Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, илүү их сэдэвчилсэн асуудалтаны зурах мэдлэг, ур чадвар байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн графикуудын тухай санах ойг сэргээх нь ашигтай байдаг үндсэн функцууд, мөн хамгийн багадаа шулуун ба гиперболыг барьж чаддаг байх.

Муруй трапец гэж нэрлэдэг хавтгай дүрс, тэнхлэг, шулуун шугамууд болон сегмент дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдах бөгөөд энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй. Болъё энэ тообайрладаг бага биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл- энэ бол БҮС.

Тэр бол,тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл функц нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг (хүссэн хүмүүс зурж болно) зааж өгдөг бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө тоон утгатай байна. талбайтай тэнцүүхаргалзах муруй трапец.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Эхлээд ба хамгийн чухал мөчшийдэл - зураг зурах. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна. хамгийн эхэндбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь- парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгээр.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. IN энэ тохиолдолд"нүдээр" бид зургийн эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг байна. Хэрэв бид 20 гэсэн хариулт авсан бол энэ нь тодорхой байна квадрат нэгж, дараа нь хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 3

Зургийн талбайг тооцоолох, шугамаар хязгаарлагддаг, Мөн координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапецбайрладаг тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв танаас тодорхой интегралыг ямар ч тоогүйгээр шийдэхийг хүсэх юм бол геометрийн утга, тэгвэл энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул хамгийн энгийнээс сургуулийн асуудалИлүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжье.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар нь гэсэн үг юм дээд хязгааринтеграци

Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, аналитик аргаЖишээлбэл, график нь нэлээд том эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох шаардлагатай хэвээр байна. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв сегмент дээр тасралтгүй функц байгаа бол -аас их буюу тэнцүүзарим нь тасралтгүй функц, дараа нь зургийн талбай, хуваарийн дагуу хязгаарлагддагөгөгдсөн функцууд болон шулуун шугамуудыг , , томъёог ашиглан олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
дагуу сегмент дээр тохирох томъёо:

Хариулт:

Жишээ 4

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбай нь цэнхэр өнгийн сүүдэртэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж "гажиг" ихэвчлэн тохиолддог бөгөөд та дүрсний сүүдэртэй хэсгийг олох шаардлагатай болдог. ногоон!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм.

Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Програмууд руу шилжье интеграл тооцоо. Энэ хичээлээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно тодорхой интеграл ашиглан хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолох. Эцэст нь хүн бүр утгыг хайж байна дээд математик- Тэд түүнийг олох болтугай. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Ойлгох тодорхойгүй интегралнаад зах нь дундаж түвшинд. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлээ унших ёстой Үгүй ээ.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Та хуудсан дээрх тодорхой интегралуудтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, тиймээс таны мэдлэг, зурах ур чадвар бас хамааралтай асуудал байх болно. Наад зах нь та шулуун шугам, парабол, гиперболыг барьж чаддаг байх хэрэгтэй.

Муруй трапецаар эхэлцгээе. Муруй трапец гэдэг нь зарим функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм y = е(x), тэнхлэг ҮХЭРболон шугамууд x = а; x = б.

Муруй шугаман трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоогоор тэнцүү байна

Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБид тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо дахиад нэгийг хэлэх цаг болжээ ашигтай баримт. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм. Тэр бол, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Тодорхой интегралыг авч үзье

Интеграл

хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хэрэв хүсвэл үүнийг зурж болно), тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоон хувьд тэнцүү байна.

Жишээ 1

, , , .

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэр гаргахад хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна. хамгийн эхэндбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь– парабол, гипербол, бусад функцийн график. Технологийн хамт цэгийн барилга байгууламж-ээс олж болно лавлах материал Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.

Зургийг хийцгээе (тэгшитгэлийг анхаарна уу y= 0 нь тэнхлэгийг заана ҮХЭР):

Бид муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй; энд ямар газар байгаа нь тодорхой байна бид ярьж байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр [-2; 1] функцын график y = x 2+2 байрлалтай тэнхлэгээс дээшҮХЭР, Тийм учраас:

Хариулт: .

