Бутархайтай жишээг хуваах замаар хэрхэн шийдэх вэ. Натурал тоог бутархайд хуваах

Математик, физикийн хичээлээс янз бүрийн асуудлыг шийдэхийн тулд та бутархайг хуваах хэрэгтэй. Хэрэв та энэ математик үйлдлийг гүйцэтгэх тодорхой дүрмийг мэддэг бол үүнийг хийхэд маш хялбар байдаг.

Бутархайг хуваах дүрмийг томъёолохын өмнө математикийн зарим нэр томъёог санацгаая.

1. Бутархайн дээд хэсгийг тоологч, доод хэсгийг хуваагч гэнэ.
2. Хуваахдаа тоонуудыг дараах байдлаар дуудна: ногдол ашиг: хуваагч = quotient

Бутархайг хэрхэн хуваах вэ: энгийн бутархай

Хоёр энгийн бутархайг хуваахын тулд ногдол ашгийг хуваагчийн эсрэгээр үржүүлнэ. Энэ бутархайг мөн урвуу гэж нэрлэдэг, учир нь үүнийг тоологч ба хуваагчийг солих замаар олж авдаг. Жишээ нь:

3/77: 1/11 = 3 /77 * 11 /1 = 3/7

Бутархайг хэрхэн хуваах вэ: холимог бутархай

Хэрэв бид холимог бутархайг хуваах шаардлагатай бол энд бүх зүйл маш энгийн бөгөөд ойлгомжтой болно. Нэгдүгээрт, бид холимог бутархайг ердийн буруу бутархай болгон хувиргадаг. Үүнийг хийхийн тулд ийм бутархайн хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлж, үржүүлсэн үржвэрт тоог нэмнэ. Үүний үр дүнд бид холимог бутархайн шинэ тоологчийг хүлээн авсан боловч түүний хуваагч өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Цаашид бутархайг хуваах нь энгийн бутархайг хуваахтай яг ижил аргаар явагдана. Жишээ нь:

10 2/3: 4/15 = 32/3: 4/15 = 32/3 * 15 /4 = 40/1 = 40

Бутархайг тоонд хэрхэн хуваах вэ

Энгийн бутархайг тоонд хуваахын тулд сүүлийнхийг бутархай (тогтмол бус) гэж бичих хэрэгтэй. Үүнийг хийхэд маш хялбар: энэ тоог тоологчийн оронд бичсэн бөгөөд ийм бутархайн хуваагч нь нэгтэй тэнцүү байна. Цаашид хуваах ажлыг ердийн аргаар гүйцэтгэдэг. Үүнийг жишээгээр харцгаая:

5/11: 7 = 5/11: 7/1 = 5/11 * 1/7 = 5/77

Аравтын бутархайг хэрхэн хуваах вэ

Ихэнхдээ насанд хүрсэн хүн тооцоолуурын тусламжгүйгээр бүхэл тоо эсвэл аравтын бутархайг аравтын бутархайд хуваахад бэрхшээлтэй байдаг.

Тиймээс, аравтын бутархайг хуваахын тулд та хуваагч дахь таслалыг зурж, үүнд анхаарлаа хандуулахаа болих хэрэгтэй. Ногдол ашгийн хувьд таслалыг хуваагчийн бутархай хэсэгт байсантай адил баруун тийш шилжүүлж, шаардлагатай бол тэг нэмнэ. Дараа нь тэд ердийн хуваалтыг бүхэл тоогоор гүйцэтгэдэг. Үүнийг илүү тодорхой болгохын тулд дараах жишээг авч үзье.

§ 87. Бутархай тоог нэмэх.

Бутархай тоог нэмэх нь бүхэл тоог нэмэхтэй төстэй олон талтай. Бутархай нэмэх гэдэг нь тухайн нэр томьёоны нэгжийн бүх нэгж, бутархай хэсгүүдийг агуулсан хэд хэдэн өгөгдсөн тоог (нэг томьёог) нэг тоо (нийлбэр) болгон нэгтгэх үйлдлийг хэлнэ.

Бид гурван хэргийг дараалан авч үзэх болно.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх.
2. Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэх.
3. Холимог тоог нэмэх.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх.

Жишээ авч үзье: 1/5 + 2/5.

AB хэрчмийг авч үзье (Зураг 17), нэг гэж аваад 5 тэнцүү хэсэгт хуваавал энэ хэрчмийн АС хэсэг нь AB хэрчмийн 1/5, ижил CD сегментийн хэсэг нь тэнцүү байх болно. 2/5 AB.

Зургаас харахад AD сегментийг авбал энэ нь 3/5 AB-тай тэнцүү байх болно; гэхдээ AD сегмент нь яг AC ба CD сегментүүдийн нийлбэр юм. Тиймээс бид бичиж болно:

1 / 5 + 2 / 5 = 3 / 5

Эдгээр нөхцлүүд болон үүссэн нийлбэрийг авч үзвэл нийлбэрийн хүртэгч нь нөхцлийн тоологчдыг нэмснээр олж авсан бөгөөд хуваагч өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Эндээс бид дараах дүрмийг олж авна. Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, ижил хуваагчийг үлдээх хэрэгтэй.

Нэг жишээг харцгаая:

2. Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэх.

Бутархайг нэмье: 3/4 + 3/8 Эхлээд тэдгээрийг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл багасгах хэрэгтэй.

6/8 + 3/8 завсрын холбоосыг бичих боломжгүй; Бид үүнийг тодорхой болгох үүднээс энд бичсэн.

Иймд өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд эхлээд хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулж, тэдгээрийн тоог нэмж, нийтлэг хуваагчийг шошголох хэрэгтэй.

Жишээг харцгаая (бид харгалзах бутархайн дээр нэмэлт хүчин зүйлийг бичих болно):

3. Холимог тоог нэмэх.

Тоонуудыг нэмье: 2 3/8 + 3 5/6.

Эхлээд тоонуудын бутархай хэсгүүдийг нийтлэг хуваагч руу авчирч, дахин бичье.

Одоо бид бүхэл ба бутархай хэсгүүдийг дараалан нэмнэ:

§ 88. Бутархайг хасах.

Бутархайг хасах нь бүхэл тоог хасахтай адил тодорхойлогддог. Энэ бол хоёр гишүүний нэг, хоёр гишүүний нийлбэрийг өгвөл өөр нэг нэр томъёо олддог үйлдэл юм. Гурван тохиолдлыг дараалан авч үзье.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах.
2. Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хасах.
3. Холимог тоог хасах.

1. Ижил хуваагчтай бутархайг хасах.

Нэг жишээг харцгаая:

13 / 15 - 4 / 15

AB сегментийг авч үзье (Зураг 18), үүнийг нэгж болгон авч, 15 тэнцүү хэсэгт хуваана; дараа нь энэ сегментийн АС хэсэг нь AB-ийн 1/15-ийг төлөөлөх ба ижил сегментийн AD хэсэг нь AB-ийн 13/15-тай тохирно. 4/15 AB-тай тэнцэх өөр ED сегментийг хойш тавьцгаая.

Бид 13/15-аас 4/15 бутархайг хасах хэрэгтэй. Зураг дээр энэ нь ED сегментийг AD сегментээс хасах ёстой гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд AE сегмент хэвээр үлдэх бөгөөд энэ нь AB сегментийн 9/15 байна. Тиймээс бид бичиж болно:

Бидний хийсэн жишээнээс үзэхэд ялгааны хүртэгч нь тоологчийг хасаж, харин хуваагч нь хэвээрээ байсан.

Иймд ижил хуваарьтай бутархайг хасахын тулд хасахын хуваагчаас хасахын тоог хасч, ижил хуваагчийг үлдээх хэрэгтэй.

2. Өөр өөр хуваарьтай бутархайг хасах.

Жишээ. 3/4 - 5/8

Эхлээд эдгээр бутархайг хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулъя:

Завсрын 6 / 8 - 5 / 8 нь ойлгомжтой байх үүднээс энд бичигдсэн боловч дараа нь алгасаж болно.

Иймд бутархайгаас бутархайг хасахын тулд эхлээд хамгийн бага нийтлэг хуваагч хүртэл бууруулж, дараа нь хасахын хүртэгчийг хасч, тэдгээрийн ялгавар дор нийтлэг хуваагч дээр гарын үсэг зурна.

Нэг жишээг харцгаая:

3. Холимог тоог хасах.

Жишээ. 10 3/4 - 7 2/3.

Тасалтын бутархай хэсгүүдийг багасгаж, хамгийн бага нийтлэг хуваагч руу хасъя.

