Гурвалжны дунд шугам нь түүний 2 талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим юм. Үүний дагуу гурвалжин бүр гурван дунд шугамтай байна. Дунд шугамын чанар, гурвалжны хажуугийн урт ба түүний өнцгийг мэдэхийн тулд та дунд шугамын уртыг тодорхойлж болно.

Танд хэрэгтэй болно

• Гурвалжны талууд, гурвалжны өнцөг

Заавар

1. ABC гурвалжны MN нь AB (M цэг) ба AC (N цэг) талуудын дунд цэгийг холбосон гол шугам гэж үзье. тэр. Энэ нь MN дунд шугам нь BC талтай параллель байх ба BC/2-тэй тэнцүү байна гэсэн үг. Тиймээс гурвалжны дунд шугамын уртыг тодорхойлохын тулд энэ тодорхой гуравдагч талын хажуугийн уртыг мэдэхэд хангалттай.

2. Дунд цэгүүд нь MN дунд шугам, өөрөөр хэлбэл AB ба AC, түүнчлэн тэдгээрийн хоорондох BAC өнцгөөр холбогдсон талуудыг одоо мэдэгдье. MN нь дунд шугам учраас AM = AB/2, AN = AC/2 Дараа нь косинусын теоремын дагуу объектив байдлаар: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Эндээс MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Хэрэв AB ба АС талууд мэдэгдэж байгаа бол ABC эсвэл ACB өнцгийг мэдэж байж MN дунд шугамыг олж болно. ABC булан алдартай гэж бодъё. MN дунд шугамын шинж чанарын дагуу BC-тэй параллель байдаг тул ABC ба AMN өнцөгүүд нь харгалзах ба улмаар ABC = AMN байна. Дараа нь косинусын теоремын дагуу: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Улмаар MN талыг (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 квадрат тэгшитгэлээс олж болно.

Зөвлөгөө 2: Дөрвөлжин гурвалжны талыг хэрхэн олох вэ

Дөрвөлжин гурвалжинг зөв гурвалжин гэж нэрлэх нь зөв. Энэхүү геометрийн дүрсийн талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг тригонометрийн математикийн хичээлд нарийвчлан авч үзсэн болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - хуудас цаас;
• - үзэг;
• – Брадисын ширээ;
• - тооцоолуур.

Заавар

1. Discover талтэгш өнцөгт гурвалжинПифагорын теоремын дэмжлэгтэйгээр. Энэ теоремын дагуу гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: c2 = a2+b2, энд c нь гипотенуз юм. гурвалжин, a ба b нь түүний хөл юм. Энэ тэгшитгэлийг хэрэгжүүлэхийн тулд тэгш өнцөгтийн аль ч 2 талын уртыг мэдэх хэрэгтэй гурвалжин .

2. Хэрэв нөхцөл нь хөлний хэмжээсийг зааж өгсөн бол гипотенузын уртыг ол. Үүнийг хийхийн тулд тооцоолуур ашиглан хөлний нийлбэрийн квадрат язгуурыг гаргаж, тус бүрийг нь урьдчилан квадрат болго.

3. Хэрэв та гипотенуз болон нөгөө хөлний хэмжээсийг мэддэг бол нэг хөлний уртыг тооцоол. Тооцоологч ашиглан гипотенузын квадрат ба тэргүүлэх хөлийн квадратын ялгааны квадрат язгуурыг гарга.

4. Хэрэв асуудал нь гипотенуз болон түүний хажуугийн хурц өнцгүүдийн аль нэгийг зааж өгсөн бол Bradis хүснэгтийг ашиглана уу. Тэд олон тооны өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг өгдөг. Тэгш өнцөгтийн талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог тригонометрийн теоремуудаас гадна синус болон косинусын функц бүхий тооцоолуур ашиглана уу. гурвалжин .

5. Тригонометрийн үндсэн функцуудыг ашиглан хөлийг ол: a = c*sin?, b = c*cos?, a нь булангийн эсрэг талын хөл хаана байна?, b нь булангийн хажуугийн хөл үү?. Хажуугийн хэмжээг ижил аргаар тооцоол гурвалжин, хэрэв гипотенуз болон өөр хурц өнцөг өгөгдсөн бол: b = c*sin?, a = c*cos?, b нь өнцгийн эсрэг талын хөл байна уу?, хөл нь өнцөгтэй зэргэлдээ байна уу?.

