Ямар ч төгсгөлгүй үечилсэн аравтын бутархай. Хязгааргүй үечилсэн аравтын бутархай

Аравтын бутархайн тухай эхний хичээл дээр би аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй тоон бутархай байдаг гэж хэлснийг санаж байна уу (“Аравтын тоо” хичээлийг үзнэ үү)? Мөн бид 2 ба 5-аас өөр тоо байгаа эсэхийг мэдэхийн тулд бутархайн хуваагчийг хэрхэн үржвэрлэх талаар сурсан.

Тэгэхээр: Би худлаа хэлсэн. Өнөөдөр бид ямар ч тоон бутархайг аравтын бутархай руу хэрхэн хөрвүүлэх талаар сурах болно. Үүний зэрэгцээ бид хязгааргүй чухал хэсэг бүхий бутархайн бүхэл бүтэн ангитай танилцах болно.

Тогтмол аравтын бутархай нь дараахь аравтын бутархай юм.

1. Чухал хэсэг нь хязгааргүй тооны цифрээс бүрдэнэ;
2. Тодорхой интервалаар чухал хэсгийн тоо давтагдана.

Чухал хэсгийг бүрдүүлдэг давтагдах цифрүүдийн багцыг бутархайн үечилсэн хэсэг, энэ олонлогийн цифрүүдийн тоог бутархайн үе гэнэ. Дахин давтагддаггүй чухал хэсгийн үлдсэн хэсгийг үечилсэн бус хэсэг гэж нэрлэдэг.

Олон тодорхойлолт байдаг тул эдгээр фракцуудын хэд хэдэн хэсгийг нарийвчлан авч үзэх нь зүйтэй юм.

Энэ хэсэг нь асуудалд ихэвчлэн гарч ирдэг. Тогтмол бус хэсэг: 0; үечилсэн хэсэг: 3; хугацааны урт: 1.

Тогтмол бус хэсэг: 0.58; үечилсэн хэсэг: 3; хугацааны урт: дахин 1.

Тогтмол бус хэсэг: 1; үечилсэн хэсэг: 54; хугацааны урт: 2.

Тогтмол бус хэсэг: 0; үечилсэн хэсэг: 641025; хугацааны урт: 6. Тохиромжтой болгохын тулд давтагдах хэсгүүдийг бие биенээсээ зайгаар тусгаарласан - энэ шийдэлд энэ нь шаардлагагүй.

Тогтмол бус хэсэг: 3066; үечилсэн хэсэг: 6; хугацааны урт: 1.

Таны харж байгаагаар үечилсэн бутархайн тодорхойлолт нь үзэл баримтлал дээр суурилдаг тооны чухал хэсэг. Тиймээс, хэрэв та энэ нь юу болохыг мартсан бол давтахыг зөвлөж байна - "" хичээлийг үзнэ үү.

Тогтмол аравтын бутархай руу шилжих

a /b хэлбэрийн энгийн бутархайг авч үзье. Түүний хуваагчийг анхны хүчин зүйл болгон хувацгаая. Хоёр сонголт байна:

1. Өргөтгөл нь зөвхөн 2 ба 5-р хүчин зүйлийг агуулна. Эдгээр бутархайг аравтын бутархай руу амархан хувиргадаг - "Аравтын тоо" хичээлийг үзнэ үү. Бид ийм хүмүүсийг сонирхдоггүй;
2. Өргөтгөлд 2 ба 5-аас өөр зүйл бий. Энэ тохиолдолд бутархайг аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй, харин үечилсэн бутархай болгон хувиргаж болно.

Тогтмол аравтын бутархайг тодорхойлохын тулд түүний үечилсэн болон үечилсэн бус хэсгүүдийг олох хэрэгтэй. Яаж? Бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь булангийн тусламжтайгаар тоологчийг хуваагчаар хуваана.

Дараах зүйл тохиолдох болно.

1. Эхлээд хуваагдана бүхэл хэсэг, хэрэв байгаа бол;
2. Аравтын бутархайн дараа хэд хэдэн тоо байж болно;
3. Хэсэг хугацааны дараа тоонууд эхлэх болно давтана.

Ингээд л болоо! Аравтын бутархайн араас давтагдах тоог үечилсэн, урд байгаа тоог үе бус хэсэгээр тэмдэглэнэ.

