Тэгшитгэлийн тоон шийдэлба тэдгээрийн системүүд нь тэгшитгэл эсвэл тэгшитгэлийн системийн үндсийг ойролцоогоор тодорхойлохоос бүрдэх бөгөөд шийдлийн арга нь тодорхойгүй эсвэл хөдөлмөр их шаарддаг тохиолдолд ашиглагддаг.
Асуудлын талаархи мэдэгдэл[ | ]
Тэгшитгэл ба тэгшитгэлийн системийг тоон аргаар шийдвэрлэх аргуудыг авч үзье.
f (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))=0)( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(array)(lcr)f_(1) )(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))&=&0\\\ldots &&\\f_(n)(x_(1),x_(2),\ldots,x_( n))&=&0\төгсгөл(массив))\баруун.)
Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тоон аргууд[ | ]
Оновчлолын аргыг ашиглахгүйгээр анхны тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдэж болохыг харцгаая. Хэрэв манай систем SLAE бол Гауссын арга эсвэл Ричардсоны арга гэх мэт аргуудыг ашиглахыг зөвлөж байна. Гэсэн хэдий ч бид функцийн хэлбэр нь бидэнд мэдэгддэггүй гэсэн таамаглалыг үргэлжлүүлж, тоон шийдлийн давталтын аргуудын аль нэгийг ашиглах болно. Эдгээрээс бид хамгийн алдартай аргуудын нэг болох Ньютоны аргыг сонгох болно. Энэ арга нь эргээд шахалтын зураглалын зарчим дээр суурилдаг. Тиймээс сүүлчийнх нь мөн чанарыг эхлээд тайлбарлах болно.
Шахалтын зураглал[ | ]
Нэр томъёог тодорхойлъё:
Функцийг гүйцэтгэдэг гэж хэлдэг шахалтын зураглал дээр бол
Тэгвэл дараах үндсэн теорем хүчинтэй байна.
| Баначийн теорем (агшилтын зураглалын зарчим). Хэрэв φ (\displaystyle \varphi)- шахалтын дэлгэц асаалттай [ a , b ] (\displaystyle), Тэр нь: |
Теоремын сүүлчийн цэгээс харахад агшилтын зураглалд суурилсан аливаа аргын нийлэх хурд нь шугаманаас багагүй байна.
Параметрийн утгыг тайлбарлая α (\displaystyle \alpha)нэг хувьсагчийн хувьд. Лагранжийн теоремын дагуу бид дараах байдалтай байна.
φ (x) ∈ C 1 [ a , b ] .< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b) , x 1 Үүнийг дагадагα ≈ | φ ′ (ξ) |
(\displaystyle \alpha \ойролцоогоор |\varphi "(\xi)|)[ | ]
. Тиймээс аргын нэгдэхийн тулд энэ нь хангалттай юм дараалсан ойртуулах аргаэсвэл энгийн давталтын аргаар. Гэсэн хэдий ч тэгшитгэлийг өөр өөр аргаар ижил үндэстэй агшилтын зураг болгон хувиргаж болно. Энэ нь шугаман болон илүү өндөр нийлэх хувьтай хэд хэдэн тодорхой аргуудыг бий болгодог.
SLAU-тай холбоотой[ | ]
Системийг авч үзье:
( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(array)(ccc)a_(11)x_(1)+) \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \төгсгөл(массив))\баруун.)
Үүний тулд давталтын тооцоо дараах байдалтай байна.
(x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1 x 1) (x) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(array)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end) (массив))\баруун)^(i+1)=\зүүн((\эхлэх(массив)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(массив))\баруун )\left((\begin(массив)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(массив))\баруун)^(i)-\left( (\begin(массив)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(массив))\баруун))
Хэрэв арга нь шугаман хурдтай нийлнэ ‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}
Давхар босоо баар нь матрицын зарим нормыг заана.
f(x)=0 тэгшитгэлийг Ньютоны аргаар шийдэх, анхны ойролцоололт: x 1 =a.
Ньютоны арга (шүргэх арга)[ | ]
Нэг хэмжээст хэрэг[ | ]
Анхны тэгшитгэлийн хувиргалтыг оновчтой болгох f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)шахалтын дэлгэц рүү оруулна x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x))нийлэх квадрат хурдтай аргыг олж авах боломжийг бидэнд олгодог.
