- Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна.
- Трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжин ба тэдгээрийн огтлолцох цэг хүртэлх диагональуудын сегментүүд ижил төстэй байна.
- Трапецын хажуугийн хажуу тал дээр байрлах трапецын диагональ хэсгүүдээс үүссэн гурвалжингууд - ижил хэмжээтэй (ижил талбайтай)
- Хэрэв та трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугамтай нэг цэг дээр огтлолцоно.
- Трапецын сууриудыг холбож, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийг трапецын суурийн уртын харьцаатай тэнцүү хэмжээгээр энэ цэгт хуваана.
- Трапецын сууриудтай параллель, диагональуудын огтлолцлын цэгээр татсан хэрчмийг энэ цэгээр хагас болгон хувааж, урт нь 2ab/(a+b)-тэй тэнцүү байх ба энд a ба b нь суурийн суурь болно. трапец
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн шинж чанарууд
ABCD трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбоно, үүний үр дүнд бид LM сегменттэй болно.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент трапецын дунд шугам дээр байрладаг.
Энэ сегмент трапецын суурьтай зэрэгцээ.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегментийн урт нь түүний суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна.
LM = (МЭ - МЭӨ)/2
эсвэл
LM = (a-b)/2
Трапецын диагональуудаас үүссэн гурвалжны шинж чанарууд
Трапецын суурь ба трапецын диагональуудын огтлолцох цэгээс үүссэн гурвалжингууд - төстэй.
BOC ба AOD гурвалжин ижил төстэй. BOC ба AOD өнцгүүд нь босоо тул тэнцүү байна.
OCB ба OAD өнцгүүд нь AD ба BC параллель шулуунууд (трапецын суурь нь хоорондоо параллель байдаг) ба AC таслагч шугамтай хөндлөн хэвтэх дотоод өнцөг тул тэдгээр нь тэнцүү байна.
OBC болон ODA өнцөг нь ижил шалтгаанаар тэнцүү байна (дотоод хөндлөн).
Нэг гурвалжны гурван өнцөг нь өөр гурвалжны харгалзах өнцөгтэй тэнцүү тул эдгээр гурвалжин ижил төстэй байна.
Үүнээс юу гарах вэ?
Геометрийн асуудлыг шийдэхийн тулд гурвалжны ижил төстэй байдлыг дараах байдлаар ашигладаг. Хэрэв бид ижил төстэй гурвалжны харгалзах хоёр элементийн уртыг мэддэг бол ижил төстэй байдлын коэффициентийг олно (бид нэгийг нь нөгөөгөөр нь хуваана). Эндээс бусад бүх элементүүдийн уртууд хоорондоо яг ижил утгатай холбоотой байдаг.
Трапецын хажуу тал ба диагональ дээр байрлах гурвалжны шинж чанарууд
AB ба CD трапецын хажуу тал дээр байрлах хоёр гурвалжинг авч үзье. Эдгээр нь AOB ба COD гурвалжин юм. Эдгээр гурвалжны бие даасан талуудын хэмжээ нь огт өөр байж болох ч гэсэн хажуу талуудаас үүссэн гурвалжны талбай ба трапецын диагональуудын огтлолцлын цэг тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл гурвалжин нь тэнцүү хэмжээтэй байна.
Хэрэв бид трапецын хажуу талыг жижиг суурь руу сунгавал талуудын огтлолцох цэг нь болно. суурийн дундуур дайран өнгөрөх шулуун шугамтай давхцана.
Тиймээс аливаа трапецийг гурвалжин болгон өргөжүүлж болно. Энэ тохиолдолд:
- Өргөтгөсөн талуудын огтлолцлын цэгт нийтлэг оройтой трапецын сууриудаас үүссэн гурвалжнууд ижил төстэй байна.
- Трапецын суурийн дунд цэгүүдийг холбосон шулуун шугам нь нэгэн зэрэг баригдсан гурвалжны медиан юм.
Трапецын суурийг холбосон сегментийн шинж чанарууд
Хэрэв та трапецын (KN) диагональуудын огтлолцлын цэг дээр байрлах трапецын суурь дээр төгсгөлүүд нь байрлах сегментийг зурвал суурийн хажуугаас огтлолцох цэг хүртэлх түүний бүрдүүлэгч сегментүүдийн харьцааг тодорхойлно. диагональуудын (KO/ON) трапецын суурийн харьцаатай тэнцүү байх болно(BC/AD).
KO/ON = BC/AD
Энэ шинж чанар нь харгалзах гурвалжны ижил төстэй байдлаас үүдэлтэй (дээрхийг үзнэ үү).
Трапецын суурьтай параллель сегментийн шинж чанарууд
Хэрэв бид трапецын суурьтай параллель сегментийг зурж, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрвөл энэ нь дараахь шинж чанартай байх болно.
- Заасан зай (KM) трапецын диагональуудын огтлолцлын цэгээр хоёр хуваагдсан
- Хэсгийн урттрапецын диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрөх ба суурийн параллель нь тэнцүү байна. KM = 2ab/(a + b)
Трапецын диагональуудыг олох томьёо
а, б- трапец хэлбэрийн суурь
в, г- трапецын талууд
d1 d2- трапецын диагональууд
α β - трапецын илүү том суурьтай өнцөг
Суурийн суурь, хажуу ба өнцгөөр дамжин трапецын диагональуудыг олох томъёо
Эхний бүлгийн томъёо (1-3) нь трапец хэлбэрийн диагональуудын үндсэн шинж чанаруудын нэгийг тусгасан болно.
