Хангалттай том бол Бернуллигийн томъёо нь төвөгтэй тооцооллыг гаргадаг. Иймд ийм тохиолдолд Лапласын орон нутгийн теоремыг ашигладаг.

Теорем(орон нутгийн Лаплас теорем). Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол бөгөөд 0 ба 1-ээс ялгаатай бол магадлал
А үйл явдал n бие даасан туршилтанд яг k удаа гарч ирэх нь функцийн утгатай ойролцоогоор тэнцүү байна.

,

.

Функцийн утгууд байрладаг хүснэгтүүд байдаг
, эерэг утгуудын хувьд x.

функц гэдгийг анхаарна уу
бүр

Тэгэхээр А үйл явдал n туршилтанд гарах магадлал нь яг k дахин ойролцоогоор тэнцүү байна

, Хаана
.

Жишээ.Туршилтын талбайд 1500 үр тариалсан. Үр тариа нахиалах магадлал 0.9 байвал суулгацаас 1200 үр гарах магадлалыг ол.

Шийдэл.

Лапласын интеграл теорем

Бие даасан туршилтын явцад А үйл явдал хамгийн багадаа k1 удаа, хамгийн ихдээ k2 удаа гарч ирэх магадлалыг Лапласын интеграл теоремоор тооцоолно.

Теорем(Лапласын интеграл теорем). Хэрэв туршилт бүрт а үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол бөгөөд 0 ба 1-ээс ялгаатай бол n туршилтанд А үйл явдал дор хаяж k 1 удаа, k 2-оос ихгүй удаа гарах магадлал ойролцоогоор тэнцүү байна. тодорхой интегралын утга:

.

Чиг үүрэг
Лапласын интеграл функц гэж нэрлэгддэг бөгөөд энэ нь сондгой бөгөөд түүний утгыг эерэг утгуудын х хүснэгтээс олно.

Жишээ.Лабораторид 90%-ийн соёололттой нэг багц үрээс 520-аас багагүй, 570-аас ихгүй 600 үр тариалсан.

Шийдэл.

Пуассоны томъёо

n бие даасан туршилт хийцгээе, туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал тогтмол ба p-тэй тэнцүү байна. Өмнө дурьдсанчлан, бие даасан туршилтаар А үйл явдал тохиолдох магадлалыг Бернуллигийн томъёог ашиглан яг k удаа олж болно. Хэрэв n нь хангалттай том бол Лапласын орон нутгийн теоремыг ашиглана. Гэсэн хэдий ч туршилт бүрт тохиолдох үйл явдлын магадлал бага эсвэл 1-тэй ойролцоо байвал энэ томъёо тохиромжгүй бөгөөд p=0 эсвэл p=1 үед энэ нь огт хэрэгжихгүй. Ийм тохиолдолд Пуассоны теоремыг ашиглана.

Теорем(Пуассоны теорем). Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p тогтмол бөгөөд 0 эсвэл 1-тэй ойролцоо, туршилтын тоо хангалттай их байвал n бие даасан туршилтанд А үйл явдал яг k удаа гарч ирэх магадлалыг дараах байдлаар олно. томъёо:

.

Жишээ.Уг гар бичмэл нь бичгийн машинаар бичсэн мянган хуудас бөгөөд мянган үсгийн алдаатай. Санамсаргүй байдлаар авсан хуудсанд дор хаяж нэг үсгийн алдаа байх магадлалыг ол.

Шийдэл.

АсуултуудУчир нь өөрийгөө шалгах тестүүд

Үйл явдлын магадлалын сонгодог тодорхойлолтыг томъёол.

Магадлалыг нэмэх ба үржүүлэх төрийн теоремууд.

Үйл явдлын бүрэн бүлгийг тодорхойл.

Нийт магадлалын томъёог бич.

Бэйсийн томъёог бич.

Бернуллигийн томъёог бич.

Пуассоны томъёог бич.

Орон нутгийн Лаплас томьёог бич.

Лапласын интеграл томьёог бич.

Сэдэв 13. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба түүний тоон шинж чанар

Уран зохиол: ,,,,,.

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтуудын нэг бол санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголт юм. Энэ нь тухайн тохиолдлоос хамааран утгыг нь авдаг хувьсах хэмжигдэхүүний нийтлэг нэр юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дискрет ба тасралтгүй гэсэн хоёр төрөлтэй. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг ихэвчлэн X,Y,Z гэж тэмдэглэдэг.

Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь зөвхөн хязгаарлагдмал эсвэл тоолж болох тооны утгыг авч чаддаг бол түүнийг тасралтгүй (дискрет) гэж нэрлэдэг. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X нь түүний бүх боломжит утгууд x 1 , x 2 , x 3 , ... x n (түүний тоо нь төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй байж болно) ба харгалзах магадлал p 1 , p 2 , p байвал тодорхойлогдоно. 3 , ... p өгөгдсөн n.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын хуулийг ихэвчлэн хүснэгтээр өгдөг.

Эхний мөрөнд X санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудаас бүрдэх ба хоёр дахь мөрөнд эдгээр утгуудын магадлалыг заана. X санамсаргүй хэмжигдэхүүн бүх утгыг нь авах магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байна.

р 1 +р 2 + р 3 +…+р n =1.

Х дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг графикаар дүрсэлж болно. Үүнийг хийхийн тулд M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) цэгүүдийг тэгш өнцөгт хэлбэрээр байгуулна. координатын систем ба шулуун сегментээр холбогдсон Үүссэн дүрсийг санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн тархалтын олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.

Жишээ.Х дискрет утгыг дараах хуваарилалтын хуулиар өгөгдөнө.

Үүнд: a) математикийн хүлээлт M(X), б) дисперс D(X), в) стандарт хазайлт σ.

Шийдэл . a) Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-ийн математик хүлээлт M(X) нь эдгээр боломжит утгуудын харгалзах магадлалаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын хос үржвэрийн нийлбэр юм. Хэрэв (1) хүснэгтийг ашиглан дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X-г тодорхойлсон бол математикийн хүлээлт M(X)-ийг томъёогоор тооцоолно.

M(X)=x 1 ∙p 1 +x 2 ∙p 2 +x 3 ∙p 3 +…+x n ∙p n. (2)

Математикийн хүлээлт M(X)-ийг мөн X санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг. (2)-ыг хэрэглэснээр бид дараахь зүйлийг олж авна.

M(X)=48∙0.2+53∙0.4+57∙0.3 +61∙0.1=54.

b) Хэрэв M(X) нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт бол X-M(X) ялгааг гэнэ. хазайлтдундаж утгаас санамсаргүй хэмжигдэхүүн X. Энэ ялгаа нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтыг тодорхойлдог.

ЗөрчилХ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний (тарсан) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс квадрат хазайх математик хүлээлт (дундаж утга) юм. Тиймээс бид тодорхойлолтоор:

D(X)=M 2 . (3)

Квадрат хазайлтын бүх боломжит утгыг тооцоолъё.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

D(X) дисперсийг тооцоолохын тулд квадрат хазайлтын тархалтын хуулийг боловсруулж, дараа нь (2) томъёог хэрэглэнэ.

D(X)= 36∙0.2+1∙0.4+9∙0.3 +49∙0.1=15.2.

Дисперсийг тооцоолохын тулд дараахь шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй: дисперс D(X) нь X санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын математик хүлээлт ба түүний математик хүлээлтийн квадратын зөрүүтэй тэнцүү байна.

D(X)-M(X 2)- 2. (4)

(4) томъёог ашиглан дисперсийг тооцоолохын тулд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүн X 2-ийн тархалтын хуулийг боловсруулна.

Одоо M(X 2) математикийн хүлээлтийг олъё.

M(X 2)= (48) 2 ∙0.2+(53) 2 ∙0.4+(57) 2 ∙0.3 +(61) 2 ∙0.1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

(4) хэрэглэхэд бид дараахь зүйлийг авна.

D(X)=2931.2-(54) 2 =2931.2-2916=15.2.

Таны харж байгаагаар бид ижил үр дүнд хүрсэн.

в) Вариацын хэмжээс нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэмжээсийн квадраттай тэнцүү байна. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын дундаж утгын эргэн тойронд тархалтыг тодорхойлохын тулд дисперсийн квадрат язгуурын арифметик утгатай тэнцүү утгыг авч үзэх нь илүү тохиромжтой.
. Энэ утгыг X санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт гэж нэрлэх ба σ гэж тэмдэглэнэ. Тиймээс

σ=
. (5)

(5) хэрэглэхэд бид: σ= байна
.

