Өсөн нэмэгдэж буй функцийн тодорхойлолт.

Чиг үүрэг y=f(x)интервалаар нэмэгддэг X, хэрэв байгаа бол болон тэгш бус байдал бий. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч байна.

Буурах функцийн тодорхойлолт.

Чиг үүрэг y=f(x)интервал дээр буурдаг X, хэрэв байгаа бол болон тэгш бус байдал бий . Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч байна.

ТАЙЛБАР: хэрэв функц нь нэмэгдэж, буурах интервалын төгсгөлд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй байвал (а;б), өөрөөр хэлбэл хэзээ x=aТэгээд x=b, дараа нь эдгээр цэгүүдийг нэмэгдүүлэх эсвэл буурах интервалд оруулна. Энэ нь интервал дахь өсөлт ба буурах функцийн тодорхойлолттой зөрчилддөггүй X.

Жишээлбэл, үндсэн үндсэн функцүүдийн шинж чанараас бид үүнийг мэддэг y=sinxаргументийн бүх бодит утгуудын хувьд тодорхойлогдсон бөгөөд тасралтгүй. Тиймээс интервал дээрх синус функцийн өсөлтөөс бид интервал дээр нэмэгддэг гэж баталж болно.

Функцийн экстремум цэг, экстремум.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэгфункцууд y=f(x), хэрэв хүн бүрт xтүүний хөршөөс тэгш бус байдал хүчинтэй байна. Хамгийн их цэг дээрх функцийн утгыг дуудна функцийн дээд хэмжээболон тэмдэглэнэ.

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэгфункцууд y=f(x), хэрэв хүн бүрт xтүүний хөршөөс тэгш бус байдал хүчинтэй байна. Функцийн хамгийн бага цэг дэх утгыг дуудна хамгийн бага функцболон тэмдэглэнэ.

Цэгийн хөршийг интервал гэж ойлгодог , энд хангалттай бага эерэг тоо байна.

Хамгийн бага ба дээд цэгүүдийг дуудна экстремум цэгүүд, ба экстремум цэгүүдэд тохирох функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Функцийн экстремумыг функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгатай андуурч болохгүй.

Эхний зураг дээр сегмент дээрх функцийн хамгийн том утга нь хамгийн их цэг дээр хүрч, функцийн хамгийн их утгатай тэнцүү бөгөөд хоёр дахь зураг дээр - функцийн хамгийн дээд утгыг цэг дээр хүрнэ. x=b, энэ нь дээд цэг биш юм.

Функцийг нэмэгдүүлэх, багасгах хангалттай нөхцөл.

Функцийн өсөлт, бууралтын хангалттай нөхцөл (тэмдэг) дээр үндэслэн функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг олно.

Интервал дахь функцүүдийн өсөлт ба бууралтын шинж тэмдгүүдийн томъёолол энд байна.

Хэрэв функцийн дериватив бол y=f(x)хэнд ч эерэг xинтервалаас X, дараа нь функц нь -ээр нэмэгдэнэ X;

Хэрэв функцийн дериватив бол y=f(x)хэнд ч сөрөг xинтервалаас X, дараа нь функц буурна X.

Тиймээс функцийн өсөлт, бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.

Алгоритмыг тайлбарлах функцүүдийн өсөлт ба буурах интервалыг олох жишээг авч үзье.

Жишээ.

Өсөх ба буурах функцийн интервалыг ол.

Шийдэл.

Эхний алхам бол функцийн тодорхойлолтыг олох явдал юм. Бидний жишээн дээр хуваагч дахь илэрхийлэл тэг рүү явах ёсгүй тул .

Функцийн деривативыг олохын тулд үргэлжлүүлье.

Хангалттай шалгуур дээр үндэслэн функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг тодорхойлохын тулд бид тодорхойлолтын муж дээрх тэгш бус байдлыг шийддэг. Интервалын аргын ерөнхий ойлголтыг ашиглая. Тоолуурын цорын ганц жинхэнэ үндэс нь юм x = 2, мөн хуваагч нь тэг рүү очно x=0. Эдгээр цэгүүд нь тодорхойлолтын мужийг функцийн дериватив тэмдэгээ хадгалах интервалд хуваадаг. Эдгээр цэгүүдийг тоон шулуун дээр тэмдэглэе. Бид уламжлал ёсоор дериватив эерэг эсвэл сөрөг байх интервалуудыг нэмэх ба хасахаар тэмдэглэдэг. Доорх сумнууд нь харгалзах интервал дээрх функцийн өсөлт, бууралтыг схемээр харуулав.

