Энэ хичээлээр бид векторуудтай өөр хоёр үйлдлийг авч үзэх болно. векторуудын вектор үржвэрТэгээд векторуудын холимог бүтээгдэхүүн (хэрэгтэй хүмүүст шууд линк). Зүгээр дээ, заримдаа үүнээс гадна бүрэн аз жаргалын төлөө ийм зүйл тохиолддог векторуудын скаляр үржвэр, илүү ихийг шаарддаг. Энэ бол вектор донтолт юм. Бид аналитик геометрийн ширэнгэн ой руу орж байгаа юм шиг санагдаж магадгүй юм. Энэ бол буруу. Дээд математикийн энэ хэсэгт Пиноккиод хангалттай модыг эс тооцвол ерөнхийдөө бага мод байдаг. Үнэн хэрэгтээ, материал нь маш түгээмэл бөгөөд энгийн байдаг - ижил төстэй зүйлээс илүү төвөгтэй биш юм цэгийн бүтээгдэхүүн, ердийн даалгавар ч цөөн байх болно. Аналитик геометрийн гол зүйл бол олон хүн итгэлтэй байх болно, эсвэл аль хэдийн итгэлтэй байсан тул тооцоололд алдаа гаргахгүй байх явдал юм. Шившлэг шиг давтаад та аз жаргалтай байх болно =)

Хэрэв векторууд тэнгэрийн хаяанд цахилгаан цахих мэт хол хаа нэгтээ гялалзаж байвал хамаагүй, хичээлээс эхэл. Дамми нарт зориулсан векторуудвекторуудын талаарх анхан шатны мэдлэгийг сэргээх буюу дахин олж авах. Илүү бэлтгэгдсэн уншигчид мэдээлэлтэй танилцах боломжтой, би практик ажилд ихэвчлэн олддог хамгийн бүрэн жишээ цуглуулахыг хичээсэн

Юу чамайг тэр дор нь баярлуулах вэ? Би багадаа хоёр, бүр гурван бөмбөг жонглёрдог байсан. Энэ нь сайн болсон. Одоо та жонглёр хийх шаардлагагүй болно, учир нь бид авч үзэх болно зөвхөн орон зайн векторууд, мөн хоёр координаттай хавтгай векторуудыг орхих болно. Яагаад? Эдгээр үйлдлүүд ингэж төрсөн - векторуудын вектор ба холимог үржвэрийг тодорхойлж, гурван хэмжээст орон зайд ажилладаг. Энэ нь аль хэдийн хялбар болсон!

Энэ үйлдэл нь скаляр үржвэрийн нэгэн адил хамаарна хоёр вектор. Эдгээр нь мөхөшгүй үсэг байх болтугай.

Үйлдэл нь өөрөө гэж тэмдэглэсэндараах байдлаар: . Өөр сонголтууд байдаг, гэхдээ би векторуудын вектор үржвэрийг загалмай бүхий дөрвөлжин хаалтанд ингэж тэмдэглэж дассан.

Тэгээд тэр даруй асуулт: хэрэв байгаа бол векторуудын скаляр үржвэрХоёр вектор оролцож байгаа бөгөөд энд хоёр векторыг мөн үржүүлнэ ямар ялгаа байна? Үүний тод ялгаа нь юуны түрүүнд ҮР ДҮНД байна.

Векторуудын скаляр үржвэрийн үр дүн нь NUMBER:

Векторуудын хөндлөн үржвэрийн үр дүн нь ВЕКТОР юм: , өөрөөр хэлбэл, бид векторуудыг үржүүлээд дахин вектор авна. Хаалттай клуб. Уг нь хагалгааны нэр эндээс гаралтай. Өөр өөр боловсролын уран зохиолд тэмдэглэгээ нь өөр өөр байж болно, би үсгийг ашиглах болно;

Хөндлөн бүтээгдэхүүний тодорхойлолт

Эхлээд зурагтай тодорхойлолт, дараа нь тайлбар байх болно.

Тодорхойлолт: Вектор бүтээгдэхүүн шугаман бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, ВЕКТОР гэж нэрлэгддэг, уртЭнэ нь тоон үзүүлэлт юм параллелограммын талбайтай тэнцүү байна, эдгээр векторууд дээр бүтээгдсэн; вектор векторуудад ортогональ, ба үндэс нь зөв чиг баримжаатай байхаар чиглэгддэг:

Тодорхойлолтыг хэсэг хэсгээр нь задалцгаая, энд маш олон сонирхолтой зүйл байна!

Тиймээс дараахь чухал зүйлийг онцолж болно.

1) Тодорхойлолтоор улаан сумаар заасан анхны векторууд уялдаа холбоогүй. Коллинеар векторуудын асуудлыг бага зэрэг дараа авч үзэх нь зүйтэй юм.

2) Векторуудыг авсан хатуу тогтоосон дарааллаар: – "a"-г "be"-ээр үржүүлнэ, "a"-тай "байх" биш. Вектор үржүүлгийн үр дүннь ВЕКТОР бөгөөд энэ нь цэнхэр өнгөөр ​​тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэрэв векторуудыг урвуу дарааллаар үржүүлбэл бид урттай тэнцүү, чиглэлийн эсрэг (бөөрөлзгөнө өнгө) векторыг авна. Энэ нь тэгш байдал нь үнэн юм .

3) Одоо вектор үржвэрийн геометрийн утгатай танилцацгаая. Энэ бол маш чухал цэг юм! Цэнхэр векторын УРТ (тиймээс час улаан вектор) нь векторууд дээр баригдсан параллелограммын ТАЛБАЙ-тай тэнцүү байна. Зураг дээр энэ параллелограммыг хараар будсан байна.

