Та бүхний мэдэж байгаагаар илэрхийлэлийг зэрэглэлээр үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгч нь үргэлж нэмэгддэг (a b *a c = a b+c). Энэхүү математикийн хуулийг Архимед гаргасан бөгөөд хожим 8-р зуунд математикч Вирасен бүхэл тоон илтгэгчийн хүснэгтийг бүтээжээ. Тэд л логарифмын цаашдын нээлтэд үйлчилсэн хүмүүс юм. Энэ функцийг ашиглах жишээг энгийн нэмэх замаар үржүүлгийг хялбарчлах шаардлагатай бараг бүх газраас олж болно. Хэрэв та энэ нийтлэлийг уншихад 10 минут зарцуулбал бид логарифм гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар тайлбарлах болно. Энгийн бөгөөд хүртээмжтэй хэлээр.
Математик дахь тодорхойлолт
Логарифм нь дараах хэлбэрийн илэрхийлэл юм: log a b=c, өөрөөр хэлбэл аливаа сөрөг бус тооны (өөрөөр хэлбэл аливаа эерэг) "b"-ийн логарифмыг түүний "a" суурьтай харьцуулсан логарифмыг "c" гэж үзнэ. ” эцэст нь "b" утгыг авахын тулд "а" суурийг өсгөх шаардлагатай. Логарифмд жишээн дээр дүн шинжилгээ хийцгээе, илэрхийлэл байна гэж бодъё лог 2 8. Хариултыг хэрхэн олох вэ? Энэ нь маш энгийн, та 2-оос шаардагдах хүч хүртэл 8-ыг авах хүчийг олох хэрэгтэй. Толгойдоо хэд хэдэн тооцоо хийсний дараа бид 3-ын тоог авна! Энэ нь үнэн, учир нь 2-ыг 3-ын зэрэглэлд 8 гэж хариулах болно.
Логарифмын төрлүүд
Олон сурагч, оюутнуудын хувьд энэ сэдэв нь төвөгтэй, ойлгомжгүй мэт санагддаг, гэхдээ үнэндээ логарифм нь тийм ч аймшигтай биш бөгөөд гол зүйл бол тэдгээрийн ерөнхий утгыг ойлгож, шинж чанар, зарим дүрмийг санах явдал юм. Гурван төрлийн логарифмын илэрхийлэл байдаг:
- Натурал логарифм ln a, суурь нь Эйлерийн тоо (e = 2.7).
- Аравтын тоо a, суурь нь 10.
- a>1 суурьтай дурын b тооны логарифм.
Тэдгээр нь тус бүрийг логарифмын теоремуудыг ашиглан хялбаршуулах, багасгах, дараа нь нэг логарифм болгон бууруулах зэрэг стандарт аргаар шийдэгддэг. Логарифмын зөв утгыг олж авахын тулд тэдгээрийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн шинж чанар, үйлдлийн дарааллыг санах хэрэгтэй.
Дүрэм ба зарим хязгаарлалт
Математикийн хувьд аксиом гэж хүлээн зөвшөөрөгдсөн хэд хэдэн дүрэм-хязгаарлалтууд байдаг, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийг хэлэлцэх боломжгүй бөгөөд үнэн юм. Жишээлбэл, тоог тэгээр хуваах боломжгүй, сөрөг тооны тэгш язгуурыг гаргаж авах боломжгүй. Логарифмууд нь өөрийн гэсэн дүрмүүдтэй байдаг бөгөөд үүнийг дагаснаар та урт, багтаамжтай логарифмын илэрхийлэлтэй ч хялбархан ажиллаж сурах боломжтой.
- "a" суурь нь үргэлж тэгээс их байх ёстой бөгөөд 1-тэй тэнцүү биш байх ёстой, эс тэгвээс илэрхийлэл утгаа алдах болно, учир нь "1" ба "0" нь ямар ч хэмжээгээр тэдгээрийн утгатай тэнцүү байна;
- хэрэв a > 0 бол a b >0 бол "c" нь тэгээс их байх ёстой.
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ?
Жишээлбэл, 10 x = 100 тэгшитгэлийн хариултыг олох даалгавар өгөгдсөн. Энэ нь маш амархан, та бидний 100 авах аравын тоог өсгөх замаар хүчийг сонгох хэрэгтэй. Энэ нь мэдээжийн хэрэг 10 2 = юм. 100.
