Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх томъёо. Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Даалгавар №1

Логик нь энгийн: одоо тригонометрийн функцууд илүү төвөгтэй аргументтай байгаагаас үл хамааран бид өмнөх шигээ хийх болно!

Хэрэв бид хэлбэрийн тэгшитгэлийг шийдвэл:

Дараа нь бид дараах хариултыг бичнэ.

Эсвэл (түүнээс хойш)

Харин одоо бидний үүргийг дараах илэрхийллээр гүйцэтгэж байна.

Дараа нь бид бичиж болно:

Та бүхэнтэй хийх бидний зорилго бол зүүн тал нь ямар ч "бохирдолгүй" байх явдал юм!

Тэднээс аажмаар салцгаая!

Эхлээд хуваагчийг хасъя: Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлыг дараах байдлаар үржүүлнэ.

Одоо үүнийг хоёр хэсэгт хувааж салцгаая.

Одоо наймаас салцгаая:

Үр дүнгийн илэрхийлэлийг 2 цуврал шийд хэлбэрээр бичиж болно (квадрат тэгшитгэлтэй адилтгаж, бид дискриминантыг нэмэх эсвэл хасах)

Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй! Бид цэгцлэх шаардлагатай нь тодорхой байна.

Эхлээд эхний ангийг харцгаая:

Хэрэв бид авбал үр дүнд нь эерэг тоо хүлээн авах нь тодорхой боловч тэд биднийг сонирхохгүй байна.

Тиймээс та үүнийг сөрөг хүлээж авах хэрэгтэй. Байцгаая.

Үндэс нь нарийссан үед:

Мөн бид хамгийн том сөрөг талыг олох хэрэгтэй!! Энэ нь сөрөг чиглэлд явах нь энд утгагүй болсон гэсэн үг юм. Мөн энэ цувралын хамгийн том сөрөг үндэс нь тэнцүү байх болно.

Одоо хоёр дахь цувралыг харцгаая:

Мөн бид дахин орлуулна: , дараа нь:

Сонирхолгүй!

Дараа нь цаашид нэмэгдүүлэх нь утгагүй болно! Үүнийг багасгацгаая! Дараа нь зөвшөөр:

Тохиромжтой!

Байцгаая. Дараа нь

Дараа нь - хамгийн том сөрөг үндэс!

Хариулт:

Даалгавар №2

Нарийн төвөгтэй косинусын аргументаас үл хамааран бид дахин шийддэг.

Одоо бид зүүн талд дахин илэрхийлж байна:

Хоёр талыг үржүүлнэ

Хоёр талыг нь хуваа

Үлдсэн зүйл бол тэмдгийг баруун тийш шилжүүлэх, хасахаас нэмэх рүү шилжүүлэх явдал юм.

Бид дахин 2 цуврал үндсийг авдаг, нэг нь, нөгөө нь нь.

Бид хамгийн том сөрөг үндсийг олох хэрэгтэй. Эхний ангийг харцгаая:

Бид эхний сөрөг язгуурыг авах нь тодорхой бөгөөд энэ нь 1 цувралын хамгийн том сөрөг язгууртай тэнцүү байх болно.

Хоёр дахь цувралын хувьд

Эхний сөрөг язгуурыг мөн үед авах ба тэнцүү байх болно. Энэ нь тэгшитгэлийн хамгийн том сөрөг язгуур юм.

Хариулт: .

Даалгавар №3

Нарийн төвөгтэй шүргэгч аргументаас үл хамааран бид шийддэг.

Одоо энэ нь төвөгтэй биш юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Өмнөх шигээ бид зүүн талдаа дараахь зүйлийг илэрхийлнэ.

Гайхалтай, энд зөвхөн нэг цуврал үндэс бий! Хамгийн том сөрөгийг дахин олъё.

Тавьчихвал гарах нь ойлгомжтой. Мөн энэ үндэс нь тэнцүү юм.

Хариулт:

Одоо дараах асуудлуудыг өөрөө шийдэж үзээрэй.

Гэрийн даалгавар эсвэл бие даан шийдвэрлэх 3 даалгавар.

1. Тэгшитгэлийг шийд.
   
2. Тэгшитгэлийг шийд.
   Пи-ши-хамгийн бага-боломжтой язгуурын хариултанд.
3. Тэгшитгэлийг шийд.
   Пи-ши-хамгийн бага-боломжтой язгуурын хариултанд.

Бэлэн үү? Шалгацгаая. Би бүхэл бүтэн шийдлийн алгоритмыг нарийвчлан тайлбарлахгүй, энэ нь дээр дурдсан хангалттай анхаарал татсан юм шиг санагдаж байна.

За, бүх зүйл зөв үү? Өө, эдгээр муухай синусууд, тэдэнд үргэлж ямар нэгэн асуудал байдаг!

За, одоо та энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэж чадна!

Шийдэл, хариултыг шалгана уу:

Даалгавар №1

илэрхийлье

Хамгийн бага эерэг язгуурыг бид, оноос хойш, дараа нь тавьсан бол олж авна

Хариулт:

Даалгавар №2

Хамгийн бага эерэг үндсийг -д авна.

Энэ нь тэнцүү байх болно.

Хариулт: .

Даалгавар №3

Авахдаа, авах үед.

Хариулт: .

Энэхүү мэдлэг нь танд шалгалтанд тулгарах олон асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.

Хэрэв та "5" үнэлгээ авахаар өргөдөл гаргаж байгаа бол нийтлэлийг уншихад л хангалттай дунд түвшинЭнэ нь илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно (даалгавар С1).

ДУНДАЖ ТҮВШИН

Энэ нийтлэлд би тайлбарлах болно илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхмөн тэдний үндсийг хэрхэн сонгох вэ. Энд би дараахь сэдвээр зурах болно.

1. Анхан шатны тригонометрийн тэгшитгэл (дээрхийг үзнэ үү).

Илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүд нь дэвшилтэт асуудлуудын үндэс болдог. Тэд тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх, тодорхой интервалд хамаарах энэ тэгшитгэлийн үндсийг олохыг шаарддаг.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь дараах хоёр дэд даалгавраас бүрдэнэ.

1. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх
2. Үндэс сонголт

Хоёрдахь нь үргэлж шаардлагагүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй, гэхдээ ихэнх жишээн дээр сонгох шаардлагатай хэвээр байна. Гэхдээ хэрэв энэ нь шаардлагагүй бол бид таныг өрөвдөж чадна - энэ нь тэгшитгэл нь өөрөө нэлээд төвөгтэй гэсэн үг юм.

С1 асуудлуудад дүн шинжилгээ хийсэн миний туршлагаас харахад тэдгээр нь ихэвчлэн дараах ангилалд хуваагддаг.

Нарийн төвөгтэй байдлын дөрвөн ангиллын даалгавар (хуучин C1)

1. Хүчин зүйлд хуваагдах тэгшитгэлүүд.
2. Тэгшитгэлийг хэлбэр болгон бууруулсан.
3. Хувьсагчийг өөрчлөх замаар шийддэг тэгшитгэл.
4. Иррационал буюу хуваарийн улмаас язгуурын нэмэлт сонголт шаарддаг тэгшитгэлүүд.

