Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл

1. Функц нь цэгийн зарим хөршид тасралтгүй дифференциал болох ба хоёрдугаар эрэмбийн (цэвэр ба холимог) тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг.

2. Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчоор тэмдэглэе

экстремум хувьсах лекцийн функц

Теорем

Хэрэв координаттай цэг нь функцийн суурин цэг байвал:

A) Энэ нь орон нутгийн экстремумын цэг бөгөөд орон нутгийн максимум нь орон нутгийн минимум юм;

C) цэг нь орон нутгийн экстремум цэг биш;

C) хэрэв, магадгүй хоёулаа.

Баталгаа

Функцийн Тейлорын томьёог бичээд хоёр нэр томъёогоор хязгаарлая.

Теоремын нөхцлийн дагуу цэг нь хөдөлгөөнгүй байдаг тул хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Тэгээд. Дараа нь

гэж тэмдэглэе

Дараа нь функцийн өсөлт нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын (цэвэр ба холимог) тасралтгүй байдлын улмаас цэг дээрх теоремын нөхцлийн дагуу бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Хаана эсвэл; ,

1. Let and, i.e. эсвэл.

2. Функцийн өсөлтийг үржүүлж, хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

3. Буржгар хаалтанд байгаа илэрхийллийг нийлбэрийн бүтэн квадрат дээр нэмье.

4. Буржгар хаалт дахь илэрхийлэл нь сөрөг биш, учир нь

5. Иймд хэрэв гэсэн утгатай ба, тэгвэл, тиймээс, тодорхойлолтын дагуу цэг нь орон нутгийн минимумын цэг юм.

6. Хэрэв дундаж, тэгвэл тодорхойлолтын дагуу координаттай цэг нь орон нутгийн максимум цэг болно.

2. Квадрат гурвалж, түүний ялгах, .

3. Хэрэв тийм бол олон гишүүнтийн цэгүүд байна

4. Бид I-д олж авсан илэрхийллийн дагуу цэг дээрх функцийн нийт өсөлтийг дараах байдлаар бичнэ.

5. Хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын тасралтгүй байдлын улмаас цэг дээрх теоремын нөхцлийн дагуу бид ингэж бичиж болно.

Тиймээс аль ч цэгийн хувьд квадрат гурвалжин тэгээс их байх цэгийн хөрш байдаг.

6. Цэгийн ойр орчмыг авч үзье.

Ямар ч утгыг сонгоцгооё, тэгэхээр хугацаа. Функцийн өсөлтийн томъёонд гэж үзвэл

Бид юу авах вэ:

7. Тэр цагаас хойш.

8. Үндэсний талаар мөн адил мэтгэлцэхэд бид цэгийн аль ч хөршид тэмдэг хадгалагдаагүй цэг байдаг тул цэгт экстремум байдаггүй.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход нөхцөлт экстремум гэж нэрлэгддэг асуудалтай холбоотой асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг. Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээн дээр тайлбарлаж болно.

0xy хавтгайд функц ба L шулууныг өгье. Даалгавар бол P цэгийн ойролцоо байрлах L шугамын цэгүүд дээрх функцийн утгуудтай харьцуулахад функцийн утга нь хамгийн том эсвэл хамгийн бага байх P (x, y) цэгийг олох явдал юм. Ийм P цэгүүд L шугам дээрх нөхцөлт экстремум цэгийн функцууд гэж нэрлэгддэг. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дээрх функцийн утгыг түүний хөршийн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн орших цэгүүдийн функцийн утгатай харьцуулдаг. мөрөнд Л.

Энгийн экстремумын цэг (тэд бас болзолгүй экстремум гэж хэлдэг) энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шугамын нөхцөлт экстремумын цэг болох нь туйлын тодорхой юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ №1.Функцийн график нь дээд тархи юм (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2.

Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; энэ нь бөмбөрцгийн M оройтой тохирч байна. Хэрэв L шугам нь А ба В цэгүүдийг (түүний тэгшитгэл) дайран өнгөрдөг шулуун шугам бол энэ шугамын цэгүүдийн хувьд функцын хамгийн их утга нь А ба В цэгүүдийн дунд байрлах цэгт хүрдэг нь геометрийн хувьд тодорхой байна. Энэ нь энэ шугам дээрх нөхцөлт экстремум (хамгийн их) функцүүдийн цэг юм; энэ нь бөмбөрцгийн M 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд зурагнаас харахад энд энгийн экстремумын тухай ярих боломжгүй юм.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт бид энэ мужийн хил дээрх функцийн хэт утгыг олох ёстой гэдгийг анхаарна уу. зарим шугам дээр, улмаар нөхцөлт экстремум асуудлыг шийддэг.

Тодорхойлолт 1.Тэд тэгшитгэлийг хангах цэг дээр нөхцөлт эсвэл харьцангуй максимум (хамгийн бага) байна гэж хэлдэг: хэрэв тэгшитгэлийг хангаж байгаа аль ч цэгийн хувьд тэгш бус байдал байна.

