгэгч нь 3, хэмжээ нь 4 бол 4 3 илэрхийлэл нь 4 х 4х4 гэсэн утгатай бөгөөд энэ нь 64. Математик илэрхийлэл. цагт 2 гэсэн үг цагт X цагт, А 2 тоо нь илтгэгч юм.

Экспоненциал өсөлт нь шугаман өсөлтөөс юугаараа ялгаатай вэ? Шугаман өсөлттэй үед үнэ цэнэ нь үе шат бүрээр нэмэгддэг ижил зүйл зүгээрмөн дээр биш олонтоо. Миний анхны хөрөнгө 1000 доллар болоод жил бүр 100 доллараар нэмэгддэг бол 10 жилийн дараа би үүнийг хоёр дахин нэмэгдүүлж, 2000 доллартай болно. Энэ нь жил бүр ижил хэмжээгээр шугаман өсөлт юм. Харин миний 1000 долларын анхны хөрөнгө жил бүр 10 хувиар өсвөл арван жилийн дараа би 2594 доллартай болно. Энэ нь жилийн тогтмол өсөлт нь 1.1-ийн үржвэртэй экспоненциал өсөлтийн жишээ юм. Хэрэв би дахиад 10 жил бизнесээ үргэлжлүүлбэл шугаман өсөлт нь надад нийт 3000 доллар өгөх бол экспоненциал өсөлт нь надад нийт 6727 доллар өгнө.

Урт хугацааны туршид 10 ба түүнээс дээш хувийн өсөлттэй байгаа аливаа зах зээл эсвэл бизнес нь бидний төсөөлж байгаагаас хамаагүй илүү үнэ цэнийг бий болгох болно. IBM эсвэл McDonald's гэх мэт зарим компаниуд 1950 оноос

1985 он буюу 1990-ээд онд Майкрософт - жилд 15 хувиас дээш өсөлтийн хурдыг гаргаж, өөрийн хөрөнгийг хэд дахин нэмэгдүүлсэн. Хэрэв та 100 доллараар эхэлж, 15 жилийн хугацаанд өөрийн хөрөнгөө жил бүр 15 хувиар өсгөх юм бол 3,292 ам. доллартай болох бөгөөд энэ нь эхлүүлснээсээ бараг 33 дахин их юм. Өсөлтийн хувь бага зэрэг нэмэгдэх нь үр дүнд ихээхэн өөрчлөлт авчирдаг.

Жишээлбэл, Америкийн хөрөнгийн биржийн брокер Уильям О'Нил 1961-1986 онд ангийнхандаа зориулж сан байгуулж, түүнийгээ удирдаж байсан. Энэ хугацаанд эхний 850 доллар бүх татвараа төлж байж 51,653 доллар болж 25 жил гаруйн хугацаанд дунджаар 17, 85 доллар болсон 25 жилийн хугацаанд 15 хувийн өсөлт нь хөрөнгийн хэмжээг 33 дахин өсгөж байгаа бол жилийн өсөлтийн хурдыг 3-аас доош хувиар нэмбэл 61 дахин нэмэгддэг болохыг бид харж байна. 61 удаа үр дүнд хүрсэн.

Экспоненциал өсөлт нь аливаа зүйлийг зөвхөн тоо хэмжээгээр төдийгүй чанарын хувьд өөрчилдөг. Жишээлбэл, энэ салбарын хурдацтай өсөлтөөр - Питер Дракер 10 жилийн дараа энэ үзүүлэлтийг 40 хувь гэж хэлсэн - түүний бүтэц нь маш их өөрчлөгдөж, зах зээлийн шинэ удирдагчид гарч ирдэг. Зах зээлийн хурдацтай өсөлт нь инноваци, загвар дутагдал, шинэ бүтээгдэхүүн, технологи эсвэл хэрэглэгчдэд хүргэдэг. Шинийг санаачлагчид, тодорхойлолтоор бол бусдаас өөрөөр хийдэг. Шинэ арга замууд нь одоо байгаа пүүсүүдийн зуршил, санаа, журам, бүтэцтэй зэрэгцэн оршдоггүй. Уламжлалт удирдагчид сөрөг довтолгоонд оролцох шийдвэр гаргах хүртэл шинийг санаачлагчдад хэдэн жилийн турш завсарлага авах боломжтой байдаг, гэхдээ дараа нь хэтэрхий оройтсон байж магадгүй юм.

^ Фибоначчийн туулай

Би та бүхэнд экспоненциал өсөлтийн сэдвээр сонирхолтой оньсого санал болгохыг хүсч байна. 1220 онд 600 жилийн дараа "Фибоначчи" хоч авсан Пизагийн Леонардо дараахь зүйлийг гаргаж ирэв.

* ^ Уильям Ж.О'Нил. Бирж дээр хэрхэн мөнгө хийх вэ ( Уильям Ж. "Нил.Хувьцаагаар хэрхэн мөнгө хийх вэ. 1991 он, МакГроу-Хилл, Нью Йорк. P. 132).

бодит хувилбар. Хоёр туулайгаар эхэлцгээе. Дараа нь хос бүр жилийн дараа өөр нэг хос, жилийн дараа өөр нэг хос төрдөг гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүний дараа туулай үржихэд хэтэрхий хөгширдөг. Хосуудын тоо хэрхэн нэмэгдэх вэ, энэ загварт гайхалтай зүйл бий юу?

Хэрэв та хүсвэл жилийн хосын тоог өөрөө дараалуулж болно, гэхдээ хариултыг шууд харж болно:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144...

Ямар нэг ер бусын зүйл анзаарагдсан уу?

Хатуухан хэлэхэд энд хоёр сонирхолтой зүйл байна. Нэг нь гурав дахь цифрээс эхлэн дараагийн цифр бүр өмнөх хоёрын нийлбэр юм. Хоёр дахь нь жил бүрийн тоог (гурав дахь дараа) өмнөх оныхтой харьцуулсан харьцаа нь бараг тогтмол коэффициент бөгөөд удалгүй 1.618-д ойртдог. Өөрөөр хэлбэл, 60 гаруйхан хувийн өсөлтийн хурд тогтмол байна.

Цаг хугацаа өнгөрөхөд нууцлаг байдал ^ Туулай Фибоначчи Математикийн иж бүрэн тайлбарыг авсан боловч аз болоход энд тийм газар алга*. Гэсэн хэдий ч эдгээр туулайнууд нь экспоненциал өсөлтийн гайхалтай жишээ бөгөөд ийм хязгаарлагдмал өсөлт ч удаан үргэлжлэх боломжгүй юм. 144 жилийн дараа Фибоначчийн туулайн хэмжээ орчлон ертөнцийн эзэлхүүнээс давж, бүх хүмүүс сэвсгэр массын дор амьсгал хурааж үхэх болно. Энэ бол үнэхээр хол зүйл юм!

^ Big Bang

Экспоненциал өсөлтийн өөр нэг эрс тэс хэлбэр нь орчлон ертөнцийн үүслийн үндэс байж болно. Өнөө үед бараг бүх одон орон судлаачид, физикчид санал нэг байна Их тэсрэлтийн онол,үүний дагуу орчлон ертөнц эхэлсэн

* Математик сонирхогчид Питер М.Хиггинсийн “Сониуч хүмүүст зориулсан математик” номыг сонирхоорой. (Питер М. Хиггинс.Сониуч хүмүүст зориулсан математик. 1998, Оксфордын их сургуулийн хэвлэл, Оксфорд).

