Хязгаарлагдмал эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай. Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай

Бага сургуульд аль хэдийн сурагчид бутархайтай холбоотой байдаг. Тэгээд тэд сэдэв болгон дээр гарч ирдэг. Та эдгээр тоогоор хийсэн үйлдлүүдийг мартаж болохгүй. Тиймээс та энгийн болон аравтын бутархайн тухай бүх мэдээллийг мэдэх хэрэгтэй. Эдгээр ойлголтууд нь төвөгтэй биш, гол зүйл бол бүх зүйлийг дарааллаар нь ойлгох явдал юм.

Бутархай яагаад хэрэгтэй вэ?

Бидний эргэн тойрон дахь ертөнц бүхэл бүтэн объектуудаас бүрддэг. Тиймээс хувьцаа авах шаардлагагүй. Гэвч өдөр тутмын амьдрал хүмүүсийг объект, эд зүйлсийн хэсгүүдтэй ажиллахад байнга шахдаг.

Жишээлбэл, шоколад нь хэд хэдэн хэсгээс бүрддэг. Түүний хавтан арван хоёр тэгш өнцөгт үүссэн нөхцөл байдлыг авч үзье. Хэрэв та үүнийг хоёр хуваавал 6 хэсэг болно. Үүнийг гурван хэсэгт хялбархан хувааж болно. Гэхдээ таван хүнд бүхэл бүтэн шоколадны зүсмэл өгөх боломжгүй болно.

Дашрамд хэлэхэд эдгээр зүсмэлүүд аль хэдийн бутархай байна. Тэдний цаашдын хуваагдал нь илүү төвөгтэй тоонуудын гарч ирэхэд хүргэдэг.

"Бутархай" гэж юу вэ?

Энэ нь нэгжийн хэсгүүдээс бүрдсэн тоо юм. Гаднах байдлаар энэ нь хэвтээ эсвэл налуу зураасаар тусгаарлагдсан хоёр тоо шиг харагдаж байна. Энэ шинж чанарыг бутархай гэж нэрлэдэг. Дээд талд (зүүн) бичигдсэн тоог тоологч гэж нэрлэдэг. Доод талд (баруун) байгаа нь хуваагч юм.

Үндсэндээ ташуу зураас нь хуваагдлын тэмдэг болж хувирдаг. Өөрөөр хэлбэл, тоологчийг ногдол ашиг, хуваагчийг хуваагч гэж нэрлэж болно.

Ямар фракцууд байдаг вэ?

Математикт энгийн ба аравтын бутархай гэсэн хоёр төрөл байдаг. Сургуулийн сурагчид бага сургуульд байхдаа анхны хүүхдүүдтэй танилцаж, тэднийг зүгээр л "бутархай" гэж нэрлэдэг. Сүүлийнхийг 5-р ангид сурна. Тэр үед эдгээр нэрс гарч ирдэг.

Энгийн бутархай гэдэг нь шугамаар тусгаарлагдсан хоёр тоо хэлбэрээр бичигдсэн бүх бутархай юм. Жишээлбэл, 4/7. Бутархай хэсэг нь байрлалын тэмдэглэгээтэй, бүхэл тооноос таслалаар тусгаарлагдсан тоог аравтын бутархай гэнэ. Жишээлбэл, 4.7. Өгөгдсөн хоёр жишээ нь огт өөр тоо гэдгийг оюутнууд тодорхой ойлгох хэрэгтэй.

Энгийн бутархай бүрийг аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Энэ мэдэгдэл бараг үргэлж эсрэгээрээ үнэн байдаг. Аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон бичихийг зөвшөөрдөг дүрмүүд байдаг.

Эдгээр төрлийн фракцууд ямар дэд төрлүүдтэй байдаг вэ?

Тэднийг судалж байгаа тул он цагийн дарааллаар эхлэх нь дээр. Энгийн бутархайнууд хамгийн түрүүнд ордог. Тэдгээрийн дотроос 5 дэд зүйлийг ялгаж салгаж болно.

Зөв. Түүний хуваагч нь хуваагчаас үргэлж бага байдаг.

Буруу. Түүний хуваагч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байна.

Бууруулах/бууруулах боломжгүй. Энэ нь зөв эсвэл буруу болж хувирч магадгүй юм. Өөр нэг чухал зүйл бол тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлтэй эсэх. Хэрэв байгаа бол фракцийн хоёр хэсгийг хувааж, өөрөөр хэлбэл багасгах шаардлагатай.

Холимог. Бүхэл тоо нь ердийн (буруу) бутархай хэсэгт өгөгддөг. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж зүүн талд байдаг.

Нийлмэл. Энэ нь бие биенээсээ хуваагдсан хоёр фракцаас үүсдэг. Энэ нь нэг дор гурван бутархай шугамыг агуулна гэсэн үг.

Аравтын бутархай нь зөвхөн хоёр дэд төрөлтэй:

төгсгөлтэй, өөрөөр хэлбэл бутархай хэсэг нь хязгаарлагдмал (төгсгөлтэй);

хязгааргүй - аравтын бутархайн дараах цифрүүд нь дуусдаггүй тоо (тэдгээрийг эцэс төгсгөлгүй бичиж болно).

Аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хэрхэн хөрвүүлэх вэ?

Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал тоо бол дүрэмд үндэслэн холбоог ашигладаг - миний сонссоноор би бичдэг. Өөрөөр хэлбэл, та үүнийг зөв уншиж, бичих хэрэгтэй, гэхдээ таслалгүй, харин бутархай зураастай.