Функцийн экстремум

Тодорхойлолт 2

$x_0$ цэгийг $f(x)$ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ цэгийн хөрш байгаа бөгөөд энэ хөршийн бүх $x$-д $f(x)\le f(x_0) тэгш бус байдал бий болно. доллар хадгална.

Тодорхойлолт 3

$x_0$ цэгийг $f(x)$ функцийн хамгийн их цэг гэж нэрлэнэ. Хэрэв энэ цэгийн хөрш байгаа бөгөөд энэ хөршийн бүх $x$-д $f(x)\ge f(x_0) тэгш бус байдал бий болно. доллар хадгална.

Функцийн экстремумын тухай ойлголт нь функцийн эгзэгтэй цэгийн тухай ойлголттой нягт холбоотой. Түүний тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 4

$x_0$-г $f(x)$ функцийн чухал цэг гэж нэрлэдэг, хэрэв:

1) $x_0$ - тодорхойлолтын домэйны дотоод цэг;

2) $f"\left(x_0\right)=0$ эсвэл байхгүй байна.

Экстремумын тухай ойлголтын хувьд бид түүний оршин тогтнох хангалттай, шаардлагатай нөхцлийн талаар теоремуудыг томъёолж болно.

Теорем 2

Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл

$x_0$ цэг нь $y=f(x)$ функцийн хувьд чухал байх ба $(a,b)$ интервалд хэвтэнэ. $\left(a,x_0\right)\ ба \ (x_0,b)$ интервал бүр дээр $f"(x)$ дериватив байгаа бөгөөд тогтмол тэмдэг хадгална. Дараа нь:

1) Хэрэв $(a,x_0)$ интервал дээр дериватив нь $f"\left(x\right)>0$, харин $(x_0,b)$ интервал дээр дериватив нь $f"\left( x\баруун)

2) Хэрэв $(a,x_0)$ интервал дээр $f"\left(x\right)0$ дериватив байвал $x_0$ цэг нь энэ функцийн хамгийн бага цэг болно.

3) Хэрэв $(a,x_0)$ болон $(x_0,b)$ интервал дээр $f"\left(x\right) >0$ дериватив эсвэл $f"\left(x) үүсмэл байвал \баруун)

Энэ теоремыг 1-р зурагт үзүүлэв.

Зураг 1. Экстремум оршин тогтнох хангалттай нөхцөл

Хэт туйлшралын жишээ (Зураг 2).

Зураг 2. Хэт туйлын цэгүүдийн жишээ

Экстремумын функцийг судлах дүрэм

2) $f"(x)$ деривативыг ол;

7) Теорем 2-ыг ашиглан интервал бүр дээр максимум ба минимум байгаа эсэх талаар дүгнэлт гарга.

Өсөх, багасгах функцууд

Эхлээд нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Тодорхойлолт 5

$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функцийг $x_1-д $x_1,x_2\ X$-ийн аль нэг цэгийн хувьд нэмэгдэж байгаа гэж хэлнэ.

Тодорхойлолт 6

$X$ интервал дээр тодорхойлсон $y=f(x)$ функцийг $x_1f(x_2)$-д $x_1,x_2\ X$-ийн аль нэг цэгийн хувьд буурч байна гэж хэлнэ.

Өсөх, буурах функцийг судлах

Та дериватив ашиглан нэмэгдэж, буурах функцийг судалж болно.

Функцийн өсөлт ба буурах интервалыг шалгахын тулд та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

1) $f(x)$ функцийн тодорхойлолтын мужийг ол;

2) $f"(x)$ деривативыг ол;

3) $f"\left(x\right)=0$ тэнцүү байх цэгүүдийг ол;

4) $f"(x)$ байхгүй цэгүүдийг ол;

5) Координатын шугам дээр олсон бүх цэгүүд болон энэ функцийг тодорхойлох мужийг тэмдэглэнэ;

6) Үүссэн интервал бүр дээр $f"(x)$ деривативын тэмдгийг тодорхойлох;

7) Дүгнэлт гарга: $f"\left(x\right)0$ функц нэмэгдэх интервалд.

Өсөлт, бууралт, хэт туйлшралын функцийг судлах асуудлын жишээ

Жишээ 1

Өсөх ба буурах функц, хамгийн их ба хамгийн бага оноо байгаа эсэхийг шалгана уу: $f(x)=(2x)^3-15x^2+36x+1$

Эхний 6 оноо ижил тул эхлээд тэдгээрийг авч үзье.