Тодорхойлолт 2.Хэлбэрийн тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Теорем

Хэрэв функцууд нь цэгийн ойролцоо тасралтгүй дифференциал болох ба хэсэгчилсэн дериватив ба цэг нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хувьд функцийн нөхцөлт экстремум цэг бол хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.

Баталгаа

1. Теоремын нөхцлийн дагуу хэсэгчилсэн дериватив ба функцийн утга учир тодорхой тэгш өнцөгт

далд функцийг тодорхойлсон

Нэг цэг дэх хоёр хувьсагчийн нийлмэл функц нь орон нутгийн экстремум, тиймээс, эсвэл байна.

2. Үнэн хэрэгтээ нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал томъёоны инвариантын шинж чанарын дагуу

3. Холболтын тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь гэсэн үг

4. (2) тэгшитгэлийг (3)-аар үржүүлээд нэм

Тиймээс, хэзээ

дур зоргоороо. гэх мэт.

Үр дагавар

Практикт хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг хайх нь тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар хийгддэг.

Тэгэхээр дээрх жишээн дээр №1 холболтын тэгшитгэлээс бидэнд байна. Эндээс хамгийн дээд хэмжээнд хүрэхийг шалгахад хялбар байдаг. Гэхдээ дараа нь харилцааны тэгшитгэлээс. Бид геометрийн аргаар олдсон P цэгийг олж авна.

Жишээ №2.Холболтын тэгшитгэлтэй харьцуулахад функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг ол.

Өгөгдсөн функц ба холболтын тэгшитгэлийн хэсэгчилсэн деривативуудыг олъё.

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг үүсгэцгээе:

Нөхцөлт экстремум цэгүүдийг олох тэгшитгэлийн системийг бичье.

Энэ нь координаттай функцийн нөхцөлт экстремумын дөрвөн цэг байна гэсэн үг: .

Жишээ №3.Функцийн экстремум цэгүүдийг ол.

Хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх нь: , бид нэг суурин цэгийг олдог - гарал үүсэл. Энд,. Иймээс (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш юм. Тэгшитгэл нь гиперболын параболоидын тэгшитгэл юм (Зураг 3) зурагнаас харахад (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш юм.

Цагаан будаа. 3.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

1. Хязгаарлагдмал хаалттай мужид функц тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн байх ёстой D.

2. Тухайн муж дахь тус тусын цэгээс бусад функц нь хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн деривативтай байг.

3. Вейерштрассын теоремын дагуу энэ мужид функц хамгийн том, хамгийн бага утгыг авах цэг байдаг.

4. Хэрэв эдгээр цэгүүд нь D мужын дотоод цэгүүд бол тэдгээр нь хамгийн их эсвэл минимумтай байх нь ойлгомжтой.

5. Энэ тохиолдолд бидний сонирхож буй цэгүүд нь экстремум дахь сэжигтэй цэгүүдийн нэг юм.

6. Гэсэн хэдий ч функц нь D мужийн зааг дээр хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг авч болно.

7. D муж дахь функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд экстремумын сэжигтэй бүх дотоод цэгүүдийг олж, тэдгээрт байгаа функцийн утгыг тооцоолж, дараа нь функцийн утгатай харьцуулах хэрэгтэй. бүс нутгийн хилийн цэгүүд бөгөөд олдсон бүх утгуудын хамгийн том нь хаалттай бүсэд хамгийн том байх болно D.

8. Орон нутгийн хамгийн их буюу минимумыг олох аргыг 1.2-р хэсэгт өмнө нь авч үзсэн. болон 1.3.

9. Бүс нутгийн хил дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох аргыг авч үзэх хэвээр байна.

10. Хоёр хувьсагчийн функцийн хувьд талбай нь ихэвчлэн муруй эсвэл хэд хэдэн муруйгаар хязгаарлагддаг.

11. Ийм муруй (эсвэл хэд хэдэн муруй) дагуу хувьсагч ба аль нэг нь бие биенээсээ хамааралтай, эсвэл хоёулаа нэг параметрээс хамаарна.

12. Ийнхүү функц нь зааг дээр нэг хувьсагчаас хамааралтай болж хувирна.

13. Нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн том утгыг олох аргыг өмнө нь авч үзсэн.

14. D мужийн хилийг параметрийн тэгшитгэлээр өгье.

Дараа нь энэ муруй дээр хоёр хувьсагчийн функц нь параметрийн цогц функц байх болно: . Ийм функцийн хувьд нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох аргыг ашиглан хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлно.

Нөхцөлт экстремум.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Хамгийн бага квадратын арга.

FNP-ийн орон нутгийн экстремум

Функцийг өгье Тэгээд= е(P), РÎDÌR n P 0 цэг ( А 1 , А 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.

Тодорхойлолт 9.4.

1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрвээ энэ цэгийн U(P 0) М D хөрш байвал дурын P( X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)£ е(P 0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дуудна функцийн дээд хэмжээ болон томилогдсон е(P0) = хамгийн их е(P) .

2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрэв энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)³ е(P 0) . Утга е(P 0) хамгийн бага цэг дээрх функцийг дуудна хамгийн бага функц болон томилогдсон е(P 0) = мин е(P).

