Тэгшитгэлийн тоо байх тохиолдол милүү олон хувьсагч n, тэгшитгэлээс үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгах замаар тохиолдолд хүргэдэг м= nэсвэл м n.
Эхний хэргийг өмнө нь хэлэлцсэн. м nХоёр дахь тохиолдолд, тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тооноос бага байх үед м мөн тэгшитгэлүүд нь бие даасан, ялгардаг үндсэн хувьсагчид n- м)Тэгээд ( үндсэн бус хувьсагч . Үндсэн хувьсагч нь нөхцөлийг хангасан хувьсагч юм: эдгээр хувьсагчийн коэффициентээс бүрдэх тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Гол нь өөр өөр бүлэг хувьсагчид байж болно. Ийм бүлгийн нийт тооН n-ийн хослолын тоотой тэнцүү байна м:
элементүүд Хэрэв системд дор хаяж нэг бүлэг үндсэн хувьсагч байгаа бол энэ систем байна тодорхойгүй
, өөрөөр хэлбэл олон шийдэлтэй. Хэрэв системд нэг бүлэг үндсэн хувьсагч байхгүй бол систем нь мөн хамтарсан бус
, өөрөөр хэлбэл, энэ нь нэг шийдэл байхгүй байна.
Хэрэв систем олон шийдэлтэй бол тэдгээрийн дунд үндсэн шийдлийг ялгадаг.
Үндсэн шийдэл 
нь бага хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байх шийдэл юм. Системд үүнээс илүүгүй байна
үндсэн шийдлүүд. Системийн шийдлүүдийг дараахь байдлаар хуваадаг хүлээн зөвшөөрөх боломжтой Тэгээд .
хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй Зөвшөөрөх боломжтой
Эдгээр нь бүх хувьсагчийн утгууд нь сөрөг биш байдаг шийдлүүд юм. Хэрэв хувьсагчийн ядаж нэг утга сөрөг байвал шийдлийг дуудна .
хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй
Жишээ 4.5
Тэгшитгэлийн системийн үндсэн шийдлүүдийг ол
.
Үндсэн шийдлүүдийн тоог олцгооё Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё X Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 1 ба
.
2. Тэдгээрийн коэффициентүүдээс тодорхойлогчийг шалгая Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 1 ,Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъёЭнэ тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш тул хувьсагчид
2 гол нь. Одоо тэгье гэж бодъё X
3 =0. Дараа нь бид маягт дахь системийг олж авдаг
,
.
Үүнийг Крамерын томъёогоор шийдье.
Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 1 =1,Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 2 =0,Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 3 =0 .
Тиймээс эхний үндсэн шийдэл нь хэлбэртэй байна Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё X Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 3 .
.
Одоо хувьсагч нь үндсэн хувьсагчид хамаарах эсэхийг шалгацгаая Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё X Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъёБид үүнийг ойлгодог Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 3 - үндсэн хувьсагчийн хоёр дахь бүлэг. тавья
,
.
2 =0 ба системийг шийднэ
Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 1 =1,Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 2 =0,Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 3 =0.
Хоёрдахь үндсэн шийдэл нь хэлбэртэй байна Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъёОдоо хувьсагчид үндсэн хувьсагчид хамаарах эсэхийг шалгацгаая Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъё 3 .
2 ба Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъёОдоо хувьсагчид үндсэн хувьсагчид хамаарах эсэхийг шалгацгаая Тиймээс, системийн олон шийдлүүдийн дунд гурваас илүүгүй үндсэн шийдэл байдаг. Гурвын дундаас хоёр үндсэн хувьсагчийг тодруулъя. Тийм гэж бодъёөөрөөр хэлбэл хувьсагч
n хувьсагчтай m шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг матрицын зэрэглэлийн ойлголтыг ашиглан өгсөн болно.
Матрицын зэрэглэл – энэ нь тэгээс өөр насанд хүрээгүй хүний хамгийн дээд зэрэгтэй тэнцүү тоо юм.
А матрицын хувьд
бага к --р захиалга аль ч элементээс бүрдэх тодорхойлогчийн үүрэг гүйцэтгэдэг к шугам ба к баганууд.
Жишээ нь,
Жишээ 2
Матрицын зэрэглэлийг ол
Матрицын тодорхойлогчийг тооцоолъё
Үүнийг хийхийн тулд эхний мөрийг (-4) үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд нэмж, дараа нь эхний мөрийг (-7) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ, үр дүнд нь тодорхойлогчийг авна.