Шаардлагатай хуваагчийн талаархи зөвлөмжийн хувьд энэ нь үргэлж нэг ба хэд хэдэн тэг байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй. Та асууж буй тооны бутархай хэсэгт цифр байгаа тул сүүлийнхүүдийг бичих хэрэгтэй.

Хэрэв бүхэл тоо байхгүй, өөрөөр хэлбэл тэгтэй тэнцүү бол аравтын бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон хувиргах вэ? Жишээлбэл, 0.9 эсвэл 0.05. Заасан дүрмийг хэрэглэсний дараа та тэг бүхэл тоо бичих хэрэгтэй болж байна. Гэхдээ үүнийг заагаагүй байна. Бутархай хэсгүүдийг бичих л үлдлээ. Эхний тоо нь 10 хуваагчтай, хоёр дахь нь 100 хуваагчтай байна. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн жишээнүүдийн хариулт нь дараах тоонуудтай байна: 9/10, 5/100. Түүгээр ч барахгүй сүүлийнх нь 5-аар буурч болох нь харагдаж байна. Тиймээс түүний үр дүнг 1/20 гэж бичих шаардлагатай.

Хэрэв бүхэл тоо нь тэгээс ялгаатай бол аравтын бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон хувиргах вэ? Жишээлбэл, 5.23 эсвэл 13.00108. Хоёр жишээнд хэсгийг бүхэлд нь уншиж, утгыг нь бичнэ. Эхний тохиолдолд энэ нь 5, хоёр дахь нь 13. Дараа нь та бутархай хэсэг рүү шилжих хэрэгтэй. Тэдэнтэй ижил үйл ажиллагаа явуулах ёстой. Эхний тоо нь 23/100, хоёр дахь нь 108/100000 байна. Хоёр дахь утгыг дахин бууруулах шаардлагатай. Хариулт нь дараах холимог бутархайг өгнө: 5 23/100 ба 13 27/25000.

Хязгааргүй аравтын бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгох вэ?

Хэрэв энэ нь үе үе биш бол ийм үйлдэл хийх боломжгүй болно. Энэ баримт нь аравтын бутархай бүрийг төгсгөлтэй эсвэл үечилсэн бутархай болгон хувиргадагтай холбоотой юм.

Ийм бутархайгаар хийж чадах цорын ганц зүйл бол дугуйлах явдал юм. Харин дараа нь аравтын бутархай ойролцоогоор тэр хязгааргүйтэй тэнцүү байх болно. Үүнийг аль хэдийн энгийн нэгэн болгож болно. Гэхдээ урвуу үйл явц: аравтын тоо руу хөрвүүлэх нь анхны утгыг хэзээ ч өгөхгүй. Өөрөөр хэлбэл, хязгааргүй үечилсэн бус бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргадаггүй. Үүнийг санах хэрэгтэй.

Хязгааргүй үечилсэн бутархайг энгийн бутархайгаар хэрхэн бичих вэ?

Эдгээр тоонуудад аравтын бутархайн дараа нэг буюу хэд хэдэн цифр давтагддаг. Тэднийг үе гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 0.3(3). Энд "3" нь хугацаанд байна. Тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах боломжтой тул рационал гэж ангилдаг.

Тогтмол бутархайтай тулгарсан хүмүүс тэдгээр нь цэвэр эсвэл холимог байж болно гэдгийг мэддэг. Эхний тохиолдолд цэг таслалаас шууд эхэлдэг. Хоёрдугаарт, бутархай хэсэг нь зарим тоогоор эхэлж, дараа нь давталт эхэлдэг.

Хязгааргүй аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон бичих дүрэм нь заасан хоёр төрлийн тооны хувьд өөр байх болно. Цэвэр үечилсэн бутархайг энгийн бутархай гэж бичих нь маш амархан. Хязгаарлагдмал тоонуудын нэгэн адил тэдгээрийг хөрвүүлэх шаардлагатай: тоологч дахь үеийг бичиж, хуваагч нь 9-ийн тоо байх бөгөөд тухайн үеийн цифрүүдийн тоотой адил олон удаа давтагдана.

Жишээлбэл, 0, (5). Энэ тоо нь бүхэл тоогүй тул та нэн даруй бутархай хэсгээс эхлэх хэрэгтэй. 5-ыг тоологчоор, 9-ийг хуваагчаар бичнэ, өөрөөр хэлбэл хариулт нь 5/9-ийн бутархай болно.

Холимог энгийн аравтын бутархай бутархайг хэрхэн бичих дүрэм.

Хугацаа үргэлжлэх хугацааг хараарай. Ингэж хуваагч хэдэн 9-тэй болно.

Хугацаа бичнэ үү: эхлээд ес, дараа нь тэг.

Тоолуурыг тодорхойлохын тулд та хоёр тооны зөрүүг бичих хэрэгтэй. Аравтын бутархайн дараах бүх тоог цэгийн хамт жижигрүүлнэ. Хасах боломжтой - энэ нь хугацаагүй.

Жишээлбэл, 0.5(8) - үечилсэн аравтын бутархайг энгийн бутархай гэж бичнэ. Үеийн өмнөх бутархай хэсэг нь нэг оронтой. Тэгэхээр нэг тэг байх болно. Мөн энэ хугацаанд зөвхөн нэг тоо байдаг - 8. Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн нэг ес байдаг. Өөрөөр хэлбэл, та хуваарьт 90 гэж бичих хэрэгтэй.

Тоолуурыг тодорхойлохын тулд 58-аас 5-ыг хасах хэрэгтэй. Энэ нь 53 болж байна. Жишээлбэл, хариултыг 53/90 гэж бичих хэрэгтэй.

Бутархайг аравтын бутархай руу хэрхэн хөрвүүлдэг вэ?