Одоо энэ илэрхийлэлийг логарифм хэлбэрээр илэрхийлье. Бид лог 10 100 = 2-ыг авдаг. Логарифмыг шийдвэрлэхдээ өгөгдсөн тоог гаргахын тулд логарифмын суурийг оруулахад шаардлагатай хүчийг олохын тулд бүх үйлдлүүд практикт нийлдэг.
Үл мэдэгдэх зэргийн утгыг үнэн зөв тодорхойлохын тулд та градусын хүснэгттэй хэрхэн ажиллах талаар сурах хэрэгтэй. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.
Таны харж байгаагаар, хэрэв та үржүүлэх хүснэгтийн талаар техникийн мэдлэгтэй, мэдлэгтэй бол зарим илтгэгчийг зөн совингоор таах боломжтой. Гэсэн хэдий ч илүү том утгуудын хувьд танд цахилгаан ширээ хэрэгтэй болно. Үүнийг математикийн нарийн төвөгтэй сэдвүүдийн талаар огт мэддэггүй хүмүүс ч ашиглаж болно. Зүүн баганад тоонууд (суурь a), тоонуудын дээд эгнээ нь а тоог өсгөсөн c чадлын утга юм. Уулзвар дээрх нүднүүдэд хариулт болох тоон утгуудыг агуулна (a c =b). Жишээлбэл, 10 тоотой хамгийн эхний нүдийг аваад квадрат болгоод бид хоёр нүдний уулзварт заасан 100 утгыг авна. Бүх зүйл маш энгийн бөгөөд хялбар байдаг тул хамгийн жинхэнэ хүмүүнлэгч хүртэл ойлгох болно!
Тэгшитгэл ба тэгш бус байдал
Тодорхой нөхцөлд экспонент нь логарифм болдог. Тиймээс аливаа математикийн тоон илэрхийллийг логарифмын тэгшитгэл гэж бичиж болно. Жишээлбэл, 3 4 =81-ийг 81-ийн суурь 3 логарифм гэж дөрөвтэй тэнцүү (лог 3 81 = 4) бичиж болно. Сөрөг хүчний хувьд дүрмүүд нь адилхан: 2 -5 = 1/32 бид үүнийг логарифм хэлбэрээр бичвэл бид log 2 (1/32) = -5 авна. Математикийн хамгийн сонирхолтой хэсгүүдийн нэг бол "логарифм" сэдэв юм. Бид тэдгээрийн шинж чанарыг судалсны дараа доорх тэгшитгэлийн жишээ, шийдлүүдийг авч үзэх болно. Одоо тэгш бус байдал ямар харагддаг, тэдгээрийг тэгшитгэлээс хэрхэн ялгах талаар авч үзье.
Дараах илэрхийлэл өгөгдсөн: log 2 (x-1) > 3 - үл мэдэгдэх "x" утга нь логарифмын тэмдгийн доор байгаа тул энэ нь логарифмын тэгш бус байдал юм. Мөн илэрхийлэлд хоёр хэмжигдэхүүнийг харьцуулсан болно: хоёрыг суурь болгохыг хүссэн тооны логарифм нь гурван тооноос их байна.
Логарифм тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын хоорондох хамгийн чухал ялгаа нь логарифм бүхий тэгшитгэлүүд (жишээлбэл, 2 x = √9 логарифм) хариултанд нэг буюу хэд хэдэн тодорхой тоон утгыг илэрхийлдэг бол тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ хүлээн зөвшөөрөгдөх мужууд хоёулаа байдаг. Энэ функцийг зөрчихөд утгууд ба цэгүүдийг тодорхойлно. Үүний үр дүнд хариулт нь тэгшитгэлийн хариулт шиг бие даасан тоонуудын энгийн багц биш, харин тасралтгүй цуваа эсвэл тооны багц юм.
Логарифмын тухай үндсэн теоремууд
Логарифмын утгыг олох энгийн даалгавруудыг шийдвэрлэхдээ түүний шинж чанарыг мэдэхгүй байж болно. Гэхдээ логарифмын тэгшитгэл буюу тэгш бус байдлын тухай ярихад юуны өмнө логарифмын бүх үндсэн шинж чанарыг тодорхой ойлгож, практикт хэрэглэх шаардлагатай. Бид дараа нь тэгшитгэлийн жишээг авч үзэх болно, эхлээд шинж чанар бүрийг нарийвчлан авч үзье.
