Орчин үеийн математикийн хувьд цогц тоо нь "цэвэр шинжлэх ухаан" болон хэрэглээний салбарт хэрэглэгдэх хамгийн суурь ойлголтуудын нэг юм. Энэ нь үргэлж тийм байгаагүй нь ойлгомжтой. Эрт дээр үед энгийн сөрөг тоонууд ч гэсэн хачирхалтай, эргэлзээтэй шинэлэг зүйл мэт санагддаг байсан бол квадрат язгуурын үйл ажиллагааг тэдэнд өргөтгөх хэрэгцээ огтхон ч тодорхой байгаагүй. Гэсэн хэдий ч 16-р зууны дунд үед математикч Рафаэль Бомбелли нарийн төвөгтэй (энэ тохиолдолд илүү нарийвчлалтай, төсөөлөлтэй) тоонуудыг эргэлтэнд оруулжээ. Үнэн хэрэгтээ би нэр хүндтэй итали хүнийг ийм туйлширсан байдалд хүргэсэн бэрхшээлийн мөн чанар юу байсныг харахыг санал болгож байна.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд нийлмэл тоо шаардлагатай гэсэн буруу ойлголт байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүрэн буруу юм: квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох даалгавар нь нийлмэл тоонуудыг нэвтрүүлэхэд ямар ч шалтгаан болохгүй. Энэ бол төгс.

Өөрсдөө харцгаая. Аливаа квадрат тэгшитгэлийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
.
Геометрийн хувьд энэ нь бид тодорхой шугам ба параболын огтлолцлын цэгүүдийг олохыг хүсч байна гэсэн үг юм
Би энд дүрслэхийн тулд зураг хүртэл хийсэн.

Бид бүгд сургуулиасаа сайн мэддэг квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг (дээрх тэмдэглэгээнд) дараах томъёогоор олдог.

3 боломжит сонголт байна:
1. Радикал илэрхийлэл эерэг байна.
2. Радикал илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү байна.
3. Радикал илэрхийлэл нь сөрөг байна.

Эхний тохиолдолд 2 өөр үндэс, хоёр дахь нь давхцаж буй хоёр үндэс, гурав дахь тохиолдолд "шийдвэрлэх боломжгүй" тэгшитгэл байна. Эдгээр бүх тохиолдлууд нь маш тодорхой геометрийн тайлбартай байдаг:
1. Шулуун шугам нь параболыг огтолж байна (зураг дээрх цэнхэр шугам).
2. Шулуун шугам параболд хүрч байна.
3. Шулуун шугам нь параболтай нийтлэг цэггүй (зураг дээрх голт бор шулуун шугам).

Нөхцөл байдал энгийн, логик, тууштай байдаг. Сөрөг тооны язгуурыг авах гэж оролдох ямар ч шалтгаан байхгүй. Хэн ч оролдсонгүй.

Сонирхолтой математикийн бодол нь куб тэгшитгэлд хүрэхэд нөхцөл байдал эрс өөрчлөгдсөн. Бага зэрэг ойлгомжтой, энгийн орлуулалтыг ашиглан аливаа куб тэгшитгэлийг дараах хэлбэрт оруулж болно. Геометрийн үүднээс авч үзвэл нөхцөл байдал өмнөхтэй төстэй: бид шулуун ба куб параболын огтлолцлын цэгийг хайж байна.
Зургийг харна уу:

Квадрат тэгшитгэлийн тохиолдлуудаас мэдэгдэхүйц ялгаа нь бид ямар ч шулуун параболыг огтолж байх болно. Өөрөөр хэлбэл, цэвэр геометрийн үүднээс авч үзвэл куб тэгшитгэл үргэлж ядаж нэг шийдэлтэй байдаг.
Та үүнийг Cardano томъёог ашиглан олж болно.

Хаана
.
Бага зэрэг том, гэхдээ одоогоор бүх зүйл эмх цэгцтэй байх шиг байна. Эсвэл үгүй ​​юу?

