Гурвалжны талбайг тодорхойлохын тулд та янз бүрийн томъёог ашиглаж болно. Бүх аргуудаас хамгийн хялбар бөгөөд хамгийн их ашиглагддаг нь өндрийг суурийн уртаар үржүүлж, дараа нь үр дүнг хоёроор хуваах явдал юм. Гэсэн хэдий ч энэ арга нь цорын ганц аргаас хол байна. Гурвалжны талбайг янз бүрийн томъёо ашиглан хэрхэн олохыг доороос уншиж болно.

Тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжны тодорхой төрлүүдийн талбайг тооцоолох арга замыг тусад нь авч үзэх болно. Бид томьёо тус бүрийн мөн чанарыг ойлгоход туслах товч тайлбарыг дагалддаг.

Гурвалжны талбайг олох түгээмэл аргууд

Доорх томьёо нь тусгай тэмдэглэгээг ашигладаг. Бид тус бүрийг тайлах болно:

• a, b, c - бидний авч үзэж буй зургийн гурван талын урт;
• r нь бидний гурвалжинд бичиж болох тойргийн радиус;
• R нь тойргийн радиусыг тойрон тайлбарлаж болно;
• α - b ба c талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• β нь a ба c хоорондох өнцгийн хэмжээ;
• γ - a ба b талуудын үүсгэсэн өнцгийн хэмжээ;
• h нь α өнцгөөс а тал руу буулгасан гурвалжны өндөр;
• p – a, b, c талуудын нийлбэрийн хагас.

Гурвалжны талбайг яагаад ингэж олох нь логикийн хувьд ойлгомжтой юм. Гурвалжныг параллелограмм болгон хялбархан хийж болох бөгөөд гурвалжны нэг тал нь диагональ байх болно. Параллелограммын талбайг түүний аль нэг талын уртыг түүнд татсан өндрийн утгаар үржүүлэх замаар олно. Диагональ нь энэ нөхцөлт параллелограммыг 2 ижил гурвалжинд хуваана. Тиймээс бидний анхны гурвалжны талбай нь энэ туслах параллелограммын талбайн хагастай тэнцүү байх ёстой нь тодорхой байна.

S=½ a b sin γ

Энэ томъёоны дагуу гурвалжны талбайг түүний хоёр талын уртыг, өөрөөр хэлбэл a ба b-ийг тэдгээрийн үүсгэсэн өнцгийн синусаар үржүүлснээр олно. Энэ томъёо нь өмнөхөөсөө логикоор үүсэлтэй. Хэрэв бид өндрийг β өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарын дагуу а талын уртыг γ өнцгийн синусаар үржүүлэхэд гурвалжны өндөр, өөрөөр хэлбэл h болно. .

Тухайн зургийн талбайг дотор нь бичиж болох тойргийн радиусын хагасыг периметрээр нь үржүүлэх замаар олно. Өөрөөр хэлбэл, хагас периметр ба дурдсан тойргийн радиусын үржвэрийг олно.

S= a b c/4R

Энэ томьёоны дагуу зургийн хажуугийн үржвэрийг тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар бидэнд хэрэгтэй утгыг олж болно.

Эдгээр томьёо нь бүх нийтийнх бөгөөд тэдгээр нь аливаа гурвалжны талбайг (масштаб, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүнийг илүү нарийн тооцоолол ашиглан хийж болох бөгөөд бид үүнийг нарийвчлан үзэхгүй.

Тодорхой шинж чанартай гурвалжны талбайнууд

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ зургийн онцлог нь түүний хоёр тал нь нэгэн зэрэг өндөр юм. Хэрэв a ба b нь хөл бөгөөд c нь гипотенуз болвол бид талбайг дараах байдлаар олно.

Хоёр талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Энэ нь а урттай хоёр тал, b урттай нэг талтай. Үүний үр дүнд түүний талбайг 2-т а талын квадратын үржвэрийг γ өнцгийн синусын үржвэрт хуваах замаар тодорхойлж болно.

