Каноник чуулга. Гиббс хуваарилалт. Статистикийн нийлбэр.

Энэ тохиолдолд судалж буй системийг төлөөлөх хурд ба энергийн төлөвийг авч үзье. Гэхдээ энэ систем хаагдахаа больсон. Учир нь энэ нь нийлээд хаалттай системийг бүрдүүлдэг бусад хэсгүүдтэй энерги солилцдог.

Хаалтгүй статистикийн системийн багцыг каноник чуулга гэж нэрлэдэг.

Каноник чуулгын бие даасан систем нь нэг эсвэл олон тоосонцорыг агуулж болно. Цорын ганц чухал зүйл бол түүний бөөмсийн тоо нь том системийн бөөмсийн тооноос хамаагүй бага байх явдал юм. Каноник чуулгын янз бүрийн системүүдийн энерги өөр өөр байдаг. Асуудал нь энэ чуулгын системийн янз бүрийн энергийн төлөв байдлын магадлалыг тодорхойлох явдал юм. Гиббсийн тархалт буюу каноник тархалтын дагуу систем ε a энергитэй төлөвт байх магадлал:

P a =A*e - βεa,

A=Гα 0 / Г 0 ,

Энд Г 0 нь микроканоник чуулгад хамаарах төлөвүүдийн тоо, Гα 0 нь авч үзэж буй каноник дэд системийн тэг энергийн төлөвийг хэрэгжүүлэх бүрэн системийн микро төлөвүүдийн тоо юм. Гиббсийн тархалтыг хуваалтын функцээр мөн бичиж болно

P a =(e - βεа)/(∑ a e - βεа)

Хуваалтын функц нь бүх бичил төлөвийн нэгэн зэрэг функц юм.

Хийн молекул кинетик онолын үндсэн тэгшитгэл (даралтын хувьд)

Молекулуудын нөлөөллөөс болж хөлөг онгоцны хананд хийн даралт үүсдэг. Молекулууд бүрэн санамсаргүй байдлаар хөдөлдөг. Хөдөлгөөний бүх чиглэл ижил магадлалтай. Энэ мэдэгдлийн үндэс нь хөлөг онгоцны ханан дээрх хийн даралт хаа сайгүй ижил байдаг туршилтын баримт юм. Даралтыг тооцоолох асуудлын шийдлийг математикийн хувьд хялбаршуулахын тулд бид хоёр таамаглалыг хүлээн зөвшөөрдөг.

1) Молекулууд харилцан перпендикуляр гурван чиглэлд хөдөлдөг.

2) Бүх молекулууд ижил хурдтай байдаг.

Хийн доторх дельта S талбайг сонгоцгооё, түүний байрлал нь гадаад хэвийн n-ээр тодорхойлогдоно. (3) Дельта t хугацаанд суурь талбай ∆S, v*∆t өндөртэй цилиндрт байгаа бүх молекулууд дельта S элементэд хүрнэ.

1/6n*v*∆t*∆S=N

∆k=2mv*1/6n*v*∆t*∆S=1/3nmv 2 ∆S

∆F=∆k/∆t=1/3 nmv 2 ∆S

P=∆F/∆S=1/3 nmv 2 =2/3nε

Бүх молекулууд ижил хурдтай хөдөлдөг гэсэн таамаглалаар энэ илэрхийлэлийг олж авсан. Молекулууд өөр өөр хурдтайгаар хөдөлдөг тул даралт нь тэнцүү байна

Хэрэв өгөгдсөн температурт өөр өөр хийн хольц байгаа бол өөр өөр масстай молекулууд өөр өөр дундаж хурдтай байх боловч молекулуудын дундаж энерги ижил байна. Энэ тохиолдолд нийт даралт нь тэнцүү байх болно

p = nkT = (n 1 +n 2 +…+n i)kT= n 1 kT+n 2 kT+n i kT

Энэ бол Далтоны хууль: хийн хольц дахь даралт нь энэ хольцыг үүсгэгч хийн хэсэгчилсэн даралтын нийлбэртэй тэнцүү байна.