- Үндсэн таних тэмдэг нь дараах байдалтай байна: a logaB =B. Энэ нь зөвхөн a нь 0-ээс их, нэгтэй тэнцүү биш, В нь тэгээс их байх үед л хамаарна.
- Бүтээгдэхүүний логарифмыг дараах томъёогоор илэрхийлж болно: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. Энэ тохиолдолд заавал байх нөхцөл нь: d, s 1 ба s 2 > 0; a≠1. Та энэ логарифм томъёоны нотолгоог жишээ болон шийдлээр өгч болно. log a s 1 = f 1 ба log a s 2 = f 2, дараа нь a f1 = s 1, a f2 = s 2 гэж бичье. Бид s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 гэдгийг олж авна. градус ), дараа нь тодорхойлолтоор: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, үүнийг батлах шаардлагатай.
- Хэсгийн логарифм дараах байдалтай байна: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Томъёо хэлбэртэй теорем нь дараах хэлбэртэй байна: log a q b n = n/q log a b.
Энэ томьёог "логарифмын зэрэглэлийн шинж чанар" гэж нэрлэдэг. Энэ нь ердийн зэрэглэлийн шинж чанаруудтай төстэй бөгөөд бүх математик нь байгалийн постулат дээр суурилдаг тул энэ нь гайхмаар зүйл биш юм. Нотлох баримтыг харцгаая.
Лог a b = t гэж үзье, энэ нь a t =b болно. Хэрэв бид хоёр хэсгийг хоёуланг нь m хүртэл өсгөвөл: a tn = b n ;
гэхдээ a tn = (a q) nt/q = b n тул log a q b n = (n*t)/t, дараа нь log a q b n = n/q log a b. Теорем нь батлагдсан.
Асуудал ба тэгш бус байдлын жишээ
Логарифмын хамгийн түгээмэл төрлийн бодлого бол тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын жишээ юм. Эдгээр нь бараг бүх асуудлын номонд байдаг бөгөөд математикийн шалгалтын заавал байх ёстой хэсэг юм. Их сургуульд элсэх эсвэл математикийн шалгалтанд тэнцэхийн тулд та ийм даалгаврыг хэрхэн зөв шийдвэрлэхээ мэдэх хэрэгтэй.
Харамсалтай нь логарифмын үл мэдэгдэх утгыг шийдвэрлэх, тодорхойлох нэг төлөвлөгөө, схем байхгүй ч математик тэгш бус байдал эсвэл логарифмын тэгшитгэл бүрт тодорхой дүрмийг хэрэглэж болно. Юуны өмнө та илэрхийллийг хялбаршуулж эсвэл ерөнхий хэлбэрт оруулж болох эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй. Хэрэв та тэдгээрийн шинж чанарыг зөв ашиглавал урт логарифмын илэрхийлэлийг хялбарчилж болно. Тэдэнтэй хурдан танилцацгаая.
Логарифм тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ бид ямар төрлийн логарифм байгааг тодорхойлох ёстой: жишээ илэрхийлэл нь натурал логарифм эсвэл аравтын нэгийг агуулж болно.
Энд ln100, ln1026 жишээнүүд байна. Тэдний шийдэл нь суурь 10 нь 100 ба 1026-тай тэнцүү байх хүчийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Байгалийн логарифмыг шийдэхийн тулд та логарифмын ижилсэл эсвэл тэдгээрийн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй. Янз бүрийн төрлийн логарифмын асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үзье.
Логарифмын томьёог хэрхэн ашиглах вэ: жишээ ба шийдэлтэй
Тиймээс, логарифмын талаархи үндсэн теоремуудыг ашиглах жишээг авч үзье.
- Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг b тооны том утгыг энгийн хүчин зүйл болгон задлах шаардлагатай ажлуудад ашиглаж болно. Жишээлбэл, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Хариулт нь 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - Таны харж байгаачлан логарифмын чадлын дөрөв дэх шинж чанарыг ашиглан бид ээдрээтэй бөгөөд шийдвэрлэх боломжгүй мэт санагдах илэрхийлэлийг шийдэж чадсан. Та зөвхөн суурийг хүчин зүйлээр тооцож, дараа нь логарифмын тэмдгээс экспонентын утгыг авах хэрэгтэй.
Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар
Логарифмыг элсэлтийн шалгалтанд ихэвчлэн олдог, ялангуяа Улсын нэгдсэн шалгалтын олон логарифмын асуудлууд (бүх сургуулийн төгсөгчдийн улсын шалгалт). Ерөнхийдөө эдгээр даалгаврууд нь зөвхөн А хэсэгт (шалгалтын хамгийн хялбар туршилтын хэсэг) төдийгүй С хэсэгт (хамгийн төвөгтэй, том даалгавар) байдаг. Шалгалт нь "Байгалийн логарифмууд" сэдвийн талаар үнэн зөв, төгс мэдлэг шаарддаг.
Асуудлын жишээ, шийдлийг Улсын нэгдсэн шалгалтын албан ёсны хувилбаруудаас авсан болно. Ийм ажлууд хэрхэн шийдэгдэж байгааг харцгаая.
Өгөгдсөн лог 2 (2х-1) = 4. Шийдэл:
лог 2 (2x-1) = 2 2-ыг бага зэрэг хялбарчилж, илэрхийллийг дахин бичье, логарифмын тодорхойлолтоор бид 2x-1 = 2 4, тиймээс 2x = 17 болно; x = 8.5.
- Шийдэл нь төвөгтэй, төөрөгдөл биш байхын тулд бүх логарифмуудыг нэг суурь болгон багасгах нь хамгийн сайн арга юм.
- Логарифмын тэмдгийн дор байгаа бүх илэрхийлэл нь эерэг гэж тэмдэглэгдсэн тул логарифмын тэмдгийн доор байрлах илэрхийллийн илтгэгчийг үржүүлэгч болгон авах үед логарифмын доор үлдсэн илэрхийлэл эерэг байх ёстой.
-ээс эхэлье нэгийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0ямар ч a>0, a≠1. Баталгаажуулах нь тийм ч хэцүү биш: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцлийг хангасан аль ч тохиолдолд a 0 =1 байх тул нотлох ёстой a 1=0 тэгшитгэл нь логарифмын тодорхойлолтоос шууд гарч ирнэ.
Харгалзан авч буй үл хөдлөх хөрөнгийн хэрэглээний жишээг өгье: log 3 1=0, log1=0 ба .
Дараагийн үл хөдлөх хөрөнгө рүү шилжье: суурьтай тэнцүү тооны логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл, log a a=1 a>0, a≠1 хувьд. Үнэн хэрэгтээ дурын а-д a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор a a=1 болно.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1, log 5.6 5.6 ба lne=1 тэнцүү байна.
Жишээлбэл, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ба 
.
Хоёр эерэг тооны үржвэрийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар лог a x =x ба log a y =y байх тул a log a x ·a log a y =x·y болно. Ийнхүү лог a x+log a y =x·y байх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор нотлогдож буй тэгш байдал гарч ирнэ.
Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба 
.
Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг x 1 , x 2 , …, x n эерэг тоонуудын төгсгөлтэй n тооны үржвэрт ерөнхийлж болно. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Энэ тэгш байдлыг асуудалгүйгээр баталж болно.
Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг 4, e, ба тоонуудын гурван натурал логарифмын нийлбэрээр сольж болно.
Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Хэсгийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь зарим эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоны адилаар энэ томьёоны хүчинтэй байдал нотлогдсон: оноос хойш 
, дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. 
.
Дараа нь үргэлжлүүлье чадлын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Хүчний логарифмын энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье. log a b p =p·log a |b|, энд a>0, a≠1, b ба p нь b p зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.
Эхлээд бид энэ шинж чанарыг эерэгээр баталж байна b. Үндсэн логарифмын ижилсэл нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба үр дүнгийн илэрхийлэл нь чадлын шинж чанараас шалтгаалан p·log a b -тэй тэнцүү байна. Ингээд бид b p =a p·log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор log a b p =p·log a b гэж дүгнэж байна.