Даалгавар. Энгийн бутархайг үечилсэн аравтын бутархай руу хөрвүүлэх:

Бүхэл тоогүй бүх бутархай, тиймээс бид тоологчийг "булангаар" хуваагчаар хуваана.

Таны харж байгаагаар үлдсэн хэсэг нь давтагдана. Бутархайг "зөв" хэлбэрээр бичье: 1.733 ... = 1.7(3).

Үр дүн нь бутархай: 0.5833 ... = 0.58(3).

Бид үүнийг ердийн хэлбэрээр бичнэ: 4.0909 ... = 4,(09).

Бид бутархайг авна: 0.4141 ... = 0.(41).

Тогтмол аравтын бутархайгаас энгийн бутархай руу шилжих

Үе үеийн аравтын бутархай X = abc (a 1 b 1 c 1) -ийг авч үзье. Үүнийг сонгодог "хоёр давхар" болгох шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд дөрвөн энгийн алхамыг дагана уу:

1. Бутархайн үеийг ол, өөрөөр хэлбэл. үечилсэн хэсэгт хэдэн цифр байгааг тоол. Энэ k тоо байг;
2. X · 10 k илэрхийллийн утгыг ол. Энэ нь аравтын бутархайг баруун тийш бүтэн цэгээр шилжүүлэхтэй тэнцэнэ - "Аравтын бутархайг үржүүлэх, хуваах" хичээлийг үзнэ үү;
3. Үр дүнгийн тооноос анхны илэрхийлэлийг хасах ёстой. Энэ тохиолдолд үечилсэн хэсэг нь "шатсан" бөгөөд үлддэг энгийн бутархай;
4. Үүссэн тэгшитгэлээс X-г ол. Бид бүх аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргадаг.

Даалгавар. Тоог энгийн буруу бутархай болгон хувирга:

• 9,(6);
• 32,(39);
• 0,30(5);
• 0,(2475).

Бид эхний бутархайтай ажилладаг: X = 9, (6) = 9.666 ...

Хаалтанд зөвхөн нэг оронтой тоо байгаа тул хугацаа нь k = 1. Дараа нь бид энэ бутархайг 10 k = 10 1 = 10-аар үржүүлнэ. Бидэнд:

10X = 10 9.6666... ​​= 96.666...

Анхны бутархайг хасаад тэгшитгэлийг шийд:

10X - X = 96.666 ... - 9.666 ... = 96 - 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.

Одоо хоёр дахь бутархайг харцгаая. Тэгэхээр X = 32,(39) = 32.393939...

Хугацаа k = 2 тул бүх зүйлийг 10 k = 10 2 = 100-аар үржүүлнэ.

100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...

Анхны бутархайг дахин хасаад тэгшитгэлийг шийд:

100X - X = 3239.3939 ... - 32.3939 ... = 3239 - 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.

Гурав дахь бутархай руу шилжье: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Диаграмм нь адилхан тул би зөвхөн тооцооллыг өгье.

Хугацаа k = 1 ⇒ бүх зүйлийг 10 k = 10-аар үржүүлнэ 1 = 10;

10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X - X = 3.0555 ... - 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.

Эцэст нь сүүлийн бутархай: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... Дахин хэлэхэд хялбар болгох үүднээс үечилсэн хэсгүүдийг бие биенээсээ зайгаар тусгаарлав. Бидэнд:

k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X - X = 2475.2475 ... - 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.

Бага сургуульд аль хэдийн сурагчид бутархайтай холбоотой байдаг. Тэгээд тэд сэдэв болгон дээр гарч ирдэг. Та эдгээр тоогоор хийсэн үйлдлүүдийг мартаж болохгүй. Тиймээс та энгийн болон аравтын бутархайн тухай бүх мэдээллийг мэдэх хэрэгтэй. Эдгээр ойлголтууд нь төвөгтэй биш, гол зүйл бол бүх зүйлийг дарааллаар нь ойлгох явдал юм.

Бутархай яагаад хэрэгтэй вэ?

Бидний эргэн тойрон дахь ертөнц бүхэл бүтэн объектуудаас бүрддэг. Тиймээс хувьцаа авах шаардлагагүй. Гэвч өдөр тутмын амьдрал хүмүүсийг объект, эд зүйлсийн хэсгүүдтэй ажиллахад байнга шахдаг.

