Математикийн зарим асуудал нь квадрат язгуурын утгыг тооцоолох чадварыг шаарддаг. Ийм бодлогод хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх орно. Энэ нийтлэлд бид квадрат язгуурыг тооцоолох үр дүнтэй аргыг танилцуулж, квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёотой ажиллахдаа ашиглах болно.

Квадрат язгуур гэж юу вэ?

Математикийн хувьд энэ ойлголт нь √ тэмдэгтэй тохирч байна. Түүхэн мэдээллээс үзэхэд энэ нь анх 16-р зууны эхний хагаст Германд хэрэглэгдэж байсан (Христоф Рудольфын анхны Германы алгебрийн ажил). Эрдэмтэд энэ тэмдэг нь өөрчлөгдсөн Латин үсэг r (radix нь Латинаар "үндэс" гэсэн утгатай) гэж үздэг.

Аливаа тооны язгуур нь квадрат нь радикал илэрхийлэлтэй тохирох утгатай тэнцүү байна. Математикийн хэлээр энэ тодорхойлолт дараах байдлаар харагдах болно: √x = y, хэрэв y 2 = x бол.

Эерэг тооны язгуур (x > 0) нь мөн эерэг тоо (y > 0), гэхдээ хэрэв та сөрөг тооны язгуурыг авбал (x)< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Энд хоёр энгийн жишээ байна:

√9 = 3, учир нь 3 2 = 9; √(-9) = 3i, учир нь i 2 = -1.

Квадрат язгуурын утгыг олох Хероны давталтын томъёо

Дээрх жишээнүүд нь маш энгийн бөгөөд тэдгээрийн үндсийг тооцоолох нь тийм ч хэцүү биш юм. √10, √11, √12, √13 гэх мэт натурал тооны квадрат хэлбэрээр дүрслэх боломжгүй аливаа утгын язгуур утгыг олоход бэрхшээл гарч эхэлдэг бөгөөд энэ нь практикт ийм байдаг. бүхэл бус тоонуудын үндсийг олоход шаардлагатай: жишээлбэл √(12.15), √(8.5) гэх мэт.

Дээрх бүх тохиолдолд квадрат язгуурыг тооцоолох тусгай аргыг ашиглах хэрэгтэй. Одоогийн байдлаар хэд хэдэн ийм аргууд мэдэгдэж байна: жишээлбэл, Тейлорын цуврал өргөтгөл, баганын хуваагдал болон бусад. Мэдэгдэж буй бүх аргуудаас магадгүй хамгийн энгийн бөгөөд үр дүнтэй нь Хероны давталтын томъёог ашиглах явдал бөгөөд үүнийг Вавилоны квадрат язгуур тодорхойлох арга гэж нэрлэдэг (эртний Вавилончууд үүнийг практик тооцоололдоо ашиглаж байсан нотолгоо байдаг).

√x-ийн утгыг тодорхойлох шаардлагатай байг. Квадрат язгуурыг олох томъёо дараах байдалтай байна.

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), энд lim n->∞ (a n) => x.

Энэ математик тэмдэглэгээг тайлж үзье. √x-ийг тооцоолохын тулд та тодорхой тооны 0-г авах хэрэгтэй (энэ нь дур зоргоороо байж болно, гэхдээ үр дүнг хурдан авахын тулд (a 0) 2 нь x-тэй аль болох ойр байхаар сонгох хэрэгтэй. Дараа нь үүнийг "х"-д орлуулна. Квадрат язгуурыг тооцоолох томъёог оруулаад хүссэн утгадаа аль хэдийн ойртох 1 гэсэн тоог шинээр авна уу. Үүний дараа илэрхийлэлд 1-ийг орлуулж, 2-ыг авах шаардлагатай. Энэ процедурыг давтах ёстой. шаардлагатай нарийвчлалыг олж авдаг.

Хэроны давтагдах томъёог ашиглах жишээ

Өгөгдсөн тооны квадрат язгуурыг олж авах дээр тайлбарласан алгоритм нь олон хүнд нэлээд төвөгтэй бөгөөд ойлгомжгүй мэт санагдаж болох ч бодит байдал дээр бүх зүйл илүү хялбар болж хувирдаг, учир нь энэ томьёо маш хурдан нийлдэг (ялангуяа 0 амжилттай тоо сонгосон бол) .

Энгийн жишээ хэлье: та √11-ийг тооцоолох хэрэгтэй. 0 = 3-ыг сонгоцгооё, учир нь 3 2 = 9 нь 4 2 = 16-аас 11-тэй ойролцоо байна. Томъёонд орлуулснаар бид дараахийг олж авна.

a 1 = 1/2(3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2(3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2 (3.316668 + 11 / 3.316668) = 3.31662.

2 ба 3 нь зөвхөн аравтын бутархайн 5-р бутархайн бутархайгаар ялгаатай болохыг олж мэдсэн тул тооцооллыг үргэлжлүүлэх нь утгагүй юм. Тиймээс √11-ийг 0.0001 нарийвчлалтайгаар тооцоолохын тулд томъёог ердөө 2 удаа хэрэглэхэд хангалттай байв.

Өнөө үед тооны машин, компьютерийг үндсийг тооцоолоход өргөн ашигладаг боловч тэдгээрийн яг утгыг гараар тооцоолохын тулд тэмдэглэсэн томъёог санах нь зүйтэй.

Хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл

Квадрат язгуур гэж юу болохыг ойлгох, түүнийг тооцоолох чадварыг квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг. Эдгээр тэгшитгэлийг нэг үл мэдэгдэх тэгшитгэл гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн ерөнхий хэлбэрийг доорх зурагт үзүүлэв.

Энд c, b ба a нь зарим тоог илэрхийлдэг бөгөөд a нь тэгтэй тэнцүү байх ёсгүй бөгөөд c ба b-ийн утгууд нь тэгтэй тэнцүү байх бүрэн дур зоргоороо байж болно.

Зурагт заасан тэгш байдлыг хангасан x-ийн аливаа утгыг түүний үндэс гэж нэрлэдэг (энэ ойлголтыг √ квадрат язгууртай андуурч болохгүй). Харгалзан үзэж буй тэгшитгэл нь 2-р эрэмбийн (x 2) тул түүний хувьд хоёроос илүү үндэс байж болохгүй. Эдгээр үндсийг хэрхэн олох талаар нийтлэлээс цааш харцгаая.

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олох (томьёо)

Харгалзан үзэж буй тэгш байдлын төрлийг шийдвэрлэх энэ аргыг мөн бүх нийтийн арга буюу ялгах арга гэж нэрлэдэг. Үүнийг ямар ч квадрат тэгшитгэлд ашиглаж болно. Квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ба язгуурын томъёо нь дараах байдалтай байна.

Үндэс нь тэгшитгэлийн гурван коэффициент тус бүрийн утгаас хамаардаг болохыг харуулж байна. Түүнээс гадна, x 1-ийн тооцоо нь x 2-ын тооцооноос зөвхөн квадрат язгуурын урд талын тэмдгээр ялгаатай. b 2 - 4ac-тай тэнцүү радикал илэрхийлэл нь тухайн тэгш байдлыг ялгахаас өөр зүйл биш юм. Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томьёо дахь дискриминант нь шийдлийн тоо, төрлийг тодорхойлдог тул чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Тэгэхээр хэрэв тэгтэй тэнцүү бол зөвхөн нэг шийдэл байх болно, хэрэв эерэг бол тэгшитгэл нь хоёр бодит язгууртай бөгөөд эцэст нь сөрөг дискриминант нь x 1 ба x 2 гэсэн хоёр цогц язгуурт хүргэдэг.