Агаар: 77% N 2 + 20% O 2

Энэ тэгшитгэл нь зөвхөн молекулуудын хөрвүүлэх хөдөлгөөний энергийг харгалзан үздэг. Гэсэн хэдий ч молекулын эргэлт, молекулыг бүрдүүлдэг атомуудын чичиргээ бас боломжтой. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хоёр төрлийн хөдөлгөөн нь тодорхой хэмжээний энергитэй холбоотой бөгөөд үүнийг молекулын эрх чөлөөний зэрэгт энергийн тэгш хуваарилалтын талаархи статистик физикийн тогтоосон байрлалаар тооцоолж болно. Механик системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо нь системийн байрлалыг тодорхойлох боломжтой бие даасан хэмжигдэхүүнүүдийн тоо юм. Жишээлбэл, материаллаг цэг нь гурван зэрэг эрх чөлөөтэй байдаг. Материаллаг цэгээс хатуу бие рүү шилжихийн тулд инерцийн төв гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлэх шаардлагатай. Хатуу биетийн инерцийн төв нь энэ биеийн масстай, бие өөрөө хөдөлдөгтэй адил биед үйлчлэх хүчний нөлөөн дор хөдөлдөг материаллаг цэг юм. Үнэмлэхүй хатуу бие нь зургаан зэрэглэлийн эрх чөлөөтэй байдаг.

Хэрэв молекулд орсон атомуудын байрлал тогтмол биш бол чичиргээний эрх чөлөөний зэрэг нэмэгдэнэ. Чичиргээний эрх чөлөөний зэрэг нь орчуулга эсвэл эргэлттэй харьцуулахад хоёр дахин их энергийн багтаамжтай гэдгийг санах нь зүйтэй. Энэ нь хэлбэлзлийн үед кинетик ба боломжит энерги хоёулаа өөрчлөгдөж, дундаж утгууд нь тэнцүү байдагтай холбоотой юм.

i=n post +n эргэлт +2n тоо

Идеал хийн дотоод энерги

Идеал хийн молекулууд хоорондоо хол зайд харилцан үйлчилдэггүй тул системийн дотоод энерги нь бие даасан молекулуудын энергиэс бүрдэнэ.

Дулааны багтаамж гэдэг нь биеийн температурыг нэг градусаар (K) нэмэгдүүлэхийн тулд биед өгөх шаардлагатай дулааны хэмжээтэй тэнцүү физик хэмжигдэхүүн юм.

Түүнчлэн молекулын физикт дулааны багтаамжийг системд дулаан өгөх нөхцлөөс хамааран тогтмол эзэлхүүн, тогтмол даралттай үед нэвтрүүлдэг. Хэрэв халаалт тогтмол эзэлхүүнтэй бол систем нь гадны биетүүд дээр ажиллахгүй бөгөөд системд өгсөн бүх дулаан нь дотоод энергийг өөрчлөхөд чиглэгддэг.

Хэрэв халаалт тогтмол даралттай байвал хий нь өргөжиж, гадны биетүүд дээр ажиллах боломжтой

Майерын тэгшитгэлийг ашиглан бид тооцоолж болно

Термодинамикийн танилцуулга.

Олон тооны эрх чөлөөний зэрэгтэй системүүдийн макроскопийн тодорхойлолт. Тусгаарлагдсан болон хаалттай системүүд. Макроскоп системийн дэд системүүд. Термодинамикийн тэнцвэр ба термодинамикийн тэг хууль. Температурын тухай ойлголт.

Термодинамикийн формализм.

Бараг суурин процессууд, хаалттай систем дээрх энгийн ажил, каноник коньюгат макропараметрүүд. Дэд системүүдийн хоорондох дулаан солилцоо ба термодинамикийн нэгдүгээр хууль.

Термодинамикийн хоёр дахь хууль. Адиабат процесс. Энтропи ба температурыг тодорхойлох. Энтропийн нэмэлт чанар. Хамгийн их энтропийн зарчим.

Термодинамик потенциал ба тэдгээрийн шинж чанар (энтропи, чөлөөт энерги, энтальпи, Гиббс термодинамик потенциал, том термодинамик потенциал). Энгийн дэд системд өргөн, эрчимтэй параметрүүд. Ле Шательегийн зарчим ба термодинамик тэгш бус байдал.

Дулааны машинууд. Хаалттай тэнцвэргүй системээс гаргаж авсан хамгийн их ажил. Циклийн процесст ажиллах, мөчлөгийн үр ашиг, Карногийн мөчлөг. Гадаад орчинд хамгийн их биеийн ажил. Дотоод шаталтат хөдөлгүүрийн загварууд.

Статистикийн физикийн формализм

Гамильтоны каноник тэгшитгэл дээр суурилсан макроскоп системийн динамикийн бичил тайлбар. Статистикийн физикийн үндсэн үүрэг. Урвуу байдлын парадокс ба статистик физикийн үндсэн постулатууд. Тэдний микроаналогийг дундажлан авсны үр дүнд макроскопийн параметрүүд.