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс

,

лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ. Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол xy = 4, x = 2, x= 4 ба тэнхлэг ҮХЭР.

Энэ бол жишээ юм бие даасан шийдвэр. Бүрэн шийдэлмөн хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн доорҮХЭР?

Жишээ 3

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = e-x, x= 1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец бол тэнхлэгийн доор бүрэн байрладаг ҮХЭР , дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

.

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y = 2x – x 2 , y = -x.

Шийдэл: Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Талбайн асуудалд зураг зурахдаа бид шугамын огтлолцлын цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё y = 2x – x 2 ба шулуун y = -x. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм а= 0, интеграцийн дээд хязгаар б= 3. Ихэнхдээ шугамыг цэгээр байгуулах нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан байдаг бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болдог. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгэн чиглэлд барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" тодорхойлдог гэдгийг давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо:

Хэрэв сегмент дээр байгаа бол [ а; б] зарим тасралтгүй функц е(x) -аас их буюу тэнцүүзарим тасралтгүй функц g(x), харгалзах зургийн талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрладаг талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, гэхдээ Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрлах нь тодорхой байна, тиймээс 2-оос x – x 2-ыг хасах ёстой - x.

Дууссан шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Хүссэн дүрс нь параболоор хязгаарлагддаг y = 2x – x 2 дээд ба шулуун y = -xдоор.

2-р сегмент дээр x – x 2 ≥ -x. Холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: .

Үнэндээ, сургуулийн томъёодоод хагас хавтгай дахь муруй трапецын талбайн хувьд (3-р жишээг үзнэ үү) - онцгой тохиолдолтомъёо

.

Учир нь тэнхлэг ҮХЭРтэгшитгэлээр өгөгдсөн y= 0, мөн функцийн график g(x) тэнхлэгийн доор байрладаг ҮХЭР, Тэр

.

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг ол

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүйгээс... Буруу зургийн талбай олдсон.

Жишээ 7

Эхлээд зураг зуръя:

Бидний олох ёстой талбай нь цэнхэр өнгийн сүүдэртэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж хүмүүс ихэвчлэн ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн зургийн хэсгийг олох хэрэгтэй гэж шийддэг!

Энэ жишээ нь тодорхой хоёр интеграл ашиглан дүрсийн талбайг тооцдог тул бас хэрэгтэй. Үнэхээр:

1) сегмент дээр [-1; 1] тэнхлэгээс дээш ҮХЭРграфик шулуун байна y = x+1;

2) Тэнхлэгээс дээш сегмент дээр ҮХЭРгиперболын график байрладаг y = (2/x).

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулъя

мөн цэгээр нь зурах:

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн" байна: б = 1.

Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ?

байж магадгүй, а=(-1/3)? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь тодорхой болж магадгүй юм а=(-1/4). Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та зарцуулах хэрэгтэй Нэмэлт цагмөн аналитик байдлаар интеграцийн хязгаарыг тодорхой болгох.

Графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олъё

Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.

.

Тиймээс, а=(-1/3).

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн юм. Хамгийн гол нь орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй. Энд байгаа тооцоо нь хамгийн энгийн зүйл биш юм. Сегмент дээр

, ,

зохих томъёоны дагуу:

Хариулт:

Хичээлийг дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол

Шийдэл: Энэ дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Цэг цэгээр зурахын тулд та мэдэх хэрэгтэй Гадаад төрхсинусоидууд. Ерөнхийдөө бүх энгийн функцүүдийн график, мөн зарим синусын утгыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Тэдгээрийг утгын хүснэгтээс олж болно тригонометрийн функцууд . Зарим тохиолдолд (жишээлбэл, энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүнд график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарлалттай холбоотой асуудал байхгүй, тэдгээр нь нөхцөл байдлаас шууд хамаардаг;

– “x” тэгээс “pi” болж өөрчлөгдөнө. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график y= нүгэл 3 xтэнхлэгээс дээш байрладаг ҮХЭР, Тийм учраас:

(1) Та хичээлээс синус болон косинусууд сондгой зэрэглэлд хэрхэн нэгтгэгдэж байгааг харж болно Тригонометрийн функцүүдийн интегралууд. Бид нэг синусыг хавчих.