Учир нь үүссэн тодорхойлогчийн мөрүүд пропорциональ байвал 
.
Эндээс харахад 3-р эрэмбийн минор нь 0-тэй тэнцүү, 2-р зэрэглэлийн минор нь 0-тэй тэнцүү биш байна.
Тиймээс матрицын зэрэглэл нь r=2 байна.
Өргөтгөсөн матриц систем хэлбэртэй байна
Кронекер-Капелли теорем
Шугаман систем тууштай байхын тулд өргөтгөсөн матрицын зэрэглэл нь үндсэн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. 
.
Хэрэв 
,
тэгвэл систем нь тогтворгүй болно.
Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн зэрэг системийн хувьд гурван тохиолдол боломжтой.
1) Хэрэв 
, дараа нь LU систем нь (m-r) шугаман хамааралтай тэгшитгэлтэй тул тэдгээрийг системээс хасаж болно;
2) Хэрэв 
, дараа нь LU систем нь өвөрмөц шийдэлтэй;
3) Хэрэв 
, тэгвэл LU систем нь олон шийдэлтэй
A 21 x 1 + a 22 x 2 +...+ a 2p x p= б 2 ,
........................................
А с 1 x 1 + a с 2 x 2 +...+ a s p x p= b s.
Бид үүн дээр үндсэн өөрчлөлтүүдийг хийх болно. Үүнийг хийхийн тулд бид (1) системийн үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн матрицыг чөлөөт нэр томъёоны баганыг нэмж бичнэ. өргөтгөсөн матриц Ā системийн хувьд (1):
Ийм хувиргалтын тусламжтайгаар матрицыг багасгах боломжтой гэж үзье Ā маягт руу:
b 22 x 2 +...+b 2 r x r +...+b 2 n x n =c 2,......................................
b rr x r +...+b rn x n =c r ,
Энэ нь (1) системээс тодорхой тооны энгийн хувиргалтуудыг ашиглан олж авсан тул (1) системтэй тэнцүү байна. Хэрэв системд байгаа бол (4) r=n, дараа нь хэлбэртэй байгаа сүүлчийн тэгшитгэлээс b nn x n =c n(Хаана б nn≠ 0), бид цорын ганц утгыг олно x n, эцсийн өмнөх тэгшитгэлээс – утга xn-1( оноос хойш x nаль хэдийн мэдэгдэж байгаа) гэх мэт, эцэст нь эхний тэгшитгэлээс - утга x 1. Тиймээс, тохиолдолд) r=nсистем нь өвөрмөц шийдэлтэй. Хэрэв r
X 1 =a 1, r+1 х r+1 +...+a 1 n X n+b 1,
|
|
............................................
X r=а r, r+1 х r+1 +...+a r n X n+б r.
энэ нь үндсэндээ ерөнхий шийдвэрсистемүүд (1).
Үл мэдэгдэх x r+1, ..., x n-ийг чөлөөт гэж нэрлэдэг. (5) системээс x1,..., x r утгуудыг олох боломжтой болно.
Матрицын бууралт Ā (1) тэгшитгэлийн анхны систем нийцэж байгаа тохиолдолд л (3)-ыг бүрдүүлэх боломжтой. Хэрэв систем (1) зөрчилтэй бол ийм бууралт боломжгүй юм. Энэ нөхцөл байдал нь матрицын хувиргалт хийх явцад илэрхийлэгддэг Ā Үүний дотор сүүлчийнхээс бусад бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү байх мөр гарч ирнэ. Энэ мөр нь дараах хэлбэрийн тэгшитгэлтэй тохирч байна.
0*x 1 +0*x 2 +...+0*x n=б,
Энэ нь үл мэдэгдэх ямар ч утгыг хангадаггүй, учир нь б≠0. Энэ тохиолдолд систем нь нийцэхгүй байна.
(1) системийг үе шаттай хэлбэрт оруулах явцад 0=0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг авч болно. Энэ нь өмнөхтэй тэнцэх тэгшитгэлийн системд хүргэдэг тул тэдгээрийг хаяж болно.