Жишээлбэл, шоколад нь хэд хэдэн хэсгээс бүрдэнэ. Түүний хавтан арван хоёр тэгш өнцөгт үүссэн нөхцөл байдлыг авч үзье. Хэрэв та үүнийг хоёр хуваавал 6 хэсэг болно. Үүнийг гурван хэсэгт хялбархан хувааж болно. Гэхдээ таван хүнд бүхэл бүтэн шоколадны зүсмэл өгөх боломжгүй.

Дашрамд хэлэхэд эдгээр зүсмэлүүд аль хэдийн бутархай байна. Тэдний цаашдын хуваагдал нь илүү төвөгтэй тоонуудын гарч ирэхэд хүргэдэг.

"Бутархай" гэж юу вэ?

Энэ нь нэгжийн хэсгүүдээс бүрдсэн тоо юм. Гаднах байдлаар энэ нь хэвтээ эсвэл налуу зураасаар тусгаарлагдсан хоёр тоо шиг харагдаж байна. Энэ шинж чанарыг бутархай гэж нэрлэдэг. Дээд талд (зүүн) бичигдсэн тоог тоологч гэж нэрлэдэг. Доод талд (баруун) байгаа нь хуваагч юм.

Үндсэндээ ташуу зураас нь хуваагдлын тэмдэг болж хувирдаг. Өөрөөр хэлбэл, тоологчийг ногдол ашиг, хуваагчийг хуваагч гэж нэрлэж болно.

Ямар фракцууд байдаг вэ?

Математикт энгийн ба аравтын бутархай гэсэн хоёр төрөл байдаг. Сургуулийн сурагчид бага сургуульд байхдаа анхны хүүхдүүдтэй танилцаж, тэднийг зүгээр л "бутархай" гэж нэрлэдэг. Сүүлийнхийг 5-р ангид сурна. Тэр үед эдгээр нэрс гарч ирдэг.

Энгийн бутархай гэдэг нь шугамаар тусгаарлагдсан хоёр тоо хэлбэрээр бичигдсэн бүх бутархай юм. Жишээлбэл, 4/7. Бутархай хэсэг нь байрлалын тэмдэглэгээтэй, бүхэл тооноос таслалаар тусгаарлагдсан тоог аравтын бутархай гэнэ. Жишээлбэл, 4.7. Өгөгдсөн хоёр жишээ нь огт өөр тоо гэдгийг оюутнууд тодорхой ойлгох хэрэгтэй.

Энгийн бутархай бүрийг аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болно. Энэ мэдэгдэл бараг үргэлж эсрэгээрээ үнэн байдаг. Аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон бичихийг зөвшөөрдөг дүрмүүд байдаг.

Эдгээр төрлийн фракцууд ямар дэд төрлүүдтэй байдаг вэ?

Тэднийг судалж байгаа тул он цагийн дарааллаар эхлэх нь дээр. Энгийн бутархайнууд хамгийн түрүүнд ордог. Тэдгээрийн дотроос 5 дэд зүйлийг ялгаж салгаж болно.

Зөв. Түүний хуваагч нь хуваагчаас үргэлж бага байдаг.

Буруу. Түүний хуваагч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байна.

Бууруулах/бууруулах боломжгүй. Энэ нь зөв эсвэл буруу болж хувирч магадгүй юм. Өөр нэг чухал зүйл бол тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлтэй эсэх. Хэрэв байгаа бол фракцийн хоёр хэсгийг хувааж, өөрөөр хэлбэл багасгах шаардлагатай.

Холимог. Бүхэл тоо нь ердийн (буруу) бутархай хэсэгт өгөгддөг. Түүнээс гадна энэ нь үргэлж зүүн талд байдаг.

Нийлмэл. Энэ нь бие биенээсээ хуваагдсан хоёр фракцаас үүсдэг. Энэ нь нэг дор гурван бутархай шугам агуулдаг.

Аравтын бутархай нь зөвхөн хоёр дэд төрөлтэй:

төгсгөлтэй, өөрөөр хэлбэл бутархай хэсэг нь хязгаарлагдмал (төгсгөлтэй);

хязгааргүй - аравтын бутархайн дараах цифрүүд нь дуусдаггүй тоо (тэдгээрийг эцэс төгсгөлгүй бичиж болно).