Виетийн теорем буюу хоёрдугаар эрэмбийн тэгшитгэлийн язгуурын зарим шинж чанарууд

16-р зууны төгсгөлд орчин үеийн алгебрыг үндэслэгчдийн нэг Франц хүн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг судалж байхдаа түүний язгуур шинж чанарыг олж авч чадсан юм. Математикийн хувьд тэдгээрийг дараах байдлаар бичиж болно.

x 1 + x 2 = -b / a ба x 1 * x 2 = c / a.

Энэ хоёр тэгш байдлыг хэн ч хялбархан олж авах боломжтой, үүнийг хийхийн тулд ялгаварлагчийн тусламжтайгаар томъёогоор олж авсан үндэстэй тохирох математик үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.

Эдгээр хоёр илэрхийллийн хослолыг квадрат тэгшитгэлийн язгуурын хоёр дахь томьёо гэж нэрлэж болох бөгөөд энэ нь ялгаварлагч ашиглахгүйгээр түүний шийдлийг таах боломжийг олгодог. Энэ хоёр илэрхийлэл нь үргэлж хүчинтэй байдаг ч үүнийг зөвхөн хүчин зүйлээр ялгах боломжтой бол тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглах нь тохиромжтой гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй.

Олж авсан мэдлэгээ нэгтгэх даалгавар

Өгүүлэлд дурдсан бүх арга техникийг харуулах математикийн асуудлыг шийдье. Асуудлын нөхцөл нь дараах байдалтай байна: үржвэр нь -13, нийлбэр нь 4 байх хоёр тоог олох хэрэгтэй.

Энэ нөхцөл нь квадрат язгуур болон тэдгээрийн үржвэрийн нийлбэрийн томъёог ашиглан Виетийн теоремыг нэн даруй сануулж байна.

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Хэрэв бид a = 1 гэж үзвэл b = -4, c = -13 байна. Эдгээр коэффициентууд нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийг үүсгэх боломжийг бидэнд олгодог.

x 2 - 4x - 13 = 0.

Дискриминанттай томьёог ашиглаад дараах үндсийг авцгаая.

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Өөрөөр хэлбэл, √68 тоог олоход асуудал багассан. 68 = 4 * 17 гэдгийг анхаарна уу, тэгвэл квадрат язгуур шинж чанарыг ашиглан бид дараахийг авна: √68 = 2√17.

Одоо авч үзсэн квадрат язгуур томъёог ашиглая: a 0 = 4, тэгвэл:

a 1 = 1/2(4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2 (4.125 + 17 / 4.125) = 4.1231.

Олдсон утгууд нь зөвхөн 0.02-оор ялгаатай тул 3-ыг тооцоолох шаардлагагүй. Тиймээс √68 = 8.246. Үүнийг x 1,2-ийн томьёонд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг авна.

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 ба x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

Бидний харж байгаагаар олдсон тоонуудын нийлбэр нь үнэхээр 4-тэй тэнцүү боловч хэрэв бид тэдгээрийн үржвэрийг олвол энэ нь -12.999-тэй тэнцүү байх бөгөөд энэ нь 0.001 нарийвчлалтай асуудлын нөхцлийг хангаж байна.

Энэ математикийн программыг ашигласнаар та боломжтой квадрат тэгшитгэлийг шийдэх.

Хөтөлбөр нь асуудлын хариултыг өгөхөөс гадна шийдвэрлэх үйл явцыг хоёр аргаар харуулдаг.
- ялгаварлагч ашиглах
- Виетийн теоремыг ашиглах (боломжтой бол).

Түүгээр ч барахгүй хариулт нь ойролцоо биш харин яг тодорхой харагдаж байна.
Жишээлбэл, \(81x^2-16x-1=0\) тэгшитгэлийн хувьд хариултыг дараах хэлбэрээр харуулна.

Энэхүү програм нь ерөнхий боловсролын сургуулийн ахлах ангийн сурагчдад шалгалт, шалгалтанд бэлдэх, улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгээ шалгах, эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянахад хэрэг болно.

Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та математик, алгебрийн гэрийн даалгавраа аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? Энэ тохиолдолд та нарийвчилсан шийдэл бүхий манай програмуудыг ашиглаж болно.

Энэ мэтчилэн та өөрийн дүү, эгч нарынхаа сургалтыг өөрөө явуулах боломжтой, харин асуудлыг шийдвэрлэх чиглэлээр боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Хэрэв та квадрат олон гишүүнт оруулах дүрмүүдийг мэдэхгүй бол тэдгээртэй танилцахыг зөвлөж байна.

Квадрат олон гишүүнт оруулах дүрэм
Ямар ч латин үсэг хувьсагч болж чадна.

Жишээ нь: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) гэх мэт.
Тоонуудыг бүхэл болон бутархай тоогоор оруулж болно.

Түүнээс гадна бутархай тоог зөвхөн аравтын бутархай хэлбэрээр төдийгүй энгийн бутархай хэлбэрээр оруулж болно.
Аравтын бутархай оруулах дүрэм.
Аравтын бутархайн хувьд бутархай хэсгийг бүхэл хэсгээс цэг эсвэл таслалаар тусгаарлаж болно.

Жишээлбэл, та аравтын бутархайг дараах байдлаар оруулж болно: 2.5x - 3.5x^2
Энгийн бутархай оруулах дүрэм.

Зөвхөн бүхэл тоо нь бутархайн тоологч, хуваагч, бүхэл хэсэг болж чадна.

Хуваагч нь сөрөг байж болохгүй. /
Бүхэл хэсгийг бутархайгаас амперсанд тэмдгээр тусгаарлана. &
Оролт: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Үр дүн: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)

Илэрхийлэл оруулах үед та хаалт ашиглаж болно. Энэ тохиолдолд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ танилцуулсан илэрхийллийг эхлээд хялбаршуулсан болно.
Жишээ нь: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд шаардлагатай зарим скриптүүд ачаалагдаагүй байгаа бөгөөд програм ажиллахгүй байж магадгүй юм.
Та AdBlock-ийг идэвхжүүлсэн байж магадгүй.
Энэ тохиолдолд үүнийг идэвхгүй болгож, хуудсыг дахин сэргээнэ үү.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Хүлээгээрэй сек...

Хэрэв та шийдэлд алдаа байгааг анзаарсан, дараа нь та энэ талаар санал хүсэлтийн маягт дээр бичиж болно.
Бүү март ямар ажлыг зааж өгнөта юуг шийднэ талбаруудад оруулна уу.

Манай тоглоом, таавар, эмуляторууд:

Бага зэрэг онол.

Квадрат тэгшитгэл ба түүний үндэс. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэл

Тэгшитгэл бүр
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
шиг харагдаж байна
\(ax^2+bx+c=0, \)
Энд x нь хувьсагч, a, b, c нь тоо юм.
Эхний тэгшитгэлд a = -1, b = 6 ба c = 1.4, хоёрдугаарт a = 8, b = -7 ба c = 0, гуравдугаарт a = 1, b = 0 ба c = 4/9 байна. Ийм тэгшитгэл гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэл.

Тодорхойлолт.
Квадрат тэгшитгэл ax 2 +bx+c=0 хэлбэрийн тэгшитгэл гэж нэрлэгддэг, энд x нь хувьсагч, a, b, c нь зарим тоо, \(a \neq 0 \).

a, b, c тоонууд нь квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд юм. a тоог эхний коэффициент, b тоог хоёр дахь коэффициент, c тоог чөлөөт гишүүн гэж нэрлэдэг.

ax 2 +bx+c=0 хэлбэрийн тэгшитгэл бүрд \(a \neq 0 \) x хувьсагчийн хамгийн том чадал нь квадрат байна. Тиймээс нэр нь: квадрат тэгшитгэл.