санаанд багтамгүй жижиг хэмжээтэй байсан бөгөөд дараа нь секундын дотор хэмжээ нь 100 дахин томорч, жижигхэн бэрсүүт жүрж шиг харагджээ. Энэ "товойх" буюу экспоненциал өсөлтийн үе нь дараа нь дуусч, шугаман өсөлтөд орсноор өнөө үед өргөжиж буй галт бөмбөлөг орчлон ертөнцийг бий болгосон.

Экспоненциал өсөлт нь аливаа төрлийн бүтээлч байдлын салшгүй хэсэг юм. Сонирхолтой сургамж бол экспоненциал өсөлтийн үед та том зүйлээс эхлэх шаардлагагүй юм. Үнэндээ та хамгийн жижиг зүйлээс эхэлж болно. Хэрэв орчлон ертөнц бидний төсөөлж ч чадахгүй тийм жижиг зүйлээс эхэлж, одоогийн төсөөлшгүй хязгааргүй хэмжээ хүртэл өргөжин тэлэх боломжтой бол шинэ бизнесийн анхны хэмжээний хүчин зүйлийг огт хамааралгүй гэж үзэх хэрэгтэй. Гол үзүүлэлт нь экспоненциал өсөлтийн үе, дараа нь шугаман өсөлтийн урт хугацаа юм.

^ Өсөлтийн тухай ойлголтоос гаргасан дүгнэлт

Бүтээлч байдал, өсөлт хөгжилтийн хамгийн сайн боломжууд нь тэнцвэр алдагдах үед буюу өөрөөр хэлбэл, эргэлтийн цэгт хүрч, тэр даруйд нь тохиолддог.

Тэнцвэргүй байдал, уналтын цэгүүд гэнэт үүсдэггүй. Одоо байгаа систем тогтворгүй байдлын шинж тэмдэг илэрч, шинэ нь чимээгүйхэн хүч чадлыг олж авдаг урьдчилсан халаалт үргэлж байдаг, заримдаа нэлээд урт байдаг. Шинэ технологи, бүтээгдэхүүний төрөлтэй холбоотой бүх зүйлд инноваци нь олон нийтийн зах зээл дээр "бүртгэл" авсны дараа л оргил цэгт хүрдэг. Энэ нь түүний борлуулалт нь ашгийн уламжлалт шалгуурт суурилсан байх ёстой бөгөөд өөрчлөлтийн хувьсгалт шинж чанарыг (хэрэв байгаа бол) өнгөлөн далдлах ёстой гэсэн үг юм.

Хурдан өөрчлөлт, өндөр экспоненциал өсөлтийн үе нь ихэвчлэн удаан үргэлжилдэггүй. Шинэ давамгайлсан технологи ба/эсвэл өрсөлдөөний шинэ нөхцөл байдал бүхий шинэ тэнцвэрийг бий болгоход удаан хугацаа шаардагдахгүй. Тиймээс тэнцвэргүй байдлын үетэй холбоотой сэтгэл татам мэдрэмж, ер бусын тодорхой бус байдал үүсдэг. Иймээс энэ богино хугацаанд ноёрхсон албан тушаалыг булаан авч чадсан хүмүүс онцгой үр өгөөжийг олж авдаг. Энэхүү давамгайлал нь технологийн давуу байдлаас илүү ухаалаг маркетинг, байршлын үр дүн юм.

Ихэнх шинийг санаачлагчид бүтэлгүйтдэг. Амжилтанд хүрэхийн тулд тэд "ангалмайг гаталж" буюу эргэлтийн цэгийг давж, олон нийтийн зах зээлд нэвтрэх ёстой. Энд гол хүчин зүйл бол хурдатгал юм. Шинэ бүтээгдэхүүн, технологи хурдацтай үржиж эхлэх хүртэл оршин тогтнох боломж бараг байдаггүй.

^ Сэйгийн Эдийн засгийн арбитрын тухай хууль

1803 онд Францын эдийн засагч Жан-Батист Сэй (1767-1832) "Улс төрийн эдийн засгийн трактат" хэмээх гайхалтай бүтээлээ хэвлүүлжээ. Томас Жефферсон түүний тухай ингэж хэлэв:

"Гайхалтай бүтээл... гайхалтай зохион байгуулалттай, санаа нь тодорхой, хэв маяг нь тодорхой, бүх бүтээл нь [Адам] Смитийн номноос хоёр дахин нарийн юм."*

Уг зохиолд "бизнес эрхлэгч" гэсэн нэр томьёо, эдийн засгийн арбитражийн анхны онол зэрэг олон гайхалтай шинэлэг санааг нэг өгүүлбэрт багтаасан байв.

Бизнес эрхлэгч эдийн засгийн нөөцөө бүтээмж багатай газраас өндөр бүтээмжтэй бүс рүү шилжүүлж, түүнээсээ ашиг хүртдэг.

Хөрөнгийн өгөөжийн тухай ойлголтыг дэлгэрүүлэхээс нэлээд өмнө Сэй үүнийг эдийн засгийн бүтээлч байдал, дэвшлийн хамгийн чухал хөдөлгүүрүүдийн нэг гэж тодорхойлсон. Нөөц нь тодорхойлогдсоноор хязгаарлагдмал байдаг тул өсөлт нь байгалийн баялгийг бүрэн дүүрэн ашиглах чадвараас илүүтэй хайгуул, ашиглалтаас бага хамаардаг.

* Томас Жефферсон 1816 оны дөрөвдүгээр сарын 6-нд Жозеф Миллиганд бичсэн захидалдаа. Энэ бол гайхалтай нийтлэл бөгөөд би үүнийг тайландаа ашигласан.

нөөцийн нэгж бүрийг үр ашигтай ашиглах. Энэ нь зарим талаараа илүү дэвшилтэт технологи, арга техникээс шалтгаалж байгаа боловч бизнес эрхлэгчийн эдгээр нөөцийг хамгийн бүтээмжтэй газар хүргэх чадварыг үгүйсгэх аргагүй юм.

^ Фрейдийн бодит байдлын зарчим

1900 онд Зигмунд Фрейд (1856-1939) "Мөрөөдлийн тайлбар" номоо хэвлүүлж, психоанализийн шинэ шинжлэх ухааныг үүсгэн байгуулжээ. Түүний гол ойлголтуудын нэг нь энэ байв Бодит байдлын зарчим Бусад хүмүүсийг хувиа хичээсэн зорилгоор ашиглахаас биднийг саатуулж байгаа цорын ганц зүйл бол тэд бидэнд адилхан зүйл хийхийг эрэлхийлдэг явдал юм. Бодит байдалтай (бодит байдал) тулгарах үед бид өөрсдийн зөн совингоо хангах чадвартай байхын тулд бусад хүмүүсийн хэрэгцээ, гадаад ертөнцийн шаардлагад дасан зохицохоос өөр аргагүй болдог.

Фрейдийн үзэл баримтлал нь мэдээжийн хэрэг асар их үнэ цэнтэй боловч түүний орчин үеийн, жүжгийн зохиолч Жорж Бернард Шоу ижил санааны талаар нэлээд гэнэтийн эргэлт өгсөн:

"Ухаалаг хүн өөрийгөө ертөнцөд дасан зохицдог [Фрейдийн бодит байдлын зарчмын дагуу]: үндэслэлгүй хүн ертөнцийг өөртөө тохируулахыг тууштай оролддог. Тиймээс аливаа ахиц дэвшил ухаангүй хүнээс шалтгаална."