Аравтын бутархайг энгийн бутархай руу хэрхэн хөрвүүлэх вэ?

Хэрэв энэ нь хязгаарлагдмал тоо бол дүрэмд үндэслэн холбоог ашигладаг - миний сонссоноор би бичдэг. Өөрөөр хэлбэл, та үүнийг зөв уншиж, бичих хэрэгтэй, гэхдээ таслалгүй, харин бутархай зураастай.

Шаардлагатай хуваагчийн талаархи зөвлөмжийн хувьд энэ нь үргэлж нэг ба хэд хэдэн тэг байдаг гэдгийг санах хэрэгтэй. Та асууж буй тооны бутархай хэсэгт цифр байгаа бол аль болох сүүлийг нь бичих хэрэгтэй.

Хэрэв бүхэл тоо байхгүй, өөрөөр хэлбэл тэгтэй тэнцүү бол аравтын бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон хувиргах вэ? Жишээлбэл, 0.9 эсвэл 0.05. Заасан дүрмийг хэрэглэсний дараа та тэг бүхэл тоо бичих хэрэгтэй болж байна. Гэхдээ үүнийг заагаагүй байна. Бутархай хэсгүүдийг бичих л үлдлээ. Эхний тоо нь 10 хуваагчтай, хоёр дахь нь 100 хуваагчтай байна. Өөрөөр хэлбэл, өгөгдсөн жишээнүүдийн хариулт нь дараах тоонуудтай байна: 9/10, 5/100. Түүгээр ч барахгүй сүүлийнх нь 5-аар буурч болох нь харагдаж байна. Тиймээс түүний үр дүнг 1/20 гэж бичих хэрэгтэй.

Хэрэв бүхэл тоо нь тэгээс ялгаатай бол аравтын бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгон хувиргах вэ? Жишээлбэл, 5.23 эсвэл 13.00108. Хоёр жишээн дээр хэсгийг бүхэлд нь уншиж, утгыг нь бичнэ. Эхний тохиолдолд энэ нь 5, хоёр дахь нь 13. Дараа нь та бутархай хэсэг рүү шилжих хэрэгтэй. Тэдэнтэй ижил үйл ажиллагаа явуулах ёстой. Эхний тоо нь 23/100, хоёр дахь нь 108/100000 байна. Хоёр дахь утгыг дахин бууруулах шаардлагатай. Хариулт нь дараах холимог бутархайг өгнө: 5 23/100 ба 13 27/25000.

Хязгааргүй аравтын бутархайг хэрхэн энгийн бутархай болгох вэ?

Хэрэв энэ нь үе үе биш бол ийм үйлдэл хийх боломжгүй болно. Энэ баримт нь аравтын бутархай бүрийг төгсгөлтэй эсвэл үечилсэн бутархай болгон хувиргадагтай холбоотой юм.

Ийм бутархайгаар хийж чадах цорын ганц зүйл бол дугуйлах явдал юм. Харин дараа нь аравтын бутархай ойролцоогоор тэр хязгааргүйтэй тэнцүү байх болно. Үүнийг аль хэдийн энгийн нэгэн болгож болно. Гэхдээ урвуу үйл явц: аравтын тоо руу хөрвүүлэх нь анхны утгыг хэзээ ч өгөхгүй. Өөрөөр хэлбэл, хязгааргүй үечилсэн бус бутархайг энгийн бутархай болгон хувиргадаггүй. Үүнийг санах хэрэгтэй.

Хязгааргүй үечилсэн бутархайг энгийн бутархайгаар хэрхэн бичих вэ?

Эдгээр тоонуудад аравтын бутархайн дараа нэг буюу хэд хэдэн цифр давтагддаг. Тэднийг үе гэж нэрлэдэг. Жишээлбэл, 0.3(3). Энд "3" нь хугацаанд байна. Тэдгээрийг энгийн бутархай болгон хувиргах боломжтой тул рационал гэж ангилдаг.