(2) Бид үндсэн тригонометрийн таних тэмдгийг хэлбэрээр ашигладаг

(3) Хувьсагчийг өөрчилье т=cos x, тэгвэл: тэнхлэгийн дээгүүр байрласан тул:

.

.

Жич:шоо дахь шүргэгчийн интегралыг энд хэрхэн ашиглаж байгааг анхаарна уу тригонометрийн ижилсэл

.

A)

Шийдэл.

Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм.

Зураг зурцгаая:

Тэгшитгэл y=0 "x" тэнхлэгийг тохируулна;

- x=-2 Тэгээд x=1 - шулуун, тэнхлэгтэй зэрэгцээ OU;

- y=x 2 +2 - (0;2) цэг дээр оройтой, мөчрүүд нь дээш чиглэсэн парабол.

Сэтгэгдэл.Параболыг барихын тулд координатын тэнхлэгүүдтэй огтлолцох цэгүүдийг олоход хангалттай, өөрөөр хэлбэл. оруулах x=0 тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол OU мөн үүний дагуу шийдвэр гаргах квадрат тэгшитгэл, тэнхлэгтэй огтлолцох хэсгийг ол Өө .

Параболын оройг дараах томъёогоор олж болно.

Та мөн шугамыг цэг болгон барьж болно.

[-2;1] интервал дээр функцийн график y=x 2 +2 байрладаг тэнхлэгээс дээш Үхэр , Тийм учраас:

Хариулт: С =9 м.кв нэгж

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд "нүдээр" бид зурган дээрх эсийн тоог тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн бололтой. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн доор Өө?

б)Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y=-e x , x=1 ба координатын тэнхлэгүүд.

Шийдэл.

Зураг зурцгаая.

Хэрэв муруй трапец бол тэнхлэгийн доор бүрэн байрладаг Өө , Дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.

Хариулт: S=(e-1) кв. нэгж" 1.72 кв. нэгж

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэвчлэн зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг.

хамт)Шулуунаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол y=2x-x 2, y=-x.

Шийдэл.

Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё ба шулуун Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм.

Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Энэ нь интеграцийн доод хязгаар гэсэн үг юм a=0 , интеграцийн дээд хязгаар b=3 .

Та шугамыг цэгээр байгуулж болох бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт: С =4.5 м.кв нэгж

Тодорхой интеграл. Зургийн талбайг хэрхэн тооцоолох вэ

Интеграл тооцооллын хэрэглээг авч үзье. Энэ хичээл дээр бид ердийн бөгөөд хамгийн нийтлэг даалгаварт дүн шинжилгээ хийх болно - хавтгай дүрсийн талбайг тооцоолохдоо тодорхой интегралыг хэрхэн ашиглах. Эцэст нь, дээд математикийн утга учрыг хайж байгаа хүмүүс үүнийг олох болтугай. Чи хэзээ ч мэдэхгүй. Бодит амьдрал дээр та энгийн функцуудыг ашиглан зуслангийн талбайг ойролцоогоор тооцоолж, тодорхой интеграл ашиглан түүний талбайг олох хэрэгтэй болно.

Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) Тодорхой бус интегралыг ядаж дунд түвшинд ойлгох. Тиймээс дамми нар эхлээд хичээлээ унших ёстой Үгүй ээ.