Бид бүхэлээс бүхэл, бутархайгаас бутархайг хассан. Харин хасагдаж байгаагийн бутархай хэсэг нь хасагдаж байгаагийн бутархай хэсгээс их байх тохиолдол байдаг. Ийм тохиолдолд та минуэндийн бүх хэсгээс нэг нэгжийг авч, бутархай хэсгийг илэрхийлсэн хэсгүүдэд хувааж, хасахын бутархай хэсэгт нэмэх хэрэгтэй. Дараа нь хасах үйлдлийг өмнөх жишээтэй ижил аргаар гүйцэтгэнэ.

§ 89. Бутархай тоог үржүүлэх.

Бутархай үржүүлэхийг судлахдаа бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх.
2. Өгөгдсөн тооны бутархайг олох.
3. Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэх.
4. Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.
5. Холимог тоог үржүүлэх.
6. Ашиг сонирхлын тухай ойлголт.
7. Өгөгдсөн тооны хувийг олох. Тэдгээрийг дарааллаар нь авч үзье.

1. Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх.

Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх нь бүхэл тоог бүхэл тоогоор үржүүлэхтэй ижил утгатай. Бутархайг (үржүүлэх) бүхэл тоогоор (хүчин зүйл) үржүүлэх гэдэг нь гишүүн бүр нь үржүүлэгчтэй, гишүүний тоо нь үржүүлэгчтэй тэнцүү байх ижил нөхцлүүдийн нийлбэрийг үүсгэхийг хэлнэ.

Энэ нь хэрэв та 1/9-ийг 7-оор үржүүлэх шаардлагатай бол үүнийг дараах байдлаар хийж болно гэсэн үг юм.

Үйлдэл нь ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхэд багассан тул бид үр дүнг хялбархан олж авсан. Тиймээс,

Энэ үйлдлийг авч үзвэл бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх нь энэ бутархайг бүхэл тоонд нэгж байгаатай адил олон дахин өсгөхтэй тэнцэх болно. Нэгэнт бутархайг нэмэгдүүлэх нь түүний тоог нэмэгдүүлэх замаар хийгддэг

эсхүл түүний хуваагчийг багасгах замаар , тэгвэл бид хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлэх эсвэл хуваах боломжтой бол хуваагчийг хувааж болно.

Эндээс бид дүрмийг олж авна:

Бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэхийн тулд хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлж, хуваагчийг хэвээр үлдээх, эсвэл боломжтой бол хуваагчийг тухайн тоонд хувааж, хуваагчийг өөрчлөхгүй.

Үржүүлэх үед товчлол хийх боломжтой, жишээлбэл:

2. Өгөгдсөн тооны бутархайг олох.Өгөгдсөн тооны хэсгийг олох эсвэл тооцоолох олон асуудал байдаг. Эдгээр асуудлуудаас ялгаатай нь тэдгээр нь зарим объектын тоо эсвэл хэмжих нэгжийг өгдөг бөгөөд та энэ тооны нэг хэсгийг олох хэрэгтэй бөгөөд үүнийг энд бас тодорхой фракцаар зааж өгсөн болно. Ойлголтыг хөнгөвчлөхийн тулд бид эхлээд иймэрхүү асуудлын жишээг өгч, дараа нь тэдгээрийг шийдвэрлэх аргыг танилцуулах болно.

Даалгавар 1.Надад 60 рубль байсан; Би энэ мөнгөний 1/3-ийг ном худалдаж авахад зарцуулсан. Номууд хэр үнэтэй байсан бэ?

Даалгавар 2.Галт тэрэг А ба В хотуудын хооронд 300 км-тэй тэнцэх зайг туулах ёстой. Тэрээр энэ зайн 2/3-ыг туулсан байна. Энэ хэдэн километр вэ?

Даалгавар 3.Тосгонд 400 байшин байдаг бөгөөд тэдгээрийн 3/4 нь тоосго, үлдсэн нь модон байшин юм. Нийт хэдэн тоосгон байшин байдаг вэ?

Эдгээр нь бидэнд тулгардаг өгөгдсөн тооны нэг хэсгийг олохтой холбоотой олон бэрхшээлүүдийн зарим нь юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн өгөгдсөн тооны бутархайг олох бодлого гэж нэрлэдэг.

Асуудлын шийдэл 1. 60 рубльээс. Би номонд 1/3 зарцуулсан; Энэ нь номын үнийг олохын тулд 60 тоог 3-т хуваах шаардлагатай гэсэн үг юм.

Асуудлыг шийдвэрлэх 2.Асуудлын гол утга нь 300 км-ийн 2/3-ыг олох хэрэгтэй. Эхлээд 300-ийн 1/3-ийг тооцоолъё; Үүнийг 300 км-ийг 3-т хуваахад хүрнэ.

300: 3 = 100 (энэ нь 300-ийн 1/3 нь).

300-ийн гуравны хоёрыг олохын тулд үр дүнгийн коэффициентийг хоёр дахин нэмэгдүүлэх, өөрөөр хэлбэл 2-оор үржүүлэх хэрэгтэй.

100 x 2 = 200 (энэ нь 300-ийн 2/3).

Асуудлыг шийдвэрлэх 3.Энд та 400-ийн 3/4-ийг эзэлдэг тоосгон байшингийн тоог тодорхойлох хэрэгтэй. Эхлээд 400-ийн 1/4-ийг олъё.

400: 4 = 100 (энэ нь 400-ийн 1/4 нь).

400-ийн дөрөвний гурвыг тооцоолохын тулд үр дүнгийн коэффициентийг гурав дахин, өөрөөр хэлбэл 3-аар үржүүлэх шаардлагатай.

100 x 3 = 300 (энэ нь 400-ийн 3/4).

Эдгээр асуудлын шийдэлд үндэслэн бид дараах дүрмийг гаргаж болно.

Өгөгдсөн тооноос бутархайн утгыг олохын тулд та энэ тоог бутархайн хуваарьт хувааж, үр дүнгийн хэсгийг түүний хүртэгчээр үржүүлэх хэрэгтэй.

3. Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэх.

Өмнө нь (§ 26) бүхэл тоог үржүүлэх нь ижил гишүүн (5 x 4 = 5+5 +5+5 = 20) нэмэх гэж ойлгох ёстой гэж тогтоосон. Энэ догол мөрөнд (1-р зүйл) бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх нь энэ бутархайтай тэнцүү ижил гишүүдийн нийлбэрийг олох гэсэн үг болохыг тогтоосон.

Аль ч тохиолдолд үржүүлэх нь ижил нөхцлийн нийлбэрийг олохоос бүрддэг.

Одоо бид бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхэд шилжинэ. Энд бид жишээлбэл, үржүүлэхтэй тулгарах болно: 9 2/3. Энэ тохиолдолд үржүүлэхийн өмнөх тодорхойлолт хамаарахгүй нь тодорхой байна. Энэ нь бид ийм үржүүлгийг тэнцүү тоог нэмэх замаар орлуулах боломжгүй гэдгээс тодорхой харагдаж байна.

Үүнээс үүдэн бид үржүүлгийн шинэ тодорхойлолтыг өгөх шаардлагатай болно, өөрөөр хэлбэл, бутархайгаар үржүүлэхэд юуг ойлгох ёстой вэ, энэ үйлдлийг хэрхэн ойлгох ёстой вэ гэсэн асуултанд хариулах шаардлагатай болно.

Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхийн утга нь дараах тодорхойлолтоос тодорхой харагдаж байна. бүхэл тоог (үржүүлэх) бутархай (үржүүлэх) -ээр үржүүлэх нь үржүүлэгчийн энэ хэсгийг олно гэсэн үг юм.

Тодруулбал, 9-ийг 2/3-аар үржүүлбэл есөн нэгжийн 2/3-ыг олно гэсэн үг. Өмнөх догол мөрөнд ийм асуудлууд шийдэгдсэн; Тиймээс бид 6-тай болно гэдгийг ойлгоход амархан.

Харин одоо нэгэн сонирхолтой бөгөөд чухал асуулт гарч ирж байна: яагаад ижил тооны нийлбэрийг олох, тооны бутархайг олох гэх мэт өөр мэт санагдах үйлдлүүдийг арифметикт "үржүүлэх" гэсэн ижил үгээр нэрлэдэг вэ?

Энэ нь өмнөх үйлдэл (тоог нэр томьёотой хэд хэдэн удаа давтах) болон шинэ үйлдэл (тооны бутархайг олох) нь нэгэн төрлийн асуултуудад хариулт өгдөг тул ийм зүйл тохиолддог. Энэ нь бид нэгэн төрлийн асуултууд эсвэл даалгавруудыг ижил үйлдлээр шийддэг гэсэн дүгнэлтээс гарна гэсэн үг юм.