Тогтмол бутархайтай тулгарсан хүмүүс тэдгээр нь цэвэр эсвэл холимог байж болно гэдгийг мэддэг. Эхний тохиолдолд цэг таслалаас шууд эхэлдэг. Хоёрдугаарт, бутархай хэсэг нь зарим тоогоор эхэлж, дараа нь давталт эхэлдэг.

Хязгааргүй аравтын бутархайг энгийн бутархай болгон бичих дүрэм нь заасан хоёр төрлийн тооны хувьд өөр байх болно. Цэвэр үечилсэн бутархайг энгийн бутархай гэж бичих нь маш амархан. Хязгаарлагдмал тоонуудын нэгэн адил тэдгээрийг хөрвүүлэх шаардлагатай: тоологч дахь үеийг бичиж, хуваагч нь 9-ийн тоо байх бөгөөд тухайн үеийн цифрүүдийн тоотой адил олон удаа давтагдана.

Жишээлбэл, 0, (5). Энэ тоо нь бүхэл тоогүй тул та нэн даруй бутархай хэсгээс эхлэх хэрэгтэй. 5-ыг тоологчоор, 9-ийг хуваагчаар бичнэ, өөрөөр хэлбэл хариулт нь 5/9-ийн бутархай болно.

Холимог энгийн аравтын бутархай бутархайг хэрхэн бичих дүрэм.

Хугацаа үргэлжлэх хугацааг хараарай. Ингэж хуваагч хэдэн 9-тэй болно.

Хугацаа бичнэ үү: эхлээд ес, дараа нь тэг.

Тоолуурыг тодорхойлохын тулд та хоёр тооны зөрүүг бичих хэрэгтэй. Аравтын бутархайн дараах бүх тоог цэгийн хамт жижигрүүлнэ. Хасах боломжтой - энэ нь хугацаагүй.

Жишээлбэл, 0.5(8) - үечилсэн аравтын бутархайг энгийн бутархай гэж бичнэ. Үеийн өмнөх бутархай хэсэг нь нэг оронтой. Тэгэхээр нэг тэг байх болно. Мөн энэ хугацаанд зөвхөн нэг тоо байдаг - 8. Өөрөөр хэлбэл, зөвхөн нэг ес байдаг. Өөрөөр хэлбэл, та хуваарьт 90 гэж бичих хэрэгтэй.

Тоолуурыг тодорхойлохын тулд 58-аас 5-ыг хасах хэрэгтэй. Энэ нь 53 болж байна. Жишээлбэл, та хариултыг 53/90 гэж бичих хэрэгтэй.

Бутархайг аравтын бутархай руу хэрхэн хөрвүүлдэг вэ?

Хамгийн энгийн сонголт бол хуваагч нь 10, 100 гэх мэт тоо юм. Дараа нь хуваагчийг зүгээр л хаяж, бутархай болон бүхэл хэсгүүдийн хооронд таслал тавина.

Хуваагч нь 10, 100 гэх мэт амархан хувирах тохиолдол байдаг. Жишээлбэл, 5, 20, 25 гэсэн тоонууд. Тэдгээрийг 2, 5, 4-өөр үржүүлэхэд хангалттай. Та зөвхөн хуваагчийг төдийгүй тоологчийг ижил тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй.

Бусад бүх тохиолдолд энгийн дүрэм нь ашигтай байдаг: тоологчийг хуваагчаар хуваах. Энэ тохиолдолд та хоёр боломжит хариултыг авч болно: төгсгөлтэй эсвэл үечилсэн аравтын бутархай.

Энгийн бутархайтай үйлдлүүд

Нэмэх ба хасах

Оюутнууд тэднийг бусдаас эрт мэддэг. Түүгээр ч барахгүй, эхлээд бутархайнууд ижил хуваагчтай, дараа нь өөр өөр байдаг. Энэ төлөвлөгөөнд ерөнхий дүрмийг багасгаж болно.

Хуваагчийн хамгийн бага нийтлэг үржвэрийг ол.

Бүх энгийн бутархайн нэмэлт хүчин зүйлийг бич.

Тоолуур ба хуваагчийг тэдгээрт заасан хүчин зүйлээр үржүүлнэ.

Бутархайн тоог нэмэх (хасах), нийтлэг хуваагчийг өөрчлөхгүй орхи.