6. Хэрэв бид a хөл ба түүний хажуугийн хурц өнцгийг авах юм бол тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90 ° -тай үргэлж тэнцүү байдаг гэдгийг мартаж болохгүй: ? + ? = 90°. a хөлийн эсрэг талын өнцгийн утгыг ол: ? = 90° – ?. Эсвэл тригонометрийн бууралтын томъёог ашиглана уу: нүгэл үү? = нүгэл (90° – ?) = cos ?; тг? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/тг?.

7. Хэрэв бид a хөл ба түүний эсрэг талын хурц өнцөгтэй бол Брадисын хүснэгт, тооцоолуур болон тригонометрийн функцуудыг ашиглан гипотенузыг c=a*sin?, хөл: b=a*tg? томъёогоор тооцоол.

Сэдвийн талаархи видео

Зураг 1-т хоёр гурвалжинг харуулав. ABC гурвалжин нь A1B1C1 гурвалжинтай төстэй. Мөн зэргэлдээ талууд нь пропорциональ байна, өөрөөр хэлбэл AC нь A1C1-тэй адил AB нь A1B1-тэй байна. Эдгээр хоёр нөхцлөөс гурвалжны ижил төстэй байдал гарч ирнэ.

Гурвалжны дунд шугамыг хэрхэн олох вэ - шугамын параллелизмын шинж тэмдэг

Зураг 2-т a ба b шугам, секант в-ийг харуулав. Энэ нь 8 булан үүсгэдэг. 1 ба 5 өнцгүүд нь харгалзах бөгөөд хэрвээ шугамууд параллель байвал харгалзах өнцөг нь тэнцүү ба эсрэгээр байна.

Гурвалжны дунд шугамыг хэрхэн олох вэ

Зураг 3-т M нь AB-ийн дунд, N нь АС-ийн дунд, BC нь суурь юм. MN сегментийг гурвалжны дунд шугам гэж нэрлэдэг. Теорем өөрөө хэлэхдээ: Гурвалжны дунд шугам нь суурьтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.

MN нь гурвалжны дунд шугам гэдгийг батлахын тулд гурвалжны ижил төстэй байдлын хоёр дахь тест, шугамын параллель байдлыг шалгах тест хэрэгтэй.

Хоёрдахь шалгуурын дагуу AMN гурвалжин нь ABC гурвалжинтай төстэй. Ижил төстэй гурвалжинд харгалзах өнцөг нь тэнцүү, 1-ийн өнцөг нь 2-той тэнцүү бөгөөд хоёр шулуун хөндлөн огтлолцох үед эдгээр өнцөг нь харгалзах тул шугамууд параллель, MN нь BC-тэй параллель байна. А өнцөг нийтлэг, AM/AB = AN/AC = ½

Эдгээр гурвалжнуудын ижил төстэй байдлын коэффициент нь ½ бөгөөд үүнээс ½ = MN/BC, MN = ½ BC байна.


Тиймээс бид гурвалжны дунд шугамыг олж, гурвалжны дунд шугамын тухай теоремыг баталлаа, хэрвээ та дунд шугамыг хэрхэн олохоо ойлгоогүй хэвээр байвал доорх видеог үзээрэй.

Гурвалжны дунд шугам нь түүний 2 талын дунд цэгүүдийг холбосон хэрчим юм. Үүний дагуу гурвалжин бүр гурван дунд шугамтай байна. Дунд шугамын чанар, гурвалжны хажуугийн урт ба түүний өнцгийг мэдэхийн тулд та дунд шугамын уртыг тодорхойлж болно.

Танд хэрэгтэй болно

• Гурвалжны талууд, гурвалжны өнцөг

Заавар

1. ABC гурвалжны MN нь AB (M цэг) ба AC (N цэг) талуудын дунд цэгийг холбосон гол шугам гэж үзье. тэр. Энэ нь MN дунд шугам нь BC талтай параллель байх ба BC/2-тэй тэнцүү байна гэсэн үг. Тиймээс гурвалжны дунд шугамын уртыг тодорхойлохын тулд энэ тодорхой гуравдагч талын хажуугийн уртыг мэдэхэд хангалттай.