Үүнийг ойлгохын тулд дараах асуудлыг авч үзье: "1 м даавуу 50 рубль байна. Ийм даавууны 4 м хэр үнэтэй вэ?

Энэ асуудал нь рублийн тоог (50) тоолуурын тоогоор (4), өөрөөр хэлбэл 50 x 4 = 200 (рубль) үржүүлэх замаар шийдэгддэг.

Үүнтэй ижил асуудлыг авч үзье, гэхдээ дотор нь даавууны хэмжээг бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх болно: "1 м даавуу 50 рубль байна. Ийм даавууны 3/4 м нь ямар үнэтэй байх вэ?"

Энэ асуудлыг мөн рублийн тоог (50) тоолуурын тоогоор (3/4) үржүүлэх замаар шийдвэрлэх шаардлагатай.

Та асуудлын утгыг өөрчлөхгүйгээр доторх тоог хэд хэдэн удаа сольж болно, жишээлбэл, 9/10 м эсвэл 2 3/10 м гэх мэт.

Эдгээр асуудлууд нь ижил агуулгатай бөгөөд зөвхөн тоогоор ялгаатай тул тэдгээрийг шийдвэрлэхэд ашигласан үйлдлүүдийг бид ижил үг - үржүүлэх гэж нэрлэдэг.

Бүхэл тоог бутархайгаар хэрхэн үржүүлэх вэ?

Сүүлийн асуудалд тохиолдсон тоонуудыг авч үзье.

Тодорхойлолтоор бид 50-ийн 3/4-ийг олох ёстой. Эхлээд 50-ийн 1/4, дараа нь 3/4-ийг олъё.

50-ийн 1/4 нь 50/4;

50 тооны 3/4 нь .

Тиймээс.

Өөр нэг жишээг авч үзье: 12 5/8 =?

12-ын 1/8 нь 12/8,

12-ын 5/8 нь .

Тиймээс,

Эндээс бид дүрмийг олж авна:

Бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхийн тулд бүхэл тоог бутархайн хуваагчаар үржүүлж, энэ үржвэрийг тоологч болгож, энэ бутархайн хуваагчийг хуваагчаар тэмдэглэнэ.

Энэ дүрмийг үсгээр бичье:

Энэ дүрмийг бүрэн тодорхой болгохын тулд бутархайг категори гэж үзэж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс олдсон дүрмийг § 38-д заасан тоог хуваалтаар үржүүлэх дүрэмтэй харьцуулах нь ашигтай юм.

Үржүүлэхийн өмнө (боломжтой бол) хийх ёстой гэдгийг санах нь чухал. бууралтууд, Жишээ нь:

4. Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.Бутархайг бутархайгаар үржүүлэх нь бүхэл тоог бутархайгаар үржүүлэхтэй ижил утгатай, өөрөөр хэлбэл бутархайг бутархайгаар үржүүлэхдээ эхний бутархайгаас (үржүүлэх) хүчин зүйл дэх бутархайг олох хэрэгтэй.

Тухайлбал, 3/4-ийг 1/2 (хагас)-аар үржүүлэх нь 3/4-ийн талыг олох гэсэн үг юм.

Бутархайг бутархайгаар хэрхэн үржүүлэх вэ?

3/4-ийг 5/7-оор үржүүлсэн жишээг авч үзье. Энэ нь та 3/4-ийн 5/7-г олох хэрэгтэй гэсэн үг юм. Эхлээд 3/4-ийн 1/7, дараа нь 5/7-г олъё

3/4 тооны 1/7 нь дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

5/7 тоо 3/4 дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

Тиймээс,

Өөр нэг жишээ: 5/8-ийг 4/9-ээр үржүүлсэн.

5/8-ийн 1/9 нь ,

5/8 тооны 4/9 нь .

Тиймээс,

Эдгээр жишээнүүдээс дараахь дүрмийг гаргаж болно.

Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд хуваагчийг хуваагчаар, хуваагчийг хуваагчаар үржүүлж, эхний үржвэрийг хуваагч, хоёр дахь үржвэрийг үржвэрийн хуваарь болгох хэрэгтэй.

Энэ дүрмийг ерөнхий хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.

Үржүүлэх үед (боломжтой бол) бууралт хийх шаардлагатай. Жишээнүүдийг харцгаая:

5. Холимог тоог үржүүлэх.Холимог тоог буруу бутархайгаар хялбархан сольж болох тул холимог тоог үржүүлэхэд энэ нөхцөл байдлыг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нь үржүүлэгч, хүчин зүйл, эсвэл хоёуланг нь холимог тоогоор илэрхийлсэн тохиолдолд тэдгээрийг буруу бутархайгаар солино гэсэн үг юм. Жишээлбэл, холимог тоонуудыг үржүүлье: 2 1/2 ба 3 1/5. Тэдгээрийг тус бүрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь бутархайг бутархайгаар үржүүлэх дүрмийн дагуу үүссэн бутархайг үржүүлье.

Дүрэм.Холимог тоог үржүүлэхийн тулд эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь бутархайг бутархайгаар үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.

Анхаарна уу.Хэрэв хүчин зүйлсийн аль нэг нь бүхэл тоо байвал үржүүлэх үйлдлийг тархалтын хуульд үндэслэн дараах байдлаар хийж болно.

6. Ашиг сонирхлын тухай ойлголт.Асуудлыг шийдвэрлэх, янз бүрийн практик тооцоолол хийхдээ бид бүх төрлийн бутархайг ашигладаг. Гэхдээ олон тоо хэмжээ нь зөвхөн ямар ч биш, харин байгалийн хуваагдлыг зөвшөөрдөг гэдгийг санах нь зүйтэй. Жишээлбэл, та рублийн зуутын нэгийг (1/100) авч болно, энэ нь нэг копейк, хоёр зуутын нэг нь 2 копейк, гурван зуун хувь нь 3 копейк болно. Та рублийн 1/10-ийг авч болно, энэ нь "10 копейк, эсвэл арван копейк хэсэг болно. Та рублийн дөрөвний нэг, өөрөөр хэлбэл 25 копейк, хагас рубль, өөрөөр хэлбэл 50 копейк (тавин копейк) авч болно. Гэхдээ Тэд үүнийг бараг авдаггүй, жишээлбэл, рублийн 2/7, учир нь рубль нь долоод хуваагддаггүй.

Жингийн нэгж, өөрөөр хэлбэл килограмм нь үндсэндээ аравтын бутархай, жишээлбэл 1/10 кг, эсвэл 100 г-ыг зөвшөөрдөг бөгөөд 1/6, 1/11, 1/13 гэх мэт килограммуудын фракцууд нийтлэг байдаггүй.

Ерөнхийдөө бидний (хэмжих) хэмжүүрүүд аравтын бутархай бөгөөд аравтын бутархай хуваахыг зөвшөөрдөг.

Гэсэн хэдий ч хэмжигдэхүүнийг хуваах ижил (нэгдмэл) аргыг ашиглах нь маш ашигтай бөгөөд олон янзын тохиолдолд тохиромжтой гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Олон жилийн туршлагаас харахад ийм үндэслэлтэй хуваагдал бол “зуу дахь” хуваагдал юм. Хүний практикийн хамгийн олон талбартай холбоотой хэд хэдэн жишээг авч үзье.

1. Номын үнэ өмнөх үнээсээ 12/100 хувиар буурсан байна.

Жишээ. Номын өмнөх үнэ 10 рубль байсан. Энэ нь 1 рублиэр буурсан. 20 копейк

2. Хадгаламжийн банкууд хадгаламж эзэмшигчдэд тухайн жилийн хадгаламжийн мөнгөн дүнгийн 2/100 хувийг төлдөг.

Жишээ. Бэлэн мөнгөний бүртгэлд 500 рубль байршуулсан бөгөөд энэ дүнгээс жилийн орлого нь 10 рубль байна.

3. Нэг сургуулийг төгсөгчдийн тоо нийт сурагчдын 5/100 хувийг эзэлж байна.

ЖИШЭЭ Тус сургуульд ердөө 1200 сурагч байснаас 60 нь төгссөн.

Тооны зуу дахь хэсгийг хувь гэж нэрлэдэг.

"Хувь" гэдэг үг нь латин хэлнээс зээлсэн бөгөөд "цент" нь зуу гэсэн утгатай. Угтвар үгтэй (pro centum) хамт энэ үг нь "зуун" гэсэн утгатай. Энэ хэллэгийн утга нь анх Эртний Ромд хүү нь зээлдэгчийн зээлдүүлэгчид "зуу тутамд" төлдөг мөнгийг нэрлэж байсантай холбоотой юм. "Цент" гэдэг үгийг ийм танил үгсээр сонсдог: центнер (нэг зуун килограмм), сантиметр (сантиметр гэж хэлэх).