1. Трапецын диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь талуудын квадратуудын нийлбэр дээр суурийн үржвэрийн хоёр дахин үржвэртэй тэнцүү байна. Трапецын диагональуудын энэ шинж чанарыг тусдаа теоремоор баталж болно
2 . Энэ томъёог өмнөх томьёог хувиргах замаар олж авна. Хоёрдахь диагональ квадратыг тэнцүү тэмдгээр шидэж, дараа нь илэрхийллийн зүүн ба баруун талаас квадрат язгуурыг гаргаж авна.
3 . Трапецын диагональ уртыг олох энэхүү томьёо нь өмнөхтэй төстэй бөгөөд илэрхийллийн зүүн талд өөр диагональ үлдсэн байдгаараа ялгаатай.
Дараагийн бүлэг томьёо (4-5) нь утгын хувьд ойролцоо бөгөөд ижил төстэй харилцааг илэрхийлдэг.
Томъёоны бүлэг (6-7) нь трапецын том суурь, нэг тал ба суурийн өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол трапецын диагональыг олох боломжийг олгодог.
Трапецын диагональуудыг өндрөөр олох томьёо
Даалгавар.
ABCD (AD | | BC) трапецын диагональууд О цэг дээр огтлолцоно.Трапецын суурийн ВС суурийн уртыг ол AD = 24 см, урт AO = 9 см, урт OS = 6 см бол.
Шийдэл.
Энэ асуудлын шийдэл нь үзэл суртлын хувьд өмнөх асуудлуудтай яг адилхан юм.
AOD ба BOC гурвалжин нь гурван өнцгөөр төстэй - AOD ба BOC нь босоо, үлдсэн өнцөгүүд нь нэг шугам ба хоёр зэрэгцээ шугамын огтлолцолоор үүссэн тул хосоороо тэнцүү байна.
Гурвалжингууд ижил төстэй тул асуудлын нөхцлийн дагуу бидэнд мэдэгдэж байгаа AO ба OC сегментүүдийн геометрийн хэмжээсүүдтэй адил тэдгээрийн бүх геометрийн хэмжээсүүд хоорондоо холбоотой байдаг. Тэр нь
AO/OC = AD/BC
9/6 = 24 / МЭӨ
МЭӨ = 24 * 6 / 9 = 16
Хариулах: 16 см
Даалгавар.
ABCD трапецын хувьд AD=24, BC=8, AC=13, BD=5√17 гэдгийг мэддэг. Трапецын талбайг ол. 
Шийдэл.
Б ба С жижиг суурийн оройноос трапецын өндрийг олохын тулд бид хоёр өндрийг том суурь руу буулгана. Трапец тэгш бус тул бид уртыг AM = a, урт KD = b () гэж тэмдэглэнэ. томьёоны тэмдэглэгээтэй андуурч болохгүйтрапецын талбайг олох). Трапецын суурь нь параллель бөгөөд том суурьтай перпендикуляр хоёр өндрийг буулгасан тул MBCK нь тэгш өнцөгт болно.
гэсэн үг
AD = AM+BC+KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
DBM ба ACK гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тул тэдгээрийн тэгш өнцөг нь трапецын өндрөөс үүсдэг. Трапецын өндрийг h гэж тэмдэглэе. Дараа нь Пифагорын теоремоор
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
Тэгээд
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Эхний тэгшитгэлд a = 16 - b гэдгийг анхаарч үзье
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Пифагорын теоремыг ашиглан олж авсан хоёр дахь тэгшитгэлд өндрийн квадратын утгыг орлъё. Бид авах:
425 - (8 + б) 2 + (24 - б) 2 = 169
-(64 + 16б + б) 2 + (24 - б) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64б = -768
b = 12
Тэгэхээр KD = 12
Хаана
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Трапецын талбайг өндрөөр нь ба суурийнх нь нийлбэрийн хагасыг ол
, энд a b - трапецын суурь, h - трапецын өндөр
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 см 2
Хариулах: трапецын талбай нь 80 см2.
Трапец бол нэг хос тал нь параллель байх дөрвөн өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. "Трапец" гэсэн нэр томъёо нь "ширээ", "ширээ" гэсэн утгатай τράπεζα гэсэн грек үгнээс гаралтай. Энэ нийтлэлд бид трапецын төрлүүд, түүний шинж чанаруудыг авч үзэх болно. Нэмж дурдахад бид үүний бие даасан элементүүдийг хэрхэн тооцоолохыг олж мэдэх болно. Жишээ нь, ижил тэгш өнцөгт трапецын диагональ, төвийн шугам, талбай гэх мэт. Материалыг энгийн түгээмэл геометрийн хэв маягаар, өөрөөр хэлбэл амархан хүртээмжтэй хэлбэрээр үзүүлэв. .
Ерөнхий мэдээлэл
Эхлээд дөрвөн өнцөгт гэж юу болохыг олж мэдье. Энэ зураг нь дөрвөн тал, дөрвөн орой агуулсан олон өнцөгтийн онцгой тохиолдол юм. Зэргэлдээгүй дөрвөн өнцөгтийн хоёр оройг эсрэг гэж нэрлэдэг. Зэргэлдээгүй хоёр талын талаар мөн адил зүйлийг хэлж болно. Дөрвөн өнцөгтийн үндсэн төрлүүд нь параллелограмм, тэгш өнцөгт, ромб, дөрвөлжин, трапец, дельтоид юм.