Энгийнээр хэлэхэд, хэрэв та баригдвал эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийн нэг, тэгвэл өөрийгөө азтай гэж бод. Тэдний хувьд дүрмээр бол та тодорхой интервалд хамаарах үндсийг сонгох хэрэгтэй.

Хэрэв та 4-р төрлийн тэгшитгэлтэй тулгарвал та азтай байх болно: та үүнийг илүү урт, болгоомжтой хийх хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь ихэвчлэн үндсийг сонгох шаардлагагүй байдаг. Гэсэн хэдий ч би дараагийн өгүүллээр энэ төрлийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийх бөгөөд үүнийг эхний гурван төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулах болно.

Үржүүлэгдэхүүн болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та санаж байх ёстой хамгийн чухал зүйл юм

Практикаас харахад энэ мэдлэг нь дүрмээр бол хангалттай юм. Зарим жишээг харцгаая:

Жишээ 1. Багасгах ба давхар өнцгийн синусын томьёог ашиглан үржвэрлэх болгон бууруулсан тэгшитгэл

• Тэгшитгэлийг шийд
• Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол

Энд миний амласанчлан бууруулах томъёонууд ажилладаг:

Дараа нь миний тэгшитгэл дараах байдлаар харагдах болно.

Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэрийг авна.

Богино хараатай оюутан хэлэхдээ: Одоо би хоёр талыг багасгаж, хамгийн энгийн тэгшитгэлийг олж, амьдралаас таашаал авах болно! Тэгээд тэр маш их алдаа гаргах болно!

Тэгэхээр юу хийх вэ? Тийм ээ, энэ нь энгийн, бүгдийг нэг тал руу шилжүүлж, нийтлэг хүчин зүйлийг хас:

За, бид үүнийг хүчин зүйлд тооцсон, яараарай! Одоо шийдье:

Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:

Мөн хоёр дахь нь:

Энэ нь асуудлын эхний хэсгийг дуусгаж байна. Одоо та үндсийг сонгох хэрэгтэй:

Цоорхой нь дараах байдалтай байна.

Эсвэл үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

За, үндсийг нь авч үзье:

Эхлээд эхний ангитай ажиллацгаая (багаар бодоход илүү энгийн!)

Бидний интервал бүхэлдээ сөрөг байдаг тул сөрөг бусыг авах шаардлагагүй, тэд сөрөг бус үндсийг өгөх болно.

Үүнийг авъя, тэгвэл - энэ нь хэтэрхий их байна, энэ нь цохихгүй.

Байг, тэгвэл би дахиж цохисонгүй.

Дахиад нэг оролдлого - тэгвэл - тийм ээ, би ойлголоо! Эхний үндэс олдлоо!

Би дахиад буудлаа: дараа нь би дахин цохив!

За дахиад нэг удаа: : - энэ бол аль хэдийн нислэг.

Тэгэхээр эхний цувралаас интервалд хамаарах 2 үндэс байна: .

Бид хоёр дахь цувралтай ажиллаж байна (бид барьж байна дүрмийн дагуу эрх мэдэлд):

Дутуу буулга!

Ахиад л үгүйлж байна!

Ахиад л үгүйлж байна!

Авчихсан!

Нислэг!

Тиймээс миний интервал дараах үндэстэй байна.

Энэ нь бидний бусад бүх жишээг шийдвэрлэх алгоритмыг ашиглах болно. Дахин нэг жишээгээр хамтдаа дадлага хийцгээе.

Жишээ 2. Бууруулах томьёог ашиглан үржвэрлэх болгон бууруулсан тэгшитгэл

• Тэгшитгэлийг шийд

Шийдэл:

Дахин алдартай бууруулах томъёо:

Дахиж багасгах гэж бүү оролдоорой!

Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:

Мөн хоёр дахь нь:

Одоо дахин үндэс хайж байна.

Би хоёр дахь ангиас эхэлье, би өмнөх жишээнээс энэ талаар бүгдийг мэддэг болсон! Интервалд хамаарах үндэс нь дараах байдалтай байгаа эсэхийг шалгаарай.

Одоо эхний анги бөгөөд энэ нь илүү хялбар болсон:

Хэрэв - тохиромжтой

Хэрэв энэ нь бас зүгээр юм бол

Хэрэв энэ нь аль хэдийн нислэг болсон бол.

Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.

Бие даасан ажил. 3 тэгшитгэл.

За, техник нь танд ойлгомжтой байна уу? Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь тийм ч хэцүү биш юм шиг санагдаж байна уу? Дараа нь дараах асуудлуудыг өөрөө хурдан шийд, дараа нь бид бусад жишээнүүдийг шийдэх болно.

1. Тэгшитгэлийг шийд
   Энэ тэгшитгэлийн интервалаас дээгүүр байгаа бүх язгуурыг ол.
2. Тэгшитгэлийг шийд
   Зүссэн хэсгийн дээгүүр байрлах тэгшитгэлийн үндсийг заана уу
3. Тэгшитгэлийг шийд
   Тэдгээрийн хооронд байгаа тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол.

Тэгшитгэл 1.

Мөн дахин бууруулах томъёо:

Эхний цуврал үндэс:

Хоёр дахь цуврал үндэс:

Бид цоорхойг сонгож эхэлнэ

Хариулт: , .

Тэгшитгэл 2. Бие даасан ажлыг шалгах.

Хүчин зүйлийн хувьд нэлээд төвөгтэй бүлэглэл (би давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглах болно):

дараа нь эсвэл

Энэ бол ерөнхий шийдэл юм. Одоо бид үндсийг нь сонгох хэрэгтэй. Асуудал нь бид косинус нь дөрөвний нэгтэй тэнцэх өнцгийн яг утгыг хэлж чадахгүй байгаа явдал юм. Тиймээс, би нумын косинусаас салж чадахгүй - үнэхээр ичмээр юм!

Миний хийж чадах зүйл бол ийм, тийм, тэгвэл гэдгийг ойлгох явдал юм.

Хүснэгт үүсгэцгээе: интервал:

За, зовлонтой эрэл хайгуулын үр дүнд бидний тэгшитгэл нь заасан интервал дээр нэг үндэстэй гэсэн сэтгэл дундуур дүгнэлтэд хүрсэн. \displaystyle arccos\frac(1)(4)-5\pi

Тэгшитгэл 3: Бие даасан ажлын тест.

Аймшигтай харагдах тэгшитгэл. Гэсэн хэдий ч давхар өнцгийн синусын томъёог ашиглан үүнийг маш энгийнээр шийддэг.

Үүнийг 2-оор бууруулъя:

Эхний нэр томъёог хоёр дахь, гурав дахь нь дөрөв дэх гишүүнтэй бүлэглэж, нийтлэг хүчин зүйлсийг авч үзье.

Эхний тэгшитгэл нь үндэсгүй нь тодорхой бөгөөд одоо хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.

Ерөнхийдөө би ийм тэгшитгэлийг шийдэх талаар бага зэрэг ярих болно, гэхдээ энэ нь гарсан тул хийх зүйл алга, би шийдэх ёстой ...