Бүтээлч байдал, бизнес эрхлэлтийг шинэ санаа, шинэ арга барил, ухаалаг бус хандлагаар дэмжих хэрэгтэй. Хенри Форд машиныг ажилчин хүнд хүртээмжтэй байлгахыг шаардахдаа үндэслэлтэй байсан уу? Машины эрэлт хэрэгцээ зөвхөн баячуудын дунд байсан тул эрэлт хэрэгцээг дагасангүй. Форд түүний эргэн тойрон дахь ертөнцийг хүлээн зөвшөөрөхөөс татгалзсан; тэр ертөнцийг өөрийн төсөөлөлд тохируулахыг хичээсээр байв. Форд угсрах шугам, дээд зэргийн стандартчиллыг ашиглан 1908 онд 850 доллар байсан T загварын үнийг 1922 онд 300 доллар болгон бууруулж, "автомашилыг ардчилах" зорилгоо биелүүлж чадсан.

^ Амжилттай бизнес эрхлэгч

Эхлэл ном ба Их тэсрэлтийн онол нь нэг зүйл дээр санал нийлдэг: дэлхий ертөнцийг анхлан бүтээсэн цорын ганц зүйл байсан. Тиймээс ахиц дэвшил бол нэр томьёоны дахин зохицуулалт төдий зүйл юм. Нарны доор шинэ зүйл байхгүй.

Энэ үзэл бодол нь ямар ч гунигтай биш бөгөөд энэ нь урам зориг өгдөг. Хүний сайн сайхан байдалд шаардлагатай бүх зүйл бол тодорхой нөөцийг авч, бүтээмж багатай газраас өндөр бүтээмжтэй газар руу шилжүүлэх явдал юм.

Эдийн засгийн бүхий л дэвшил нь энэ төрлийн эдийн засгийн арбитраж дээр суурилдаг. Энэ бол сайн мэдээ. Арбитраж хийх нь бүтээлч байдлаас илүү хялбар байдаг. Хүн бүр эдийн засгийн арбитражаар үр өгөөжөө өгөх, илүү үр ашигтай ашиглах нөөцийг тодорхойлохоос эхлээд ямар нэг зүйлийг гаргаж ирэх ёстой.

Жинхэнэ бизнес эрхлэгчид зах зээлийн судлаачид юу хийхийг нь хэлэхийг хүлээдэггүй. Тэд ямар нэг зүйлийг хэрхэн илүү сайн, өөрөөр хийх талаар өөрсдийн гэсэн үзэл бодолтой байдаг. Тэд бага хүчин чармайлтаар илүү их амжилтанд хүрэх арга замыг боловсруулдаг. Тэд нөөцийн ашиг багатай хэрэглээг илүү ашигтайгаар сольж, дэлхий ертөнц тэдний үзэл бодлыг хүлээн зөвшөөрөх хүртэл тууштай, үндэслэлгүй байсаар байна.

^ Буурах өгөөжийн хууль

Зах зээл, аж ахуйн нэгж хэрхэн ажилладаг тухай хамгийн нөлөө бүхий, түгээмэл ойлголтуудын нэг юм Буурах өгөөжийн хууль,Үүнийг 1767 онд Францын эдийн засагч Роберт Жак Тюрго боловсруулсан.

Тодорхой цэгийн дараа нэмэлт хүчин чармайлт эсвэл хөрөнгө оруулалтын өгөөж буурдаг, өөрөөр хэлбэл үнийн өсөлт буурдаг гэж хуульд заасан байдаг. Өлссөн хүнд нэг талх их үнэ цэнэтэй. Хоёр дахь талхны үнэ цэнэ бага байна. Арав дахь нь бараг ямар ч үнэ цэнэгүй болно. Хэрэв та нэг хэсэг газар тариалахын тулд хэд хэдэн тариачин хөлсөлж авбал тодорхой хугацааны дараа өгөөж буурах хууль хэрэгжих болно.

Зуун жилийн дараа Альфред Маршалл тэргүүтэй Британийн сонгодог эдийн засагчид энэ санааг зах зээл, пүүсүүдэд өргөн нэвтрүүлэв. Зах зээлд тэргүүлэгч бүтээгдэхүүн эсвэл компаниуд өгөөж буурахад баригдана. Бизнес дэх том хэмжээний үнэ - зах зээлийн том хувь хэмжээ, том үйлдвэр, олон төрлийн - оргилдоо хүрч, дараа нь буурдаг. За, энэ нь нэлээд үндэслэлтэй сонсогдож байна.

Харин сонгодог эдийн засагчид цаашаа явсан. Эрт орой хэзээ нэгэн цагт үнэ, зах зээлийн хувь хэмжээг урьдчилан таамаглахуйц тэнцвэрт байдалд хүрч, өгөөж буурах хуулийн дагуу шударга өрсөлдөөн нь эцсийн дүндээ илүүдэл ашиг олох боломжгүй байдалд хүргэнэ гэж тэд мэдэгдэв. Энэхүү онол нь зах зээлийн төрийн зохицуулалтыг зөвтгөсөн - хэрвээ ашиг нь маш өндөр байвал энэ нь зөвхөн нэг л зүйлийг илэрхийлдэг: монополистууд үнийг зохиомлоор өсгөж, шударга өрсөлдөөнөөс сэргийлж байна.

"Экспоненциал өсөлт" гэсэн хэллэг нь хурдан, ихэвчлэн хяналтгүй өсөлт гэсэн утгатай үгийн санд нэвтэрсэн. Жишээлбэл, хотуудын хурдацтай өсөлт эсвэл хүн амын өсөлтийг тодорхойлоход ихэвчлэн ашигладаг. Гэсэн хэдий ч математикийн хувьд энэ нэр томъёо нь тодорхой утгатай бөгөөд тодорхой төрлийн өсөлтийг илэрхийлдэг.

Экспоненциал өсөлт нь хүн амын өсөлт (төрөлтөөс нас баралтын тоог хассан) хүн амын тоотой пропорциональ байгаа популяцид тохиолддог. Жишээлбэл, хүн амын хувьд төрөлт нь нөхөн үржихүйн хосуудын тоотой ойролцоогоор пропорциональ, нас баралт нь хүн амын тоотой ойролцоогоор пропорциональ байна (бид үүнийг нэрлэдэг) Н). Дараа нь боломжийн ойролцоолсноор,

хүн амын өсөлт = төрөлт - нас баралтын тоо

(Энд r- гэж нэрлэгддэг пропорциональ хүчин зүйл, энэ нь пропорциональ байдлын илэрхийллийг тэгшитгэл болгон бичих боломжийг олгодог.)

d Н— тухайн хугацаанд популяцид нэмэгдсэн бодгалийн тоо d т, дараа нь нийт хүн амын тоонд байвал Нхувь хүмүүс, дараа нь экспоненциал өсөлтийн нөхцөл хангагдсан бол

г N = rNг т

Исаак Ньютон 17-р зуунд дифференциал тооцооллыг зохион бүтээсэн тул бид энэ тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэхийг мэддэг. Н- аль ч үеийн хүн амын тоо. (Лавлахын тулд: энэ тэгшитгэлийг нэрлэдэг дифференциал.) Түүний шийдэл энд байна:

N=N0 д rt

Хаана Н 0 нь тооллогын эхэнд байгаа хүн амын тоо, ба т- энэ мөчөөс хойш өнгөрсөн цаг хугацаа. Е тэмдэг нь ийм тусгай тоог илэрхийлдэг бөгөөд үүнийг нэрлэдэг натурал логарифмын суурь(мөн ойролцоогоор 2.7-тэй тэнцүү), тэгшитгэлийн баруун талыг бүхэлд нь дуудна экспоненциал функц.