Анхаарна уу : зураг нь бүдүүвч бөгөөд мэдээжийн хэрэг вектор бүтээгдэхүүний нэрлэсэн урт нь параллелограммын талбайтай тэнцүү биш юм.

Геометрийн нэг томьёог эргэн санацгаая. Параллелограммын талбай нь зэргэлдээ талуудын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синустай тэнцүү байна.. Тиймээс, дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн вектор бүтээгдэхүүний УРТыг тооцоолох томъёо хүчинтэй байна.

Томъёо нь векторын тухай биш харин векторын УРТ-ын тухай гэдгийг би онцолж байна. Практик утга нь юу вэ? Үүний утга нь аналитик геометрийн асуудлуудад параллелограммын талбайг ихэвчлэн вектор бүтээгдэхүүн гэсэн ойлголтоор олж авдаг.

Хоёр дахь чухал томъёог авч үзье. Параллелограммын диагональ (улаан тасархай шугам) нь түүнийг хоёр тэнцүү гурвалжинд хуваана. Тиймээс векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг (улаан сүүдэр) дараах томъёогоор олж болно.

4) Үүнтэй адил чухал баримт бол вектор нь векторуудад ортогональ, өөрөөр хэлбэл . Мэдээжийн хэрэг, эсрэг чиглэлтэй вектор (бөөрөлзгөнө сум) нь мөн анхны векторуудад ортогональ байна.

5) Вектор нь тийм чиглэгдсэн байна суурьбайна зөвчиг баримжаа. тухай хичээл дээр шинэ суурь руу шилжихБи хангалттай дэлгэрэнгүй ярьсан онгоцны чиг баримжаа, одоо бид орон зайн чиг баримжаа гэж юу болохыг олж мэдэх болно. Би хуруугаараа тайлбарлах болно баруун гар. Оюун санааны хувьд нэгтгэх долоовор хуруувектортой ба дунд хуруувектортой. Бөгжний хуруу, жижиг хурууалган дээрээ дар. Үүний үр дүнд эрхий хуруу– вектор бүтээгдэхүүн дээшээ харагдах болно. Энэ бол баруун тийш чиглэсэн суурь юм (зураг дээрх энэ нь). Одоо векторуудыг өөрчил ( долоовор ба дунд хуруу) зарим газарт үр дүнд нь эрхий хуруугаа эргүүлж, вектор бүтээгдэхүүн аль хэдийн доошоо харах болно. Энэ нь бас зөв хандлагын үндэс юм. Танд асуулт гарч ирж магадгүй: аль үндэс нь чиг баримжаагаа орхисон бэ? Ижил хуруунд "даалгах" зүүн гарвекторууд, мөн зайны зүүн суурь ба зүүн чиглэлийг авна (энэ тохиолдолд эрхий хуруу нь доод векторын чиглэлд байрлана). Дүрслэлээр хэлбэл, эдгээр суурь нь орон зайг өөр өөр чиглэлд "мушгих" буюу чиглүүлдэг. Мөн энэ ойлголтыг хэт хол эсвэл хийсвэр зүйл гэж үзэх ёсгүй - жишээлбэл, орон зайн чиг баримжаа нь хамгийн энгийн толин тусгалаар өөрчлөгддөг бөгөөд хэрэв та "айсан туссан объектыг харагдах шилнээс гаргаж авбал" ерөнхий тохиолдолд энэ нь Үүнийг "эх"-тэй хослуулах боломжгүй болно. Дашрамд хэлэхэд, гурван хуруугаа толинд бариад тусгалыг шинжлээрэй ;-)

... чи одоо мэдэж байгаа нь ямар сайхан юм бэ баруун ба зүүн тийш чиглэсэнҮндэслэл, учир нь зарим багш нарын чиг баримжааны өөрчлөлтийн талаархи мэдэгдэл аймшигтай юм =)

Коллинеар векторуудын хөндлөн үржвэр

Тодорхойлолтыг нарийвчлан авч үзсэн тул векторууд хоорондоо уялдаатай байвал юу болохыг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв векторууд хоорондоо уялдаатай байвал тэдгээрийг нэг шулуун дээр байрлуулж, бидний параллелограммыг нэг шулуун болгож "нугалж" болно. Математикчдын хэлснээр ийм газар нутаг, доройтохпараллелограмм нь тэгтэй тэнцүү байна. Томьёоноос ижил зүйл гарч ирнэ - тэг буюу 180 градусын синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь талбай нь тэг гэсэн үг юм.

Тиймээс хэрэв , тэгвэл . Хатуухан хэлэхэд векторын бүтээгдэхүүн нь өөрөө тэг вектортой тэнцүү боловч практик дээр үүнийг ихэвчлэн үл тоомсорлодог бөгөөд үүнийг зүгээр л тэгтэй тэнцүү гэж бичдэг.

Онцгой тохиолдол бол векторын вектор үржвэр юм:

Вектор үржвэрийг ашигласнаар та гурван хэмжээст векторуудын уялдаа холбоог шалгаж болох бөгөөд бид энэ асуудлыг шинжлэх болно.

Практик жишээг шийдэхийн тулд танд хэрэгтэй байж магадгүй юм тригонометрийн хүснэгтүүнээс синусын утгыг олох.

За, гал асаацгаая:

Жишээ 1

a) Хэрэв векторуудын вектор үржвэрийн уртыг ол

b) Хэрэв векторууд дээр баригдсан параллелограммын талбайг ол

Шийдэл: Үгүй ээ, энэ бол үсгийн алдаа биш, би заалтын эхний өгөгдлийг зориуд ижил болгосон. Учир нь шийдлүүдийн дизайн өөр байх болно!

a) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй уртвектор (хөндлөн бүтээгдэхүүн). Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулах:

Хэрэв танаас уртын талаар асуусан бол хариултанд бид хэмжээсийг зааж өгсөн болно - нэгж.