1) Тодорхойлолтын домэйн - бүх бодит тоо;

2) $f"\left(x\right)=6x^2-30x+36$;

3) $f"\left(x\right)=0$;

\ \ \

4) $f"(x)$ нь тодорхойлолтын домэйны бүх цэгүүдэд байдаг;

5) Координатын шугам:

Зураг 3.

6) Интервал бүр дээр $f"(x)$ деривативын тэмдгийг тодорхойл.

\\, өөрөөр хэлбэл. синус функц хязгаарлагдмал. π Функц нь сондгой: sin(−x)=−sin x нь бүх x ∈ R. Функцийн график нь эхтэй харьцуулахад тэгш хэмтэй байна. π· Тогтмол функц 2 : нүгэл(x+2 k) = sin x, энд k ∈ Z бүх x ∈ R. sin x = 0 хувьд x = π·к, , k ∈ Z. sin x > 0 (эерэг) бүх x ∈ ( 2π к< 0 (отрицательная) для всех x ∈ (, k ∈ Z. sin x > 0 (эерэг) бүх x ∈ (, π+2π·k), k ∈ Z. sin x

2π+2π к

), k ∈ Z. π :cos(x+2 π· к) = cos x, хаана кБүх x ∈ R-ийн хувьд ∈ Z. cos x = 0at cos x > 0 бүх хүнд cos x< 0для всех Функц нь интервалаар −1-ээс 1 хүртэл нэмэгддэг: Функц нь интервалаар −1-ээс 1 хүртэл буурдаг: sin x = 1 функцийн цэг дээрх хамгийн том утга: Цэг дэх sin x = −1 функцийн хамгийн бага утга:

Тангенсийн функц

Олон функцийн утгууд- бүх тооны шугам, өөрөөр хэлбэл. шүргэгч - функц хязгааргүй.

Хачирхалтай функц: tg(−x)=−tg x
Функцийн график нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Функц нь үе үе юмхамгийн бага эерэг үетэй π , өөрөөр хэлбэл тг(x+ π· к) = бор х, к ∈ Зтодорхойлолтын домэйноос бүх x-ийн хувьд.

Котангентын функц

Олон функцийн утгууд- бүх тооны шугам, өөрөөр хэлбэл. котангенс - функц хязгааргүй.

Хачирхалтай функц: ctg(−x)=−ctg x тодорхойлолтын мужаас бүх x-д.
Функцийн график нь OY тэнхлэгт тэгш хэмтэй байна.

Функц нь үе үе юмхамгийн бага эерэг үетэй π , өөрөөр хэлбэл ctg(x+ π· к)=ctg x, к ∈ Зтодорхойлолтын домэйноос бүх x-ийн хувьд.

21)) Тус бүр өөрийн дугаараар хангагдсан тооны багц n (n = 1, 2, 3, ...), тоон дараалал гэж нэрлэдэг.

Дарааллын бие даасан тоонуудыг түүний нөхцөл гэж нэрлэдэг бөгөөд ихэвчлэн дараах байдлаар тэмдэглэдэг: эхний гишүүн а 1, секунд а 2 , .... n -р гишүүн а nгэх мэт бүх тооны дарааллыг зааж өгсөн болно

а 1 , а 2 , а 3 , ... , а n, ... эсвэл ( а n}.

22) Арифметик прогресс.Хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр нь энэ дарааллын тогтмол тоонд нэмсэн өмнөхтэй тэнцүү тоон дараалал г, дуудсан арифметик прогресс. Тоо гдуудсан явцын ялгаа. Арифметик прогрессийн аль ч гишүүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

a n = a 1 + d (n - 1) .

Арифметик прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртооцоолсон:

Геометрийн прогресс.Хоёр дахь хэсгээс эхлэн гишүүн бүр нь өмнөхтэй тэнцүү, энэ дарааллын тогтмол тоогоор үржүүлсэн тоон дараалал. q, дуудсан геометрийн

дэвшил. Тоо qдуудсан дэвшлийн хуваагч. Геометрийн прогрессийн аль ч гишүүнийг дараах томъёогоор тооцоолно.

bn=b 1 qn- 1 .

Геометр прогрессийн эхний n гишүүний нийлбэртооцоолсон:

Хязгааргүй буурах геометр прогресс нь хуваарь нь нөхцөлийг хангасан хязгааргүй геометр прогресс юм.