Экспоненциал өсөлт гэж юу болохыг илүү сайн ойлгохын тулд нэг нянгаас бүрдсэн популяцийг төсөөлөөд үз дээ. Тодорхой хугацааны дараа (хэдэн цаг эсвэл минутын дараа) нян хоёр хуваагдаж, улмаар популяцийн хэмжээ хоёр дахин нэмэгддэг. Дараагийн хугацааны дараа эдгээр хоёр бактери бүр дахин хоёр хуваагдаж, популяцийн хэмжээ дахин хоёр дахин нэмэгдэх болно - одоо дөрвөн бактери байх болно. Арав дахин ихэссэний дараа мянга гаруй бактери, хорин дараа нэг сая гаруй бактери байх болно. Хүн амын тоо хуваагдал бүрээр хоёр дахин нэмэгдвэл өсөлт нь хязгааргүй үргэлжилнэ.

Шатар зохион бүтээсэн хүн Султандаа ийм таашаал өгсөн тул түүний хүсэлтийг биелүүлэхээ амласан гэсэн домог байдаг (их магадлалтай нь худлаа). Тэр хүн Султанаас шатрын тавцангийн эхний дөрвөлжин дээр нэг үр тариа, хоёр дахь дээр хоёр, гурав дахь дээр дөрөв гэх мэт үр тариа тавихыг хүсэв. Султан энэ хүсэлтийг үзүүлсэн үйлчилгээтэй харьцуулахад өчүүхэн гэж үзээд өөр хүсэлт гаргахыг хүссэн боловч тэрээр татгалзсан юм. Мэдээжийн хэрэг, 64 дэх удаагаа үр тарианы тоо хоёр дахин нэмэгдэхэд дэлхий даяар энэ хүсэлтийг хангахуйц улаан буудай хүрэлцэхгүй байх болно. Надад мэдэгдэж байгаа домог хувилбарт Султан тэр үед зохион бүтээгчийн толгойг таслахыг тушаажээ. Би оюутнууддаа хэлдэг ёс суртахууны хувьд: заримдаа та хэтэрхий ухаалаг байж болохгүй!

Шатрын тавцангийн жишээ (түүнчлэн зохиомол бактери) бидэнд ямар ч хүн ам үүрд өсөх боломжгүй гэдгийг харуулж байна. Эрт орой хэзээ нэгэн цагт энэ нь орон зай, эрчим хүч, ус гэх мэт нөөцгүй болно. Тиймээс популяци хэсэг хугацаанд л экспоненциал өсөх боломжтой бөгөөд эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэдний өсөлт удаашрах ёстой. Үүнийг хийхийн тулд та тэгшитгэлийг өөрчлөх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр хүн амын тоо хамгийн дээд хэмжээнд хүрэхэд (гадаад орчны дэмжлэг үзүүлэх боломжтой) өсөлтийн хурд удааширдаг. Үүнийг популяцийн дээд хэмжээ гэж нэрлэе К. Дараа нь өөрчлөгдсөн тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.

г Н = rN(1 — (Н/К)) г т

Хэзээ Нхамаагүй бага К, гишүүн Н/Күл тоомсорлож болох бөгөөд бид ердийн экспоненциал өсөлтийн анхны тэгшитгэл рүү буцна. Гэсэн хэдий ч хэзээ Нхамгийн их утгад ойртдог К, утга 1 - ( Н/К) тэглэх хандлагатай байгаа бөгөөд үүний дагуу хүн амын өсөлт тэглэх хандлагатай байна. Энэ тохиолдолд нийт хүн амын тоо тогтворжиж, түвшинд хэвээр байна К. Энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруй, мөн тэгшитгэл нь өөрөө хэд хэдэн нэртэй байдаг - S-муруй, логистикийн тэгшитгэл, Вольтеррагийн тэгшитгэл, Лотка-Вольтерра тэгшитгэл. (Вито Волт д RRA, 1860-1940 - Италийн нэрт математикч, багш; Альфред Лотка, 1880-1949 - Америкийн математикч, даатгалын шинжээч.) Үүнийг юу гэж нэрлэх нь хамаагүй, хүн амын тоо огцом өсөж, улмаар тодорхой хязгаарт ойртох тусам удааширч байгаагийн нэлээд энгийн илэрхийлэл юм. Энэ нь бодит популяцийн өсөлтийг ердийн экспоненциал функцээс хамаагүй дээр харуулж байна.

БАЙГАЛИЙН ҮЙЛЧИЛГЭЭНИЙ ЭКСПОНЕНЦИАЛ ХАМААРАЛ

Стойков Дмитрий

10 МБОУ-ын “А” ангийн 1-р дунд сургууль. 177, г. Казань

Хабибуллина Альфия Якубовна

эрдэм шинжилгээний удирдагч, дээд зэрэглэлийн математикийн багш, МБОУ-ын 177-р дунд сургууль, Казань

Танилцуулга

Байгальд болон хүний ​​амьдралд зарим хэмжигдэхүүн нь тодорхой хугацааны давтамжтайгаар өгөгдсөн хэмжигдэхүүний харьцаа нь цаг хугацаанаас үл хамаарах байдлаар өөрчлөгддөг олон тооны процессууд байдаг. Эдгээрийн дотор бодисын цацраг идэвхт задрал, банкны дансны хэмжээ нэмэгдэх гэх мэт. Эдгээр бүх үйл явцыг экспоненциал функцээр тодорхойлдог. Эдгээр үйл явц яагаад цаг хугацаанаас хамаардаггүй вэ гэсэн асуултыг би сонирхож байсан. Эцсийн эцэст логикийн хувьд аливаа өөрчлөгдөж буй үйл явц нь бие даасан хэмжигдэхүүн - цаг хугацаатай хамааралтай байх ёстой. Бодит байдал дээр энэ дүрэм үргэлж ажилладаггүй.

Судалгааны ажлын зорилго : Аррениусын тэгшитгэлээр тодорхойлсон экспоненциал хамаарлын дагуу тодорхой химийн процесс явагдахыг туршилтаар баталгаажуулна.

Даалгаврууд :

·Экспоненциал функцийг судлах;

·Экспоненциал хамаарлыг экспоненциал функцийн онцгой тохиолдол болгон судлах;

·Экспоненциал хамаарлыг дүрсэлсэн Аррениусын тэгшитгэлийг судлах;

·Экспоненциал хамаарлын дагуу явагдах химийн процессуудын жишээг судлах;

· Аррениусын тэгшитгэлээр тодорхойлсон экспоненциал хамаарлын дагуу хэд хэдэн туршилт хийж, тодорхой химийн процесс явагдахыг практикт баталгаажуулна.

Судалгааны таамаглал : Аррениусын тэгшитгэлийг ашиглан зарим химийн процессуудыг дүрсэлж болно.