Эргодик таамаглал ба системийн статистикийн нэгдэл. Фазын орон зай, тархалтын функц ба Лиувиллийн кинетик тэгшитгэл. Өгөгдсөн тархалтын функцийн янз бүрийн магадлалын тархалтын тооцоо. Хаалттай систем дэх суурин түгээлтийн функцууд. Адиабат процесс ба түүний салшгүй хэсэг.

Микроканоник тархалт.

Микроканоник тархалт нь адиабат процессыг дундажлах аргаар макроскопийн параметрүүдийг тооцоолоход тохиромжтой тархалтын функцийн хязгаар юм. Микро төлөвийн тэгш магадлал ба макро төлөвийн тэгш бус магадлал. Төрөл бүрийн параметрүүдийн магадлалын тархалтыг тооцоолох.

Хаалттай системийн энтропийн статистик тодорхойлолт (энтропийн хамгийн их зарчим ба нэмэлт, термодинамикийн танилцуулга).

Идеал хийн төлөвийн тэгшитгэлийн статистик тооцоо. Гадны боломжит талбайд хамгийн тохиромжтой хий. Идеал хий дэх Максвелл-Больцманы тархалт.

Гиббсийн парадокс ба түүнийг сонгодог статистикийн физикийн хүрээнд шийдвэрлэх арга. Ижил бөөмсийн системийн энтропийг тодорхойлох.

Гиббс хуваарилалт

Термостат дахь тэнцвэрийн дэд системийн статистик тодорхойлолт. Сонгодог статистик физикийн каноник тархалт. Статистикийн интеграл ба системийн чөлөөт энерги.

Каноник тархалтын талаархи дүгнэлт. Каноник ба микроканоник чуулгын үндсэн дээр бүтээгдсэн макроскопийн термодинамикийн эквивалент.

Төрөл бүрийн термостат ба термодинамик потенциалын каноник тархалт. Термодинамик харилцааны харгалзах томъёоны эквивалент байдал.

Гиббсын тархалтын хүрээнд идеал хийн шинжилгээ. Монатомын идеал хийн төлөв ба дулаан багтаамжийн тэгшитгэл. Гадны боломжит талбайд хамгийн тохиромжтой хий. Кинетик энергийг эрх чөлөөний зэрэгт тэгш хуваарилах хууль. Полиатомт хийн дулааны багтаамж. Сонгодог статистик физикийн ялагдал.

Квант Гиббс тархалт

Гиббсийн каноник тархалтын квант ерөнхий дүгнэлт. Хуваалтын функц ба түүний бараг сонгодог дүрслэл. Осцилляторын дундаж энергийн Планкийн томъёо. Бага температурт "хөлдөх" эрх чөлөөний зэрэг. Нернстийн теорем.

Эрх чөлөөний орчуулгын зэрэглэлийн тоо хэмжээ. Ижил бөөмсийн тухай ойлголт, хүчин зүйлийн гарал үүсэл, доройтдоггүй идеал хийн сонгодог тодорхойлолтын нөхцөл.

Ижил хэсгүүд

Ижил бөөмсийн хамгийн энгийн системийн статистик тооцоо (эргэгч, осциллятор).

Олон тооны харилцан үйлчлэлгүй ижил хэсгүүдтэй системүүд Тэг спинтэй ижил осцилляторуудын нэгдэл. Квант статистикийн физикт ажил мэргэжлийн тоо, том каноник тархалтын төлөөлөл.

Ижил хэсгүүдийн хамгийн тохиромжтой хий. Бозе-Эйнштейн ба Ферми-Дирак хуваарилалт. Ижил бөөмсийн хий дэх доройтлын нөлөө, Бозе хийн конденсаци, Ферми энерги, бүрэн доройтсон Ферми хий. Задарсан Ферми хийн дулаан багтаамж ба термодинамик. Гадны талбайн идеал хийг доройтуулах. Хатуу бие дэх электронуудын хамгийн тохиромжтой хий (зурвасын онолын танилцуулга).

Тэнцвэрийн цацраг

Хаалттай эзэлхүүн дэх тэнцвэрт цацраг (фотон хийн загвар ба хээрийн осцилляторын загвар). Планкийн тархалт. Фотоны хийн энерги, даралт, термодинамик.

Санамсаргүй талбайн спектрийн шинж чанар (энергийн нягт ба дулааны цацрагийн эрчим). Ил тод, жигд бус орчинд дулааны цацрагийг шилжүүлэх. "Хар" ба "саарал" биетүүдийн цацраг.

Тохиромжгүй хийнүүд

Молекулуудын хоорондын харилцан үйлчлэл сул, ховордсон бодит хийн статистик тодорхойлолт. Ван дер Ваалсын загварын хүрээнд идеал бус хийн термодинамик. Жоул-Томпсон процесс. Сонгодог плазмын термодинамик.