2. Дунд цэгүүд нь MN дунд шугам, өөрөөр хэлбэл AB ба AC, түүнчлэн тэдгээрийн хоорондох BAC өнцгөөр холбогдсон талуудыг одоо мэдэгдье. MN нь дунд шугам учраас AM = AB/2, AN = AC/2 Дараа нь косинусын теоремын дагуу объектив байдлаар: MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM. *AN*cos (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2. Эндээс MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2).

3. Хэрэв AB ба АС талууд мэдэгдэж байгаа бол ABC эсвэл ACB өнцгийг мэдэж байж MN дунд шугамыг олж болно. ABC булан алдартай гэж бодъё. МН-ийн дунд шугамын шинж чанарын дагуу BC-тэй параллель байх тул ABC ба AMN өнцөг нь харгалзах ба улмаар ABC = AMN байна. Дараа нь косинусын теоремоор: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN). Улмаар MN талыг (MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0 квадрат тэгшитгэлээс олж болно.

Дөрвөлжин гурвалжинг зөв гурвалжин гэж нэрлэх нь зөв. Энэхүү геометрийн дүрсийн талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг тригонометрийн математикийн хичээлд нарийвчлан авч үзсэн болно.

Танд хэрэгтэй болно

• - хуудас цаас;
• - үзэг;
• - Брадисын ширээ;
• - тооцоолуур.

Заавар

1. Discover талтэгш өнцөгт гурвалжинПифагорын теоремын дэмжлэгтэйгээр. Энэ теоремын дагуу гипотенузын квадрат нь хөлийн квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна: c2 = a2+b2, энд c нь гипотенуз юм. гурвалжин, a ба b нь түүний хөл юм. Энэ тэгшитгэлийг хэрэгжүүлэхийн тулд тэгш өнцөгтийн аль ч 2 талын уртыг мэдэх хэрэгтэй гурвалжин .

2. Хэрэв нөхцөл нь хөлний хэмжээсийг зааж өгсөн бол гипотенузын уртыг ол. Үүнийг хийхийн тулд тооцоолуур ашиглан хөлний нийлбэрийн квадрат язгуурыг гаргаж, тус бүрийг нь урьдчилан квадрат болго.

3. Хэрэв та гипотенуз болон нөгөө хөлний хэмжээсийг мэддэг бол нэг хөлний уртыг тооцоол. Тооцоологч ашиглан гипотенузын квадрат ба тэргүүлэх хөлийн квадратын ялгааны квадрат язгуурыг гарга.

4. Хэрэв асуудал нь гипотенуз болон түүний хажуугийн хурц өнцгүүдийн аль нэгийг зааж өгсөн бол Bradis хүснэгтийг ашиглана уу. Тэд олон тооны өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг өгдөг. Тэгш өнцөгтийн талууд ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг тодорхойлдог тригонометрийн теоремуудаас гадна синус болон косинусын функц бүхий тооцоолуур ашиглана уу. гурвалжин .

5. Тригонометрийн үндсэн функцуудыг ашиглан хөлийг ол: a = c*sin?, b = c*cos?, a нь булангийн эсрэг талын хөл хаана байна?, b нь булангийн хажуугийн хөл үү?. Хажуугийн хэмжээг ижил аргаар тооцоол гурвалжин, хэрэв гипотенуз болон өөр хурц өнцөг өгөгдсөн бол: b = c*sin?, a = c*cos?, b нь өнцгийн эсрэг талын хөл байна уу?, хөл нь өнцөгтэй зэргэлдээ байна уу?.

6. Хэрэв бид a хөл ба түүний хажуугийн хурц өнцгийг авах юм бол тэгш өнцөгт гурвалжинд хурц өнцгүүдийн нийлбэр нь 90 ° -тай үргэлж тэнцүү байдаг гэдгийг мартаж болохгүй: ? + ? = 90°. a хөлийн эсрэг талын өнцгийн утгыг ол: ? = 90° – ?. Эсвэл тригонометрийн бууралтын томъёог ашиглана уу: нүгэл үү? = нүгэл (90° – ?) = cos ?; тг? = tg (90° – ?) = ctg ? = 1/тг?.