Жишээ.Х санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ердийн хуулийн дагуу тархсан. Математикийн хүлээлт M(X)=5; дисперсD(X)=0.64. Туршилтын үр дүнд X (4;7) интервалд утгыг авах магадлалыг ол.

ШийдэлХэрэв X санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг f(x) дифференциал функцээр тодорхойлсон бол X нь (α, β) интервалд хамаарах утгыг авах магадлалыг томъёогоор тооцоолдог нь мэдэгдэж байна.

. (1)

Хэрэв X утга нь хэвийн хуулийн дагуу тархсан бол дифференциал функц

,

Хаана А=M(X) ба σ=
. Энэ тохиолдолд бид (1)-ээс авна.

. (2)

Формула (2)-ыг Лаплас функц ашиглан өөрчилж болно.

Сэлгээ хийцгээе. Болъё
. Дараа нь
эсвэл dx=σ∙ dt.

Тиймээс
, энд t 1 ба t 2 нь t хувьсагчийн харгалзах хязгаар юм.

σ-ээр багасгахад бид байна

Оруулсан сэлгээнээс
үүнийг дагадаг
Тэгээд
.

Тиймээс,

(3)

Бодлогын нөхцлийн дагуу бидэнд: a=5; σ=
=0.8; α=4; β=7. Эдгээр өгөгдлийг (3) орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

=Ф(2.5)-Ф(-1.25)=

=F(2.5)+F(1.25)=0.4938+0.3944=0.8882.

Жишээ.Үйлдвэрлэсэн эд ангиудын уртын стандартаас хазайх нь ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үздэг. Стандарт урт (математикийн хүлээлт) a=40 см, стандарт хазайлт σ=0,4 см. Стандартаас уртын хазайлт үнэмлэхүй утгаараа 0,6 см-ээс ихгүй байх магадлалыг ол.

Шийдэл.Хэрэв X нь хэсгийн урт бол бодлогын нөхцлийн дагуу энэ утга нь (a-δ,a+δ) интервалд байх ёстой бөгөөд a=40 ба δ=0.6.

α= a-δ ба β= a+δ-г (3) томъёонд оруулснаар бид олж авна

. (4)

Боломжтой өгөгдлийг (4)-д орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тиймээс үйлдвэрлэсэн эд ангиудын урт нь 39.4-аас 40.6 см-ийн хооронд байх магадлал 0.8664 байна.

Жишээ.Үйлдвэрийн үйлдвэрлэсэн эд ангиудын диаметр нь ердийн хуулийн дагуу тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Стандарт диаметр урт a=2.5см, стандарт хазайлт σ=0.01. Хэрэв 0.9973 магадлал бүхий үйл явдлыг найдвартай гэж үзвэл энэ хэсгийн диаметрийн уртыг ямар хязгаарт бодитоор баталгаажуулж чадах вэ?

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу бид дараах байдалтай байна.

a=2.5; σ=0.01; .

(4) томъёог ашигласнаар бид тэгш байдлыг олж авна.

эсвэл
.

Хүснэгт 2-оос бид Лапласын функц x=3 үед ийм утгатай болохыг олж мэдэв. Тиймээс,
; үүнээс σ=0.03.

Ийм байдлаар диаметрийн урт нь 2.47-2.53 см-ийн хооронд хэлбэлзэх баталгаа болно.

Лапласын интеграл теорем

Теорем. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p нь тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол n бие даасан туршилтын үед А үйл явдал тохиолдох m тоо нь a-аас b хүртэлх мужид (хамааруулсан) байна. , хангалттай олон тооны туршилттай бол n нь ойролцоогоор тэнцүү байна

Лапласын салшгүй томьёо, Мойвр-Лапласын орон нутгийн томьёо төдий чинээ үнэн зөв байх тусам n 0.5-тай ойртох тусам утга хТэгээд q. Хэрэв нөхцөл хангагдсан бол энэ томьёог ашиглан тооцоо хийх нь өчүүхэн алдаа гаргадаг npq≥ 20, гэхдээ нөхцөлийн биелэлтийг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой гэж үзэж болно npq > 10.

Функц Ф( x) хүснэгтэд үзүүлэв (Хавсралт 2-ыг үзнэ үү). Энэ хүснэгтийг ашиглахын тулд та Ф( функцийн шинж чанарыг мэдэх хэрэгтэй. x):

1. Функц Ф( x) – сондгой, өөрөөр хэлбэл F(- x) = – Ф( x).