2) Ньютон-Лейбницийн томьёог хэрэглэж, тодорхой интегралыг тооцоолох чадвартай байх. Та хуудсан дээрх тодорхой интегралуудтай халуун дотно найрсаг харилцаа тогтоож болно Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Үнэн хэрэгтээ дүрсийн талбайг олохын тулд тодорхойгүй ба тодорхой интегралын талаар тийм ч их мэдлэг хэрэггүй. "Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох" даалгавар нь үргэлж зураг зурах явдал юм, тиймээс таны мэдлэг, зурах чадвар илүү тулгамдсан асуудал байх болно. Үүнтэй холбогдуулан үндсэн үндсэн функцүүдийн графикуудын тухай санах ойг сэргээх, хамгийн багаар бодоход шулуун шугам, парабол, гиперболыг бүтээх чадвартай байх нь ашигтай байдаг. Үүнийг ашиглан хийж болно (олон хүний ​​хувьд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай). арга зүйн материалГрафикийн геометрийн хувиргалтуудын тухай өгүүллүүд.

Ер нь тодорхой интеграл ашиглан талбайг олох даалгаврыг хүн бүр сургуулиасаа мэддэг байсан бөгөөд бид үүнээс цааш явахгүй. сургуулийн сургалтын хөтөлбөр. Энэ нийтлэл огт байгаагүй байж болох ч 100 тохиолдлын 99-д нь оюутан үзэн яддаг сургуульд зовж, дээд математикийн хичээлийг урам зоригтойгоор эзэмшсэн тохиолдолд ийм асуудал гардаг.

Материал энэ семинарынэнгийн, дэлгэрэнгүй, хамгийн бага онолоор танилцуулсан.

Муруй трапецаар эхэлцгээе.

Муруй шугаман трапецнь тэнхлэг, шулуун шугамууд болон энэ интервал дээр тэмдэг өөрчлөгддөггүй интервал дээр үргэлжилсэн функцийн графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Энэ зургийг байрлуулахыг зөвшөөрнө үү бага биш x тэнхлэг:

Дараа нь муруйн трапецын талбай нь тодорхой интегралтай тоон хувьд тэнцүү байна. Аливаа тодорхой интеграл (байгаа) нь маш сайн геометрийн утгатай. Хичээл дээр Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээБи тодорхой интеграл бол тоо гэж хэлсэн. Одоо өөр нэг хэрэгтэй баримтыг хэлэх цаг болжээ. Геометрийн үүднээс авч үзвэл тодорхой интеграл нь AREA юм.

Тэр бол, тодорхой интеграл (хэрэв байгаа бол) геометрийн хувьд тодорхой дүрсийн талбайтай тохирч байна. Жишээлбэл, тодорхой интегралыг авч үзье. Интеграл нь тэнхлэгийн дээгүүр байрлах хавтгай дээрх муруйг тодорхойлдог (хүссэн хүмүүс зураг зурах боломжтой) бөгөөд тодорхой интеграл нь өөрөө харгалзах муруйн трапецын талбайтай тоогоор тэнцүү байна.

Жишээ 1

Энэ бол даалгаврын ердийн мэдэгдэл юм. Шийдвэрийн эхний бөгөөд хамгийн чухал зүйл бол зураг зурах явдал юм. Түүнээс гадна зураг зурах ёстой ЗӨВ.

Зураг зурахдаа би дараах дарааллыг санал болгож байна. хамгийн эхэндбүх шулуун шугамыг (хэрэв байгаа бол) барих нь дээр бөгөөд зөвхөн Дараа нь– парабол, гипербол, бусад функцийн график. Функцийн графикийг бүтээх нь илүү ашигтай байдаг цэгээр, нэг цэгийн барилгын техникийг лавлах материалаас олж болно Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Тэнд та бидний хичээлд маш хэрэгтэй материалыг олж авах боломжтой - параболыг хэрхэн хурдан бүтээх вэ.

Энэ асуудлын шийдэл нь иймэрхүү харагдаж болно.
Зургийг зурцгаая (тэгшитгэл нь тэнхлэгийг тодорхойлдог болохыг анхаарна уу):

Би муруй трапецийг сүүдэрлэхгүй, бид ямар талбайн тухай ярьж байгаа нь тодорхой байна. Шийдэл дараах байдлаар үргэлжилнэ.

