Гурвалжны талбай - томъёо, асуудлыг шийдвэрлэх жишээ

Доор байна дурын гурвалжны талбайг олох томъёошинж чанар, өнцөг, хэмжээ зэргээс үл хамааран аливаа гурвалжны талбайг олоход тохиромжтой. Томъёо нь зураг хэлбэрээр, тэдгээрийн хэрэглээний тайлбар эсвэл тэдгээрийн зөв байдлын үндэслэлийг харуулсан болно. Мөн тусдаа зураг нь томьёо дахь үсгийн тэмдэг болон зураг дээрх график тэмдэгтүүдийн хоорондын захидал харилцааг харуулж байна.

Анхаарна уу . Хэрэв гурвалжин нь тусгай шинж чанартай (исс өнцөгт, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт) байвал доор өгөгдсөн томьёо болон зөвхөн эдгээр шинж чанартай гурвалжинд хүчинтэй нэмэлт тусгай томъёог ашиглаж болно.

• "Тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо"

Гурвалжингийн талбайн томъёо

Томъёоны тайлбар:
a, b, c- талбайг нь олохыг хүсч буй гурвалжны талуудын урт
r- гурвалжинд сийлсэн тойргийн радиус
Р- гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн радиус
h- хажуу тийшээ доошлуулсан гурвалжны өндөр
х- гурвалжны хагас периметр, талуудын нийлбэрийн 1/2 (периметр)
α - гурвалжны а талын эсрэг талын өнцөг
β - гурвалжны b талын эсрэг талын өнцөг
γ - гурвалжны в талын эсрэг талын өнцөг
h а, h б , h в- гурвалжны өндрийг a, b, c тал руу буулгасан

Өгөгдсөн тэмдэглэгээ нь дээрх зурагтай тохирч байгаа тул геометрийн бодит асуудлыг шийдэхдээ томьёоны зөв газарт зөв утгыг орлуулах нь нүдэнд харагдахуйц хялбар байх болно гэдгийг анхаарна уу.

• Гурвалжны талбай нь гурвалжны өндрийн хагас үржвэр ба энэ өндрийг буулгах талын урт(Формула 1). Энэ томъёоны зөвийг логикоор ойлгож болно. Суурь руу буулгасан өндөр нь дурын гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваах болно. Хэрэв та тэдгээрийг тус бүрийг b ба h хэмжээтэй тэгш өнцөгт болгон барьвал эдгээр гурвалжны талбай нь тэгш өнцөгтийн талбайн яг хагастай тэнцүү байх болно (Spr = bh)
• Гурвалжны талбай нь түүний хоёр талын хагасын үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус(Формула 2) (энэ томъёог ашиглан асуудлыг шийдэх жишээг доороос үзнэ үү). Хэдийгээр энэ нь өмнөхөөсөө ялгаатай мэт санагдаж байгаа ч үүнийг амархан хувиргаж болно. Хэрэв бид өндрийг B өнцгөөс b тал руу буулгавал тэгш өнцөгт гурвалжны синусын шинж чанарын дагуу а тал ба γ өнцгийн синусын үржвэр нь бидний зурсан гурвалжны өндөртэй тэнцүү байна. , энэ нь бидэнд өмнөх томьёог өгдөг
• Дурын гурвалжны талбайг олж болно дамжуулан ажилдотор нь бичсэн тойргийн радиусын хагасыг түүний бүх талуудын уртын нийлбэрээр илэрхийлнэ(Формула 3), энгийнээр хэлбэл, та гурвалжны хагас периметрийг бичээстэй тойргийн радиусаар үржүүлэх хэрэгтэй (үүнийг санахад хялбар)
• Дурын гурвалжны талбайг түүний бүх талуудын үржвэрийг тойрон хүрээлэгдсэн тойргийн 4 радиусаар хуваах замаар олж болно (Формула 4)
• Формула 5 нь гурвалжны талбайг талуудын урт ба хагас периметрээр нь (бүх талуудын нийлбэрийн хагас) олох явдал юм.
• Хероны томъёо(6) нь хагас периметрийн ойлголтыг ашиглахгүйгээр зөвхөн талуудын уртаар дамжуулан ижил томьёоны дүрслэл юм.
• Дурын гурвалжны талбай нь гурвалжны хажуугийн квадрат ба энэ талтай зэргэлдээх өнцгийн синусын үржвэрийг энэ талын эсрэг талын өнцгийн давхар синусанд хуваасантай тэнцүү байна (Формула 7)
• Дурын гурвалжны талбайг түүний өнцөг бүрийн синусаар тойрсон тойргийн хоёр квадратын үржвэрээр олж болно. (Формула 8)
• Хэрэв нэг талын урт ба зэргэлдээ хоёр өнцгийн утгууд мэдэгдэж байвал гурвалжны талбайг энэ талын квадратыг эдгээр өнцгийн котангентын давхар нийлбэрт хуваасан хэлбэрээр олж болно (Формула 9)
• Хэрэв гурвалжны өндөр тус бүрийн уртыг л мэддэг бол (Формула 10) ийм гурвалжны талбай нь Хероны томъёоны дагуу эдгээр өндрийн урттай урвуу пропорциональ байна.
• Формула 11 нь тооцоолох боломжийг танд олгоно оройнуудын координат дээр үндэслэн гурвалжны талбай, орой тус бүрийн хувьд (x;y) утгуудаар тодорхойлогддог. Хувь хүний ​​(эсвэл бүр бүх) оройн координатууд сөрөг утгын бүсэд байж болох тул үр дүнгийн утгыг модулаар авах ёстойг анхаарна уу.