Зүүн тал нь хоёрдугаар зэргийн олон гишүүнт тул квадрат тэгшитгэлийг хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг болохыг анхаарна уу.

x 2-ын коэффициент 1-тэй тэнцүү квадрат тэгшитгэлийг нэрлэнэ өгөгдсөн квадрат тэгшитгэл. Жишээлбэл, өгөгдсөн квадрат тэгшитгэлүүд нь тэгшитгэл юм
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Ах 2 +bx+c=0 квадрат тэгшитгэлд b эсвэл c коэффициентүүдийн ядаж нэг нь тэгтэй тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг гэнэ. бүрэн бус квадрат тэгшитгэл. Тэгэхээр -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 тэгшитгэлүүд нь бүрэн бус квадрат тэгшитгэл юм. Эхнийх нь b=0, хоёр дахь нь c=0, гурав дахь нь b=0, c=0.

Гурван төрлийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл байдаг.
1) сүх 2 +c=0, энд \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, энд \(b \neq 0 \);
3) сүх 2 =0.

Эдгээр төрөл бүрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаар авч үзье.

\(c \neq 0 \) ax 2 +c=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд түүний чөлөөт гишүүнийг баруун тал руу шилжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг дараах байдлаар хуваана.
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Баруун сум x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

\(c \neq 0 \) учраас \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Хэрэв \(-\frac(c)(a)>0\) бол тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.

Хэрэв \(-\frac(c)(a) ax 2 +bx=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг \(b \neq 0 \) үржвэрээр шийдэж, тэгшитгэлийг олно.
\(x(ax+b)=0 \Баруун сум \зүүн\( \эхлэх(массив)(l) x=0 \\ ax+b=0 \төгсгөл(массив) \баруун. \Баруун сум \зүүн\( \эхлэх) (массив)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(массив) \баруун.

Энэ нь \(b \neq 0 \)-д зориулсан ax 2 +bx=0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл үргэлж хоёр үндэстэй байна гэсэн үг.

ax 2 =0 хэлбэрийн бүрэн бус квадрат тэгшитгэл нь x 2 =0 тэгшитгэлтэй тэнцэх тул нэг язгуур 0 байна.

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёо

Үл мэдэгдэх болон чөлөөт гишүүний коэффициент хоёулаа тэгээс ялгаатай квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзье.

Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэж, үр дүнд нь язгуурын томъёог олж авцгаая. Дараа нь энэ томьёог ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

ax 2 +bx+c=0 квадрат тэгшитгэлийг шийдье

Хоёр талыг а-д хувааснаар бид эквивалент бууруулсан квадрат тэгшитгэлийг олж авна
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Хоёр гишүүний квадратыг сонгон энэ тэгшитгэлийг хувиргацгаая.
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\баруун)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Баруун сум \)

радикал илэрхийлэл гэж нэрлэдэг квадрат тэгшитгэлийн дискриминант ax 2 +bx+c=0 (“дискриминант” Латинаар – ялгаварлагч). Энэ нь D үсгээр тэмдэглэгдсэн, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Одоо бид дискриминант тэмдэглэгээг ашиглан квадрат тэгшитгэлийн язгуурын томъёог дахин бичнэ.
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), энд \(D= b^2-4ac \)

Энэ нь тодорхой байна:
1) Хэрэв D>0 бол квадрат тэгшитгэл нь хоёр үндэстэй байна.
2) Хэрэв D=0 бол квадрат тэгшитгэл нь нэг язгууртай \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Хэрэв D Иймээс дискриминантын утгаас хамааран квадрат тэгшитгэл нь хоёр язгууртай (D > 0-ийн хувьд), нэг язгууртай (D = 0-ийн хувьд) эсвэл үндэсгүй (D хувьд) квадрат тэгшитгэлийг үүнийг ашиглан шийдвэрлэх үед. томъёоны хувьд дараах байдлаар хийхийг зөвлөж байна.
1) ялгаварлагчийг тооцоолж, тэгтэй харьцуулах;
2) хэрэв ялгаварлагч нь эерэг эсвэл тэгтэй тэнцүү бол ялгаварлагч сөрөг байвал үндэс байхгүй гэж бичнэ;

Вьетагийн теорем

Өгөгдсөн 2 -7х+10=0 квадрат тэгшитгэл нь 2 ба 5 үндэстэй. Үндэсүүдийн нийлбэр нь 7, үржвэр нь 10. Үндэсүүдийн нийлбэр нь эсрэгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү болохыг бид харж байна. тэмдэг, язгуурын үржвэр нь чөлөөт нэр томъёотой тэнцүү байна. Үндэстэй аливаа бууруулсан квадрат тэгшитгэл ийм шинж чанартай байдаг.

Дээрх квадрат тэгшитгэлийн язгууруудын нийлбэр нь эсрэг тэмдгээр авсан хоёр дахь коэффициенттэй, язгууруудын үржвэр нь чөлөөт гишүүнтэй тэнцүү байна.

Тэдгээр. Виетийн теорем нь x 2 +px+q=0 бууруулсан квадрат тэгшитгэлийн x 1 ба x 2 язгуурууд нь дараах шинж чанартай байна.
\(\зүүн\( \эхлэх(массив)(л) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \төгсгөл(массив) \баруун. \)

Орчин үеийн нийгэмд квадрат хувьсагч агуулсан тэгшитгэлтэй үйлдлийг гүйцэтгэх чадвар нь үйл ажиллагааны олон салбарт хэрэг болох бөгөөд шинжлэх ухаан, техникийн хөгжилд практикт өргөн хэрэглэгддэг. Үүний нотлох баримтыг далайн болон голын хөлөг онгоц, нисэх онгоц, пуужингийн загвараас харж болно. Ийм тооцоог ашиглан олон төрлийн биетүүд, түүний дотор сансрын биетүүдийн хөдөлгөөний траекторийг тодорхойлдог. Квадрат тэгшитгэлийн шийдэл бүхий жишээг зөвхөн эдийн засгийн таамаглал, барилга байгууламжийг төлөвлөх, барихад төдийгүй өдөр тутмын хамгийн энгийн нөхцөлд ашигладаг. Тэд явган аялал, спортын арга хэмжээ, дэлгүүрт худалдан авалт хийх үед болон бусад нийтлэг нөхцөл байдалд хэрэгтэй байж болно.

Илэрхийлэлийг бүрэлдэхүүн хүчин зүйл болгон хуваацгая

Тэгшитгэлийн зэрэг нь илэрхийлэлд агуулагдах хувьсагчийн зэрэглэлийн хамгийн их утгаар тодорхойлогддог. Хэрэв энэ нь 2-той тэнцүү бол ийм тэгшитгэлийг квадрат гэж нэрлэдэг.

Хэрэв бид томъёоны хэлээр ярих юм бол заасан илэрхийлэл нь хэрхэн харагдахаас үл хамааран илэрхийллийн зүүн тал нь гурван нэр томъёоноос бүрдэх үед үргэлж хэлбэрт оруулж болно. Үүнд: ax 2 (өөрөөр хэлбэл өөрийн коэффициенттэй квадрат хувьсагч), bx (коэффиценттэй квадратгүй үл мэдэгдэх) ба c (чөлөөт бүрэлдэхүүн хэсэг, өөрөөр хэлбэл энгийн тоо). Баруун талд байгаа энэ бүхэн 0-тэй тэнцүү байна. Ийм олон гишүүнтэд 2-р сүхээс бусад гишүүний аль нэг нь байхгүй бол түүнийг бүрэн бус квадрат тэгшитгэл гэнэ. Ийм асуудлыг шийдэх жишээнүүдийг эхлээд олоход хялбар хувьсагчийн утгыг авч үзэх хэрэгтэй.