Судалгааны объект : хэрэглээний математикийн элемент болох экспоненциал функц.

Судалгааны аргууд :

1. Судалгааны сэдвээр уран зохиол, цахим эх сурвалжийг судлах.

2. Экспоненциал хамаарлын хэрэглээний шинжилгээ

3. Аррениусын тэгшитгэлийг батлах химийн туршилтууд.

Экспоненциал функц

Болъё X R, a ≠ 0, (r n ) нь нийлдэг рационал тоонуудын дараалал юм. x. a тоог тодорхойлъё xхязгаар болгон. a > 0 ба a ≠ 1 суурьтай экспоненциал функц нь y=a хэлбэрийн функц юм. x, XР

Энэ хязгаар нь тоо руу хөтлөх r n дарааллын сонголтоос хамаарахгүй x. Экспоненциал функцийн тодорхойлолтын муж нь бүхэл тооны шугам юм. Энэ функц тасралтгүй бөгөөд > 1-ийн хувьд монотон нэмэгдэнэ ба 0-д монотон буурна< a < 1 . Функция никогда не обращается в ноль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.

Экспоненциал функцийн график y=0.5 x

Экспоненциал хамаарал

Хэрэглээний хувьд онцгой ач холбогдолтой нь экспоненциал функц бөгөөд түүний суурь нь e тоогоор тодорхойлогддог

Тоон утгаараа тэнцүү байна д= 2.71828182845904523536 ба Эйлерийн тогтмол гэж нэрлэдэг.

Ингэж тодорхойлсон функцийг экспоненциал эсвэл зүгээр л экспоненциал гэж нэрлээд тэмдэглэнэ цагт= e x ≡ exp x.

y = e x экспоненциал функцийн графикийг авч үзье. 2 оноос хойш< д < 3, то функция цагт= e x Тодорхойлолтын бүх талбарт нэг хэвийн өсөлт. (0;1) цэг дээр шүргэгч нь абсцисса тэнхлэгт 45 o (π/4) өнцгөөр налуу байна. Энэ функцийн тэг дэх дериватив нь 1-тэй тэнцүү байна. Энэ нь үүсмэл болон эсрэг дериватив нь өөртэйгээ давхцдаг цорын ганц функц юм.

Аррениус тэгшитгэл

Шведийн физикч, химич Сванте Аррениус электролитийн диссоциацийн онолоороо 1903 онд химийн салбарт Нобелийн шагнал хүртжээ. Аррениус докторын диссертацидаа (Уппсалагийн их сургууль) натрийн хлорид гэх мэт "молекулууд" уусмалд аяндаа задарч, электролизийн урвалд орох бодис болох ионуудыг үүсгэдэг гэж санал болгосон. Гэсэн хэдий ч Аррениус нь урвалын хурдны тогтмол температурын хамаарлыг тодорхойлдог тэгшитгэлээрээ алдартай.

Аррениус анх 1889 онд урвалын хурд ба температурын яг тодорхой хамаарлыг тогтоосон. Аррениус тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг энэхүү хамаарал нь дараах хэлбэртэй байна.

,

Хаана: руу- урвалын хурд тогтмол;

А- тодорхой урвал бүрийг тодорхойлдог тогтмол (Arrhenius тогтмол);

д- экспонент;

Эа- өөр нэг тогтмол, урвал бүрийн шинж чанар, идэвхжүүлэх энерги гэж нэрлэгддэг;

Р- хийн тогтмол;

Т- Кельвин градусаар үнэмлэхүй температур.

Энэ тэгшитгэл нь температурыг урвалын хурдтай биш харин хурдны тогтмолтой холбодог гэдгийг анхаарна уу.

Урвалын хурд ба температурын хамаарлыг 1880-1884 онд хийсэн анхны кинетик судалгааны үр дүнгээс гаргаж авсан. мөн нэрийг нь авсан Вант Хоффын дүрэм: 10oС-аар халаахад олон урвалын хурд 2-4 дахин нэмэгддэг. Энэ дүрэм нь уусмал дахь харьцангуй удаан урвалд хамаарах тул бүх нийтийнх биш юм. Зарим асуудлыг шийдэхдээ та Вант Хоффын томъёог ашиглаж болно.

Хаана: γ — ван’т Хоффын коэффициент (= 2–4),

Т- температурыг Цельсийн эсвэл Келвиний хэмжүүрээр хэмждэг (ялгааг ашигласан тул хуваарь нь хамаагүй).

Аррениусын тэгшитгэл bурвалын хурдны тогтмол температураас хамаарах хамаарлыг илүү нарийвчлалтай, илүү түгээмэл илэрхийлдэг. Хүчин зүйл АЭнэ тэгшитгэлд бөөмийн мөргөлдөх давтамж ба мөргөлдөх үеийн чиг баримжаатай холбоотой.

Аррениусын тэгшитгэлийн дагуу явагддаг байгалийн үйл явцын жишээ

Жишээ 1. Хүчирхийллийн дохионы хурд (давтамж) нь Аррениусын тэгшитгэлийг чанд мөрдөөгүй боловч 14.2 ° C-аас 27 ° C хүртэл температурын хязгаарт аажмаар нэмэгдэж, үр дүнтэй идэвхжүүлэх энергитэй байдаг. Э a = 51 кЖ/моль. Дууны давтамж дээр үндэслэн та температурыг маш нарийн тодорхойлж чадна: та тэдний тоог 15 секундын дотор тоолж, 40-ийг нэмэх хэрэгтэй, та Фаренгейтийн (F) градусаар температурыг авна (Америкчууд энэ температурын хуваарийг ашигладаг хэвээр байна). Тиймээс, 55 F (12.8 ° C) үед жиргээний давтамж нь 1 chirps / s, 100 F (37.8 ° C) -д 4 chirps / s байна.

Жишээ 2. 18 ° C-аас 34 ° C хүртэлх температурт далайн яст мэлхийн зүрхний цохилт нь идэвхжүүлэх энерги өгдөг Аррениусын тэгшитгэлтэй нийцдэг. Э a = 76.6 кЖ/моль, харин бага температурт идэвхжүүлэх энерги огцом нэмэгддэг. Энэ нь бага температурт яст мэлхий тийм ч сайн мэдрэгддэггүй, зүрхний цохилт нь бусад биохимийн урвалаар хянагдаж эхэлдэгтэй холбоотой байж болох юм.

Жишээ 3. Ялангуяа сонирхолтой нь хүний ​​сэтгэл зүйн үйл явцаас "Аррениусаас хараат байдалд оруулах" оролдлого юм. Тиймээс янз бүрийн биеийн температуртай хүмүүс (36.4 ° C-аас 39 ° C хүртэл) секундыг тоолохыг хүссэн. Температур өндөр байх тусам тоолох нь хурдан болдог ( Э a = 100.4 кЖ/моль). Тиймээс бидний субъектив цаг хугацааны мэдрэмж Аррениусын тэгшитгэлд захирагддаг. Социологийн судалгааны зохиогч Г.Хоугланд энэ нь хүний ​​тархинд тодорхой биохимийн процесс явагддагтай холбоотой гэж үзжээ.

Германы судлаач Х.фон Фоерстлер янз бүрийн температуртай хүмүүсийн мартах хурдыг хэмжсэн байна. Тэрээр хүмүүст янз бүрийн тэмдгүүдийн дарааллыг өгч, хүмүүс энэ дарааллыг санаж байх хугацааг хэмжсэн. Үр дүн нь Хоагландынхтай ижил байсан: Аррениусаас хамааралтай Э a = 100.4 кЖ/моль.