Ингээд трапецын тухайд буцаж орцгооё. Бид аль хэдийн хэлсэнчлэн энэ зураг хоёр зэрэгцээ талтай. Тэдгээрийг суурь гэж нэрлэдэг. Нөгөө хоёр (параллель бус) нь хажуу талууд юм. Шалгалт, янз бүрийн тестийн материалуудаас та трапецтай холбоотой асуудлуудыг ихэвчлэн олж авах боломжтой бөгөөд үүнийг шийдвэрлэх нь оюутнуудаас хөтөлбөрт тусгаагүй мэдлэгтэй байхыг шаарддаг. Сургуулийн геометрийн хичээл нь оюутнуудад өнцөг ба диагональуудын шинж чанарууд, мөн адил тэгш өнцөгт трапецын дунд шугамын талаар танилцуулдаг. Гэхдээ үүнээс гадна дурдсан геометрийн дүрс нь өөр шинж чанартай байдаг. Гэхдээ тэдний талаар хэсэг хугацааны дараа дэлгэрэнгүй...
Трапецын төрлүүд
Энэ дүрсийн олон төрөл байдаг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ тэдгээрийн хоёрыг авч үзэх нь заншилтай байдаг - тэгш өнцөгт ба тэгш өнцөгт.
1. Тэгш өнцөгт трапец гэдэг нь аль нэг тал нь суурийн перпендикуляр байрласан дүрс юм. Түүний хоёр өнцөг нь үргэлж ерэн градустай тэнцүү байдаг.
2. Талууд нь хоорондоо тэнцүү геометрийн дүрсийг ижил тэгш өнцөгт трапец гэнэ. Энэ нь суурийн өнцөг нь хосоороо тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Трапецын шинж чанарыг судлах арга зүйн үндсэн зарчим
Гол зарчим нь даалгавар гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм. Үнэн хэрэгтээ энэ дүрсийн шинэ шинж чанарыг геометрийн онолын хичээлд нэвтрүүлэх шаардлагагүй юм. Тэдгээрийг янз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх явцад олж, томъёолж болно (илүү зохимжтой систем). Үүний зэрэгцээ багш нь боловсролын үйл явцын явцад оюутнуудад ямар үүрэг даалгавар өгөх ёстойг мэддэг байх нь маш чухал юм. Түүгээр ч зогсохгүй трапецын шинж чанар бүрийг даалгаврын системийн гол даалгавар болгон төлөөлж болно.
Хоёрдахь зарчим бол трапецын "гайхалтай" шинж чанарыг судлах спираль зохион байгуулалт юм. Энэ нь сургалтын үйл явцад өгөгдсөн геометрийн дүрсийн бие даасан шинж чанарууд руу буцах гэсэн үг юм. Энэ нь оюутнуудад тэдгээрийг санахад хялбар болгодог. Жишээлбэл, дөрвөн цэгийн өмч. Үүнийг ижил төстэй байдлыг судлах, дараа нь вектор ашиглах үед нотлох боломжтой. Зургийн хажуу талуудтай зэргэлдээх гурвалжнуудын эквивалентийг зөвхөн нэг шулуун дээр байрлах талууд руу татсан ижил өндөртэй гурвалжны шинж чанарыг ашиглахаас гадна S = 1/2() томъёог ашиглан баталж болно. ab*sinα). Нэмж дурдахад та бичээстэй трапец эсвэл тэгш өнцөгт гурвалжин дээр ажиллаж болно.
Сургуулийн хичээлийн агуулгад геометрийн дүрсийн "хичээлээс гадуурх" шинж чанарыг ашиглах нь тэдгээрийг заах даалгаварт суурилсан технологи юм. Бусад сэдвүүдийг судлахдаа судалж буй шинж чанаруудыг байнга дурдах нь оюутнуудад трапецын талаар илүү гүнзгий мэдлэг олж авах боломжийг олгож, өгөгдсөн асуудлыг амжилттай шийдвэрлэх боломжийг олгодог. Ингээд энэ гайхалтай дүрийг судалж эхэлцгээе.
Хоёр талт трапецын элементүүд ба шинж чанарууд
Өмнө дурьдсанчлан энэ геометрийн дүрс нь тэнцүү талуудтай. Үүнийг мөн зөв трапец гэж нэрлэдэг. Яагаад ийм гайхалтай, яагаад ийм нэртэй болсон бэ? Энэ зургийн онцлог нь зөвхөн суурийн талууд ба өнцөг нь тэнцүү төдийгүй диагональууд юм. Үүнээс гадна ижил өнцөгт трапецын өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм! Бүх мэдэгдэж байгаа трапецын дотроос зөвхөн ижил өнцөгтийг тойрог гэж тодорхойлж болно. Энэ нь энэ зургийн эсрэг талын өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байгаатай холбоотой бөгөөд зөвхөн энэ нөхцөлд л дөрвөлжингийн тойргийг дүрсэлж болно. Харгалзан үзэж буй геометрийн дүрсийн дараагийн шинж чанар нь суурийн оройноос энэ суурийг агуулсан шулуун шугамын эсрэг оройн проекц хүртэлх зай нь дунд шугамтай тэнцүү байх явдал юм.