б) Нөхцөл байдлын дагуу та олох хэрэгтэй дөрвөлжинвекторууд дээр баригдсан параллелограмм. Энэ параллелограммын талбай нь вектор бүтээгдэхүүний урттай тоогоор тэнцүү байна.

Хариулах:

Хариулт нь биднээс асуусан вектор бүтээгдэхүүний талаар огт яриагүй гэдгийг анхаарна уу зургийн талбай, үүний дагуу хэмжээс нь квадрат нэгж юм.

Нөхцөл байдлын дагуу ЮУ олох ёстойгоо бид үргэлж харж, үүн дээр үндэслэн томъёолдог тодорхойхариулах. Энэ нь үгийн утга зохиол мэт санагдаж болох ч багш нарын дунд маш олон бичиг үсэгт тайлагнасан хүмүүс байдаг тул даалгаврыг дахин хянуулахаар буцааж өгөх магадлал өндөр байна. Хэдийгээр энэ нь тийм ч хол зөрүүтэй асуулт биш юм - хэрэв хариулт буруу байвал тухайн хүн энгийн зүйлийг ойлгодоггүй ба/эсвэл даалгаврын мөн чанарыг ойлгоогүй гэсэн сэтгэгдэл төрдөг. Дээд математик болон бусад хичээлийн аливаа асуудлыг шийдвэрлэхдээ энэ цэгийг үргэлж хянаж байх ёстой.

"en" том үсэг хаашаа явсан бэ? Зарчмын хувьд үүнийг шийдэлд нэмж хавсаргаж болох байсан, гэхдээ оруулгыг богиносгохын тулд би үүнийг хийгээгүй. Хүн бүр үүнийг ойлгож, ижил зүйлд зориулагдсан болно гэж найдаж байна.

DIY шийдлийн түгээмэл жишээ:

Жишээ 2

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг ол

Вектор бүтээгдэхүүнээр гурвалжны талбайг олох томъёог тодорхойлолтын тайлбарт өгсөн болно. Шийдэл, хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Практикт гурвалжингууд нь таныг ерөнхийд нь зовоож чаддаг.

Бусад асуудлыг шийдэхийн тулд бидэнд хэрэгтэй болно:

Векторуудын вектор үржвэрийн шинж чанарууд

Бид вектор бүтээгдэхүүний зарим шинж чанарыг аль хэдийн авч үзсэн боловч би тэдгээрийг энэ жагсаалтад оруулах болно.

Дурын векторууд болон дурын тооны хувьд дараах шинж чанарууд үнэн байна.

1) Мэдээллийн бусад эх сурвалжид энэ зүйлийг ихэвчлэн шинж чанараар нь тодруулдаггүй боловч практикийн хувьд энэ нь маш чухал юм. Тиймээс байг.

2) – өмчийг мөн дээр дурдсан, заримдаа үүнийг нэрлэдэг антикоммутатив. Өөрөөр хэлбэл векторуудын дараалал чухал.

3) - ассоциатив эсвэл ассоциативвектор бүтээгдэхүүний хууль. Тогтмолыг вектор бүтээгдэхүүнээс гадуур хялбархан зөөж болно. Үнэхээр тэд тэнд юу хийх ёстой вэ?

4) – хуваарилалт эсвэл түгээхвектор бүтээгдэхүүний хууль. Мөн хаалт нээхэд асуудал гардаггүй.

Үүнийг харуулахын тулд товч жишээг харцгаая.

Жишээ 3

Хэрвээ олоорой

Шийдэл:Нөхцөл нь дахин вектор бүтээгдэхүүний уртыг олохыг шаарддаг. Бяцхан зургаа зурцгаая:

(1) Ассоциатив хуулиудын дагуу бид тогтмолуудыг вектор бүтээгдэхүүний хамрах хүрээнээс гадуур авдаг.

(2) Бид тогтмолыг модулийн гадна талд шилжүүлж, модуль нь хасах тэмдгийг "иддэг". Урт нь сөрөг байж болохгүй.

(3) Бусад нь тодорхой байна.

Хариулах:

Гал дээр илүү их мод нэмэх цаг болжээ.

Жишээ 4

Хэрэв векторууд дээр баригдсан гурвалжны талбайг тооцоол

Шийдэл: Томъёог ашиглан гурвалжны талбайг ол . Хамгийн гол нь "tse" ба "de" векторууд нь векторуудын нийлбэр хэлбэрээр илэрхийлэгддэг. Энд байгаа алгоритм нь стандарт бөгөөд хичээлийн 3, 4-р жишээнүүдийг санагдуулдаг. Векторуудын цэгийн үржвэр. Тодорхой болгохын тулд бид шийдлийг гурван үе шатанд хуваана.

1) Эхний алхамд бид вектор үржвэрийг вектор бүтээгдэхүүнээр илэрхийлдэг. векторыг вектороор илэрхийлье. Урт хугацааны талаар хараахан хэлээгүй байна!

(1) Векторуудын илэрхийлэлийг орлуулна уу.

(2) Тархалтын хуулиудыг ашиглан бид олон гишүүнтүүдийг үржүүлэх дүрмийн дагуу хаалтыг нээнэ.

(3) Ассоциатив хуулиудыг ашиглан бид бүх тогтмолуудыг вектор үржвэрээс цааш шилжүүлдэг. Бага зэрэг туршлагатай бол 2, 3-р алхамуудыг нэгэн зэрэг хийж болно.

(4) Сайхан шинж чанарын улмаас эхний болон сүүлчийн гишүүн нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор). Хоёр дахь нэр томъёонд бид вектор бүтээгдэхүүний антикоммутацийн шинж чанарыг ашигладаг.