I бүлгийн §7-д бид хаалттай систем энергитэй төлөвт байх магадлалыг харуулсан E„харьцаагаар тодорхойлогддог

Энэ харилцаа нь зөвхөн хаалттай системд хамаарна. Одоо нээлттэй системийн магадлалын тархалтыг олж авцгаая. Ямар ч хаалттай бус системийг аль хэдийн хаалттай гэж үзэж болох томоохон системийн нэг хэсэг гэж үзэж болох нь ойлгомжтой. Тухайн систем нь нэг хэсэг болох энэхүү том системийг нэрлэдэг термостат, мөн хамгийн нээлттэй систем гэж ярьдаг систем нь термостатад дүрэгдсэн.

Системийн нийт энерги нь

Хаана E 0 -термостатын эрчим хүч, E 0p- термостаттай системийн харилцан үйлчлэлийн энерги. Нэгэнт макросистемийн тухай ярьж байгаа болохоор бид үүнийг үргэлж таамаглаж болно

Термостат дахь системд тэгш байдлыг (3.1) хэрэгжүүлье:

одоо хаана w-систем энергитэй төлөвт байх магадлал Э p ба термостат нь энергийн тэгшитгэлтэй төлөвт байна.

Тэгш бус байдлын улмаас (3.2) термостат ба системийг статистикийн хувьд бие даасан гэж үзэж болох тул

Тэгш тэгш байдлын системийг (3.3) - (3.5) хангах цорын ганц арга зам бол тавих явдал гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Тиймээс систем нь энергитэй квант төлөвт байх магадлал E„тэнцүү байна

Тэгш байдлын хувьд (3.6) квант төлөвүүд доройтож болзошгүйг анхаарч үзэх хэрэгтэй. Болъё G(E p) -эрчим хүчний үнэ цэнэд тохирох системийн төлөвийн тоо E = E„.Дараа нь

Магадлалын тархалт (3.7) нь хэвийн болгох нөхцлийг хангасан байх ёстой

Системийн энергийн түвшин өсөх дарааллаар дугаарлагдсан тул: E 0<...>(3.8) илэрхийлэл дэх O нэр томьёо хурдацтай өсөх ба нийлбэр нь нэгтэй тэнцэх боломжгүй (Г(/?„) > 1 төлөвийн тоо нь тодорхой байна).

Тиймээс p утга нь сөрөг байх ёстой

хаана 0 > 0. Дараа нь

Экспонент нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүнийг агуулсан байх ёстой тул 0 нь энергийн хэмжээстэй байна.

(3.8)-аас Тоо хэмжээ

дуудсан статистикийн нийлбэр.

Оруулсан тэмдэглэгээг харгалзан хуваарилалт (3.7) хэлбэрийг авна

Харилцаа (3.9) гэж нэрлэдэг каноник Гиббс тархалт. 0>O параметрийг каноник тархалтын модуль буюу статистик температур.

Гиббсийн тархалтын гарал үүслээр түүнийг хэрэглэх нөхцөл дараах байдалтай байна.

• 1. Харгалзан үзэж буй системийн орчныг бүрдүүлдэг зарим хаалттай макроскоп систем байгаа эсэх (термостат).
• 2. Систем ба термостат хоорондын сул харилцан үйлчлэл байгаа эсэх.

Үгүй бол системийн шинж чанарууд нь бүрэн дур зоргоороо байдаг. Гиббс тархалтын гайхалтай онцлог нь дэд системийн хүрээлэн буй орчинтой харилцах механизмыг ямар ч байдлаар илэрхийлдэггүй явдал юм.

Системийн энергийн түвшин, өөрөөр хэлбэл боломжит энергийн утгууд нь мэдэгдэж байгаа бол аливаа тодорхой физик системийн Гиббс тархалтыг мэддэг гэж үзэж болно. E„ба системийн төлөв байдлын олон янз байдал - өгөгдсөн энергийн түвшинд харгалзах өөр өөр төлөвүүдийн тоо Г(?„) E p.

Гиббсийн тархалтыг мэдсэнээр та магадлалын онолын ерөнхий дүрмийн дагуу системийн төлөвийг тодорхойлсон аливаа хэмжигдэхүүний дундаж утгыг тооцоолж болно.

Системийн төлөв байдал доройтдоггүй тохиолдолд (3.9)-(3.10) илэрхийлэл хэлбэрийг авна.