Хэмжээг хязгааргүй нэмэгдүүлээрэй Хязгааргүй багасах геометр прогрессийн эхний гишүүд гэж нэрлэгддэг тоо руу чиглэнэ хязгааргүй буурах геометр прогрессийн нийлбэр.

) f(x), f′(x) функцийн дериватив нь өөрөө функц юм. Энэ нь f(x) функцийн деривативыг f(x)-ын деривативыг хоёрдугаар эрэмбийн дериватив гэж нэрлэнэ гэсэн үг. эсвэл хоёр дахь дериватив).

Деривативын геометрийн утга. x 0 цэг дээрх дериватив нь функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна y = е(x) энэ үед.

Функцийн графикт шүргэгчийн тэгшитгэл: y = f(a) + f "(a)(x – a) y = f(a) + f "(a)(x – a)

Деривативын физик утга.Хэрэв цэг x тэнхлэгийн дагуу хөдөлж, координат нь x(t) хуулийн дагуу өөрчлөгдвөл цэгийн агшин зуурын хурд нь:

24)) Функцийн нийлбэрийн (ялгаа) дериватив

Функцийн алгебрийн нийлбэрийн деривативыг дараах теоремоор илэрхийлнэ.

Нийлбэрийн дериватив (ялгаа)Хоёр дифференциалагдах функц нь эдгээр функцүүдийн деривативуудын нийлбэр (ялгаа)тай тэнцүү байна.

Дифференциалагдах функцүүдийн хязгаарлагдмал алгебрийн нийлбэрийн дериватив нь нэр томьёоны деривативын ижил алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна. Жишээлбэл,

Функцийн өсөлт, бууралт, экстремум

Функцийн өсөлт, бууралт, туйлын интервалыг олох нь бие даасан ажил бөгөөд бусад даалгаврын чухал хэсэг юм, ялангуяа бүрэн функциональ судалгаа. Функцийн өсөлт, бууралт, хэт туйлшралын талаархи анхны мэдээллийг энд оруулав деривативын тухай онолын бүлэг, үүнийг би урьдчилсан судалгаанд ашиглахыг зөвлөж байна (эсвэл давталт)– мөн учир нь дараах материал нь маш дээр суурилсан үндсэндээ дериватив,Энэ нийтлэлийн эв нэгдэлтэй үргэлжлэл юм. Хэдийгээр цаг хугацаа бага байгаа бол өнөөдрийн хичээлээс жишээ авах боломжтой.

Өнөөдөр агаарт ховор эв нэгдлийн сүнс байгаа бөгөөд тэнд байгаа бүх хүмүүс хүсэлд шатаж байгааг би шууд мэдэрч байна. функцийг түүний уламжлалыг ашиглан судалж сурах. Тиймээс боломжийн, сайн, мөнхийн нэр томъёо таны дэлгэцийн дэлгэц дээр шууд гарч ирнэ.

Юуны төлөө? Шалтгаануудын нэг нь хамгийн практик юм: Ингэснээр та ямар нэг ажилд ерөнхийдөө юу шаардагдах нь тодорхой болно!

Функцийн монотон байдал. Функцийн экстремум ба экстремум цэгүүд

Зарим функцийг авч үзье. Энгийнээр хэлэхэд бид түүнийг гэж таамаглаж байна тасралтгүйбүх тооны мөрөнд:

Ямар ч тохиолдолд, ялангуяа саяхан танилцсан уншигчдын хувьд болзошгүй хуурмаг байдлаас нэн даруй салцгаая. функцийн тогтмол тэмдгийн интервалууд. Одоо бид СОНИРХОЛГҮЙ, функцийн график тэнхлэгтэй харьцуулахад хэрхэн байрлаж байгааг (дээр, доор, тэнхлэг огтлолцох газар). Итгэл үнэмшилтэй байхын тулд тэнхлэгүүдийг оюун ухаанаараа арчиж, нэг график үлдээгээрэй. Яагаад гэвэл сонирхол энд л байдаг.

Чиг үүрэг нэмэгддэгинтервал дээр хэрэв энэ интервалын аль нэг хоёр цэгийн хувьд харьцаагаар холбогдсон бол тэгш бус байдал үнэн. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн том утгатай тохирч, график нь "доороос дээш" явдаг. Үзүүлэн харуулах функц нь интервалаар нэмэгддэг.