2. Функц Ф( x) – нэг хэвийн өсөх ба x → +∞ Ф( x) → 0.5 (бараг дээр бид аль хэдийн байна гэж үзэж болно x≥ 5 F( x) ≈ 0,5).

Жишээ 3.4.Жишээ 3.3-ын нөхцлийг ашиглан 300-аас 360 (хамааруулсан) сурагчид эхний удаа шалгалтыг амжилттай өгөх магадлалыг тооцоол.

Шийдэл. Бид Лапласын интеграл теоремыг ( npq≥ 20). Бид тооцоолно:

= –2,5; = 5,0;

П 400 (300 ≤ м≤ 360) = Ф(5.0) – Ф(–2.5).

Ф( функцийн шинж чанарыг харгалзан үзнэ. x) ба түүний утгуудын хүснэгтийг ашиглан бид: Ф(5,0) = 0.5; Ф(–2.5) = – Ф(2.5) = – 0.4938.

Бид авдаг П 400 (300 ≤ м ≤ 360) = 0,5 – (– 0,4938) = 0,9938. ◄

Лапласын интеграл теоремын үр дагаврыг бичье.

Дүгнэлт 1. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол хангалттай олон тооны бие даасан туршилтын n тоотой бол А үйл явдал тохиолдох m тоо np үржвэрээс ялгаатай байх магадлалтай. ε >-ээс ихгүй байна 0

.

(3.8)

Жишээ 3.5.Жишээ 3.3-ын нөхцөлд 280-360 сурагч магадлалын онолын шалгалтыг анх удаа амжилттай өгөх магадлалыг ол.

Шийдэл. Магадлалыг тооцоолох Р 400 (280 ≤ м≤ 360) нь Лапласын үндсэн интеграл томъёог ашиглан өмнөх жишээтэй төстэй байж болно. Гэхдээ 280 ба 360 интервалын хил нь утгын хувьд тэгш хэмтэй байгааг анзаарсан бол үүнийг хийхэд илүү хялбар болно. n.p.=320. Дараа нь 1-р үр дүнд үндэслэн бид олж авна

= = ≈

≈ = 2Ф(5.0) ≈ 2·0.5 ≈ 1,

тэдгээр. Эхний удаад 280-360 оюутан амжилттай шалгалт өгөх нь бараг тодорхой болсон. ◄

Дүгнэлт 2. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох магадлал p тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол хангалттай олон тооны бие даасан туршилтын n тоотой бол А үйл явдлын давтамж m/n нь α-ийн мужид оршдог. to β (хамааруулсан) нь тэнцүү байна

,

(3.9)

Жишээ 3.6.Статистикийн мэдээгээр нярайн дунджаар 87% нь 50 насалдаг байна. 1000 нярайд 50 нас хүртэл амьд үлдэх хувь (давтамж) 0.9-0.95 хооронд байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Шинээр төрсөн хүүхэд 50 наслах магадлал r= 0.87. Учир нь n= 1000 нь том (жишээ нь нөхцөл npq= 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 хангагдсан), тэгвэл бид Лапласын интеграл теоремын 2-р үр дүнг ашиглана. Бид олдог:

2,82, = 7,52.

= 0,5 – 0,4976 = 0,0024. ◄

Дүгнэлт 3. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тогтмол бөгөөд тэг ба нэгээс ялгаатай бол хангалттай олон тооны бие даасан туршилтууд n байвал А үйл явдлын давтамж m/n нь түүний магадлалаас p -ээр ялгаатай байх магадлал. -аас илүүгүйΔ > 0 (үнэмлэхүй утгаараа) тэнцүү байна

.

(3.11)

Жишээ 3.7.Өмнөх асуудлын нөхцлийн дагуу 1000 нярайгаас 50 нас хүртэл амьд үлдсэн хүмүүсийн эзлэх хувь (давтамж) нь энэ үйл явдлын магадлалаас 0.04-ээс ихгүй (үнэмлэхүй утгаараа) ялгаатай байх магадлалыг ол.

Шийдэл. Лапласын интеграл теоремын 3-р үр дүнг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

= 2Ф(3.76) = 2·0.4999 = 0.9998.