Ардын баялаг туршлага нь шинжлэх ухаанаар батлагдсан олон дүгнэлтийг санал болгодог. Орост "Хөлөө дулаацуулж, толгойгоо хүйтэн байлга" гэсэн үг байдаг. Аррениусын тэгшитгэл нь энэ мэдэгдлийг баталж байна.

Химийн урвалын хурдыг температураас хамаарал

Температурын өөрчлөлт нь хурдны тогтмол, улмаар химийн урвалын хурдад ихээхэн нөлөөлдөг. Ихэнх тохиолдолд химийн урвалын хурд нь халах тусам нэмэгддэг.

Вант Хоффын дүрмийн дагуу температур 10 градусаар нэмэгдэх тусам химийн урвалын хурд дунджаар 2-4 дахин нэмэгддэг.

v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10,

Үүнд: γ нь дараах томъёогоор тооцоолж болох температурын коэффициент юм.

γ = k T +10 / k T ,

Хаана: к Т Т;

k T+10- температурын тогтмол урвалын хурд (T+10).

Туршилтууд

Туршилт №1: Шингэрүүлсэн хүхрийн хүчилтэй цайрын урвал.

Тэд тодорхой масстай хэд хэдэн цайрын хэсгийг авч, өөр өөр температурт шингэрүүлсэн хүхрийн хүчлийн уусмалын ижил хэмжээгээр байрлуулав. Бид урвалын дагуу явагддаг цайрыг бүрэн уусгах хугацааг хэмжсэн.

Zn + H 2 SO 4 = ZnSO 4 + H 2

Урвалын хурдыг мкмоль/с-ээр тооцоолсон (мольд ногдох бодисын хэмжээг цайрын атомын массад хуваасан массаар тооцоолсон). Үр дүнг хүснэгтэд болон температурын урвалын хурдыг график хэлбэрээр үзүүлэв.

Хүснэгт 1.

Цайрын шингэрүүлсэн хүхрийн хүчилтэй харилцан үйлчлэх хурд нь хүхрийн хүчлийн температураас хамаарах хамаарал:

Туршилт №2: INФерментийн урвалын хурдад температурын нөлөөлөл.

Ферментийн урвалын загвар болгон бид бутирилхолинэстераза ферментээр катализлагдсан бутилхолины гидролизийн урвалыг авсан.

(CH 3) 3 N + -CH 2 -CH 2 -O-C(O)-C 3 H 7 + H 2 O → (CH 3) 3 N-CH 2 -CH 2 -OH + HO-C(O)- C3H7

Бутирилхолинэстеразын молекулын гурван хэмжээст загвар.

Урвалыг хийхийн тулд дархлаа-химийн судалгаанд зориулсан хавтанг ашигласан (Хавсралт 1-ийн 1-р зургийг үз). Субстрат болох бутирилхолин ба бутирилхолинэстераза ферментийн уусмалыг рН = 8-тай хүчил-суурь индикатор бромотимолын хөх агуулсан 0.002 моль/л фосфатын буферийн уусмалд бодисын үнэн зөв жинлэсэн хэсгийг уусгах замаар бэлтгэсэн. шүлтлэг орчинд хөх (рН>7), хүчиллэг орчинд шар өнгөтэй болно. Ферментийн гидролизийн урвалын үр дүнд хүчил үүсдэг тул уусмалын рН буурч, индикаторын өнгө нь цэнхэрээс ногоонаас шар хүртэл өөрчлөгддөг. Тиймээс химийн урвалын хурдыг индикаторын өнгөний өөрчлөлтийн хурдаар үнэлж болно.

Урвалыг явуулж байна. Субстрат ба ферментийн уусмалыг цас, усан ванны тусламжтайгаар хүссэн температурт (5 ° C, 15 ° C, 25 ° C, 35 ° C) халааж, хөргөнө. Холинестераза ферментийн хамгийн оновчтой температур нь 37 ° C (ферментийн идэвхжил хамгийн их байх температур) байдаг тул сонгосон хамгийн дээд температур нь 35 ° C байв. Тодорхой температуртай ферментийн уусмалыг 100 μл диспансер, дараа нь 100 мкл субстратын уусмалыг ашиглан ялтсан үүрэнд нэмж, секундомер ашиглан цагийг тэмдэглэв. Урвалын эхлэлээс (ферментэд субстрат нэмсэн мөч) индикаторын өнгө шар болж өөрчлөгдөх хүртэлх хугацааг хэмжсэн. Температур бүрт туршилтыг гурван удаа хийж, дараа нь өнгө өөрчлөгдөх дундаж хугацааг тооцоолсон.

Уусмалын температураас индикаторын өнгө өөрчлөгдөх цаг хугацааны хамаарал:

Урвалын хурдыг үнэлэх энэ арга нь катализаторын шинжилгээний аргын нэг хувилбар юм - тогтмол концентраци. Энэ нь заагч бодисын хатуу тодорхойлогдсон (тогтмол) концентраци хүртэл урвалыг явуулж, энэ концентрацид хүрэх хугацааг хэмждэг арга юм. Энэ урвалд заагч бодис нь бутирик хүчил бөгөөд концентраци нь индикаторын өнгийг тодорхойлдог. Тодорхой концентрацид хүрэх хугацаа нь урвалын хурдыг хэмждэг. Графикийг координатаар зурсан: тогтмол концентрацид хүрэх цаг хугацааны эсрэг тал нь судалж буй параметр (температур) юм.

Температураас индикаторын өнгө өөрчлөгдөх хурдны хамаарал:

Туршилт №3(тооцооллын асуудал): Этилийн спиртийн шингэн алдалтын түвшин.

Бодлого: Хэрэв урвалын температурын коэффициент 3 байвал температур 180oС-аас 200oС хүртэл нэмэгдэхэд этилийн спиртийн шингэн алдалтын хурд хэд дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл: Вант Хоффын дүрмийн дагуу v 2 = v 1 ×γ (T 2- T 1)/10, иймээс

V 2 /v 1 = γ (T 2- T 1)/10, энд γ = 3, T1= 180, T2= 200. Тиймээс v 2 /v 1 = 3 (200-180)/10 = 9, өөрөөр хэлбэл, температур 20 градусаар нэмэгдэхэд хурд нь 9 дахин нэмэгдэх болно.

Хүлээн авсан өгөгдөл дээр үндэслэн этилийн спиртийн шингэн алдалтын хурдыг температураас графикаар хамааруулж болно (10 градус тутамд температур нэмэгдэх тусам урвалын хурд 3 дахин нэмэгддэг).

Температураас урвалын хурдны хамаарал:

Дүгнэлт. Дүгнэлт

Судалгааны сэдэв дээр ажиллах явцад экспоненциал функц, экспоненциал хамаарал, экспоненциал функцийн онцгой тохиолдол, мөн экспоненциал хамаарлыг тодорхойлсон Аррениусын тэгшитгэлийг судалсан.

Экспоненциал хамаарлын дагуу явагддаг байгалийн үйл явцын жишээг авч үзсэний дараа хэд хэдэн химийн туршилтуудыг хийж, Аррениус тэгшитгэлээр тодорхойлсон экспоненциал хамаарлын дагуу зарим химийн процесс явагддаг болохыг практикт баталжээ.