7. Хэрэв бид a хөл ба түүний эсрэг талын хурц өнцөгтэй бол Брадисын хүснэгт, тооцоолуур болон тригонометрийн функцуудыг ашиглан гипотенузыг c=a*sin?, хөл: b=a*tg? томъёогоор тооцоол.

Сэдвийн талаархи видео

"А авах" видео хичээл нь математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг 60-65 оноотой амжилттай өгөхөд шаардлагатай бүх сэдвүүдийг багтаасан болно. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-13 дугаар бүх даалгаврыг гүйцээнэ үү. Мөн математикийн улсын нэгдсэн шалгалтыг өгөхөд тохиромжтой. Улсын нэгдсэн шалгалтыг 90-100 оноотой өгөхийг хүсвэл 1-р хэсгийг 30 минутад алдаагүй шийдэх хэрэгтэй!

10-11-р анги, багш нарт зориулсан Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх курс. Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын 1-р хэсгийг (эхний 12 бодлого) болон 13-р бодлого (тригонометр) шийдвэрлэхэд шаардлагатай бүх зүйл. Энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын 70-аас дээш оноо бөгөөд 100 оноотой оюутан ч, хүмүүнлэгийн ухааны оюутан ч тэдэнгүйгээр хийж чадахгүй.

Шаардлагатай бүх онол. Улсын нэгдсэн шалгалтын шуурхай шийдэл, бэрхшээл, нууц. FIPI Даалгаврын Банкны 1-р хэсгийн одоогийн бүх ажлуудад дүн шинжилгээ хийсэн. Хичээл нь 2018 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын шаардлагыг бүрэн хангасан.

Хичээл нь тус бүр 2.5 цагийн 5 том сэдэвтэй. Сэдэв бүрийг эхнээс нь энгийн бөгөөд ойлгомжтойгоор өгсөн болно.

Улсын нэгдсэн шалгалтын олон зуун даалгавар. Үгийн бодлого ба магадлалын онол. Асуудлыг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд санахад хялбар алгоритмууд. Геометр. Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх төрлийн даалгаврын онол, лавлах материал, дүн шинжилгээ. Стереометр. Нарийн төвөгтэй шийдэл, ашигтай хууран мэхлэлт, орон зайн төсөөллийг хөгжүүлэх. Тригонометрийг эхнээс нь асуудал хүртэл 13. Шатаж байхын оронд ойлгох. Нарийн төвөгтэй ойлголтуудын тодорхой тайлбар. Алгебр. Үндэс, хүч ба логарифм, функц ба дериватив. Улсын нэгдсэн шалгалтын 2-р хэсгийн нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх үндэс.

1 Гурвалжны дунд шугамын теорем, трапец болон гурвалжны ижил төстэй байдлын шинж чанаруудад хүргэдэг нэмэлт бүтээц.

Тэгээд тэр гипотенузын хагастай тэнцүү.
Дүгнэлт 1.
Дүгнэлт 2.

Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна

1 Ижил хурц өнцөгтэй бүх тэгш өнцөгт гурвалжин ижил төстэй. Тригонометрийн функцүүдийн талаархи ойлголт.

Хажуу талтай, ан цавгүй гурвалжнууд нь хоёр өнцөг нь тэнцүү байдгаараа төстэй. Тиймээс хаана

Энэ нь заасан харилцаа нь зөвхөн гурвалжны хурц өнцөгөөс хамаардаг бөгөөд үндсэндээ үүнийг тодорхойлдог гэсэн үг юм. Энэ нь тригонометрийн функцүүдийн харагдах шалтгаануудын нэг юм.

Ижил тэгш өнцөгт гурвалжинд өнцгийн тригонометрийн функцийг бичих нь ижил төстэй байдлын хамаарлыг бичихээс илүү ойлгомжтой байдаг!

CH өндрийг AB гипотенуз хүртэл бууруулъя. Бидэнд ABC, AHC, CHB гэсэн гурван ижил төстэй гурвалжин бий. Тригонометрийн функцүүдийн илэрхийллүүдийг бичье.