Тэгш бус байдал нь тэгш бус байдалтай тэнцэх учир энэ үр дүн нь 1000 нярайн 83-91 хувь нь 50 наслах нь бараг тодорхой гэсэн үг. ◄

Өмнө нь бид бие даасан туршилтын хувьд энэ тооны магадлалыг тогтоосон мүйл явдлын тохиолдлууд АВ nТуршилтыг Бернуллигийн томъёогоор олно. Хэрэв nтом бол Лапласын асимптот томъёог ашиглана. Гэсэн хэдий ч, хэрэв үйл явдлын магадлал бага бол энэ томъёо тохиромжгүй ( r≤ 0.1). Энэ тохиолдолд ( nагуу, rбага) Пуассоны теоремыг хэрэглэнэ

Пуассоны томъёо

Теорем. Хэрэв туршилт бүрт А үйл явдал тохиолдох p магадлал тэг байх хандлагатай бол (p → 0) туршилтын n тоо (n→ ∞) хязгааргүй ихэссэн тохиолдолд np үржвэр нь тогтмол тоо λ (np → λ) руу чиглэдэг бол А үйл явдал n-д m удаа гарч ирэх магадлал P n (m) болно. бие даасан туршилтууд нь хязгаарын тэгш байдлыг хангадаг

Мойвр-Лапласын орон нутгийн теорем(1730 Мойвр ба Лаплас)

Хэрэв $A$ үйл явдал тохиолдох магадлал $p$ тогтмол бөгөөд $p\ne 0$ ба $p\ne 1$ байвал $P_n (k)$ магадлал нь $A$ үйл явдал $k$ гарч ирэх болно. $n $ тест дэх удаа, ойролцоогоор тэнцүү байна ($n$ том байх тусмаа илүү нарийвчлалтай) $y=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \ frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2 \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) =\frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)$

хувьд $x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $. $\varphi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \cdot e^ ( - ( x^2 ) / 2 ) $ функцийн утгуудыг агуулсан хүснэгтүүд байдаг.

тэгэхээр \begin(equation) \label ( eq2 ) P_n (k)\prox \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \cdot \varphi (x)\,\,хаана\,x =\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \qquad (2) \төгсгөл(тэгшитгэл)

$\varphi (x)=\varphi (( -x ))$ функц тэгш байна.

Жишээ. Хэрэв туршилт бүрт энэ үйл явдал тохиолдох магадлал $p=0.2$ байвал $A$ үйл явдал 400 туршилтанд яг 80 удаа тохиолдох магадлалыг ол.

Шийдэл. $p=0.2$ бол $q=1-p=1-0.2=0.8$.

$P_ ( 400 ) (( 80 ))\ойролцоогоор \frac ( 1 ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) \varphi (x)\,\, хаана\,x=\frac ( k-n\cdot) p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) $

$ \begin(массив) ( l ) x=\frac ( k-n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) =\frac ( 80-400\cdot 0.2 ) ( \sqrt ( 400 \cdot) 0.2\cdot 0.8 ) ) =\frac ( 80-80 ) ( \sqrt ( 400\cdot 0.16 ) ) =0 \\ \varphi (0)=0.3989\,\,P_ ( 400 ) (( 80 ))\ойролцоогоор \frac ( 0.3989 ) ( 20\cdot 0.4 ) =\frac ( 0.3989 ) ( 8 ) =0.0498 \\ \end(массив) $

Мойвр-Лапласын интеграл теорем

Туршилт бүрт $A$ үйл явдал тохиолдох P магадлал тогтмол бөгөөд $p\ne 0$ ба $p\ne 1$, дараа нь $A$ үйл явдал болох $P_n (( k_1 ,k_2 ))$ магадлал. $n$ туршилтанд $k_ ( 1 ) $ -с $ k_ ( 2 ) $ хүртэл удаа тохиолдох бөгөөд тэнцүү $ P_n (( k_1 ,k_2 ))\ approx \frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi) ) ) \int\limits_ ( x_1 ) ^ ( x_2 ) ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) =\Phi (( x_2 ))-\Phi (( x_1 ))$

Энд $x_1 =\frac ( k_1 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot q ) ) , x_2 =\frac ( k_2 -n\cdot p ) ( \sqrt ( n\cdot p\cdot) q ) ) $ ,хаана

$\Phi (x)=\frac ( 1 ) ( \sqrt ( 2\cdot \pi ) ) \int ( e^ ( - ( z^2 ) / 2 ) dz ) $ -хүснэгтүүдээс олдсон

$\Phi (( -x ))=-\Phi (x)$-сондгой

Хачирхалтай функц. Хүснэгт дэх утгыг $x=5$, $x>5,\Phi (x)=0.5$-д өгсөн болно.