Одоо ижил өнцөгт трапецын өнцгийг хэрхэн олохыг олж мэдье. Зургийн талуудын хэмжээсийг мэддэг бол энэ асуудлыг шийдэх арга замыг авч үзье.
Шийдэл
Ихэвчлэн дөрвөн өнцөгтийг A, B, C, D үсгээр тэмдэглэдэг бөгөөд BS ба AD нь суурь юм. Хоёр талт трапецын хувьд талууд тэнцүү байна. Бид тэдгээрийн хэмжээ нь X-тэй тэнцүү, суурийн хэмжээ нь Y ба Z-тэй тэнцүү байна (тус тус бүр жижиг ба том). Тооцооллыг хийхийн тулд B өнцгөөс H өндрийг зурах шаардлагатай. Үр дүн нь ABN тэгш өнцөгт гурвалжин бөгөөд энд AB нь гипотенуз, BN ба AN нь хөл юм. Бид AN хөлний хэмжээг тооцоолно: бид том сууриас жижигийг нь хасаад үр дүнг 2-т хуваана. Бид үүнийг томъёогоор бичнэ: (Z-Y)/2 = F. Одоо цочмог хэмжээг тооцоолохын тулд. гурвалжны өнцгийн хувьд бид cos функцийг ашигладаг. Бид дараах оруулгыг авна: cos(β) = X/F. Одоо бид өнцгийг тооцоолно: β=arcos (X/F). Цаашилбал, нэг өнцгийг мэдсэнээр бид хоёр дахь өнцгийг тодорхойлж чадна, үүний тулд бид энгийн арифметик үйлдлийг гүйцэтгэдэг: 180 - β. Бүх өнцгийг тодорхойлсон.
Энэ асуудлыг шийдэх хоёр дахь шийдэл бий. Эхлээд бид булангаас өндөрт буулгана H. Бид хөл BN-ийн утгыг тооцоолно. Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг бид мэднэ. Бид дараахийг авна: BN = √(X2-F2). Дараа нь бид tg тригонометрийн функцийг ашиглана. Үүний үр дүнд бид: β = arctan (BN/F). Хурц өнцөг олдсон. Дараа нь бид үүнийг эхний аргын адилаар тодорхойлно.
Хоёр талт трапецын диагональуудын шинж чанар
Эхлээд дөрвөн дүрмийг бичье. Хэрэв ижил өнцөгт трапецын диагональууд перпендикуляр байвал:
Зургийн өндөр нь суурийн нийлбэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү байх болно;
Түүний өндөр ба дунд шугам нь тэнцүү;
Тойргийн төв нь цэг юм;
Хэрэв хажуу талыг шүргэлтийн цэгээр H ба M сегментүүдэд хуваасан бол эдгээр сегментүүдийн үржвэрийн квадрат язгууртай тэнцүү байна;
Шүргэх цэгүүд, трапецын орой ба бичээстэй тойргийн төвөөс үүссэн дөрвөн өнцөгт нь тал нь радиустай тэнцүү дөрвөлжин юм;
Зургийн талбай нь суурийн үржвэр ба суурийн нийлбэр ба түүний өндрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
Үүнтэй төстэй трапецууд
Энэ сэдэв нь түүний шинж чанарыг судлахад маш тохиромжтой. Жишээ нь, диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд суурьтай зэргэлдээх нь ижил төстэй, хажуу талуудтай зэргэлдээх нь тэнцүү хэмжээтэй байна. Энэ мэдэгдлийг трапецийг диагональаар нь хуваасан гурвалжны шинж чанар гэж нэрлэж болно. Энэхүү мэдэгдлийн эхний хэсэг нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байдлын тэмдгээр нотлогддог. Хоёрдахь хэсгийг батлахын тулд доор өгөгдсөн аргыг ашиглах нь дээр.
Теоремын баталгаа
ABSD (AD ба BS нь трапецын суурь) дүрсийг VD ба AC диагональд хуваасныг бид хүлээн зөвшөөрч байна. Тэдний огтлолцлын цэг нь O. Бид дөрвөн гурвалжин авдаг: AOS - доод суурь дээр, BOS - дээд суурь дээр, ABO ба SOD хажуу талдаа. Хэрэв BO ба OD хэрчмүүд нь тэдгээрийн суурь бол SOD ба BOS гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байна. Тэдний талбайн ялгаа (P) нь эдгээр сегментүүдийн хоорондох зөрүүтэй тэнцүү болохыг бид олж мэдсэн: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Тиймээс PSOD = PBOS/K. Үүний нэгэн адил BOS ба AOB гурвалжин нь нийтлэг өндөртэй байдаг. Бид CO ба OA сегментүүдийг үндэс болгон авдаг. Бид PBOS/PAOB = CO/OA = K ба PAOB = PBOS/K-г авна. Үүнээс үзэхэд PSOD = PAOB байна.
Материалыг нэгтгэхийн тулд оюутнуудад трапецийг диагональд нь хуваасан үүссэн гурвалжны талбайн хоорондын холбоог дараах асуудлыг шийдэх замаар олохыг зөвлөж байна. BOS ба AOD гурвалжин нь ижил талбайтай байдаг нь трапецын талбайг олох шаардлагатай байдаг. PSOD = PAOB тул PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD гэсэн үг. BOS ба AOD гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд BO/OD = √(PBOS/PAOD) байна. Тиймээс PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Бид PSOD = √(PBOS*PAOD) авна. Дараа нь PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.