Ерөнхийдөө Карданогийн томъёо бол "Арнольдын зарчим"-ын үйл ажиллагааны тод жишээ юм. Мөн нэг онцлог нь Кардано томъёоны зохиогч гэж хэзээ ч мэдэгдээгүй явдал юм.

Харин хонин сүрэг рүүгээ буцъя. Энэ томьёо нь 16-р зууны эхэн ба дунд үе дэх математикийн агуу ололт бөгөөд хэтрүүлэлгүйгээр гайхалтай юм. Гэхдээ түүнд нэг нюанс бий.
Бомбеллигийн үзсэн сонгодог жишээг авч үзье.
.
Гэнэт,
,
мөн үүний дагуу
.
Бид ирлээ. Томъёоны хувьд харамсалтай байна, гэхдээ томъёо нь сайн. Мөхөс төгсгөл. Хэдийгээр тэгшитгэл нь гарцаагүй шийдэлтэй байдаг.

Рафаэль Бомбеллигийн санаа бол хоолой мэт дүр эсгэж, сөрөгийн үндэс нь ямар нэгэн тооны тоо юм шиг дүр эсгэе. Мэдээжийн хэрэг, ийм тоо байхгүй гэдгийг бид мэднэ, гэхдээ энэ нь байгаа гэж төсөөлөөд үз дээ, энгийн тоонуудын нэгэн адил үүнийг бусдад нэмж, үржүүлж, хүчирхэг болгон өсгөж болно.

Үүнтэй төстэй аргыг ашиглан Бомбелли, ялангуяа үүнийг олж мэдэв
,
Тэгээд
.
Шалгацгаая:
.
Тооцооллыг хийхдээ сөрөг тооны квадрат язгуурын шинж чанаруудын талаар дээр дурдсан "энгийн" тоонуудын адил ажилладаг гэсэн таамаглалаас бусад таамаглал хийгдээгүй болохыг анхаарна уу.

Нийтдээ бид авдаг. Энэ нь маш зөв хариулт бөгөөд үүнийг шууд орлуулах замаар амархан шалгаж болно. Энэ бол жинхэнэ нээлт байсан. Нарийн төвөгтэй хавтгайд нэвтрэн орох.

Гэсэн хэдий ч ийм тооцоолол нь ямар нэгэн ид шид, математикийн заль мэх мэт харагдаж байна. Тэдэнд ямар нэгэн заль мэх мэт хандах хандлага нь математикчдын дунд маш удаан хугацаанд байсаар ирсэн. Үнэндээ Рене Декартын сөрөг тоонуудын үндэс болгон зохиосон "төсөөлөл тоо" нэр нь тухайн үеийн математикчдын ийм зугаа цэнгэлд хандах хандлагыг бүрэн илэрхийлдэг.

Гэсэн хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөх тусам "заль мэх" байнга амжилттай хэрэглэгдэж байсан тул математикийн нийгэмлэгийн нүдэн дээр "төсөөл тоо" -ын эрх мэдэл нэмэгдэж, ашиглахад тохиромжгүй байдлаас болж хязгаарлагдмал байв. Зөвхөн Леонхард Эйлерийн хүлээн авсан баримт (дашрамд хэлэхэд, тэр бол одоо түгээмэл хэрэглэгддэг төсөөллийн нэгжийн тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн) алдартай томъёолол юм.

Математикийн янз бүрийн чиглэл, түүний хэрэглээнд нийлмэл тоонуудын замыг нээсэн. Гэхдээ энэ бол огт өөр түүх юм.

Даммигийн нийлмэл тоо Хичээл 1. Тэд юу вэ, та тэдгээрийг юугаар иддэг вэ? Төсөөллийн нэгж.