Жишээ. Шалгалтын явцад бүтээгдэхүүний 10% нь татгалздаг гэдгийг мэддэг. Хяналтад 625 нэр төрлийн бүтээгдэхүүнийг сонгон шалгаруулсан. Сонгогдсон хүмүүсийн дунд хамгийн багадаа 550, дээд тал нь 575 стандартын бүтээгдэхүүн байх магадлал хэд вэ?

Шийдэл. 10%-ийн согогтой бол 90%-ийн стандарт бүтээгдэхүүн байна. Дараа нь нөхцөлөөр $n=625, p=0.9, q=0.1, k_1 =550, k_2 =575$. $n\cdot p=625\cdot 0.9=562.5$. Бид $ \begin(массив) ( l ) P_ ( 625 ) (550.575)\ approx \Phi (( \frac ( 575-562.5 ) ( \sqrt ( 625\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) ) )- \Phi () авна. ( \frac ( 550-562.5 ) ( \sqrt ( 626\cdot 0.9\cdot 0.1 ) ) ))\ойролцоогоор \Phi (1.67)- \Phi (-1, 67)=2 \Phi (1.67)=0.9052 \\ \end(массив) $

Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болох магадлал тест бүрт тогтмол бөгөөд давхар тэгш бус байдлыг хангадаг
, бие даасан туршилтын тоо хангалттай өндөр бол магадлал
дараах ойролцоогоор томъёогоор тооцоолж болно

(14) ,

интегралын хязгаар нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог

Формула (14) нь тухайн туршилтын тестийн тоо их байх тусам илүү нарийвчлалтай болно.

Тэгш байдал (13) дээр үндэслэн томьёог (14) гэж дахин бичиж болно

(15)
.

(16)
(N.F.L)

Функцийн хамгийн энгийн шинж чанаруудыг авч үзье
:

Сүүлийн шинж чанар нь Гауссын функцийн шинж чанаруудтай холбоотой
.

Чиг үүрэг
хачин. Үнэн хэрэгтээ хувьсагчдыг өөрчилсний дараа

=


;

Хоёрдахь өмчийг шалгахын тулд зураг зурахад хангалттай. Аналитикийн хувьд энэ нь зохисгүй Пуассон интегралтай холбоотой юм.

Эндээс бүх тоонуудын хувьд шууд гарч ирдэг
гэж таамаглаж болно
Тиймээс энэ функцын бүх утгууд нь [-0.5; 0.5], хамгийн бага нь
дараа нь функц аажмаар өсч, тэг болж, өөрөөр хэлбэл.
дараа нь хүртэл нэмэгддэг
Иймээс бүх тооны мөрөнд энэ нь хатуу нэмэгдэж буй функц юм, өөрөөр хэлбэл. Хэрэв
Тэр

Функцийн хувьд 2-р өмчийн гаралт гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй
буруу Пуассон интеграл дээр үндэслэн зөвтгөнө.

Сэтгэгдэл.Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг хэрэглэх шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэхдээ тусгай хүснэгтүүдийг ашигладаг. Хүснэгтэнд эерэг аргументуудын утгыг харуулав болон төлөө
;
үнэт зүйлсийн хувьд

тэгш байдлыг харгалзан ижил хүснэгтийг ашиглах ёстой
Дараа нь функцийн хүснэгтийг ашиглахын тулд

, бид тэгш байдлыг (15) дараах байдлаар хувиргана.
Мөн 2-р өмч дээр үндэслэсэн (сондгой паритет

=
.

), интегралын паритетыг харгалзан бид олж авна Тиймээс үйл явдал болох магадлал дотор гарч ирнэ бие даасан тестүүд багагүй байна нэг удаа, дахиад үгүй

(17)

;

удаа, томъёогоор тооцоолно:. Жишээ 12

Шийдэл: Байгаа нэг сумаар онох магадлал 0.75 байна. 300 удаа шидэхэд бай хамгийн багадаа 150, 250-аас илүүгүй удаа онох магадлалыг ол.
,
,
,
,
Энд

,
,

,
.

. Бид тооцоолдог

Лапласын интеграл томьёог орлуулснаар бид олж авна Практикт тэгш байдлын (16) зэрэгцээ өөр нэг томьёог ихэвчлэн ашигладаг.магадлалын интеграл

("эсвэл Лаплас функц (дэлгэрэнгүйг 2-р бүлгийн 9-р зүйлийн 9-р боть хэсгээс үзнэ үү)..)