Ижил төстэй шинж чанарууд
Энэ сэдвийг үргэлжлүүлэн хөгжүүлснээр бид трапецын бусад сонирхолтой шинж чанаруудыг баталж чадна. Тиймээс ижил төстэй байдлыг ашиглан энэ геометрийн дүрсийн диагональуудын огтлолцолоос үүссэн цэгээр дамжин өнгөрөх сегментийн шинж чанарыг суурьтай параллель нотолж болно. Үүний тулд дараах бодлогыг шийдье: О цэгийг дайран өнгөрөх RK хэрчмийн уртыг олох хэрэгтэй. AOD ба BOS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас AO/OS = AD/BS гарч ирнэ. AOP ба ASB гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=BS*BP/(BS+BP)-ийг авна. Үүний нэгэн адил DOC ба DBS гурвалжнуудын ижил төстэй байдлаас үзэхэд OK = BS*AD/(BS+AD) байна. Эндээс бид RO=OK ба RK=2*BS*AD/(BS+AD) гэсэн утгыг авна. Диагональуудын огтлолцлын цэгийг дайран өнгөрч, суурьтай параллель, хоёр хажуу талыг холбосон сегментийг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваана. Түүний урт нь зургийн суурийн гармоник дундаж юм.
Дөрвөн цэгийн өмч гэж нэрлэгддэг трапецын дараах шинж чанарыг авч үзье. Диагональуудын огтлолцлын цэгүүд (O), талуудын үргэлжлэл (E) огтлолцол, түүнчлэн суурийн дунд цэгүүд (T ба F) үргэлж нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнийг ижил төстэй байдлын аргаар хялбархан баталж болно. Үүссэн гурвалжин BES ба AED нь ижил төстэй бөгөөд тэдгээр нь тус бүрт ET ба EJ медианууд E оройн өнцгийг тэнцүү хэсгүүдэд хуваадаг. Тиймээс E, T, F цэгүүд нэг шулуун дээр байрладаг. Үүнтэй адилаар T, O, Zh цэгүүд нь ижил шулуун дээр байрлана. Эндээс бид бүх дөрвөн цэг - E, T, O, F - нэг шулуун дээр байх болно гэж дүгнэж байна.
Ижил төстэй трапецын тусламжтайгаар та зургийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегментийн уртыг (LF) олохыг сурагчдаас хүсч болно. Энэ сегмент нь суурьтай зэрэгцээ байх ёстой. Үүссэн трапецын ALFD ба LBSF нь ижил төстэй тул BS/LF = LF/AD болно. Үүнээс LF=√(BS*AD) гарч ирнэ. Трапецийг ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваах сегмент нь зургийн суурийн уртын геометрийн дундажтай тэнцүү урттай болохыг бид олж мэдэв.
Дараах ижил төстэй шинж чанарыг авч үзье. Энэ нь трапецийг хоёр тэнцүү дүрс болгон хуваах сегмент дээр суурилдаг. ABSD трапецийг EH сегментээр ижил төстэй хоёр хэсэгт хуваана гэж бид таамаглаж байна. В оройноос өндрийг хассан бөгөөд энэ нь EN сегментээр B1 ба B2 гэсэн хоёр хэсэгт хуваагдана. Бид дараахыг авна: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 ба PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Дараа нь бид эхний тэгшитгэл нь (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2, хоёр дахь (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2 гэсэн системийг зохио. Үүнээс үзэхэд B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) ба BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Трапецийг хоёр тэнцүү болгон хуваах сегментийн урт нь суурийн уртын язгуур квадраттай тэнцүү болохыг олж мэдэв: √((BS2+AD2)/2).
Ижил төстэй байдлын үр дүн
Тиймээс бид үүнийг нотолсон:
1. Трапецын хажуу талуудын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим нь AD ба BS-тэй параллель байх ба BS ба AD-ийн арифметик дундажтай тэнцүү байна (трапецын суурийн урт).
2. AD ба BS параллель диагональуудын огтлолцлын О цэгийг дайран өнгөрөх шулуун нь AD ба BS тоонуудын гармоник дундажтай тэнцүү байна (2*BS*AD/(BS+AD)).
3. Трапецийг ижил төстэй хэсгүүдэд хуваах сегмент нь BS ба AD суурийн геометрийн дундаж урттай байна.
4. Дүрсийг хоёр тэнцүү болгон хуваах элемент нь AD ба BS тоонуудын язгуур квадратын урттай байна.
Материалыг нэгтгэж, авч үзсэн сегментүүдийн хоорондын холболтыг ойлгохын тулд оюутан тэдгээрийг тодорхой трапецын хувьд барих хэрэгтэй. Тэрээр суурьтай параллель - зургийн диагональуудын огтлолцол - O цэгээр дамждаг дунд шугам ба сегментийг хялбархан харуулж чадна. Харин гурав, дөрөв дэх нь хаана байрлах вэ? Энэ хариулт нь оюутныг дундаж утгуудын хоорондын хүссэн хамаарлыг олж мэдэхэд хүргэнэ.