Хамгийн энгийн сонголт бол хуваагч нь 10, 100 гэх мэт тоо юм. Дараа нь хуваагчийг зүгээр л хаяж, бутархай болон бүхэл хэсгүүдийн хооронд таслал тавина.

Хуваагч нь 10, 100 гэх мэт амархан хувирах тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, 5, 20, 25 гэсэн тоонууд. Тэдгээрийг 2, 5, 4-өөр үржүүлэхэд хангалттай. Та зөвхөн хуваагчийг төдийгүй тоологчийг ижил тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.

Бусад бүх тохиолдолд энгийн дүрэм нь ашигтай байдаг: тоологчийг хуваагчаар хуваах. Энэ тохиолдолд та хоёр боломжит хариултыг авч болно: төгсгөлтэй эсвэл үечилсэн аравтын бутархай.

Энгийн бутархайтай үйлдлүүд

Нэмэх ба хасах

Оюутнууд тэдэнтэй бусдаас эрт танилцдаг. Түүгээр ч барахгүй, эхлээд бутархайнууд нь ижил хуваагчтай, дараа нь өөр өөр байдаг. Энэ төлөвлөгөөнд ерөнхий дүрмийг багасгаж болно.

Хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Бүх энгийн бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг бич.

Тоолуур ба хуваагчийг тэдгээрт заасан хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Бутархайн тоог нэмэх (хасах), нийтлэг хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Хэрэв хасах тоон тоо нь хасахаас бага бол бид холимог тоо эсвэл зөв бутархай байгаа эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй.

Эхний тохиолдолд та бүх хэсгээс нэгийг нь зээлэх хэрэгтэй. Бутархайн хуваагчийг нэмэх. Тэгээд хасах үйлдлийг хий.

Хоёрдугаарт, бага тооноос их тоог хасах дүрмийг хэрэгжүүлэх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл хасах модулиас хасах модулийг хасаад хариуд нь "-" тэмдэг тавина.

Нэмэх (хасах) үр дүнг анхааралтай ажигла. Хэрэв та буруу бутархай авсан бол бүхэл бүтэн хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, тоологчийг хуваагчаар хуваана.

Үржүүлэх, хуваах

Тэдгээрийг гүйцэтгэхийн тулд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагагүй. Энэ нь үйлдлүүдийг хийхэд хялбар болгодог. Гэхдээ тэд танаас дүрмийг дагаж мөрдөхийг шаарддаг.

Бутархайг үржүүлэхдээ тоо болон хуваагч дахь тоог харах хэрэгтэй. Аливаа тоологч ба хуваагч нийтлэг хүчин зүйлтэй бол тэдгээрийг багасгаж болно.

Тоолуурыг үржүүл.

Хусагчдыг үржүүл.

Хэрэв үр дүн нь бууруулж болох бутархай бол түүнийг дахин хялбаршуулах шаардлагатай.

Хуваахдаа эхлээд хуваахыг үржүүлэх, хуваагчийг (хоёр дахь бутархай) эсрэг бутархайгаар (тоо ба хуваагчийг солих) солих хэрэгтэй.

Дараа нь үржүүлгийн адилаар (1-р цэгээс эхлэн).

Бүхэл тоогоор үржүүлэх (хуваах) шаардлагатай ажлуудад сүүлчийнх нь буруу бутархай хэлбэрээр бичигдэх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, хуваагч нь 1. Дараа нь дээр дурдсанчлан үйлд.



Аравтын бутархайтай үйлдлүүд

Нэмэх ба хасах

Мэдээжийн хэрэг та аравтын бутархайг үргэлж бутархай болгон хувиргаж болно. Мөн аль хэдийн тайлбарласан төлөвлөгөөний дагуу ажиллана. Гэхдээ заримдаа энэ орчуулгагүйгээр жүжиглэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Дараа нь тэдгээрийг нэмэх, хасах дүрэм нь яг ижил байх болно.

Тооны бутархай хэсэгт, өөрөөр хэлбэл аравтын бутархайн дараа байгаа цифрүүдийн тоог тэнцүүл. Үүн дээр алга болсон тэг тоог нэмнэ үү.

Таслалыг таслал доор байхаар бутархайг бич.

Натурал тоо шиг нэмэх (хасах).

Таслалыг арилгана уу.

Үржүүлэх, хуваах

Энд тэг нэмэх шаардлагагүй байх нь чухал. Бутархайг жишээнд өгсөн шиг үлдээх хэрэгтэй. Тэгээд төлөвлөгөөний дагуу яв.

Үржүүлэхийн тулд таслалыг үл тоомсорлож, бутархайг нэг дор нь бичих хэрэгтэй.

Натурал тоо шиг үржүүлээрэй.

Хариултанд таслал тавьж, хариултын баруун төгсгөлөөс эхлэн хоёр хүчин зүйлийн бутархай хэсэгт байгаа тоогоор тоолно.

Хуваахын тулд эхлээд хуваагчийг хувиргах хэрэгтэй: үүнийг натурал тоо болгох. Өөрөөр хэлбэл хуваагчийн бутархай хэсэгт хэдэн цифр байгаагаас хамаарч 10, 100 гэх мэтээр үржүүлнэ.

Ногдол ашгийг ижил тоогоор үржүүлнэ.

Аравтын бутархайг натурал тоонд хуваа.

Бүхэл хэсгийн хуваагдал дуусах үед хариултдаа таслал тавина.



Нэг жишээнд хоёр төрлийн бутархай байгаа бол яах вэ?