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэгүүд дэх функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P)£ е(P 0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийг тодорхойлох бүх мужид биш, харин зөвхөн P 0 цэгийн тодорхой ойролцоо байх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремум (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. . Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.

Теорем 9.1 (FNP-ийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл).

Хэрэв функц бол Тэгээд= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэг дээр экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

Баталгаа. P 0 цэг дээр ( А 1 , А 2 , ..., a p) функц Тэгээд= е(P) нь экстремум, жишээлбэл, дээд талтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, тавих X 2 =А 2 ,..., x n = a p. Дараа нь Тэгээд= е(P) = е 1 ((X 1 , А 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм X 1. Энэ функц байгаа тул X 1 = А 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0эсвэл байхгүй үед X 1 =А 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Гэхдээ энэ нь P 0 цэг - экстремум цэг дээр байхгүй эсвэл байхгүй гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CTD.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн муж дахь цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.

Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд чухал цэг бүр нь экстремум цэг биш юм.

Теорем 9.2 (FNP-ийн экстремумын хангалттай нөхцөл).

Функцийн критик цэг P 0 байг Тэгээд= е(P) ба нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь

а) хэрэв г 2 у(P 0) > 0 at , тэгвэл P 0 цэг болно хамгийн багафункцууд Тэгээд= е(P);

б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд Тэгээд= е(P);

в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үзэх болно.

Теорем нь хэзээ тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэгт экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - нэмэлт судалгаа, жишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах шаардлагатай байна.

Илүү нарийвчилсан математикийн хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцийн хувьд нотлогдсон z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр юм

P 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.

, , гэж тэмдэглэе. Тодорхойлогчийг зохиоё

.

Энэ нь:

г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;

г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 z P 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг нь өөрчлөгдөж, P 0 цэгт экстремум байхгүй;

хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хувьд бид экстремумыг олох дараах алгоритмтай (үүнийг "алгоритм D" гэж нэрлэе):

1) Тодорхойлолтын мужийг олоорой D( е) функцууд.

2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е), нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

3) P 0 чухал цэг бүрт экстремумын хангалттай нөхцлийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(P 0) ба тооцоолно А(P 0). Дараа нь:

хэрэв D(P 0) >0 бол P 0 цэгт экстремум байх ба хэрэв А(P 0) > 0 – тэгвэл энэ нь хамгийн бага, хэрэв бол А(P 0)< 0 – максимум;

хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Хэрэв D(P 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1.

Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Шийдэл.Энэ функцийг тодорхойлох талбар нь бүхэл бүтэн координатын хавтгай юм. Чухал цэгүүдийг олцгооё.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая. Бид олох болно

6X, = -3, = 48цагтТэгээд = 288xy – 9.

Дараа нь D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 цэг дээр экстремум байдаг ба үүнээс хойш А(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P 1) = .

Жишээ 2.

Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл: D( е) =R 2. Чухал цэгүүд: ; хэзээ байдаггүй цагт= 0, энэ нь P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.

2, = 0, = , = , гэхдээ D(P 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй юм.

Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй - г 2 zэнэ үед байхгүй.

Функцийн өсөлтийг авч үзье е(x, y) P 0 цэг дээр. Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг боловч хэрэв D е < 0, то Р 0 – точка максимума.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа

Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .

Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөлийн аль нь ч хангагдахгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) тул P 0 нь хамгийн дээд цэг биш), D нөхцөл биш юм е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь P 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Энэ нь экстремумын тодорхойлолтоор энэ функц нь экстремумгүй гэсэн үг юм.

Нөхцөлт экстремум.

Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.

Тодорхойлолт 9.2.Функцийн экстремум Тэгээд = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j Т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), дуудсан нөхцөлт экстремум .

Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.

Функцуудыг авч үзье z = f(x,y) хоёр хувьсагч. Хэрэв холболтын тэгшитгэл нь нэг бол, i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн тодорхойлолтын бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, энэ нь эрэлхийлж буй гадаргуугийн хамгийн өндөр эсвэл хамгийн доод цэгүүд биш юм z = f(x,y), мөн энэ гадаргуугийн цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд, Зураг 5).

Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийн функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичих) ба хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлчийнх нь нэг хувьсагчийн функц гэж бичнэ (харгалзах тохиолдолд). ). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.