Хэрэв илэрхийлэл нь баруун талдаа хоёр гишүүнтэй, тодруулбал ax 2 ба bx мэт харагдаж байвал х-г олох хамгийн хялбар арга бол хувьсагчийг хаалтанд оруулах явдал юм. Одоо бидний тэгшитгэл иймэрхүү харагдах болно: x(ax+b). Дараа нь x=0, эсвэл асуудал нь дараах илэрхийллээс хувьсагч олоход ирдэг нь тодорхой болно: ax+b=0. Энэ нь үржүүлэх шинж чанаруудын нэгээр тодорхойлогддог. Дүрэмд хоёр хүчин зүйлийн үржвэр нь зөвхөн нэг нь тэг байвал 0 болно гэж заасан.

Жишээ

x=0 эсвэл 8x - 3 = 0

Үүний үр дүнд бид тэгшитгэлийн хоёр үндэсийг олж авна: 0 ба 0.375.

Энэ төрлийн тэгшитгэлүүд нь таталцлын нөлөөн дор биетүүдийн хөдөлгөөнийг тодорхойлж болох бөгөөд тэдгээр нь координатын гарал үүсэл гэж авсан тодорхой цэгээс хөдөлж эхэлсэн. Энд математикийн тэмдэглэгээ дараах хэлбэртэй байна: y = v 0 t + gt 2 /2. Шаардлагатай утгуудыг орлуулж, баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, байж болох үл мэдэгдэхийг олсноор та бие дээшлэх мөчөөс доош унах хүртэлх цаг хугацаа болон бусад олон хэмжигдэхүүнийг олж мэдэх боломжтой. Гэхдээ бид энэ талаар дараа ярих болно.

Илэрхийллийн факторинг

Дээр дурдсан дүрэм нь эдгээр асуудлыг илүү төвөгтэй тохиолдолд шийдвэрлэх боломжтой болгодог. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.

X 2 - 33x + 200 = 0

Энэ квадрат гурвалж дууссан. Эхлээд илэрхийлэлийг хувиргаж, хүчин зүйлээ авч үзье. Тэдгээрийн хоёр нь: (x-8) ба (x-25) = 0. Үүний үр дүнд бид 8 ба 25 гэсэн хоёр үндэстэй болно.

9-р ангид квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээнүүд нь энэ аргыг зөвхөн хоёр дахь төдийгүй гурав, дөрөв дэх эрэмбийн илэрхийлэлд хувьсагч олох боломжийг олгодог.

Жишээ нь: 2х 3 + 2х 2 - 18х - 18 = 0. Баруун талыг хувьсагчтай хүчин зүйлүүдэд хуваахдаа (х+1), (х-3) ба (х+) гурав байна. 3).

Үүний үр дүнд энэ тэгшитгэл нь гурван үндэстэй болох нь тодорхой болно: -3; -1; 3.

Квадрат үндэс

Бүрэн бус хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлийн өөр нэг тохиолдол бол баруун гар тал нь ax 2 ба c бүрэлдэхүүн хэсгүүдээс бүтээгдсэн байдлаар үсгийн хэлээр илэрхийлэгдсэн илэрхийлэл юм. Энд хувьсагчийн утгыг олж авахын тулд чөлөөт нэр томъёог баруун тал руу шилжүүлж, дараа нь тэгш байдлын хоёр талаас квадрат язгуурыг гаргаж авдаг. Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн хоёр үндэс байдаг гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Цорын ганц үл хамаарах зүйл нь хувьсагч нь тэгтэй тэнцүү байх нэр томъёо агуулаагүй тэгш байдал, мөн баруун тал нь сөрөг болж хувирсан илэрхийллийн хувилбарууд байж болно. Сүүлчийн тохиолдолд дээрх үйлдлүүдийг үндэсээр хийх боломжгүй тул ямар ч шийдэл байхгүй. Энэ төрлийн квадрат тэгшитгэлийн шийдлүүдийн жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Энэ тохиолдолд тэгшитгэлийн үндэс нь -4 ба 4 тоонууд байх болно.

Газрын талбайн тооцоо

Энэ төрлийн тооцоолол хийх хэрэгцээ эрт дээр үед гарч ирсэн, учир нь тэр үеийн математикийн хөгжил нь газрын талбайн хэмжээ, периметрийг хамгийн нарийвчлалтай тодорхойлох хэрэгцээ шаардлагаас ихээхэн хамаардаг байв.

Ийм төрлийн бодлого дээр үндэслэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээг авч үзэх хэрэгтэй.

Тэгэхээр урт нь өргөнөөсөө 16 метр илүү тэгш өнцөгт газар байгаа гэж бодъё. Талбай нь 612 м 2 гэдгийг мэдэж байвал сайтын урт, өргөн, периметрийг олох хэрэгтэй.

Эхлэхийн тулд эхлээд шаардлагатай тэгшитгэлийг бий болгоё. Талбайн өргөнийг x-ээр тэмдэглэвэл урт нь (x+16) болно. Бичсэн зүйлээс харахад талбай нь x(x+16) илэрхийллээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь манай бодлогын нөхцлийн дагуу 612 байна. Энэ нь x(x+16) = 612 гэсэн үг юм.

Бүрэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь яг ийм илэрхийлэл бөгөөд ижил аргаар хийж болохгүй. Яагаад? Хэдийгээр зүүн тал нь хоёр хүчин зүйлийг агуулж байгаа ч тэдгээрийн үржвэр нь 0-тэй огт тэнцүү биш тул энд өөр өөр аргыг ашигладаг.

Ялгаварлан гадуурхагч

Юуны өмнө бид шаардлагатай өөрчлөлтүүдийг хийнэ, дараа нь энэ илэрхийллийн харагдах байдал дараах байдалтай байна: x 2 + 16x - 612 = 0. Энэ нь бид илэрхийллийг өмнө нь заасан стандартад тохирсон хэлбэрээр хүлээн авсан гэсэн үг юм. a=1, b=16, c= -612.

Энэ нь дискриминант ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх жишээ байж болно. Энд шаардлагатай тооцооллыг схемийн дагуу хийсэн болно: D = b 2 - 4ac. Энэхүү туслах хэмжигдэхүүн нь хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэлд шаардлагатай хэмжигдэхүүнийг олох боломжийг олгодог төдийгүй боломжит хувилбаруудын тоог тодорхойлдог. Хэрэв D>0 байвал тэдгээрийн хоёр нь байна; D=0 хувьд нэг үндэс байна. тохиолдолд Д<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Үндэс ба тэдгээрийн томъёоны тухай

Манай тохиолдолд ялгаварлагч нь: 256 - 4(-612) = 2704. Энэ нь бидний асуудал хариулттай болохыг харуулж байна. Хэрэв та k-г мэддэг бол квадрат тэгшитгэлийн шийдлийг дараах томъёогоор үргэлжлүүлэх ёстой. Энэ нь үндсийг тооцоолох боломжийг танд олгоно.

Энэ нь танилцуулсан тохиолдолд: x 1 =18, x 2 =-34 гэсэн үг юм. Энэ хүндрэлийн хоёр дахь хувилбар нь шийдэл байж чадахгүй, учир нь газрын талбайн хэмжээсийг хасах хэмжигдэхүүнээр хэмжих боломжгүй, энэ нь x (өөрөөр хэлбэл талбайн өргөн) 18 м байна гэсэн үг. Эндээс бид уртыг тооцоолно: 18 +16=34, периметр 2(34+ 18)=104(м2).

Жишээ ба даалгавар

Бид квадрат тэгшитгэлийн судалгаагаа үргэлжлүүлж байна. Тэдгээрийн хэд хэдэн жишээ, нарийвчилсан шийдлүүдийг доор өгөх болно.