Сегмент дээр функцийн график байрлана тэнхлэгээс дээш, Тийм учраас:

Хариулт:

Тодорхой интегралыг тооцоолох, Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэхэд бэрхшээлтэй хүмүүс , лекцээс үзнэ үү Тодорхой интеграл. Шийдлийн жишээ.

Даалгаврыг гүйцэтгэсний дараа зургийг харж, хариулт нь бодит эсэхийг мэдэх нь үргэлж хэрэгтэй байдаг. Энэ тохиолдолд бид зургийн эсийн тоог "нүдээр" тоолдог - 9 орчим байх болно, энэ нь үнэн юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид 20 квадрат нэгж гэсэн хариултыг авсан бол хаа нэгтээ алдаа гаргасан нь тодорхой байна - 20 эс нь тухайн зурагт тохирохгүй нь тодорхой байна, хамгийн ихдээ хэдэн арван. Хариулт нь сөрөг байвал даалгаврыг бас буруу шийдсэн.

Жишээ 2

, , болон тэнхлэгүүдээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол яах вэ тэнхлэгийн дор?

Жишээ 3

Шугаман ба координатын тэнхлэгээр хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Зураг зурцгаая:

Хэрэв муруй трапец байрладаг бол тэнхлэгийн доор(эсвэл ядаж өндөр бишөгөгдсөн тэнхлэг), дараа нь түүний талбайг дараах томъёогоор олж болно.
Энэ тохиолдолд:

Анхаар! Хоёр төрлийн ажлыг андуурч болохгүй:

1) Хэрэв та ямар ч геометрийн утгагүйгээр тодорхой интегралыг шийдэхийг хүсэх юм бол энэ нь сөрөг байж болно.

2) Хэрэв та тодорхой интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олохыг хүсэх юм бол талбай үргэлж эерэг байна! Тийм ч учраас сая хэлэлцсэн томъёонд хасах зүйл гарч ирдэг.

Практикт ихэнхдээ зураг нь дээд ба доод хагас хавтгайд байрладаг тул сургуулийн хамгийн энгийн асуудлаас эхлээд илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилждэг.

Жишээ 4

, шугамаар хүрээлэгдсэн хавтгай дүрсийн талбайг ол.

Шийдэл: Эхлээд та зургийг дуусгах хэрэгтэй. Ерөнхийдөө бид талбайн асуудалд зураг зурахдаа шугамын огтлолцох цэгүүдийг хамгийн их сонирхдог. Парабола ба шулуун шугамын огтлолцох цэгүүдийг олъё. Үүнийг хоёр аргаар хийж болно. Эхний арга нь аналитик юм. Бид тэгшитгэлийг шийддэг:

Интеграцийн доод хязгаар нь , дээд хязгаар нь .
Боломжтой бол энэ аргыг хэрэглэхгүй байх нь дээр..

Шугамыг цэгээр нь барих нь илүү ашигтай бөгөөд хурдан бөгөөд интеграцийн хязгаар нь "өөрөө" тодорхой болно. Төрөл бүрийн графикуудын нэг цэгийн барилгын техникийг тусламжид нарийвчлан авч үзсэн болно Энгийн функцүүдийн график ба шинж чанарууд. Гэсэн хэдий ч, жишээлбэл, график хангалттай том, эсвэл нарийвчилсан бүтэц нь интеграцийн хязгаарыг илрүүлээгүй (тэдгээр нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байж болно) тохиолдолд хязгаарыг олох аналитик аргыг заримдаа ашиглах шаардлагатай болдог. Мөн бид ийм жишээг авч үзэх болно.