"Аррениусын тэгшитгэлийг ашигласнаар зарим химийн процессуудыг дүрсэлж болно" гэсэн судалгааны таамаглал батлагдсан гэж бид үзэж байна. Тиймээс Zn-ийг хүхрийн хүчилд өөр өөр температурт уусгахад химийн урвалын хурд экспоненциалаар өөрчлөгддөг. Түүнчлэн хүний ​​тархины нейрон дахь ферментийн урвалын хурд нь Аррениусын тэгшитгэлийн дагуу температурын дагуу өөрчлөгддөг.

Ийнхүү экспоненциал хамаарлаар дүрсэлсэн Аррениусын тэгшитгэлийн дагуу химийн зарим процесс явагдах нь туршилтаар батлагдсан.

Лавлагаа:

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн онолын аргууд. М.: Наука, 1987. - 688 х.

2. Leenson I.A. Дүрэм яагаад хуучирсан бэ? Хүүхдэд зориулсан нэвтэрхий толь бичиг. T. 17. Хими. - М.: Аванта+, 2000. - 640 х.

3. Leenson I.A. Химийн урвал яагаад, яаж үүсдэг. - М.: MIROS, 1994. - 176 х.

4. Хапланов М.Г. Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн онол (богино курс). М .: Боловсрол, 1965. - 209 х.

Экспоненциал өсөлт

"Экспоненциал өсөлт" гэсэн хэллэг нь хурдан, ихэвчлэн хяналтгүй өсөлт гэсэн утгатай үгийн санд нэвтэрсэн. Жишээлбэл, хотуудын хурдацтай өсөлт эсвэл хүн амын өсөлтийг тодорхойлоход ихэвчлэн ашигладаг. Гэсэн хэдий ч математикийн хувьд энэ нэр томъёо нь тодорхой утгатай бөгөөд тодорхой төрлийн өсөлтийг илэрхийлдэг.

Экспоненциал өсөлт нь хүн амын өсөлт (төрөлтөөс нас баралтын тоог хассан) хүн амын тоотой пропорциональ байгаа популяцид тохиолддог. Жишээлбэл, хүн амын хувьд төрөлт нь нөхөн үржихүйн хосуудын тоотой ойролцоогоор пропорциональ, нас баралт нь хүн амын тоотой ойролцоогоор пропорциональ байна (бид үүнийг нэрлэдэг) ) . Дараа нь боломжийн ойролцоолсноор,

хүн амын өсөлт = төрөлт - нас баралтын тоо

Цаг хугацаа өнгөрөхөд популяцид нэмэгдсэн бодгальуудын тоо гэж үзье, хэрэв популяцид нийт бодгаль байгаа бол экспоненциал өсөлтийн нөхцөл хангагдана.

Экспоненциал өсөлт гэж юу болохыг илүү сайн ойлгохын тулд нэг нянгаас бүрдсэн популяцийг төсөөлөөд үз дээ. Тодорхой хугацааны дараа (хэдэн цаг эсвэл минутын дараа) нян хоёр хуваагдаж, улмаар популяцийн хэмжээ хоёр дахин нэмэгддэг. Дараагийн хугацааны дараа эдгээр хоёр бактери бүр дахин хоёр хуваагдаж, популяцийн хэмжээ дахин хоёр дахин нэмэгдэх болно - одоо дөрвөн бактери байх болно. Арав дахин ихэссэний дараа мянга гаруй бактери, хорин дараа нэг сая гаруй бактери байх болно. Хүн амын тоо хуваагдал бүрээр хоёр дахин нэмэгдвэл өсөлт нь хязгааргүй үргэлжилнэ.

Шатар зохион бүтээсэн хүн Султандаа ийм таашаал өгсөн тул түүний хүсэлтийг биелүүлэхээ амласан гэсэн домог байдаг (их магадлалтай нь худлаа). Тэр хүн Султанаас шатрын тавцангийн эхний дөрвөлжин дээр нэг үр тариа, хоёр дахь дээр хоёр, гурав дахь дээр дөрөв гэх мэт үр тариа тавихыг хүсэв. Султан энэ хүсэлтийг үзүүлсэн үйлчилгээтэй харьцуулахад өчүүхэн гэж үзээд өөр хүсэлт гаргахыг хүссэн боловч тэрээр татгалзсан юм. Мэдээжийн хэрэг, 64 дэх удаагаа үр тарианы тоо хоёр дахин нэмэгдэхэд дэлхий даяар энэ хүсэлтийг хангахуйц улаан буудай хүрэлцэхгүй байх болно. Надад мэдэгдэж байгаа домог хувилбарт Султан тэр үед зохион бүтээгчийн толгойг таслахыг тушаажээ. Би оюутнууддаа хэлдэг ёс суртахууны хувьд: заримдаа та хэтэрхий ухаалаг байж болохгүй!

Шатрын тавцангийн жишээ (түүнчлэн зохиомол бактери) бидэнд ямар ч хүн ам үүрд өсөх боломжгүй гэдгийг харуулж байна. Эрт орой хэзээ нэгэн цагт энэ нь орон зай, эрчим хүч, ус гэх мэт нөөцгүй болно. Тиймээс популяци хэсэг хугацаанд л экспоненциал өсөх боломжтой бөгөөд эрт орой хэзээ нэгэн цагт тэдний өсөлт удаашрах ёстой. Үүнийг хийхийн тулд та тэгшитгэлийг өөрчлөх хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр хүн амын тоо хамгийн дээд хэмжээнд хүрэхэд (гадаад орчны дэмжлэг үзүүлэх боломжтой) өсөлтийн хурд удааширдаг. Үүнийг популяцийн дээд хэмжээ гэж нэрлэе.

Энэ тэгшитгэлээр тодорхойлсон муруй, мөн тэгшитгэл нь өөрөө хэд хэдэн нэртэй байдаг - S-муруй, логистик тэгшитгэл, Вольтерра тэгшитгэл, Лотка-Вольтерра тэгшитгэл. (Вито Вольтерра, 1860–1940 - Италийн нэрт математикч, багш; Альфред Лотка, 1880–1949 - Америкийн математикч, даатгалын шинжээч.) Үүнийг юу гэж нэрлэх нь хамаагүй, хүн амын тоо огцом экспоненциал болж, дараа нь өсөж байгаагийн нэлээд энгийн илэрхийлэл юм. тодорхой хязгаарт ойртох үед удаашрах. Энэ нь бодит популяцийн өсөлтийг ердийн экспоненциал функцээс хамаагүй дээр харуулж байна.

Махчин амьтад болон тэдний олзны хоорондох харилцаа мөчлөгийн дагуу хөгжиж, төвийг сахисан тэнцвэрт байдлыг харуулдаг.

Заримдаа энгийн математик загвар нь биологийн цогц системийг сайн дүрсэлдэг. Үүний нэг жишээ бол экосистем дэх махчин болон идэшний зүйлийн хоорондын урт хугацааны харилцаа юм. Нэг зүйлийн популяцийн өсөлтийн математик тооцоолол (дээрхийг харна уу) популяцийн нягтралын хязгаарыг энгийн тэгшитгэлээр дүрсэлж, S хэлбэрийн муруйг гаргаж авдаг болохыг харуулж байна. Энэ нь популяцийн муруй нь бага байхдаа экспоненциалаар өсдөг бөгөөд экосистемийн үүнийг дэмжих чадварын хязгаарт хүрэх тусам буурдаг. Энэхүү ойлголтын энгийн өргөтгөл нь махчин, идэш тэжээл гэсэн хоёр зүйл харилцан үйлчилдэг экосистемийг ойлгох боломжийг бидэнд олгодог.