1) 15x 2 + 20x + 5 = 12x 2 + 27x + 1

Бүгдийг тэгш байдлын зүүн тал руу шилжүүлж, өөрчлөлт хийцгээе, өөрөөр хэлбэл стандарт гэж нэрлэгддэг тэгшитгэлийн төрлийг авч, тэгтэй тэнцүүлэх болно.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Ижил төстэйг нэмж, бид ялгагчийг тодорхойлно: D = 49 - 48 = 1. Энэ нь бидний тэгшитгэл хоёр үндэстэй болно гэсэн үг юм. Дээрх томъёоны дагуу тэдгээрийг тооцоолъё, энэ нь эхнийх нь 4/3, хоёр дахь нь 1-тэй тэнцүү байх болно гэсэн үг юм.

2) Одоо өөр төрлийн нууцыг тайлцгаая.

Энд x 2 - 4x + 5 = 1 үндэс байгаа эсэхийг олж мэдье? Нарийвчилсан хариултыг авахын тулд олон гишүүнтийг харгалзах ердийн хэлбэр болгон бууруулж, ялгаварлагчийг тооцоолъё. Дээрх жишээнд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх шаардлагагүй, учир нь энэ нь асуудлын мөн чанар огт биш юм. Энэ тохиолдолд D = 16 - 20 = -4, энэ нь үнэхээр үндэс байхгүй гэсэн үг юм.

Вьетагийн теорем

Квадрат тэгшитгэлийг дээрх томьёо болон ялгаварлан гадуурхагчийг ашиглан квадрат язгуурыг сүүлчийнх нь утгаас авах нь тохиромжтой. Гэхдээ энэ нь үргэлж тохиолддоггүй. Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд хувьсагчийн утгыг олж авах олон арга бий. Жишээ нь: Виетийн теоремыг ашиглан квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Түүнийг 16-р зуунд Францад амьдарч байсан, математикийн авъяас чадвар, шүүх дэх харилцааныхаа ачаар гайхалтай карьер хийсэн хүний ​​нэрээр нэрлэсэн. Түүний хөргийг нийтлэлээс харж болно.

Алдарт франц хүний ​​анзаарсан загвар нь дараах байдалтай байв. Тэр тэгшитгэлийн язгуурууд нь тоогоор -p=b/a-д нийлдэг ба тэдгээрийн үржвэр нь q=c/a-тай тохирч байгааг нотолсон.

Одоо тодорхой ажлуудыг авч үзье.

3x 2 + 21x - 54 = 0

Энгийн болгохын тулд илэрхийлэлийг өөрчилье:

x 2 + 7x - 18 = 0

Виетийн теоремыг ашиглая, энэ нь бидэнд дараахь зүйлийг өгөх болно: язгууруудын нийлбэр нь -7, тэдгээрийн үржвэр нь -18 байна. Эндээс бид тэгшитгэлийн язгуур нь -9 ба 2 гэсэн тоонуудыг олж авна. Шалгасны дараа бид эдгээр хувьсагч утгууд нь илэрхийлэлд үнэхээр нийцэж байгаа эсэхийг шалгах болно.

Парабола график ба тэгшитгэл

Квадрат функц ба квадрат тэгшитгэлийн ойлголтууд хоорондоо нягт холбоотой. Үүний жишээг өмнө нь өгсөн. Одоо математикийн зарим оньсогонуудыг бага зэрэг нарийвчлан авч үзье. Тодорхойлсон төрлийн аливаа тэгшитгэлийг нүдээр дүрсэлж болно. График хэлбэрээр зурсан ийм хамаарлыг парабола гэж нэрлэдэг. Түүний төрөл бүрийн төрлийг доорх зурагт үзүүлэв.

Аливаа парабол нь оройтой, өөрөөр хэлбэл мөчрүүд нь гарч ирдэг цэгтэй байдаг. Хэрэв a>0 бол тэдгээр нь хязгааргүйд хүрдэг бөгөөд a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Функцийн дүрслэл нь квадрат тэгшитгэлийг оролцуулан аливаа тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тусалдаг. Энэ аргыг график гэж нэрлэдэг. Мөн х хувьсагчийн утга нь графикийн шугам 0x-тэй огтлолцох цэгүүдийн абсцисса координат юм. Оройн координатыг дөнгөж өгсөн x 0 = -b/2a томъёог ашиглан олж болно. Үүссэн утгыг функцийн анхны тэгшитгэлд орлуулснаар та y 0 буюу ординатын тэнхлэгт хамаарах параболын оройн хоёр дахь координатыг олж чадна.

Абсцисса тэнхлэгтэй параболын мөчрүүдийн огтлолцол

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх олон жишээ байдаг ч ерөнхий хэв маяг бас байдаг. Тэднийг харцгаая. a>0-ийн хувьд графикийн 0х тэнхлэгтэй огтлолцох нь зөвхөн 0 сөрөг утгыг авсан тохиолдолд л боломжтой болох нь тодорхой байна. Мөн а<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Үгүй бол Д<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Параболын графикаас та мөн үндсийг тодорхойлж болно. Харин ч эсрэгээрээ. Өөрөөр хэлбэл, квадрат функцийн дүрслэлийг олж авахад амаргүй бол та илэрхийллийн баруун талыг 0-тэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлийг шийдэж болно. Мөн 0x тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийг мэдсэнээр график байгуулах нь илүү хялбар болно.

Түүхээс

Квадрат хувьсагч агуулсан тэгшитгэлийг ашиглан хуучин цагт тэд зөвхөн математик тооцоолол хийгээд зогсохгүй геометрийн дүрсүүдийн талбайг тодорхойлдог байв. Эртний хүмүүст физик, одон орон судлалын салбарт томоохон нээлт хийх, мөн зурхайн таамаглал гаргахад ийм тооцоо хэрэгтэй байв.

Орчин үеийн эрдэмтдийн үзэж байгаагаар Вавилоны оршин суугчид квадрат тэгшитгэлийг шийдсэн анхны хүмүүсийн нэг байв. Энэ нь манай эринээс дөрвөн зууны өмнө болсон. Мэдээжийн хэрэг, тэдний тооцоо одоо хүлээн зөвшөөрөгдсөнөөс эрс өөр байсан бөгөөд илүү энгийн байсан. Жишээлбэл, Месопотамийн математикчид сөрөг тоо байдаг талаар ямар ч ойлголтгүй байсан. Тэд орчин үеийн сургуулийн сурагчдын мэддэг бусад нарийн ширийн зүйлийг мэддэггүй байв.

Магадгүй Вавилоны эрдэмтдээс ч эрт Энэтхэгийн мэргэн Баудхаяма квадрат тэгшитгэлийг шийдэж эхэлжээ. Энэ нь Христийн эрин үеэс найман зууны өмнө болсон юм. Түүний өгсөн хоёр дахь эрэмбийн тэгшитгэл, шийдвэрлэх аргууд нь хамгийн энгийн байсан нь үнэн. Түүнээс гадна Хятадын математикчид ч эртний үед үүнтэй төстэй асуултуудыг сонирхож байсан. Европт квадрат тэгшитгэлийг зөвхөн 13-р зууны эхэн үеэс шийдэж эхэлсэн боловч хожим нь Ньютон, Декарт болон бусад олон эрдэмтэд бүтээлдээ ашигласан.

Якупова М.И. 1

Смирнова Ю.В. 1

1 НИТХ-ын төсвийн боловсролын байгууллага 11-р дунд сургууль

Бүтээлийн текстийг зураг, томьёогүйгээр нийтэлсэн.
Ажлын бүрэн хувилбарыг "Ажлын файлууд" таб дээрээс PDF форматаар авах боломжтой

Квадрат тэгшитгэлийн түүх

Вавилон

Зөвхөн нэгдүгээр зэрэглэлийн төдийгүй хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэрэгцээ нь эрт дээр үед одон орон судлал, математикийн хөгжлөөр газрын талбайн хэмжээг олохтой холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх хэрэгцээ шаардлагаас үүдэлтэй байв. Квадрат тэгшитгэлийг МЭӨ 2000 онд шийдэж болно. д. Вавилончууд. Вавилоны бичвэрт дурдсан эдгээр тэгшитгэлийг шийдвэрлэх дүрмүүд нь орчин үеийнхтэй үндсэндээ адилхан боловч эдгээр бичвэрүүдэд сөрөг тооны тухай ойлголт, квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий аргууд байдаггүй.