Зарим D мужид z - /(x, y) функцийг тодорхойлж, Mo(xo, Vo) нь энэ домайн дотоод цэг байг. Тодорхойлолт. Хэрэв бүх нөхцлүүдийг хангаж байгаа тэгш бус байдал нь үнэн байх тоо байвал Mo(xo, y) цэгийг f(x, y) функцийн локал максимум цэг гэнэ; хэрэв бүх Dx, Du, нөхцөлийг хангасан | тэгвэл Mo(xo,yo) цэгийг нимгэн орон нутгийн минимум гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, M0(x0, y0) цэг нь /(x, y) функцийн хамгийн их буюу минимумын цэг бөгөөд хэрэв A/o(x0, y0) цэгийн 6 хөрш байгаа бол огт Үүний M(x, y) цэгүүдийн ойролцоо байх үед функцийн өсөлт нь тэмдгээ хадгална. Жишээ. 1. Функцийн цэгийн хувьд - хамгийн бага цэг (Зураг 17). 2. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь хамгийн их цэг юм (Зураг 18). 3. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг юм. 4 Үнэн хэрэгтээ 0(0, 0) цэгийн хөрш байдаг, жишээлбэл j радиустай тойрог (19-р зургийг үз), түүний аль ч цэг дээр 0(0,0) цэгээс ялгаатай. /(x,y) функцын утга 1-ээс бага = Зарим цоорсон 6-н хөршөөс M(x) y) бүх цэгүүдэд хатуу тэгш бус байдал эсвэл хатуу тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд зөвхөн функцүүдийн хатуу максимум ба хамгийн бага цэгүүдийг авч үзэх болно. цэгийн Mq. Функцийн хамгийн их цэг дэх утгыг максимум, хамгийн бага цэг дэх функцийн утгыг энэ функцийн минимум гэнэ. Функцийн хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, харин функцийн хамгийн их ба минимумуудыг экстремум гэж нэрлэдэг. 18 Зураг 20 үед тэг болж хувирдаг immt дериватив. Гэхдээ энэ функц нь strum-ийн imvat дээр нимгэн байдаг.< 0. Если же то в точке Мо(жо> f(x, y) функцийн экстремум нь байж болно, байхгүй ч байж болно. Энэ тохиолдолд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. m Теоремын 1) ба 2) мэдэгдлийг батлахаар хязгаарлая. /(i, y) функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье: энд. Нөхцөлийн дагуу D/ өсөлтийн тэмдэг нь (1)-ийн баруун талын гурвалсан тэмдгийн тэмдгээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь дифференциал d2f-ийн тэмдгээр тодорхойлогддог болохыг харж болно. Үүнийг товчилбол тэмдэглэе. Дараа нь тэгш байдлыг (l) дараах байдлаар бичиж болно: MQ(тийм, V0) цэг дээр бид байна... Нөхцөлөөр f(s, y) функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байх тул тэгш бус байдал (3) нь M0(s0,yo) цэгийн зарим хөршид мөн адил байх болно. Нөхцөл хангагдсан бол (А/0 цэг дээр ба тасралтгүй байдлын ачаар /,z(s,y) дериватив Af0 цэгийн зарим хөршид тэмдэгээ хадгална. А Ф 0 байх бүсэд бид байна. Эндээс харахад M0(x0) y0 цэгийн зарим хөршид ЛС - В2 > 0 байвал AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 гурвалсан тэмдэг нь цэг дээрх А тэмдэгтэй давхцах нь тодорхой байна. , V0) (мөн С тэмдэгтэй, учир нь AC - B2 > 0 A ба C нь өөр өөр тэмдэгтэй байж болохгүй). Цэг дэх (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 нийлбэрийн тэмдэг нь ялгааны тэмдгийг тодорхойлдог тул бид дараах дүгнэлтэд хүрнэ: хэрэв функцийн хувьд /(s,y) үед. хөдөлгөөнгүй цэг (s0, V0) нөхцөл, дараа нь хангалттай бага || тэгш бус байдлыг хангах болно. Тиймээс (sq, V0) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн их утгатай байна. Хэрэв нөхцөл хөдөлгөөнгүй цэг (s0, y0) дээр хангагдсан бол бүх хангалттай жижиг |Dr| болон |Ду| тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд энэ нь (so,yo) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн багатай байна гэсэн үг юм. Жишээ. 1. Экстремумын функцийг судлах 4 Экстремумд шаардлагатай нөхцлүүдийг ашиглан функцийн суурин цэгүүдийг хайна. Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативыг олж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлнэ. Бид тэгшитгэлийн системийг хаанаас авдаг - суурин цэг. Одоо теорем 12-ыг ашиглая. Бидэнд байна Энэ нь Ml цэг дээр экстремум байна гэсэн үг. Учир нь энэ бол хамгийн бага хэмжээ юм. Хэрэв бид r функцийг хэлбэрт шилжүүлбэл, энэ функцийн үнэмлэхүй минимум байх үед баруун тал (") хамгийн бага байх болно гэдгийг харахад хялбар байдаг. 