Үүний нэгэн адил функц буурдагөгөгдсөн интервалын аль нэг хоёр цэгийн хувьд тэгш бус байдал нь үнэн бол интервал дээр. Өөрөөр хэлбэл, аргументийн том утга нь функцийн бага утгатай тохирч, график нь "дээрээс доош" явдаг. Бидний функц интервалаар буурдаг .

Хэрэв функц тодорхой хугацааны туршид нэмэгдэж эсвэл буурч байвал түүнийг дуудна хатуу монотонэнэ интервалд. Нэг хэвийн байдал гэж юу вэ? Үүнийг шууд утгаар нь ойлгоорой - нэг хэвийн байдал.

Та мөн тодорхойлж болно буурдаггүйфункц (эхний тодорхойлолтод тайвширсан нөхцөл) ба өсөхгүйфункц (2-р тодорхойлолтод зөөлрүүлсэн нөхцөл). Интервал дахь буурдаггүй эсвэл өсдөггүй функцийг өгөгдсөн интервал дахь монотон функц гэнэ. (хатуу монотон байдал нь "энгийн" нэгэн хэвийн байдлын онцгой тохиолдол юм).

Онол нь функцын өсөлт/бууралтыг тодорхойлох бусад аргуудыг, түүний дотор хагас интервал, сегментийг авч үздэг боловч таны толгой дээр тос-тос-тос асгахгүйн тулд бид ангиллын тодорхойлолттой нээлттэй интервалтай ажиллахыг зөвшөөрнө. - энэ нь илүү ойлгомжтой бөгөөд олон практик асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм.

Тиймээс, Миний нийтлэлүүдэд "функцийн монотон байдал" гэсэн үг бараг үргэлж нуугдаж байх болно интервалуудхатуу монотон байдал(хатуу нэмэгдүүлэх эсвэл хатуу бууруулах функц).

Нэг цэгийн хөрш. Оюутнууд хаашаа ч хамаагүй зугтаж, булан тохойд айж нуугддаг үгс. ...Хэдийгээр бичлэгийн дараа Коши хязгаарлалтТэд нуугдхаа больсон байх, гэхдээ зүгээр л бага зэрэг чичирч байна =) Санаа зоволтгүй, одоо математик анализын теоремуудын нотолгоо байхгүй болно - тодорхойлолтыг илүү нарийн томъёолохын тулд надад орчин хэрэгтэй байсан экстремум цэгүүд. Санаж үзье:

Нэг цэгийн хөршөгөгдсөн цэгийг агуулсан интервалыг дуудах бөгөөд тохиромжтой байх үүднээс интервалыг ихэвчлэн тэгш хэмтэй гэж үздэг. Жишээлбэл, цэг ба түүний стандарт хөрш:

Үнэндээ тодорхойлолтууд нь:

цэг гэж нэрлэдэг хатуу дээд цэг, Хэрэв байдагтүүний хөрш, хүн бүртцэгээс бусад утгууд нь тэгш бус байдал . Бидний тодорхой жишээнд энэ нь цэг юм.

цэг гэж нэрлэдэг хатуу доод цэг, Хэрэв байдагтүүний хөрш, хүн бүртцэгээс бусад утгууд нь тэгш бус байдал . Зураг дээр "а" цэг байна.

Анхаарна уу : хөршийн тэгш хэмийн шаардлага огт шаардлагагүй. Үүнээс гадна, энэ нь чухал юм оршихуйн үнэн бодит байдалзаасан нөхцөлийг хангасан хөрш (жижиг эсвэл бичил харуурын аль нь ч бай).

Цэгүүдийг дууддаг хатуу туйлын цэгүүдэсвэл зүгээр л экстремум цэгүүдфункцууд. Энэ нь хамгийн их оноо, хамгийн бага оноо гэсэн ерөнхий нэр томъёо юм.

"Хэт туйл" гэдэг үгийг бид хэрхэн ойлгох вэ? Тийм ээ, яг л нэг хэвийн байдал шиг. Галзуу хулганы туйлын цэгүүд.

Монотоник байдлын нэгэн адил сул постулатууд байдаг бөгөөд онолын хувьд илүү түгээмэл байдаг (мэдээжийн хэрэг гэж үзсэн хатуу хэргүүд үүнд хамаарна!):

цэг гэж нэрлэдэг хамгийн дээд цэг, Хэрэв байдагтүүний эргэн тойронд ийм байдаг хүн бүрт
цэг гэж нэрлэдэг хамгийн бага цэг, Хэрэв байдагтүүний эргэн тойронд ийм байдаг хүн бүртЭнэ хөршийн үнэ цэнэ, тэгш бус байдал хэвээр байна.