Жишээлбэл, өнгөрсөн сарын хугацаанд үйлдвэр нийт бүтээгдэхүүнийхээ 1/100-ийг гэмтэлтэй гэж хэлэхийн оронд сүүлийн нэг сарын хугацаанд үйлдвэр нэг хувийн доголдолтой үйлдвэрлэсэн гэж хэлэх болно. Завод тогтоосон планаас 4/100 илүү бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэсэн гэж хэлэхийн оронд: завод төлөвлөгөөг 4 хувь давуулан биелүүлсэн.

Дээрх жишээнүүдийг өөрөөр илэрхийлж болно.

1. Номын үнэ өмнөх үнээс 12 хувиар буурсан байна.

2. Хадгаламжийн банкууд хадгаламж эзэмшигчдэд хадгаламжид байршуулсан мөнгөн дүнгээс жилд 2 хувийн төлбөр төлдөг.

3. Нэг сургуулийг төгсөгчдийн тоо нийт сургуулийн сурагчдын 5 хувийг эзэлж байна.

Үсгийг товчлохын тулд "хувь" гэсэн үгийн оронд % тэмдэг бичдэг заншилтай.

Гэсэн хэдий ч, тооцоололд% тэмдэг нь ихэвчлэн бичдэггүй гэдгийг санах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь асуудлын мэдэгдэл болон эцсийн үр дүнд бичигдэж болно. Тооцоолол хийхдээ энэ тэмдэг бүхий бүхэл тооны оронд 100 хуваагчтай бутархай бичих хэрэгтэй.

Та заасан дүрс бүхий бүхэл тоог 100 хуваагчтай бутархайгаар солих чадвартай байх шаардлагатай.

Үүний эсрэгээр та 100 хуваагчтай бутархайн оронд заасан тэмдэг бүхий бүхэл тоо бичиж хэвших хэрэгтэй.

7. Өгөгдсөн тооны хувийг олох.

Даалгавар 1.Сургууль 200 шоо метр талбайг хүлээн авсан. м түлээ, хус түлээ 30%-ийг эзэлдэг. Хэр их хус түлээ байсан бэ?

Энэ асуудлын утга нь хус түлээ нь сургуульд хүргэгдсэн түлээний зөвхөн нэг хэсгийг бүрдүүлдэг бөгөөд энэ хэсгийг 30/100 фракцаар илэрхийлдэг. Энэ нь бид тооны бутархайг олох даалгавартай гэсэн үг юм. Үүнийг шийдэхийн тулд бид 200-ыг 30/100-аар үржүүлэх ёстой (тооны бутархайг олох асуудлыг тухайн тоог бутархайгаар үржүүлэх замаар шийддэг).

Энэ нь 200-ийн 30% нь 60-тай тэнцүү гэсэн үг юм.

Энэ асуудалд тулгарсан 30/100 бутархайг 10-аар бууруулж болно. Энэ бууралтыг эхнээс нь хийх боломжтой; асуудлын шийдэл өөрчлөгдөхгүй байх байсан.

Даалгавар 2.Зусланд янз бүрийн насны 300 хүүхэд байсан. 11 настай хүүхдүүд 21%, 12 настай хүүхдүүд 61%, эцэст нь 13 настай хүүхдүүд 18% байна. Зусланд насны ангиллаар хэдэн хүүхэд байсан бэ?

Энэ асуудалд та гурван тооцоолол хийх хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 11 настай, дараа нь 12 настай, эцэст нь 13 настай хүүхдүүдийн тоог дарааллаар нь олох хэрэгтэй.

Энэ нь энд та гурван удаа тооны бутархайг олох хэрэгтэй болно гэсэн үг юм. Үүнийг хийцгээе:

1) Тэнд 11 настай хэдэн хүүхэд байсан бэ?

2) 12 настай хэдэн хүүхэд байсан бэ?

3) 13 настай хэдэн хүүхэд байсан бэ?

Асуудлыг шийдсэний дараа олсон тоонуудыг нэмэх нь ашигтай; Тэдний нийлбэр 300 байх ёстой:

63 + 183 + 54 = 300

Асуудлын мэдэгдэлд өгсөн хувь хэмжээний нийлбэр нь 100 байна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

21% + 61% + 18% = 100%

Үүнээс үзэхэд зусланд хамрагдах нийт хүүхдийн тоог 100 хувь авсан байна.

3 a d a h a 3.Ажилчин сард 1200 рубль авдаг байсан. Үүний 65 хувийг хоол хүнсэндээ, 6 хувийг орон сууц, халаалтад, 4 хувийг хий, цахилгаан, радиод, 10 хувийг соёлын хэрэгцээнд зарцуулж, 15 хувийг хэмнэж байжээ. Асуудалд заасан хэрэгцээнд хэдэн төгрөг зарцуулсан бэ?

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд 1200-ын бутархайг 5 удаа олох хэрэгтэй.

1) Хоолонд хэр их мөнгө зарцуулсан бэ? Асуудал нь энэ зардал нь нийт орлогын 65%, өөрөөр хэлбэл 1200-ийн 65/100 нь гэсэн тооцоог хийцгээе.

2) Халаалттай орон сууцанд хэдэн төгрөг төлсөн бэ? Өмнөхтэй адил үндэслэлээр бид дараах тооцоонд хүрнэ.

3) Та хий, цахилгаан, радиод хэдэн төгрөг төлсөн бэ?

4) Соёлын хэрэгцээнд хэр их мөнгө зарцуулсан бэ?

5) Ажилчин хэр их мөнгө хэмнэсэн бэ?

Шалгахын тулд эдгээр 5 асуултанд байгаа тоонуудыг нэмэх нь ашигтай. Дүн нь 1200 рубль байх ёстой. Бүх орлогыг 100% гэж авдаг бөгөөд энэ нь асуудлын тайланд өгөгдсөн хувийн тоог нэмэх замаар шалгахад хялбар байдаг.

Бид гурван асуудлыг шийдсэн. Эдгээр асуудлыг янз бүрийн зүйл (сургуулийн түлээ нийлүүлэх, янз бүрийн насны хүүхдүүдийн тоо, ажилчдын зардал) шийдэж байсан ч ижил аргаар шийдсэн. Бүх асуудалд өгөгдсөн тооны хэдэн хувийг олох шаардлагатай байсан тул ийм зүйл тохиолдсон.

§ 90. Бутархайн хуваагдал.

Бутархай хуваагдлыг судлахдаа бид дараах асуултуудыг авч үзэх болно.

1. Бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваа.
2. Бутархайг бүхэл тоонд хуваах
3. Бүхэл тоог бутархайд хуваах.
4. Бутархайг бутархайд хуваах.
5. Холимог тоог хуваах.
6. Өгөгдсөн бутархайгаас тоог олох.
7. Тоог хувиар нь олох.

Тэдгээрийг дарааллаар нь авч үзье.

1. Бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваа.

Бүхэл тоонуудын тухай хэсэгт дурдсанчлан хуваах гэдэг нь хоёр хүчин зүйл (ногдол ашиг) ба эдгээр хүчин зүйлсийн аль нэг (хуваагч) үржвэрийг харгалзан өөр хүчин зүйл олдсоноос бүрдэх үйлдэл юм.

Бид бүхэл тоонуудын тухай хэсэгт бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваахыг үзсэн. Бид тэнд хуваагдах хоёр тохиолдолтой тулгарсан: үлдэгдэлгүй хуваах буюу "бүхэлдээ" (150: 10 = 15), үлдэгдэлтэй хуваах (100: 9 = 11 ба 1 үлдэгдэл). Тиймээс бид бүхэл тооны салбарт яг хуваах нь үргэлж боломжгүй байдаг, учир нь ногдол ашиг нь бүхэл тоонд хуваагчийн үржвэр биш юм. Бутархайгаар үржүүлэх аргыг оруулсны дараа бид бүхэл тоог хуваах боломжтой (зөвхөн тэг хуваахыг хассан) гэж үзэж болно.

Жишээлбэл, 7-г 12-т хуваана гэдэг нь 12-оор үржвэр нь 7-той тэнцэх тоог олно гэсэн үг. Ийм тоо нь 7/12 12 = 7 учраас 7/12 бутархай юм. Өөр нэг жишээ: 14: 25 = 14/25, учир нь 14/25 25 = 14.