(5) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

Үүний үр дүнд вектор нь вектороор илэрхийлэгдэх болсон бөгөөд үүнд хүрэх шаардлагатай байв.

2) Хоёр дахь шатанд бид шаардлагатай вектор бүтээгдэхүүний уртыг олно. Энэ үйлдэл нь 3-р жишээтэй төстэй:

3) Шаардлагатай гурвалжны талбайг ол:

Шийдлийн 2-3 үе шатыг нэг мөрөнд бичиж болно.

Хариулах:

Туршилтын хувьд энэ асуудал нэлээд түгээмэл байдаг тул үүнийг өөрөө шийдэх жишээ энд байна.

Жишээ 5

Хэрвээ олоорой

Хичээлийн төгсгөлд товч шийдэл, хариулт. Өмнөх жишээнүүдийг судлахдаа хэр анхааралтай байсныг харцгаая ;-)

Координат дахь векторуудын хөндлөн үржвэр

Томъёо нь үнэхээр энгийн: тодорхойлогчийн дээд мөрөнд бид координатын векторуудыг бичиж, хоёр ба гурав дахь мөрөнд векторуудын координатыг "тавиж" тавьдаг. хатуу дарааллаар– эхлээд “ve” векторын координатууд, дараа нь “давхар-ve” векторын координатууд. Хэрэв векторуудыг өөр дарааллаар үржүүлэх шаардлагатай бол мөрүүдийг солих хэрэгтэй.

Жишээ 10

Дараах сансрын векторууд хоорондоо уялдаатай эсэхийг шалгана уу.
A)
б)

Шийдэл: Шалгалт нь энэ хичээлийн хэллэгүүдийн аль нэг дээр үндэслэсэн болно: хэрэв векторууд нь коллинеар байвал тэдгээрийн вектор үржвэр нь тэгтэй тэнцүү (тэг вектор): .

a) Вектор үржвэрийг ол:

Тиймээс векторууд нь коллинеар биш юм.

б) Вектор үржвэрийг ол:

Хариулах: a) уялдаа холбоогүй, б)

Энд магадгүй векторуудын вектор бүтээгдэхүүний талаархи бүх үндсэн мэдээлэл байна.

Векторуудын холимог үржвэрийг ашиглахад цөөн асуудал гардаг тул энэ хэсэг тийм ч том биш байх болно. Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл тодорхойлолт, геометрийн утга, ажлын хэд хэдэн томъёоноос хамаарна.

Векторуудын холимог үржвэр нь гурван векторын үржвэр юм:

Тиймээс тэд галт тэрэг шиг жагсаж, хэн болохыг нь тэсэн ядан хүлээж байна.

Эхлээд дахин тодорхойлолт ба зураг:

Тодорхойлолт: Холимог ажил тэгш бусвекторууд, энэ дарааллаар авсан, дуудсан параллелепипед эзэлхүүн, эдгээр векторууд дээр баригдсан, хэрэв суурь нь зөв бол "+" тэмдгээр, хэрэв суурь нь үлдсэн бол "-" тэмдгээр тоноглогдсон.

Зургаа хийцгээе. Бидэнд үл үзэгдэх шугамуудыг тасархай шугамаар зурсан:

Тодорхойлолт руу орцгооё:

2) Векторуудыг авсан тодорхой дарааллаар, өөрөөр хэлбэл бүтээгдэхүүн дэх векторуудыг дахин зохион байгуулах нь таны таамаглаж байгаагаар үр дагаваргүйгээр явагдахгүй.

3) Геометрийн утгыг тайлбарлахын өмнө би тодорхой баримтыг тэмдэглэх болно. векторуудын холимог үржвэр нь ДУГААР юм: . Боловсролын уран зохиолд загвар нь арай өөр байж болно, би холимог бүтээгдэхүүнийг "pe" үсгээр тэмдэглэж, тооцоолсон үр дүнг тэмдэглэдэг.

Тодорхойлолтоор холимог бүтээгдэхүүн нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм, векторууд дээр бүтээгдсэн (зураг улаан вектор, хар шугамаар зурсан). Өөрөөр хэлбэл, тоо нь өгөгдсөн параллелепипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна.

Анхаарна уу : Зураг нь бүдүүвчилсэн байна.

4) Суурь ба орон зайн чиг баримжаа гэсэн ойлголтын талаар дахин санаа зовох хэрэггүй. Эцсийн хэсгийн утга нь эзлэхүүн дээр хасах тэмдэг нэмж болно гэсэн үг юм. Энгийнээр хэлбэл, холимог бүтээгдэхүүн нь сөрөг байж болно: .

Тодорхойлолтоос шууд векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүнийг тооцоолох томъёог дагаж мөрддөг.

Ийм сэдвийг нарийвчлан авч үзэхийн тулд хэд хэдэн хэсгийг хамрах шаардлагатай. Энэ сэдэв нь цэгэн бүтээгдэхүүн, вектор бүтээгдэхүүн зэрэг нэр томьёотой шууд холбоотой. Энэ нийтлэлд бид векторуудын координатыг ашиглан бүтээгдэхүүнийг тодорхойлоход туслах томъёог зааж, нарийн тодорхойлолт өгөхийг хичээсэн. Нэмж дурдахад, нийтлэлд бүтээгдэхүүний шинж чанарыг жагсаасан хэсгүүдийг багтаасан бөгөөд ердийн тэгш байдал, асуудлын нарийвчилсан дүн шинжилгээг багтаасан болно.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Хугацаа

Энэ нэр томъёо гэж юу болохыг тодорхойлохын тулд та гурван вектор авах хэрэгтэй.