Хүлээн авсан үр дүнг сонгодог статистикийг дагаж мөрддөг системүүдийн хувьд хялбархан нэгтгэж болно. Энэ тохиолдолд бид өгөгдсөн эрчим хүчний үнэ цэнэд тохирох төлөв байдлын талаар ярих ёсгүй E p,болон эрчим хүч нь мужид оршдог мужуудын тухай Эруу E+dE.Тус тусад нь G(E p)фазын орон зайн эзлэхүүний элемент рүү ордог

Дараа нь, харгалзах магадлал нь үнэ цэнэ хаана байна

дуудсан мужуудын салшгүй хэсэг.

Гэсэн хэдий ч дараахь нөхцөл байдлыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, ижил төстэй хоёр бөөм солигдсон тохиолдолд ийм зохицуулалт хийсний дараа нэг бөөмийн координат ба моментыг эхний ээлжинд координат ба моментоор сольсны үр дүнд биеийн төлөвийг өөр фазын цэгээр төлөөлөх болно. өөр бөөмс. Гэсэн хэдий ч ижил хэсгүүд дахин зохион байгуулагддаг тул биеийн эдгээр төлөвүүд бие махбодийн хувьд ижил байдаг. Тиймээс фазын орон зайн хэд хэдэн цэг нь биеийн ижил төлөвтэй тохирч байна. Үүний зэрэгцээ (3.14) илэрхийлэлд нэгтгэхдээ төлөв бүрийг зөвхөн нэг удаа анхаарч үзэх хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, бид зөвхөн бие махбодийн өөр өөр төлөвт тохирсон фазын орон зайн хэсгүүдийг нэгтгэх ёстой. Тиймээс (3.13) ба (3.14) хэлбэрээр бичих нь илүү тохиромжтой

Энд интеграл тэмдэг дээрх анхны тоо нь интеграл нь орон зайн физикийн хувьд өөр өөр бүс нутагт явагдана гэсэн үг юм.

Хэрэв, жишээ нь, бид бүрдсэн хийн тухай ярьж байна Нижил атомууд байгаа бол (3.16)-д заасан интеграцчлалыг хийн бүх эзэлхүүнээр гүйцэтгэх ёстой, гэхдээ түүний хоёр атомын аливаа дахин зохион байгуулалт нь түүний төлөв байдлыг өөрчлөхгүй, өөрөөр хэлбэл эцсийн үр дүн нь байх ёстой. боломжит дахин зохион байгуулалтын тоонд хуваагдана Натомууд. Тиймээс энэ тохиолдолд:

интеграцчлалыг хийн нийт эзэлхүүнээр гүйцэтгэдэг.

• I бүлгийн §4-ийг үзнэ үү.

Максвелл, Больцманнтай харьцуулахад статистик физикийн өргөтгөсөн тайлбарыг Гиббс өгсөн. Түүний тайлбарт даалгавар бол физик хэмжигдэхүүний дундаж утгыг тооцоолох явдал юм. Нэг систем дотор цаг хугацааны дундажийг тооцохын оронд тодорхой байдлаар эмх замбараагүй олон тооны ижил системүүдийн цуглуулгыг авч үздэг. Тогтмол энергитэй, тоосонцоруудын тоо тогтмол, эзэлхүүн нь тогтмол байдаг системийг хаалттай систем гэнэ. Энэхүү тайлбарын үндсэн ойлголтууд нь чуулга, бөөмийн цуглуулга, фазын орон зай гэсэн ойлголтууд юм.

Доод үе шат G-орон зай бүх ерөнхий координатын орон зайг ойлгох qба импульс r. Системийн бичил төлөв буюу түүний үе шат Энэ орон зай дахь цэгээр дүрслэгдсэн байна. At олдоц n зэрэглэлийн эрх чөлөө бидэнд 2n хэмжээст орон зай байна.

Судалгаанд хамрагдаж буй системийн макроскопийн хувьд бүрэн хангалттай N хувилбар байна гэж төсөөлөөд үз дээ: тэдгээр нь бүгд ижил гадаад нөхцөлд, ижил бүтэц, бүтэцтэй байдаг. Бие биетэйгээ харьцдаггүй ижил төстэй системүүдийн ийм нөхцөлт цуглуулгыг нэрлэдэг Гиббс чуулга.Чуулганы өөр өөр системүүд нь бие биенээсээ бичил төлөвт ялгаатай байдаг. Бид чуулгад багтсан гэж таамаглах болно бүх боломжтойөгөгдсөн гадаад нөхцөлд тохирсон микроскопийн төлөв. Цаг хугацаа өнгөрөхөд бөөмсийн хөдөлгөөний улмаас микроскопийн төлөвүүд бие биенээ сольдог.