I.V. эсвэл F.L

Энэ функцийн хувьд тэгш байдал хүчинтэй байна:
Тиймээс энэ нь хүснэгтийн функцтэй холбоотой юм

Тиймээс ойролцоо утгуудын хүснэгт байдаг (номын төгсгөлд байгаа хавсралтыг үзнэ үү).Жишээ 13.

Шийдэл.Тухайн хэсэг нь чанарын хяналтын үзлэгт хамрагдаагүй байх магадлал 0.2 байна. Санамсаргүй байдлаар сонгосон 400 шалгагдаагүй хэсгээс 70-100 хэсэг байх магадлалыг ол.
,
,
.
,
Асуудлын нөхцлийн дагуу

,

. Мойвр-Лапласын интеграл теоремыг ашиглая:

Интеграцийн доод ба дээд хязгаарыг тооцоолъё:
;

Тиймээс функцийн хүснэгтийн утгыг харгалзан үзнэ

.

Бид шаардлагатай магадлалыг авдаг « Одоо бидэнд авч үзсэн хязгаарын теоремуудын хэрэглээний хувьд сайн мэддэг теоремыг батлах боломж байна »

Бернулли хэлбэрийн их тооны хууль

Их тооны хууль (LBA Бернулли хэлбэрээр)

Олон тооны түүхэн дэх хамгийн энгийн анхны хууль бол теорем юм

Ж.Бернулли. Бернуллигийн теорем нь их тооны хуулийн хамгийн энгийн хэлбэрийг илэрхийлдэг. Энэ нь харьцангуй давтамжийг ашиглан үйл явдлын магадлалыг ойролцоогоор тооцоолох онолын боломжийг зөвтгөдөг, өөрөөр хэлбэл. харьцангуй давтамжийн тогтвортой байдлын шинж чанарыг нотолж байна. Үүнийг хэрэгжүүлээсэй бие даасан туршилтууд, тус бүрдээ үйл явдлын магадлал
тэнцүү байна

туршилтын цуврал бүрийн харьцангуй давтамж нь байна:Асуудлыг авч үзьеБернулли схемийн дагуу туршилтын нөхцөлд, хангалттай олон тооны бие даасан туршилтуудтай
харьцангуй давтамжийн хазайлтын магадлалыг ол тогтмол магадлалаас үнэмлэхүй утга нь өгөгдсөн тооноос хэтрэхгүй
Өөрөөр хэлбэл, магадлалыг ол:

хангалттай олон тооны бие даасан туршилтуудтай.

Теорем (ZBCH J. Bernoulli 1713)Дээрх нөхцлийн дагуу аливаа , бага ч гэсэн
, хязгаарлагдмал тэгш байдал байдаг

(19)
.

Баталгаа.Мойвр-Лапласын интеграл теорем дээр үндэслэн энэхүү чухал мэдэгдлийн нотолгоог хийцгээе. Тодорхойлолтоор харьцангуй давтамж нь

А
үйл явдал тохиолдох магадлал нэг туршилтанд. Эхлээд бид аливаад дараах тэгш байдлыг тогтооно
бас хангалттай том :

(20)

.

Үнэхээр нөхцөл байдлын дагуу
Давхар тэгш бус байдал байгааг харахад амархан. гэж тэмдэглэе

(21)
.

Дараа нь бид тэгш бус байдалтай болно

Тиймээс хүссэн магадлалын хувьд . Одоо хэргүүдийн хувьд
тэгш байдлыг ашиглая

;

сондгой тоог харгалзан үзнэ
бид авдаг

== 2
.

Тэгш байдал (20)-ыг олж авна.

Томъёо (20)-аас энэ нь тэр даруй гарч ирнэ
(харгалзаж үзвэл
Эндээс бид хязгаарын тэгш байдлыг олж авна (20).

Жишээ 14.
. Санамсаргүй байдлаар сонгосон 400 хэсгээс стандарт бус хэсгүүдийн тохиолдох харьцангуй давтамж нь дараахаас хазайх магадлалыг ол.
үнэмлэхүй утгаараа 0.03-аас ихгүй байна.

Шийдэл.Асуудлын нөхцлийн дагуу та олох хэрэгтэй

(3) томъёоны дагуу бид байна

=2
.