Тодорхойлолт 1

Холимог ажил a → , b → ба d → нь a → × b → ба d → -ийн скаляр үржвэртэй тэнцүү утга бөгөөд энд a → × b → нь a → ба b → -ийн үржвэр юм. a →, b → ба d → үржүүлэх үйлдлийг ихэвчлэн a → · b → · d → гэж тэмдэглэдэг. Та томъёог дараах байдлаар хувиргаж болно: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) .

Координатын систем дэх үржүүлэх

Хэрэв координатын хавтгайд заасан бол векторуудыг үржүүлж болно.

i → , j → , k → гэж авъя

Энэ тохиолдолд векторуудын үржвэр нь дараах хэлбэртэй байна: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x + a x · b z) · j → + (a x · b y) + a y · b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z j → + a x a y b x b y k →

Тодорхойлолт 2

Цэгтэй бүтээгдэхүүнийг хийхийн тулдкоординатын системд координатыг үржүүлэх явцад олж авсан үр дүнг нэмэх шаардлагатай.

Үүнээс үзэхэд:

a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x + a x b z) j → + (a x b y + a y b x) k → = a y a z b y b z i → - a x a z b x b z · j → k → x a xy

Өгөгдсөн координатын систем үржүүлж буй векторуудын координатыг зааж өгсөн тохиолдолд бид векторуудын холимог үржвэрийг тодорхойлж болно.

a → × b → = (a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j → + a x a y b x b y · k → , d x · i → + d y · j → + d z · k →) = = a y a z b y b a x b ·z y d z = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Тиймээс бид дараахь зүйлийг дүгнэж болно.

a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z

Тодорхойлолт 3

Холимог бүтээгдэхүүнийг адилтгаж болномөр нь вектор координат болох матрицын тодорхойлогч руу. Харагдах байдал нь иймэрхүү харагдаж байна: a → · b → · d = a → × b → , d → = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Вектор дээрх үйлдлүүдийн шинж чанарууд Скаляр эсвэл вектор үржвэрт ялгарах шинж чанаруудаас бид холимог бүтээгдэхүүнийг тодорхойлох шинж чанаруудыг гаргаж авч болно. Доор бид үндсэн шинж чанаруудыг танилцуулж байна.

1. (λ a →) b → d → = a → (λ b →) d → = a → b → (λ d →) = λ a → b → d → λ ∈ R ;
2. a → · b → · d → = d → · a → · b → = b → · d → · a → ; a → · d → · b → = b → · a → · d → = d → · b → · a → ;
3. (a (1) → + a (2) →) · b → · d → = a (1) → · b → · d → + a (2) → · b → · d → a → · (b (1) ) → + b (2) →) · d → = a → · b (1) → · d → + a → · b (2) → · d → a → · b → · (d (1) → + d (2) →) = a → b → d (2) → + a → b → d (2) →

Дээрх шинж чанаруудаас гадна үржүүлэгч нь тэг байвал үржүүлгийн үр дүн нь тэг болно гэдгийг тодруулах хэрэгтэй.

Хоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйл тэнцүү байвал үржүүлгийн үр дүн мөн тэг болно.

Үнэн хэрэгтээ, хэрэв a → = b → бол вектор бүтээгдэхүүний тодорхойлолтыг дагаж [ a → × b → ] = a → · b → · sin 0 = 0, тиймээс холимог бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү байна, учир нь ([ a → × b → ] , d →) = (0 → , d →) = 0 .

Хэрэв a → = b → эсвэл b → = d → бол [a → × b →] ба d → векторуудын хоорондох өнцөг π 2-той тэнцүү байна. Векторуудын скаляр үржвэрийн тодорхойлолтоор ([ a → × b → ], d →) = [ a → × b → ] · d → · cos π 2 = 0 .

Үржүүлэх үйл ажиллагааны шинж чанарууд нь асуудлыг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Энэ сэдвийг нарийвчлан шинжлэхийн тулд хэд хэдэн жишээ авч, тэдгээрийг нарийвчлан тайлбарлая.

Жишээ 1

Тэгш байдлыг батал ([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →), энд λ нь зарим бодит тоо юм.

Энэ тэгш байдлын шийдлийг олохын тулд түүний зүүн талыг өөрчлөх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд та холимог бүтээгдэхүүний гурав дахь шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй бөгөөд үүнд:

([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ] , b →)
(([ a → × b → ] , b →) = 0 гэдгийг бид харсан. Эндээс үзэхэд
([ a → × b → ], d → + λ a → + b →) = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + ( [ a → × b → ], b →) = = ([ a → × b → ], d →) + ([ a → × b → ], λ a →) + 0 = ([ a → × b → ] , d →) + ([ a → × b → ] , λ a →)

Эхний шинж чанарын дагуу ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) = λ · ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →), ([ a ⇀ × b ⇀ ], a →) = 0. Тиймээс ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ · a →) . Тийм ч учраас,
([ a ⇀ × b ⇀ ], d → + λ a → + b →) = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + ([ a ⇀ × b ⇀ ], λ a →) = = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →) + 0 = ([ a ⇀ × b ⇀ ], d →)

Тэгш байх нь батлагдсан.

Жишээ 2

Гурван векторын холимог үржвэрийн модуль нь тэдгээрийн уртын үржвэрээс ихгүй гэдгийг батлах шаардлагатай.

Шийдэл

Нөхцөлд үндэслэн бид жишээг a → × b → , d → ≤ a → · b → · d → тэгш бус байдлын хэлбэрээр гаргаж болно.

Тодорхойлолтоор бид a → × b → , d → = a → × b → · d → · cos (a → × b → ^ , d →) = = a → · b → · sin (a → ,) тэгш бус байдлыг хувиргана. b → ^) · d → · cos ([ a → × b → ^ ] , d)

Энгийн функцуудыг ашиглан бид 0 ≤ sin (a → , b → ^) ≤ 1, 0 ≤ cos ([ a → × b → ^ ], d →) ≤ 1 гэж дүгнэж болно.