Тэгш талт гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ? Үүнд бүх талуудын урт нь a-тай тэнцүү бөгөөд бүх өнцгийн хэмжээ нь α байна. Түүний өндөр нь а талын урт ба язгуур 3-ын үржвэрийн хагастай тэнцүү байна. Энгийн гурвалжны талбайг олохын тулд а талын квадратыг 3-ын квадрат язгуураар үржүүлж, 3-т хуваах хэрэгтэй. 4.

Гурвалжин бол бидний бага сургуульд мэддэг хамгийн түгээмэл геометрийн хэлбэрүүдийн нэг юм. Оюутан бүр геометрийн хичээл дээр гурвалжны талбайг хэрхэн олох вэ гэсэн асуулттай тулгардаг. Тэгэхээр өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох ямар онцлог шинж чанаруудыг тодорхойлж болох вэ? Энэ нийтлэлд бид ийм ажлыг гүйцэтгэхэд шаардлагатай үндсэн томъёог авч үзэхээс гадна гурвалжны төрлүүдийг шинжлэх болно.

Гурвалжны төрлүүд

Та гурвалжны талбайг огт өөр аргаар олох боломжтой, учир нь геометрт гурван өнцөг агуулсан нэгээс олон төрлийн дүрс байдаг. Эдгээр төрлүүд нь:

• Бүдүүн.
• Тэгш талт (зөв).
• Зөв гурвалжин.
• Хоёр талт.

Одоо байгаа гурвалжны төрлүүд тус бүрийг нарийвчлан авч үзье.

Энэхүү геометрийн дүрс нь геометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд хамгийн түгээмэл гэж тооцогддог. Дурын гурвалжин зурах хэрэгцээ гарвал энэ сонголт нь аврах ажилд ирдэг.

Цочмог гурвалжинд нэрнээс нь харахад бүх өнцөг нь хурц бөгөөд 180 ° хүртэл нэмэгддэг.

Энэ төрлийн гурвалжин нь маш түгээмэл боловч хурц өнцөгт гурвалжингаас арай бага тохиолддог. Жишээлбэл, гурвалжинг шийдэхдээ (өөрөөр хэлбэл түүний хэд хэдэн тал ба өнцөг нь мэдэгдэж байгаа тул үлдсэн элементүүдийг олох хэрэгтэй) заримдаа та өнцөг нь мохоо эсвэл биш эсэхийг тодорхойлох хэрэгтэй. Косинус нь сөрөг тоо юм.

B, аль нэг өнцгийн утга нь 90 ° -аас хэтэрсэн тул үлдсэн хоёр өнцөг нь жижиг утгыг (жишээлбэл, 15 ° эсвэл бүр 3 °) авч болно.

Энэ төрлийн гурвалжны талбайг олохын тулд бид дараа нь ярих зарим нюансуудыг мэдэх хэрэгтэй.

Энгийн ба тэгш өнцөгт гурвалжин

Энгийн олон өнцөгт нь n өнцөг агуулсан дүрс бөгөөд бүх тал ба өнцөг нь тэнцүү байна. Энэ бол ердийн гурвалжин юм. Гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180° байх тул гурван өнцөг тус бүр нь 60° байна.

Тогтмол гурвалжинг шинж чанараараа адил талт дүрс гэж нэрлэдэг.

Ердийн гурвалжинд зөвхөн нэг тойргийг дүрсэлж болох ба түүний эргэн тойронд зөвхөн нэг тойргийг дүрслэх боломжтой бөгөөд тэдгээрийн төвүүд нь нэг цэг дээр байрладаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Адил талт төрлөөс гадна ижил өнцөгт гурвалжинг ялгаж салгаж болох бөгөөд энэ нь түүнээс арай өөр юм. Ийм гурвалжинд хоёр тал ба хоёр өнцөг нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд гурав дахь тал нь (тэнцүү өнцөг нь зэргэлдээ байгаа) суурь юм.

Зураг дээр D ба F өнцөг нь тэнцүү, DF нь суурь нь тэгш өнцөгт DEF гурвалжинг үзүүлэв.

Зөв гурвалжин

Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг өнцөг нь зөв, өөрөөр хэлбэл 90°-тай тэнцүү байдаг тул ийнхүү нэрлэсэн. Нөгөө хоёр өнцөг нь 90 ° хүртэл нэмэгддэг.