Сонгодог статистикт системийн микро төлөв бүрийг цэгээр тодорхойлдог. 6N хэмжээст орон зайн DpDq эзлэхүүнд байрлана. Системийн өгөгдсөн микро төлөвийн магадлал буюу бөөмсийн координат ба моментууд Dx, Dp өгөгдсөн интервалд байх магадлал:

Энд N нь чуулга дахь системийн нийт тоо, DN нь өгөгдсөн эзэлхүүний дотор байрлах цэгүүдээр илэрхийлэгдсэн микро төлөвүүдийн тоо юм.

Системийн тодорхой төлөвийн магадлал нь өгөгдсөн фазын эзэлхүүнтэй пропорциональ байна DpDq ба фазын орон зай дахь чуулга системийн төлөвийг төлөөлөх цэгүүдийн тархалтын нягт.

Түгээлтийн функц(төрийн функц) f(p,q) нь N чуулга дахь системийн нийт тоотой холбоотой тархалтын нягт (фазын орон зайн нэгж эзлэхүүн дэх цэгүүдийн тоо) юм.

(1.6.2)

Магадлалын тодорхойлолтоос харахад хэвийн болгох нөхцөл хийгдэх ёстой

Тиймээс зарим тусгаарлагдсан (термостатад байрладаг) системийн хуваарилалтын функц нь хэлбэртэй байна

, (1.6.4)

Энд W(p,q) нь системийн нийт энерги бөгөөд A(T) коэффициентийг (1.6.2) нормчлолын нөхцлөөс тодорхойлно. Үр дүнгийн хуваарилалтыг гэж нэрлэдэг Гиббс хуваарилалтэсвэл каноник тархалт.

Квантын статистикийн хувьд янз бүрийн төлөвүүдийн тасралтгүй тархалтыг тэдгээрийн салангид багцаар солих шаардлагатай. Хаалттай системийн шинж чанар бол энтропи юм. Wi-ийн энергийн утга бүр нь квант төлөвийн тодорхой бүлэг N(W i)-тай тохирч байна (модралын зэрэг).

Өгөгдсөн энергитэй бүх төлөв ижил магадлалтай тул систем нь өгөгдсөн энергитэй төлөвүүдийн аль нэгэнд байх магадлал

Энэ микроканоник Гиббс тархалт. Үүнийг харуулж байна Хаалттай систем нь өгөгдсөн энергитэй мужуудын аль нэгэнд байх магадлал нь түүний доройтлын олон талтай пропорциональ байна.(ном зүй (3)-ыг үзнэ үү).

Хэвийн нөхцөл:

Энэ нь каноник Гиббс тархалтыг илэрхийлдэг

(1.6.6)

Гиббсын тархалтыг ашиглан системийн төлөв байдлаас хамааран дурын хэмжигдэхүүний дундаж утгыг тооцоолж болно. Гиббсийн тархалтын дээд хэмжээнд харгалзах төлөв нь хамгийн их магадлалтай.

1.3. Гиббс хуваарилалт

Статистикийн аргын тусламжтайгаар үндсэн шинж чанарыг тодорхойлохын тулд (X нь системийн бүх бөөмсийн координат ба моментийн нийлбэр) тухайн биеийн бүтцийн тодорхой загварыг ашигладаг. .

Материйн бүтцээс үл хамаарах, бүх нийтийн шинж чанартай ерөнхий статистикийн хэв маягийн ерөнхий шинж чанарыг олох боломжтой болж байна. Ийм хэв маягийг тодорхойлох нь дулааны процессыг тайлбарлах термодинамик аргын гол ажил юм. Термодинамикийн бүх үндсэн ойлголт, хуулиудыг статистикийн онолын үндсэн дээр нээж болно.

Тусгаарлагдсан (хаалттай) систем эсвэл тогтмол гадаад талбар дахь системийн хувьд төлөвийг дууддаг статистикийн тэнцвэрт байдал,хэрэв хуваарилалтын функц нь хугацаанаас хамаарахгүй бол.

Харж байгаа системийн хуваарилалтын функцийн тодорхой хэлбэр нь гадаад параметрүүдийн багц болон хүрээлэн буй биетэй харилцах шинж чанараас хамаарна. Энэ тохиолдолд гадаад параметрээр бид авч үзэж буй системд ороогүй биетүүдийн байрлалаар тодорхойлогддог хэмжигдэхүүнийг хэлнэ. Энэ нь жишээлбэл, системийн эзлэхүүн юм В, хүчний талбайн хүч гэх мэт. Хамгийн чухал хоёр тохиолдлыг авч үзье.