Даалгавар руугаа буцъя: эхлээд шулуун шугам, дараа нь парабола барих нь илүү оновчтой юм. Зураг зурцгаая:

Цэгцэн шугам барихдаа интеграцийн хязгаарыг ихэвчлэн "автоматаар" илрүүлдэг гэдгийг би давтан хэлье.

Одоо ажлын томъёо: Хэрэв сегмент дээр тасралтгүй функц байгаа бол -аас их буюу тэнцүүЗарим тасралтгүй функц, дараа нь эдгээр функцүүдийн графикууд болон шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг , , томъёогоор олж болно.

Энд та зураг хаана байрлаж байгаа талаар бодох шаардлагагүй болсон - тэнхлэгээс дээш эсвэл тэнхлэгийн доор, мөн ойролцоогоор хэлэхэд, Аль график ӨНДӨР байх нь чухал(өөр графиктай харьцуулахад), аль нь доор байна.

Харж буй жишээн дээр парабола нь сегмент дээр шулуун шугамаас дээш байрладаг нь тодорхой байгаа тул үүнээс хасах шаардлагатай байна.

Дууссан шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.

Хүссэн дүрс нь дээрх парабол, доор нь шулуун шугамаар хязгаарлагддаг.
Харгалзах томъёоны дагуу сегмент дээр:

Хариулт:

Үнэн хэрэгтээ доод хагас хавтгай дахь муруйн трапецын талбайн сургуулийн томъёо (энгийн жишээ № 3-ыг үзнэ үү) нь томьёоны онцгой тохиолдол юм. . Тэнхлэг нь тэгшитгэлээр тодорхойлогддог тул функцийн график байрладаг өндөр биштэгвэл тэнхлэгүүд

Одоо өөрийнхөө шийдлийн хэд хэдэн жишээ

Жишээ 5

Жишээ 6

, шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг ол.

Тодорхой интеграл ашиглан талбайг тооцоолох асуудлыг шийдвэрлэхэд заримдаа инээдтэй тохиолдол гардаг. Зургийг зөв хийсэн, тооцоо зөв байсан ч анхаарал болгоомжгүйгээс... буруу зургийн талбай олдсон, яг ингэж даруухан зарц чинь хэд хэдэн удаа завхруулсан. Энд бодит хэрэгамьдралаас:

Жишээ 7

, , , шугамаар хүрээлэгдсэн зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Эхлээд зураг зуръя:

...Өө, зураг нь онигоо гарсан ч бүх зүйл гаргацтай байх шиг байна.

Бидний олох ёстой талбай нь цэнхэр өнгийн сүүдэртэй байна(нөхцөл байдлыг анхааралтай ажиглаарай - зураг хэрхэн хязгаарлагдмал байна!). Гэвч практик дээр анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж ногоон өнгөөр ​​сүүдэрлэсэн зургийн талбайг олох шаардлагатай "гажиг" ихэвчлэн гардаг!

Энэ жишээ нь хоёр тодорхой интеграл ашиглан зургийн талбайг тооцоолоход бас ашигтай юм. Үнэхээр:

1) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр шулуун шугамын график байна;

2) Тэнхлэгийн дээрх сегмент дээр гиперболын график байна.

Талбайг нэмэх боломжтой (мөн байх ёстой) нь ойлгомжтой тул:

Хариулт:

Өөр нэг утга учиртай ажил руугаа орцгооё.

Жишээ 8

Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоолох,
Тэгшитгэлүүдийг "сургууль" хэлбэрээр танилцуулж, цэг тус бүрээр нь зурцгаая.

Зургаас харахад бидний дээд хязгаар "сайн": .
Гэхдээ доод хязгаар нь юу вэ?! Энэ бүхэл тоо биш гэдэг нь ойлгомжтой, гэхдээ энэ нь юу вэ? байж болох уу? Гэхдээ зургийг төгс нарийвчлалтай хийсэн гэсэн баталгаа хаана байна вэ, энэ нь магадгүй ... Эсвэл үндэс. Хэрэв бид графикийг буруу барьсан бол яах вэ?

