Нэг аргументийн тригонометрийн функцуудтай ямар харилцаа холбоотой байдаг. Ижил өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарал

Синус, косинус, тангенс, котангенс гэсэн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг өгөв. тригонометрийн томъёо. Тригонометрийн функцүүдийн хооронд маш олон холболт байдаг тул энэ нь тригонометрийн томъёоны элбэг дэлбэг байдлыг тайлбарлаж байна. Зарим томьёо нь ижил өнцгийн тригонометрийн функцуудыг холбодог, бусад нь олон өнцгийн функцуудыг холбодог, бусад нь градусыг багасгах боломжийг олгодог, дөрөвдүгээрт - бүх функцийг хагас өнцгийн тангенсаар илэрхийлэх гэх мэт.

Энэ нийтлэлд бид тригонометрийн ихэнх асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай бүх үндсэн тригонометрийн томьёог дарааллаар нь жагсаах болно. Цээжлэх, ашиглахад хялбар болгох үүднээс бид тэдгээрийг зориулалтын дагуу бүлэглэж, хүснэгтэд оруулна.

Хуудасны навигаци.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууд

Тригонометрийн үндсэн шинж чанарууднэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс хоорондын хамаарлыг тодорхойлох. Эдгээр нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолт, мөн нэгж тойргийн тухай ойлголтоос үүдэлтэй. Эдгээр нь нэг тригонометрийн функцийг бусад аль ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог.

Эдгээр тригонометрийн томьёо, тэдгээрийн гарал үүсэл, хэрэглээний жишээнүүдийн дэлгэрэнгүй тайлбарыг нийтлэлээс үзнэ үү.

Бууруулах томъёо

Бууруулах томъёоСинус, косинус, тангенс, котангенсийн шинж чанаруудаас дагах, өөрөөр хэлбэл тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн үечилсэн шинж чанар, тэгш хэмийн шинж чанар, түүнчлэн өгөгдсөн өнцгөөр шилжих шинж чанарыг тусгадаг. Эдгээр тригонометрийн томъёонууд нь дурын өнцгөөр ажиллахаас тэгээс 90 градусын өнцөгтэй ажиллахад шилжих боломжийг олгодог.

Эдгээр томъёоны үндэслэл, тэдгээрийг цээжлэх мнемоник дүрэм, тэдгээрийн хэрэглээний жишээг нийтлэлээс судалж болно.

Нэмэлт томъёо

Тригонометрийн нэмэх томъёоХоёр өнцгийн нийлбэр эсвэл зөрүүний тригонометрийн функцууд тэдгээр өнцгийн тригонометрийн функцээр хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр томьёо нь дараах тригонометрийн томьёог гаргах үндэс болдог.

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг

Давхар, гурвалсан гэх мэт томьёо. өнцөг (тэдгээрийг олон өнцгийн томъёо гэж нэрлэдэг) нь давхар, гурвалсан гэх мэт тригонометрийн функцуудыг хэрхэн харуулдаг. өнцөг () нь нэг өнцгийн тригонометрийн функцээр илэрхийлэгдэнэ. Тэдний гарал үүсэл нь нэмэлт томъёонд суурилдаг.

Илүү нарийвчилсан мэдээллийг нийтлэлийн томъёонд давхар, гурав дахин гэх мэтээр цуглуулсан болно. өнцөг

Хагас өнцгийн томъёо

Хагас өнцгийн томъёоХагас өнцгийн тригонометрийн функцүүд бүхэл өнцгийн косинусаар хэрхэн илэрхийлэгдэж байгааг харуул. Эдгээр тригонометрийн томьёо нь давхар өнцгийн томъёоноос гардаг.

Тэдний дүгнэлт, хэрэглээний жишээг нийтлэлээс олж болно.

Зэрэг бууруулах томъёо

Зэрэг бууруулах тригонометрийн томъёоЭдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн байгалийн хүчнээс эхний зэрэгтэй, гэхдээ олон өнцөгт синус ба косинус руу шилжих шилжилтийг хөнгөвчлөх зорилготой юм. Өөрөөр хэлбэл, тэдгээр нь тригонометрийн функцүүдийн хүчийг эхнийх хүртэл багасгах боломжийг олгодог.

Тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёо

Гол зорилго тригонометрийн функцүүдийн нийлбэр ба ялгааны томъёоТригонометрийн илэрхийллийг хялбарчлахад маш хэрэгтэй функцүүдийн бүтээгдэхүүн рүү очих явдал юм. Эдгээр томьёог мөн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг, учир нь тэдгээр нь синусын болон косинусын нийлбэр ба зөрүүг хүчин зүйлээр тооцох боломжийг олгодог.

Синус, косинус ба синусын косинусын үржвэрийн томъёо

Тригонометрийн функцүүдийн үржвэрээс нийлбэр эсвэл зөрүү рүү шилжих шилжилтийг синус, косинус, синусыг косинусаар үржүүлэх томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.

cleverstudents зохиогчийн эрх

Бүх эрх хуулиар хамгаалагдсан.
Зохиогчийн эрхийн хуулиар хамгаалагдсан. Зохиогчийн эрх эзэмшигчийн урьдчилан бичгээр зөвшөөрөл авалгүйгээр www.site-ын аль ч хэсгийг, түүний дотор дотоод материал, гадаад төрхийг ямар ч хэлбэрээр хуулбарлаж, ашиглахыг хориглоно.

Тийм ээ, мэдээж. Ижил өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс нь хоорондоо хамааралтай. Илэрхийллийн хоорондох аливаа холболтыг математикт томъёогоор өгдөг. Тригонометрт асар олон тооны томъёо байдаг. Гэхдээ энд бид хамгийн энгийн зүйлийг авч үзэх болно. Эдгээр томъёог дараах байдлаар нэрлэдэг. үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг.Тэд энд байна:

Та эдгээр томъёог сайтар мэдэх хэрэгтэй. Тэдгээргүйгээр тригонометрт ерөнхийдөө хийх зүйл байхгүй. Эдгээр үндсэн таних тэмдгүүдээс өөр гурван туслах таних тэмдэг гарч ирдэг:

Тригонометрийн үндсэн таних тэмдгүүдийг ямар даалгаварт, хэрхэн ашигладаг вэ? Хамгийн түгээмэл даалгавар бол өөр нэг өнцгийн функц өгөгдсөн бол олох явдал юм. Улсын нэгдсэн шалгалтад ийм даалгавар жилээс жилд байдаг.) ​​Жишээ нь:

x нь хурц өнцөг, cosx=0.8 бол sinx-ийн утгыг ол.

Даалгавар нь бараг энгийн зүйл юм. Бид синус болон косинусыг агуулсан томъёог хайж байна. Энд томъёо байна:

sin 2 x + cos 2 x = 1

Бид энд косинусын оронд мэдэгдэж буй утгыг, тухайлбал 0.8-ыг орлуулж байна:

нүгэл 2 х + 0.8 2 = 1

За, бид ердийнхөөрөө тоолно:

нүгэл 2 х + 0.64 = 1

нүгэл 2 x = 1 - 0.64

Энэ бол бараг бүх зүйл. Бид синусын квадратыг тооцоолсон, зөвхөн квадрат язгуурыг гаргаж авахад л үлдсэн бөгөөд хариулт бэлэн боллоо! 0.36-ийн үндэс нь 0.6 байна.

Даалгавар нь бараг энгийн зүйл юм. Гэхдээ “бараг” гэдэг үг учир шалтгаантай... Баримт нь sinx= - 0.6 гэсэн хариулт бас тохирно... (-0.6) 2 бас 0.36 болно.

Хоёр өөр хариулт байна. Мөн танд нэг хэрэгтэй. Хоёр дахь нь буруу. Яаж байх вэ!? Тиймээ, ердийнхөөрөө.) Даалгаврыг анхааралтай уншина уу. Зарим шалтгааны улмаас энэ нь: ... Хэрэв x нь хурц өнцөг бол ...Мөн даалгаврууд дээр үг бүр утгатай байдаг, тиймээ ... Энэ хэллэг нь шийдлийн нэмэлт мэдээлэл юм.

Хурц өнцөг нь 90 ° -аас бага өнцөг юм. Мөн ийм булангуудад Бүгдтригонометрийн функцууд - синус, косинус, котангенстай шүргэгч - эерэг.Тэдгээр. Бид зүгээр л сөрөг хариултыг энд хаядаг. Бидэнд эрх бий.