Тиймээс бүхэл тоог бүхэл тоонд хуваахын тулд хуваагч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагчтай тэнцүү бутархай үүсгэх хэрэгтэй.

2. Бутархайг бүхэл тоонд хуваах.

6/7-ийн бутархайг 3-т хуваана. Дээр өгөгдсөн хуваалтын тодорхойлолтын дагуу бид энд бүтээгдэхүүн (6/7) ба хүчин зүйлсийн аль нэг нь (3) байна; 3-аар үржүүлбэл өгөгдсөн үржвэрийг 6/7 өгөх хоёр дахь хүчин зүйлийг олох шаардлагатай. Мэдээжийн хэрэг, энэ бүтээгдэхүүнээс гурав дахин бага байх ёстой. Энэ нь бидний өмнө тавьсан зорилт бол 6/7 бутархайг 3 дахин багасгах явдал байсан гэсэн үг юм.

Бутархайг багасгахын тулд түүний тоог багасгах эсвэл хуваагчийг нэмэгдүүлэх замаар хийж болно гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Тиймээс та бичиж болно:

Энэ тохиолдолд тоологч 6 нь 3-т хуваагддаг тул тоологчийг 3 дахин багасгах хэрэгтэй.

Өөр нэг жишээ авъя: 5/8-ыг 2-т хуваана. Энд 5-ын тоологч нь 2-т хуваагдахгүй, энэ нь хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлэх шаардлагатай болно гэсэн үг юм.

Үүний үндсэн дээр дараахь дүрмийг гаргаж болно. Бутархайг бүхэл тоонд хуваахын тулд бутархайн хуваагчийг бүхэл тоонд хуваах хэрэгтэй.(боломжтой бол), ижил хуваагчийг үлдээх, эсвэл бутархайн хуваагчийг энэ тоогоор үржүүлж, ижил хуваагчийг үлдээнэ.

3. Бүхэл тоог бутархайд хуваах.

5-ыг 1/2-т хуваах шаардлагатай байг, өөрөөр хэлбэл 1/2-оор үржүүлсний дараа үржвэр 5 гарах тоог ол. 1/2 нь зөв бутархай тул энэ тоо 5-аас их байх нь ойлгомжтой. , мөн тоог үржүүлэхдээ зохих бутархайн үржвэр нь үржүүлж буй үржвэрээс бага байх ёстой. Үүнийг илүү ойлгомжтой болгохын тулд үйлдлээ дараах байдлаар бичье: 5: 1/2 = X , энэ нь x 1/2 = 5 гэсэн үг.

Бид ийм тоог олох ёстой X , хэрэв 1/2-оор үржүүлбэл 5 болно. Тодорхой тоог 1/2-оор үржүүлэх нь энэ тооны 1/2-ийг олох гэсэн үг тул үл мэдэгдэх тооны 1/2 болно. X 5, бүхэл тоотой тэнцүү байна X хоёр дахин их, өөрөөр хэлбэл 5 2 = 10.

Тэгэхээр 5: 1/2 = 5 2 = 10

Шалгацгаая:

Өөр нэг жишээг харцгаая. Та 6-г 2/3-т хуваахыг хүсч байна гэж бодъё. Эхлээд зургийг ашиглан хүссэн үр дүнг олохыг хичээцгээе (Зураг 19).

Зураг 19

6 нэгжтэй тэнцүү AB хэрчмийг зурж, нэгж бүрийг 3 тэнцүү хэсэгт хуваацгаая. Нэгж бүрт AB сегментийн гуравны гурав (3/3) нь 6 дахин их, өөрөөр хэлбэл. e. 18/3. Жижиг хаалт ашиглан бид 2-ын 18 сегментийг холбодог; Зөвхөн 9 хэсэг байх болно. Энэ нь 2/3 бутархай нь 6 нэгжид 9 удаа агуулагддаг, өөрөөр хэлбэл 2/3 хэсэг нь 6 бүхэл нэгжээс 9 дахин бага гэсэн үг юм. Тиймээс,

Зөвхөн тооцоолол ашиглан зураг зурахгүйгээр энэ үр дүнг хэрхэн гаргах вэ? Ингэж тайлбарлая: бид 6-г 2/3-т хуваах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 6-д 2/3 нь хэдэн удаа агуулагддаг вэ гэсэн асуултанд хариулах хэрэгтэй. Эхлээд олж мэдье: 1/3 нь 6-д хэдэн удаа агуулагддаг вэ? Бүхэл бүтэн нэгжид гуравны 3, 6 нэгжид 6 дахин их, өөрөөр хэлбэл гуравны 18; Энэ тоог олохын тулд бид 6-г 3-аар үржүүлэх ёстой. Энэ нь 1/3 нь b нэгжид 18 удаа, 2/3 нь b нэгжид 18 удаа биш, харин хоёр дахин олон удаа, өөрөөр хэлбэл 18: 2 = 9 байна гэсэн үг юм. Тиймээс 6-г 2/3-т хуваахдаа бид дараах зүйлийг хийсэн.

Эндээс бид бүхэл тоог бутархайд хуваах дүрмийг олж авна. Бүхэл тоог бутархайд хуваахын тулд та энэ бүхэл тоог өгөгдсөн бутархайн хуваагчаар үржүүлж, энэ үржвэрийг тоологч болгож, өгөгдсөн бутархайн хүртэгчдэд хуваах хэрэгтэй.

Үсэг ашиглан дүрмийг бичье.

Энэ дүрмийг бүрэн тодорхой болгохын тулд бутархайг категори гэж үзэж болно гэдгийг санах нь зүйтэй. Тиймээс олдсон дүрмийг § 38-д заасан тоог хуваах дүрэмтэй харьцуулах нь ашигтай юм. Тэнд ижил томъёог олж авсныг анхаарна уу.

Хуваахдаа товчлол хийх боломжтой, жишээлбэл:

4. Бутархайг бутархайд хуваах.

3/4-ийг 3/8-д хуваах хэрэгтэй гэж бодъё. Хуваалтын үр дүнд гарах тоо юу гэсэн үг вэ? Энэ нь 3/8 бутархай 3/4-т хэдэн удаа агуулагдаж байна вэ гэсэн асуултанд хариулах болно. Энэ асуудлыг ойлгохын тулд зураг зуръя (Зураг 20).

AB хэрчмийг аваад нэг гэж аваад 4 тэнцүү хэсэгт хувааж, ийм 3 хэсгийг тэмдэглэе. AC сегмент нь AB сегментийн 3/4-тэй тэнцүү байх болно. Одоо дөрвөн анхны сегмент тус бүрийг хагасаар хуваавал AB сегмент нь 8 тэнцүү хэсэгт хуваагдах ба ийм хэсэг бүр нь AB сегментийн 1/8-тай тэнцүү байх болно. Ийм 3 сегментийг нумаар холбоно, тэгвэл AD ба DC сегмент тус бүр нь AB сегментийн 3/8-тай тэнцэнэ. Зураг нь 3/8-тай тэнцүү сегментийг 3/4-тэй тэнцүү сегментэд яг 2 удаа агуулж байгааг харуулж байна; Энэ нь хуваалтын үр дүнг дараах байдлаар бичиж болно гэсэн үг юм.

3 / 4: 3 / 8 = 2

Өөр нэг жишээг харцгаая. 15/16-г 3/32-т хуваах хэрэгтэй гэж бодъё:

Бид ингэж хэлж болно: 3/32-оор үржүүлсний дараа 15/16-тай тэнцэх үржвэрийг өгөх тоог олох хэрэгтэй. Тооцооллыг дараах байдлаар бичье.

15 / 16: 3 / 32 = X

3 / 32 X = 15 / 16

3/32 үл мэдэгдэх тоо X 15/16 байна

Үл мэдэгдэх тооны 1/32 X нь,

32/32 тоо X бүрдүүлэх.

Тиймээс,

Тиймээс бутархайг бутархайд хуваахын тулд эхний бутархайг хоёр дахь хуваагчаар үржүүлж, эхний бутархайг хоёр дахь хуваагчаар үржүүлж, эхний үржвэрийг тоологч болгох хэрэгтэй. ба хоёр дахь нь хуваагч.

Үсэг ашиглан дүрмийг бичье.

Хуваахдаа товчлол хийх боломжтой, жишээлбэл:

5. Холимог тоог хуваах.

Холимог тоог хуваахдаа эхлээд буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь үүссэн бутархайг бутархай хуваах дүрмийн дагуу хуваах ёстой. Нэг жишээг харцгаая:

Холимог тоог буруу бутархай болгон хөрвүүлье:

Одоо хувааж үзье:

Тиймээс холимог тоонуудыг хуваахын тулд тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь бутархай хуваах дүрмийг ашиглан хуваах хэрэгтэй.