Анхаарна уу. Гурвалжны талбайг олохын тулд геометрийн асуудлыг шийдэх жишээг доор харуулав. Хэрэв та энд төстэй биш геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Шийдэлд "квадрат язгуур" тэмдгийн оронд sqrt() функцийг ашиглаж болох бөгөөд үүнд sqrt нь квадрат язгуур тэмдэг, радикал илэрхийллийг хаалтанд заасан болно..Заримдаа энгийн радикал илэрхийлэлд энэ тэмдгийг ашиглаж болно √

Даалгавар. Өгөгдсөн хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ол

Гурвалжны талууд нь 5 ба 6 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 60 градус байна. Гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид хичээлийн онолын хэсгээс хоёр дахь томьёог ашигладаг.
Гурвалжны талбайг хоёр талын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусаар олж болох ба тэнцүү байх болно.
S=1/2 ab sin γ

Бидэнд шийдэлд шаардлагатай бүх өгөгдөл байгаа тул (томъёоны дагуу) бид асуудлын нөхцлийн утгыг зөвхөн томъёонд орлуулж болно.
S = 1/2 * 5 * 6 * нүгэл 60

Тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгтэд бид синусын 60 градусын утгыг олж, илэрхийлэлд орлуулах болно. Энэ нь гурвыг хоёр удаа үржүүлсэн үндэстэй тэнцүү байх болно.
S = 15 √3 / 2

Хариулах: 7.5 √3 (багшийн шаардлагаас хамааран та 15 √3/2 үлдээж болно)

Даалгавар. Тэгш талт гурвалжны талбайг ол

3 см талтай тэгш талт гурвалжны талбайг ол.

Шийдэл.

Гурвалжны талбайг Хероны томъёог ашиглан олж болно.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))

a = b = c тул тэгш талт гурвалжны талбайн томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Хариулах: 9 √3 / 4.

Даалгавар. Хажуугийн уртыг өөрчлөх үед талбайг өөрчил

Гурвалжны талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл түүний талбай хэд дахин нэмэгдэх вэ?

Шийдэл.

Гурвалжны талуудын хэмжээс нь бидэнд тодорхойгүй тул асуудлыг шийдэхийн тулд талуудын уртыг дурын тоонуудтай тэнцүү гэж үзнэ a, b, c. Дараа нь асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид өгөгдсөн гурвалжны талбайг олж, дараа нь талууд нь дөрөв дахин том гурвалжны талбайг олох болно. Эдгээр гурвалжны талбайн харьцаа нь бидэнд асуудлын хариултыг өгөх болно.

Доор бид асуудлын шийдлийг алхам алхмаар текст хэлбэрээр тайлбарласан болно. Гэсэн хэдий ч эцэст нь ижил шийдлийг илүү тохиромжтой график хэлбэрээр үзүүлэв. Сонирхсон хүмүүс шийдлүүдийг нэн даруй буулгаж болно.

Шийдвэрлэхийн тулд бид Хероны томъёог ашигладаг (хичээлийн онолын хэсгээс үзнэ үү). Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

S = 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн эхний мөрийг үзнэ үү)

Дурын гурвалжны талуудын уртыг a, b, c хувьсагчаар тодорхойлно.
Хэрэв талуудыг 4 дахин нэмэгдүүлбэл шинэ c гурвалжны талбай нь:

S 2 = 1/4 sqrt((4a + 4b + 4c)(4b + 4c - 4a)(4a + 4c - 4b)(4a + 4b -4c))
(доорх зурган дээрх хоёр дахь мөрийг харна уу)

Таны харж байгаагаар 4 нь математикийн ерөнхий дүрмийн дагуу бүх дөрвөн илэрхийллээс хаалтнаас гаргаж болох нийтлэг хүчин зүйл юм.
Дараа нь

S 2 = 1/4 sqrt(4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - зургийн гурав дахь мөрөнд
S 2 = 1/4 sqrt(256 (a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c)) - дөрөв дэх мөр

256 тооны язгуурыг төгс гаргаж авсан тул язгуураас нь гаргая
S 2 = 16 * 1/4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
S 2 = 4 sqrt((a + b + c)(b + c - a)(a + c - b)(a + b -c))
(доорх зургийн тав дахь мөрийг харна уу)

Асуудлын асуултанд хариулахын тулд бид үүссэн гурвалжны талбайг анхны гурвалжны талбайд хуваах хэрэгтэй.
Илэрхийлэлүүдийг хооронд нь хувааж, үүссэн бутархайг багасгах замаар талбайн харьцааг тодорхойлъё.

Гурвалжин бол хүн бүрт танил дүрс юм. Энэ нь түүний олон янзын хэлбэрийг үл харгалзан. Тэгш өнцөгт, тэгш талт, хурц, тэгш өнцөгт, мохоо. Тэд тус бүр нь ямар нэгэн байдлаар өөр өөр байдаг. Гэхдээ хэн ч гурвалжны талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.

Талуудын урт эсвэл өндрийг ашигладаг бүх гурвалжинд нийтлэг томъёо

Тэдгээрт батлагдсан тэмдэглэгээ: талууд - a, b, c; a, n in, n with дээрх харгалзах талууд дээрх өндөр.

1. Гурвалжны талбайг ½, тал ба түүнээс хассан өндрийн үржвэрээр тооцно. S = ½ * a * n a. Нөгөө хоёр талын томьёог ижилхэн бичих ёстой.

2. Хагас периметр гарч ирэх Хэроны томъёо (бүтэн периметрээс ялгаатай нь ихэвчлэн жижиг p үсгээр тэмдэглэдэг). Хагас периметрийг дараах байдлаар тооцоолох ёстой: бүх талыг нэмээд 2-т хуваана. Хагас периметрийн томъёо нь: p = (a+b+c) / 2. Дараа нь ​ талбайн тэгшитгэл. ​зураг дараах байдалтай байна: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Хэрэв та хагас периметр ашиглахыг хүсэхгүй байгаа бол зөвхөн талуудын уртыг агуулсан томъёо хэрэгтэй болно: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Энэ нь өмнөхөөсөө арай урт боловч хагас периметрийг хэрхэн олохоо мартсан бол энэ нь туслах болно.