Үнэндээ наймдугаар ангийн хүүхдүүдэд ийм нарийн ширийн зүйл хэрэггүй. Тэд зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинтай ажилладаг бөгөөд булан нь зөвхөн хурц өнцөгтэй байж болно. 1000°-ын сөрөг өнцөг, өнцөг хоёулаа байдгийг тэд мэдэхгүй, баяртай... Мөн эдгээр бүх аймшигт өнцгүүд өөрийн гэсэн тригонометрийн функцтэй, нэмэх, хасах аль аль нь байдаг ...

Гэхдээ ахлах сургуулийн сурагчдын хувьд тэмдгийг харгалзахгүйгээр - ямар ч боломжгүй. Маш их мэдлэг нь уй гашууг үржүүлдэг, тийм ээ ...) Мөн зөв шийдлийн хувьд нэмэлт мэдээлэл нь даалгаварт заавал байх ёстой (хэрэв шаардлагатай бол). Жишээлбэл, үүнийг дараах оруулгад өгч болно.

Эсвэл өөр аргаар. Та доорх жишээнүүдээс харах болно.) Ийм жишээг шийдэхийн тулд та мэдэх хэрэгтэй Өгөгдсөн x өнцөг аль улиралд багтах ба энэ улиралд хүссэн тригонометрийн функц ямар тэмдэгтэй байна вэ?

Тригонометрийн эдгээр үндсийг тригонометрийн тойрог гэж юу болох, энэ тойрог дээрх өнцгийн хэмжилт, өнцгийн радиан хэмжигдэхүүн зэрэг хичээлүүдэд авч үзнэ. Заримдаа та синусын хүснэгт, тангенсийн косинус, котангентын хүснэгтийг мэдэх хэрэгтэй.

Тиймээс, хамгийн чухал зүйлийг тэмдэглэе:

Практик зөвлөмжүүд:

1. Синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг санаарай. Энэ нь маш ашигтай байх болно.

2. Бид тодорхой ойлгодог: синус, косинус, тангенс, котангенс нь өнцөгтэй нягт холбоотой байдаг. Бид нэг зүйлийг мэддэг бөгөөд энэ нь өөр нэг зүйлийг мэддэг гэсэн үг юм.

3. Бид тодорхой ойлгодог: нэг өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенс нь тригонометрийн үндсэн таних тэмдгүүдээр хоорондоо холбоотой байдаг. Бид нэг функцийг мэддэг бөгөөд энэ нь (хэрэв бидэнд шаардлагатай нэмэлт мэдээлэл байгаа бол) бусад бүх функцийг тооцоолж чадна гэсэн үг юм.

Одоо ердийнхөөрөө шийдье. Нэгдүгээрт, 8-р ангийн хүрээнд хийх даалгавар. Гэхдээ ахлах сургуулийн сурагчид ч үүнийг хийж чадна ...)

1. ctgA = 0.4 бол tgA-ийн утгыг тооцоол.

2. β нь тэгш өнцөгт гурвалжин дахь өнцөг юм. sinβ = 12/13 бол tanβ-ийн утгыг ол.

3. Илэрхийллийн утгыг ол:

6sin 2 5° - 3 + 6cos 2 5°

4. Илэрхийллийн утгыг ол:

(1-cosx)(1+cosx), хэрэв sinx = 0.3

5. tgх = 4/3 бол цочмог өнцгийн синусыг тодорхойл.

Хариултууд (цэг таслалаар тусгаарлагдсан, эмх замбараагүй):

0,09; 3; 0,8; 2,4; 2,5

Энэ ажилласан уу? Гайхалтай! Наймдугаар ангийнхан аль хэдийн А үнэлгээгээ авах боломжтой.)

Эдгээр нь Улсын нэгдсэн шалгалт гэх мэт асуудлууд байсан боловч хасагдсан хувилбартай байсан. Улсын нэгдсэн шалгалт - гэрэл). Одоо бараг ижил даалгавар, гэхдээ бүрэн форматтай. Мэдлэгт ачаалал ихтэй ахлах сургуулийн сурагчдад зориулсан.)

6. sinβ = 12/13 бол tanβ-ийн утгыг ол, ба

7. tgх = 4/3, x нь интервалд (- 540°; - 450°) хамаарах бол sinхыг тодорхойл.

8. ctgβ = 1 бол sinβ cosβ илэрхийллийн утгыг ол.

Хариултууд (эмх замбараагүй):

0,8; 0,5; -2,4.