Хэрэв хасах тоон тоо нь хасахаас бага байвал бид холимог тоо эсвэл зөв бутархай байгаа эсэхийг олж мэдэх хэрэгтэй.

Эхний тохиолдолд та бүх хэсгээс нэгийг нь зээлэх хэрэгтэй. Бутархайн хуваагчийг нэмэх. Тэгээд хасах үйлдлийг хий.

Хоёрдугаарт, бага тооноос их тоог хасах дүрмийг хэрэгжүүлэх шаардлагатай. Өөрөөр хэлбэл хасах модулиас хасах модулийг хасаад хариуд нь "-" тэмдэг тавина.

Нэмэх (хасах) үр дүнг анхааралтай ажигла. Хэрэв та буруу бутархай авсан бол бүхэл бүтэн хэсгийг сонгох хэрэгтэй. Өөрөөр хэлбэл, тоологчийг хуваагчаар хуваана.

Үржүүлэх, хуваах

Тэдгээрийг гүйцэтгэхийн тулд бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагагүй. Энэ нь үйлдлүүдийг хийхэд хялбар болгодог. Гэхдээ тэд танаас дүрмийг дагаж мөрдөхийг шаарддаг.

Бутархайг үржүүлэхдээ тоо болон хуваагч дахь тоог харах хэрэгтэй. Аливаа тоологч ба хуваагч нийтлэг хүчин зүйлтэй бол тэдгээрийг багасгаж болно.

Тоолуурыг үржүүл.

Хусагчдыг үржүүл.

Хэрэв үр дүн нь бууруулж болох бутархай бол түүнийг дахин хялбаршуулах шаардлагатай.

Хуваахдаа эхлээд хуваахыг үржүүлэх, хуваагчийг (хоёр дахь бутархай) эсрэг бутархайгаар (тоо ба хуваагчийг солих) солих хэрэгтэй.

Дараа нь үржүүлгийн адилаар (1-р цэгээс эхлэн).

Бүхэл тоогоор үржүүлэх (хуваах) шаардлагатай ажлуудад сүүлчийнх нь буруу бутархай хэлбэрээр бичигдэх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, хуваагч нь 1. Дараа нь дээр дурдсанчлан үйлд.



Аравтын бутархайтай үйлдлүүд

Нэмэх ба хасах

Мэдээжийн хэрэг та аравтын бутархайг үргэлж бутархай болгон хувиргаж болно. Мөн аль хэдийн тайлбарласан төлөвлөгөөний дагуу ажиллана. Гэхдээ заримдаа энэ орчуулгагүйгээр жүжиглэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Дараа нь тэдгээрийг нэмэх, хасах дүрэм нь яг ижил байх болно.

Тооны бутархай хэсэгт, өөрөөр хэлбэл аравтын бутархайн дараа байгаа цифрүүдийн тоог тэнцүүл. Үүн дээр алга болсон тэг тоог нэмнэ үү.

Таслалыг таслал доор байхаар бутархайг бич.

Натурал тоо шиг нэмэх (хасах).

Таслалыг арилгана уу.

Үржүүлэх, хуваах

Энд тэг нэмэх шаардлагагүй байх нь чухал. Бутархайг жишээнд өгсөн шиг үлдээх хэрэгтэй. Тэгээд төлөвлөгөөний дагуу яв.

Үржүүлэхийн тулд таслалыг үл тоомсорлож, бутархайг нэг дор нь бичих хэрэгтэй.

Натурал тоо шиг үржүүлээрэй.

Хариултанд таслал тавьж, хариултын баруун төгсгөлөөс эхлэн хоёр хүчин зүйлийн бутархай хэсэгт байгаа тоогоор тоолно.

Хуваахын тулд эхлээд хуваагчийг хувиргах хэрэгтэй: үүнийг натурал тоо болгох. Өөрөөр хэлбэл хуваагчийн бутархай хэсэгт хэдэн цифр байгаагаас хамаарч 10, 100 гэх мэтээр үржүүлнэ.

Ногдол ашгийг ижил тоогоор үржүүлнэ.

Аравтын бутархайг натурал тоонд хуваа.

Бүхэл хэсгийн хуваагдал дуусах мөчид хариултдаа таслал тавь.



Нэг жишээнд хоёр төрлийн бутархай байгаа бол яах вэ?