Функцийн хүснэгтийн утгыг харгалзан үзэх
бид авдаг

.

Хүлээн авсан үр дүнгийн утга нь дараах байдалтай байна: хэрэв та хангалттай олон тооны дээж авбал

дэлгэрэнгүй, дараа нь дээж бүрт харьцангуй "давтамж" -ын ойролцоогоор хазайлт байдаг

95.44% ба үнэ цэнэ
магадлалаас эдгээр дээжийн
, модуль нь 0.03-аас ихгүй байна.

Тоо олох шаардлагатай өөр жишээг харцгаая
.

Жишээ 15.Хэсэг нь стандарт бус байх магадлал
. 0.9999 магадлалаар стандарт бус хэсгүүдийн харьцангуй давтамж (сонгосон эд ангиудын дунд) -аас хазайж байгааг хэлэхийн тулд хэдэн хэсгийг сонгох ёстой вэ? модуль нь 0.03-аас ихгүй байна. Энэ хэмжээг ол

Шийдэл.Энд бол нөхцөлөөр
.

Тодорхойлох хэрэгтэй
.

.

(13) томъёоны дагуу бид байна

Түүнээс хойш,
Хүснэгтээс бид энэ утга нь аргументтай тохирч байгааг олж мэдэв
. Эндээс,

. Энэ үр дүнгийн утга нь харьцангуй давтамжийг дүгнэх болно

тоонуудын хооронд. Тиймээс дээжийн 99.99% -д стандарт бус хэсгүүдийн тоо 101.72 (1444-ийн 7%) ба 187.72 (1444-ийн 13%) хооронд байх болно.

Хэрэв бид 1444 хэсгээс бүрдсэн нэг л дээжийг авбал стандарт бус хэсгүүдийн тоо 101-ээс багагүй, 188-аас ихгүй байх болно гэдэгт итгэлтэй байж болно, гэхдээ үүний зэрэгцээ үүнээс бага байх магадлал багатай юм. 101 эсвэл 188-аас дээш. туршилтын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлэх, санамсаргүй үйл явдлын давтамж магадлалын хувьд ижил үйл явдлын үнэн магадлалд нийлдэг, өөрөөр хэлбэл. доод тооцоо хүчинтэй байна

(22)
;
,

үйл явдлын магадлалыг харгалзан үзвэл өөрчлөгдөөгүй бөгөөд туршилтаас тестийн хооронд тэнцүү байна
нэгэн зэрэг
.

Тэгш бус байдал (22) нь алдартай Чебышевын тэгш бус байдлын шууд үр дагавар юм (цаашид "Магадлалын онолын хязгаарын теоремууд" "Чебышевын теорем" сэдвийг үзнэ үү). Бид дараа нь энэ BCA руу буцах болно. Энэ нь магадлалын тооцоог доороос олж авахад тохиромжтой бөгөөд үйл явдлын шаардлагатай тооны тохиолдлын хоёр талт тооцоог гаргахад тохиромжтой бөгөөд ингэснээр харьцангуй давтамж ба бодит магадлалын хоорондох зөрүүний модулийн магадлал нь тухайн үйл явдлын өгөгдсөн хязгаарлалтыг хангана. авч үзэж байна.

Жишээ 16.Зоосыг 1000 удаа шиддэг. “Сүлд” үүсэх давтамжийг түүний үүсэх магадлалаас 0.1-ээс бага хазайх магадлалыг доороос тооцоол.

Шийдэл. Энд байгаа нөхцөл байдлын дагуу

Тэгш бус байдал (4) дээр үндэслэн бид олж авна

Тиймээс тэгш бус байдал
давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна

Тиймээс бид интервал дахь "сүлд"-ийн тоог цохих магадлал (400; 600) -ээс их байна гэж дүгнэж болно.

Жишээ 17.Нэг саванд 1000 цагаан, 2000 хар бөмбөг байдаг. 300 бөмбөг гаргаж авсан (буцах хамт). Сугалсан бөмбөгний тоог доороос нь тооцоол м(тэдгээр нь цагаан байх ёстой) 80 давхар тэгш бус байдлыг хангана< м <120.

Шийдэл.Тоо хэмжээний хувьд давхар тэгш бус байдал мҮүнийг дараах хэлбэрээр дахин бичье.

Тиймээс тэгш бус байдлын магадлалыг тооцоолох шаардлагатай

Тиймээс,

.