2. Үл мэдэгдэх тархалтын параметрүүдийг тодорхойлох.

Гистограмм ашиглан бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын нягтыг ойролцоогоор зурж болно. Энэ графикийн дүр төрх нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын нягтын тархалтын талаар таамаглал гаргах боломжийг бидэнд олгодог. Энэхүү тархалтын нягтын илэрхийлэл нь ихэвчлэн туршилтын өгөгдлөөр тодорхойлох шаардлагатай зарим параметрүүдийг агуулдаг.
Түгээлтийн нягтрал нь хоёр параметрээс хамаарах тодорхой тохиолдлыг авч үзье.
За тэгье x 1 , x 2 , ..., x n- тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгууд, түүний магадлалын тархалтын нягт нь үл мэдэгдэх хоёр параметрээс хамаарна. АТэгээд Б, өөрөөр хэлбэл шиг харагдаж байна. Үл мэдэгдэх параметрүүдийг олох аргуудын нэг АТэгээд БОнолын тархалтын математикийн хүлээлт ба дисперс нь түүврийн дундаж ба дисперстэй давхцах байдлаар тэдгээрийг сонгосон явдалд оршино.

(66)

(67)

Олж авсан хоёр тэгшитгэлээс () үл мэдэгдэх параметрүүдийг олно АТэгээд Б. Жишээлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь ердийн магадлалын тархалтын хуульд захирагддаг бол түүний магадлалын тархалтын нягт

хоёр параметрээс хамаарна аМөн . Бидний мэдэж байгаагаар эдгээр параметрүүд нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба стандарт хазайлт юм; Тиймээс тэгш байдал () дараах байдлаар бичигдэнэ.

(68)

Тиймээс магадлалын тархалтын нягт нь хэлбэртэй байна

Тайлбар 1.Бид энэ асуудлыг аль хэдийн шийдсэн. Хэмжилтийн үр дүн нь параметртэй хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм аМөн . Ойролцоогоор утгын хувьд аБид утгыг сонгосон бөгөөд ойролцоо утгын хувьд утгыг сонгосон.

Тайлбар 2. At их хэмжээгээртуршилт хийх, хэмжигдэхүүнийг олох, томьёо ашиглах () нь төвөгтэй тооцоололтой холбоотой байдаг. Тиймээс тэд үүнийг хийдэг: хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгууд тус бүрд ордог би th интервал ] X i-1 , X i [статистикийн цувралыг ойролцоогоор дундажтай тэнцүү гэж үздэг в биэнэ интервал, өөрөөр хэлбэл. c i =(X i-1 +X i)/2. Эхний интервалыг анхаарч үзээрэй ] X 0 , X 1 [. Энэ нь түүнийг цохив м 1санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгууд, бид тус бүрийг тоогоор солино 1-ээс. Тиймээс эдгээр утгуудын нийлбэр нь ойролцоогоор тэнцүү байна м 1 с 1. Үүний нэгэн адил, хоёр дахь интервалд орох утгуудын нийлбэр нь ойролцоогоор тэнцүү байна м 2 нь 2гэх мэт. Тийм ч учраас

Үүнтэй адилаар бид ойролцоогоор тэгш байдлыг олж авдаг

Тиймээс, үүнийг харуулъя

(71)

Параметр бүхий тэгшитгэл: график шийдлийн арга

8-9 анги

Уг нийтлэлд параметр бүхий зарим тэгшитгэлийг шийдвэрлэх график аргыг авч үзсэн бөгөөд энэ нь параметрээс хамааран тэгшитгэл хэдэн үндэстэй болохыг тогтоох шаардлагатай үед маш үр дүнтэй байдаг. а.

Бодлого 1. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? | | x | – 2 | = а параметрээс хамаарна а?

Шийдэл. Координатын системд (x; y) y = | функцуудын графикийг байгуулна | x | – 2 | ба у = а. y = | функцийн график | x | – 2 | зурагт үзүүлэв.

y = a функцийн график нь Ox тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв а = 0).

Зургаас дараахь зүйлийг харж болно.