1) авч үзэж буй систем нь эрчим хүчний хувьд тусгаарлагдсан байна. Бөөмийн нийт энерги Этогтмол байна. Үүний зэрэгцээ . E багтаж болно А, гэхдээ үүнийг онцлон тэмдэглэх нь E-ийн онцгой үүргийг онцлон тэмдэглэж байна. Өгөгдсөн гадаад параметрүүдийн системийн тусгаарлах нөхцөлийг тэгшитгэлээр илэрхийлж болно:

2) Систем хаалттай биш - эрчим хүчний солилцоо боломжтой. Энэ тохиолдолд энэ нь хүрээлэн буй биетүүдийн бөөмсийн ерөнхий координат ба моментоос хамаарна. Хэрэв авч үзэж буй системийн эргэн тойрон дахь биетэй харилцан үйлчлэлийн энерги нь байвал энэ нь боломжтой юм.

Энэ нөхцөлд микро төлөвийн тархалтын функц нь температураар тодорхойлогддог хүрээлэн буй биетүүдийн дулааны хөдөлгөөний дундаж эрчмээс хамаардаг. Тхүрээлэн буй бие: .

Температур нь бас онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг. Түүнд байхгүй (ялгаатай А) механик дахь аналог: (хараатгүй Т).

Статистикийн тэнцвэрт байдалд энэ нь цаг хугацаанаас хамаардаггүй бөгөөд бүх дотоод параметрүүд өөрчлөгддөггүй. Термодинамикийн хувьд энэ төлөвийг төлөв гэж нэрлэдэг термодинамик тэнцвэр. Статистик болон термодинамик тэнцвэрийн тухай ойлголтууд нь тэнцүү юм.

Микроскопоор тусгаарлагдсан системийн тархалтын функц - микроканоник Гиббс тархалт

Эрчим хүчний хувьд тусгаарлагдсан системийн тохиолдол. Энэ тохиолдолд хуваарилах функцийн хэлбэрийг олцгооё.

Тархалтын функцийг олоход зөвхөн хөдөлгөөний интегралууд - энерги, - системийн импульс ба өнцгийн импульс чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Зөвхөн тэд л хянагддаг.

Гамильтончууд механикт онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг, учир нь Энэ бол бөөмийн хөдөлгөөний тэгшитгэлийн хэлбэрийг тодорхойлдог Гамильтоны функц юм. Системийн нийт импульс ба өнцгийн импульс хадгалагдах нь хөдөлгөөний тэгшитгэлийн үр дагавар юм.

Тиймээс Лиувиллийн тэгшитгэлийн ийм шийдлүүд нь хамаарал нь зөвхөн Гамильтоноор илрэх үед ялгагдана.

.

Учир нь, .

Бүх боломжит утгуудаас X(систем дэх бүх бөөмсийн координат ба моментийн багц), нөхцөлтэй нийцэхийг сонгоно. Тогтмол ХАМТхэвийн болгох нөхцлөөс олж болно:

,

тогтмол энергийн нөхцөлд хуваарилагдсан фазын орон зай дахь хэт гадаргуугийн талбай хаана байна.

Тэдгээр. – микроканоник Гиббс тархалт.

Тэнцвэрийн квант онолд мөн микроканоник Гиббсийн тархалт байдаг. Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя: - бөөмийн системийн микро төлөвийг тодорхойлдог квант тоонуудын бүрэн багц, - зөвшөөрөгдөх энергийн харгалзах утгууд. Тэдгээрийг авч үзэж буй системийн долгионы функцийн суурин тэгшитгэлийг шийдэх замаар олж болно.

Энэ тохиолдолд бичил төлөвийн хуваарилалтын функц нь системийн тодорхой төлөвт байх магадлалыг илэрхийлнэ. .

Квантын микроканоник Гиббс тархалтыг дараах байдлаар бичиж болно.

,

Хаана – Кронекерийн тэмдэг, – хэвийн байдлаас: – өгөгдсөн энергийн утгатай микро төлөвийн тоо (түүнчлэн ). гэж нэрлэдэг статистик жин.

Тодорхойлолтоос Нөхцөлийг хангаж байгаа бүх мужууд ижил магадлалтай, тэнцүү байна. Ийнхүү Гиббсийн квант микроканоник тархалт нь өмнөх магадлалын тэнцүү байх зарчим дээр суурилдаг.

Термостат дахь системийн микро төлөвийн хуваарилалтын функц нь Гиббсийн каноник тархалт юм.