Зураглал хамгийн үр дүнтэй байхын тулд дараагийн давталтын цэг дээр хийх шаардлагатай x ∗ (\displaystyle x^(*))явуулсан φ ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). Бид энэ тэгшитгэлийн шийдлийг хэлбэрээр хайх болно φ (x) = x + α (x) f (x) (\displaystyle \varphi (x)=x+\alpha (x)f(x)), Дараа нь:
φ ′ (x ∗) = 1 + α ′ (x ∗) f (x ∗) + α (x ∗) f ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\альфа (x^(*))f"(x^(*))=0)Үүнийг ашиглая f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0), мөн бид эцсийн томъёог авдаг α (x) (\displaystyle \alpha (x)):
α (x) = − 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))Үүнийг харгалзан шахалтын функц нь дараах хэлбэртэй болно.
φ (x) = x − f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))Дараа нь тэгшитгэлийн тоон шийдлийг олох алгоритм f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0)давталттай тооцооны процедур болгон бууруулна:
x i + 1 = x i − f (x i) f ′ (x i) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i))))(f"(x_(i)) )))1. f(x) = 0 тэгшитгэлийн нэг язгуурыг агуулсан хэрчмийг мэдэгдэж байг. f функц нь энэ сегмент дээрх тасралтгүй дифференциалагдах функц (f(x)ОC 1 ). Эдгээр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энгийн давталтын аргыг ашиглаж болно.
2. f(x) функцийг ашиглан j(x) гэсэн гурван нөхцөлийг хангасан функцийг байгуулав: энэ нь тасралтгүй дифференциалагдах (j(x)ОC 1 ) байх ёстой, тэгснээр x тэгшитгэл үүснэ. = j(x) нь f(x)=0 тэгшитгэлтэй тэнцүү; бас байх ёстой сегментийг орчуулах өөртөө.
j функц гэж бид хэлэх болно ( x ) сегментийг орчуулдаг [а , б ] өөртөө, хэрэв хэн нэгний хувьд x Î [ а , б ], y = j ( x ) мөн харьяалагддаг[ а , б ] ( y Î [ а , б ]).
Гурав дахь нөхцөл нь j(x) функцэд тавигдсан:
Аргын томъёо: x n +1 = j(xn).
3. Хэрэв эдгээр гурван нөхцөл хангагдсан бол аливаа анхны ойролцоолсон х 0 О давталтын дараалал x n +1 = j(x n) тэгшитгэлийн язгуурт нийлдэг: x = j(x) () сегмент дээр.
Дүрмээр бол x 0 байна төгсгөлүүдийн аль нэгийг сонгосон.
,
Энд e нь заасан нарийвчлал
x n +1 тоо давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөл хангагдсан үед энэ нь тэгшитгэлийн язгуурын ойролцоо утгасегмент дээр f(x) = 0, энгийн давталтын аргаар нарийвчлалтайгаар олсонд .
Тэгшитгэлийн язгуурыг тодруулах алгоритмыг байгуулна: x 3 + 5x – 1 = 0 сегмент дээр энгийн давталтын аргыг нарийвчлалтайгаар e. .
1. f(x) = функц x 3 +5x-1 тэгшитгэлийн нэг үндэс агуулсан интервал дээр тасралтгүй дифференциал болно.
2. Энгийн давталтын аргын хамгийн том бэрхшээл бол бүх нөхцөлийг хангасан j(x) функцийг бүтээх явдал юм.
Үүнд: 
.
Тэгшитгэл x = j 1 (x) f(x) = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү боловч j 1 (x) функц интервал дээр тасралтгүй дифференциалагдах боломжгүй.
Цагаан будаа. 2.4. j 2 функцийн график (x)
Нөгөөтэйгүүр, тиймээс . Эндээс: тасралтгүй дифференциалагдах функц юм. Тэгшитгэл: x = j 2 (x) нь f(x) = 0 тэгшитгэлтэй тэнцүү гэдгийг анхаарна уу. . Графикаас (Зураг 2.4) j 2 (x) функц нь хэрчмийг өөртөө хувиргах нь тодорхой байна.
j(x) функц нь сегментийг өөртөө авах нөхцөлийг дараах байдлаар дахин томъёолж болно: j(x) функцийн тодорхойлолтын муж, j(x) функцийн өөрчлөлтийн муж гэж үзье.
Хэрэв сегмент нь сегментэд хамаарах бол j(x) функц нь сегментийг өөртөө авдаг.
, 
.
j(x) функцийн бүх нөхцөл хангагдсан.
Давтагдах процессын томъёо: x n +1 = j 2(xn).
3. Анхны ойролцоо тооцоолол: x 0 = 0.
4. Давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөл:
Цагаан будаа. 2.5. Энгийн давталтын аргын геометрийн утга
.