2. Функцийг экстремумын хувьд судалж, тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг функцийн суурин цэгүүдийг олдог. Теорем 12-ын дагуу М цэгт экстремум байхгүй. * 3. Функцийн экстремумыг судал. Тэгшитгэлийн системээс бид үүнийг олж авдаг тул цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Дараа нь бид 12-р теорем нь экстремум байгаа эсэх эсвэл байхгүй гэсэн асуултанд хариулдаггүй. Ингэж хийцгээе. Цэгээс ялгаатай бүх цэгүүдийн тухай функцийн хувьд A/o(0,0) цэгийн тодорхойлолтоор r функц нь үнэмлэхүй минимумтай байна. Үүнтэй төстэй тооцоогоор бид функц нь цэг дээр хамгийн их утгатай, харин функц нь цэг дээр экстремумгүй болохыг тогтооно. n бие даасан хувьсагчтай функцийг цэг дээр ялгах боломжтой байг, хэрэв теорем 13 бол (экстремумын хувьд хангалттай нөхцөл хүртэл) Mo цэгийг функцийн суурин цэг гэнэ. Функц нь тодорхойлогдсон ба нарийн Mt(xi...)-ийн зарим хөршид хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байг, энэ нь квадрат хэлбэр (торгуулийн f функцийн хоёр дахь дифференциал эерэг байвал хөдөлгөөнгүй нарийн функц юм. тодорхой (сөрөг тодорхой), f функцийн хамгийн бага цэг (тус тус, нарийн максимум) нарийн бол квадрат хэлбэр (4) тэмдэг ээлжлэн байвал нарийн LG0-д экстремум байхгүй байна квадрат хэлбэр (4) нь эерэг эсвэл сөрөг тодорхой, жишээлбэл, эерэг (сөрөг) 15.2-ын квадрат хэлбэрийн тодорхой байдлыг бид ашиглаж болно Функцийн аргументууд нь ямар нэгэн нэмэлт нөхцлөөр хязгаарлагдахгүй бол түүний тодорхойлолтын бүх домайн дахь функцийг нөхцөлт экстремум гэж нэрлэдэг. (x, y) нь D мужид тодорхойлогдоно. Энэ мужид L муруй өгөгдсөн гэж үзье, бид f(x> y) функцийн экстремумыг зөвхөн түүний утгуудын дундаас олох хэрэгтэй. муруйн L. цэгүүдтэй тохирно. Ижил экстремумуудыг муруйн z = f(x) y) функцийн нөхцөлт экстремум гэнэ L. Тодорхойлолт L муруйн дээр байрлах цэгт f(x) функц гэж тэд хэлдэг. , y) бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал хангагдсан бол нөхцөлт максимум (хамгийн бага) байна M (s, y) y) муруй L, M0(x0, V0) цэгийн зарим хөршид хамаарах ба M0 цэгээс ялгаатай (Хэрэв бол). L муруйг тэгшитгэлээр өгвөл муруй дээрх r - f(x,y) функцийн нөхцөлт экстремумыг олох асуудал гарна! дараах байдлаар томьёолж болно: D муж дахь x = /(z, y) функцийн экстремумыг ол, иймээс z = y функцийн нөхцөлт экстремумыг олох үед gnu-ийн аргументууд цаашид боломжгүй болно. бие даасан хувьсагч гэж үзнэ: тэдгээр нь y ) = 0 хамаарлаар өөр хоорондоо хамааралтай бөгөөд үүнийг холболтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Нөхцөлгүй ба нөхцөлт экстремум хоёрын ялгааг тодруулахын тулд функцийн болзолгүй максимум гэсэн жишээг авч үзье (Зураг 1). 23) нь нэгтэй тэнцүү бөгөөд (0,0) цэг дээр хүрнэ. Энэ нь pvvboloid-ийн орой болох M цэгтэй тохирч y = j холболтын тэгшитгэлийг нэмье. Дараа нь нөхцөлт максимум нь үүнтэй тэнцүү байх болно (o,|) цэгт хүрч, бөмбөгийг y = j хавтгайтай огтлолцох шугам болох бөмбөгний Афж оройтой тохирч байна. Нөхцөлгүй mvximum-ийн хувьд бид гадаргуугийн бүх vpplicvt дунд mvximum програмтай байна * = 1 - l;2 ~ y1; summvv нөхцөлт - зөвхөн pvraboloidv vllikvt цэгүүдийн дунд, шулуун шугамын цэг* харгалзах y = j xOy хавтгай биш. Функцийн оршихуй ба холболтын нөхцөлт экстремумыг олох аргуудын нэг нь дараах байдалтай байна. Нөхцөлт экстремумын оршихуй, мөн чанарын тухай асуудлыг (8) -аас олж авсан x0, V0, A утгуудын авч үзсэн системийн хувьд Лагранжийн функцийн хоёр дахь дифференциалын тэмдгийг судалсны үндсэн дээр шийдвэрлэнэ. , дараа нь (x0, V0) цэг дээр /(x, y ) функц нь нөхцөлт максимумтай; хэрэв d2F > 0 бол нөхцөлт минимум болно. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй цэгт (xo, J/o) F(x, y) функцийн тодорхойлогч D эерэг байвал (®o, V0) цэг дээр f( функцийн нөхцөлт максимум байна. x, y), if ба нөхцөлт минимум функц /(x, y), хэрэв Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөл рүү дахин оръё: x + y = 1 байх нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан асуудлыг шийднэ. Энэ тохиолдолд Лагранж функц нь хөдөлгөөнгүй цэгүүдийг олохын тулд системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x = y гэсэн хэлбэртэй байна. Дараа нь системийн гурав дахь тэгшитгэлээс (холболтын тэгшитгэл) бид x - y = j нь боломжит экстремум цэгийн координат болохыг олж мэдэв. Энэ тохиолдолд (A = -1 гэж заажээ. Иймээс Лагранжийн функц. нь * = x2 + y2 нөхцөл дэх функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг юм. Лагранжийн функцэд болзолгүй экстремум байхгүй. P(x, y) ) нь холболт байгаа үед /(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум байхгүй гэсэн үг биш юм Жишээ y 4 нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг олоорой. А ба боломжит экстремум цэгүүдийн координатыг тодорхойлох: Эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x + y = 0-ийг олж, x = y = A = 0 гэсэн системд очно. Тиймээс харгалзах Лагранж функц нь цэг дээр хэлбэртэй байна. (0,0), F(x, y; 0) функц нь болзолгүй экстремумгүй боловч y = x үед r = xy функцийн нөхцөлт экстремум байдаг. Эндээс (0,0) цэг дээр болзолт минимум байгаа нь тодорхой байна "Лагранжийн үржүүлэгчийн арга нь хэдэн ч аргументтай функцийн тохиолдол руу шилждэг. Байлцуулан функцийн экстремумыг хайцгаая. A|, Az,..., A„, тодорхойгүй тогтмол хүчин зүйл болох Лагранжийн функцийг байгуулъя. F функцийн бүх нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг (9) нэмснээр бид n + m тэгшитгэлийн системийг олж авах бөгөөд үүнээс бид Ab A3|..., At ба координатуудыг тодорхойлно. \) x2). » нөхцөлт экстремумын боломжит цэгүүдийн xn. Лагранжийн аргыг ашиглан олсон цэгүүд нь нөхцөлт экстремумын цэгүүд мөн үү гэсэн асуултыг ихэвчлэн физик эсвэл геометрийн шинж чанаруудын үндсэн дээр шийдэж болно. 15.3. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд Зарим хаалттай хязгаарлагдмал D мужид тасралтгүй z = /(x, y) функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох шаардлагатай болно. Теорем 3-ын дагуу энэ мужид функц хамгийн том (хамгийн бага) утгыг авах цэг (xo, V0) байдаг. Хэрэв (xo, y0) цэг нь D домэйны дотор оршдог бол функц / нь хамгийн их (хамгийн бага) -тай байх тул энэ тохиолдолд бидний сонирхсон цэг нь функцийн чухал цэгүүдийн дунд байрлана. у). Гэсэн хэдий ч, /(x, y) функц нь бүсийн зааг дээр хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрч чадна. Иймд хязгаарлагдмал хаалттай талбайд 2) z = /(x, y) функцээр авсан хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд та энэ талбайн дотор хүрсэн функцийн бүх максимумыг (хамгийн бага) олох хэрэгтэй. түүнчлэн энэ хэсгийн хил дэх функцын хамгийн том (хамгийн бага) утга. Эдгээр бүх тоонуудын хамгийн том (хамгийн бага) нь 27-р муж дахь z = /(x,y) функцийн хүссэн хамгийн том (хамгийн бага) утга байх болно. Дифференциалагдах функцийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харуулъя. Пммр. 4-р бүсийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. Бид D муж доторх функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олно. Үүнийг хийхийн тулд бид эндээс x = y « 0-ийг олж авна 0 (0,0) цэг нь х функцийн критик цэг юм. Г мужийн хил дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олъё. Хилийн нэг хэсэг дээр y = 0 нь эгзэгтэй цэг бөгөөд = үүнээс хойш энэ цэгт z функц байна. = 1 + y2 нь хамгийн бага нь нэгтэй тэнцүү байна. Г сегментийн төгсгөлд, цэгүүдэд (, бид байна. Тэгш хэмийн тооцоог ашиглан бид хилийн бусад хэсгүүдийн хувьд ижил үр дүнг олж авна. Эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна: z = x2+y2 функцийн муж дахь хамгийн бага утгыг. "B нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь дотоод цэгийн 0( 0, 0) мужид хүрдэг бөгөөд энэ функцийн хоёртой тэнцүү хамгийн их утга нь хилийн дөрвөн цэгт хүрдэг (Зураг 25) Зураг 25. Дасгал Функцуудын тодорхойлолтын мужийг ол: Функцийн түвшний шугамыг байгуул: 9 Бие даасан гурван хувьсагчийн функцүүдийн түвшний гадаргууг ол: Хязгаарын функцийг тооцоол: Функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба тэдгээрийн нийт дифференциалыг ол: Комплексийн деривативыг ол. функцүүд: 3 J. Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумын тухай ойлголт Экстремумд зайлшгүй шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд 34. Деривативын томъёог ашиглах. хоёр хувьсагч, олох ба функц: 35. Хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн деривативын томъёог ашиглан |J ба функцийг ол: Далд өгөгдсөн jj функцийг ол: 40. Шүргэх муруйны налууг ол. түүний x = 3 шулуунтай огтлолцох цэг. 41. Х муруйн шүргэгч Окс тэнхлэгтэй параллель байх цэгүүдийг ол. . Дараах бодлогод Т-г олоорой: Шүргэх хавтгай ба гадаргуугийн нормаль тэгшитгэлийг бич: 49. x+4y хавтгайтай параллель x2 + 2y2 + 3z2 = 21 гадаргуугийн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг бич. + 6z = 0. Тейлорын томъёогоор тэлэлтийн эхний гурав, дөрвөн гишүүнийг ол : 50. (0, 0) цэгийн ойролцоох y.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл.Тухайн цэгийн тодорхой орчимд функц тодорхойлогдож, тэгш бус байдлыг хангаж байвал тухайн цэгийг функцийн хамгийн бага (хамгийн их) цэг гэж нэрлэдэг (тус тусын хамгийн их ба хамгийн бага цэгүүдийг функцийн экстремум цэг гэж нэрлэдэг).

Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Хэрэв экстремум цэг дээр функц эхний хэсэгчилсэн деривативтай бол тэдгээр нь энэ үед алга болно. Ийм функцийн экстремум цэгүүдийг олохын тулд координатууд нь энэ системийг хангасан цэгүүдийг функцийн чухал цэгүүд гэж нэрлэдэг тэгшитгэлийн системийг шийдэх ёстой. Тэдгээрийн дунд хамгийн дээд оноо, хамгийн бага оноо, мөн экстремум биш цэгүүд байж болно.

Хэд хэдэн эгзэгтэй цэгүүдээс экстремум цэгүүдийг тодорхойлоход хангалттай экстремум нөхцөлийг ашигладаг бөгөөд доор жагсаав.

Функц нь критик цэг дээр тасралтгүй хоёр дахь хэсэгчилсэн деривативтай байг. Хэрэв энэ үед

нөхцөл бол энэ нь хамгийн бага цэг бөгөөд хамгийн их цэг нь хэрэв эгзэгтэй цэг дээр байвал энэ нь экстремум цэг биш юм. Энэ тохиолдолд эгзэгтэй цэгийн мөн чанарыг илүү нарийн судлах шаардлагатай бөгөөд энэ тохиолдолд экстремум цэг байж болно, үгүй ​​ч байж болно.

Гурван хувьсагчийн функцийн экстремум.Гурван хувьсагчийн функцийн хувьд экстремум цэгүүдийн тодорхойлолт нь хоёр хувьсагчийн функцийн харгалзах тодорхойлолтыг үгчлэн давтана. Бид экстремумын функцийг судлах журмыг танилцуулахдаа хязгаарлагддаг. Тэгшитгэлийн системийг шийдэхдээ функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олж, дараа нь эгзэгтэй цэг бүр дээр утгыг тооцоолох хэрэгтэй.

Хэрэв бүх гурван хэмжигдэхүүн эерэг байвал тухайн чухал цэг нь хамгийн бага цэг юм; хэрэв энэ чухал цэг нь хамгийн дээд цэг юм.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум.Функцийг тодорхойлсон цэгийн хөрш байх ба координат нь тэгшитгэлийг хангасан бүх цэгийн хувьд (тус тусад нь) тухайн цэгийг функцийн нөхцөлт хамгийн бага (хамгийн их) цэг гэж нэрлэдэг.

Нөхцөлт экстремум цэгүүдийг олохын тулд Лагранж функцийг ашиглана уу

Энэ тоог Лагранжийн үржүүлэгч гэж нэрлэдэг. Гурван тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх

Лагранжийн функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг (түүнчлэн туслах хүчин зүйл А-ийн утгыг) ол. Эдгээр чухал цэгүүдэд нөхцөлт экстремум байж болно. Дээрх систем нь зөвхөн экстремумын хувьд шаардлагатай нөхцлүүдийг хангадаг боловч хангалттай биш: нөхцөлт экстремумын цэг биш цэгүүдийн координатаар хангаж болно. Гэсэн хэдий ч асуудлын мөн чанарт үндэслэн эгзэгтэй цэгийн мөн чанарыг тогтоох боломжтой байдаг.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум.Хувьсагчдын функцийг тэгшитгэлээр холбосон тохиолдолд авч үзье

Жишээ

Энэ тохиолдолд функцийн экстремумыг ол XТэгээд цагтхамаарлаар холбогдоно: .
Геометрийн хувьд асуудал нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: эллипс дээр
.

онгоц
Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно: тэгшитгэлээс
X:

бид олдог
гэж заасан
.