Эндээс бид ингэж дүгнэж болно
(a → × b → , d →) = a → · b → · нүгэл (a → , b →) ^ · d → · cos (a → × b → ^ , d →) ≤ ≤ a → · b → · 1 d → 1 = a → b → d →

Тэгш бус байдал нь батлагдсан.

Ердийн даалгаврын дүн шинжилгээ

Векторуудын үржвэр нь юу болохыг тодорхойлохын тулд үржүүлж буй векторуудын координатыг мэдэх хэрэгтэй. Үйлдлийн хувьд та дараах томъёог ашиглаж болно a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z .

Жишээ 3

Тэгш өнцөгт координатын системд дараах координаттай 3 вектор байдаг: a → = (1, - 2, 3), b → (- 2, 2, 1), d → = (3, - 2, 5). Заасан векторуудын үржвэр нь a → · b → · d → хэдтэй тэнцүү болохыг тодорхойлох шаардлагатай.

Дээр дурдсан онол дээр үндэслэн бид холимог бүтээгдэхүүнийг матрицын тодорхойлогчоор тооцоолж болно гэсэн дүрмийг ашиглаж болно. Энэ нь дараах байдлаар харагдах болно: a → · b → · d → = (a → × b → , d →) = a x a y a z b x b y b z d x d y d z = 1 - 2 3 - 2 2 1 3 - 2 5 = = 1 2 5 + (- 1 ) 1 3 + 3 (- 2) (- 2) - 3 2 3 - (- 1) (- 2) 5 - 1 1 (- 2) = - 7

Жишээ 4

i → + j → , i → + j → - k → , i → + j → + 2 · k → векторуудын үржвэрийг олох шаардлагатай бөгөөд энд i → , j → , k → нь нэгж векторууд юм. тэгш өнцөгт декартын координатын систем.

Өгөгдсөн координатын системд векторууд байрлаж байна гэсэн нөхцөлийг үндэслэн тэдгээрийн координатыг гаргаж болно: i → + j → = (1, 1, 0) i → + j → - k → = (1, 1, - 1) i → + j → + 2 k → = (1, 1, 2)

Бид дээр дурдсан томъёог ашигладаг
i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 1 1 0 1 1 - 1 1 1 2 = 0 i → + j → × (i → + j → - k → , (i → + j → + 2 k →) = 0

Мөн аль хэдийн мэдэгдэж байгаа векторын урт, тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан холимог бүтээгдэхүүнийг тодорхойлох боломжтой. Энэ дипломын ажлыг жишээгээр авч үзье.

Жишээ 5

Тэгш өнцөгт координатын системд өөр хоорондоо перпендикуляр a →, b → ба d → гэсэн гурван вектор байдаг. Тэдгээр нь баруун гартай гурвалсан бөгөөд урт нь 4, 2, 3 юм. Векторуудыг үржүүлэх шаардлагатай.

c → = a → × b → гэж тэмдэглэе.

Дүрмийн дагуу скаляр векторуудыг үржүүлсний үр дүн нь ашигласан векторуудын уртыг тэдгээрийн хоорондох өнцгийн косинусаар үржүүлсний үр дүнтэй тэнцүү тоо юм. Бид a → · b → · d → = ([ a → × b → ], d →) = c → , d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) гэж дүгнэж байна.

Бид жишээ нөхцөлд заасан d → векторын уртыг ашиглана: a → b → d → = c → d → cos (c → , d → ^) = 3 c → cos (c → , d → ^) . c → ба c → , d → ^ -ийг тодорхойлох шаардлагатай. a →, b → ^ = π 2, a → = 4, b → = 2 нөхцөлөөр. в → векторыг дараах томъёогоор олно: c → = [ a → × b → ] = a → · b → · sin a → , b → ^ = 4 · 2 · sin π 2 = 8
Бид c → нь a → ба b → перпендикуляр гэж дүгнэж болно. a → , b → , c → векторууд нь баруун талын гурвалсан байх тул декартын координатын системийг ашиглана. c → ба d → векторууд нь нэг чиглэлтэй, өөрөөр хэлбэл c → , d → ^ = 0 байна. Гарсан үр дүнг ашиглан a → · b → · d → = 3 · c → · cos (c → , d → ^) = 3 · 8 · cos 0 = 24 гэсэн жишээг шийднэ.

a → · b → · d → = 24 .

Бид a → , b → ба d → хүчин зүйлсийг ашигладаг.

a → , b → ба d → векторууд нэг цэгээс үүсэлтэй. Бид тэдгээрийг дүрсийг бүтээхдээ хажуу тал болгон ашигладаг.

c → = [ a → × b → ] гэж тэмдэглэе. Энэ тохиолдолд векторуудын үржвэрийг a → · b → · d → = c → · d → · cos (c → , d → ^) = c → · n p c → d → , энд n p c → d → гэж тодорхойлж болно. нь d векторын в → векторын чиглэл рүү чиглэсэн тоон проекц юм c → = [ a → × b → ] .

Үнэмлэхүй утга n p c → d → тоотой тэнцүү бөгөөд энэ нь мөн a → , b → ба d → векторуудыг тал болгон ашигласан зургийн өндөртэй тэнцүү байна. Үүний үндсэн дээр векторын үржүүлгийн тодорхойлолтын дагуу в → = [ a → × b → ] нь а → вектор ба вектор хоёуланд нь перпендикуляр болохыг тодруулах хэрэгтэй. c → = a → x b → утга нь a → ба b → векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн талбайтай тэнцүү байна.