Гурвалжны өнцгийг хамарсан ерөнхий томьёо

Томьёог уншихад шаардлагатай тэмдэглэгээ: α, β, γ - өнцөг. Тэд a, b, c-ийн эсрэг талд байрладаг.

1. Үүний дагуу хоёр талын үржвэрийн тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синус нь гурвалжны талбайтай тэнцүү байна. Энэ нь: S = ½ a * b * sin γ. Бусад хоёр тохиолдлын томъёог ижил төстэй байдлаар бичих хэрэгтэй.

2. Гурвалжны талбайг нэг тал болон гурван мэдэгдэж буй өнцгөөс тооцоолж болно. S = (а 2 * нүгэл β * нүгэл γ) / (2 нүгэл α).

3. Мэдэгдэж байгаа нэг тал, хоёр зэргэлдээ өнцөгтэй томьёо бас бий. Энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Сүүлийн хоёр томъёо нь хамгийн энгийн биш юм. Тэднийг санах нь маш хэцүү байдаг.

Бичсэн эсвэл хүрээлэгдсэн тойргийн радиусыг мэддэг нөхцөл байдлын ерөнхий томьёо

Нэмэлт тэмдэглэгээ: r, R - радиус. Эхнийх нь бичээстэй тойргийн радиуст ашиглагддаг. Хоёр дахь нь тайлбарласан зүйлд зориулагдсан.

1. Гурвалжны талбайг тооцоолох эхний томъёо нь хагас периметртэй холбоотой. S = r * r. Үүнийг бичих өөр нэг арга бол: S = ½ r * (a + b + c).

2. Хоёр дахь тохиолдолд та гурвалжны бүх талыг үржүүлж, тойргийн радиусыг дөрөв дахин хуваах хэрэгтэй болно. Шууд утгаараа дараах байдлаар харагдана: S = (a * b * c) / (4R).

3. Гурав дахь нөхцөл байдал нь талуудыг мэдэхгүйгээр хийх боломжийг олгодог боловч бүх гурван өнцгийн утгууд хэрэгтэй болно. S = 2 R 2 * нүгэл α * нүгэл β * нүгэл γ.

Онцгой тохиолдол: тэгш өнцөгт гурвалжин

Зөвхөн хоёр хөлний урт шаардлагатай тул энэ нь хамгийн энгийн нөхцөл байдал юм. Тэдгээр нь латин a, b үсгээр тэмдэглэгдсэн байдаг. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь түүнд нэмсэн тэгш өнцөгтийн талбайн талтай тэнцүү байна.

Математикийн хувьд энэ нь иймэрхүү харагдаж байна: S = ½ a * b. Энэ нь санахад хамгийн хялбар юм. Тэгш өнцөгтийн талбайн томьёо шиг харагддаг тул зөвхөн хагасыг харуулсан бутархай гарч ирнэ.

Онцгой тохиолдол: ижил өнцөгт гурвалжин

Энэ нь хоёр тэнцүү талтай тул түүний талбайн зарим томъёо нь арай хялбаршуулсан мэт харагдаж байна. Жишээлбэл, ижил өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох Хероны томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.

S = ½ in √((a + ½ in)*(a - ½ in)).

Хэрэв та үүнийг өөрчлөх юм бол энэ нь богино болно. Энэ тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны Хэроны томъёог дараах байдлаар бичнэ.

S = ¼ in √(4 * a 2 - b 2).

Талбайн томьёо нь талууд болон тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь тодорхой бол дурын гурвалжныхаас арай хялбар харагдаж байна. S = ½ a 2 * sin β.

Онцгой тохиолдол: тэгш талт гурвалжин

Асуудлын хувьд ихэвчлэн түүний талыг мэддэг эсвэл ямар нэгэн байдлаар олж мэддэг. Дараа нь ийм гурвалжны талбайг олох томъёо дараах байдалтай байна.

S = (a 2 √3) / 4.

Гурвалжинг алаг цаасан дээр дүрсэлсэн бол талбайг олоход тулгардаг асуудлууд

Хамгийн энгийн нөхцөл байдал бол тэгш өнцөгт гурвалжинг зурах бөгөөд хөл нь цаасны зураастай давхцах явдал юм. Дараа нь та хөлөнд тохирох эсийн тоог тоолох хэрэгтэй. Дараа нь тэдгээрийг үржүүлж, хоёр хуваа.

Гурвалжин нь хурц эсвэл мохоо байвал тэгш өнцөгт рүү зурах шаардлагатай. Дараа нь үүссэн зураг нь 3 гурвалжинтай болно. Нэг нь асуудалд өгөгдсөн зүйл юм. Нөгөө хоёр нь туслах ба тэгш өнцөгт хэлбэртэй. Сүүлийн хоёрын талбайг дээр дурдсан аргыг ашиглан тодорхойлох шаардлагатай. Дараа нь тэгш өнцөгтийн талбайг тооцоолж, үүнээс туслах хэсэгт тооцсон хэсгийг хас. Гурвалжны талбайг тодорхойлно.

Гурвалжны аль ч тал нь цаасны шугамтай давхцахгүй байх нөхцөл байдал илүү төвөгтэй болж хувирав. Дараа нь анхны дүрсийн оройнууд нь хажуу талдаа байхаар тэгш өнцөгт хэлбэрээр бичих шаардлагатай. Энэ тохиолдолд гурван туслах гурвалжин байх болно.

Хероны томъёог ашигласан асуудлын жишээ

Нөхцөл байдал. Зарим гурвалжин нь талуудыг мэддэг. Тэд 3, 5, 6 см-тэй тэнцүү байна. Та түүний талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.

Одоо та дээрх томъёог ашиглан гурвалжны талбайг тооцоолж болно. Квадрат язгуурын дор 7, 4, 2 ба 1 гэсэн дөрвөн тооны үржвэр байна. Өөрөөр хэлбэл талбай нь √(4 * 14) = 2 √(14) байна.