Маягтын тэгшитгэлүүд:

Энэ тэгшитгэлийг хоёр талыг дараахь байдлаар хуваах замаар шийднэ.

Тиймээс бидний тэгшитгэл нь нэг цуврал үндэстэй байна:

Бид интервалд хамаарах хүмүүсийг олох хэрэгтэй: .

Өмнө нь хийсэн шигээ дахин ширээ бүтээцгээе.

Хариулт: .

Тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулав.

За, одоо тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэг рүү шилжих цаг болжээ, ялангуяа би шинэ төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл нь юунаас бүрдэх талаар шошго асгарсан тул. Гэхдээ тэгшитгэл нь хэлбэртэй гэдгийг давтах нь зүйтэй юм

Хоёр талыг косинусаар хуваах замаар шийднэ:

1. Тэгшитгэлийг шийд
   Зүссэн хэсгийн дээгүүр байрлах тэгшитгэлийн үндсийг заана уу.
2. Тэгшитгэлийг шийд
   Тэдний хооронд байгаа тэгшитгэлийн язгуурыг заана уу.

Жишээ 1.

Эхнийх нь маш энгийн. Баруун тийш шилжиж, давхар өнцгийн косинусын томъёог хэрэглэнэ.

Тиймээ! Маягтын тэгшитгэл: . Би хоёр хэсгийг нь хуваадаг

Бид root скрининг хийдэг:

Цоорхой:

Хариулт:

Жишээ 2.

Бүх зүйл маш энгийн: баруун талд байгаа хаалтуудыг нээцгээе:

Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг:

Давхар өнцгийн синус:

Эцэст нь бид:

Үндэс скрининг: интервал.

Хариулт: .

За, техник танд хэр таалагдаж байна, энэ нь хэтэрхий төвөгтэй биш гэж үү? Үгүй гэж найдаж байна. Бид нэн даруй тайлбар хийж болно: цэвэр хэлбэрээр нь шууд шүргэгчийн тэгшитгэлд хүргэдэг тэгшитгэлүүд маш ховор байдаг. Ерөнхийдөө энэ шилжилт (косинусаар хуваагдах) нь илүү төвөгтэй асуудлын зөвхөн нэг хэсэг юм. Танд дадлага хийх жишээ энд байна:

• Тэгшитгэлийг шийд
• Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.

Шалгацгаая:

Тэгшитгэлийг нэн даруй шийдэж болно, хоёр талыг дараахь байдлаар хуваахад хангалттай.

Үндэс скрининг:

Хариулт: .

Ямар нэг байдлаар, бид саяхан судалж үзсэн төрлийн тэгшитгэлтэй тулгараагүй байна. Гэсэн хэдий ч, бид үүнийг өдөр гэж нэрлэхэд эрт байна: бидний цэгцэлж амжаагүй өөр нэг "давхарга" үлдсэн байна. Тэгэхээр:

Хувьсагчдыг өөрчлөх замаар тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Энд бүх зүйл ил тод байна: бид тэгшитгэлийг анхааралтай ажиглаж, аль болох хялбарчилж, орлуулалт хийж, шийдэж, урвуу орлуулалт хийдэг! Нэг үгээр хэлбэл бүх зүйл маш амархан. Үйлдлээр нь харцгаая:

Жишээ.

• Тэгшитгэлийг шийд: .
• Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.

За, энд орлуулах нь өөрөө бидэнд санал болгож байна!

Дараа нь бидний тэгшитгэл дараах болж хувирна.

Эхний тэгшитгэл нь үндэстэй:

Хоёр дахь нь иймэрхүү байна:

Одоо интервалд хамаарах үндсийг олъё

Хариулт: .

Хамтдаа арай илүү төвөгтэй жишээг харцгаая:

• Тэгшитгэлийг шийд
• Өгөгдсөн тэгшитгэлийн язгуурыг тэдгээрийн дээр байрлахыг заана уу.

Энд орлуулах нь шууд харагдахгүй, үүнээс гадна энэ нь тийм ч тодорхой биш юм. Эхлээд бодоцгооё: бид юу хийж чадах вэ?

Жишээлбэл, бид төсөөлж чадна

Мөн тэр үед

Дараа нь миний тэгшитгэл дараах хэлбэртэй болно.

Одоо анхаарлаа хандуулаарай:

Тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваая.

Гэнэт та бид хоёр квадрат тэгшитгэлийн хамаатан садантай болсон! Орлуулъя, тэгвэл бид дараахыг авна.

Тэгшитгэл нь дараах үндэстэй.

Үндэс нь тааламжгүй хоёр дахь цуврал, гэхдээ юу ч хийж чадахгүй! Бид интервал дахь үндсийг сонгодог.

Үүнийг бид бас анхаарч үзэх хэрэгтэй

Түүнээс хойш, тэгээд

Хариулт:

Асуудлыг өөрөө шийдэхээсээ өмнө үүнийг бататгахын тулд танд өөр нэг дасгал байна:

• Тэгшитгэлийг шийд
• Тэдгээрийн хооронд байгаа тэгшитгэлийн бүх язгуурыг ол.

Энд та нүдээ нээлттэй байлгах хэрэгтэй: одоо бид тэг байж болох хуваагчтай боллоо! Тиймээс, та үндэст онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй!

Юуны өмнө би тохирох орлуулалт хийх боломжтой тэгшитгэлийг өөрчлөх хэрэгтэй. Би одоо шүргэгчийг синус ба косинусын хувьд дахин бичихээс илүү сайн зүйл бодож чадахгүй байна.

Одоо би тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан косинусаас синус руу шилжих болно.

Эцэст нь би бүх зүйлийг нийтлэг зүйлд хүргэх болно:

Одоо би тэгшитгэл рүү шилжиж болно:

Гэхдээ цагт (өөрөөр хэлбэл, цагт).

Одоо бүх зүйл солиход бэлэн боллоо:

Дараа нь эсвэл

Гэсэн хэдий ч, хэрэв байгаа бол, дараа нь нэгэн зэрэг гэдгийг анхаарна уу!

Үүнээс хэн зовж байна вэ? Шүргэгчийн асуудал нь косинус тэгтэй тэнцүү байх үед (тэгээр хуваагдах тохиолдол гардаг) тодорхойлогдоогүйд оршино.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндэс нь:

Одоо бид интервал дахь үндсийг нь шүүж авна:

Тиймээс бидний тэгшитгэл интервал дээр нэг язгууртай бөгөөд энэ нь тэнцүү байна.

Та харж байна: хуваагчийн дүр төрх (яг шүргэгчтэй адил, үндэс нь тодорхой хүндрэлд хүргэдэг! Энд та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй!).

За, та бид хоёр тригонометрийн тэгшитгэлд дүн шинжилгээ хийж бараг дууслаа - хоёр асуудлыг бие даан шийдвэрлэхэд маш бага зүйл үлдсэн; Тэд энд байна.