Энэ өмчийг сөрөг талаас нь нотлох хэвээр байна b. Энд бид сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн тэгш илтгэгч p (учир нь b p зэрэгийн утга тэгээс их байх ёстой, эс тэгвээс логарифм утгагүй болно) утга учиртай болохыг тэмдэглэж байна, энэ тохиолдолд b p =|b| х. Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, хаанаас log a b p =p·log a |b| .
Жишээлбэл, 
ба ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р язгуурын логарифм нь 1/n бутархайг радикал илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, 
, энд a>0, a≠1, n нь нэгээс их натурал тоо, b>0.
Нотолгоо нь аливаа эерэг b-ийн хувьд хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба чадлын логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. 
.
Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: 
.
Одоо баталъя шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёотөрлийн 
. Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын log c b=log a b·log c a-ийн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b , дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b =log a b log c a. Энэ нь log c b=log a b·log c a тэнцүү болохыг баталж байгаа нь логарифмын шинэ суурь руу шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг юм.
Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба 
.
Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, логарифмын хүснэгтээс логарифмын утгыг тооцоолохын тулд натурал буюу аравтын логарифм руу шилжихэд ашиглаж болно. Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.
Маягтын c=b-ийн шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёоны онцгой тохиолдлыг ихэвчлэн ашигладаг 
. Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээлбэл, 
.
Томъёог бас ихэвчлэн ашигладаг 
, энэ нь логарифмын утгыг олоход тохиромжтой. Бидний үгсийг батлахын тулд бид үүнийг маягтын логарифмын утгыг тооцоолоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Бидэнд байна 
. Томьёог батлахын тулд 
a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. 
.
Логарифмын харьцуулалтын шинж чанарыг батлахад л үлддэг.
Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2, b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2, a>1-ийн хувьд – тэгш бус байдлын log a b 1 Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Түүний эхний хэсгийн нотолгоогоор хязгаарлъя, өөрөөр хэлбэл, хэрэв 1 >1, a 2 >1, a 1 гэдгийг батлах болно. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй зарчмын дагуу нотолж байна. Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1, 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 нь үнэн log a 1 b≤log a 2 b . Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно 
Тэгээд 
тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2 байна. Тиймээс бид 1 гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдсөн
Лавлагаа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).
1.1. Бүхэл тоон илтгэгчийн илтгэгчийг тодорхойлох
X 1 = XX 2 = X * X
X 3 = X * X * X
…
X N = X * X * … * X - N удаа
1.2. Тэг градус.
Тодорхойлолтоор аливаа тооны тэг хүч нь 1 байна гэж ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрдөг.1.3. Сөрөг зэрэг.
X -N = 1/X N1.4. Бутархай хүч, үндэс.
X 1/N = X-ийн N үндэс.Жишээ нь: X 1/2 = √X.
1.5. Эрх нэмэх томъёо.
X (N+M) = X N *X M1.6.Чадлыг хасах томьёо.
X (N-M) = X N /X M1.7. Үржүүлэх чадварыг тооцоолох томъёо.
X N*M = (X N) M1.8. Бутархайг зэрэгт хүргэх томъёо.
(X/Y) N = X N /Y N2. Тоо e.
e тооны утга нь дараах хязгаартай тэнцүү байна.E = lim(1+1/N), N → ∞ гэж.
17 цифрийн нарийвчлалтай e тоо нь 2.71828182845904512.
3. Эйлерийн тэгш байдал.
Энэ тэгш байдал нь математикт онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг таван тоог холбодог: 0, 1, e, pi, төсөөллийн нэгж.E (i*pi) + 1 = 0
4. Экспоненциал функц exp(x)
exp(x) = e x5. Экспоненциал функцийн дериватив
Экспоненциал функц нь гайхалтай шинж чанартай: функцийн дериватив нь экспоненциал функцтэй тэнцүү байна.(exp(x))" = exp(x)
6. Логарифм.
6.1. Логарифмын функцийн тодорхойлолт
Хэрэв x = b y бол логарифм нь функц болноY = Лог b(x).
Логарифм нь өгөгдсөн тоог (X) олж авахын тулд тоог - логарифмын суурь (b) -ийг ямар түвшинд өсгөх ёстойг харуулж байна. Логарифмын функц нь тэгээс их X хувьд тодорхойлогддог.
Жишээ нь: Бүртгэл 10 (100) = 2.