Комплекс тоо гэж юу болохыг ойлгохын тулд энгийн тоонуудын талаар санаж, тэдгээрийг иж бүрэн авч үзье. Тиймээс хамгийн энгийн зүйл бол байгалийнтоо. Тэдгээрийг байгалийн гэж нэрлэдэг, учир нь тэднээр дамжуулан ямар нэгэн зүйлийг "төрөл хэлбэрээр" илэрхийлж болно, өөрөөр хэлбэл ямар нэг зүйлийг тоолж болно. Энд хоёр алим байна. Тэднийг тоолж болно. Таван хайрцаг шоколад байна. Бид тэднийг тоолж чадна. Өөрөөр хэлбэл, натурал тоонууд нь тодорхой объектуудыг тоолох боломжтой тоо юм. Эдгээр тоог нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах боломжтой гэдгийг та сайн мэднэ. Нэмэх, үржүүлэхэд бүх зүйл тодорхой болно. Хоёр алим байсан, гурав нэмээд тав болсон. Бид тус бүр нь 10 ширхэгтэй гурван хайрцаг шоколад авсан нь нийт гучин шоколад гэсэн үг. Одоо цаашаа явцгаая бүхэлд ньтоо. Хэрэв натурал тоо нь тодорхой тооны объектыг илэрхийлдэг бол хийсвэрлэлийг бүхэл тоонуудын багцад оруулна. Энэ тэгТэгээд сөрөгтоо. Яагаад эдгээр хийсвэр зүйл вэ? Тэг гэдэг нь ямар нэгэн зүйл байхгүй байна. Гэхдээ бид тэнд байхгүй зүйлийг хүрч, мэдэрч чадах уу? Бид хоёр алим хүрч чадна, тэд энд байна. Бид тэднийг идэж болно. Тэг алим гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Бид хүрч, энэ тэгийг мэдэрч чадах уу? Үгүй ээ, бид чадахгүй. Тэгэхээр энэ хийсвэрлэл. Та ямар нэгэн байдлаар ямар нэгэн зүйл байхгүй гэдгийг зааж өгөх хэрэгтэй. Тиймээс бид тэгийг тоо болгон тодорхойлсон. Гэхдээ яагаад үүнийг ямар нэгэн байдлаар илэрхийлж байна вэ? Бид хоёр алимтай байсан гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид хоёр идсэн. Бидэнд хэр их үлдсэн бэ? Энэ нь зөв, огт биш. Бид энэ үйлдлийг (хоёр алим идсэн) 2-2 хасах гэж бичнэ. Тэгээд бид юугаар төгссөн бэ? Бид үр дүнг хэрхэн тэмдэглэх ёстой вэ? Зөвхөн шинэ хийсвэрлэлийг (тэг) оруулснаар хасах (идэх) үр дүнд бидэнд нэг ч алим үлдэхгүй болохыг харуулж байна. Гэхдээ бид 2-оос 3-ыг хасаж болно, энэ үйлдэл нь утгагүй юм шиг санагдаж байна. Хэрэв бид хоёр л алимтай бол гурвыг нь яаж идэх вэ?

Өөр нэг жишээг харцгаая. Бид дэлгүүрт очиж шар айраг авдаг. Бидэнтэй хамт 100 рубль байна. Шар айраг нь нэг шил тутамд 60 рубль байдаг. Бид хоёр шил худалдаж авахыг хүсч байгаа ч хангалттай мөнгө байхгүй. Бидэнд 120 рубль хэрэгтэй. Тэгээд бид хуучин найзтайгаа уулзаж, түүнээс хорин зээл авдаг. Бид шар айраг худалдаж авдаг. Асуулт. Бидэнд хэдэн төгрөг үлдсэн бэ? Эрүүл ухаан нь үүнийг огтхон ч биш гэж хэлдэг. Гэхдээ математикийн үүднээс авч үзвэл энэ нь утгагүй байх болно. Яагаад? Учир нь үр дүнд нь тэг авахын тулд 100-аас 100-г хасах хэрэгтэй.Тэгээд бид 100-120 хийдэг. Эндээс бид өөр зүйл авах ёстой. Бид юу авсан бэ? Мөн бид найздаа 20 рублийн өртэй хэвээр байна. Дараагийн удаа бидэнтэй хамт 140 рубльтэй бол бид дэлгүүрт шар айраг уухаар ​​ирж, найзтайгаа уулзаж, түүнтэй өр төлбөрөө төлж, хоёр шил шар айраг авах боломжтой болно. Үүний үр дүнд бид 140-120-20=0 болно. Тайлбар -20. Энэ бол өөр хийсвэрлэл юм - сөрөг тоо. Өөрөөр хэлбэл, найздаа төлөх бидний өр нь хасах тэмдэгтэй тоо юм, учир нь бид өрийг төлөхдөө энэ дүнг хасдаг. Би илүү ихийг хэлэх болно, энэ бол тэгээс ч илүү хийсвэрлэл юм. Тэг гэдэг нь байхгүй зүйл гэсэн үг. Мөн сөрөг тоо нь ирээдүйд биднээс булааж авах зүйлтэй адил юм.