Тийм ээ, математикт энгийн болон аравтын бутархайн дээр үйлдлүүдийг хийх шаардлагатай жишээнүүд ихэвчлэн байдаг. Ийм даалгаварт хоёр боломжит шийдэл байдаг. Та тоонуудыг бодитойгоор жинлэж, оновчтойг нь сонгох хэрэгтэй.

Эхний арга: энгийн аравтын бутархайг илэрхийлнэ

Хуваах юм уу хөрвүүлснээр төгсгөлтэй бутархай тоо гарахад тохиромжтой. Хэрэв дор хаяж нэг тоо нь үечилсэн хэсгийг өгдөг бол энэ техникийг хориглоно. Тиймээс, та энгийн бутархайтай ажиллах дургүй байсан ч тоолох хэрэгтэй болно.

Хоёрдахь арга: аравтын бутархайг энгийн байдлаар бичих

Аравтын бутархайн дараах хэсэг нь 1-2 оронтой байвал энэ техник тохиромжтой. Хэрэв тэдгээрээс олон байвал та маш том энгийн бутархай болж магадгүй бөгөөд аравтын тэмдэглэгээ нь даалгаврыг илүү хурдан бөгөөд тооцоолоход хялбар болгоно. Тиймээс та даалгавраа үргэлж ухамсартайгаар үнэлж, хамгийн энгийн шийдлийн аргыг сонгох хэрэгтэй.

Энэ нь мэдэгдэж байгаа бол хуваагч бол nКаноник тэлэлт дэх бууруулж боломгүй бутархай нь 2 ба 5-тай тэнцүү биш анхны хүчин зүйлтэй бол энэ бутархайг төгсгөлтэй аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй. Хэрэв бид энэ тохиолдолд тоологчийг хуваагчаар хувааж, анхны бууруулж болохгүй бутархайг аравтын бутархай болгон бичихийг оролдвол хуваах үйл явц дуусахгүй, учир нь Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал тооны алхмын дараа дууссан бол бид өмнө нь батлагдсан теоремтой зөрчилдөж буй төгсгөлтэй аравтын бутархай авах болно. Тэгэхээр энэ тохиолдолд эерэг рационал тооны аравтын бутархай тэмдэглэгээ нь байна А= хязгааргүй бутархай юм шиг харагдаж байна.

Жишээлбэл, бутархай = 0.3636... . 4-ийг 11-ээр хуваахад үлдэгдэл нь үе үе давтагддагийг анзаарахад хялбар байдаг тул аравтын бутархай үе үе давтагдах болно, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь болж байна хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай, үүнийг 0,(36) гэж бичиж болно.

Үе үе давтагдах 3 ба 6 дугаарууд нь цэг үүсгэдэг. Аравтын бутархай ба эхний үеийн эхэн хооронд хэд хэдэн оронтой тоо байж магадгүй юм. Эдгээр тоо нь өмнөх үеийг бүрдүүлдэг. Жишээлбэл,

0.1931818... 17-г 88-д хуваах үйл явц эцэс төгсгөлгүй. 1, 9, 3 тоонууд нь өмнөх үеийг бүрдүүлдэг; 1, 8 - үе. Бидний авч үзсэн жишээнүүд нь хэв маягийг тусгасан, i.e. дурын эерэг рационал тоог төгсгөлтэй эсвэл хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Теорем 1.Хувагчийн каноник тэлэлтэнд энгийн бутархайг бууруулж болохгүй гэж үзье nнь 2 ба 5-аас ялгаатай анхны хүчин зүйл. Дараа нь энгийн бутархайг хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Баталгаа. Натурал тоог хуваах үйл явц гэдгийг бид аль хэдийн мэддэг болсон мнатурал тоо руу nэцэс төгсгөлгүй байх болно. Энэ нь үе үе байх болно гэдгийг харуулъя. Үнэндээ хуваахдаа мдээр nүүссэн үлдэгдэл бага байх болно n,тэдгээр. 1, 2, ..., (хэлбэрийн тоонууд n– 1), үүнээс янз бүрийн үлдэгдлийн тоо хязгаарлагдмал байх нь тодорхой бөгөөд тодорхой алхамаас эхлэн зарим үлдэгдэл давтагдах бөгөөд энэ нь тухайн хэсгийн аравтын бутархай, хязгааргүй аравтын бутархайг давтахад хүргэдэг. үе үе болдог.

Өөр хоёр теорем хүчинтэй байна.

Теорем 2.Хэрэв бууруулж болохгүй бутархайн хуваагчийг анхны хүчин зүйл болгон өргөжүүлэхэд 2 ба 5 тоонууд ороогүй бол энэ бутархайг хязгааргүй аравтын бутархай болгон хувиргахад цэвэр үечилсэн бутархай болно, өөрөөр хэлбэл. Үе нь аравтын бутархайн дараа шууд эхэлдэг бутархай.

Теорем 3.Хэрэв хуваарийн тэлэлт нь 2 (эсвэл 5) хүчин зүйл эсвэл хоёуланг нь багтаасан бол хязгааргүй үечилсэн фракц холилдох болно, өөрөөр хэлбэл. Аравтын бутархай ба хугацааны эхлэлийн хооронд хэд хэдэн цифр (урьдчилсан үе), тухайлбал 2 ба 5-р хүчин зүйлийн илтгэгчийн хамгийн том тоо байх болно.

2 ба 3-р теоремуудыг бие даан нотлохыг уншигчдад санал болгож байна.

28. Хязгааргүй үечлэлээс шилжих аргууд
аравтын бутархайг энгийн бутархай

Тогтмол бутархайг өгье А= 0,(4), i.e. 0.4444... .

Үржүүлье А 10 гэхэд бид авна

10А= 4.444…4…Þ 10 А = 4 + 0,444….