, интервал дээр нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох бодлого болгон бууруулсан Геометрийн хувьд асуудал нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: эллипс дээр
Геометрийн хувьд асуудал нь дараахь зүйлийг илэрхийлнэ: эллипс дээр
, цилиндрийг гатлах замаар олж авсан , та өргөдлийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага утгыг олох хэрэгтэй
Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно: тэгшитгэлээс
(Зураг 9). Энэ асуудлыг дараах байдлаар шийдэж болно: тэгшитгэлээс X:

. Хавтгайн тэгшитгэлд y-ийн олсон утгыг орлуулснаар бид нэг хувьсагчийн функцийг олж авна.
бид олдог
Ийнхүү функцийн экстремумыг олох асуудал гарч ирнэ

, интервал дээрх нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох бодлого болгон бууруулсан. Тэгэхээр,нөхцөлт экстремумыг олох асуудал
– энэ бол зорилгын функцийн экстремумыг олох асуудал юм X, хувьсагчууд байх нөхцөлд цагтТэгээд
хязгаарлалтад хамаарна , дуудсан

холболтын тэгшитгэл. Ингэж хэлье
цэг , холболтын тэгшитгэлийг хангах,нь орон нутгийн нөхцөлт дээд цэг (хамгийн бага
), хэрэв хөрш байгаа бол
ямар ч онооны хувьд тийм

, координатууд нь холболтын тэгшитгэлийг хангаж байвал тэгш бус байдал хангагдана. цагтХэрэв холболтын тэгшитгэлээс илэрхийлэлийг олж болно , дараа нь энэ илэрхийлэлийг анхны функц болгон орлуулснаар бид сүүлчийн функцийг нэг хувьсагчийн цогц функц болгон хувиргана.

X. Нөхцөлт экстремумын асуудлыг шийдэх ерөнхий арга ньЛагранжийн үржүүлэгчийн арга . Туслах функц үүсгэцгээе, хаана ─ хэдэн тоо. Энэ функцийг нэрлэдэгЛагранж функц , А ─ Лагранжийн үржүүлэгч. Тиймээс нөхцөлт экстремумыг олох ажлыг Лагранжийн функцийн орон нутгийн экстремум цэгүүдийг олох хүртэл багасгасан. Боломжит экстремум цэгүүдийг олохын тулд та гурван үл мэдэгдэх 3 тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй x, y

Тэгээд.

Дараа нь та экстремумын хувьд дараах хангалттай нөхцлийг ашиглах хэрэгтэй.. ТЕОРЕМ
Энэ цэгийг Лагранжийн функцийн боломжит экстремум цэг гэж үзье. Энэ цэгийн ойролцоо гэж үзье Хоёрдахь эрэмбийн функцүүдийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативууд байдаг Тэгээд

. гэж тэмдэглэе
Дараа нь бол
, Тэр
─ функцийн нөхцөлт экстремум цэг
холбох тэгшитгэлийн хамт
Дараа нь бол
энэ тохиолдолд хэрэв
Дараа нь бол
─ нөхцөлт доод цэг, хэрэв

─ нөхцөлт дээд цэг.

§8. Градиент ба чиглэлийн дериватив
Функцийг зөвшөөр
зарим (нээлттэй) бүсэд тодорхойлсон. Аливаа цэгийг анхаарч үзээрэй энэ талбай болон дурын чиглүүлсэн шулуун шугам (тэнхлэг)
, энэ цэгээр дамжин өнгөрөх (Зураг 1). Болъё
- энэ тэнхлэг дээрх өөр нэг цэг,
Хоёрдахь эрэмбийн функцүүдийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативууд байдаг
– хоорондох сегментийн урт
, хэрэв чиглэл байвал нэмэх тэмдгээр авсан , хэрэв чиглэл нь эсрэг байвал хасах тэмдэгтэй.

Болъё
хязгааргүй ойртдог
. Хязгаар

дуудсан функцийн дериватив
чиглэлд (эсвэл тэнхлэгийн дагуу ) ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ.

.

Энэ дериватив нь тухайн цэг дэх функцийн "өөрчлөлтийн хурд"-ыг тодорхойлдог
чиглэлд . Ялангуяа энгийн хэсэгчилсэн деривативууд ,мөн "чиглэлийн хувьд" дериватив гэж үзэж болно.

Одоо функц гэж үзье
авч үзэж буй бүс нутагт тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Тэнхлэгээ зөвшөөр координатын тэнхлэгүүдтэй өнцөг үүсгэдэг
Хоёрдахь эрэмбийн функцүүдийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативууд байдаг . Хийсэн таамаглалын дагуу чиглэлтэй дериватив байгаа бөгөөд томъёогоор илэрхийлэгдэнэ

.

Хэрэв вектор
координатаар нь өгөгдсөн
, дараа нь функцийн дериватив
векторын чиглэлд
томъёог ашиглан тооцоолж болно:

.

Координат бүхий вектор
дуудсан градиент векторфункцууд
цэг дээр
. Градиент вектор нь тухайн цэг дэх функцийн хамгийн хурдан өсөлтийн чиглэлийг заана.

Жишээ

Өгөгдсөн функц, цэг A(1, 1) ба вектор
. Олно: 1)А цэг дээрх grad z; 2) векторын чиглэлд А цэг дээрх дериватив .

Тухайн цэг дэх өгөгдсөн функцийн хэсэгчилсэн деривативууд
:

;
.

Тэгвэл энэ цэг дэх функцийн градиент вектор нь:
. Градиент векторыг мөн вектор задралыг ашиглан бичиж болно Хоёрдахь эрэмбийн функцүүдийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативууд байдаг :

. Функцийн дериватив векторын чиглэлд :

Тэгэхээр,
,
.◄