Хэрэв а= 0, дараа нь шулуун шугам y = а Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна | x | – 2 | хоёр нийтлэг цэг; Энэ нь анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юмэнэ тохиолдолд
үндсийг олж болно: x 1.2 = d 2).< а < 2, то прямая y = a имеет с графиком функции y = | | x | – 2 | четыре общие точки и, следовательно, исходное уравнение имеет четыре корня.
Хэрэв 0 аХэрэв
Хэрэв 0 а= 2 бол y = 2 шулуун нь функцийн графиктай гурван нийтлэг цэгтэй байна. Тэгвэл анхны тэгшитгэл нь гурван үндэстэй байна. а> 2, дараа нь шулуун шугам y =

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а < 0, то корней нет;
Хэрэв а = 0, аХэрэв
Хэрэв а> 2, дараа нь хоёр үндэс байна;
= 2, дараа нь гурван үндэс;< а < 2, то четыре корня.

хэрэв 0 Бодлого 2. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? а параметрээс хамаарна а?

| x 2 – 2| x | – 3 | = а.

Шийдэл. Координатын системд (x; y) y = | функцуудын графикийг байгуулна x 2 – 2| x | – 3 | ба у = а = 0).

y = | функцийн график x 2 – 2| x | – 3 | зурагт үзүүлэв. y = a функцийн график нь Ox-тэй параллель буюу түүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (үед

Хэрэв а= 0, дараа нь шулуун шугам y = аЗургаас дараахь зүйлийг харж болно. а Ox тэнхлэгтэй давхцаж, y = | функцийн графиктай байна x2 – 2| x | – 3 | хоёр нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y = а y = | функцийн графиктай байх болно x 2 – 2| x | – 3 | гэсэн хоёр нийтлэг цэг а> 4. Тэгэхээр, хэзээ а= 0 ба
үндсийг олж болно: x 1.2 = d 2).< а < 3, то прямая y = а> 4 анхны тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй. а y = | функцийн графиктай байна x 2 – 2| x | – 3 | адөрвөн нийтлэг цэг, түүнчлэн шулуун шугам y =< а < 3, аүед баригдсан функцийн графиктай дөрвөн нийтлэг цэгтэй байна
Хэрэв 0 а= 4. Тэгэхээр 0-д а= 4 анхны тэгшитгэл нь дөрвөн үндэстэй.
= 3, дараа нь шулуун шугам y =< а < 4, прямая y = a пересекает график построенной функции в шести точках; значит, при этих значениях параметра исходное уравнение имеет шесть корней.
Хэрэв 0 а < 0, уравнение корней не имеет, так как прямая y = a не пересекает график функции y = | x 2 – 2| x | – 3 |.

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а < 0, то корней нет;
Хэрэв а = 0, афункцийн графикийг таван цэгээр огтолдог; тиймээс тэгшитгэл таван үндэстэй.
= 2, дараа нь гурван үндэс;< а < 3, аХэрэв 3
Хэрэв а> 4, дараа нь хоёр үндэс байна;
= 4, дараа нь дөрвөн үндэс байна;< а < 4, то шесть корней.

= 3, дараа нь таван үндэс;

хэрэв 3 а?

Бодлого 3. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? параметрээс хамаарна

x = 1, y = 1 шугамууд нь функцийн графикийн асимптотууд юм. y = | функцийн график x | + ау = | функцийн графикаас гарган авна x | Ой тэнхлэгийн дагуу нэгжээр нүүлгэн шилжүүлэх.

Функцийн графикууд нэг цэг дээр огтлолцоно а> – 1; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын тэгшитгэл (1) нь нэг шийдэлтэй гэсэн үг юм.

At а = – 1, а= – 2 график хоёр цэг дээр огтлолцсон; Энэ нь эдгээр параметрийн утгуудын хувьд тэгшитгэл (1) нь хоёр үндэстэй гэсэн үг юм.
-2 цагт< а < – 1, а < – 2 графики пересекаются в трех точках; значит, уравнение (1) при этих значениях параметра имеет три решения.

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. а> – 1, дараа нь нэг шийдэл;
Хэрэв а = – 1, а= – 2, тэгвэл хоёр шийдэл байна;
хэрэв - 2< а < – 1, а < – 1, то три решения.