6.2. Аравтын логарифм
Энэ нь 10 суурьтай логарифм юм:Y = Лог 10 (x) .
Log(x) гэж тэмдэглэсэн: Log(x) = Log 10 (x).
Аравтын бутархай логарифм ашиглах жишээ бол децибел юм.
6.3. Децибел
Энэ зүйлийг Децибелийн тусдаа хуудсан дээр тодруулсан болно6.4. Хоёртын логарифм
Энэ нь суурь 2 логарифм юм:Y = Лог 2 (x).
Lg(x)-ээр тэмдэглэсэн: Lg(x) = Log 2 (X)
6.5. Байгалийн логарифм
Энэ нь e суурийн логарифм юм:Y = Log e (x) .
Ln(x)-ээр тэмдэглэсэн: Ln(x) = Log e (X)
Натурал логарифм нь exp(X) экспоненциал функцийн урвуу функц юм.
6.6. Онцлог цэгүүд
Лога(1) = 0Лог a (a) = 1
6.7. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёо
Log a (x*y) = Log a (x)+Log a (y)6.8. Хэсгийн логарифмын томъёо
Log a (x/y) = Log a (x)-Log a (y)6.9. Эрчим хүчний томъёоны логарифм
Log a (x y) = y*Log a (x)6.10. Өөр суурьтай логарифм руу хөрвүүлэх томъёо
Log b (x) = (Log a (x))/Log a (b)Жишээ:
Бүртгэл 2 (8) = Бүртгэл 10 (8) / Бүртгэл 10 (2) =
0.903089986991943552 / 0.301029995663981184 = 3
7. Амьдралд хэрэгтэй томьёо
Ихэнхдээ эзэлхүүнийг талбай эсвэл урт болгон хувиргах, урвуу асуудал - талбайг эзэлхүүн болгон хувиргах асуудал гардаг. Жишээлбэл, хавтанг шоо (шоо метр) хэлбэрээр зардаг бөгөөд бид хэр их хананы талбайг тодорхой эзэлхүүнтэй хавтангаар бүрхэж болохыг тооцоолох хэрэгтэй, самбаруудын тооцоог үзнэ үү, шоо дөрвөлжин хэр олон самбар байна. Эсвэл хананы хэмжээсийг мэддэг бол тоосгоны тоог тооцоолох хэрэгтэй, тоосгоны тооцоог үзнэ үү.
Эх сурвалжийн идэвхтэй холбоосыг суулгасан тохиолдолд сайтын материалыг ашиглахыг зөвшөөрнө.
ln x функцийн натурал логарифмын үндсэн шинж чанар, график, тодорхойлолтын хүрээ, утгын багц, үндсэн томъёо, дериватив, интеграл, зэрэглэлийн цуваа тэлэлт, ln x функцийг комплекс тоо ашиглан дүрслэх аргачлалуудыг өгөв.
Тодорхойлолт
Байгалийн логарифмнь y = функц юм ln x, экспоненциалын урвуу нь x = e y ба e тооны суурийн логарифм юм: ln x = log e x.
Байгалийн логарифм нь математикт өргөн хэрэглэгддэг, учир нь түүний дериватив нь хамгийн энгийн хэлбэртэй байдаг. (ln x)′ = 1/ x.
Үндэслэн тодорхойлолтууд, натурал логарифмын суурь нь тоо юм д:
e ≅ 2.718281828459045...;
.
y = функцийн график ln x.
Натурал логарифмын график (функц у = ln x) нь y = x шулуунтай харьцуулахад толин тусгалаар экспоненциал графикаас гарна.
Натурал логарифм нь x хувьсагчийн эерэг утгуудын хувьд тодорхойлогддог.
Энэ нь тодорхойлолтын хүрээнд монотоноор нэмэгддэг. 0 x → дээр
натурал логарифмын хязгаар нь хасах хязгааргүй (-∞) юм.
x → + ∞ тул натурал логарифмын хязгаар нь хязгааргүй (+ ∞) байна. Том х-ийн хувьд логарифм нэлээд удаан өсдөг. А эерэг үзүүлэлттэй аливаа х a чадлын функц логарифмаас хурдан өсдөг.