Ийм тохиолдолд та нэмэлт цаг зарцуулж, аналитик байдлаар нэгтгэх хязгаарыг тодруулах хэрэгтэй.

Шулуун ба параболын огтлолцох цэгүүдийг олъё.
Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэлийг шийднэ.


,

Үнэхээр, .

Цаашдын шийдэл нь өчүүхэн, гол зүйл бол орлуулалт, тэмдгүүдэд андуурч болохгүй;

Сегмент дээр , холбогдох томъёоны дагуу:

Хариулт:

За, хичээлээ дуусгахын тулд өөр хоёр хэцүү даалгаврыг авч үзье.

Жишээ 9

, , шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайг тооцоол.

Шийдэл: Энэ дүрсийг зураг дээр дүрсэлцгээе.

Хараал ид, би хуваарьт гарын үсэг зурахаа мартчихаж, уучлаарай, би зургийг дахин хийхийг хүсээгүй. Зурах өдөр биш товчхондоо өнөөдөр бол өдөр =)

Цэг бүрээр барихын тулд синусоидын дүр төрхийг мэдэх шаардлагатай (мөн ерөнхийдөө үүнийг мэдэх нь ашигтай байдаг. бүх энгийн функцүүдийн графикууд), түүнчлэн зарим синус утгыг эндээс олж болно тригонометрийн хүснэгт. Зарим тохиолдолд (энэ тохиолдолд) бүдүүвч зураг зурах боломжтой бөгөөд үүн дээр график, интеграцийн хязгаарыг үндсэндээ зөв харуулах ёстой.

Энд нэгдмэл байдлын хязгаарт ямар ч асуудал байхгүй, тэд "x" нь тэгээс "pi" хүртэл өөрчлөгддөг. Цаашид шийдвэрээ гаргацгаая:

Сегмент дээр функцийн график нь тэнхлэгээс дээш байрладаг тул:

Энэ нийтлэлд та интеграл тооцоог ашиглан шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг хэрхэн олох талаар сурах болно. Бид тодорхой интегралын судалгааг дөнгөж дуусгаад эхлэх цаг нь болсон үед ахлах сургуульд ийм бодлого боловсруулахтай анх удаа тулгарч байна. геометрийн тайлбарпрактик дээр мэдлэг олж авсан.

Интеграл ашиглан дүрсийн талбайг олох асуудлыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд юу шаардлагатай вэ:

• Чадварлаг зураг зурах чадвартай;
• Тодорхой интегралыг ашиглан шийдвэрлэх чадвар алдартай томъёоНьютон-Лейбниц;
• Илүү ашигтай шийдлийн сонголтыг "харах" чадвар - жишээлбэл. Нэг эсвэл өөр тохиолдолд интеграци хийх нь хэрхэн илүү тохиромжтой болохыг ойлгож байна уу? X тэнхлэг (OX) эсвэл y тэнхлэг (OY) дагуу уу?
• За, зөв ​​тооцоололгүй бол бид хаана байх вэ?) Үүнд бусад төрлийн интегралуудыг хэрхэн шийдвэрлэх, тоон тооцооллыг зөв хийх зэрэг орно.

Шугамаар хязгаарлагдсан дүрсийн талбайг тооцоолох асуудлыг шийдэх алгоритм:

1. Бид зураг зурж байна. Үүнийг алаг цаасан дээр хийхийг зөвлөж байна их хэмжээгээр. Бид энэ функцийн нэрийг график бүрийн дээр харандаагаар гарын үсэг зурдаг. График дээр гарын үсэг зурах нь зөвхөн цаашдын тооцоо хийхэд хялбар байх үүднээс хийгддэг. Хүссэн зургийн графикийг хүлээн авсны дараа ихэнх тохиолдолд интеграцийн аль хязгаарыг ашиглах нь нэн даруй тодорхой болно. Ингэж л бид асуудлыг шийдэж байна график арга. Гэсэн хэдий ч, хязгаарын утга нь бутархай эсвэл үндэслэлгүй байх тохиолдол гардаг. Тиймээс та нэмэлт тооцоо хийж болно, хоёр дахь алхам руу очно уу.