Сүүлийн хоёр тодорхойлолтын дагуу тогтмол функцийн аль ч цэгийг (эсвэл функцийн "хавтгай хэсэг") хамгийн их ба хамгийн бага цэг гэж үздэг болохыг анхаарна уу! Дашрамд хэлэхэд функц нь өсдөггүй, буурдаггүй, өөрөөр хэлбэл монотон байдаг. Гэсэн хэдий ч практик дээр бид бараг үргэлж уламжлалт "толгод" болон "хонхор" (зураг харна уу) -ийг өвөрмөц "толгойн хаан" эсвэл "намгийн гүнж" гэж үздэг тул бид эдгээр асуудлыг онолчдод үлдээх болно. Төрөл бүрийн хувьд энэ нь тохиолддог зөвлөгөө, дээш эсвэл доош чиглэсэн, жишээлбэл, цэг дээрх функцын хамгийн бага.

Өө, мөн роялтигийн тухай ярихад:
– утгыг гэдэг дээд тал ньфункцууд;
– утгыг гэдэг хамгийн багафункцууд.

Нийтлэг нэр - туйлшралфункцууд.

Үгэндээ болгоомжтой байгаарай!

Экстремум цэгүүд- эдгээр нь "X" утгууд юм.
Хэт их- "тоглоом" гэсэн утгатай.

! Анхаарна уу : заримдаа жагсаасан нэр томьёо нь ӨӨРИЙГӨӨ функцийн ГРАФИК дээр шууд байрлах "X-Y" цэгүүдийг хэлдэг.

Функц хэдэн экстремумтай байж болох вэ?

Аль нь ч биш, 1, 2, 3, ... гэх мэт. хязгааргүй. Жишээлбэл, синус хязгааргүй олон минимум, максимумтай.

ЧУХАЛ!"Функцийн дээд хэмжээ" гэсэн нэр томъёо ижил биш"функцийн хамгийн их утга" гэсэн нэр томъёо. Зөвхөн орон нутгийн хороололд л хамгийн их үнэ цэнийг анзаарахад хялбар байдаг бөгөөд зүүн дээд талд "илүү сэрүүн нөхдүүд" байдаг. Үүний нэгэн адил "функцийн хамгийн бага утга" нь "функцийн хамгийн бага утгатай" ижил биш бөгөөд зураг дээр бид зөвхөн тодорхой хэсэгт утга нь хамгийн бага болохыг харж байна. Үүнтэй холбогдуулан экстремум цэгүүдийг бас нэрлэдэг орон нутгийн экстремум цэгүүд, ба экстремум - орон нутгийн эрс тэс. Тэд ойролцоо алхаж, тэнүүчилж байна дэлхийнах нар аа. Тэгэхээр аливаа парабола орой дээрээ байдаг дэлхийн хамгийн багаэсвэл дэлхийн дээд хэмжээ. Цаашилбал, би хэт туйлшралын төрлүүдийг ялгахгүй бөгөөд тайлбарыг ерөнхий боловсролын зорилгоор илүү их хэлдэг - "орон нутгийн" / "дэлхий" гэсэн нэмэлт үгс таныг гайхшруулж болохгүй.

Онол руу хийсэн богино аялалаа туршилтын зургаар дүгнэж үзье: "Функцийн нэг хэвийн байдлын интервал ба экстремум цэгүүдийг олох" даалгавар нь юу гэсэн үг вэ?

Үг хэллэг нь таныг дараахь зүйлийг олоход уриалж байна.

– Өсөх/буурах функцийн интервал (буурахгүй, нэмэгдэхгүй байх нь хамаагүй бага тохиолддог);

- хамгийн их ба/эсвэл хамгийн бага оноо (хэрэв байгаа бол). За, бүтэлгүйтлээс зайлсхийхийн тулд хамгийн бага/максимумыг өөрсдөө олох нь дээр ;-)

Энэ бүхнийг хэрхэн тодорхойлох вэ?Дериватив функцийг ашиглах!

Өсөх, буурах интервалыг хэрхэн олох,
функцийн экстремум цэг ба экстремум?

Үнэн хэрэгтээ олон дүрмийг аль хэдийн мэддэг, ойлгодог деривативын утгын тухай хичээл.