Хэрэв илүү нарийвчлал шаардагдахгүй бол 14-ийн квадрат язгуурыг авч болно. Энэ нь 3.74-тэй тэнцүү байна. Тэгвэл талбай нь 7.48 болно.

Хариулах. S = 2 √14 см 2 буюу 7.48 см 2.

Зөв гурвалжинтай холбоотой жишээ бодлого

Нөхцөл байдал. Тэгш өнцөгт гурвалжны нэг хөл нь хоёр дахь хөлөөсөө 31 см том бол гурвалжны талбай 180 см 2 бол та тэдгээрийн уртыг олох хэрэгтэй.
Шийдэл. Бид хоёр тэгшитгэлийн системийг шийдэх хэрэгтэй болно. Эхнийх нь газар нутагтай холбоотой. Хоёр дахь нь асуудалд өгөгдсөн хөлний харьцаатай.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Нэгдүгээрт, "a" утгыг эхний тэгшитгэлд орлуулах ёстой. Үүнээс харахад: 180 = ½ (+ 31-д) * in. Энэ нь зөвхөн нэг үл мэдэгдэх хэмжигдэхүүнтэй тул үүнийг шийдвэрлэхэд хялбар байдаг. Хаалтуудыг нээсний дараа квадрат тэгшитгэлийг олж авна: 2 + 31 360 = 0. Энэ нь "in" гэсэн хоёр утгыг өгдөг: 9 ба - 40. Хоёр дахь тоо нь хариултын хувьд тохиромжгүй, учир нь хажуугийн урт нь гурвалжны сөрөг утга байж болохгүй.

Хоёрдахь хөлийг тооцоолоход л үлдлээ: гарсан тоон дээр 31-ийг нэмбэл 40. Эдгээр нь асуудалд хайж буй тоо хэмжээ юм.

Хариулах. Гурвалжны хөл нь 9 ба 40 см байна.

Гурвалжны талбай, тал, өнцгийг дамжих талыг олох бодлого

Нөхцөл байдал. Тодорхой гурвалжны талбай нь 60 см 2 байна. Хоёр дахь тал нь 15 см, тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 30º бол түүний аль нэг талыг тооцоолох шаардлагатай.

Шийдэл. Хүлээн зөвшөөрөгдсөн тэмдэглэгээнд үндэслэн хүссэн тал нь "a", мэдэгдэж буй тал нь "b", өгөгдсөн өнцөг нь "γ" байна. Дараа нь талбайн томъёог дараах байдлаар дахин бичиж болно.

60 = ½ a * 15 * гэм 30º. Энд 30 градусын синус 0.5 байна.

Өөрчлөлтийн дараа "a" нь 60 / (0.5 * 0.5 * 15) тэнцүү болж хувирна. Энэ нь 16.

Хариулах. Шаардлагатай тал нь 16 см байна.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд бичээстэй квадратын тухай бодлого

Нөхцөл байдал. 24 см талтай дөрвөлжингийн орой нь гурвалжны зөв өнцөгтэй давхцаж байна. Нөгөө хоёр нь хажуу тийшээ хэвтэж байна. Гурав дахь нь гипотенузид хамаарна. Нэг хөлийн урт 42 см тэгш өнцөгт гурвалжны талбай хэд вэ?

Шийдэл. Хоёр тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Эхнийх нь даалгаварт заасан зүйл юм. Хоёр дахь нь анхны гурвалжны мэдэгдэж буй хөл дээр суурилдаг. Тэдгээр нь нийтлэг өнцөгтэй, зэрэгцээ шугамаар үүсгэгддэг тул ижил төстэй байдаг.

Дараа нь тэдний хөлний харьцаа тэнцүү байна. Жижиг гурвалжны хөл нь 24 см (дөрвөлжингийн тал) ба 18 см (өгөгдсөн хөл нь 42 см, дөрвөлжингийн талыг 24 см хасна) тэнцүү байна. Том гурвалжны харгалзах хөл нь 42 см ба х см байна. Гурвалжны талбайг тооцоолоход энэ "x" шаардлагатай.

18/42 = 24 / x, өөрөөр хэлбэл x = 24 * 42 / 18 = 56 (см).

Дараа нь талбай нь 56 ба 42-ын үржвэрийг хоёроор хуваасантай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл 1176 см 2 байна.

Хариулах. Шаардлагатай талбай нь 1176 см 2 байна.

Гурвалжны талбайг тооцоолох 10 гаруй томъёог та интернетээс олж болно. Гэсэн хэдий ч даалгаврын нөхцлийн дагуу гурвалжны зөвхөн нэг тал ба өнцгийг мэддэг, эсвэл хүрээлэгдсэн эсвэл бичээстэй тойргийн радиус ба өөр нэг шинж чанарыг мэддэг хэд хэдэн нарийн төвөгтэй жишээ байдаг. Ийм тохиолдолд энгийн томъёог хэрэглэх боломжгүй.

Доорх томьёо нь гурвалжны талбайг олоход шаардагдах асуудлын 95 хувийг шийдэх болно.
Нийтлэг талбайн томъёог авч үзье.
Доорх зурагт үзүүлсэн гурвалжинг авч үзье

Зураг болон доорх томьёонд түүний бүх шинж чанарын сонгодог тэмдэглэгээг оруулсан болно.
a,b,c - гурвалжны талууд,
R - тойргийн радиус,
r - бичээстэй тойргийн радиус,
h[b],h[a],h[c] – a,b,c талуудын дагуу зурсан өндөр.
альфа, бета, хамма - оройн ойролцоох өнцөг.