1. Тэгшитгэлийг шийд
   Энэ тэгшитгэлийн зүсэлтийн дээрх бүх язгуурыг ол.
2. Тэгшитгэлийг шийд
   Зүссэн хэсгийн дээр байрлах энэ тэгшитгэлийн үндсийг заана уу.

Шийдсэн үү? Энэ их хэцүү биш гэж үү? Шалгацгаая:

1. Бид бууруулах томъёоны дагуу ажилладаг:

   Тэгшитгэлд орлуулах:

   Орлуулахад хялбар болгохын тулд бүгдийг косинусаар дахин бичье.

   Одоо солиход хялбар боллоо:

   Тэгшитгэлд шийдэл байхгүй тул энэ нь гадны үндэс болох нь тодорхой байна. Дараа нь:

   Бид интервалд хэрэгтэй үндсийг хайж байна

   Хариулт: .

2. 
   Энд орлуулалт нэн даруй харагдана:

   Дараа нь эсвэл

   	- тохирно!	- тохирно!
   	- тохирно!	- тохирно!
   	- маш их!	- бас маш их!

   Хариулт:

За, ингээд л боллоо! Гэхдээ тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх нь үүгээр дуусдаггүй: тэгшитгэлүүд нь иррациональ эсвэл янз бүрийн төрлийн "нийлмэл хуваагч" агуулсан тохиолдолд хамгийн хэцүү тохиолдолд үлддэг. Ийм даалгаврыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар бид ахисан түвшний нийтлэлээс авч үзэх болно.

АХИСАН ТҮВШИН

Өмнөх хоёр нийтлэлд авч үзсэн тригонометрийн тэгшитгэлээс гадна бид илүү нарийн дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай өөр ангиллын тэгшитгэлийг авч үзэх болно. Эдгээр тригонометрийн жишээнүүд нь үндэслэлгүй байдал эсвэл хуваагчийг агуулсан байдаг бөгөөд энэ нь тэдний шинжилгээг илүү төвөгтэй болгодог. Гэсэн хэдий ч та эдгээр тэгшитгэлтэй шалгалтын хуудасны С хэсэгт таарч магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч үүл бүр мөнгөн бүрхүүлтэй байдаг: ийм тэгшитгэлийн хувьд, дүрмээр бол түүний аль үндэс нь өгөгдсөн интервалд хамаарах вэ гэсэн асуулт гарч ирэхээ больсон. Бутны эргэн тойронд зодохгүй, харин тригонометрийн жишээнүүд рүү шууд орцгооё.

Жишээ 1.

Тэгшитгэлийг шийдэж, сегментэд хамаарах үндсийг ол.

Шийдэл:

Бид тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй хуваагчтай! Тэгвэл энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь системийг шийдэхтэй адил юм

Тэгшитгэл бүрийг шийдье:

Одоо хоёр дахь нь:

Одоо цувралыг харцгаая:

Энэ сонголт нь бидэнд тохирохгүй нь тодорхой байна, учир нь энэ тохиолдолд бидний хуваагч тэг болж өөрчлөгдөнө (хоёр дахь тэгшитгэлийн үндэсийн томъёог үзнэ үү)

Хэрэв бүх зүйл эмх цэгцтэй байгаа бөгөөд хуваагч нь тэг биш юм! Тэгвэл тэгшитгэлийн үндэс нь дараах байдалтай байна: , .

Одоо бид интервалд хамаарах үндсийг сонгоно.

Дараа нь үндэс нь дараах байдалтай байна.

Та харж байна уу, хуваарийн хэлбэрээр бага зэргийн эвдрэл гарч ирсэн нь тэгшитгэлийн шийдэлд ихээхэн нөлөөлсөн: бид хуваагчийг хүчингүй болгосон хэд хэдэн үндэсийг устгасан. Хэрэв та үндэслэлгүй тригонометрийн жишээнүүдийг олж харвал бүх зүйл бүр ч төвөгтэй болно.

Жишээ 2.

Тэгшитгэлийг шийд:

Шийдэл:

Ядаж үндсийг нь авах шаардлагагүй, энэ нь сайн хэрэг! Эхлээд тэгшитгэлийг иррациональ байдлаас үл хамааран шийдье.

Тэгэхээр энэ бүгд мөн үү? Үгүй ээ, харамсалтай нь энэ нь хэтэрхий хялбар байх болно! Үндэс дор зөвхөн сөрөг бус тоо гарч болно гэдгийг бид санах ёстой. Дараа нь:

Энэ тэгш бус байдлын шийдэл нь:

Одоо эхний тэгшитгэлийн язгуурын нэг хэсэг нь тэгш бус байдал хангаагүй газар санамсаргүйгээр дууссан эсэхийг олж мэдэх л үлдлээ.

Үүнийг хийхийн тулд та хүснэгтийг дахин ашиглаж болно:

Тиймээс миний нэг үндэс "унасан"! Хэрэв та үүнийг тавиад байвал энэ нь гарч ирнэ. Дараа нь хариултыг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулт:

Та харж байна уу, үндэс нь илүү их анхаарал шаарддаг! Үүнийг илүү төвөгтэй болгоё: одоо миний үндэс дор тригонометрийн функцтэй байцгаая.

Жишээ 3.

Өмнөх шигээ: эхлээд тус бүрийг тусад нь шийдэж, дараа нь бид юу хийснээ бодох болно.

Одоо хоёр дахь тэгшитгэл:

Одоо хамгийн хэцүү зүйл бол эхний тэгшитгэлийн үндсийг орлуулах юм бол арифметик язгуур дор сөрөг утгууд гарч байгаа эсэхийг олж мэдэх явдал юм.

Энэ тоог радиан гэж ойлгох ёстой. Радиан нь ойролцоогоор градус тул радианууд градусын дарааллаар байна. Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Хоёрдугаар улирлын косинусын тэмдэг юу вэ? Хасах. Синус яах вэ? Дээрээс нь. Тэгэхээр бид илэрхийллийн талаар юу хэлж чадах вэ:

Энэ нь тэгээс бага байна!

Энэ нь тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг юм.

Одоо цаг нь болсон.

Энэ тоог тэгтэй харьцуулж үзье.

Котангенс нь дөрөвний нэгээр буурч буй функц юм (аргумент бага байх тусам котангенс их болно). радианууд нь ойролцоогоор градус юм. Нэг цагт

оноос хойш, дараа нь, тиймээс
,

Хариулт: .

Энэ нь илүү төвөгтэй болж болох уу? Гуйя! Хэрэв үндэс нь тригонометрийн функц хэвээр байгаа бол тэгшитгэлийн хоёр дахь хэсэг нь дахин тригонометрийн функц байвал илүү хэцүү байх болно.

Тригонометрийн жишээ олон байх тусмаа сайн, доороос үзнэ үү.

Жишээ 4.

Хязгаарлагдмал косинусын улмаас үндэс нь тохирохгүй

Одоо хоёр дахь нь:

Үүний зэрэгцээ язгуурын тодорхойлолтоор:

Бид нэгжийн тойргийг санах хэрэгтэй: тухайлбал, синус нь тэгээс бага байдаг хэсгүүд. Эдгээр хороолол юу вэ? Гурав, дөрөв дэх. Дараа нь бид гурав, дөрөвдүгээр улиралд орших эхний тэгшитгэлийн шийдлүүдийг сонирхох болно.