Гауссын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ тэгшитгэлийн системийг өөрөө биш, харин энэ системийн өргөтгөсөн матрицыг алхам алхмаар хэлбэрт оруулж, бүх хувиргалтыг түүний эгнээнд хийх нь илүү тохиромжтой. Хувиргах явцад олж авсан дараалсан матрицууд нь ихэвчлэн эквивалент тэмдгээр холбогддог.
Дараахь 4 үл мэдэгдэх тэгшитгэлийн системийг шийдье.
2x 1 +5x 2 +4x 3 +x 4 =20,
x 1 +3x 2 +2x 3 +x 4 =11,
2x 1 +10x 2 +9x 3 +7x 4 =40,
3х 1 +8х 2 +9х 3 +2х 4 =37.
Чөлөөт нэр томъёоны баганыг нэмж үл мэдэгдэх коэффициентүүдийн өргөтгөсөн матрицыг бичье.
Өргөтгөсөн матрицын мөрүүдэд дүн шинжилгээ хийцгээе:
2-р мөрийн элементүүдэд бид 1-ийн элементүүдийг (-2) хуваана;
3-р мөрөөс 1-р мөрийг хасна;
4-р мөрөнд бид 1-ийг нэмээд (-3/2) үржүүлнэ.
Бид програмын хэрэгслийг тооцоолох хэрэгсэл болгон ашиглах болно Excel-97.
1. Компьютерээ асаана уу.
2. Үйлдлийн систем ачаалах хүртэл хүлээнэ үү Windows, үүний дараа Microsoft Excel цонхыг нээнэ үү.
3. Нүднүүдийг бөглөнө үүӨргөтгөсөн матрицын утгууд бүхий хүснэгтүүд (Зураг 11.1)
Цагаан будаа. 11.1 Зураг. 11.2
4. Сонгосон аман алгоритмыг гүйцэтгэхийн тулд дараах үйлдлийг гүйцэтгэнэ.
· Нүдийг идэвхжүүлэх A5 ба гарнаас =A2+A1/(-2) хэлбэрийн томьёог оруулаад дараа нь автоматаар гүйцээх B5¸E5 нүдэнд тоон үр дүнг оруулах;
· А6 нүдэнд бид 3-аас 1-р мөрийг хассаны үр дүнг байрлуулж, дахин ашиглана. автоматаар гүйцээх, B6¸E6 нүдийг бөглөнө үү;
· А7 нүдэнд =A4+A1*(-3/2) ба хэлбэрийн томьёо бичнэ автоматаар гүйцээх B7¸E7 нүдэнд тоон үр дүнг оруулъя.
5. Гурвалжин хэлбэрт оруулахын тулд матрицын элементар хувиргалтын үр дүнд үүссэн мөрүүдийг дахин шинжилье.
·6-р мөрөнд (-10) тоогоор үржүүлсэн 5-ыг нэмнэ;
· 7-р мөрөөс 5-ыг хасна.
Бид бүртгэгдсэн алгоритмыг A8, A9 нүднүүдэд хэрэгжүүлдэг бөгөөд үүний дараа нуугдъя 6 ба 7 - мөрүүд (11.3-р зургийг үз).
Цагаан будаа. 11.3 Зураг. 11.4
6. Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулахын тулд хийх ёстой хамгийн сүүлийн зүйл бол 9-р эгнээнд 8-р эгнээг нэмж (-3/5) үржүүлээд дараа нь. нуугдах 9-р мөр (Зураг 11.4).
Таны харж байгаагаар үүссэн матрицын элементүүд 1, 5, 8, 10-р эгнээнд байгаа бөгөөд үүссэн матрицын зэрэглэл нь дараах байдалтай байна. r = 4, тиймээс энэ тэгшитгэлийн систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байдаг. Үр дүнгийн системийг бичнэ үү:
2x 1 +5x 2 +4x 3 + x 4 =20,
0.5x 2 + 0.5x 4 =1,
5x 3 +x 4 =10,
Сүүлийн тэгшитгэлээс бид х 4 =0-ийг хялбархан олно; 3-р тэгшитгэлээс бид х 3 =2; 2-оос - x 2 =2, 1-ээс - x 1 =1 тус тус.
Бие даасан ажилд зориулсан даалгавар.
Тэгшитгэлийн системийг шийдэхийн тулд Гауссын аргыг ашиглана уу.