Ингээд математикт хийсвэрлэл хэрхэн төрдгийг жишээгээр харууллаа. Ийм хийсвэрлэлүүдийн бүх утгагүй байдлыг үл харгалзан (байгаагаасаа илүүг нь авч хаях гэх мэт) тэд бодит амьдрал дээр хэрэглэгдэх болно. Бүхэл тоог хуваах тохиолдолд өөр хийсвэрлэл гарч ирнэ - бутархай тоо.Би эдгээрийн талаар дэлгэрэнгүй ярихгүй бөгөөд бид бүхэл тоонд хуваагддаггүй бүхэл тоотой тохиолдолд шаардлагатай нь тодорхой байна. Жишээлбэл, бид дөрвөн алимтай, гэхдээ бид гурван хүнд хуваах хэрэгтэй. Бид үлдсэн алимыг гурван хэсэгт хувааж, бутархайг авах нь тодорхой байна.

Одоо нийлмэл тоонууд руугаа маш хялбархан орцгооё. Гэхдээ эхлээд хоёр сөрөг тоог үржүүлэхэд эерэг тоо гарна гэдгийг санаарай. Хэн нэгэн асуудаг - яагаад ийм байна вэ? Эхлээд сөрөг тоог эерэг тоогоор үржүүлэхийг ойлгоцгооё. -20-г 2-оор үржүүллээ гэж бодъё. Өөрөөр хэлбэл -20+-20-г нэмэх хэрэгтэй. Сөрөг тоог нэмэх нь хасах үйлдэл тул үр дүн нь -40 болно. Яагаад хасах - дээрээс харна уу, сөрөг тоо нь бид үүнийг авах үед биднээс ямар нэг зүйлийг авдаг. Өдөр тутмын өөр нэг утга учир бий. Өр нэмэгдвэл яах вэ? Тухайлбал, манайд хүүтэй зээл олгосон тохиолдолд? Үүний үр дүнд хасах тэмдэгтэй ижил тоо үлдсэн бөгөөд хасах тэмдэгтийн дараа томорсон тоо үлдсэн. Сөрөг тоогоор үржүүлэх нь юу гэсэн үг вэ? 3*-2 гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Энэ нь гурвын тоог хоёр удаа хасах ёстой гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, үржүүлгийн үр дүнгийн өмнө хасах тэмдэг тавина. Дашрамд хэлэхэд, хүчин зүйлсийг дахин тохируулах нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй тул энэ нь -3 * 2-тэй адил юм. Одоо анхаарлаа хандуулаарай. -3-ыг -2-оор үржүүлнэ. Бид -3-ыг хассан тоог хоёр удаа авдаг. Хэрэв бид -3 тоог хоёр удаа авбал үр дүн нь -6 болно, та үүнийг ойлгож байна. Хэрэв бид хасах хоёр удаа авбал яах вэ? Гэхдээ хасах цаг авна гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Хэрэв та эерэг тоог хасвал сөрөг тоо гарна, тэмдэг нь өөрчлөгдөнө. Хэрэв бид хасах тоог хасвал түүний тэмдэг өөрчлөгдөж, эерэг болно.