6. Өгөгдсөн бутархайгаас тоог олох.

Төрөл бүрийн бутархай бодлогуудын дунд заримдаа үл мэдэгдэх тооны зарим бутархайн утгыг өгдөг асуудлууд байдаг бөгөөд та энэ тоог олох хэрэгтэй. Энэ төрлийн бодлого нь өгөгдсөн тооны бутархайг олох бодлогын урвуу байх болно; тэнд тоо өгсөн бөгөөд энэ тооны зарим хэсгийг олох шаардлагатай байсан, энд тооны бутархай өгсөн бөгөөд энэ тоог өөрөө олох шаардлагатай байв. Энэ төрлийн асуудлыг шийдэхээр хандвал энэ санаа улам тодорхой болно.

Даалгавар 1.Эхний өдөр шиллэгээчид 50 цонхны шиллэгээ хийсэн нь баригдсан байшингийн бүх цонхны 1/3 нь юм. Энэ байшинд хэдэн цонх байдаг вэ?

Шийдэл.Асуудал нь 50 бүрхүүлтэй цонх нь байшингийн бүх цонхны 1/3-ийг эзэлдэг бөгөөд энэ нь нийт цонхны хэмжээ 3 дахин их байна гэсэн үг юм.

Энэ байшин 150 цонхтой байв.

Даалгавар 2.Тус дэлгүүрт 1500 кг гурил борлуулсан нь нийт гурилын нөөцийн 3/8 нь болж байна. Дэлгүүрийн гурилын нөөц ямар байсан бэ?

Шийдэл.Асуудлын нөхцлөөс харахад борлуулсан гурилын 1500 кг нь нийт нөөцийн 3/8 хувийг эзэлдэг; Энэ нь энэ нөөцийн 1/8 нь 3 дахин бага байх болно, өөрөөр хэлбэл үүнийг тооцоолохын тулд 1500-г 3 дахин багасгах шаардлагатай болно.

1500: 3 = 500 (энэ нь нөөцийн 1/8).

Мэдээжийн хэрэг, нийт нийлүүлэлт 8 дахин их байх болно. Тиймээс,

500 8 = 4000 (кг).

Дэлгүүрийн гурилын анхны нөөц 4000 кг байсан.

Энэ асуудлыг авч үзээд дараах дүрмийг гаргаж болно.

Түүний бутархайн өгөгдсөн утгаас тоог олохын тулд энэ утгыг бутархайн хуваагчаар хувааж, үр дүнг бутархайн хуваагчаар үржүүлэхэд хангалттай.

Бутархай өгөгдсөн тоог олох хоёр асуудлыг бид шийдсэн. Сүүлийнхээс харахад ийм асуудлуудыг хоёр үйлдлээр шийддэг: хуваах (нэг хэсэг олдох үед) ба үржүүлэх (бүхэл тоо олдох үед).

Гэсэн хэдий ч бид бутархайг хуваахыг сурсны дараа дээрх асуудлыг нэг үйлдлээр шийдэж болно, тухайлбал: бутархайд хуваах.

Жишээлбэл, сүүлийн даалгаврыг дараах байдлаар нэг үйлдлээр шийдэж болно.

Ирээдүйд бид түүний бутархайгаас тоог олох асуудлыг нэг үйлдэл - хуваах замаар шийдэх болно.

7. Тоог хувиар нь олох.

Эдгээр асуудлуудад та энэ тооны хэдэн хувийг мэддэг тоог олох хэрэгтэй болно.

Даалгавар 1.Энэ оны эхээр би хадгаламжийн банкнаас 60 рубль авсан. жилийн өмнө миний хадгаламжинд хийсэн орлого. Би хадгаламжийн банкинд хэдэн төгрөг хийсэн бэ? (Кассууд нь хадгаламж эзэмшигчдэд жилд 2% өгөөж өгдөг.)

Асуудлын гол нь хадгаламжийн банкинд тодорхой хэмжээний мөнгө хийгээд нэг жил суусан. Жилийн дараа би түүнээс 60 рубль авсан. орлого, энэ нь миний байршуулсан мөнгөний 2/100 нь юм. Би хичнээн их мөнгө оруулсан бэ?

Тиймээс, энэ мөнгөний нэг хэсгийг хоёр янзаар (рубль ба фракцаар) илэрхийлсэн тул бид хараахан тодорхойгүй байгаа дүнг бүхэлд нь олох ёстой. Энэ бол бутархай тоог олох энгийн асуудал юм. Дараах асуудлуудыг хуваах замаар шийддэг.

Энэ нь хадгаламжийн банкинд 3000 рубль байршуулсан гэсэн үг юм.

Даалгавар 2.Загасчид хоёр долоо хоногт 512 тонн загас хураан авч, сарын төлөвлөгөөгөө 64 хувиар биелүүлжээ. Тэдний төлөвлөгөө юу байсан бэ?

Асуудлын нөхцлөөс харахад загасчид төлөвлөгөөний нэг хэсгийг биелүүлсэн нь мэдэгдэж байна. Энэ хэсэг нь 512 тонн буюу төлөвлөгөөний 64 хувьтай тэнцэж байна. Төлөвлөгөөний дагуу хэдэн тонн загас бэлтгэх ёстойг бид мэдэхгүй. Энэ тоог олох нь асуудлыг шийдэх гарц болно.

Ийм асуудлыг дараахь байдлаар шийддэг.

Төлөвлөгөөний дагуу 800 тонн загас бэлтгэх шаардлагатай гэсэн үг.

Даалгавар 3.Галт тэрэг Ригагаас Москва руу явсан. Түүнийг 276 дахь километрийн замыг туулахад зорчигчдын нэг нь хажуугаар өнгөрч буй кондуктороос хэдийг нь туулсан гэж асуув. Үүнд кондуктор: "Бид бүх аяллын 30 хувийг туулсан" гэж хариулав. Ригагаас Москва хүртэлх зай хэд вэ?

Асуудлын нөхцөл байдлаас харахад Ригагаас Москва хүртэлх замын 30% нь 276 км байдаг. Бид эдгээр хотуудын хоорондох зайг бүхэлд нь олох хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл энэ хэсгийн хувьд бүхэлд нь олох хэрэгтэй.

§ 91. Харилцан тоо. Хуваалтыг үржүүлэх замаар орлуулах.

2/3-ын бутархайг авч, хуваагчийн оронд хуваагчийг орлуулъя, бид 3/2-ыг авна. Бид энэ бутархайн урвуу хэсгийг авсан.

Өгөгдсөн бутархайн урвуу бутархайг авахын тулд хуваагчийн оронд хуваагчийг, хуваарийн оронд хуваагчийг тавих хэрэгтэй. Ийм байдлаар бид дурын бутархайн хариуг авч болно. Жишээ нь:

3/4, урвуу 4/3; 5/6, урвуу 6/5

Эхнийхийн хуваагч нь хоёр дахь хуваагч, эхнийх нь хуваагч нь хоёр дахь хэсгийн хуваагч байх шинж чанартай хоёр бутархайг гэнэ. харилцан урвуу.

Одоо 1/2-ийн эсрэг ямар бутархай байх талаар бодож үзье. Мэдээжийн хэрэг, энэ нь 2 / 1, эсвэл зүгээр л 2 байх болно. Өгөгдсөн нэгийн урвуу бутархайг хайснаар бид бүхэл тоо авсан. Мөн энэ хэрэг тусгаарлагдаагүй; эсрэгээр, 1 (нэг) тоологчтой бүх бутархайн хувьд эсрэг тал нь бүхэл тоо байх болно, жишээлбэл:

1/3, урвуу 3; 1/5, урвуу 5

Харилцан бутархайг олохдоо бид бүхэл тоотой тулгарсан тул дараа нь бид харилцан бутархайн тухай биш харин эсрэг тоонуудын тухай ярих болно.

Бүхэл тооны урвуу тоог хэрхэн бичихийг олж мэдье. Бутархайн хувьд үүнийг энгийнээр шийдэж болно: та хуваагчийг тоологчийн оронд тавих хэрэгтэй. Үүнтэй адилаар та бүхэл тоон урвуу утгыг авч болно, учир нь ямар ч бүхэл тоо 1-ийн хуваагчтай байж болно. Энэ нь 7-ийн урвуу нь 1/7 болно гэсэн үг юм, учир нь 7 = 7/1; 10-ийн тооны хувьд урвуу нь 1/10 байх болно, учир нь 10 = 10/1

Энэ санааг өөрөөр илэрхийлж болно: өгөгдсөн тооны эсрэг тоог нэгийг өгөгдсөн тоонд хуваах замаар олно. Энэ мэдэгдэл нь зөвхөн бүхэл тоонд төдийгүй бутархайн хувьд ч үнэн юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид 5/9 бутархайн урвууг бичих шаардлагатай бол 1-ийг аваад 5/9-д хувааж болно, өөрөөр хэлбэл.