Гурвалжны талбайн үндсэн томъёо

1. Талбай нь гурвалжингийн тал ба энэ тал руу буулгасан өндрийн үржвэрийн хагастай тэнцүү байна. Томъёоны хэлээр энэ тодорхойлолтыг дараах байдлаар бичиж болно

Тиймээс хэрэв тал ба өндөр нь тодорхой бол сурагч бүр талбайг олох болно.
Дашрамд хэлэхэд, энэ томъёоноос өндрийн хоорондох нэг ашигтай хамаарлыг гаргаж авах боломжтой

2. Зэргэлдээ талын хажуугаар дамжин өнгөрөх гурвалжны өндөр нь хамаарлаар илэрхийлэгдэнэ гэдгийг харгалзан үзвэл

Дараа нь эхний талбайн томъёоны дараа ижил төрлийн хоёр дахь томъёог оруулна

Томьёог анхааралтай ажиглаарай - ажил нь хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг хамардаг тул санахад хялбар байдаг. Хэрэв бид гурвалжны талууд ба өнцгийг зөв зааж өгвөл (дээрх зураг дээрх шиг) бид a, b хоёр талыг авна. ба өнцөг нь гурав дахь нь холбогдсон байнаХамт (хамма).

3. Гурвалжны өнцгийн хувьд хамаарал нь үнэн

Хамаарал нь гурвалжны талбайн хувьд дараахь томъёог тооцоолоход ашиглах боломжийг танд олгоно.

Энэ хамаарлын жишээ маш ховор боловч ийм томъёо байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй.

4. Хажуу ба хоёр зэргэлдээ өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг томъёогоор олно

5. Зэргэлдээх өнцгүүдийн тал ба котангенсийн хувьд талбайн томьёо дараах байдалтай байна

Индексүүдийг дахин зохион байгуулснаар та бусад талуудын хамаарлыг олж авах боломжтой.

6. Гурвалжны оройг хавтгай дээр координатаар зааж өгсөн бодлогод доорх талбайн томьёог хэрэглэнэ. Энэ тохиолдолд талбай нь авсан модулийн тодорхойлогчийн хагастай тэнцүү байна.

7. Хероны томъёогурвалжны тодорхой талуудтай жишээнд ашигласан.
Эхлээд гурвалжны хагас периметрийг ол

Дараа нь томъёог ашиглан талбайг тодорхойлно

эсвэл

Үүнийг тооцоолуур програмын кодонд ихэвчлэн ашигладаг.

8. Гурвалжны бүх өндрийг мэддэг бол талбайг томъёогоор тодорхойлно

Тооцоологч дээр тооцоолоход хэцүү байдаг ч MathCad, Mathematica, Maple багцуудад "цаг хоёр" гэсэн хэсэг байдаг.

9. Дараах томьёо нь бичээстэй болон хүрээлэгдсэн тойргийн мэдэгдэж буй радиусыг ашигладаг.

Ялангуяа гурвалжны радиус ба талууд эсвэл түүний периметр нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг томъёоны дагуу тооцоолно.

10. Хязгаарлагдсан тойргийн талууд ба радиус эсвэл диаметрийг өгсөн жишээнүүдэд талбайг томъёогоор олно.

11. Гурвалжны тал ба өнцгийн хувьд гурвалжны талбайг дараах томъёогоор тодорхойлно.

Эцэст нь - онцгой тохиолдлууд:
Тэгш өнцөгт гурвалжны талбай a ба b хөлтэй нь тэдний бүтээгдэхүүний хагастай тэнцүү байна

Адил талт (энгийн) гурвалжны талбайн томъёо=

= Талын квадрат ба гурвын язгуурын үржвэрийн дөрөвний нэг.

Заавар

Намуудба өнцгийг үндсэн элементүүд гэж үздэг А. Гурвалжин нь гурван тал, нэг тал ба хоёр өнцөг, эсвэл хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг гэсэн үндсэн элементүүдийн аль нэгээр нь бүрэн тодорхойлогддог. Оршихуйн төлөө гурвалжин a,b,c гурван тал өгөгдсөн бол тэгш бус байдал гэж нэрлэгддэг тэгш бус байдлыг хангахад шаардлагатай бөгөөд хангалттай. гурвалжин:
a+b > c,
a+c > b,
b+c > a.

Бариулахын тулд гурвалжин a, b, c гурван тал дээр CB = a сегментийн C цэгээс луужин ашиглан b радиустай тойрог зурах шаардлагатай. Дараа нь ижил аргаар В цэгээс в талтай тэнцүү радиустай тойрог зурна. Тэдний огтлолцлын цэг А нь хүссэн хэсгийн гурав дахь орой юм гурвалжин ABC, энд AB=c, CB=a, CA=b - талууд гурвалжин. Хэрэв a, b, c талууд тэгш бус байдлыг хангаж байвал асуудал нь байна гурвалжин 1-р алхамд заасан.

Ийм байдлаар баригдсан S талбай гурвалжин A, b, c талуудтай ABC-ийг Хероны томъёогоор тооцоолно.
S=v(p(p-a)(p-b)(p-c)),
энд a, b, c талууд байна гурвалжин, p - хагас периметр.
p = (a+b+c)/2

Хэрэв гурвалжин тэгш талт бол түүний бүх талууд тэнцүү байна (a=b=c).Талбай гурвалжинтомъёогоор тооцоолно:
S=(a^2 v3)/4

Хэрэв гурвалжин нь тэгш өнцөгт, өөрөөр хэлбэл түүний нэг өнцөг нь 90 ° -тай тэнцүү бөгөөд түүнийг бүрдүүлж буй талууд нь хөл бол гурав дахь тал нь гипотенуз юм. Энэ тохиолдолд дөрвөлжинхоёр хуваагдсан хөлийн үржвэртэй тэнцүү байна.
S=ab/2

олохын тулд дөрвөлжин гурвалжин, та олон томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно. Ямар өгөгдөл аль хэдийн мэдэгдэж байгаагаас хамааран томьёог сонгоно уу.