Бид яагаад хасахаар үржүүлэх тухай ярьсан юм бэ? Мөн өөр хийсвэрлэлийг авч үзэхийн тулд энэ удаад комплекс тоотой шууд холбоотой. Энэ төсөөллийн нэгж. Төсөөллийн нэгж нь хасах 1-ийн квадрат язгууртай тэнцүү байна.

Квадрат язгуур гэж юу болохыг танд сануулъя. Энэ бол квадратын урвуу үйлдэл юм. Мөн квадрат болгох нь тоог өөрөө үржүүлэх явдал юм. Тэгэхээр 2*2=4 учраас 4-ийн квадрат язгуур 2 байна. 3*3=9 тул 9-ийн квадрат язгуур нь 3 байна. Нэгийн квадрат язгуур нь нэг болж, тэгийн квадрат язгуур нь тэг болно. Гэхдээ бид хасах нэгийн квадрат язгуурыг яаж авах вэ? -1 гарахын тулд ямар тоог өөрөө үржүүлэх ёстой вэ? Гэхдээ тийм тоо байхгүй! Хэрэв бид -1-ийг өөрөө үржүүлбэл эцэст нь 1 болно. Хэрэв бид 1-ийг 1-ээр үржүүлбэл 1 болно. Гэхдээ энэ аргаар хасах -1 гарахгүй. Гэсэн хэдий ч бид язгуур дор сөрөг тоо байх нөхцөл байдалтай тулгарч магадгүй юм. Юу хийх вэ? Мэдээжийн хэрэг, ямар ч шийдэл байхгүй гэж хэлж болно. Энэ нь тэгээр хуваагдахтай адил юм. Хэсэг хугацааны өмнө бид бүгд тэгээр хуваах боломжгүй гэдэгт итгэдэг байсан. Гэхдээ дараа нь бид ийм хийсвэрлэлийн талаар олж мэдсэн хязгааргүй, тэгээд тэгээр хуваах боломжтой хэвээр байна. Түүгээр ч зогсохгүй, тэгээр хуваах, эсвэл тэгийг тэг, хязгааргүйд хуваах замаар олж авсан тодорхойгүй байдал зэрэг хийсвэрлэл, түүнчлэн бусад ижил төстэй үйлдлүүд нь дээд математикт өргөн хэрэглэгддэг (), дээд математик нь олон нарийн шинжлэх ухааны үндэс суурь болдог. Энэ нь техникийн дэвшлийг урагшлуулж байна. Тэгэхээр төсөөллийн нэгжид ямар нэгэн нууц утга байгаа болов уу? Идэх. Комплекс тооны тухай миний дараагийн хичээлүүдийг уншсанаар та үүнийг ойлгох болно. Энэ хооронд би нийлмэл тоо (төсөөллийн нэгж агуулсан тоо) ашигладаг зарим хэсгүүдийн талаар ярих болно.

Тиймээс комплекс тоо ашигладаг газруудын жагсаалтыг энд оруулав.

Цахилгааны инженерчлэл. Хувьсах гүйдлийн хэлхээний тооцоо.Энэ тохиолдолд нийлмэл тоонуудыг ашиглах нь тооцоололгүйгээр дифференциал болон интеграл тэгшитгэлийг ашиглах шаардлагатай болно.

Квант механик.Товчхондоо, квант механикт долгионы функц гэж байдаг бөгөөд энэ нь өөрөө нийлмэл утгатай бөгөөд квадрат нь (аль хэдийн бодит тоо) тухайн цэгээс бөөмс олох магадлалын нягттай тэнцүү байдаг. Мөн цуврал хичээлүүдийг үзнэ үү

Дижитал дохио боловсруулах.Тоон дохионы боловсруулалтын онол нь давтамж, далайц гэх мэт янз бүрийн дохионы шинж чанарыг тооцоолохтой холбоотой янз бүрийн тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх z-хувиргах гэх мэт ойлголтыг агуулдаг.