Одоо нэг зүйлийг онцолж хэлье өмчхарилцан тоо, энэ нь бидэнд ашигтай байх болно: харилцан тоонуудын үржвэр нь нэгтэй тэнцүү байна.Үнэндээ:

Энэ шинж чанарыг ашиглан бид дараах байдлаар харилцан тоонуудыг олж болно. 8-ын урвуу тоог олох хэрэгтэй гэж бодъё.

Үүнийг үсгээр тэмдэглэе X , дараа нь 8 X = 1, тиймээс X = 1/8. 7/12-ын урвуу тоо болох өөр тоог олоод үсгээр тэмдэглэе X , дараа нь 7/12 X = 1, тиймээс X = 1: 7/12 эсвэл X = 12 / 7 .

Бутархай хуваах тухай мэдээллийг бага зэрэг нэмэхийн тулд бид эсрэг тоонуудын тухай ойлголтыг энд оруулав.

6-ын тоог 3/5-д хуваахдаа бид дараахь зүйлийг хийнэ.

Илэрхийлэлд онцгой анхаарал хандуулж, өгөгдсөнтэй харьцуулна уу: .

Хэрэв бид илэрхийллийг өмнөхтэй нь холбоогүйгээр тусад нь авч үзвэл энэ нь хаанаас ирсэн тухай асуултыг шийдэх боломжгүй юм: 6-г 3/5-аар хуваах эсвэл 6-г 5/3-аар үржүүлэх. Хоёр тохиолдолд ижил зүйл тохиолддог. Тиймээс бид хэлж чадна нэг тоог нөгөө тоонд хуваах нь ногдол ашгийг хуваагчийн урвуугаар үржүүлж сольж болно.

Бидний доор өгсөн жишээнүүд энэ дүгнэлтийг бүрэн баталж байна.

Бутархайг үржүүлэх, хуваах.

Анхаар!
Нэмэлт байдаг
555-р тусгай хэсгийн материал.
Маш "их биш..." хүмүүст зориулав.
Мөн "маш их ..." гэсэн хүмүүст)

Энэ үйлдэл нь нэмэх хасахаас хамаагүй гоё! Учир нь энэ нь илүү хялбар байдаг. Сануулахад, бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд та тоологч (энэ нь үр дүнгийн тоо байх болно) болон хуваагчийг (энэ нь хуваагч болно) үржүүлэх хэрэгтэй. Энэ нь:

Жишээ нь:

Бүх зүйл туйлын энгийн. Мөн нийтлэг хуваагч хайх хэрэггүй! Энд түүнд ямар ч хэрэггүй ...

Бутархайг бутархайд хуваахын тулд буцаах хэрэгтэй хоёрдугаарт(энэ нь чухал!) бутархай ба тэдгээрийг үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл:

Жишээ нь:

Хэрэв та бүхэл тоо, бутархайгаар үржүүлэх, хуваах үйлдэлтэй таарвал зүгээр. Нэмэлтийн нэгэн адил бид хуваарьт нэгтэй бүхэл тооноос бутархай гаргаж, цаашаа яваарай! Жишээ нь:

Ахлах сургуульд байхдаа та ихэвчлэн гурван давхар (эсвэл бүр дөрвөн давхар!) фракцтай тулгарах хэрэгтэй болдог. Жишээ нь:

Би яаж энэ фракцыг зохистой харагдуулах вэ? Тийм ээ, маш энгийн! Хоёр цэгийн хуваалтыг ашигла:

Гэхдээ хуваах дарааллыг мартаж болохгүй! Үржүүлэхээс ялгаатай нь энэ нь энд маш чухал юм! Мэдээж 4:2, 2:4-ийг андуурахгүй. Гэхдээ гурван давхарт алдаа гаргахад амархан. Жишээ нь анхаарна уу:

Эхний тохиолдолд (зүүн талд байгаа илэрхийлэл):

Хоёрдугаарт (баруун талд байгаа илэрхийлэл):

Та ялгааг мэдэрч байна уу? 4 ба 1/9!

Хуваах дарааллыг юу тодорхойлдог вэ? Хаалттай эсвэл (энд байгаа шиг) хэвтээ шугамын урттай. Нүдээ хөгжүүл. Хэрэв хаалт эсвэл зураас байхгүй бол дараах байдалтай байна.

дараа нь хувааж, үржүүлнэ дарааллаар, зүүнээс баруун тийш!

Мөн өөр нэг маш энгийн бөгөөд чухал техник. Зэрэгтэй үйлдлүүдэд энэ нь танд маш их хэрэгтэй байх болно! Нэгийг дурын бутархайд хуваая, жишээлбэл, 13/15:

Буудлага эргэсэн! Мөн энэ нь үргэлж тохиолддог. 1-ийг дурын бутархайд хуваахад үр дүн нь ижил бутархай, зөвхөн урвуу байна.

Энэ нь бутархайтай үйлдлүүд юм. Энэ нь маш энгийн, гэхдээ энэ нь хангалттай алдаа гаргадаг. Практик зөвлөгөөг анхаарч үзээрэй, тэгвэл тэдний тоо (алдаа) бага байх болно!

Практик зөвлөмжүүд:

1. Бутархай илэрхийлэлтэй ажиллахад хамгийн чухал зүйл бол нарийвчлал, анхааралтай байх явдал юм! Эдгээр нь ерөнхий үгс биш, сайн сайхан хүсэл биш юм! Энэ бол туйлын хэрэгцээ юм! Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх тооцоог бүрэн, төвлөрсөн, тодорхой даалгавар болгон хий. Оюун санааны тооцоо хийхдээ будилахаас илүү хоёр мөрийг ноорог дээр бичсэн нь дээр.

2. Янз бүрийн төрлийн бутархайтай жишээн дээр бид энгийн бутархай руу шилждэг.

3. Бид бүх бутархайг зогсоох хүртэл бууруулна.

4. Бид олон түвшний бутархай илэрхийллийг хоёр цэгээр хуваах замаар энгийн болгон бууруулна (бид хуваах дарааллыг дагаж мөрддөг!).

5. Нэгжийг толгойдоо бутархайгаар хуваагаад зүгээр л бутархайг эргүүл.

Энд таны заавал биелүүлэх ёстой ажлууд байна. Бүх даалгаврын дараа хариултуудыг өгдөг. Энэ сэдвээр материал, практик зөвлөмжийг ашиглана уу. Та хичнээн жишээг зөв шийдэж чадсанаа тооцоол. Яг анх удаа! Тооцоологчгүйгээр! Тэгээд зөв дүгнэлт хий...

Санаж байна уу - зөв хариулт Хоёр дахь (ялангуяа гурав дахь) удаад хүлээн авсан нь тооцогдохгүй!Ийм л хатуу амьдрал.

Тэгэхээр, шалгалтын горимоор шийдвэрлэх ! Дашрамд хэлэхэд энэ нь улсын нэгдсэн шалгалтанд аль хэдийн бэлтгэгдсэн байна. Бид жишээг шийдэж, шалгаад дараагийнхыг нь шийднэ. Бид бүгдийг шийдсэн - эхнээс нь сүүлчийнх хүртэл дахин шалгасан. Тэгээд зөвхөн Дараа ньхариултуудыг харна уу.

Тооцоолох:

Та шийдсэн үү?

Бид танд тохирсон хариултуудыг хайж байна. Би тэднийг зориудаар эмх замбараагүй, уруу таталтаас холдуулан бичлээ... Энд хариултууд нь цэг таслалтай бичигдсэн байна.

0; 17/22; 3/4; 2/5; 1; 25.

Одоо бид дүгнэлт хийж байна. Хэрэв бүх зүйл амжилттай болсон бол би танд баяртай байна! Бутархайтай үндсэн тооцоо нь таны асуудал биш юм! Та илүү ноцтой зүйлийг хийж чадна. Үгүй бол...

Тэгэхээр танд хоёр асуудлын нэг байна. Эсвэл хоёулаа нэг дор.) Мэдлэг дутмаг ба (эсвэл) анхаарал болгоомжгүй байдал. Гэхдээ... Энэ шийдвэрлэх боломжтой асуудлууд.

Хэрэв танд энэ сайт таалагдаж байвал...