2. Хэрэв интеграцийн хязгаарыг тодорхой заагаагүй бол бид графикуудын огтлолцох цэгүүдийг олж, бидний график шийдэланалитикийн хамт.

3. Дараа нь та зураг дээр дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй. Функцийн графикууд хэрхэн байрлаж байгаагаас хамааран байдаг өөр өөр хандлагадүрсийн талбайг олох. Ингээд авч үзье өөр өөр жишээнүүдинтеграл ашиглан зургийн талбайг олох.

3.1. Асуудлын хамгийн сонгодог бөгөөд хамгийн энгийн хувилбар бол муруй трапецын талбайг олох явдал юм. Муруй трапец гэж юу вэ? Энэ нь x тэнхлэгээр хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм (y = 0), Чигээрээ x = a, x = bаас интервал дээр үргэлжилсэн дурын муруй аөмнө б. Түүнээс гадна энэ үзүүлэлт нь сөрөг биш бөгөөд x тэнхлэгээс доогуур байрлана. Энэ тохиолдолд муруй шугаман трапецын талбай нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор тооцоолсон тодорхой интегралтай тэнцүү байна.

Жишээ 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Зураг ямар шугамаар хүрээлэгдсэн бэ? Бидэнд парабол байна y = x2 – 3x + 3, энэ нь тэнхлэгээс дээш байрладаг Өө, энэ нь сөрөг биш, учир нь Энэ параболын бүх цэгүүд байна эерэг утгууд. Дараа нь шулуун шугамуудыг өгөв x = 1Тэгээд x = 3, тэдгээр нь тэнхлэгтэй параллель гүйдэг OU, зүүн ба баруун талд байгаа зургийн хилийн шугам юм. За y = 0, энэ нь мөн x тэнхлэг бөгөөд дүрсийг доороос нь хязгаарладаг. Үр дүн нь сүүдэртэй, зүүн талын зургаас харж болно. Энэ тохиолдолд та асуудлыг даруй шийдэж болно. Бидний өмнө муруй трапецын энгийн жишээ байгаа бөгөөд дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёогоор шийддэг.

3.2. Өмнөх 3.1-д бид муруй трапецийг x тэнхлэгээс дээш байрлуулсан тохиолдолд судалж үзсэн. Функц нь x тэнхлэгийн доор оршдогоос бусад тохиолдолд асуудлын нөхцөл ижил байх тохиолдлыг авч үзье. TO стандарт томъёоНьютон-Лейбниц хасагдсан. Хэрхэн шийдэх вэ ижил төстэй даалгаварҮүнийг цааш нь харцгаая.

Жишээ 2 . Шугамаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбайг тооцоол y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

IN энэ жишээндБидэнд парабол байна y = x2 + 6x + 2тэнхлэгээс үүссэн Өө, Чигээрээ x = -4, x = -1, y = 0. Энд y = 0дээрээс хүссэн дүрсийг хязгаарладаг. Шууд x = -4Тэгээд x = -1Эдгээр нь тодорхой интегралыг тооцоолох хил хязгаар юм. Дүрсийн талбайг олох асуудлыг шийдэх зарчим нь 1-р жишээтэй бараг бүрэн давхцдаг. Ганц ялгаа нь: өгөгдсөн функцэерэг биш бөгөөд интервал дээр үргэлжилсээр байна [-4; -1] . Та эерэг биш гэж юу гэсэн үг вэ? Зургаас харахад өгөгдсөн х-ийн дотор байрлах дүрс нь зөвхөн "сөрөг" координатуудтай бөгөөд бид асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнийг харж, санаж байх ёстой. Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан зургийн талбайг хайдаг, зөвхөн эхэнд хасах тэмдэгтэй.

Нийтлэл дуусаагүй байна.