Эхний цуврал нь гурав, дөрөвдүгээр улирлын уулзвар дээр хэвтэж буй үндсийг өгдөг. Хоёрдахь цуврал нь түүний эсрэг талд байрладаг - эхний ба хоёрдугаар улирлын хил дээр үндэс суурь үүсгэдэг. Тиймээс энэ цуврал бидэнд тохирохгүй байна.

Хариулт: ,

Бас дахин "Хэцүү үндэслэлгүй" тригонометрийн жишээнүүд. Бид язгуурын доор тригонометрийн функцийг дахин оруулаад зогсохгүй, энэ нь хуваагч дээр байна!

Жишээ 5.

За, юу ч хийж чадахгүй - бид өмнөх шигээ хийдэг.

Одоо бид хуваагчтай ажиллаж байна:

Би тригонометрийн тэгш бус байдлыг шийдэхийг хүсэхгүй байна, тиймээс би ухаалаг зүйл хийх болно: Би язгуурын цувааг авч, тэгш бус байдалд орлуулах болно:

Хэрэв - тэгш байвал бидэнд:

Учир нь бүх өнцгүүд дөрөвдүгээр улиралд оршдог. Мөн дахин ариун асуулт: 4-р улиралд синусын шинж тэмдэг юу вэ? Сөрөг. Дараа нь тэгш бус байдал

Хэрэв -сондгой бол:

Өнцөг аль улиралд байрлах вэ? Энэ бол хоёрдугаар улирлын булан юм. Дараа нь бүх булангууд нь дахин хоёрдугаар улирлын булангууд юм. Тэндхийн синус эерэг байна. Зөвхөн танд хэрэгтэй зүйл! Тиймээс цуврал:

Тохиромжтой!

Бид хоёр дахь цуврал үндэстэй ижил аргаар харьцдаг.

Бид тэгш бус байдлыг орлуулна:

Хэрэв - тэгш, тэгвэл

Эхний улирлын булангууд. Тэнд байгаа синус эерэг, энэ нь цуврал тохиромжтой гэсэн үг юм. Одоо - сондгой бол:

бас таарч байна!

За, одоо бид хариултаа бичнэ үү!

Хариулт:

Энэ нь магадгүй хамгийн их хөдөлмөр шаардсан тохиолдол байсан байх. Одоо би танд бие даан шийдвэрлэх асуудлуудыг санал болгож байна.

Сургалт

1. Хэсэгт хамаарах тэгшитгэлийн бүх язгуурыг шийдэж ол.

Шийдэл:

1. 
   Эхний тэгшитгэл:
   эсвэл
   Үндэсний ODZ:

   Хоёр дахь тэгшитгэл:

   Интервалд хамаарах үндсийг сонгох

   Хариулт:

Эсвэл
эсвэл
Гэхдээ

авч үзье: . Хэрэв - тэгш, тэгвэл
- тохирохгүй байна!
Хэрэв - сондгой бол: - тохиромжтой!
Энэ нь бидний тэгшитгэл дараахь үндэстэй гэсэн үг юм.
эсвэл
Интервал дахь үндэс сонгох:

	- тохиромжгүй	- тохирно
	- тохирно	- маш их
	- тохирно	маш их

Хариулт: , .

Эсвэл
Үүнээс хойш шүргэгч тодорхойлогдоогүй байна. Бид энэ цуврал үндэсийг нэн даруй устгана!

Хоёр дахь хэсэг:

Үүний зэрэгцээ, DZ-ийн дагуу үүнийг шаарддаг

Бид эхний тэгшитгэлээс олдсон үндсийг шалгана.

Хэрэв тэмдэг нь:

Тангенс эерэг байх эхний дөрөвний өнцөг. Тохирохгүй байна!
Хэрэв тэмдэг нь:

Дөрөвдүгээр үеийн булан. Тэнд шүргэгч сөрөг байна. Тохиромжтой. Бид хариултыг бичнэ:

Хариулт: , .

Энэ өгүүлэлд бид тригонометрийн нарийн төвөгтэй жишээнүүдийг хамтдаа үзсэн боловч та тэгшитгэлийг өөрөө шийдэх хэрэгтэй.

ХУРААНГУЙ БА ҮНДСЭН Формулууд

Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь үл мэдэгдэх нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор байдаг тэгшитгэл юм.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хоёр арга байдаг.

Эхний арга бол томъёог ашиглах явдал юм.

Хоёр дахь арга нь тригонометрийн тойрог юм.

Энэ нь өнцгийг хэмжих, тэдгээрийн синус, косинус гэх мэтийг олох боломжийг олгоно.

Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь хоёр алхамаас бүрдэнэ. тэгшитгэлийн хувиргалтхамгийн хялбар болгохын тулдтөрөл (дээрхийг харна уу) ба шийдэлүр дүнд нь хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл.Долоо байгаа тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.

1. Алгебрийн арга.

(хувьсах солих ба орлуулах арга).

2. Factorization.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийг шийд:нүгэл x+cos x = 1 .

Шийдэл тэгшитгэлийн бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлье.

Нүгэл x+cos x – 1 = 0 ,

Илэрхийлэлийг хувиргаж хүчин зүйл болгон хувацгаая

Тэгшитгэлийн зүүн тал:

Жишээ 2. Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 x+ нүгэл x cos x = 1.

Шийдэл: cos 2 x+ нүгэл x cos x– нүгэл 2 x- cos 2 x = 0 ,

Нүгэл x cos x– нүгэл 2 x = 0 ,

Нүгэл x· (cos x– нүгэл x ) = 0 ,

Жишээ 3. Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 x- cos 8 x+ cos 6 x = 1.

Шийдэл: cos 2 x+ cos 6 x= 1 + cos 8 x,

2 учир 4 x cos 2 x= 2cos² 4 x ,

Cos 4 x · (учир нь 2 x- cos 4 x) = 0 ,

Cos 4 x · 2 гэм 3 xнүгэл x = 0 ,

1). cos 4 x= 0, 2). нүгэл 3 x= 0, 3). нүгэл x = 0 ,

4. Хагас өнцөгт шилжих.

Энэ аргыг жишээгээр авч үзье.

ЖИШЭЭ Тэгшитгэлийг шийд: 3нүгэл x– 5 co x = 7.

Шийдэл: 6 нүгэл ( x/ 2) учир нь ( x/ 2) – 5 cos² ( x/ 2) + 5 нүгэл² ( x/ 2) =

7 нүгэл² ( x/ 2) + 7 cos² ( x/ 2) ,

2 нүгэл² ( x/ 2) – 6 нүгэл ( x/ 2) учир нь ( x/ 2) + 12 cos² ( x/ 2) = 0 ,

бор²( x/ 2) – 3 бор ( x/ 2) + 6 = 0 ,

. . . . . . . . . .

5. Туслах өнцгийн танилцуулга.

Маягтын тэгшитгэлийг авч үзье:

анүгэл x + б cos x = в ,

Хаана а, б, в- коэффициент;x- үл мэдэгдэх.