Дашрамд хэлэхэд, надад танд зориулж хэд хэдэн сонирхолтой сайт байна.)

Та жишээ шийдвэрлэх дадлага хийж, өөрийнхөө түвшинг олж мэдэх боломжтой. Шуурхай баталгаажуулалт бүхий туршилт. Сурцгаая - сонирхолтой!)

Та функц, деривативтай танилцах боломжтой.

Хамгийн сүүлд бид бутархайг хэрхэн нэмэх, хасах талаар сурсан ("Бутархай нэмэх, хасах" хичээлийг үзнэ үү). Эдгээр үйлдлүүдийн хамгийн хэцүү хэсэг нь бутархайг нийтлэг хуваарьт хүргэх явдал байв.

Одоо үржүүлэх, хуваах асуудлыг шийдэх цаг болжээ. Сайн мэдээ гэвэл эдгээр үйлдлүүд нь нэмэх, хасахаас ч хялбар байдаг. Эхлээд салангид бүхэл тоогүй хоёр эерэг бутархай байх хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье.

Хоёр бутархайг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн тоо болон хуваагчийг тусад нь үржүүлэх ёстой. Эхний тоо нь шинэ бутархайн хуваагч, хоёр дахь нь хуваагч байх болно.

Хоёр бутархайг хуваахын тулд та эхний бутархайг "урвуу" хоёр дахь бутархайгаар үржүүлэх хэрэгтэй.

Зориулалт:

Тодорхойлолтоос харахад бутархайг хуваах нь үржүүлэхэд хүргэдэг. Бутархайг "эрвүүлэх" тулд тоо болон хуваагчийг солиход л хангалттай. Тиймээс, хичээлийн туршид бид үржүүлэхийг голчлон авч үзэх болно.

Үржүүлгийн үр дүнд бууруулж болох бутархай үүсч болно (мөн ихэвчлэн үүсдэг) ​​- энэ нь мэдээжийн хэрэг буурах ёстой. Хэрэв бүх бууруулсны дараа фракц буруу болвол бүхэл бүтэн хэсгийг тодруулах хэрэгтэй. Гэхдээ үржүүлэхэд тохиолдохгүй зүйл бол нийтлэг хуваагч руу бууруулах явдал юм: хөндлөн огтлолын арга байхгүй, хамгийн их хүчин зүйл, хамгийн бага нийтлэг үржвэр.

Тодорхойлолтоор бид:

Бутархайг бүхэл ба сөрөг бутархайгаар үржүүлэх

Хэрэв бутархай нь бүхэл тоон хэсгийг агуулж байвал тэдгээрийг буруу болгон хувиргах ёстой бөгөөд зөвхөн дараа нь дээр дурдсан схемийн дагуу үржүүлнэ.

Бутархайн хуваагч, хуваагч эсвэл урд талд нь хасах тэмдэгтэй байвал дараах дүрмийн дагуу үржүүлгээс хасаж эсвэл бүрмөсөн хасаж болно.

1. Дээрээс нь хасах нь хасах өгдөг;
2. Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог.

Өнөөг хүртэл эдгээр дүрмүүд сөрөг бутархайг нэмэх, хасах үед л бүхэл хэсгийг арилгах шаардлагатай үед л тааралддаг. Ажлын хувьд хэд хэдэн сул талыг нэгэн зэрэг "шатаах" зорилгоор тэдгээрийг нэгтгэж болно.

1. Бид сөрөг талуудыг бүрэн алга болтол нь хосоор нь арилгадаг. Онцгой тохиолдолд нэг хасах нь амьд үлдэж чадна - хань ижилгүй байсан;
2. Хэрэв хасах зүйл байхгүй бол үйл ажиллагаа дууссан - та үржүүлж эхлэх боломжтой. Хэрэв хос байхгүй байсан тул сүүлийн хасахыг хасаагүй бол бид үүнийг үржүүлэх хязгаараас гаргаж авдаг. Үр дүн нь сөрөг бутархай юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Бид бүх бутархайг буруу болгон хувиргаж, дараа нь үржүүлэхээс хасахыг авдаг. Бид ердийн дүрмийн дагуу үлдсэн зүйлийг үржүүлдэг. Бид авах:

Тодруулсан бүхэл хэсэг бүхий бутархайн өмнө гарч ирэх хасах нь зөвхөн түүний бүхэл хэсгийг биш, харин бүхэлд нь бутархайг илэрхийлдэг гэдгийг дахин сануулъя (энэ нь сүүлийн хоёр жишээнд хамаарна).

Мөн сөрөг тоонуудад анхаарлаа хандуулаарай: үржүүлэхдээ тэдгээрийг хаалтанд оруулсан болно. Үүнийг үржүүлэх тэмдгүүдээс хасахыг ялгаж, тэмдэглэгээг бүхэлд нь илүү нарийвчлалтай болгохын тулд хийдэг.

Фракцуудыг хурдан бууруулах

Үржүүлэх нь маш их хөдөлмөр шаарддаг үйл ажиллагаа юм. Энд байгаа тоонууд нэлээд том болж, асуудлыг хялбарчлахын тулд та бутархайг цаашид багасгахыг оролдож болно. үржүүлэхээс өмнө. Үнэн хэрэгтээ, бутархайн тоо ба хуваагч нь энгийн хүчин зүйлүүд тул тэдгээрийг бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглан багасгаж болно. Жишээнүүдийг харна уу:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Тодорхойлолтоор бид:

Бүх жишээн дээр бууруулсан тоонууд болон тэдгээрийн үлдэгдлийг улаанаар тэмдэглэсэн болно.

Анхаарна уу: эхний тохиолдолд үржүүлэгчийг бүрэн бууруулсан. Тэдний оронд ерөнхийдөө бичих шаардлагагүй нэгжүүд хэвээр байна. Хоёрдахь жишээн дээр бүрэн бууралтад хүрэх боломжгүй байсан ч тооцооллын нийт хэмжээ буурсан хэвээр байна.

Гэсэн хэдий ч бутархай нэмэх, хасахдаа энэ аргыг хэзээ ч бүү ашигла! Тийм ээ, заримдаа та зүгээр л багасгахыг хүсдэг ижил төстэй тоонууд байдаг. Эндээс харна уу:

Та үүнийг хийж чадахгүй!

Бутархайн тоог нэмэхэд тоонуудын үржвэр биш харин нийлбэр гарч ирдэг тул алдаа гардаг. Иймээс бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах боломжгүй, учир нь энэ шинж чанар нь тоон үржүүлэхтэй холбоотой байдаг.

Бутархайг багасгах өөр шалтгаан байхгүй тул өмнөх асуудлын зөв шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Зөв шийдэл:

Таны харж байгаагаар зөв хариулт нь тийм ч үзэсгэлэнтэй биш байв. Ерөнхийдөө болгоомжтой байгаарай.

Бутархай гэдэг нь бүхэл хэсгийн нэг буюу хэд хэдэн хэсэг бөгөөд ихэвчлэн нэг (1) гэж авдаг. Натурал тоонуудын нэгэн адил та бүх үндсэн арифметик үйлдлүүдийг (нэмэх, хасах, хуваах, үржүүлэх) бутархайгаар гүйцэтгэх боломжтой, та бутархайтай ажиллах онцлогийг мэдэж, тэдгээрийн төрлүүдийг ялгах хэрэгтэй. Бутархайн хэд хэдэн төрөл байдаг: аравтын бутархай ба энгийн, эсвэл энгийн. Бутархайн төрөл бүр өөрийн гэсэн онцлогтой боловч тэдгээрийг хэрхэн зохицуулахаа сайтар ойлгосны дараа та бутархайгаар арифметик тооцоолол хийх үндсэн зарчмуудыг мэддэг тул бутархайтай ямар ч жишээг шийдэх боломжтой болно. Янз бүрийн төрлийн бутархайг ашиглан бутархайг бүхэл тоонд хэрхэн хуваах жишээг авч үзье.

Аравтын бутархайг бүхэл тоонд хэрхэн хуваах вэ?
Аравтын бутархай нь нэгжийг арав, мянга гэх мэт хэсгүүдэд хуваасан бутархай юм. Аравтын бутархайтай арифметик үйлдлүүд нь маш энгийн байдаг.

Бутархайг бүхэл тоонд хэрхэн хуваах жишээг авч үзье. 0.925 аравтын бутархайг натурал 5-д хуваах хэрэгтэй гэж бодъё.

• аравтын бутархайг натурал тоонд хуваахын тулд урт хуваалтыг ашигладаг;
  
• Ногдол ашгийн бүх хэсгийг хувааж дуусах үед таслалыг таслалд оруулна.