Эртний Грек

Эртний Грекд Диофант, Евклид, Херон зэрэг эрдэмтэд квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхээр ажиллаж байжээ. Александрын Диофант Диофант бол МЭ 3-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн математикч юм. Диофантын гол бүтээл бол 13 ном бүхий "Арифметик" юм. Евклид. Евклид бол эртний Грекийн математикч бөгөөд математикийн тухай анхны онолын зохиол болох Херон хэмээх бидэнд хүрч ирсэн зохиолч юм. Херон - МЭ 1-р зуунд Грек улсад анх удаа Грекийн математикч, инженер. квадрат тэгшитгэлийг шийдэх цэвэр алгебрийн аргыг өгдөг

Энэтхэг

Квадрат тэгшитгэлийн асуудлуудыг Энэтхэгийн математикч, одон орон судлаач Арьябхаттагийн 499 онд эмхэтгэсэн "Арьябхаттиам" хэмээх одон орны зохиолд аль хэдийн олдсон байдаг. Энэтхэгийн өөр нэг эрдэмтэн Брахмагупта (VII зуун) нэг каноник хэлбэрт шилжүүлсэн квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх ерөнхий дүрмийг тодорхойлсон: ax2 + bx = c, a> 0. (1) (1) тэгшитгэлд коэффициентүүд сөрөг байж болно. Брахмагуптагийн дүрэм үндсэндээ биднийхтэй адил юм. Хэцүү асуудлыг шийдэх олон нийтийн тэмцээн Энэтхэгт түгээмэл байсан. Энэтхэгийн эртний номнуудын нэгэнд ийм уралдааны талаар: "Нар оддыг гялалзуулж, гялалзуулдаг шиг эрдэмт хүн олон нийтийн цуглаан дээр алгебрийн бодлого дэвшүүлж, түүгээр алдар нэрийг нь гүйцэлдүүлэх болно" гэж бичсэн байдаг. Асуудлыг ихэвчлэн яруу найргийн хэлбэрээр танилцуулдаг байв.

Энэ бол 12-р зууны Энэтхэгийн нэрт математикчийн асуудлын нэг юм. Бхаскарууд.

“Хөөрхөн сармагчингийн сүрэг

Усан үзмийн модны дагуух арван хоёр нь ханатлаа идэж, хөгжилтэй байлаа

Тэд үсэрч унжиж эхлэв

Тэдгээр нь дөрвөлжин хэлбэртэй наймдугаар хэсэг юм

Тэнд хэдэн сармагчин байсан бэ?

Би цэвэрлэгээнд хөгжилдөж байсан

Надад хэлээч, энэ хайрцагт уу?

Бхаскарын шийдэл нь зохиолч квадрат тэгшитгэлийн язгуур хоёр утгатай гэдгийг мэддэг байсныг харуулж байна. Бхаскар бодлогод харгалзах тэгшитгэлийг x2 - 64x = - 768 гэж бичээд, энэ тэгшитгэлийн зүүн талыг квадрат болгож дуусгахын тулд хоёр талдаа 322-ыг нэмээд дараахийг олж авна: x2 - b4x + 322 = -768 + 1024 , (x - 32)2 = 256, x - 32= ±16, x1 = 16, x2 = 48.

17-р зууны Европ дахь квадрат тэгшитгэл

Европ дахь Аль-Хорезмигийн шугамын дагуу квадрат тэгшитгэлийг шийдэх томьёог Италийн математикч Леонардо Фибоначчийн 1202 онд бичсэн Абакус номонд анх гаргажээ. Исламын болон эртний Грекийн математикийн нөлөөг тусгасан энэхүү том бүтээл нь бүрэн дүүрэн, ойлгомжтой байдлаараа ялгагдана. Зохиогч нь асуудлыг шийдвэрлэх зарим шинэ алгебрийн жишээг бие даан боловсруулж, Европт анх удаа сөрөг тоог нэвтрүүлэхэд ойртжээ. Түүний ном нь зөвхөн Италид төдийгүй Герман, Франц болон Европын бусад орнуудад алгебрийн мэдлэгийг түгээхэд хувь нэмэр оруулсан. 16-17-р зууны бараг бүх Европын сурах бичигт Абакус номноос олон асуудлыг ашигласан. болон хэсэгчлэн XVIII. Квадрат тэгшитгэлийг ерөнхий хэлбэрээр шийдэх томъёоны гарал үүслийг Виетээс авах боломжтой боловч Виет зөвхөн эерэг язгуурыг хүлээн зөвшөөрсөн. Италийн математикч Тартаглиа, Кардано, Бомбелли нар 16-р зууны анхны хүмүүсийн нэг байв. Эерэг зүйлээс гадна сөрөг үндсийг харгалзан үздэг. Зөвхөн 17-р зуунд. Жирард, Декарт, Ньютон болон бусад эрдэмтдийн ажлын ачаар квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга орчин үеийн хэлбэрийг олж авдаг.

Квадрат тэгшитгэлийн тодорхойлолт

a, b, c нь тоонууд болох ax 2 + bx + c = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг квадрат гэнэ.

Квадрат тэгшитгэлийн коэффициентүүд

a, b, c тоонууд нь квадрат тэгшитгэлийн коэффициентууд (x²-ийн өмнөх) a ≠ 0 нь хоёр дахь коэффициент (x-ээс өмнөх);

Эдгээр тэгшитгэлүүдийн аль нь квадрат биш вэ??

1. 4x² + 4x + 1 = 0;2. 5х - 7 = 0;3. - x² - 5x - 1 = 0;4. 2/x² + 3x + 4 = 0;5. ¼ x² - 6x + 1 = 0;6. 2x² = 0;

7. 4x² + 1 = 0;8. x² - 1/x = 0;9. 2x² - x = 0;10. x² -16 = 0;11. 7x² + 5x = 0;12. -8x²= 0;13. 5х³ +6х -8= 0.

Квадрат тэгшитгэлийн төрлүүд

Багасгасан гэдэг нь тэргүүлэх коэффициент нь нэгтэй тэнцүү байх квадрат тэгшитгэл юм. Ийм тэгшитгэлийг бүхэл илэрхийлэлийг тэргүүлэх коэффициентэд хуваах замаар олж авч болно а:

x 2 + px + q =0, p = b/a, q = c/a

Хэрэв бүх коэффициентүүд нь тэгээс ялгаатай бол квадрат тэгшитгэлийг бүрэн гэж нэрлэдэг.

Тэргүүлэгчээс бусад коэффициентүүдийн дор хаяж нэг нь (хоёр дахь коэффициент эсвэл чөлөөт гишүүн) тэгтэй тэнцүү байвал квадрат тэгшитгэлийг бүрэн бус гэж нэрлэдэг.

Квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

Арга I Үндэсийг тооцоолох ерөнхий томъёо

Квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох сүх 2 + b + c = 0Ерөнхийдөө та дараах алгоритмыг ашиглах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн дискриминантын утгыг тооцоол: энэ бол түүний илэрхийлэл юм D=б 2 - 4ac

Томъёоны гарал үүсэл:

Жич: 2-р үржвэрийн язгуурын томьёо нь D=0 тэгшитгэлийг орлуулах замаар олж авсан ерөнхий томьёоны онцгой тохиолдол бөгөөд D0-д бодит язгуур байхгүй гэсэн дүгнэлт, мөн (displaystyle (sqrt) -1))=i) = i.