Ийм гурвалжны 90 ° өнцгийн эсрэг байрлах хамгийн том тал нь гипотенуз, үлдсэн хоёр тал нь хөл юм. Энэ төрлийн гурвалжны хувьд Пифагорын теорем дараах байдалтай байна.

Хөлийн уртын квадратуудын нийлбэр нь гипотенузын уртын квадраттай тэнцүү байна.

Зураг дээр АС гипотенуз, AB ба ВС хөлтэй BAC тэгш өнцөгт гурвалжинг үзүүлэв.

Тэгш өнцөгтэй гурвалжны талбайг олохын тулд түүний хөлийн тоон утгыг мэдэх хэрэгтэй.

Өгөгдсөн дүрсийн талбайг олох томъёонууд руу шилжье.

Талбайг олох үндсэн томъёо

Геометрийн хувьд ихэнх төрлийн гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой хоёр томьёо байдаг, тухайлбал хурц, мохоо, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд. Тэдгээрийг тус бүрээр нь харцгаая.

Хажуугийн болон өндрөөр

Энэхүү томъёо нь бидний авч үзэж буй зургийн талбайг олоход түгээмэл байдаг. Үүнийг хийхийн тулд хажуугийн урт, түүнд зурсан өндрийн уртыг мэдэхэд хангалттай. Томъёо нь өөрөө (суурь ба өндрийн бүтээгдэхүүний хагас) дараах байдалтай байна.

Энд А нь өгөгдсөн гурвалжны тал, H нь гурвалжны өндөр.

Жишээлбэл, ACB цочмог гурвалжны талбайг олохын тулд та түүний AB талыг CD өндрөөр үржүүлж, үүссэн утгыг хоёр хуваах хэрэгтэй.

Гэсэн хэдий ч гурвалжны талбайг ийм байдлаар олох нь тийм ч хялбар биш юм. Жишээлбэл, энэ томьёог мохоо гурвалжинд ашиглахын тулд та түүний аль нэг талыг сунгаж, зөвхөн дараа нь өндрийг зурах хэрэгтэй.

Практикт энэ томъёог бусдаас илүү олон удаа ашигладаг.

Хоёр тал болон буланд

Энэ томьёо нь өмнөхтэй адил ихэнх гурвалжинд тохиромжтой бөгөөд утгаараа гурвалжны талбай ба өндрийг олох томъёоны үр дагавар юм. Өөрөөр хэлбэл, тухайн томъёог өмнөхөөсөө амархан гаргаж болно. Түүний найрлага нь дараах байдалтай байна.

S = ½*sinO*A*B,

Энд А ба В нь гурвалжны талууд, О нь А ба В талуудын хоорондох өнцөг юм.

Өнцгийн синусыг Зөвлөлтийн нэрт математикч В.М.Брадисын нэрэмжит тусгай хүснэгтээс харж болно гэдгийг санацгаая.

Одоо зөвхөн гурвалжингийн онцгой төрлүүдэд тохиромжтой бусад томъёо руу шилжье.

Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай

Гурвалжин дахь өндрийг олох хэрэгцээг багтаасан бүх нийтийн томъёоноос гадна тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг түүний хөлөөс олж болно.

Тиймээс тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүний хөлний үржвэрийн хагас буюу:

a ба b нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөл юм.

Ердийн гурвалжин

Энэ төрлийн геометрийн дүрс нь түүний талбайг зөвхөн нэг талынх нь заасан утгыг олох боломжтой гэдгээрээ ялгагдана (ердийн гурвалжны бүх талууд тэнцүү тул). Тиймээс, "талууд тэнцүү байх үед гурвалжны талбайг олох" даалгавартай тулгарах үед та дараах томъёог ашиглах хэрэгтэй.

S = A 2 *√3 / 4,

Энд А нь тэгш талт гурвалжны тал юм.

Хероны томъёо

Гурвалжны талбайг олох сүүлчийн сонголт бол Хероны томъёо юм. Үүнийг ашиглахын тулд та зургийн гурван талын уртыг мэдэх хэрэгтэй. Хероны томъёо дараах байдалтай байна.

S = √p·(p - a)·(p - b)·(p - c),

a, b ба c нь өгөгдсөн гурвалжны талууд юм.