Тангенсийн дериватив үйл ажиллагаа нэмэгдэж байгаа тухай хөгжилтэй мэдээг хүргэж байна тодорхойлолтын домэйн.

Котангенс ба түүний деривативтай байдал яг эсрэгээрээ байна.

Арксин нь интервалаар нэмэгддэг - энд үүссэн дериватив эерэг байна: .
Функц нь тодорхойлогдсон боловч ялгах боломжгүй үед. Гэсэн хэдий ч эгзэгтэй цэг дээр баруун гарт дериватив ба баруун гарт шүргэгч байдаг бөгөөд нөгөө ирмэг дээр тэдний зүүн гарт байдаг.

Нуман косинус ба түүний деривативын талаархи ижил төстэй үндэслэлийг гаргах нь танд тийм ч хэцүү биш байх болно гэж би бодож байна.

Дээрх бүх тохиолдлууд, тэдгээрийн ихэнх нь хүснэгтийн деривативууд, Би танд сануулж байна, -аас шууд дагаж дериватив тодорхойлолтууд.

Яагаад функцийг дериватив ашиглан судлах вэ?

Энэ функцийн график ямар харагдахыг илүү сайн ойлгохын тулд: хаана "доошоо дээш", "дээш доош", хамгийн бага ба дээд цэгт хүрдэг газар (хэрэв энэ нь огт хүрсэн бол). Бүх функцууд тийм ч энгийн байдаггүй - ихэнх тохиолдолд бид тодорхой функцийн графикийн талаар огт ойлголтгүй байдаг.

Илүү утга учиртай жишээнүүд рүү шилжиж, эргэцүүлэн бодох цаг болжээ Функцийн монотон ба экстремумын интервалыг олох алгоритм:

Жишээ 1

Функцийн өсөлт/бууралтын интервал ба экстремумыг ол

Шийдэл:

1) Эхний алхам бол олох явдал юм функцийн домэйн, мөн таслах цэгүүдийг (хэрэв байгаа бол) тэмдэглэ. Энэ тохиолдолд функц нь бүхэл тооны мөрөнд тасралтгүй үргэлжлэх бөгөөд энэ үйлдэл нь тодорхой хэмжээгээр албан ёсны шинж чанартай байдаг. Гэхдээ хэд хэдэн тохиолдолд ноцтой хүсэл тэмүүлэл энд гарч ирдэг тул догол мөрийг үл тоомсорлон авч үзье.

2) Алгоритмын хоёр дахь цэг нь холбоотой юм

Экстремумын зайлшгүй нөхцөл:

Хэрэв цэг дээр экстремум байвал утга нь байхгүй болно.

Төгсгөлд нь андуурч байна уу? “Модуль x” функцийн экстремум .

Нөхцөл байдал зайлшгүй шаардлагатай, гэхдээ хангалттай биш, мөн эсрэгээрээ үргэлж үнэн байдаггүй. Тэгэхээр функц нь цэг дээр хамгийн их эсвэл хамгийн багадаа хүрдэг гэсэн тэгш байдлаас хараахан гараагүй байна. Сонгодог жишээг дээр аль хэдийн онцолсон - энэ бол куб парабол ба түүний чухал цэг юм.

Гэсэн хэдий ч экстремумын зайлшгүй нөхцөл нь сэжигтэй цэгүүдийг олох хэрэгцээг шаарддаг. Үүнийг хийхийн тулд деривативыг олж, тэгшитгэлийг шийднэ.

Эхний нийтлэлийн эхэнд функцийн графикийн тухайБи жишээн дээр параболыг хэрхэн хурдан бүтээх талаар хэлсэн : “...бид эхний деривативыг аваад тэгтэй тэнцүүлнэ: ...Тэгэхээр бидний тэгшитгэлийн шийдэл: - яг энэ үед параболын орой байрлаж байна...”. Одоо би параболын орой яагаад яг энэ цэг дээр байдгийг бүгд ойлгосон байх гэж бодож байна =) Ерөнхийдөө энд ижил төстэй жишээнээс эхлэх хэрэгтэй, гэхдээ энэ нь хэтэрхий энгийн (цайны аяганд хүртэл) юм. Нэмж дурдахад хичээлийн төгсгөлд аналог байдаг функцийн дериватив. Тиймээс зэрэглэлийг нэмэгдүүлье:

Жишээ 2

Функцийн монотон ба туйлын интервалыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд асуудлын бүрэн шийдэл, ойролцоогоор эцсийн түүвэр.