Бүтээгдэхүүний модуль a → · b → · d → = c → · n p c → d → нь суурийн талбайг дээрх зургийн өндрөөр үржүүлсний үр дүнтэй тэнцүү байна гэж бид дүгнэж байна. a → , b → ба d → векторууд.

Тодорхойлолт 4

Хөндлөн бүтээгдэхүүний үнэмлэхүй утга нь параллелепипедийн эзэлхүүн юм: V par l l e l e p i p i d a = a → · b → · d → .

Энэ томъёо нь геометрийн утга юм.

Тодорхойлолт 5

Тетраэдрийн эзэлхүүн, a →, b → ба d → дээр баригдсан нь параллелепипедийн эзлэхүүний 1/6-тай тэнцүү, V t e t r a e d a = 1 6 · V par l l e l e p i d a = 1 6 · a → · b → · d → .

Мэдлэгээ бататгахын тулд хэд хэдэн ердийн жишээг авч үзье.

Жишээ 6

Талууд нь A B → = (3, 6, 3), A C → = (1, 3, - 2), A A 1 → = (2, 2, 2) параллелепипедийн эзэлхүүнийг олох шаардлагатай. , тэгш өнцөгт координатын системд заасан . Параллелепипедийн эзэлхүүнийг үнэмлэхүй утгын томъёог ашиглан олж болно. Эндээс: A B → · A C → · A A 1 → = 3 6 3 1 3 - 2 2 2 2 = 3 · 3 · 2 + 6 · (- 2) · 2 + 3 · 1 · 2 - 3 · 3 · 2 - 6 1 2 - 3 (- 2) 2 = - 18

Дараа нь V пар л л е л е п э д а = - 18 = 18.

V п а р л л е л е п и п и д а = 18

Жишээ 7

Координатын систем нь A (0, 1, 0), B (3, - 1, 5), C (1, 0, 3), D (- 2, 3, 1) цэгүүдийг агуулна. Эдгээр цэгүүдэд байрлах тетраэдрийн эзэлхүүнийг тодорхойлох шаардлагатай.

V t e t r a e d r a = 1 6 · A B → · A C → · A D → томъёог ашиглая. Бид цэгүүдийн координатаас векторуудын координатыг тодорхойлж болно: A B → = (3 - 0, - 1 - 1, 5 - 0) = (3, - 2, 5) A C → = (1 - 0, 0 - 1 , 3 - 0 ) = (1 , - 1 , 3) ​​A D → = (- 2 - 0, 3 - 1, 1 - 0) = (- 2, 2, 1)

Дараа нь бид A B → A C → A D → холимог бүтээгдэхүүнийг векторын координатаар тодорхойлно: A B → A C → A D → = 3 - 2 5 1 - 1 3 - 2 2 1 = 3 (- 1) 1 + (- 2 ) · 3 · (- 2) + 5 · 1 · 2 - 5 · (- 1) · (- 2) - (- 2) · 1 · 1 - 3 · 3 · 2 = - 7 V боть t et r a e d r a = 1 6 · - 7 = 7 6 .

V t e t r a e d r a = 7 6 .

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Энэхүү онлайн тооцоолуур нь векторуудын холимог үржвэрийг тооцдог. Нарийвчилсан шийдлийг өгсөн болно. Векторуудын холимог үржвэрийг тооцоолохын тулд векторуудыг (координатаар эсвэл хоёр цэгээр) илэрхийлэх аргыг сонгоод нүднүүдэд өгөгдлийг оруулаад "Тооцоолох" товчийг дарна уу.

×

Анхааруулга

Бүх нүдийг арилгах уу?

Цэвэр хаах

Өгөгдөл оруулах заавар.Тоонуудыг бүхэл тоо (жишээ нь: 487, 5, -7623 гэх мэт), аравтын бутархай (жишээ нь. 67., 102.54 гэх мэт) эсвэл бутархай хэлбэрээр оруулна. Бутархайг a/b хэлбэрээр оруулах ёстой бөгөөд a ба b (b>0) нь бүхэл тоо эсвэл аравтын бутархай болно. Жишээ 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 гэх мэт.

Векторуудын холимог үржвэр (онол)

Холимог ажилГурван вектор гэдэг нь эхний хоёр вектор ба гурав дахь векторын вектор үржвэрийн үр дүнгийн скаляр үржвэрээр олж авсан тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, гурван вектор өгөгдсөн бол а, бТэгээд в, дараа нь эдгээр векторуудын холимог үржвэрийг авахын тулд эхлээд эхний хоёр вектор ба үр дүнгийн вектор [ ab]-г вектороор скаляраар үржүүлнэ в.

Гурван векторын холимог бүтээгдэхүүн а, бТэгээд вдараах байдлаар тэмдэглэв. abcэсвэл тийм ( a,b,c). Дараа нь бид бичиж болно:

Холимог бүтээгдэхүүний геометрийн утгыг илэрхийлсэн теоремыг томъёолохын өмнө баруун гурвалсан, зүүн гурвалсан, баруун координатын систем, зүүн координатын систем (онлайн дахь векторуудын вектор үржвэрийн хуудасны 2, 2" ба 3-ын тодорхойлолтууд) гэсэн ойлголтуудтай танилц.

Тодорхой байхын тулд бид зөвхөн баруун гарын координатын системийг авч үзэх болно.

Теорем 1. Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн ([ab],в) нь нийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан векторууд дээр баригдсан параллелипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна a, b, c, гурван бол нэмэх тэмдгээр авсан a, b, cбаруун, гурван бол хасах тэмдэгтэй a, b, cзүүн Хэрэв векторууд a, b, cижил хавтгай, тэгвэл ([ ab],в) тэгтэй тэнцүү байна.

Дүгнэлт 1. Дараах тэгш байдлыг хангана.