Үзүүлсэн арга нь бүх нийтийнх боловч цорын ганц аргаас хол байна. Нэг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд янз бүрийн аргаар хандаж болох бөгөөд сонголт нь ихэвчлэн шийдэгчээс хамаарна. Нэмж дурдахад, энэ зорилгоор зарим аргууд нь стандартаас хамаагүй илүү гоёмсог, энгийн, хөдөлмөр бага шаарддаг.

II арга. Тэгш коэффициенттэй квадрат тэгшитгэлийн үндэсб III арга. Бүрэн бус квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

IV арга. Коэффициентийн хэсэгчилсэн харьцааг ашиглах

Квадрат тэгшитгэлийн онцгой тохиолдлууд байдаг бөгөөд коэффициентүүд нь хоорондоо уялдаатай байдаг тул тэдгээрийг шийдвэрлэхэд илүү хялбар болгодог.

Тэргүүлэх коэффициент ба чөлөөт гишүүний нийлбэр нь хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Хэрэв квадрат тэгшитгэлд байгаа бол сүх 2 + bx + c = 0Эхний коэффициент ба чөлөөт хугацааны нийлбэр нь хоёр дахь коэффициенттэй тэнцүү байна. a+b=c, дараа нь түүний үндэс нь -1 ба чөлөөт гишүүний тэргүүлэх коэффициенттэй харьцуулсан тоо ( -c/a).

Тиймээс, квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн өмнө та энэ теоремыг түүнд хэрэглэх боломжийг шалгах хэрэгтэй: тэргүүлэх коэффициент ба чөлөөт гишүүний нийлбэрийг хоёр дахь коэффициенттэй харьцуулах хэрэгтэй.

Бүх коэффициентүүдийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү квадрат тэгшитгэлийн үндэс

Хэрэв квадрат тэгшитгэлд түүний бүх коэффициентүүдийн нийлбэр тэг байвал ийм тэгшитгэлийн үндэс нь 1 ба чөлөөт гишүүний тэргүүлэх коэффициенттэй харьцуулсан харьцаа ( в/а).

Тиймээс, стандарт аргуудыг ашиглан тэгшитгэлийг шийдэхийн өмнө та энэ теоремыг түүнд хэрэглэх боломжтой эсэхийг шалгах хэрэгтэй: энэ тэгшитгэлийн бүх коэффициентийг нэмж, энэ нийлбэр тэгтэй тэнцүү биш эсэхийг шалгана уу.

V арга. Квадрат гурвалсан тоог шугаман хүчин зүйл болгон хуваах

Гурвалсан хэлбэр нь байвал (дэлгэцийн хэв маяг ax^(2)+bx+c(anot =0))ax 2 + bx + c(a ≠ 0)ямар нэгэн байдлаар шугаман хүчин зүйлсийн үржвэрээр дүрслэгдэх боломжтой (дислайн хэв маяг (kx+m)(lx+n)=0)(kx + m)(lx + n), тэгвэл бид тэгшитгэлийн язгуурыг олох боломжтой. сүх 2 + bx + c = 0- тэд -m/k ба n/l байх болно, үнэхээр, эцсийн эцэст (дэлгэцийн хэв маяг (kx+m)(lx+n)=0Зүүн баруун сум kx+m=0аяга lx+n=0)(kx + m)(lx + n) = 0 kx + mUlx + n, мөн заасан шугаман тэгшитгэлийг шийдсэний дараа бид дээрхийг олж авна. Квадрат гурвалжин нь бодит коэффициент бүхий шугаман хүчин зүйлүүдэд үргэлж задардаггүй гэдгийг анхаарна уу: хэрэв харгалзах тэгшитгэл нь бодит үндэстэй бол энэ нь боломжтой юм.

Зарим онцгой тохиолдлуудыг авч үзье

Квадрат нийлбэр (ялгаа) томъёог ашиглан

Хэрэв квадрат гурвалжин нь (дэлгэцийн хэв маяг (ax)^(2)+2abx+b^(2))ax 2 + 2abx + b 2 хэлбэртэй байвал дээрх томьёог түүнд хэрэглэснээр бид үүнийг шугаман хүчин зүйл болон Тиймээс үндсийг нь ол:

(сүх) 2 + 2abx + b 2 = (ax + b) 2

Нийлбэрийн бүтэн квадратыг тусгаарлах (ялгаа)

Дээрх томьёог мөн "нийлбэрийн бүтэн квадратыг (ялгаа) сонгох" аргыг ашиглан ашигладаг. Өмнө нь оруулсан тэмдэглэгээтэй дээрх квадрат тэгшитгэлийн хувьд энэ нь дараахь зүйлийг хэлнэ.

Жич:Хэрэв та анзаарсан бол энэ томьёо нь "Багасгасан квадрат тэгшитгэлийн үндэс" хэсэгт санал болгосон томъёотой давхцаж байгаа бөгөөд үүнийг ерөнхий томъёоноос (1) a=1 тэгшитгэлийг орлуулах замаар олж авч болно. Энэ баримт нь зүгээр нэг тохиолдол биш юм: тайлбарласан аргыг ашиглан нэмэлт үндэслэлээр ерөнхий томьёог гаргаж, ялгаварлагчийн шинж чанарыг нотлох боломжтой.

VI арга. Вьетагийн шууд ба урвуу теоремыг ашиглах

Виетийн шууд теорем (ижил нэртэй хэсгийг доороос үзнэ үү) ба түүний урвуу теорем нь (1) томъёог ашиглан нэлээд төвөгтэй тооцоолол хийхгүйгээр дээрх квадрат тэгшитгэлийг амаар шийдвэрлэх боломжийг олгодог.

Эсрэг теоремын дагуу, доорх тэгшитгэлийн системийн шийдэл болох хос тоо (тоо) бүр (дэлгэцийн хэв маяг x_(1),x_(2))x 1, x 2 нь тэгшитгэлийн үндэс юм.

Ерөнхий тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, буураагүй квадрат тэгшитгэлийн хувьд ax 2 + bx + c = 0

x 1 + x 2 = -b/a, x 1 * x 2 = c/a

Шууд теорем нь эдгээр тэгшитгэлийг хангах тоог амаар олоход тусална. Түүний тусламжтайгаар та үндсийг нь мэдэхгүй ч үндэсийн шинж тэмдгийг тодорхойлж болно. Үүнийг хийхийн тулд та дараах дүрмийг баримтлах хэрэгтэй.

1) хэрэв чөлөөт нэр томъёо нь сөрөг байвал үндэс нь өөр өөр тэмдэгтэй, язгуурын үнэмлэхүй утгын хамгийн том нь тэгшитгэлийн хоёр дахь коэффициентийн тэмдгийн эсрэг тэмдэгтэй байна;

2) хэрэв чөлөөт нэр томъёо эерэг байвал хоёр үндэс нь ижил тэмдэгтэй бөгөөд энэ нь хоёр дахь коэффициентийн тэмдгийн эсрэг тэмдэг юм.

VII арга. Дамжуулах арга

"Шилжүүлэг" гэж нэрлэгддэг арга нь буураагүй ба бууруулж болохгүй тэгшитгэлийн шийдлийг бүхэл коэффициент бүхий бууруулсан тэгшитгэлийн шийдэлд тэргүүлэх коэффициентээр хуваах замаар бүхэл тоон коэффициент бүхий бууруулсан тэгшитгэлийн хэлбэрт оруулах боломжийг олгодог. Энэ нь дараах байдалтай байна.