Одоо тэгшитгэлийн коэффициентүүд нь синус ба косинусын шинж чанартай, тухайлбал: тус бүрийн модуль (үнэмлэхүй утга). үүнээс 1-ээс илүүгүй, ба тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр нь 1 байна. Дараа нь бид тэмдэглэж болно тэдгээрийн дагуу Хэрхэн cos ба нүгэл (энд - гэж нэрлэгддэг туслах өнцөг), Мөнбидний тэгшитгэлийг ав

"Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх" сэдвээр хичээл, танилцуулга.

Нэмэлт материал
Эрхэм хэрэглэгчид, сэтгэгдэл, сэтгэгдэл, хүслээ үлдээхээ бүү мартаарай! Бүх материалыг вирусны эсрэг програмаар шалгасан.

1С-ийн 10-р ангийн Integral онлайн дэлгүүрийн гарын авлага, симуляторууд
Бид геометрийн асуудлыг шийддэг. Сансарт барих интерактив даалгавар
Програм хангамжийн орчин "1С: Математик конструктор 6.1"

Бид юу судлах вэ:
1. Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

3. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.
4. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.
5. Жишээ.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ?

Залуус аа, бид аль хэдийн арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенсыг судалж үзсэн. Одоо тригонометрийн тэгшитгэлийг ерөнхийд нь авч үзье.

Тригонометрийн тэгшитгэл гэдэг нь тригонометрийн функцийн тэмдгийн дор хувьсагч агуулагдсан тэгшитгэл юм.

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх хэлбэрийг давтъя.

1)Хэрэв |a|≤ 1 бол cos(x) = a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Хэрэв |a|≤ 1 бол sin(x) = a тэгшитгэл нь шийдтэй байна:

3) Хэрэв |a| > 1, тэгвэл sin(x) = a ба cos(x) = a тэгшитгэлийн шийдэл байхгүй 4) tg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arctg(a)+ πk

5) ctg(x)=a тэгшитгэл нь шийдэлтэй байна: x=arcctg(a)+ πk

Бүх томьёоны хувьд k нь бүхэл тоо юм

Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй байна: T(kx+m)=a, T нь зарим тригонометрийн функц юм.

Тэгшитгэлийг шийд: a) sin(3x)= √3/2

Шийдэл:

A) 3x=t гэж тэмдэглээд тэгшитгэлээ дараах хэлбэрээр бичнэ.

Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn болно.

Утгын хүснэгтээс бид олж авна: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Хувьсагч руугаа буцъя: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Дараа нь x= ​​((-1)^n)×π/9+ πn/3

Хариулт: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, энд n нь бүхэл тоо. (-1)^n – n-ийн зэрэглэлд нэгийг хасна.

Тригонометрийн тэгшитгэлийн бусад жишээ.

Шийдэл:

A) Энэ удаад тэгшитгэлийн үндсийг шууд тооцоолоход шууд шилжье:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Тэгвэл x/5= πk => x=5πk болно

Хариулт: x=5πk, энд k нь бүхэл тоо.

B) Бид үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Арктан(√3)= π/3 гэдгийг бид мэднэ

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Хариулт: x=2π/9 + πk/3, энд k нь бүхэл тоо.

Тэгшитгэлийг шийд: cos(4x)= √2/2. Мөн сегмент дээрх бүх үндсийг олоорой.

Шийдэл:

Тэгшитгэлээ ерөнхий хэлбэрээр шийдье: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Одоо манай сегмент дээр ямар үндэс суурь болохыг харцгаая. k-д k=0, x= π/16 үед бид өгөгдсөн хэрчимд байна.
k=1, x= π/16+ π/2=9π/16 байхад бид дахин цохилоо.
k=2-ийн хувьд x= π/16+ π=17π/16, гэхдээ энд бид оносонгүй, энэ нь том k-ийн хувьд бид онохгүй нь тодорхой гэсэн үг.

Хариулт: x= π/16, x= 9π/16

Шийдвэрлэх хоёр үндсэн арга.

Тэгшитгэлийг шийдье:

Шийдэл:
Тэгшитгэлээ шийдэхийн тулд бид t=tg(x) гэж тэмдэглэсэн шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх аргыг ашиглана.

Орлуулалтын үр дүнд бид дараахь зүйлийг авна: t 2 + 2t -1 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё: t=-1 ба t=1/3

Дараа нь tg(x)=-1 ба tg(x)=1/3, бид хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг гаргаж, үндсийг нь олъё.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Хариулт: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Тэгшитгэлийг шийдэх жишээ

Тэгшитгэлийг шийд: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Шийдэл:

Шинжилгээг ашиглая: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Бидний тэгшитгэл нь дараах хэлбэртэй болно: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь үндэс юм: t=2 ба t=-1/2

Дараа нь cos(x)=2 ба cos(x)=-1/2.

Учир нь косинус нэгээс их утгыг авч чадахгүй бол cos(x)=2 нь үндэсгүй болно.

cos(x)=-1/2-ийн хувьд: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Хариулт: x= ±2π/3 + 2πk

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Маягтын тэгшитгэл

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Нэгдүгээр зэргийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд cos(x)-д хуваана: Хэрэв косинус нь тэгтэй тэнцүү бол та хуваах боломжгүй, тийм биш эсэхийг шалгацгаая.
cos(x)=0 байг, тэгвэл asin(x)+0=0 => sin(x)=0, гэхдээ синус ба косинус нь тэгтэй тэнцүү биш тул бид зөрчилдөөнийг олж авдаг тул аюулгүйгээр хувааж болно. тэгээр.

Тэгшитгэлийг шийд:
Жишээ нь: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Шийдэл:

Нийтлэг хүчин зүйлийг гаргая: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Дараа нь бид хоёр тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй:

Cos(x)=0 ба cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 үед x= π/2 + πk;

cos(x)+sin(x)=0 тэгшитгэлийг авч үзье Бидний тэгшитгэлийг cos(x)-д хуваа.

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Хариулт: x= π/2 + πk ба x= -π/4+πk

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?
Залуус аа, эдгээр дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөөрэй!

1. a коэффициент хэдтэй тэнцүү болохыг харна уу, хэрэв a=0 бол бидний тэгшитгэл cos(x)(bsin(x)+ccos(x)) хэлбэртэй байх бөгөөд үүний шийдлийн жишээ өмнөх слайд дээр байна.

2. Хэрэв a≠0 бол тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваах шаардлагатай бол бид дараахь зүйлийг авна.

Бид t=tg(x) хувьсагчийг өөрчилж тэгшитгэлийг авна.

Жишээ дугаар 3-ыг шийд

Тэгшитгэлийн хоёр талыг косинусын квадратаар хуваая:

Бид t=tg(x) хувьсагчийг өөрчилнө: t 2 + 2 t - 3 = 0

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олъё: t=-3 ба t=1

Дараа нь: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Хариулт: x=-arctg(3) + πk ба x= π/4+ πk

Жишээ No:4-ийг шийд

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

Бид ийм тэгшитгэлийг шийдэж чадна: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

Хариулт: x= - π/4 + 2πk ба x=5π/4 + 2πk

№5 жишээг шийд

Шийдэл:
Өөрийнхөө илэрхийлэлийг өөрчилье:

tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0 орлуулалтыг танилцуулъя.