Заримдаа "энгийн гурвалжны талбай нь түүний хажуугийн уртыг олох" гэсэн асуудал гардаг. Энэ тохиолдолд бид ердийн гурвалжны талбайг олохын тулд аль хэдийн мэддэг томьёог ашиглаж, үүнээс хажуугийн (эсвэл квадратын) утгыг гаргаж авах хэрэгтэй.

A 2 = 4S / √3.

Шалгалтын даалгавар

Математикийн ТЕГ-ын бодлогод олон томьёо байдаг. Нэмж дурдахад ихэвчлэн алаг цаасан дээр гурвалжны талбайг олох шаардлагатай байдаг.

Энэ тохиолдолд өндрийг зургийн аль нэг тал руу нь зурж, уртыг нүднүүдээс нь тодорхойлж, талбайг олох бүх нийтийн томъёог ашиглах нь хамгийн тохиромжтой.

Тиймээс, өгүүлэлд дурдсан томъёог судалсны дараа танд ямар ч төрлийн гурвалжны талбайг олоход асуудал гарахгүй.

Гурвалжны талбай - томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Доор байна дурын гурвалжны талбайг олох томъёошинж чанар, өнцөг, хэмжээ зэргээс үл хамааран аливаа гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой. Томъёо нь зураг хэлбэрээр, тэдгээрийн хэрэглээний тайлбар эсвэл тэдгээрийн зөв байдлын үндэслэлийг харуулсан болно. Мөн тусдаа зураг нь томьёо дахь үсгийн тэмдэг болон зураг дээрх график тэмдэгтүүдийн хоорондын захидал харилцааг харуулж байна.

Анхаарна уу . Хэрэв гурвалжин нь тусгай шинж чанартай (исс өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) байвал доор өгөгдсөн томьёо болон зөвхөн эдгээр шинж чанартай гурвалжинд хүчинтэй нэмэлт тусгай томъёог ашиглаж болно.

• "Тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо"

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Томъёоны тайлбар:
a, b, c- талбайг нь олохыг хүсч буй гурвалжны талуудын урт
r- гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус
Р- гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус
h- хажуу тийшээ доошлуулсан гурвалжны өндөр
х- гурвалжны хагас периметр, талуудын нийлбэрийн 1/2 (периметр)
α - гурвалжны а талын эсрэг талын өнцөг
β - гурвалжны b талын эсрэг талын өнцөг
γ - гурвалжны в талын эсрэг талын өнцөг
h а, h б , h в- гурвалжны өндрийг a, b, c тал руу буулгасан

Өгөгдсөн тэмдэглэгээ нь дээрх зурагтай тохирч байгаа тул геометрийн бодит асуудлыг шийдэхдээ томьёоны зөв газарт зөв утгыг орлуулах нь нүдэнд харагдахуйц хялбар байх болно гэдгийг анхаарна уу.