Танд хэрэгтэй болно

• гурвалжны талбайг олох томъёоны талаархи мэдлэг

Заавар

Хэрэв та талуудын аль нэгнийх нь хэмжээ, түүний эсрэг талын өнцгөөс энэ тал руу буулгасан өндрийн утгыг мэдэж байгаа бол та дараахь зүйлийг ашиглан талбайг олох боломжтой: S = a*h/2, S нь талбай юм. гурвалжны, a нь гурвалжны талуудын нэг, h - өндөр, тал нь.

Гурвалжны гурван тал нь мэдэгдэж байгаа бол түүний талбайг тодорхойлох алдартай арга байдаг. Энэ бол Хероны томъёо юм. Түүний бичлэгийг хялбарчлахын тулд завсрын утгыг нэвтрүүлсэн - хагас периметр: p = (a+b+c)/2, энд a, b, c - . Тэгвэл Хероны томъёо дараах байдалтай байна: S = (p(p-a)(p-b)(p-c))^½, ^ экспоненциал.

Та гурвалжны нэг тал ба гурван өнцгийг мэддэг гэж бодъё. Дараа нь гурвалжны талбайг олоход хялбар байдаг: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), энд β нь а талын эсрэг талын өнцөг, α ба γ нь хажуугийн хажуугийн өнцөг юм.

Сэдвийн талаархи видео

Анхаарна уу

Бүх тохиолдолд тохиромжтой хамгийн ерөнхий томъёо бол Хероны томъёо юм.

Эх сурвалжууд:

Зөвлөгөө 3: Гурвалжны талбайг гурван тал дээр үндэслэн хэрхэн олох вэ

Гурвалжны талбайг олох нь сургуулийн планиметрийн хамгийн түгээмэл асуудлуудын нэг юм. Гурвалжны гурван талыг мэдэх нь ямар ч гурвалжны талбайг тодорхойлоход хангалттай. Адил талт гурвалжны онцгой тохиолдолд хоёр ба нэг талын уртыг мэдэхэд хангалттай.

Танд хэрэгтэй болно

• гурвалжны талуудын урт, Хэроны томъёо, косинусын теорем

Заавар

Гурвалжны талбайн хувьд Хероны томъёо дараах байдалтай байна: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Хэрэв бид хагас периметр p-г бичвэл бид дараахийг авна: S = sqrt(((a+b+c)/2)((b+c-a)/2)((a+c-b)/2)((a+b-c) )/2) ) = (sqrt((a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)))/4.

Жишээлбэл, косинусын теоремыг ашигласнаар та гурвалжны талбайн томъёог гаргаж болно.

Косинусын теоремоор AC^2 = (AB^2)+(BC^2)-2*AB*BC*cos(ABC). Оруулсан тэмдэглэгээг ашиглан тэдгээрийг дараах хэлбэрээр бичиж болно: b^2 = (a^2)+(c^2)-2a*c*cos(ABC). Тиймээс cos(ABC) = ((a^2)+(c^2)-(b^2))/(2*a*c)

Гурвалжны талбайг мөн S = a*c*sin(ABC)/2 томъёогоор хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийг ашиглан олно. ABC өнцгийн синусыг тригонометрийн үндсэн ижилтүүлэгчийг ашиглан илэрхийлж болно: sin(ABC) = sqrt(1-((cos(ABC))^2). Талбайн томьёонд синусын орлуулж, бичнэ үү. , та ABC гурвалжны талбайн томъёонд хүрч болно.

Сэдвийн талаархи видео

Засварын ажлыг гүйцэтгэхийн тулд хэмжилт хийх шаардлагатай байж болно дөрвөлжинхана Энэ нь шаардлагатай хэмжээний будаг эсвэл ханын цаасыг тооцоолоход хялбар болгодог. Хэмжилтийн хувьд соронзон хэмжүүр эсвэл хэмжих соронзон хальс ашиглах нь хамгийн сайн арга юм. Хэмжилтийг дараа нь хийх ёстой ханатэгшлэв.

Танд хэрэгтэй болно

• - рулет;
• - шат.

Заавар

Тоолох дөрвөлжинхананы хувьд та таазны өндрийг яг нарийн мэдэж, шалан дээрх уртыг хэмжих хэрэгтэй. Үүнийг дараах байдлаар хийнэ: нэг сантиметрийг авч, тавцангийн тавцан дээр тавь. Ихэвчлэн нэг сантиметр нь бүхэл бүтэн уртад хангалтгүй байдаг тул буланд бэхлээд дараа нь хамгийн их урттай болтол нь суллана. Энэ үед харандаагаар тэмдэглэгээ хийж, олж авсан үр дүнг бичиж, хамгийн сүүлийн хэмжилтийн цэгээс эхлэн дараагийн хэмжилтийг ижил аргаар гүйцэтгэнэ.

Стандарт тааз нь байшингаас хамаарч 2 метр 80 сантиметр, 3 метр, 3 метр 20 сантиметр байна. Хэрэв байшинг 50-аад оноос өмнө барьсан бол бодит өндөр нь заасан хэмжээнээс арай доогуур байх магадлалтай. Хэрэв та тооцоолж байгаа бол дөрвөлжинзасварын ажилд зориулж, дараа нь бага хэмжээний нийлүүлэлт гэмтэхгүй - стандартад үндэслэн анхаарч үзээрэй. Хэрэв та жинхэнэ өндрийг мэдэх шаардлагатай хэвээр байвал хэмжилт хийнэ үү. Энэ зарчим нь уртыг хэмжихтэй төстэй боловч танд шат хэрэгтэй болно.

Үүссэн үзүүлэлтүүдийг үржүүлээрэй - энэ бол дөрвөлжинчинийх хана. Үнэн, будах эсвэл будахдаа хасах шаардлагатай байдаг дөрвөлжинхаалга, цонхны нээлхий. Үүнийг хийхийн тулд нээлхийн дагуу нэг сантиметрийг тавина. Хэрэв бид таны дараа өөрчлөх гэж байгаа хаалганы тухай ярьж байгаа бол зөвхөн анхааралдаа авч хаалганы хүрээг салгах хэрэгтэй. дөрвөлжиншууд нээлтийн өөрөө. Цонхны талбайг түүний хүрээний периметрийн дагуу тооцоолно. Дараа нь дөрвөлжинТооцоолсон цонх, хаалганы үр дүнг өрөөний нийт талбайгаас хасна.