Сэтгэгдэл. 3-р асуудлын (1) тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хэзээ тохиолдвол онцгой анхаарал хандуулах хэрэгтэй а= – 2, учир нь (– 1; – 1) цэг нь функцийн графикт хамаарахгүй харин y = | функцийн графикт хамаарна x | + а.

Өөр нэг асуудлыг шийдэх рүү явцгаая.

Бодлого 4. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

x + 2 = а| x – 1 |

хэрэв 3 а?

(2) аШийдэл. 3 = тэнцүү байх тул x = 1 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс биш гэдгийг анхаарна уу а· 0 нь ямар ч параметрийн утгад үнэн байж болохгүй . Тэгшитгэлийн хоёр талыг | гэж хуваая x – 1 |(| x – 1 | No. 0), тэгшитгэл (2) хэлбэрийг авна.

XOy координатын системд бид функцийг зурах болно аЭнэ функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. y = функцийн график а = 0).

нь анхны функцийн графиктай хоёр цэгтэй байх болно, өөрөөр хэлбэл энэ тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй болно. аЭнэ нь Үхрийн тэнхлэгтэй параллель буюу үүнтэй давхцаж буй шулуун шугам юм (хэрэв
Ј – 1, тэгвэл үндэс байхгүй;< ахэрэв - 1
Хэрэв аЈ 1, дараа нь нэг үндэс;

> 1, тэгвэл хоёр үндэс байна.

Хамгийн төвөгтэй тэгшитгэлийг авч үзье. аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

атэгшитгэл

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

гурван шийдэл байна уу? аШийдэл. 1. Энэ тэгшитгэлийн параметрийн хяналтын утга нь тоо байх болно а= 0, энэ үед (3) тэгшитгэл 0 + | хэлбэрийг авна x – 1 | = 0, эндээс x = 1. Иймд хэзээ

= 0, тэгшитгэл (3) нь нэг язгууртай бөгөөд энэ нь асуудлын нөхцөлийг хангахгүй байна. а № 0.

2. Хэзээ гэсэн тохиолдлыг авч үзье а(3) тэгшитгэлийг дараах хэлбэрээр дахин бичье. а < 0.

x 2 = – | x – 1 |. Тэгшитгэл зөвхөн үед л шийдтэй байх болно гэдгийг анхаарна уу а xOy координатын системд y = | функцуудын графикийг байгуулна x – 1 | ба у = а x 2. y = | функцийн график x – 1 | зурагт үзүүлэв. y = функцийн график а < 0. Вершина параболы - точка (0; 0).

x 2 нь салбарууд нь доош чиглэсэн парабол, учир нь а(3) тэгшитгэл нь y = – x + 1 шулуун нь y= функцийн графиктай шүргэгч байх үед л гурван шийдэлтэй байх болно.

x 2. а y = параболатай y = – x + 1 шулуун шугамын шүргэлтийн цэгийн абсциссыг x 0 гэж үзье.

x 2. Шүргэх тэгшитгэл нь хэлбэртэй байна

y = y(x 0) + y "(x 0)(x – x 0).

Шүргэх нөхцлүүдийг бичье:

Энэ тэгшитгэлийг дериватив гэдэг ойлголтыг ашиглахгүйгээр шийдэж болно. аӨөр аргыг авч үзье. Хэрэв y = kx + b шулуун нь y = параболатай нэг нийтлэг цэгтэй байна гэсэн баримтыг ашиглая. а x 2 + px + q = kx + b нь өвөрмөц шийдэлтэй байх ёстой, өөрөөр хэлбэл түүний ялгах утга нь тэг байна. Манай тохиолдолд бид тэгшитгэлтэй байна а x 2 = – x + 1 ( аҮгүй 0). Дискриминант тэгшитгэл

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

6. Параметрээс хамаарч тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ а?

1)| | x | – 3 | = а;
2)| x + 1 | + | x + 2 | = а;
3)| x 2 – 4| x | + 3 | = а;
4)| x 2 – 6| x | + 5 | = а.