Хэрэв энэ нөхцөл хангагдсан бол x n +1 - сегмент дээрх язгуурын ойролцоо утга, нарийвчлалтай энгийн давталтаар олно д. Зураг дээр. 2.5. Энгийн давталтын аргын хэрэглээг зурагт үзүүлэв.
Конвергенцийн теорем ба алдааны тооцоо
Сегментийг зөвшөөр тэгшитгэлийн нэг язгуурыг агуулна x = j(x), функц j(x ) интервал дээр тасралтгүй дифференциал болно , сегментийг орчуулдаг өөртөө орж, нөхцөл хангагдсан байна:
.
Дараа нь ямар ч анхны ойролцоо тооцоолол x 0 О дэд дараалал тэгшитгэлийн язгуурт нийлдэг y = j(x ) сегмент дээр мөн алдааны тооцоо нь шударга байна:
.
Энгийн давталтын аргын тогтвортой байдал. Нэгдэх теоремын нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энгийн давталтын аргын алгоритм тогтвортой байна.
Энгийн давталтын аргын нарийн төвөгтэй байдал. Энгийн давталтын аргыг хэрэгжүүлэхэд шаардагдах компьютерийн санах ойн хэмжээ бага байна. Алхам бүрт та x n-ийг хадгалах хэрэгтэй , x n +1 , q Тэгээд д.
Энгийн давталтын аргыг хэрэгжүүлэхэд шаардагдах арифметик үйлдлийн тоог тооцоолъё. n 0 = n 0 (e) тоонуудын тооцооллыг бүх n ³ n 0 хувьд тэгш бус байдал хангана гэж бичье. 
Энэ тооцооноос үзэхэд q нь нэгд ойртох тусам арга нь удаан нийлдэг.
Сэтгэгдэл. Нэгдэх теоремын бүх нөхцөл хангагдахаар f(x)-аас j(x)-ийг байгуулах ерөнхий дүрэм байхгүй. Дараах аргыг ихэвчлэн ашигладаг: j(x) = x + k× f(x) функцийг j функцээр сонгоно, энд k – тогтмол.
Энгийн давталтын аргыг програмчлахдаа давтагдах үйл явцыг зогсоох нь ихэвчлэн хоёр нөхцлийг нэгэн зэрэг биелүүлэхийг шаарддаг.
Мөн .
Бидний авч үзэх бусад бүх давталтын аргууд нь энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдлууд юм. Жишээлбэл, хэзээ 
Ньютоны арга нь энгийн давталтын аргын онцгой тохиолдол юм.
Энгийн давталтын арга нь анхны тэгшитгэлийг ижил тэгшитгэлээр солиход суурилдаг.
Үндэст анхны ойролцоолсон утгыг мэддэг байг x = x 0. Үүнийг тэгшитгэлийн баруун талд (2.7) орлуулснаар бид шинэ ойролцоо утгыг олж авна 
, дараа нь бид ижил төстэй байдлаар авна 
гэх мэт:
. (2.8)
 |
Бүх нөхцөлд давтагдах процесс нь тэгшитгэлийн үндэс рүү нийлдэггүй X. Энэ үйл явцыг нарийвчлан авч үзье. Зураг 2.6-д нэг талын конвергент ба дивергент процессын график тайлбарыг үзүүлэв. Зураг 2.7-д хоёр талын конвергент ба дивергент процессуудыг харуулав. Дивергент үйл явц нь аргумент ба функцийн утгын хурдацтай өсөлт, холбогдох програмыг хэвийн бус дуусгавар болгох замаар тодорхойлогддог.
 |
Хоёр талын процессоор дугуй унах боломжтой, өөрөөр хэлбэл ижил функц, аргументуудын утгыг эцэс төгсгөлгүй давтах боломжтой. Гогцоо нь дивергент процессыг нэгдэх процессоос тусгаарладаг.
Нэг талт болон хоёр талт үйл явцын аль алинд нь үндэс рүү ойртох нь язгуурын ойролцоох муруйн налуугаар тодорхойлогддог нь графикуудаас тодорхой харагдаж байна. Налуу нь бага байх тусмаа нэгдэх нь сайн. Мэдэгдэж байгаагаар муруйн налуугийн тангенс нь тухайн цэг дээрх муруйны деривативтай тэнцүү байна.
Тиймээс үндэсийн ойролцоо тоо бага байх тусам процесс хурдан нийлдэг.
Давталтын процесс нийлэхийн тулд язгуурын ойролцоо дараахь тэгш бус байдлыг хангасан байх ёстой.
(2.1) тэгшитгэлээс (2.7) тэгшитгэл рүү шилжих үйл ажиллагааг функцийн төрлөөс хамааран янз бүрийн аргаар хийж болно. f(x).Ийм шилжилтийн үед нийлэх нөхцөл (2.9) хангагдахын тулд функцийг байгуулах шаардлагатай.