Манай квадрат тэгшитгэлийн шийдэл нь язгуурууд байх болно: t=-2 ба t=1/2

Дараа нь бид: tg(2x)=-2 ба tg(2x)=1/2 болно
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Хариулт: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ба x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Бие даасан шийдлийн асуудлууд.

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0.5x) = -1.7

2) Тэгшитгэлийг шийд: sin(3x)= √3/2. Мөн сегмент дэх бүх үндсийг олоорой [π/2; π].

3) Тэгшитгэлийг шийд: хүүхдийн ор 2 (х) + 2 хүүхдийн ор (х) + 1 =0

4) Тэгшитгэлийг шийд: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Тэгшитгэлийг шийд: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Тэгшитгэлийг шийд: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ:

Аливаа тригонометрийн тэгшитгэлийг дараах төрлүүдийн аль нэгэнд нь буулгана.

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

Энд \(t\) нь x-тэй илэрхийлэл, \(a\) нь тоо юм. Ийм тригонометрийн тэгшитгэлийг нэрлэдэг хамгийн энгийн. Тэдгээрийг () эсвэл тусгай томъёогоор хялбархан шийдэж болно:

Энгийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх инфографикийг эндээс үзнэ үү:, болон.

Хариулт: \(\left[ \begin(цуглуулсан)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \төгсгөл(цуглуулсан)\баруун.\) \(k,n∈Z\)

Тригонометрийн тэгшитгэлийн үндэсийн томъёонд тэмдэг тус бүр ямар утгатай болохыг үзнэ үү.

Анхаар!\(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\) бол \(\sin⁡x=a\) ба \(\cos⁡x=a\) тэгшитгэлүүдэд шийдэл байхгүй. Учир нь дурын х-ийн синус ба косинус нь \(-1\)-ээс их буюу тэнцүү, \(1\)-ээс бага буюу тэнцүү байна:

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Жишээ . \(\cos⁡x=-1,1\) тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Хариулах : шийдэл байхгүй.

Жишээ . \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\) тригонометрийн тэгшитгэлийг шийд.
Шийдэл:

Тригонометрийн тэгшитгэлийг хамгийн энгийн болгон багасгах нь бүтээлч ажил бөгөөд тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргуудыг хоёуланг нь ашиглах хэрэгтэй.
- Арга (Улсын нэгдсэн шалгалтанд хамгийн алдартай).
- Арга.
- Туслах аргументуудын арга.

Квадрат тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээг авч үзье

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Орлуулах \(t=\cos⁡x\) хийцгээе.
	Бидний тэгшитгэл ердийн болсон. Та үүнийг ашиглан шийдэж болно.
\(D=25-4 \cdot 2 \cdot 2=25-16=9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Бид урвуу орлуулалт хийдэг.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Бид тооны тойргийг ашиглан эхний тэгшитгэлийг шийддэг. Хоёр дахь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй, учир нь \(\cos⁡x∈[-1;1]\) бөгөөд дурын x-д хоёртой тэнцүү байж болохгүй.
	Эдгээр цэгүүд дээр байгаа бүх тоог бичье.

ODZ-ийн судалгаатай тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдэх жишээ:

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Бутархай, котангенс байдаг - энэ нь бид үүнийг бичих хэрэгтэй гэсэн үг юм. Котангенс нь үнэндээ бутархай гэдгийг танд сануулъя: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Тиймээс ctg\(x\)-ийн ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Тооны тойрог дээр "шийдвэргүй" гэж тэмдэглэе.
\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Тэгшитгэлийн хуваагчийг ctg\(x\)-ээр үржүүлээд хасъя. ctg\(x ≠0\) гэж дээр бичсэн болохоор бид үүнийг хийж чадна.
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Синусын давхар өнцгийн томъёог хэрэглэцгээе: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Хэрэв таны гар косинусаар хуваахаар сунгавал буцааж тат! Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү биш бол хувьсагчтай илэрхийллээр хувааж болно (жишээ нь: \(x^2+1.5^x\)). Оронд нь хаалтанд \(\cos⁡x\) оруулъя.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	Тэгшитгэлийг хоёр болгон "хуваацгаая".
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Тооны тойргийг ашиглан эхний тэгшитгэлийг шийдье. Хоёр дахь тэгшитгэлийг \(2\)-д хувааж \(\sin⁡x\) баруун тал руу шилжүүлнэ.
\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Үүссэн үндэс нь ODZ-д ороогүй болно. Тиймээс бид хариу болгож бичихгүй. Хоёр дахь тэгшитгэл нь ердийн зүйл юм. Үүнийг \(\sin⁡x\)-д хуваая (\(\sin⁡x=0\) нь тэгшитгэлийн шийдэл байж чадахгүй, учир нь энэ тохиолдолд \(\cos⁡x=1\) эсвэл \(\cos⁡) x=-1\)).
	Бид дахин тойрог ашигладаг.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Эдгээр үндэсийг ODZ хасаагүй тул та тэдгээрийг хариултанд бичиж болно.

Анги: 10

"Тэгшитгэлүүд үүрд үргэлжлэх болно."

А.Эйнштейн

Хичээлийн зорилго:

• Боловсролын:
  • тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудын талаархи ойлголтыг гүнзгийрүүлэх;
  • тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг ялгах, зөв ​​сонгох чадварыг хөгжүүлэх.
• Боловсролын:
  • боловсролын үйл явцад танин мэдэхүйн сонирхлыг хөгжүүлэх;
  • өгөгдсөн даалгаварт дүн шинжилгээ хийх чадварыг хөгжүүлэх;
  • ангийн сэтгэлзүйн уур амьсгалыг сайжруулахад хувь нэмэр оруулах.
• Хөгжлийн:
  • бие даан мэдлэг олж авах чадварыг хөгжүүлэх;
  • оюутнуудын үзэл бодлоо илэрхийлэх чадварыг дэмжих;

Тоног төхөөрөмж:үндсэн тригонометрийн томьёо бүхий зурагт хуудас, компьютер, проектор, дэлгэц.

1 хичээл

I. Лавлах мэдлэгийг шинэчлэх

Тэгшитгэлийг амаар шийд:

1) cosx = 1;
2) 2 cosx = 1;
3) cosx = –;
4) sin2x = 0;
5) sinx = –;
6) sinx =;
7) tgx = ;
8) cos 2 x – sin 2 x = 0

1) x = 2k;
2) x = ± + 2k;
3) x =± + 2k;
4) x = k;
5) x = (–1) + k;
6) x = (–1) + 2к;
7) x = + k;
8) x = + k; З руу.

II. Шинэ материал сурах

– Өнөөдөр бид илүү төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлүүдийг авч үзэх болно. Тэдгээрийг шийдвэрлэх 10 аргыг авч үзье. Дараа нь хоёр хичээлийг нэгтгэх, дараагийн хичээлд шалгалт өгөх болно. "Хичээл" гэсэн стенд дээр шалгалт өгөхөөс өмнө шийдвэрлэх шаардлагатай даалгавартай төстэй ажлуудыг байрлуулсан болно. (Туршилтын өмнөх өдөр эдгээр даалгаврын шийдлүүдийг стенд дээр байрлуул).