Тэдгээр. 10 А = 4 + А, бид тэгшитгэлийг олж авсан А, үүнийг шийдэж, бид дараахийг авна: 9 А= 4 Þ А = .

4 нь үүссэн бутархайн дугаар ба 0,(4) бутархайн үе гэдгийг бид тэмдэглэж байна.

Дүрэмцэвэр үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргахдаа дараах байдлаар томъёолно: бутархайн хуваагч нь үетэй тэнцүү, хуваагч нь бутархайн үеийн цифрүүдтэй ижил тооны есөн тооноос бүрдэнэ.

Одоо энэ дүрмийг үе нь -ээс бүрдэх бутархайн хувьд баталцгаая n

А= . Үржүүлье А 10 гэхэд n, бид авах:

10n × А = = + 0, ;

10n × А = + а;

(10n – 1) А = Þ a = =.

Тиймээс, өмнө нь томъёолсон дүрэм нь аливаа цэвэр үечилсэн бутархайн хувьд батлагдсан.

Одоо бутархайг өгье А= 0.605(43) – холимог үе үе. Үржүүлье Аижил үзүүлэлттэй 10-аар, өмнөх хугацаанд хэдэн цифр байна, i.e. 10 3 гэхэд бид авна

10 3 × А= 605 + 0,(43) Þ 10 3 × А = 605 + = 605 + = = ,

тэдгээр. 10 3 × А= .

ДүрэмХолимог үечилсэн бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргахдаа дараах байдлаар томъёолно: бутархайн хүртэгч нь хоёрдугаар үе эхлэхээс өмнө цифрээр бичсэн тоо болон эхний үе эхлэхээс өмнөх цифрээр бичсэн тооны зөрүүтэй тэнцүү байна. , хуваагч нь тухайн үеийн цифрүүдийн тоотой тэнцэх есөн тоо, эхний үе эхлэхээс өмнө ийм тооны тэгтэй хэдэн оронтой тооноос бүрдэнэ.

Одоо угтвар үе нь бүрдэх бутархайн хувьд энэ дүрмийг баталцгаая nтоо, хугацаа нь эхлэн руутоо Тогтмол бутархайг өгье

гэж тэмдэглэе В= ; r= ,

-тай= ; Дараа нь -тай=×-д 10k + r.

Үржүүлье АИйм илтгэгчтэй 10-аар өмнөх үе дэх хэдэн цифр байна, i.e. 10 гэхэд n, бид авах:

А×10 n = + .

Дээр дурдсан тэмдэглэгээг харгалзан бид бичнэ:

a× 10n= В+ .

Тиймээс, дээр дурдсан дүрэм нь аливаа холимог үечилсэн бутархайн хувьд батлагдсан.

Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай бүр нь зарим рационал тоог бичих хэлбэр юм.

Тогтвортой байхын тулд заримдаа төгсгөлтэй аравтын бутархайг "тэг" үетэй төгсгөлгүй үечилсэн бутархай гэж үздэг. Жишээлбэл, 0.27 = 0.27000...; 10.567 = 10.567000...; 3 = 3000... .

Одоо дараах мэдэгдэл үнэн болж байна: рационал тоо бүрийг (мөн өвөрмөц байдлаар) хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархайгаар илэрхийлж болно, мөн хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай бүр яг нэг рационал тоог илэрхийлдэг (9-ийн үетэй үечилсэн аравтын бутархайг тооцохгүй) ).

Олон дөрвөлжин язгуур байдаг нь баримт иррационал тоо, тэдгээрийн ач холбогдлыг огтхон ч үгүйсгэхгүй, ялангуяа $\sqrt2$ тоо нь янз бүрийн инженерийн болон шинжлэх ухааны тооцоололд ихэвчлэн ашиглагддаг. Энэ тоог тодорхой тохиолдол бүрт шаардагдах нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно. Та энэ тоог аравтын бутархайн тоогоор тэвчээртэй байж болно.

Жишээлбэл, $\sqrt2$ тоог аравтын зургаан оронтой нарийвчлалтайгаар тодорхойлж болно: $\sqrt2=1.414214$. $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$ тул энэ утга нь жинхэнэ утгаас тийм ч их ялгаатай биш юм. Энэ хариулт 2-оос саяны нэгээр арай илүү зөрүүтэй байна. Тиймээс $\sqrt2$-ийн утгыг $1.414214$-тэй тэнцэх нь ихэнх практик асуудлыг шийдвэрлэхэд нэлээд зөвшөөрөгдөхүйц гэж үздэг. Илүү нарийвчлалтай байх шаардлагатай тохиолдолд аравтын бутархайн дараа аль болох олон чухал цифр авах нь тийм ч хэцүү биш юм.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ховор зөрүүд зан гаргаж, олборлохыг оролдвол квадрат язгуур$\sqrt2$ тооноос яг үр дүнд хүрэх хүртэл та ажлаа хэзээ ч дуусгахгүй. Энэ бол эцэс төгсгөлгүй үйл явц юм. Хичнээн аравтын бутархайг авсан ч цөөхөн хэдэн орон үлдэнэ.

Энэ баримт нь таныг $\frac13$-ыг хязгааргүй аравтын бутархай $0.333333333…$ болгон хувиргах, эсвэл $\frac17$-г $0.142857142857142857...$ гэх мэтээр тодорхой бус хугацаагаар эргүүлэхтэй адил таныг гайхшруулж магадгүй юм. Эхлээд харахад эдгээр хязгааргүй, иррациональ квадрат язгуурууд нь ижил дарааллын үзэгдэл юм шиг санагдаж болох ч энэ нь огт тийм биш юм. Эцсийн эцэст, эдгээр хязгааргүй бутархай нь бутархай эквиваленттай байдаг бол $\sqrt2$-д ийм эквивалент байдаггүй. Яагаад яг? Баримт нь $\frac13$ ба $\frac17$-ын аравтын эквивалент, түүнчлэн хязгааргүй тооны бусад бутархай нь үечилсэн хязгааргүй бутархай юм.