Энд 6-р бодлогод өнцгийг маш тодорхой заагаагүй байна... Харин 8-р бодлогод огт заагаагүй байна! Энэ бол зориудаар). Нэмэлт мэдээллийг зөвхөн даалгавраас гадна толгойноос авдаг.) ​​Гэхдээ хэрэв та шийдсэн бол нэг зөв даалгавар "B" баталгаатай болно!

Энэ хичээл нь тригонометрийн функцүүдийн талаар маш хязгаарлагдмал ойлголтыг өгдөг. 8-р ангидаа. Мөн ахмадуудад асуулт байсаар байна...

Жишээлбэл, хэрэв өнцөг X(энэ хуудасны хоёр дахь зургийг хар) - үүнийг тэнэг болго!? Гурвалжин бүрэн нурах болно! Тэгэхээр бид яах ёстой вэ? Хөл байхгүй, гипотенуз байхгүй болно ... Синус алга болсон ...

Хэрэв эртний хүмүүс энэ байдлаас гарах арга замыг олоогүй бол бид одоо гар утас, зурагт, цахилгаангүй байх байсан. Тийм, тийм! Тригонометрийн функцгүй эдгээр бүх зүйлийн онолын үндэс нь саваагүйгээр тэг юм. Гэвч эртний хүмүүс урам хугарсангүй. Тэд хэрхэн гарсан тухай дараагийн хичээл дээр.

1. Синусыг косинусаар илэрхийлэх

Жич:Баруун талд байгаа радикалын урд талын тэмдэг нь аль квадратад байрлахаас хамаарна α . Зүүн талд байгаа тригонометрийн функцийн тэмдэг нь баруун талын тэмдэгтэй тохирч байх ёстой. Энэ дүрэм нь доор өгөгдсөн бусад томьёоны хувьд мөн үнэн юм.

2. Синусыг шүргэгчээр илэрхийлэх

3. Котангенсаар синусын илэрхийлэл

4. Косинусыг синусаар илэрхийлэх

5. Косинусыг шүргэгчээр илэрхийлэх

6. Котангенсаар косинусыг илэрхийлэх

7. Синусаар шүргэгчийг илэрхийлэх

8. Косинусаар шүргэгчийг илэрхийлэх

9. Котангенсийн хувьд шүргэгчийг илэрхийлэх

10. Котангенсыг синусаар илэрхийлэх

11. Косинусаар котангенсыг илэрхийлэх

12. Котангенсыг шүргэгчээр илэрхийлэх

21. Тригонометрийн функц y=sin x, y=cos x, тэдгээрийн шинж чанар, график.

Ү = нүгэл(х)

y=sin(x) функцийн график.

Үндсэн шинж чанарууд:

3. Функц нь сондгой.

y=cos(x) функцийн график.

Үндсэн шинж чанарууд:

1. Тодорхойлолтын домэйн нь бүхэл тоон тэнхлэг юм.

2. Хязгаарлагдмал функц. Утгын багц нь [-1;1] сегмент юм.

3. Функц нь тэгш байна.

4. Функц нь хамгийн бага эерэг үе нь 2*π-тэй тэнцүү үечилсэн байна.

22. Тригонометрийн функц y=tg x, y=ctg x, тэдгээрийн шинж чанар, график.

y=tg(x) функцийн график.

Үндсэн шинж чанарууд:

1. Тодорхойлолтын муж нь x=π/2 +π*k хэлбэрийн цэгүүдээс бусад бүхэл тоон тэнхлэг бөгөөд k нь бүхэл тоо юм.

3. Функц нь сондгой.

Y = ctg(x)

y=ctg(x) функцийн график.

Үндсэн шинж чанарууд:

1. Тодорхойлолтын муж нь x=π*k хэлбэрийн цэгүүдээс бусад бүхэл тоон тэнхлэг бөгөөд k нь бүхэл тоо юм.

2. Хязгааргүй функц. Утгын багц нь бүхэл тооны шугам юм.

3. Функц нь сондгой.

4. Функц нь хамгийн бага эерэг үе нь π-тэй тэнцүү үечилсэн байна.

23. Тригонометрийн функцүүдийн үндсэн шинж чанарууд: тэгш, сондгой, үе үе. Тригонометрийн функцүүдийн утгын улирлаар илэрхийлэгдэх тэмдэг.

Синустоо Атооны тойрог дээрх энэ тоог илэрхийлэх цэгийн ординат гэнэ. Өнцгийн синус дотор Арадианыг тооны синус гэж нэрлэдэг А.