• Гурвалжны талбай нь гурвалжны өндрийн хагас үржвэр ба энэ өндрийг доошлуулах талын урт(Формула 1). Энэ томъёоны зөвийг логикоор ойлгож болно. Суурь руу буулгасан өндөр нь дурын гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах болно. Хэрэв та тэдгээрийг тус бүрийг b ба h хэмжээтэй тэгш өнцөгт болгон барьвал эдгээр гурвалжны талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайн яг хагастай тэнцүү байх болно (Spr = bh)
• Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын хагасын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус(Формула 2) (энэ томъёог ашиглан асуудлыг шийдэх жишээг доороос үзнэ үү). Хэдийгээр энэ нь өмнөхөөсөө ялгаатай мэт санагдаж байгаа ч үүнийг амархан хувиргаж болно. Хэрэв бид өндрийг B өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны синусын шинж чанарын дагуу а тал ба γ өнцгийн синусын үржвэр нь бидний зурсан гурвалжны өндөртэй тэнцүү байна. , энэ нь бидэнд өмнөх томьёог өгдөг
• Дурын гурвалжны талбайг олж болно дамжуулан ажилдотор нь бичсэн тойргийн радиусын хагасыг түүний бүх талуудын уртын нийлбэрээр илэрхийлнэ(Формула 3), энгийнээр хэлбэл, та гурвалжны хагас периметрийг бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлэх хэрэгтэй (үүнийг санахад хялбар)
• Дурын гурвалжны талбайг түүний бүх талуудын үржвэрийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар олж болно (Формула 4)
• Формула 5 нь гурвалжны талбайг талуудын урт ба хагас периметрээр нь (бүх талуудын нийлбэрийн хагас) олох явдал юм.
• Хероны томъёо(6) нь хагас периметрийн ойлголтыг ашиглахгүйгээр зөвхөн талуудын уртаар дамжуулан ижил томьёоны дүрслэл юм.
• Дурын гурвалжны талбай нь гурвалжны хажуугийн квадрат ба энэ талтай зэргэлдээх өнцгийн синусын үржвэрийг энэ талын эсрэг талын өнцгийн давхар синусанд хуваасантай тэнцүү байна (Формула 7)
• Дурын гурвалжны талбайг түүний өнцөг бүрийн синусаар тойрсон тойргийн хоёр квадратын үржвэрээр олж болно. (Формула 8)
• Хэрэв нэг талын урт ба зэргэлдээ хоёр өнцгийн утгууд мэдэгдэж байвал гурвалжны талбайг энэ талын квадратыг эдгээр өнцгийн котангентын давхар нийлбэрт хуваасан хэлбэрээр олж болно (Формула 9)
• Хэрэв гурвалжны өндөр тус бүрийн уртыг л мэддэг бол (Формула 10) ийм гурвалжны талбай нь Хероны томъёоны дагуу эдгээр өндрийн урттай урвуу пропорциональ байна.
• Формула 11 нь тооцоолох боломжийг танд олгоно оройнуудын координат дээр үндэслэн гурвалжны талбай, эдгээр нь орой тус бүрийн хувьд (x;y) утгуудаар тодорхойлогддог. Хувь хүний ​​(эсвэл бүр бүх) оройн координатууд сөрөг утгын бүсэд байж болох тул үр дүнгийн утгыг модулаар авах ёстойг анхаарна уу.

Анхаарна уу. Гурвалжны талбайг олохын тулд геометрийн асуудлыг шийдэх жишээг доор харуулав. Хэрэв та энд төстэй биш геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Шийдэлд "квадрат язгуур" тэмдгийн оронд sqrt() функцийг ашиглаж болох бөгөөд үүнд sqrt нь квадрат язгуур тэмдэг, радикал илэрхийллийг хаалтанд заасан болно..Заримдаа энгийн радикал илэрхийлэлд энэ тэмдгийг ашиглаж болно √

Даалгавар. Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ол

Гурвалжны талууд нь 5 ба 6 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 60 градус байна. Гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид хичээлийн онолын хэсгээс хоёр дахь томьёог ашигладаг.
Гурвалжны талбайг хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар олж болох ба тэнцүү байх болно.
S=1/2 ab sin γ

Бидэнд шийдэлд шаардлагатай бүх өгөгдөл байгаа тул (томъёоны дагуу) бид асуудлын нөхцлийн утгыг зөвхөн томъёонд орлуулж болно.
S = 1/2 * 5 * 6 * нүгэл 60

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд бид синусын 60 градусын утгыг олж, илэрхийлэлд орлуулах болно. Энэ нь гурвыг хоёр удаа үржүүлсэн үндэстэй тэнцүү байх болно.
S = 15 √3 / 2

Хариулт: 7.5 √3 (багшийн шаардлагаас хамааран та 15 √3/2 үлдээж болно)

Даалгавар. Тэгш талт гурвалжны талбайг ол

3 см талтай тэгш талт гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Гурвалжны талбайг Хероны томъёог ашиглан олж болно.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c тул тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Хариулт: 9 √3 / 4.

Даалгавар. Хажуугийн уртыг өөрчлөх үед талбайг өөрчил

Гурвалжны талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл түүний талбай хэд дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл.

Гурвалжны талуудын хэмжээс нь бидэнд тодорхойгүй тул асуудлыг шийдэхийн тулд талуудын уртыг дурын тоонуудтай тэнцүү гэж үзнэ a, b, c. Дараа нь асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид өгөгдсөн гурвалжны талбайг олж, дараа нь талууд нь дөрөв дахин том гурвалжны талбайг олох болно. Эдгээр гурвалжны талбайн харьцаа нь бидэнд асуудлын хариултыг өгөх болно.