Эдгээр тэгшитгэлийг шийдэх нь популяци хоёулаа мөчлөгийн дагуу хөгждөг болохыг харуулж байна. Хэрэв өвсөн тэжээлтний популяци нэмэгдвэл махчин амьтантай учрах магадлал нэмэгдэж, үүний дагуу (хэсэг хугацааны дараа) махчин амьтдын тоо нэмэгддэг. Гэвч махчин амьтдын тоо толгой нэмэгдэх нь өвсөн тэжээлтний тоо толгой буурахад хүргэдэг (мөн хэсэг хугацааны дараа), энэ нь махчин амьтдын үр удмын тоо буурахад хүргэдэг бөгөөд энэ нь өвсөн тэжээлтний тоог нэмэгдүүлэх гэх мэт. Энэ хоёр популяци цаг хугацаа өнгөрөхөд вальс бүжиглэж байх шиг байна - тэдний нэг нь өөрчлөгдөхөд нөгөө нь түүний дараа өөрчлөгддөг.

Жеймс Трефилийн нэвтэрхий толь бичиг "Шинжлэх ухааны мөн чанар. Орчлон ертөнцийн 200 хууль."
Жеймс Трефил бол Жорж Мэйсон Их Сургуулийн (АНУ) физикийн профессор бөгөөд барууны алдартай шинжлэх ухааны ном зохиогчдын нэг юм.

Экспоненциал өсөлт

Экспоненциал өсөлт- өсөлтийн хурд нь тухайн тоо хэмжээний утгатай пропорциональ байх үед тоо хэмжээний өсөлт. Ийм өсөлт нь дуулгавартай байдаг гэж тэд хэлдэг экспоненциал хууль. Экспоненциал өсөлт нь удаан (хангалттай урт хугацаанд) шугаман, хүч эсвэл геометрийн хамаарлаас ялгаатай.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Аливаа экспоненциал өсөн нэмэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд үнэ цэнэ нь их байх тусам хурдан өсдөг. Энэ нь мөн хамааралтай хувьсагчийн хэмжээ, өсөлтийн хурд нь шууд пропорциональ байна гэсэн үг юм. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн гипербол муруйгаас ялгаатай нь экспоненциал муруй нь хязгаарлагдмал хугацаанд хэзээ ч хязгааргүй рүү явдаггүй.

Экспоненциал өсөлт нь эцсийн дүндээ ямар ч геометр прогрессоос, ямар ч эрчим хүчний прогрессоос, бүр шугаман өсөлтөөс ч илүү хурдан болдог.

Математик тэмдэглэгээ

Экспоненциал өсөлтийг дифференциал тэгшитгэлээр тодорхойлно.

Энэ дифференциал тэгшитгэлийн шийдэл нь экспоненциал юм.

Жишээ

Экспоненциал өсөлтийн жишээ бол нөөцийн хязгаарлалт үүсэхээс өмнө колони дахь бактерийн тоо нэмэгдэх явдал юм. Экспоненциал өсөлтийн өөр нэг жишээ бол нийлмэл хүү юм.

Мөн үзнэ үү

Холбоосууд

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичгүүдээс "Экспоненциал өсөлт" гэж юу болохыг харна уу. Тооны өсөлт (геометрийн прогрессийн өсөлт) нь түүний утгатай пропорциональ хурдаар өсдөг. Тэд хэлэхдээ: ийм өсөлт нь экспоненциал хуульд захирагддаг. Энэ нь аливаа экспоненциал өсөн нэмэгдэж буй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд ... ... гэсэн үг юм.

Бизнесийн нэр томъёоны толь бичигэкспоненциал өсөлт

- T sritis fizika atitikmenys eksponentinis didėjimas statusas: engl. экспоненциал өсөн нэмэгдэж буй vok. Exponentialanstieg, m rus. экспоненциал өсөлт, m pranc. accroissement exponentiel, m … Физикийн нэр томъёоЭКСПОНЕНЦИАЛ ӨСӨЛТ - харьцангуй тогтмол хурдтай өсөлт...

Ботаникийн нэр томъёоны толь бичиг

Цаг хугацаа өнгөрөх тусам чанарыг нэмэгдүүлэх үйл явц. Чанар нь бие махбодийн (жишээлбэл, өндрийн өсөлт) болон хийсвэр (жишээлбэл, хүний ​​төлөвшил, системийн тэлэлт) хоёулаа байж болно: Эсийн өсөлт, эсвэл тархалт Хүн амын өсөлт Өсөлт ... ... WikipediaӨНДӨР - хөгжиж буй организмын хэмжээ ихсэх гэсэн үг. Ердийн тохиолдлуудад R. нь жингийн өсөлттэй холбоотой байдаг боловч бид биеийн жингийн өсөлт бүрийг R. гэж тодорхойлдоггүй (жишээлбэл, өөх тосны хуримтлал, зарим амьтны нөхөн үржихүйн бүтээгдэхүүний хуримтлал, ... ...

Агуу анагаах ухааны нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн экспоненциал өсөлт нь түүний утгатай пропорциональ хурдаар өсдөг хэмжигдэхүүн дэх экспоненциал өсөлт (геометрийн прогрессийн өсөлт) юм. Ийм өсөлт нь экспоненциал хуульд захирагддаг гэж тэд хэлдэг. Энэ бол... ... Википедиа - [алгоритмоос!; algorismus, анх лат. нэрний галиглал харьц. Ази. 9-р зууны эрдэмтэн Хорезми (Мухаммед бин Муса аль Хорезми)], зан үйлийн аргыг тодорхойлох програм (тооцоолол); үр дүнтэй болгох дүрмийн систем (жор) ... ...

Философийн нэвтэрхий толь бичиг Цаг хугацаа өнгөрөхөд янз бүрийн түвшний давтагдах хөдөлгөөн эсвэл үйл явц. K. нь байгалийн бүх үзэгдлийн онцлог шинж юм: оддын цацраг туяа лугшиж, тэдгээрийн дотор мөчлөгийн үйл явдлууд тохиолддог. I. урвал; Гаригууд өндөр давтамжтайгаар эргэлддэг...

Физик нэвтэрхий толь бичиг Аливаа диофантийн тэгшитгэлээс шийдэл байгаа эсэхийг таних алгоритмыг олох асуудал. Асуудлыг тавихад хамгийн чухал зүйл бол аливаа тэгшитгэлд тохирох бүх нийтийн аргыг олох шаардлага юм (бүгд мэдэгдэж байгаа ... ...

Гурван гаралттай перцептроны логик хэлхээ Перцептрон буюу перцептрон (Англи перцептрон нь ... Википедиа

Номууд

• Дэлхийн агуу нуурууд, В.А. Румянцев, В.Г.Драбкова, А.В.Измайлова. Хүн амын экспоненциал өсөлт, түүнийг дагасан аж үйлдвэр, хөдөө аж ахуйн өсөлт нь цэвэр усны нөөцийн гамшгийн хомсдолд төдийгүй улам бүр доройтоход хүргэдэг ...