Үүнээс харахад энэ нь тодорхой байна . Үүнийг нэмбэл бид Пифагорын теоремыг олж авна, учир нь:

Пифагорын теоремийн өөр нэг баталгааг 4-р асуудлын тайлбараас харна уу.
3 Нэмэлт барилгын чухал жишээ бол гурвалжны аль нэг өнцөгтэй тэнцүү өнцгийг барих явдал юм.

Зөв өнцгийн оройноос өгөгдсөн ABC тэгш өнцөгт гурвалжны CAB өнцөгтэй тэнцүү CA хөлтэй өнцөг үүсгэсэн шулуун шугамын сегментийг зурна. Үүний үр дүнд бид суурь өнцөг бүхий ACM гурвалжинг олж авдаг. Гэхдээ энэ бүтээн байгуулалтын үр дүнд бий болсон нөгөө гурвалжин нь мөн адил тэгш өнцөгт байх болно, учир нь түүний суурь дээрх өнцөг тус бүр нь тэнцүү байна (тэгш өнцөгт гурвалжны өнцгийн шинж чанар ба бүтээн байгуулалтаар - өнцгийг зөв өнцгөөс "хасах"). BMC ба AMC гурвалжнууд нь нийтлэг MC талтай ижил тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдаг тул бид MB=MA=MC тэгшитгэлтэй байна, өөрөөр хэлбэл. М.С. тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз руу зурсан медианмөн тэр гипотенузын хагастай тэнцүү.
Дүгнэлт 1.Гипотенузын дунд цэг нь энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм, учир нь гипотенузын дунд цэг нь зөв гурвалжны оройн цэгүүдээс ижил зайд байрладаг.
Дүгнэлт 2.Гипотенузын дунд хэсэг ба хөлний дунд хэсгийг холбосон тэгш өнцөгт гурвалжны дунд шугам нь эсрэг талын хөлтэй параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.

BMC ба AMC зэрэг тэгш өнцөгт гурвалжнуудад MH ба MG өндрийг буурь руу буулгая. Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурь руу буулгасан өндөр нь мөн медиан (мөн биссектрис) байдаг тул MH ба MG нь гипотенузын дунд хэсгийг хөлний дунд цэгүүдтэй холбосон тэгш өнцөгт гурвалжны шугамууд юм. Барилгын хувьд гурвалжин нь MHC ба MGC нь тэнцүү (мөн MHCG нь тэгш өнцөгт) тул тэдгээр нь эсрэг талын хөлтэй параллель, хагастай тэнцүү болж хувирдаг. Энэ үр дүн нь дурын гурвалжны дунд шугам, цаашлаад трапецын дунд шугам, тэдгээрийг огтолж буй хоёр шулуун дээр параллель шугамаар таслагдсан хэрчмүүдийн пропорциональ шинж чанарыг батлах үндэс суурь болно.

Даалгаврууд
Ижил төстэй шинж чанарыг ашиглах -1
Үндсэн шинж чанарыг ашиглах - 2
Нэмэлт формацийг ашиглах 3-4

1 2 3 4

Тэгш өнцөгт гурвалжны оройноос унасан өндөр нь гипотенузыг хувааж буй сегментүүдийн уртын квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Хэрэв та гурвалжны ижил төстэй байдлаас Пифагорын теоремын гарал үүслийг мэддэг бол шийдэл нь ойлгомжтой юм шиг санагдаж байна.

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
эндээс \(h^2=c_1c_2\).

Гипотенуз AB нь тогтсон бүх боломжит тэгш өнцөгт гурвалжны медиануудын огтлолцлын цэгүүдийн байршлыг (GMT) ол.

Аливаа гурвалжны медиануудын огтлолцох цэг нь харгалзах талтай огтлолцсон цэгээс нь тоолж, медианаас гуравны нэгийг таслана. Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөв өнцгөөс зурсан медиан нь гипотенузын хагастай тэнцүү байна. Тиймээс хүссэн GMT нь гипотенузын уртын 1/6-тай тэнцэх радиусын тойрог бөгөөд энэ (тогтмол) гипотенузын дунд төвтэй.