Доор бид асуудлын шийдлийг алхам алхмаар текст хэлбэрээр тайлбарласан болно. Гэсэн хэдий ч эцэст нь ижил шийдлийг илүү тохиромжтой график хэлбэрээр үзүүлэв. Хүссэн хүмүүс тэр даруй шийдлийг буулгаж болно.

Шийдвэрлэхийн тулд бид Хероны томъёог ашигладаг (хичээлийн онолын хэсгээс үзнэ үү). Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн эхний мөрийг үзнэ үү)

Дурын гурвалжны талуудын уртыг a, b, c хувьсагчаар тодорхойлно.
Хэрэв талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл шинэ c гурвалжны талбай нь:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(доорх зурган дээрх хоёр дахь мөрийг харна уу)

Таны харж байгаагаар 4 нь математикийн ерөнхий дүрмийн дагуу бүх дөрвөн илэрхийллээс хаалтнаас гаргаж болох нийтлэг хүчин зүйл юм.
Дараа нь

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - зургийн гурав дахь мөрөнд
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - дөрөв дэх мөр

256 тооны язгуурыг төгс гаргаж авсан тул язгуураас нь гаргая
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн тав дахь мөрийг харна уу)

Асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид үүссэн гурвалжны талбайг анхны гурвалжны талбайд хуваах хэрэгтэй.
Илэрхийлэлүүдийг хооронд нь хувааж, үүссэн бутархайг багасгах замаар талбайн харьцааг тодорхойлъё.

Гурвалжин бол хүн бүрт танил дүрс юм. Энэ нь түүний олон янзын хэлбэрийг үл харгалзан. Тэгш өнцөгт, тэгш талт, хурц, тэгш өнцөгт, мохоо. Тэд тус бүр нь ямар нэгэн байдлаар өөр өөр байдаг. Гэхдээ хэн ч гурвалжны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.

Талуудын урт эсвэл өндрийг ашигладаг бүх гурвалжинд нийтлэг томъёо

Тэдгээрт батлагдсан тэмдэглэгээ: талууд - a, b, c; a, n in, n with дээрх харгалзах талууд дээрх өндөр.

1. Гурвалжны талбайг ½, тал ба түүнээс хассан өндрийн үржвэрээр тооцно. S = ½ * a * n a. Нөгөө хоёр талын томьёог ижилхэн бичих ёстой.

2. Хагас периметр гарч ирэх Хэроны томъёо (бүтэн периметрээс ялгаатай нь ихэвчлэн жижиг p үсгээр тэмдэглэдэг). Хагас периметрийг дараах байдлаар тооцоолох ёстой: бүх талыг нэмээд 2-т хуваана. Хагас периметрийн томъёо нь: p = (a+b+c) / 2. Дараа нь ​ талбайн тэгшитгэл. ​зураг дараах байдалтай байна: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Хэрэв та хагас периметр ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол зөвхөн талуудын уртыг агуулсан томъёо хэрэгтэй болно: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Энэ нь өмнөхөөсөө арай урт боловч хагас периметрийг хэрхэн олохоо мартсан бол энэ нь туслах болно.

Гурвалжны өнцгийг хамарсан ерөнхий томьёо

Томьёог уншихад шаардлагатай тэмдэглэгээ: α, β, γ - өнцөг. Тэд a, b, c-ийн эсрэг талд байрладаг.

1. Үүний дагуу хоёр талын үржвэрийн тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус нь гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь: S = ½ a * b * sin γ. Бусад хоёр тохиолдлын томъёог ижил төстэй байдлаар бичих хэрэгтэй.

2. Гурвалжны талбайг нэг тал ба гурван мэдэгдэж буй өнцгөөс тооцоолж болно. S = (а 2 * нүгэл β * нүгэл γ) / (2 нүгэл α).

3. Мэдэгдэж байгаа нэг тал, хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй томьёо бас бий. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Сүүлийн хоёр томъёо нь хамгийн энгийн биш юм. Тэднийг санах нь маш хэцүү байдаг.