Синус- тооны функц x. Тэр тодорхойлолтын домэйн- бүх тооны олонлог, учир нь дурын тооны хувьд та түүнийг төлөөлж буй цэгийн ординатыг олох боломжтой.

Синусын хүрээ- хэсгээс -1 руу 1 , учир нь ордны тэнхлэг дээрх энэ хэрчмийн аль ч тоо нь тойргийн дурын цэгийн проекц боловч энэ хэрчимээс гадуурх цэг нь эдгээр цэгүүдийн аль нэгнийх нь проекц биш юм.

Синус үе-тэй тэнцүү. Эцсийн эцэст, тоог илэрхийлэх цэгийн байрлал яг давтагдах бүрт.

Синус тэмдэг:

1. синус нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд , хаана n- дурын бүхэл тоо;

2. синус нь , хаана эерэг байна n- дурын бүхэл тоо;

3. синус сөрөг байх үед

Ижил өнцгийн үндсэн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг олохыг хичээцгээе.

Ижил өнцгийн косинус ба синусын хамаарал

Дараах зурагт төв нь О цэг дээр байгаа ACB хагас тойргийн хэсэгтэй Oxy координатын системийг үзүүлэв. Энэ хэсэг нь нэгж тойргийн нум юм. Нэгж тойргийг тэгшитгэлээр тодорхойлно

• x 2 +y 2 =1.

Өмнө нь мэдэгдэж байгаачлан ординат у ба абсцисса x-ийг дараах томъёогоор өнцгийн синус ба косинус хэлбэрээр илэрхийлж болно.

• нүгэл(а) = у,
• cos(a) = x.

Эдгээр утгыг нэгж тойргийн тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараах тэгшитгэлтэй болно

• (нүгэл(а)) 2 + (cos(a)) 2 =1,

Энэ тэгш байдал нь а өнцгийн аль ч утгын хувьд үнэн юм. Үүнийг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг гэж нэрлэдэг.

Тригонометрийн үндсэн шинж чанараас харахад нэг функцийг нөгөө функцээр илэрхийлж болно.

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2),
• cos(a) = ±√(1-(sin(a)) 2).

Энэ томьёоны баруун талд байгаа тэмдгийг энэ томъёоны зүүн талын илэрхийллийн тэмдгээр тодорхойлно.

Жишээ нь.

cos(a)=-3/5 ба pi бол sin(a)-г тооцоол

Дээр өгөгдсөн томъёог ашиглая:

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2).

Пи оноос хойш

• sin(a) = ±√(1-(cos(a)) 2) = - √(1 – 9/25) = - 4/5.

Ижил өнцгийн тангенс ба котангенсийн хоорондын хамаарал

Одоо шүргэгч ба котангентын хамаарлыг олохыг хичээцгээе.

Тодорхойлолтоор tg(a) = sin(a)/cos(a), ctg(a) = cos(a)/sin(a).

Эдгээр тэгшитгэлүүдийг үржүүлээд tg(a)*ctg(a) =1 гаргая.

Энэ тэгшитгэлээс нэг функцийг нөгөө функцээр дамжуулан илэрхийлж болно. Бид авах:

• tg(a) = 1/ctg(a),
• ctg(a) = 1/tg(a).

Эдгээр тэгшитгэл нь зөвхөн tg ба ctg байгаа үед, өөрөөр хэлбэл a = k*pi/2-аас бусад бүх a k-ийн хувьд хүчинтэй гэдгийг ойлгох хэрэгтэй.

Одоо тригонометрийн үндсэн шинж чанарыг ашиглан тангенс ба косинусын хамаарлыг олохыг хичээцгээе.

Гол тригонометрийн ижилсвэрийг (cos(a)) 2-т хуваая. (cos(a) нь тэгтэй тэнцүү биш, эс тэгвээс шүргэгч байхгүй болно.

Бид дараах тэгшитгэлийг олж авна ((sin(a)) 2 + (cos(a)) 2)/ (cos(a)) 2 =1/(cos(a)) 2.

Нэр томьёог нэр томъёонд хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

• 1+(tg(a)) 2 = 1/(cos(a)) 2 .

Дээр дурдсанчлан cos(a) нь тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл a=pi/2 +pi*k-аас бусад бүх a өнцөгт бүхэл k тоонуудын хувьд энэ томъёо зөв байна.