Дараа нь тэгшитгэлийг дээр дурдсан аргаар амаар шийдэж, дараа нь анхны хувьсагч руу буцаж, тэгшитгэлийн язгуурыг олно (дисплейн хэв маяг y_(1)=ax_(1)) y 1 =сүх 1 Тэгээд y 2 =сүх 2 .(дэлгэцийн хэв маяг y_(2)=ax_(2))

Геометрийн утга

Квадрат функцийн график нь парабол юм. Квадрат тэгшитгэлийн шийд (язгуур) нь параболын абсцисса тэнхлэгтэй огтлолцох цэгүүдийн абсцисса юм. Хэрэв квадрат функцээр тодорхойлсон парабол нь х тэнхлэгтэй огтлолцохгүй бол тэгшитгэл нь бодит үндэсгүй болно. Хэрэв парабол х тэнхлэгийг нэг цэгт (параболын орой дээр) огтолж байвал тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай (тэгшитгэлийг мөн хоёр давхцах язгууртай гэж нэрлэдэг). Хэрэв парабол х тэнхлэгийг хоёр цэгээр огтолж байвал тэгшитгэл нь хоёр бодит үндэстэй байна (баруун талын зургийг харна уу).

Хэрэв коэффициент (дэлгэцийн хэв маяг a) аэерэг, параболын мөчрүүд дээшээ чиглэсэн ба эсрэгээр. Хэрэв коэффициент (дэлгэцийн хэв маяг b) b эерэг (эерэг бол (дэлгэцийн хэв маяг a) а, сөрөг бол эсрэгээр), параболын орой нь зүүн хагас хавтгайд байрладаг ба эсрэгээр.

Квадрат тэгшитгэлийн амьдрал дахь хэрэглээ

Квадрат тэгшитгэлийг өргөн ашигладаг. Энэ нь олон тооны тооцоолол, бүтэц, спорт, мөн бидний эргэн тойронд хэрэглэгддэг.

Квадрат тэгшитгэлийн хэрэглээний зарим жишээг авч үзье.

Спорт. Өндөр үсрэлт: үсрэгчийн гүйлтийн үед хөөрөх баар болон өндөр нислэгт аль болох тодорхой нөлөө үзүүлэхийн тулд параболатай холбоотой тооцооллыг ашигладаг.

Мөн шидэх үед ижил төстэй тооцоолол хийх шаардлагатай. Объектийн нислэгийн хүрээ нь квадрат тэгшитгэлээс хамаарна.

Одон орон судлал. Гаригуудын траекторийг квадрат тэгшитгэл ашиглан олж болно.

Онгоцны нислэг. Онгоц хөөрөх нь нислэгийн гол бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Энд бид бага эсэргүүцэл ба хөөрөлтийн хурдатгалын тооцоог авч үзье.

Квадрат тэгшитгэлийг эдийн засгийн янз бүрийн салбаруудад, аудио, видео, вектор, растер график боловсруулах програмуудад ашигладаг.

Дүгнэлт

Хийсэн ажлын үр дүнд квадрат тэгшитгэл нь эрт дээр үеэс эрдэмтэд зарим асуудлыг шийдвэрлэхэд тулгарч байсан бөгөөд тэдгээрийг шийдвэрлэх гэж оролдсон нь тогтоогджээ. Квадрат тэгшитгэлийг шийдэх янз бүрийн аргуудыг хараад би бүгд энгийн биш гэсэн дүгнэлтэд хүрсэн. Миний бодлоор квадрат тэгшитгэлийг томъёогоор шийдэх нь хамгийн сайн арга юм. Томьёог санахад хялбар, энэ арга нь бүх нийтийнх юм. Тэгшитгэлийг амьдрал, математикт өргөнөөр ашигладаг гэсэн таамаглал батлагдсан. Энэ сэдвийг судалсны дараа би квадрат тэгшитгэл, тэдгээрийн хэрэглээ, хэрэглээ, төрөл, шийдлийн талаар олон сонирхолтой баримтуудыг олж мэдсэн. Мөн би тэднийг үргэлжлүүлэн судлахдаа баяртай байх болно. Энэ нь намайг шалгалтаа сайн өгөхөд тусална гэж найдаж байна.

Ашигласан уран зохиолын жагсаалт

Сайтын материал:

Википедиа

Нээлттэй хичээл.rf

Анхан шатны математикийн гарын авлага Выгодский М.Я.

", өөрөөр хэлбэл, нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэлүүд. Энэ хичээл дээр бид үзэх болно үүнийг квадрат тэгшитгэл гэж нэрлэдэгмөн үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар.

Квадрат тэгшитгэл гэж юу вэ?

Чухал!

Тэгшитгэлийн зэрэг нь үл мэдэгдэх зүйл байх хамгийн дээд зэргээр тодорхойлогддог.

Хэрэв үл мэдэгдэх хамгийн их хүч нь "2" бол квадрат тэгшитгэлтэй болно.

Квадрат тэгшитгэлийн жишээ

• 5x 2 − 14x + 17 = 0
• −x 2 + x +

  1

  3

  = 0
• x 2 + 0.25x = 0
• x 2 − 8 = 0

Чухал! Квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэр нь дараах байдалтай байна.

A x 2 + b x + c = 0

• "a" нь эхний буюу хамгийн өндөр коэффициент;
• "b" нь хоёр дахь коэффициент;
• "c" нь чөлөөт гишүүн юм.

"a", "b", "c"-ийг олохын тулд та тэгшитгэлээ "ax 2 + bx + c = 0" квадрат тэгшитгэлийн ерөнхий хэлбэртэй харьцуулах хэрэгтэй.

Квадрат тэгшитгэлийн "a", "b", "c" коэффициентийг тодорхойлох дадлага хийцгээе.

• a = −1
• b = 1
• c =

  1

  3

• a = 1
• b = 0.25
• c = 0

• a = 1
• b = 0
• c = -8

Квадрат тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ

Шугаман тэгшитгэлээс ялгаатай нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх тусгай аргыг ашигладаг. үндсийг олох томъёо.

Санаж байна уу!

Квадрат тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.

• квадрат тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт ав.
• Энэ нь баруун талд зөвхөн "0" үлдэх ёстой;

үндэс нь томъёог ашиглах:

Квадрат тэгшитгэлийн үндсийг олохын тулд томъёог хэрхэн ашиглах жишээг харцгаая. Квадрат тэгшитгэлийг шийдье.

“x 2 − 3x − 4 = 0” тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт аль хэдийн багасгасан бөгөөд нэмэлт хялбарчлах шаардлагагүй. Үүнийг шийдэхийн тулд бид өргөдөл гаргахад л хангалттай квадрат тэгшитгэлийн язгуурыг олох томьёо.

Энэ тэгшитгэлийн “a”, “b”, “c” коэффициентүүдийг тодорхойлъё.

Үүнийг ямар ч квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглаж болно.

“x 1;2 = ” томъёонд радикал илэрхийлэл ихэвчлэн солигддог
"D" үсгийн хувьд "b 2 - 4ac" бөгөөд ялгаварлагч гэж нэрлэдэг. Ялгаварлагчийн тухай ойлголтыг "Ялгаварлагч гэж юу вэ" хичээл дээр илүү дэлгэрэнгүй авч үзсэн болно.

Квадрат тэгшитгэлийн өөр нэг жишээг авч үзье.

x 2 + 9 + x = 7x

Энэ хэлбэрээр "a", "b" ба "c" коэффициентийг тодорхойлоход нэлээд хэцүү байдаг. Эхлээд тэгшитгэлийг “ax 2 + bx + c = 0” ерөнхий хэлбэрт оруулъя.

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Одоо та үндэст зориулсан томъёог ашиглаж болно.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

Квадрат тэгшитгэл нь үндэсгүй байх тохиолдол байдаг. Томъёоны үндэс дор сөрөг тоо байгаа тохиолдолд ийм нөхцөл байдал үүсдэг.