1) хэрэв а<0, то корней нет; если а=0, а>3, дараа нь хоёр үндэс; Хэрэв а=3, дараа нь гурван үндэс; хэрэв 0<а<3, то четыре корня;
2) хэрэв а<1, то корней нет; если а=1, тэгвэл [– 2” интервалаас хязгааргүй олон шийд байна; а– 1]; Хэрэв
> 1, дараа нь хоёр шийдэл байна; а<0, то корней нет; если а=0, а<3, то четыре корня; если 0<а<1, то восемь корней; если а 3) хэрэв а=1, дараа нь зургаан үндэс; Хэрэв а=3, тэгвэл гурван шийдэл байна; Хэрэв
>3, дараа нь хоёр шийдэл байна; а<0, то корней нет; если а=0, 4<а<5, то четыре корня; если 0<а< 4, то восемь корней; если а 4) хэрэв а=4, дараа нь зургаан үндэс; Хэрэв а=5, дараа нь гурван үндэс; Хэрэв

>5, тэгвэл хоёр үндэс байна. а 7. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ | x + 1 | = а?

(x – 1) параметрээс хамаарна .

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аХариулт: хэрэв а > 1, а J -1,<а<0, то два корня; если 0<а=0, дараа нь нэг үндэс; хэрэв - 1

Ј 1, тэгвэл үндэс байхгүй. а 8. x + 1 = тэгшитгэл хэдэн үндэстэй байна а?

| x – 1 |параметрээс хамаарч

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аГрафик зур (зураг харна уу).<аЈ –1, тэгвэл үндэс байхгүй; хэрэв - 1 аЈ 1, дараа нь нэг үндэс; Хэрэв

>1, тэгвэл хоёр үндэс байна.

9. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?

хэрэв 3 а?

2| x | – 1 = a(x – 1)

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аАнхаарна уу. Тэгшитгэлийг үүсгэхийн тулд багасгана а>2, а J -2,<а<1, то два корня; если 1<а=1, дараа нь нэг үндэс; хэрэв -2

Ј 2, тэгвэл үндэс байхгүй.

хэрэв 3 а?

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно аЈ 0, а 10. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ?<а<2, то два корня.

i 2, дараа нь нэг үндэс; хэрэв 0 аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

11. Параметрийн ямар утгуудад а x 2 +

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

| x – 2 | = 0 аАнхаарна уу. Тэгшитгэлийг x 2 = – хэлбэртэй болгож бууруул.

| x – 2 |. аХариулт: хэзээ

Ж – 8. аАсуудал 5. Параметрийн ямар утгуудад

а 12. Параметрийн ямар утгуудад

x 2 + | x – 1 | = 0 (3)

x 2 + | x + 1 | = 0 аАнхаарна уу. Бодлого 5. Энэ тэгшитгэл нь зөвхөн тэгшитгэл байвал гурван шийдэлтэй байна а x 2 + x + 1 = 0 нь нэг шийдэлтэй ба тохиолдол

= 0 нь асуудлын нөхцөлийг хангахгүй, өөрөөр хэлбэл, хэзээ тохиолдол хэвээр байна

13. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? а

хэрэв 3 а?

x | x – 2 | = 1 – Анхаарна уу. Тэгшитгэлийг –x |x – 2| хэлбэртэй болгож бууруул + 1 =

хэрэв 3 а?

а

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно а<0, аАнхаарна уу. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын графикуудыг байгуул. а>2, тэгвэл хоёр үндэс байна; хэрэв 0Ј

Ј 2, дараа нь нэг үндэс.

хэрэв 3 а?

16. Тэгшитгэл хэдэн үндэстэй вэ? Анхаарна уу. Энэ тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талын графикуудыг байгуул. Функцийн графикийг зурах

Анхаарна уу. x = 1 нь тэгшитгэлийн үндэс биш тул энэ тэгшитгэлийг хэлбэрт оруулж болно а x + 2 ба x илэрхийллийн тогтмол тэмдгийн интервалыг олъё. а>– 1, дараа нь нэг шийдэл; Хэрэв<а<–1, то четыре решения; если а= – 1, тэгвэл хоёр шийдэл байна; хэрэв - 3