Өрөөний урт, өргөнийг хэмжих ажлыг хоёр хүн гүйцэтгэдэг бөгөөд энэ нь сантиметр эсвэл соронзон хэмжүүрийг засахад хялбар болгож, үүний дагуу илүү нарийвчлалтай үр дүнг авах болно гэдгийг анхаарна уу. Таны авсан тоо үнэн зөв эсэхийг шалгахын тулд ижил хэмжилтийг хэд хэдэн удаа хийнэ.

Сэдвийн талаархи видео

Гурвалжны эзэлхүүнийг олох нь үнэхээр энгийн ажил биш юм. Гурвалжин бол хоёр хэмжээст дүрс, өөрөөр хэлбэл. Энэ нь бүхэлдээ нэг хавтгайд байрладаг бөгөөд энэ нь ердөө л эзлэхүүнгүй гэсэн үг юм. Мэдээжийн хэрэг, та байхгүй зүйлийг олж чадахгүй. Гэхдээ бууж өгөхгүй байцгаая! Бид дараах таамаглалыг хүлээн зөвшөөрч болно: хоёр хэмжээст дүрсийн эзэлхүүн нь түүний талбай юм. Бид гурвалжны талбайг хайх болно.

Танд хэрэгтэй болно

• хуудас, харандаа, захирагч, тооны машин

Заавар

Захирагч, харандаа ашиглан цаасан дээр зур. Гурвалжныг сайтар судалж үзээд, энэ нь хавтгай дээр зурсан тул гурвалжин байхгүй гэдэгт итгэлтэй байж болно. Гурвалжны талуудыг тэмдэглэ: нэг тал нь "a", нөгөө тал нь "b", гурав дахь тал нь "c" байх ёстой. Гурвалжны оройг "A", "B", "C" үсгээр тэмдэглэ.

Гурвалжны аль ч талыг захирагчаар хэмжиж, үр дүнг бич. Үүний дараа түүний эсрэг талын оройноос хэмжсэн тал руу перпендикулярыг сэргээж, ийм перпендикуляр нь гурвалжны өндөр байх болно. Зурагт үзүүлсэн тохиолдолд перпендикуляр "h" нь "А" оройноос "c" тал руу сэргээгддэг. Үүссэн өндрийг захирагчаар хэмжиж, хэмжилтийн үр дүнг бичнэ үү.

Яг перпендикулярыг сэргээх нь танд хэцүү байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд та өөр томъёог ашиглах хэрэгтэй. Гурвалжны бүх талыг захирагчаар хэмжинэ. Үүний дараа "p" гурвалжны хагас периметрийг тооцоолохдоо үүссэн талуудын уртыг нэмж, тэдгээрийн нийлбэрийг хагасаар хуваана. Хагас периметрийн утгыг таны мэдэлд байгаа бол та Хэроны томъёог ашиглаж болно. Үүнийг хийхийн тулд та дараах язгуурыг авах хэрэгтэй: p(p-a)(p-b)(p-c).

Та гурвалжны шаардлагатай талбайг авсан. Гурвалжны эзэлхүүнийг олох асуудал шийдэгдээгүй ч дээр дурдсанчлан эзлэхүүн нь . Гурван хэмжээст ертөнцөөс үндсэндээ гурвалжин болох эзэлхүүнийг олж болно. Хэрэв бид анхны гурвалжин гурван хэмжээст пирамид болсон гэж төсөөлвөл ийм пирамидын эзэлхүүн нь түүний суурийн урт ба гурвалжингийн талбайн үржвэр болно.

Анхаарна уу

Хэдий чинээ нарийвчлалтай хэмжилт хийх тусам таны тооцоо илүү нарийвчлалтай болно.

Эх сурвалжууд:

• Тооны машин "Бүх зүйлд" - лавлагаа утгын портал
• 2019 онд гурвалжингийн хэмжээ

Декартын координатын систем дэх гурвалжинг өвөрмөц байдлаар тодорхойлдог гурван цэг нь түүний оройнууд юм. Координатын тэнхлэг тус бүртэй харьцуулахад тэдгээрийн байрлалыг мэдэхийн тулд та энэ хавтгай зургийн дурын параметрүүдийг, түүний дотор периметрээр хязгаарлагдахыг тооцоолж болно. дөрвөлжин. Үүнийг хэд хэдэн аргаар хийж болно.

Заавар

Талбайг тооцоолохдоо Хэроны томъёог ашиглана уу гурвалжин. Энэ нь зургийн гурван талын хэмжээсийг багтаасан тул тооцоогоо . Тал бүрийн урт нь координатын тэнхлэг дээрх проекцуудын уртын квадратуудын нийлбэрийн үндэстэй тэнцүү байх ёстой. Хэрэв бид A(X₁,Y₁,Z₁), B(X₂,Y₂,Z₂) ба C(X₃,Y₃,Z₃) координатуудыг тэмдэглэвэл тэдгээрийн талуудын уртыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: AB = √((X₁-) X₂)² + (Y₁ -Y₂)² + (Z₁-Z₂)²), BC = √((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²), AC = √(( X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃)²).

Тооцооллыг хялбарчлахын тулд туслах хувьсагчийг оруулаарай - хагас периметр (P). Энэ нь бүх талуудын уртын нийлбэрийн тал хувь учраас: P = ½*(AB+BC+AC) = ½*(√((X₁-X₂)² + (Y₁-Y₂)² + (Z₁-) Z₂)²) + √ ((X₂-X₃)² + (Y₂-Y₃)² + (Z₂-Z₃)²) + √((X₁-X₃)² + (Y₁-Y₃)² + (Z₁-Z₃) ²).