Бичсэн эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг мэддэг нөхцөл байдлын ерөнхий томьёо

Нэмэлт тэмдэглэгээ: r, R - радиус. Эхнийх нь бичээстэй тойргийн радиуст ашиглагддаг. Хоёр дахь нь тайлбарласан зүйлд зориулагдсан.

1. Гурвалжны талбайг тооцоолох эхний томъёо нь хагас периметртэй холбоотой. S = r * r. Үүнийг бичих өөр нэг арга бол: S = ½ r * (a + b + c).

2. Хоёр дахь тохиолдолд та гурвалжны бүх талыг үржүүлж, тойргийн радиусыг дөрөв дахин хуваах хэрэгтэй болно. Шууд утгаараа дараах байдлаар харагдана: S = (a * b * c) / (4R).

3. Гурав дахь нөхцөл байдал нь талуудыг мэдэхгүйгээр хийх боломжийг олгодог боловч бүх гурван өнцгийн утгууд хэрэгтэй болно. S = 2 R 2 * нүгэл α * нүгэл β * нүгэл γ.

Онцгой тохиолдол: тэгш өнцөгт гурвалжин

Зөвхөн хоёр хөлний урт шаардлагатай тул энэ нь хамгийн энгийн нөхцөл байдал юм. Тэдгээр нь латин a, b үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүнд нэмсэн тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна.

Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = ½ a * b. Энэ нь санахад хамгийн хялбар юм. Тэгш өнцөгтийн талбайн томьёо шиг харагддаг тул зөвхөн хагасыг харуулсан бутархай гарч ирнэ.

Онцгой тохиолдол: ижил өнцөгт гурвалжин

Энэ нь хоёр тэнцүү талтай тул түүний талбайн зарим томъёо нь арай хялбаршуулсан мэт харагдаж байна. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох Хероны томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Хэрэв та үүнийг өөрчлөх юм бол энэ нь богино болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны Хэроны томъёог дараах байдлаар бичнэ.

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Талбайн томьёо нь талууд болон тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тодорхой бол дурын гурвалжныхаас арай хялбар харагдаж байна. S = ½ a 2 * sin β.

Онцгой тохиолдол: тэгш талт гурвалжин

Асуудлын хувьд ихэвчлэн түүний талыг мэддэг эсвэл ямар нэгэн байдлаар олж мэддэг. Дараа нь ийм гурвалжны талбайг олох томъёо дараах байдалтай байна.

S = (a 2 √3) / 4.

Гурвалжинг алаг цаасан дээр дүрсэлсэн бол талбайг олоход тулгардаг асуудлууд

Хамгийн энгийн нөхцөл байдал бол тэгш өнцөгт гурвалжинг зурах бөгөөд хөл нь цаасны зураастай давхцах явдал юм. Дараа нь та хөлөнд тохирох эсийн тоог тоолох хэрэгтэй. Дараа нь тэдгээрийг үржүүлж, хоёр хуваа.

Гурвалжин нь хурц эсвэл мохоо байвал тэгш өнцөгт рүү зурах шаардлагатай. Дараа нь үүссэн зураг нь 3 гурвалжинтай болно. Нэг нь асуудалд өгөгдсөн зүйл юм. Нөгөө хоёр нь туслах ба тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Сүүлийн хоёрын талбайг дээр дурдсан аргыг ашиглан тодорхойлох шаардлагатай. Дараа нь тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолж, үүнээс туслах хэсэгт тооцсон хэсгийг хас. Гурвалжны талбайг тодорхойлно.

Гурвалжны аль ч тал нь цаасны шугамтай давхцахгүй байх нөхцөл байдал илүү төвөгтэй болж хувирав. Дараа нь анхны дүрсийн оройнууд нь хажуу талдаа байхаар тэгш өнцөгт хэлбэрээр бичих шаардлагатай. Энэ тохиолдолд гурван туслах гурвалжин байх болно.

Хероны томъёог ашигласан асуудлын жишээ

Нөхцөл байдал. Зарим гурвалжин нь талуудыг мэддэг. Тэдгээр нь 3, 5, 6 см-тэй тэнцүү бөгөөд та түүний талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.