Натурал логарифмын шинж чанарууд
Тодорхойлолтын талбар, утгын багц, экстремум, өсөлт, бууралт
Натурал логарифм нь нэг хэвийн өсөлттэй функц тул экстремумгүй. Байгалийн логарифмын үндсэн шинж чанаруудыг хүснэгтэд үзүүлэв.
ln x утгууд
ln 1 = 0
Байгалийн логарифмын үндсэн томъёо
Урвуу функцийн тодорхойлолтоос үүссэн томъёонууд:
Логарифмын үндсэн шинж чанар ба түүний үр дагавар
Суурь солих томъёо
Аливаа логарифмыг үндсэн орлуулалтын томъёог ашиглан натурал логарифмын хэлбэрээр илэрхийлж болно.
Эдгээр томъёоны нотолгоог "Логарифм" хэсэгт үзүүлэв.
Урвуу функц
Натурал логарифмын урвуу нь экспонент юм.
Хэрэв бол
Хэрэв, тэгвэл.
Дериватив ln x
.
Натурал логарифмын дериватив:
.
X модулийн натурал логарифмын дериватив:
.
n-р эрэмбийн дериватив:
Томьёог гарган авах > > >
Интеграл
.
Интегралыг хэсгүүдээр интегралд тооцно.
Тэгэхээр,
Комплекс тоо ашигласан илэрхийлэл
.
z цогцолбор хувьсагчийн функцийг авч үзье. Комплекс хувьсагчийг илэрхийлье z модулиар дамжуулан r φ
:
.
болон маргаан
.
Логарифмын шинж чанарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Эсвэл
φ аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй байна. Хэрэв та тавьсан бол
Энэ нь өөр n-ийн хувьд ижил тоо байх болно.
Тиймээс комплекс хувьсагчийн функц болох натурал логарифм нь нэг утгатай функц биш юм.
Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл
Өргөтгөх үед:
Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.
үндсэн шинж чанарууд.
- логакс + логай = лога(х у);
- логакс − логай = лога (x: y).
ижил үндэслэлүүд
Log6 4 + log6 9.
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.
Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ
Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.
Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Мөн үзнэ үү:
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
1.
2.
3.
4.
5. 
6.
7.
8.
9.
10.
11. 
12.
13.
14. 
15.
Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.
Логарифмын жишээ
Логарифмын илэрхийллүүд
Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно 
2.
3. 
4. 
Хаана 
.
Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол
Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье
Хэрэв log(x)-ыг тооцоол
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.
Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.
Логарифм нэмэх, хасах
Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:
- логакс + логай = лога(х у);
- логакс − логай = лога (x: y).
Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!
Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:
Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.
Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.
Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.
Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна
Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.
Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.
Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:
Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.
Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.
Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.
Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний үр дүнд хариулт нь: 2.
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?
Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.
Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:
Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.
Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.
Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.
Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:
Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.
Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.
Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.
Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.
Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .
Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.
Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)
Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг
Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.
- logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
- лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.
Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.
Мөн үзнэ үү:
a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.
Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд
Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.
Бичлэгт үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээ нь
Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.
Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-той тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.
Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв
Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна
Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог
Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.
Логарифмын жишээ
Логарифмын илэрхийллүүд
Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно
2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна
3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог
4. Хаана .
Нарийн төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулж хэлбэржүүлдэг
Логарифмын утгыг олох
Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол
Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ
Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг
Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг
Логарифм. Элсэлтийн түвшин.
Логарифмын утгыг өгье
Хэрэв log(x)-ыг тооцоол
Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, логарифмыг нөхцлүүдийн нийлбэрээр нь бичье.
Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.
Логарифмын үндсэн шинж чанарууд
Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифм нь яг энгийн тоо биш учраас энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.
Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - нэг ч ноцтой логарифмын асуудлыг тэдэнгүйгээр шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.
Логарифм нэмэх, хасах
Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:
- логакс + логай = лога(х у);
- логакс − логай = лога (x: y).
Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!
Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.
Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.
Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.
Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд байна:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.
Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна
Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.
Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.
Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.
Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ
Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.
Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг тэнцүү зэрэгтэй: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:
Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр танилцуулж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.
Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний үр дүнд хариулт нь: 2.
Шинэ суурь руу шилжих
Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?
Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.
Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:
Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.
Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.
Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.
Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудлууд бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.
Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;
Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоё:
Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.
Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.
Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.
Үндсэн логарифмын таних тэмдэг
Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.
Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.
Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .
Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо a. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.
Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.
Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ бол Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)
Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг
Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.
- logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
- лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.
Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.