Тиймээс бид үүнийг батлахад хангалттай

(3) илэрхийллээс харахад зүүн ба баруун хэсгүүд нь параллелипедийн эзэлхүүнтэй тэнцүү байна. Гэхдээ векторын гурвалсан тул баруун ба зүүн талуудын тэмдгүүд давхцдаг abcТэгээд МЭӨижил чиг баримжаатай байна.

Батлагдсан тэгш байдал (1) нь гурван векторын холимог үржвэрийг бичих боломжийг олгодог a, b, cзүгээр л хэлбэрээр abc, аль хоёр векторыг эхний хоёр эсвэл сүүлийн хоёр вектороор үржүүлэхийг заагаагүй.

Дүгнэлт 2. Гурван векторын харилцан уялдаатай байх зайлшгүй бөгөөд хангалттай нөхцөл нь тэдгээрийн холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Нотолгоо нь теорем 1-ээс гардаг. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв векторууд хос хавтгай бол эдгээр векторуудын холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна. Эсрэгээр, хэрэв холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү бол эдгээр векторуудын харьцуулалт нь теорем 1-ээс (нийтлэг гарал үүсэл болгон бууруулсан векторууд дээр баригдсан параллелипеийн эзэлхүүн нь тэгтэй тэнцүү байдаг тул) дагалддаг.

Үр дүн 3. Хоёр нь давхцаж байгаа гурван векторын холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Үнэхээр. Хэрэв гурван векторын хоёр нь давхцаж байвал тэдгээр нь хоорондоо уялдаатай байна. Тиймээс эдгээр векторуудын холимог үржвэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

Декарт координат дахь векторуудын холимог үржвэр

Теорем 2. Гурван вектор байг а, бТэгээд втэдгээрийн декарт тэгш өнцөгт координатаар тодорхойлогддог

Баталгаа. Холимог ажил abcвекторуудын скаляр үржвэртэй тэнцүү [ ab] Мөн в. Векторуудын хөндлөн үржвэр [ abДекарт координат дахь ]-ийг (:) томъёогоор тооцоолно.

Сүүлийн илэрхийллийг хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч ашиглан бичиж болно.

Тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд тэдгээрийн мөрүүд нь эдгээр векторуудын координатаар дүүрсэн, өөрөөр хэлбэл:

.

(7)

Үр дүнг батлахын тулд томъёо (4) ба Үр дүн 2-ыг авч үзэхэд хангалттай.

Жишээ бүхий векторуудын холимог бүтээгдэхүүн

Жишээ 1. Векторуудын холимог үржвэрийг ол abс, Хаана

Векторуудын холимог бүтээгдэхүүн a, b, cматрицын тодорхойлогчтой тэнцүү байна Л. Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолъё Л, 1-р шугамын дагуу тодорхойлогчийг өргөжүүлэх:

Вектор төгсгөлийн цэг а.

Зорилго. Онлайн тооцоолуур нь векторуудын холимог үржвэрийг тооцоолоход зориулагдсан. Үүссэн шийдлийг Word файлд хадгална. Нэмж дурдахад Excel дээр шийдлийн загварыг бий болгодог.

Векторуудын ижил төстэй байдлын шинж тэмдэг

Харьцангуй байдлын шинж тэмдэг. Хэрэв a, b, c систем баруун гартай бол abc>0 ; хэрэв үлдсэн бол abc Холимог бүтээгдэхүүний геометрийн утга. a, b, c гурван хосгүй векторын холимог бүтээгдэхүүн abc нь тэнцүү байна векторууд дээр баригдсан параллелепипедийн эзэлхүүн a, b, c, хэрэв a, b, c систем баруун гартай бол нэмэх тэмдгээр, зүүн гартай бол хасах тэмдгээр авна.

Холимог бүтээгдэхүүний шинж чанар

1. Хүчин зүйлүүдийг тойргоор солиход холимог үржвэр өөрчлөгдөхгүй, хоёр хүчин зүйлийг дахин байрлуулахад тэмдэг нь эсрэгээрээ байна: abc=bca=cab=-(bac)=-(cba)=-(acb);
   Энэ нь геометрийн утгаас үүдэлтэй.
2. (a+b)cd=acd+bcd (тараах шинж чанар). Дурын тооны нэр томьёо хүртэл сунгана.
   Холимог бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос дагана.
3. (ma)bc=m(abc) (скаляр хүчин зүйлийн хувьд хосолсон шинж чанар).
   Холимог бүтээгдэхүүний тодорхойлолтоос дагана. Эдгээр шинж чанарууд нь зөвхөн бүтээгдэхүүний тэмдгийг харгалзан хүчин зүйлсийн дарааллыг өөрчлөх боломжтой тул ердийн алгебрийн бүтээгдэхүүнээс ялгаатай холимог бүтээгдэхүүнд хувиргалтыг ашиглах боломжтой болгодог.
4. Хамгийн багадаа хоёр тэнцүү хүчин зүйлтэй холимог бүтээгдэхүүн тэгтэй тэнцүү байна: aab=0.

Жишээ №1. Холимог бүтээгдэхүүнийг олоорой.

ab(3a+2b-5c)=3aba+2abb-5abc=-5abc .

Жишээ №2. (a+b)(b+c)(c+a)= (axb+axc+bxb+bxc)(c+a)= (axb+axc +bxc)(c+a)=abc+acc+aca+ аба +bcc+bca. Хоёр туйлаас бусад бүх нөхцөл тэгтэй тэнцүү байна. Мөн bca=abc . Тиймээс (a+b)(b+c)(c+a)=2abc .
Шийдэл. Векторуудын холимог үржвэрийг тооцоолохын тулд вектор координатаас бүрдэх системийн тодорхойлогчийг олох шаардлагатай. Системийг маягтаар бичье.