Одоо та дээрх томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж болно. Квадрат язгуурын дор 7, 4, 2 ба 1 гэсэн дөрвөн тооны үржвэр байна. Өөрөөр хэлбэл талбай нь √(4 * 14) = 2 √(14) байна.

Хэрэв илүү нарийвчлал шаардагдахгүй бол 14-ийн квадрат язгуурыг авч болно. Энэ нь 3.74-тэй тэнцүү байна. Тэгвэл талбай нь 7.48 болно.

Хариулт. S = 2 √14 см 2 буюу 7.48 см 2.

Зөв гурвалжинтай холбоотой жишээ бодлого

Нөхцөл байдал. Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь хоёр дахь хөлөөсөө 31 см том бол гурвалжны талбай 180 см 2 бол та тэдгээрийн уртыг олох хэрэгтэй.
Шийдэл. Бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй болно. Эхнийх нь газар нутагтай холбоотой. Хоёр дахь нь асуудалд өгөгдсөн хөлний харьцаатай.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Нэгдүгээрт, "a" утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулах ёстой. Үүнээс харахад: 180 = ½ (+ 31-д) * in. Зөвхөн нэг үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүн байгаа тул үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Хаалтуудыг нээсний дараа квадрат тэгшитгэлийг олж авна: 2 + 31 360 = 0. Энэ нь "in" гэсэн хоёр утгыг өгдөг: 9 ба - 40. Хоёр дахь тоо нь хариултын хувьд тохиромжгүй, учир нь хажуугийн урт нь гурвалжны сөрөг утга байж болохгүй.

Хоёрдахь хөлийг тооцоолоход л үлдлээ: гарсан тоон дээр 31-ийг нэмбэл 40. Эдгээр нь асуудалд хайж буй тоо хэмжээ юм.

Хариулт. Гурвалжны хөл нь 9 ба 40 см байна.

Гурвалжны талбай, тал, өнцгийг дамжих талыг олох бодлого

Нөхцөл байдал. Тодорхой гурвалжны талбай нь 60 см 2 байна. Хоёр дахь тал нь 15 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 30º бол түүний аль нэг талыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээнд үндэслэн хүссэн тал нь "a", мэдэгдэж буй тал нь "b", өгөгдсөн өнцөг нь "γ" байна. Дараа нь талбайн томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.

60 = ½ a * 15 * гэм 30º. Энд 30 градусын синус 0.5 байна.

Өөрчлөлтийн дараа "a" нь 60 / (0.5 * 0.5 * 15) тэнцүү болж хувирна. Энэ нь 16.

Хариулт. Шаардлагатай тал нь 16 см байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй квадратын тухай бодлого

Нөхцөл байдал. 24 см талтай дөрвөлжингийн орой нь гурвалжны зөв өнцөгтэй давхцаж байна. Нөгөө хоёр нь хажуу тийшээ хэвтэж байна. Гурав дахь нь гипотенузид хамаарна. Нэг хөлийн урт 42 см тэгш өнцөгт гурвалжны талбай хэд вэ?

Шийдэл. Хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Эхнийх нь даалгаварт заасан зүйл юм. Хоёр дахь нь анхны гурвалжны мэдэгдэж буй хөл дээр суурилдаг. Тэдгээр нь нийтлэг өнцөгтэй, зэрэгцээ шугамаар үүсгэгддэг тул ижил төстэй байдаг.

Дараа нь тэдний хөлний харьцаа тэнцүү байна. Жижиг гурвалжны хөл нь 24 см (дөрвөлжингийн тал) ба 18 см (өгөгдсөн хөл нь 42 см, дөрвөлжингийн талыг 24 см хасна) тэнцүү байна. Том гурвалжны харгалзах хөлүүд нь 42 см ба х см бөгөөд гурвалжны талбайг тооцоолоход энэ "x" шаардлагатай.

18/42 = 24 / x, өөрөөр хэлбэл x = 24 * 42 / 18 = 56 (см).

Дараа нь талбай нь 56 ба 42-ын үржвэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 1176 см 2 байна.

Хариулт. Шаардлагатай талбай нь 1176 см 2.