Шингэний хавтгай урсгалын үйл явцын тодорхойлолт.

Профайлын эргэн тойронд шингэний урсгал.

Шингэний долгионы хөдөлгөөн.

Энэ нь нийлмэл тоонуудыг хаана ашигладаг талаар бүрэн жагсаалтаас хол байна. Энэ нь бид дахин уулзах хүртэл нийлмэл тоотой анхны танилцаж дуусгах болно.

Нарийн төвөгтэй эсвэл зохиомол тоо 1545 онд Карданогийн "Агуу урлаг буюу алгебрийн дүрмийн тухай" хэмээх алдарт бүтээлд анх гарчээ. Зохиогчийн бодлоор эдгээр тоонууд нь ашиглахад тохиромжгүй байсан. Гэвч энэ мэдэгдлийг хожим няцаасан. Ялангуяа 1572 онд Бомбелли куб тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ төсөөллийн тоог ашиглах үндэслэлийг гаргажээ. Тэрээр нийлмэл тоотой үйлдлийн үндсэн дүрмийг эмхэтгэсэн.

Гэсэн хэдий ч математикийн ертөнцөд удаан хугацааны туршид нийлмэл тоонуудын мөн чанарын талаар нэг ч санаа байгаагүй.

Төсөөллийн тоонуудын тэмдэглэгээг нэрт математикч Эйлер анх санаачилсан. Санал болгож буй бэлгэдэл нь дараах байдалтай байв: i = sqr -1, энд i нь imaginarius бөгөөд энэ нь зохиомол гэсэн үг юм. Эйлерийн ач тус нь комплекс тоонуудын талбайн алгебрийн хаалттай байдлын санааг агуулдаг.

Тиймээс D тохиолдлын квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед шинэ төрлийн тоонуудын хэрэгцээ гарч ирэв.< 0 (где D - дискриминант квадратного уравнения). В настоящее время комплексные числа нашли широкое применение в физике и технике, гидро- и аэродинамике, теории упругости и т.п.

Нарийн төвөгтэй тоонуудын график дүрслэл нь дараах хэлбэртэй байна: a + bi, энд a ба b нь бодит тоо, i нь төсөөллийн нэгж, i.e. i 2 = -1. a тоог абсцисса гэж нэрлэдэг ба b нь a + bi цогцолбор тооны ординат юм. a + bi ба a - bi гэсэн хоёр нийлмэл тоог нийлмэл цогцолбор тоо гэнэ.

Комплекс тоотой холбоотой хэд хэдэн дүрэм байдаг:

• Нэгдүгээрт, бодит а тоог комплекс тоо хэлбэрээр бичиж болно: a+ 0 i эсвэл a - 0 i. Жишээлбэл, 5 + 0 i ба 5 - 0 i нь ижил тооны 5 гэсэн үг юм.
• Хоёрдугаарт, 0+ bi цогцолбор тоог цэвэр төсөөллийн тоо гэж нэрлэдэг. bi гэсэн тэмдэглэгээ нь 0+ bi гэсэн утгатай.
• Гуравдугаарт, a = c ба b = d бол a + bi ба c + di хоёр комплекс тоо тэнцүү гэж үзнэ. Үгүй бол комплекс тоо тэнцүү биш байна.

Комплекс тоонуудын үндсэн үйлдлүүд нь:

Геометрийн дүрслэлд тооны шулуун дээр цэгээр дүрслэгдсэн бодит тооноос ялгаатай нь комплекс тоо нь координатын хавтгай дээрх цэгүүдээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Үүний тулд бид тэнхлэг дээрх ижил масштабтай тэгш өнцөгт (картезиан) координатуудыг авдаг. Энэ тохиолдолд a + bi цогцолбор тоо нь абсцисса a ба ординат b-тэй P цэгээр илэрхийлэгдэнэ. Энэ координатын системийг нэрлэдэг нарийн төвөгтэй хавтгай.

эсвэл r үсэг ба тэнцүү байна: r = |a + ib| = sqr a 2 + b 2.