Үүний зэрэгцээ, $\sqrt2$-ийн аравтын бутархайн эквивалент нь үечилсэн бус бутархай юм. Энэ мэдэгдэл нь аливаа иррационал тооны хувьд бас үнэн юм.

Асуудал нь 2-ын квадрат язгуурын ойролцоо утгатай аравтын бутархай нь юм үечилсэн бус бутархай. Тооцоололдоо хэр хол явсан ч гэсэн бидний авсан аливаа бутархай үе үе биш байх болно.

Аравтын бутархайн араас олон тооны үечилсэн бус оронтой бутархайг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв гэнэт сая дахь оронгийн дараа аравтын бутархай бүх дараалал давтагдах юм бол энэ нь гэсэн үг юм аравтын- үечилсэн бөгөөд бүхэл тоонуудын харьцаа хэлбэрээр үүнтэй ижил төстэй байдаг. Хэрэв үе үе бус аравтын бутархай асар их тоо (тэрбум, сая) бүхий бутархай нь эцэс төгсгөлгүй давтагдах цифрүүдтэй, жишээ нь $...55555555555...$ байвал энэ нь мөн үечилсэн болон бүхэл тооны харьцаа хэлбэрээр эквивалент байдаг.

Гэсэн хэдий ч, тэдгээрийн аравтын бутархайн эквивалент нь бүрэн үечилсэн бус бөгөөд үе үе болж чадахгүй.

Мэдээжийн хэрэг, та дараах асуултыг асууж болно: "Их наяд тэмдгийн дараа бутархайд юу тохиолдохыг хэн мэдэж, баттай хэлж чадах вэ? Бутархай хэсэг нь үе үе болохгүйг хэн баталгаажуулах вэ?" Иррационал тоо нь үе үе биш гэдгийг эцэслэн батлах аргууд байдаг ч ийм баталгаа нь нарийн төвөгтэй математик шаарддаг. Гэхдээ энэ нь гэнэт иррационал тоо болж хувирсан бол үечилсэн бутархай, энэ нь математикийн шинжлэх ухааны үндэс суурь бүрэн сүйрнэ гэсэн үг юм. Тэгээд үнэндээ энэ нь бараг боломжгүй юм. Үүнийг хажуу тийш нь гараараа шидэх нь танд амар биш, энд математикийн нарийн онол бий.

Мэдэгдэж байгаагаар рационал тоонуудын багц (Q) нь бүхэл тоон (Z) олонлогийг агуулдаг бөгөөд энэ нь эргээд натурал тоонуудын багцыг (N) агуулдаг. Рационал тоонд бүхэл тооноос гадна бутархай тоонууд орно.

Яагаад рационал тоонуудын бүхэл бүтэн багцыг заримдаа төгсгөлгүй үечилсэн аравтын бутархай гэж үздэг вэ? Үнэн хэрэгтээ, бутархайгаас гадна бүхэл тоо, үе үе бус бутархай орно.

Баримт нь бүх бүхэл тоо, түүнчлэн дурын бутархайг хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Өөрөөр хэлбэл, бүх оновчтой тоонуудын хувьд та ижил бичлэг хийх аргыг ашиглаж болно.

Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархайг хэрхэн дүрсэлсэн бэ? Үүнд аравтын бутархайн дараа давтагдах бүлгийг хаалтанд байрлуулна. Жишээ нь, 1.56(12) нь 12-р цифрүүдийн бүлэг давтагдах бутархай, өөрөөр хэлбэл бутархай нь 1.561212121212 гэсэн утгатай... гэх мэт төгсгөлгүй үргэлжлэх болно. Давтагдах бүлэг тоог цэг гэж нэрлэдэг.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид түүний үеийг төгсгөлгүй давтагддаг 0 тоо гэж үзвэл ямар ч тоог энэ хэлбэрээр илэрхийлж болно. Жишээлбэл, 2-ын тоо нь 2.00000-тай ижил байна.... Тиймээс үүнийг хязгааргүй үечилсэн бутархай, өөрөөр хэлбэл 2, (0) гэж бичиж болно.

Үүнтэй ижил зүйлийг дурын төгсгөлтэй бутархайгаар хийж болно. Жишээ нь:

0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)

Гэсэн хэдий ч практик дээр тэд төгсгөлтэй бутархайг хязгааргүй үечилсэн хэсэг болгон хувиргах аргыг ашигладаггүй. Тиймээс тэд хязгаарлагдмал бутархай ба хязгааргүй үечилсэн хэсгүүдийг тусгаарладаг. Тиймээс рационал тоонууд багтсан гэж хэлэх нь илүү зөв юм

• бүх бүхэл тоо
• эцсийн бутархай,
• хязгааргүй үечилсэн бутархай.

Үүний зэрэгцээ бүхэл тоо ба төгсгөлтэй бутархайг онолын хувьд хязгааргүй үечилсэн бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно гэдгийг санаарай.