(2.1) тэгшитгэлээс (2.7) тэгшитгэл рүү шилжих ерөнхий алгоритмуудын нэгийг авч үзье.
(2.1) тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талыг дурын тогтмолоор үржүүлье. бмөн хоёр хэсэгт үл мэдэгдэхийг нэмнэ X.Энэ тохиолдолд анхны тэгшитгэлийн үндэс өөрчлөгдөхгүй.
Тэмдэглэгээг танилцуулъя 
(2.10) хамаарлаас (2.8) тэгшитгэл рүү шилжье.
 |
Тогтмолыг дур зоргоороо сонгох бнийлэх нөхцөл (2.9) биелэлтийг хангана. Давталтын процессыг дуусгах шалгуур нь нөхцөл (2.2) байх болно. Зураг 2.8-д тайлбарласан дүрслэлийн аргыг ашиглан энгийн давталт хийх аргын график тайлбарыг үзүүлэв (X ба Y тэнхлэгийн дагуух масштабууд өөр байна).
Хэрэв функцийг хэлбэрээр сонгосон бол энэ функцийн дериватив нь . Нэгдэх хамгийн дээд хурд нь -д байх болно 
давталтын томъёо (2.11) нь Ньютоны томъёо болж хувирна. Тиймээс Ньютоны арга нь бүх давтагдах үйл явцын хамгийн дээд зэрэгтэй нийлдэг.
Энгийн давталтын аргын програм хангамжийн хэрэгжилт нь дэд программын процедур хэлбэрээр хийгддэг Давталт(ХӨТӨЛБӨР 2.1).
Процедур нь бүхэлдээ нэг давтагдах үйл явцыг зогсоох нөхцөлийг харгалзан (2.11) томъёог хэрэгжүүлэх (томъёо (2.2)) -аас бүрддэг.
Уг процедур нь Niter хувьсагчийг ашиглан гогцоонуудын тоог тоолох замаар давталтын хамгаалалттай. Практик хичээл дээр та коэффициентийн сонголт хэрхэн нөлөөлж байгааг програмыг ажиллуулах замаар шалгах хэрэгтэй бба үндсийг хайх явцад анхны ойролцоолсон. Коэффицентийг өөрчлөх үед бсудалж буй функцийн давтагдах үйл явцын шинж чанар өөрчлөгдөнө. Энэ нь эхлээд хоёр талт болж, дараа нь гогцоо (Зураг 2.9). Тэнхлэгийн масштаб XТэгээд Юялгаатай. Модулийн b-ийн илүү их утга нь ялгаатай процесст хүргэдэг.
Тэгшитгэлийг ойролцоогоор шийдвэрлэх аргуудын харьцуулалт
Тэгшитгэлийн тоон шийдлийн дээр дурдсан аргуудын харьцуулалтыг компьютерийн дэлгэц дээр график хэлбэрээр үндсийг олох үйл явцыг ажиглах боломжийг олгодог програмыг ашиглан гүйцэтгэсэн. Энэхүү хөтөлбөрт тусгагдсан журам, харьцуулсан аргуудыг доор өгөв (ХӨТӨЛБӨР 2.1).
Цагаан будаа. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 нь давталтын процессын төгсгөлд PC дэлгэцийн хуулбар юм.
Бүх тохиолдолд x 2 -x-6 = 0 квадрат тэгшитгэлийг судалж буй функц болгон авч, аналитик шийдэл нь x 1 = -2 ба x 2 = 3 байна. Алдаа болон анхны ойролцооллыг бүх аргын хувьд тэнцүү гэж үзсэн. Root хайлтын үр дүн x=Зурагт үзүүлсэн 3 нь дараах байдалтай байна. Дихотомийн арга нь хамгийн удаан - 22 давталтыг нэгтгэдэг, хамгийн хурдан нь b = -0.2 - 5 давталттай энгийн давталтын арга юм. Энд Ньютоны арга хамгийн хурдан гэсэн үгтэй зөрчилдөхгүй.
Тухайн цэг дээр судалж буй функцийн дериватив X= 3 нь -0.2-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл энэ тохиолдолд тооцооллыг тэгшитгэлийн язгуур цэг дээрх деривативын утгыг Ньютоны аргаар практикт гүйцэтгэсэн. Коэффицентийг өөрчлөх үед бнийлэх хурд буурч, аажмаар нийлэх үйл явц эхлээд мөчлөгт орж, дараа нь дивергент болдог.