Лабораторийн ажил No15. f(x)=0 тэгшитгэлийн язгуурыг олох
Шугаман ба квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг эртний Грекчүүд мэддэг байсан. Гурав, дөрөвдүгээр зэрэглэлийн тэгшитгэлийн шийдлийг Италийн математикч С.Ферро, Н.Тарталья, Г.Картоно, Л.Феррари нарын хүчин чармайлтаар сэргэн мандалтын үед олж авсан. Дараа нь тав ба түүнээс дээш зэрэглэлийн тэгшитгэлийн язгуурыг олох томъёо хайх цаг болжээ. Тогтвортой боловч үр дүнгүй оролдлого 300 орчим жил үргэлжилсэн бөгөөд Норвегийн математикч Н.Абелийн бүтээлээр 21-р зууны 20-иод онд дуусав. Тэрээр тав дахь болон дээд гүрний ерөнхий тэгшитгэлийг радикалуудад шийдвэрлэх боломжгүй гэдгийг нотолсон. n-р зэргийн ерөнхий тэгшитгэлийн шийдэл
a 0 x n +a 1 x n -1 +…+a n -1 x+a n =0, a 0 ¹0 (1)
n³5-ийг нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх, үндсийг задлах үйлдлүүдийг ашиглан коэффициентээр илэрхийлэх боломжгүй үед.
Алгебрийн бус тэгшитгэлийн хувьд
x–cos(x)=0 (2)
даалгавар бүр ч хэцүү болно. Энэ тохиолдолд язгуурын тодорхой илэрхийллийг олох нь ховор байдаг.
Томъёо "ажиллахгүй" нөхцөлд зөвхөн хамгийн энгийн тохиолдолд л найдаж болох үед бүх нийтийн тооцооллын алгоритмууд онцгой ач холбогдолтой болдог. Асуудлыг шийдвэрлэх боломжийг олгодог хэд хэдэн мэдэгдэж буй алгоритмууд байдаг.
Тэгшитгэлийн хэрэглээ бидний амьдралд өргөн тархсан. Тэдгээрийг олон тооны тооцоолол, барилга байгууламж барих, тэр ч байтугай спортод ашигладаг. Эрт дээр үед хүн тэгшитгэлийг ашигладаг байсан бөгөөд түүнээс хойш тэдний хэрэглээ улам бүр нэмэгдсээр байна. Дөрвөн үл мэдэгдэх тэгшитгэл нь олон шийдтэй байж болно. Математикийн хувьд ийм төрлийн тэгшитгэлүүд ихэвчлэн тулгардаг. Ийм тэгшитгэлийг зөв шийдэхийн тулд түүний шийдлийг хялбарчлах, богиносгохын тулд тэгшитгэлийн бүх шинж чанарыг ашиглах шаардлагатай.
Дараах жишээний шийдлийг харцгаая.
Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг хэсгүүдээр нэмснээр та маш энгийн тэгшитгэлийг авч болно.
\ эсвэл \
2 ба 3-р тэгшитгэлтэй ижил төстэй үйлдлүүдийг хийцгээе.
\ эсвэл \
Бид үүссэн тэгшитгэлийг шийддэг \ ба \
Бид \ ба \
Бид үүссэн тоонуудыг 1 ба 3-р тэгшитгэлд орлуулна.
\ эсвэл \
\ эсвэл \
Эдгээр тоог хоёр, дөрөв дэх тэгшитгэлээр орлуулснаар яг ижил тэгшитгэл гарч ирнэ.
2 үл мэдэгдэх 2 тэгшитгэлийг шийдэх үлдсэн тул энэ нь бүгд биш юм. Та энэ төрлийн тэгшитгэлийн шийдлийг эндээс нийтлэлээс харж болно.
Дөрвөн үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг онлайнаар хаанаас шийдэж болох вэ?
Та https://site дээр онлайнаар үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг шийдэж болно. Үнэгүй онлайн шийдүүлэгч нь танд ямар ч төвөгтэй онлайн тэгшитгэлийг хэдхэн секундын дотор шийдэх боломжийг олгоно. Таны хийх ёстой зүйл бол зүгээр л шийдвэрлэгч рүү өгөгдлөө оруулах явдал юм. Та мөн видео зааварчилгааг үзэж, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар манай вэбсайтаас сурах боломжтой. Хэрэв танд асуулт байгаа бол манай ВКонтакте группээс http://vk.com/pocketteacher асууж болно. Манай группт нэгдээрэй, бид танд туслахдаа үргэлж баяртай байх болно.