Нөгөөтэйгүүр, аравтын бутархайн хувьд төгсгөлтэй ба төгсгөлгүй бутархайн ойлголтууд хэрэглэгдэх боломжтой. Бутархайн тухайд төгсгөлтэй болон хязгааргүй аравтын бутархайг хоёуланг нь бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ нь энгийн бутархайн үүднээс үечилсэн ба төгсгөлтэй бутархай нь ижил зүйл гэсэн үг юм. Нэмж дурдахад бид тоог 1-д хувааж байна гэж төсөөлж, бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Аравтын бутархай хязгааргүй үечилсэн бутархайг энгийн бутархайгаар хэрхэн илэрхийлэх вэ? Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг алгоритм нь дараах байдалтай байна.

1. Бутархайг багасгаж, аравтын бутархайн дараа зөвхөн цэг байх болно.
2. Хязгааргүй үечилсэн бутархайг 10 эсвэл 100 эсвэл ... үржүүлснээр аравтын бутархай баруун тийш нэг цэгээр шилжинэ (өөрөөр хэлбэл нэг цэг бүхэл бүтэн хэсэгт дуусна).
3. Анхны (a) бутархайг х хувьсагчтай, N тоогоор үржүүлснээр олж авсан (b) бутархайг Nx-тэй тэнцүүл.
4. Nx-ээс x-ыг хас. b-ээс би a хасна. Өөрөөр хэлбэл, тэд Nx – x = b – a тэгшитгэлийг бүрдүүлдэг.
5. Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед үр дүн нь энгийн бутархай болно.

Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргах жишээ:
x = 1.13333...
10х = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =

Хэрэв тэд цувралын онолыг мэддэг бол үүнгүйгээр метаматик ойлголтыг нэвтрүүлэх боломжгүй юм. Түүгээр ч зогсохгүй эдгээр хүмүүс үүнийг өргөн ашигладаггүй хүн бүр мэдлэггүй гэж үздэг. Эдгээр хүмүүсийн үзэл бодлыг тэдний ухамсарт үлдээе. Хязгааргүй үечилсэн бутархай гэж юу байдгийг, боловсролгүй, хил хязгааргүй хүмүүс бид үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх ёстойг илүү сайн ойлгоцгооё.

237-г 5-д хуваая. Үгүй ээ, та Тооны машиныг ажиллуулах шаардлагагүй. Дунд (эсвэл бүр бага) сургуулийг илүү сайн санаж, үүнийг багана болгон хуваацгаая.

За, санаж байна уу? Дараа нь та ажилдаа орж болно.

Математик дахь "бутархай" гэсэн ойлголт нь хоёр утгатай.

1. Бүхэл бус тоо.
2. Бүхэл бус хэлбэр.

1. Энгийн (эсвэл босоо) бутархай, 1/2 эсвэл 237/5 гэх мэт.
2. 0.5 эсвэл 47.4 гэх мэт аравтын бутархай.

Математикийн хувьд ерөнхийдөө аравтын бутархай тоолохыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөг байсан тул аравтын бутархай нь энгийн, өөрөөр хэлбэл аравтын бутархайтай бутархайгаас илүү тохиромжтой байдаг (Владимир Дал. Амьд агуу орос хэлний тайлбар толь бичиг. "Арав") .

Бүр бүрэн боловсролгүй хүн ч гэсэн анзаарах болно: хичнээн удаан хугацаа шаардагдахаас үл хамааран энэ нь салахгүй: гурван ихэрүүд хязгааргүй хэвээр байх болно. Ингээд бичье: 0.33... Бид “1-ийг 3-т хуваахад гарах тоо” буюу товчоор хэлбэл “гуравны нэг” гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг, гуравны нэг нь үгийн эхний утгаараа бутархай, "1/3" ба "0.33 ..." нь үгийн хоёр дахь утгаараа бутархай юм. нэвтрэх маягтуудтоон шулуун дээр тэгээс тийм зайд байрлах тоо, хэрэв та үүнийг гурван удаа хойш тавьбал нэг болно.

Одоо 5-ыг 6-д хуваахыг хичээцгээе.

Дахиад бичье: 0.833... Бид “5-ыг 6-д хуваахад гарах тоо” буюу товчхондоо “зургааны тав” гэсэн үг. Гэсэн хэдий ч энд төөрөгдөл үүсч байна: энэ нь 0.83333 (дараа нь гурвалсан давтагддаг), эсвэл 0.833833 (дараа нь 833 давтагдана) гэсэн үг үү. Тиймээс эллипс бүхий тэмдэглэгээ нь бидэнд тохирохгүй: давтагдах хэсэг хаанаас эхлэх нь тодорхойгүй байна (үүнийг "үе" гэж нэрлэдэг). Тиймээс бид цэгийг хаалтанд дараах байдлаар оруулна: 0, (3); 0.8(3).

0, (3) амар биш тэнцүү байнагуравны нэг нь Байнагуравны нэг, учир нь бид энэ тоог аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлэхийн тулд энэ тэмдэглэгээг тусгайлан зохион бүтээсэн.

Энэ оруулга гэж нэрлэдэг хязгааргүй үечилсэн бутархай, эсвэл зүгээр л үечилсэн бутархай.

Нэг тоог нөгөө тоонд хуваах тоолонд бид төгсгөлтэй бутархай авахгүй бол төгсгөлгүй үечилсэн бутархай болно, өөрөөр хэлбэл хэзээ нэгэн цагт тоонуудын дараалал давтагдаж эхэлнэ. Энэ нь яагаад ийм байгааг багана хуваах алгоритмыг анхааралтай ажигласнаар зөвхөн таамаглалаар ойлгож болно.

Шалгалтын тэмдэгээр тэмдэглэгдсэн газруудад өөр өөр хос тоог үргэлж авах боломжгүй (учир нь зарчмын хувьд ийм хос хязгаарлагдмал тооны байдаг). Тэнд аль хэдийн байсан ийм хос гарч ирмэгц ялгаа нь ижил байх болно - дараа нь бүх үйл явц дахин давтагдаж эхэлнэ. Үүнийг шалгах шаардлагагүй, учир нь та ижил үйлдлүүдийг давтвал үр дүн нь ижил байх болно.