Трапецын диагональуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент
Энэ зургийн дараах шинж чанарыг анхаарч үзээрэй. MH хэрчмийг суурьтай параллель, диагональуудыг хоёр хуваасан гэж бид таамаглаж байна. Ш ба Ш огтлолцох цэгүүдийг нэрлэе. Энэ хэрчим нь суурийн зөрүүний талтай тэнцүү байна. Үүнийг илүү дэлгэрэнгүй авч үзье. MS нь ABS гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь BS/2-тэй тэнцүү байна. MSH нь ABD гурвалжны дунд шугам бөгөөд энэ нь AD/2-тэй тэнцүү байна. Дараа нь бид ShShch = MSh-MSh, тиймээс ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2 гэдгийг олж авна.
Хүндийн төв
Өгөгдсөн геометрийн дүрсийн хувьд энэ элемент хэрхэн тодорхойлогддогийг харцгаая. Үүнийг хийхийн тулд суурийг эсрэг чиглэлд сунгах шаардлагатай. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Та доод суурийг дээд суурь руу нэмэх хэрэгтэй - аль ч чиглэлд, жишээлбэл, баруун тийш. Мөн бид доод хэсгийг дээд талынх нь уртаар зүүн тийш сунгана. Дараа нь бид тэдгээрийг диагональ байдлаар холбоно. Энэ сегментийн зургийн дунд шугамтай огтлолцох цэг нь трапецын хүндийн төв юм.
Бичсэн ба хүрээлэгдсэн трапецууд
Ийм тоонуудын онцлогуудыг жагсаая:
1. Трапецийг зөвхөн ижил өнцөгт байвал тойрог дотор бичиж болно.
2. Суурийн уртын нийлбэр нь талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү байх нөхцөлд трапецийг тойрог хэлбэрээр дүрсэлж болно.
Тойргийн үр дагавар:
1. Тайлбарласан трапецын өндөр нь үргэлж хоёр радиустай тэнцүү байна.
2. Тодорхойлсон трапецын тал нь тойргийн төвөөс тэгш өнцөгт ажиглагдаж байна.
Эхний үр дүн нь тодорхой боловч хоёр дахь нь SOD өнцөг зөв гэдгийг батлах шаардлагатай бөгөөд энэ нь үнэндээ тийм ч хэцүү биш юм. Гэхдээ энэ өмчийн талаархи мэдлэг нь асуудлыг шийдэхдээ тэгш өнцөгт гурвалжинг ашиглах боломжийг танд олгоно.
Одоо тойрог дотор бичсэн ижил өнцөгт трапецын хувьд эдгээр үр дагаврыг тодорхойлъё. Өндөр нь зургийн суурийн геометрийн дундаж болохыг олж мэдэв: H=2R=√(BS*AD). Трапецын асуудлыг шийдвэрлэх үндсэн арга барил (хоёр өндрийг зурах зарчим) дадлага хийх явцад оюутан дараахь даалгаврыг шийдвэрлэх ёстой. BT нь ABSD-ийн тэгш өнцөгт дүрсийн өндөр гэж бид таамаглаж байна. AT ба TD сегментүүдийг олох шаардлагатай. Дээр дурдсан томъёог ашиглан үүнийг хийхэд хэцүү биш байх болно.
Одоо хүрээлэгдсэн трапецын талбайг ашиглан тойргийн радиусыг хэрхэн тодорхойлохыг олж мэдье. Бид өндрийг B оройноос AD суурь хүртэл бууруулна. Тойрог трапец хэлбэрээр бичсэн тул BS+AD = 2AB эсвэл AB = (BS+AD)/2 болно. ABN гурвалжнаас бид sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD)-ийг олно. PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Бид PABSD = (BS+BP)*R авна, үүнээс R = PABSD/(BS+BP) гарна.
Трапецын дунд шугамын бүх томъёо
Одоо энэ геометрийн дүрсийн сүүлчийн элемент рүү шилжих цаг болжээ. Трапецын дунд шугам (M) нь юутай тэнцүү болохыг олж мэдье.
1. Суурийн тусламжтайгаар: M = (A+B)/2.
2. Өндөр, суурь, булангаар:
M = A-H*(ctgα+ctgβ)/2;
M = B+N*(ctgα+ctgβ)/2.
3. Өндөр, диагональ ба тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр. Жишээлбэл, D1 ба D2 нь трапецын диагональ юм; α, β - тэдгээрийн хоорондох өнцөг:
M = D1*D2*sinα/2Н = D1*D2*sinβ/2Н.
4. Талбай ба өндрөөр: M = P/N.
Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.
Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах
Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.
Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.
Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.
Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:
- Таныг сайт дээр өргөдөл гаргах үед бид таны нэр, утасны дугаар, имэйл хаяг гэх мэт янз бүрийн мэдээллийг цуглуулж болно.
Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:
- Бидний цуглуулсан хувийн мэдээлэл нь өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар тантай холбогдох боломжийг олгодог.
- Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээдэг.
- Мөн бид үзүүлж буй үйлчилгээгээ сайжруулах, танд үйлчилгээнийхээ талаар зөвлөмж өгөх зорилгоор аудит хийх, мэдээллийн дүн шинжилгээ хийх, төрөл бүрийн судалгаа хийх зэрэг хувийн мэдээллийг дотоод зорилгоор ашиглаж болно.
- Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.
Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах
Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.
Үл хамаарах зүйл:
- Шаардлагатай бол - хууль тогтоомжийн дагуу, шүүхийн журмаар, шүүхийн журмаар, ба/эсвэл ОХУ-ын нутаг дэвсгэр дэх төрийн байгууллагуудын хүсэлт, хүсэлтийн үндсэн дээр хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
- Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.
Хувийн мэдээллийг хамгаалах
Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.
Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх
Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.
\[(\Том(\текст(Чөлөөт трапец)))\]
Тодорхойлолт
Трапец гэдэг нь хоёр тал нь параллель, нөгөө хоёр тал нь зэрэгцээ биш гүдгэр дөрвөн өнцөгт юм.
Трапецын зэрэгцээ талуудыг суурь, нөгөө хоёр талыг хажуу тал гэж нэрлэдэг.
Трапецын өндөр нь нэг суурийн аль ч цэгээс нөгөө суурь руу татсан перпендикуляр юм.
Теоремууд: трапецын шинж чанарууд
1) Хажуу талын өнцгүүдийн нийлбэр нь \(180^\circ\) байна.
2) Диагональууд нь трапецийг дөрвөн гурвалжинд хуваадаг бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь ижил төстэй, нөгөө хоёр нь тэнцүү хэмжээтэй байна.
Баталгаа
1) Учир нь \(AD\зэрэгцээ МЭӨ\), тэгвэл \(\өнцөг BAD\) ба \(\өнцөг ABC\) нь эдгээр шулуун ба хөндлөн \(AB\) нэг талт байна. \(\өнцөг BAD +\өнцөг ABC=180^\circ\).
2) Учир нь \(AD\параллель BC\) ба \(BD\) нь секант бөгөөд дараа нь \(\өнцөг DBC=\өнцөг BDA\) хөндлөн хэвтэнэ.
Мөн \(\өнцөг BOC=\өнцөг AOD\) босоо байдлаар.
Тиймээс хоёр өнцгөөр \(\гурвалжин BOC \sim \гурвалжин AOD\).
Үүнийг баталцгаая \(S_(\гурвалжин AOB)=S_(\гурвалжин COD)\). Трапецын өндрийг \(h\) гэж үзье. Дараа нь \(S_(\triangle ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\гурвалжин ACD)\). Дараа нь: \
Тодорхойлолт
Трапецын дунд шугам нь талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.
Теорем
Трапецын дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.
Нотолгоо*
1) Зэрэгцээ байдлыг баталцгаая.
\(M\) цэгээр \(MN"\параллель AD\) (\(N"\CD\) шулуун шугамыг татъя. Дараа нь, Фалесийн теоремын дагуу ( \(MN"\зэрэгцээ AD\зэрэгцээ МЭӨ, AM=MB\)) цэг \(N"\) нь \(CD\) сегментийн дунд байна. Энэ нь \(N\) ба \(N"\) цэгүүд давхцана гэсэн үг.
2) Томьёог баталцгаая.
\(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) хийцгээе. Болъё \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).
Дараа нь Фалесийн теоремоор \(M"\) ба \(N"\) нь \(BB"\) ба \(CC"\) хэсгүүдийн дунд цэгүүд болно. Энэ нь \(MM"\) нь \(\гурвалжин ABB"\) , \(NN"\) нь \(\гурвалжин DCC"\) -ийн дунд шугам гэсэн үг юм. Тийм учраас: \
Учир нь \(MN\зэрэгцээ МЭ\зэрэгцээ МЭӨ\)ба \(BB", CC"\perp AD\) , дараа нь \(B"M"N"C"\) ба \(BM"N"C\) тэгш өнцөгтүүд байна. Фалесийн теоремоор \(MN\параллель AD\) ба \(AM=MB\)-аас \(B"M"=M"B\) гарч ирнэ.Иймээс \(B"M"N"C "\) ба \(BM"N"C\) нь тэнцүү тэгш өнцөгтүүд тул \(M"N"=B"C"=BC\) .
Тиймээс:
\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\баруун)=\dfrac12\left(AD+BC\баруун)\]
Теорем: дурын трапецын шинж чанар
Суурийн дунд цэгүүд, трапецын диагональуудын огтлолцлын цэг ба хажуугийн хажуугийн өргөтгөлүүдийн огтлолцлын цэгүүд нь ижил шулуун дээр байрладаг.
Нотолгоо*
"Гурвалжны ижил төстэй байдал" сэдвийг судалсны дараа нотлох баримттай танилцахыг зөвлөж байна.
1) \(P\), \(N\) ба \(M\) цэгүүд нэг шулуун дээр байгааг баталцгаая.
Шулуун шугамыг \(PN\) зуръя (\(P\) нь хажуугийн талуудын суналтын огтлолцлын цэг, \(N\) нь \(BC\)-ийн дунд хэсэг). Үүнийг \(AD\) талтай \(M\) цэгээр огтолцгооё. \(M\) нь \(AD\) -ийн дунд цэг гэдгийг баталцгаая.
\(\гурвалжин BPN\) болон \(\гурвалжин APM\) -ийг авч үзье. Тэдгээр нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байна (\(\өнцөг APM\) – ерөнхий, \(\өнцөг PAM=\өнцөг PBN\) нь \(AD\зэрэгцээ МЭӨ\) ба \(AB\) секант). гэсэн утгатай: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]
\(\гурвалжин CPN\) болон \(\гурвалжин DPM\)-ийг авч үзье. Тэдгээр нь хоёр өнцгөөр ижил төстэй байна (\(\өнцгийн DPM\) – ерөнхий, \(\өнцгийн PDM=\өнцгийн PCN\) нь \(AD\зэрэгцээ МЭӨ\) ба \(CD\) секант). гэсэн утгатай: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]
Эндээс \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Гэхдээ \(BN=NC\) тиймээс \(AM=DM\) .