Сургуулийнхаа геометрийн сургалтын хөтөлбөрөөс гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгээр холбогдсон гурван сегментээс бүрдсэн дүрс гэдгийг санаж байгаа байх. Гурвалжин нь гурван өнцгийг үүсгэдэг тул дүрсний нэрийг авсан. Тодорхойлолт нь өөр байж болно. Гурвалжинг гурван өнцөгтэй олон өнцөгт гэж нэрлэж болно, хариулт нь бас зөв байх болно. Гурвалжингууд нь ижил талуудын тоо болон зураг дээрх өнцгийн хэмжээгээр хуваагдана. Тиймээс гурвалжингуудыг тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, масштаб, тэгш өнцөгт, хурц, мохоо гэж ялгадаг.

Гурвалжны талбайг тооцоолох олон томъёо байдаг. Гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг сонгох, жишээлбэл. Аль томьёог ашиглах нь танаас хамаарна. Гэхдээ гурвалжны талбайг тооцоолох олон томъёонд ашигладаг зарим тэмдэглэгээг тэмдэглэх нь зүйтэй. Тиймээс, санаарай:

S нь гурвалжны талбай,

a, b, c гурвалжны талууд,

h нь гурвалжны өндөр,

R нь хүрээлэгдсэн тойргийн радиус,

p нь хагас периметр.

Хэрэв та геометрийн хичээлээ бүрэн мартсан бол танд хэрэг болох үндсэн тэмдэглэгээг энд оруулав. Гурвалжны үл мэдэгдэх, нууцлаг талбайг тооцоолох хамгийн ойлгомжтой, төвөгтэй хувилбаруудыг доор харуулав. Энэ нь тийм ч хэцүү биш бөгөөд таны гэр ахуйн хэрэгцээнд болон хүүхдүүдэд туслах болно. Гурвалжны талбайг аль болох хялбар тооцоолохыг санацгаая.

Манай тохиолдолд гурвалжны талбай нь: S = ½ * 2.2 см * 2.5 см = 2.75 кв. см. Талбайг квадрат сантиметрээр (кв см) хэмждэг гэдгийг санаарай.

Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний талбай.

Тэгш өнцөгт гурвалжин нь нэг өнцөг нь 90 градустай тэнцүү (тиймээс зөв гэж нэрлэдэг) гурвалжин юм. Тэгш өнцөг нь хоёр перпендикуляр шугамаар (гурвалжны хувьд хоёр перпендикуляр сегмент) үүсдэг. Тэгш өнцөгт гурвалжинд зөвхөн нэг тэгш өнцөг байж болно, учир нь... нэг гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байна. Үлдсэн 90 градусыг өөр 2 өнцгөөр хуваах ёстой, жишээлбэл 70 ба 20, 45 ба 45 гэх мэт. Тиймээс, та хамгийн гол зүйлийг санаж байна, тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг хэрхэн олохыг олж мэдэх л үлдлээ. Бидний өмнө ийм тэгш өнцөгт гурвалжин байна гэж төсөөлөөд үз дээ, бид түүний S талбайг олох хэрэгтэй.

1. Тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тодорхойлох хамгийн энгийн аргыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Манай тохиолдолд тэгш өнцөгт гурвалжны талбай нь: S = 2.5 см * 3 см / 2 = 3.75 кв. см.

Зарчмын хувьд гурвалжны талбайг өөр аргаар шалгах шаардлагагүй болсон Зөвхөн энэ нь өдөр тутмын амьдралд тустай бөгөөд тустай байх болно. Гэхдээ гурвалжны талбайг хурц өнцгөөр хэмжих сонголтууд бас байдаг.

2. Тооцооллын бусад аргуудын хувьд та косинус, синус, тангенсийн хүснэгттэй байх ёстой. Өөрийгөө шүүж үзээрэй, одоо ч ашиглаж болох тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тооцоолох зарим хувилбарууд энд байна.

Бид эхний томьёог жижиг толботойгоор ашиглахаар шийдсэн (бид үүнийг тэмдэглэлийн дэвтэрт зурж, хуучин захирагч, протектор ашигласан) боловч зөв тооцооллыг олж авлаа.

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). Бид дараах үр дүнг авсан: 3.6 = 3.7, гэхдээ эсийн шилжилтийг харгалзан бид энэ нюансыг уучилж чадна.

Хоёр талт гурвалжин ба түүний талбай.

Хэрэв та ижил өнцөгт гурвалжны томъёог тооцоолох даалгавартай тулгарвал гурвалжны талбайн сонгодог томьёо гэж тооцогддог үндсэн томъёог ашиглах нь хамгийн хялбар арга юм.

Гэхдээ эхлээд ижил өнцөгт гурвалжны талбайг олохын өмнө энэ нь ямар дүрс болохыг олж мэдье. Хоёр тал нь ижил урттай гурвалжныг ижил өнцөгт гурвалжин гэнэ. Эдгээр хоёр талыг хажуу, гурав дахь талыг суурь гэж нэрлэдэг. Адил талт гурвалжинг ижил талт гурвалжинтай андуурч болохгүй, өөрөөр хэлбэл. бүх гурван тал нь тэнцүү энгийн гурвалжин. Ийм гурвалжинд өнцөгт, эс тэгвээс хэмжээнүүдэд онцгой хандлага байдаггүй. Гэсэн хэдий ч ижил өнцөгт гурвалжны суурийн өнцөг нь тэнцүү боловч тэгш талуудын хоорондох өнцгөөс ялгаатай. Тиймээс, та ижил тэгш өнцөгт гурвалжны талбайг тодорхойлох өөр ямар томъёог мэддэг болохыг олж мэдэхийн тулд эхний ба үндсэн томъёог аль хэдийн мэддэг болсон.