Тиймээс, тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг авч үзье. Эдгээр аргуудын зарим нь танд хэцүү мэт санагдаж байхад зарим нь хялбар мэт санагдах болно, учир нь... Та тэгшитгэлийг шийдвэрлэх зарим аргыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Ангийн дөрвөн сурагч бие даасан даалгавар авсан: Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх 4 аргыг ойлгож, танд үзүүлэх.

(Ярьдаг оюутнууд слайдыг урьдчилан бэлтгэсэн. Ангийн бусад нь дэвтэрт тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн алхмуудыг бичдэг.)

1 оюутан: 1 арга. Тэгшитгэлийг факторингоор шийдвэрлэх

нүгэл 4х = 3 cos 2x

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид давхар өнцгийн синусыг sin 2 = 2 sin cos томъёог ашиглана
2 sin 2x cos 2x – 3 cos 2x = 0,
cos 2x (2 sin 2x – 3) = 0. Хэрэв хүчин зүйлүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал эдгээр хүчин зүйлсийн үржвэр тэгтэй тэнцүү байна.

2x = + k, k Z эсвэл sin 2x = 1.5 – шийдэл байхгүй, учир нь | нүгэл| 1
x = + k; З руу.
Хариулт: x = + k, k Z.

2 оюутан. Арга 2. Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр эсвэл зөрүүг үржвэрт хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

cos 3x + sin 2x – sin 4x = 0.

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд sin– sin = 2 sin сos томъёог ашиглана

cos 3x + 2 sin cos = 0,

сos 3x – 2 sin x cos 3x = 0,

cos 3x (1 – 2 sinx) = 0. Үүссэн тэгшитгэл нь хоёр тэгшитгэлийн багцтай тэнцүү байна.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багц нь эхний тэгшитгэлийн шийдлүүдийн багцад бүрэн багтсан болно. гэсэн үг

Хариулт:

3 оюутан. 3 зам. Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрийг нийлбэр болгон хувиргах замаар тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

sin 5x cos 3x = sin 6x cos2x.

Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид томъёог ашиглана

Хариулт:

4 оюутан. 4 зам. Квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

3 sin x – 2 cos 2 x = 0,
3 sin x – 2 (1 – sin 2 x) = 0,
2 нүгэл 2 х + 3 нүгэл x – 2 = 0,

sin x = t байг, хаана | t |. Бид 2t 2 + 3t – 2 = 0 квадрат тэгшитгэлийг олж авна.

D = 9 + 16 = 25.

Тиймээс . нөхцөлийг хангахгүй байна | t |.

Тэгэхээр sin x =. Тийм ч учраас .

Хариулт:

III. А.Н. Колмогоровын сурах бичгээс олж мэдсэн зүйлээ нэгтгэх

1. No 164 (a), 167 (a) (квадрат тэгшитгэл)
2. № 168 (а) (факторжуулалт)
3. No 174 (a) (нийлбэрийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргах)
4. (бүтээгдэхүүнийг нийлбэр болгон хөрвүүлэх)

(Хичээлийн төгсгөлд баталгаажуулахын тулд эдгээр тэгшитгэлийн шийдлийг дэлгэцэн дээр харуул.)

№ 164 (А)

2 нүгэл 2 х + нүгэл х – 1 = 0.
sin x = t, | гэж үзье t | 1. Дараа нь
2 t 2 + t – 1 = 0, t = – 1, t= . Хаана

Хариулт: - .

№ 167 (А)

3 тг 2 х + 2 тг х – 1 = 0.

tg x = 1 гэж үзье, тэгвэл бид 3 t 2 + 2 t – 1 = 0 тэгшитгэлийг авна.

Хариулт:

№ 168 (А)

Хариулт:

№ 174 (А)

Тэгшитгэлийг шийд:

Хариулт:

Хичээл 2 (хичээл-лекц)

IV. Шинэ материал сурах(үргэлжлэл)

– Тэгэхээр тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг үргэлжлүүлэн судалцгаая.

5 зам. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Маягтын тэгшитгэл a sin x + b cos x = 0, a ба b нь зарим тоонуудыг sin x эсвэл cos x-тэй харьцах нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг авч үзье

sin x – cos x = 0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-д хуваая. Үүнийг хийж болно, учир нь үндэс алдагдал гарахгүй , Хэрэв cos x = 0,Тэр sin x = 0. Гэхдээ энэ нь тригонометрийн үндсэн шинжтэй зөрчилдөж байна нүгэл 2 x+cos 2 x = 1.

Бид авдаг tan x – 1 = 0.

tan x = 1,

Маягтын тэгшитгэл шиг 2 x + bcos 2 x + c sin x cos x = 0 ,Хаана a, b, c -зарим тоог sin x эсвэл cos x-тэй харьцуулахад хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Тэгшитгэлийг авч үзье

sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 = 0. Тэгшитгэлийн хоёр талыг cos x-т хуваая, учир нь язгуур нь алдагдахгүй. cos x = 0 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш юм.

tg 2 x – 3tg x + 2 = 0.

tg x = t гэж үзье. D = 9 – 8 = 1.

Тэгэхээр tg x = 2 эсвэл tg x = 1 байна.

Үүний үр дүнд x = arctan 2 + , x =

Хариулт: arctg 2 + ,

Өөр нэг тэгшитгэлийг авч үзье: 3 sin 2 x – 3 sin x cos x + 4 cos 2 x = 2.
Тэгшитгэлийн баруун талыг 2 = 2 · 1 = 2 · (sin 2 x + cos 2 x) хэлбэрээр хувиргая. Дараа нь бид авна:
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x = 2 (sin 2 x + cos 2 x),
3sin 2 x – 3sin x cos x + 4cos 2 x – 2sin 2 x – 2 cos 2 x = 0,
sin 2 x – 3sin x cos x + 2cos 2 x = 0. (Бид аль хэдийн шинжилсэн 2-р тэгшитгэлийг авсан).

Хариулт: арктан 2 + k,

6 зам. Шугаман тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Шугаман тригонометрийн тэгшитгэл нь хэлбэрийн тэгшитгэл юм a sin x + b cos x = c, энд a, b, c нь зарим тоо юм.

Тэгшитгэлийг авч үзье sin x + cos x= – 1.
Тэгшитгэлийг дараах байдлаар дахин бичье.

Үүнийг харгалзан үзвэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

Хариулт:

7 зам. Нэмэлт аргументыг танилцуулж байна

Илэрхийлэл a cos x + b sin xхөрвүүлж болно:

(Бид тригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахдаа энэ хувиргалтыг аль хэдийн ашигласан)

Нэмэлт аргумент оруулъя - өнцөг нь ийм байна

Дараа нь

Тэгшитгэлийг авч үзье: 3 sinx + 4 cosx = 1. =

Гэрийн даалгавар: No 164 -170 (c, d).