2) \(N, O, M\) цэгүүд нэг шулуун дээр байгааг баталцгаая.
\(N\) нь \(BC\)-ийн дунд цэг, \(O\) нь диагональуудын огтлолцлын цэг байг. Шулуун зуръя \(NO\) , энэ нь \(AD\) талтай \(M\) цэг дээр огтлолцоно. \(M\) нь \(AD\) -ийн дунд цэг гэдгийг баталцгаая.
\(\гурвалжин BNO\sim \гурвалжин DMO\)хоёр өнцгийн дагуу (\(\өнцөг OBN=\өнцөг ODM\) хөндлөн хэвтэх \(BC\зэрэгцээ AD\) ба \(BD\) секант; \(\өнцөг BON=\өнцөг DOM\) босоо байдлаар). гэсэн утгатай: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]
Үүний нэгэн адил \(\гурвалжин CON\sim \гурвалжин AOM\). гэсэн утгатай: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]
Эндээс \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Гэхдээ \(BN=CN\) тиймээс \(AM=MD\) .
\[(\Том(\текст(Isosceles trapezoid)))\]
Тодорхойлолт
Нэг өнцөг нь зөв байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Хэрэв талууд нь тэнцүү бол трапецийг ижил хажуу тал гэж нэрлэдэг.
Теоремууд: ижил өнцөгт трапецын шинж чанарууд
1) Хоёр талт трапецын суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.
2) Хоёр талт трапецын диагональууд тэнцүү байна.
3) Диагональ ба сууринаас үүссэн хоёр гурвалжин нь тэгш өнцөгт юм.
Баталгаа
1) \(ABCD\) ижил өнцөгт трапецийг авч үзье.
\(B\) ба \(C\) оройноос \(BM\) ба \(CN\) перпендикуляруудыг \(AD\) тал руу тус тус буулгана. \(BM\perp AD\) ба \(CN\perp AD\) тул \(BM\parallel CN\) ; \(AD\параллель BC\) , тэгвэл \(MBCN\) нь параллелограмм тул \(BM = CN\) .
\(ABM\) ба \(CDN\) тэгш өнцөгт гурвалжнуудыг авч үзье. Тэдний гипотенузууд тэнцүү ба \(BM\) хөл нь \(CN\) тэнцүү тул эдгээр гурвалжнууд тэнцүү байх тул \(\өнцөг DAB = \өнцгийн CDA\) .
2) 
Учир нь \(AB=CD, \өнцөг A=\өнцөг D, AD\)- ерөнхий, дараа нь эхний тэмдгийн дагуу. Тиймээс \(AC=BD\) .
3) Учир нь \(\гурвалжин ABD=\гурвалжин ACD\), дараа нь \(\өнцгийн BDA=\өнцгийн CAD\) . Тиймээс \(\ гурвалжин AOD\) гурвалжин нь ижил өнцөгт байна. Үүний нэгэн адил \(\гурвалжин BOC\) нь ижил хажуу талтай болох нь батлагдсан.
Теоремууд: ижил өнцөгт трапецын шинж тэмдэг
1) Хэрэв трапецын үндсэн өнцөг нь тэнцүү бол энэ нь ижил өнцөгт байна.
2) Хэрэв трапецын диагональ нь тэнцүү бол энэ нь ижил өнцөгт байна.
Баталгаа
\(\өнцөг A = \өнцөг D\) байх \(ABCD\) трапецийг авч үзье.
Зурагт үзүүлсэн шиг \(AED\) гурвалжин руу трапецийг гүйцээцгээе. \(\өнцөг 1 = \өнцөг 2\) тул \(AED\) гурвалжин нь ижил өнцөгт байх ба \(AE = ED\) . \(1\) ба \(3\) өнцөг нь \(AD\) ба \(BC\) ба хөндлөн \(AB\) зэрэгцээ шугамуудын харгалзах өнцөгтэй тэнцүү байна. Үүний нэгэн адил, \(2\) ба \(4\) өнцгүүд тэнцүү, гэхдээ \(\өнцөг 1 = \өнцөг 2\), дараа нь \(\өнцөг 3 = \өнцөг 1 = \өнцөг 2 = \өнцөг 4\), тиймээс \(BEC\) гурвалжин нь мөн адил тэгш өнцөгт ба \(BE = EC\) .
Эцэст нь \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), өөрөөр хэлбэл \(AB = CD\) нь нотлох шаардлагатай зүйл юм.
2) \(AC=BD\) гэж үзье. Учир нь \(\гурвалжин AOD\sim \гурвалжин BOC\), дараа нь бид тэдгээрийн ижил төстэй байдлын коэффициентийг \(k\) гэж тэмдэглэнэ. Хэрэв \(BO=x\) бол \(OD=kx\) . \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) -тай төстэй.
Учир нь \(AC=BD\) , дараа нь \(x+kx=y+ky \Баруун сум x=y\) . Энэ нь \(\гурвалжин AOD\) нь хоёр талт ба \(\өнцгийн OAD=\өнцгийн ODA\) гэсэн үг юм.
Тиймээс эхний шинж тэмдгийн дагуу \(\гурвалжин ABD=\гурвалжин ACD\) (\(AC=BD, \өнцгийн OAD=\өнцгийн ODA, AD\)- ерөнхий). Тэгэхээр, \(AB=CD\), яагаад.