Бутархай-рационал функцуудтай уулзах удаан хүлээсэн мөч ирлээ.

Жишээ 3

Эхний деривативыг ашиглан функцийг судлаарай

Нэг ажлыг хэрхэн өөрчлөх боломжтойг анхаарч үзээрэй.

Шийдэл:

1) Функц нь цэгүүдэд хязгааргүй тасалдалтай байдаг.

2) Бид чухал цэгүүдийг илрүүлдэг. Эхний деривативыг олоод тэгтэй тэнцүүлье.

Тэгшитгэлээ шийдье. Бутархай нь тэг байх үед түүний хуваагч нь тэг болно:

Тиймээс бид гурван чухал оноо авдаг:

3) Бид илрүүлсэн БҮХ цэгүүдийг тооны шулуун дээр зурдаг интервалын аргаБид ДЕРИВАТИВ-ийн шинж тэмдгийг тодорхойлно:

Та интервал дахь тодорхой цэгийг авч, үүсмэл хэрэгслийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэдгийг би танд сануулж байна мөн түүний тэмдгийг тодорхойлно. Бүр тоолохгүй, амаар "тооцоолох" нь илүү ашигтай. Жишээлбэл, интервалд хамаарах цэгийг авч, орлуулалтыг хийцгээе. .

Хоёр "нэмэх", нэг "хасах" нь "хасах" гэсэн утгыг өгдөг бөгөөд энэ нь дериватив нь бүх интервалд сөрөг байна гэсэн үг юм.

Таны ойлгож байгаагаар үйлдлийг зургаан интервал тус бүрээр хийх шаардлагатай. Дашрамд хэлэхэд, тоологч хүчин зүйл болон хуваагч нь ямар ч интервалын аль ч цэгт хатуу эерэг байдаг бөгөөд энэ нь даалгаврыг ихээхэн хөнгөвчилдөг гэдгийг анхаарна уу.

Тэгэхээр, үүсмэл функц нь ӨӨРӨӨ -өөр нэмэгддэг гэж хэлсэн -аар буурдаг. Ижил төрлийн интервалуудыг нэгдэх дүрсээр холбоход тохиромжтой.

Тухайн үед функц хамгийн дээд хэмжээндээ хүрнэ:
Тухайн үед функц хамгийн багадаа хүрнэ:

Яагаад хоёр дахь утгыг дахин тооцоолох шаардлагагүй гэж бодож үзээрэй ;-)

Цэгээр дамжин өнгөрөхөд дериватив тэмдэг өөрчлөгддөггүй тул функц NO EXTREMUM байхгүй - энэ нь аль аль нь буурч, буурсан хэвээр байна.

! Нэг чухал зүйлийг дахин хэлье: оноо нь чухал гэж тооцогддоггүй - тэдгээр нь функцийг агуулдаг тодорхойлогдоогүй. Үүний дагуу энд Зарчмын хувьд хэт туйлшрал байж болохгүй(үүсмэл шинж тэмдэг өөрчлөгдсөн ч гэсэн).

Хариулах: функцээр нэмэгддэг Функцийн хамгийн дээд хэмжээнд хүрэх үед дараах байдлаар буурна: , мөн цэг дээр – хамгийн бага нь: .

Монотоник байдлын интервал ба экстремын талаархи мэдлэг, тогтсон асимптотуудфункцийн графикийн харагдах байдлын талаар маш сайн санааг аль хэдийн өгдөг. Дундаж боловсролтой хүн функцийн график нь хоёр босоо асимптот ба ташуу асимптоттой болохыг амаар тодорхойлж чаддаг. Энд манай баатар байна:

Судалгааны үр дүнг энэ функцийн графиктай харьцуулахыг дахин оролдоно уу.
Эгзэгтэй цэг дээр экстремум байхгүй, гэхдээ байдаг график гулзайлтын(энэ нь дүрмээр бол ижил төстэй тохиолдлуудад тохиолддог).

Жишээ 4

Функцийн экстремумыг ол

Жишээ 5

Функцийн монотон байдлын интервал, максимум, минимумыг ол

…өнөөдөр бараг л “X in a шоо”-гийн баяр шиг байна...
Soooo, галерейд хэн үүний төлөө уухыг санал болгосон бэ? =)

Даалгавар бүр өөрийн гэсэн үндсэн нюанс, техникийн нарийн шинж чанартай байдаг бөгөөд үүнийг хичээлийн төгсгөлд тайлбарласан болно.