Одоо хүрээлэн буй биетэй энерги солилцдог системийг авч үзье. Термодинамикийн үүднээс авч үзвэл энэ аргад тохирох температур бүхий маш том термостатаар хүрээлэгдсэн систем юм. Т. Том системийн хувьд (манай систем + термостат) микроканоник тархалтыг ашиглаж болно, учир нь ийм системийг тусгаарлагдсан гэж үзэж болно. Бид авч үзэж буй систем нь T температур ба түүний доторх бөөмсийн тоо бүхий том системийн жижиг боловч макроскопийн хэсгийг бүрдүүлдэг гэж бид таамаглах болно. Энэ нь тэгш байдал (>>) хангагдсан гэсэн үг .

Бид системийнхээ хувьсагчдыг дараах байдлаар тэмдэглэнэ X, болон термостатын хувьсагчид дамжуулан X 1 .

Дараа нь бид бүхэл системийн хувьд микроканоник тархалтыг бичнэ.

Системийн төлөв байдлын магадлалыг бид сонирхох болно Н ямар ч боломжит термостатын нөхцөлд тоосонцор. Энэ магадлалыг термостатын төлөвт энэ тэгшитгэлийг нэгтгэх замаар олж болно

Систем ба термостатын Гамильтон функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно

Системийн болон термостатын энергитэй харьцуулахад бид систем ба термостат хоорондын харилцан үйлчлэлийн энергийг үл тоомсорлох болно. Макросистемийн харилцан үйлчлэлийн энерги нь түүний гадаргуугийн талбайтай пропорциональ байдаг бол системийн энерги нь эзлэхүүнтэй пропорциональ байдаг тул үүнийг хийж болно. Гэсэн хэдий ч системийн энергитэй харьцуулахад харилцан үйлчлэлийн энергийг үл тоомсорлох нь тэгтэй тэнцүү гэсэн үг биш юм, эс тэгвээс асуудлын томъёолол нь утгаа алддаг.

Тиймээс авч үзэж буй системийн магадлалын тархалтыг дараах байдлаар илэрхийлж болно

Термостатын энергийн интеграцид шилжье

,

Тиймээс d-функцийн шинж чанарыг ашиглана

,

Термостат маш том байх үед бид дараа нь хязгаарлах тохиолдол руу шилжих болно. Термостат нь хамгийн тохиромжтой хийтэй байх онцгой тохиолдлыг авч үзье Н 1 масстай тоосонцор мтус бүр.

Хэмжээг илэрхийлдэг хэмжигдэхүүнийг олцгооё

,

Хаана нь гипер гадаргуу доторх фазын орон зайн эзэлхүүнийг илэрхийлдэг . Дараа нь нь гипер бөмбөрцгийн давхаргын эзэлхүүнийг илэрхийлнэ (гурван хэмжээст орон зайн илэрхийлэлтэй харьцуул

Идеал хийн хувьд интеграцийн мужийг нөхцөлөөр өгөгдсөн

.

Заасан хилийн хүрээнд нэгтгэсний үр дүнд бид 3-р боть олж авна Н-тэй тэнцүү байх радиустай 1 хэмжээст бөмбөг. Бид ийм байна

.

Бид хаанаас авах вэ?

.

Тиймээс, магадлалын хуваарилалтын хувьд бид байна

.

Одоо хязгаар руу шилжье Н 1 ®¥, гэхдээ харьцаа тогтмол хэвээр байна гэж үзвэл (термодинамикийн хязгаар гэж нэрлэдэг). Дараа нь бид авна

.

Үүнийг харгалзан үзвэл

,

.

Дараа нь термостат дахь системийн хуваарилалтын функцийг ингэж бичиж болно

,

Хаана ХАМТхэвийн болгох нөхцлөөс олно:

Функцийг дууддаг сонгодог статистикийн интеграл.Тиймээс термостат дахь системийн хуваарилалтын функцийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.

- энэ л байна Каноник Гиббс тархалт(1901).

Энэ хуваарилалтад Тдулааны хөдөлгөөний дундаж эрчмийг тодорхойлдог - хүрээлэн буй орчны тоосонцрын үнэмлэхүй температур.

Гиббс тархалтыг бичих өөр нэг хэлбэр

,

Тодорхойлолтод микроскопийн төлөвийг өөр өөр гэж үзсэн бөгөөд зөвхөн бие даасан хэсгүүдийн дахин зохион байгуулалтад ялгаатай байв. Энэ нь бид тоосонцор бүрийг хянах боломжтой гэсэн үг юм. Гэсэн хэдий ч ийм таамаглал нь парадокс руу хөтөлдөг.

Гиббсийн квант каноник тархалтын илэрхийлэлийг сонгодог хувилбартай зүйрлэж бичиж болно.

- статистикийн нийлбэр: .