Одоо бид сайн ойлгосон мөн чанарүечилсэн бутархай, гуравны нэгийг гурваар үржүүлж үзье. Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг та нэгийг авах болно, гэхдээ энэ бутархайг аравтын бутархай хэлбэрээр бичээд багананд үржүүлье (аравтын бутархайн дараах бүх тоо ижил тул энд зуйванаас болж хоёрдмол утга үүсэхгүй):

Мөн аравтын бутархайн дараа ес, ес, ес үргэлж гарч ирэхийг бид дахин анзаарч байна. Өөрөөр хэлбэл, урвуу хаалт тэмдэглэгээг ашиглан бид 0, (9) авна. Гуравны нэг ба гурвын үржвэр нь нэг гэдгийг бид мэддэг тул 0.(9) нь нэгийг бичих ийм гоёмсог арга юм. Гэсэн хэдий ч бичлэгийн энэ хэлбэрийг ашиглах нь тохиромжгүй, учир нь нэгжийг цэг хэрэглэхгүйгээр төгс бичиж болно: 1.

Таны харж байгаагаар 0,(9) нь бүхэл тоог 3/3 эсвэл 7.0 гэх мэт бутархай хэлбэрээр бичсэн тохиолдлын нэг юм. Өөрөөр хэлбэл, 0,(9) нь зөвхөн үгийн хоёр дахь утгаараа бутархай, харин эхнийх нь биш юм.

Тиймээс бид ямар ч хязгаарлалт, цуваагүйгээр 0.(9) гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн харьцах талаар олж мэдсэн.

Гэхдээ бид үнэн хэрэгтээ ухаантай, шинжилгээнд суралцдаг гэдгийг санаж явцгаая. Үнэн хэрэгтээ үүнийг үгүйсгэхэд хэцүү байдаг:

Гэхдээ магадгүй хэн ч маргахгүй байх болно.

Энэ бүхэн мэдээжийн хэрэг үнэн. Үнэн хэрэгтээ 0,(9) нь бууруулсан цувааны нийлбэр ба заасан өнцгийн давхар синус, Эйлерийн тооны натурал логарифм юм.

Гэхдээ нэг нь ч, нөгөө нь ч, гурав дахь нь ч тодорхойлолт биш юм.

0,(9) нь төгсгөлгүй 9/(10 n) цувралын нийлбэр, n нь нэгтэй тэнцүү гэж хэлэхэд синус нь Тэйлорын хязгааргүй цувааны нийлбэр гэж хэлэхтэй ижил байна.

Энэ туйлын зөв, мөн энэ нь тооцооллын математикийн хувьд хамгийн чухал баримт боловч энэ нь тодорхойлолт биш бөгөөд хамгийн чухал нь хүнийг ойлгоход ойртуулдаггүй. үндсэндээсинус Тодорхой өнцгийн синусын мөн чанар нь түүнд оршино зүгээр л бүх зүйлөнцгийн эсрэг талын хөлний гипотенузын харьцаа.

Тэгэхээр, үечилсэн бутархай юм зүгээр л бүх зүйлүед олж авсан аравтын бутархай баганаар хуваах үедижил тооны багц давтагдах болно. Энд шинжилгээний ул мөр байхгүй.

Эндээс асуулт гарч ирнэ: энэ нь хаанаас ирсэн бэ? ерөөсөөБид 0,(9) тоог авсан уу? Үүнийг авахын тулд бид юуг баганагаар хуваах вэ? Үнэн хэрэгтээ, баганад хуваагдвал бид эцэс төгсгөлгүй ес гарч ирэх тийм тоо байхгүй. Гэхдээ бид 0,(3)-ыг 3-аар баганагаар үржүүлснээр энэ тоог гаргаж чадсан уу? Үнэхээр биш. Эцсийн эцэст, цифрүүдийн шилжүүлгийг зөв тооцохын тулд та баруунаас зүүн тийш үржүүлэх хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг зүүнээс баруун тийш хийсэн бөгөөд шилжүүлэг хаана ч тохиолддоггүйг ашиглан зальтай байдлаар хийсэн. Тиймээс 0,(9) гэж бичих хууль ёсны эсэх нь бид ийм баганаар үржүүлэх хууль ёсны эсэхийг хүлээн зөвшөөрөх эсэхээс хамаарна.

Тиймээс бид ерөнхийдөө 0,(9) тэмдэглэгээг буруу гэж хэлж болох бөгөөд тодорхой хэмжээгээр зөв байх болно. Гэсэн хэдий ч a ,(b ) тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрсөн тул b = 9 байхад үүнийг орхих нь зүгээр л муухай юм; Ийм оруулга ямар утгатай болохыг шийдэх нь дээр. Тэгэхээр, хэрэв бид ерөнхийдөө 0,(9) гэсэн тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрвөл энэ тэмдэглэгээ нь мэдээж нэг тоог илэрхийлнэ.

Хэрэв бид гурвалсан тооллын системийг ашигласан бол нэг (1 3) баганыг гурваар (10 3) хуваахад бид 0.1 3 ("тэг цэгийн гуравны нэг" гэж уншина уу) болно гэдгийг нэмэх л үлдлээ. ба нэгийг хоёр хуваахад 0,(1) 3 болно.

Тиймээс бутархай тооны үе үе нь бутархай тооны объектив шинж чанар биш, харин нэг буюу өөр тооны системийг ашиглах гаж нөлөө юм.