Тийм ээ, математикт ердийн болон аравтын бутархайн дээр үйлдэл хийх шаардлагатай жишээнүүд ихэвчлэн байдаг. Ийм даалгаварт хоёр боломжит шийдэл байдаг. Та тоонуудыг бодитойгоор жинлэж, оновчтойг нь сонгох хэрэгтэй.

Эхний арга: энгийн аравтын бутархайг илэрхийлнэ

Хуваах эсвэл хөрвүүлснээр төгсгөлтэй бутархай тоо гарахад тохиромжтой. Хэрэв дор хаяж нэг тоо нь үечилсэн хэсгийг өгдөг бол энэ техникийг хориглоно. Тиймээс, та энгийн бутархайтай ажиллах дургүй байсан ч тэдгээрийг тоолох хэрэгтэй болно.

Хоёрдахь арга: аравтын бутархайг энгийн байдлаар бичих

Аравтын бутархайн дараах хэсэг нь 1-2 оронтой байвал энэ техник тохиромжтой. Хэрэв тэдгээрээс олон байвал та маш том энгийн бутархай болж магадгүй бөгөөд аравтын тэмдэглэгээ нь даалгаврыг илүү хурдан бөгөөд тооцоолоход хялбар болгоно. Тиймээс та даалгавраа үргэлж ухамсартайгаар үнэлж, хамгийн энгийн шийдлийн аргыг сонгох хэрэгтэй.

Олон дөрвөлжин язгуур байдаг нь баримт иррационал тоо, тэдгээрийн ач холбогдлыг огтхон ч үгүйсгэхгүй, ялангуяа $\sqrt2$ тоо нь янз бүрийн инженерийн болон шинжлэх ухааны тооцоололд ихэвчлэн ашиглагддаг. Энэ тоог тодорхой тохиолдол бүрт шаардагдах нарийвчлалтайгаар тооцоолж болно. Та энэ тоог аравтын бутархайн тоогоор тэвчээртэй байж болно.

Жишээлбэл, $\sqrt2$ тоог аравтын зургаан оронтой нарийвчлалтайгаар тодорхойлж болно: $\sqrt2=1.414214$. $1.414214 \times 1.414214=2.000001237796$ тул энэ утга нь жинхэнэ утгаас тийм ч их ялгаатай биш юм. Энэ хариулт 2-оос саяны нэгээр арай илүү зөрүүтэй байна. Тиймээс $\sqrt2$-ийн утгыг $1.414214$-тэй тэнцэх нь ихэнх практик асуудлыг шийдвэрлэхэд тохиромжтой гэж үздэг. Илүү нарийвчлалтай байх шаардлагатай тохиолдолд аравтын бутархайн дараа аль болох олон чухал цифр авах нь тийм ч хэцүү биш юм.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв та ховор зөрүүд зан гаргаж, олборлохыг оролдвол квадрат язгуур$\sqrt2$ тооноос яг үр дүнд хүрэх хүртэл та ажлаа хэзээ ч дуусгахгүй. Энэ бол эцэс төгсгөлгүй үйл явц юм. Хичнээн аравтын бутархайг авсан ч цөөхөн хэдэн орон үлдэнэ.

Энэ баримт нь таныг $\frac13$-ыг хязгааргүй аравтын бутархай $0.333333333…$ болгон хувиргах, эсвэл $\frac17$-г $0.142857142857142857...$ гэх мэтээр тодорхой бус хугацаагаар эргүүлэхтэй адил таныг гайхшруулж магадгүй юм. Эхлээд харахад эдгээр хязгааргүй, иррациональ квадрат язгуурууд нь ижил дарааллын үзэгдэл юм шиг санагдаж болох ч энэ нь огт тийм биш юм. Эцсийн эцэст эдгээр хязгааргүй бутархайнууд нь бутархай эквиваленттай байдаг бол $\sqrt2$-д ийм эквивалент байдаггүй. Яагаад яг? Баримт нь $\frac13$ ба $\frac17$-ын аравтын эквивалент, түүнчлэн хязгааргүй тооны бусад бутархай нь үечилсэн хязгааргүй бутархай юм.

Үүний зэрэгцээ, $\sqrt2$-ийн аравтын бутархайн эквивалент нь үечилсэн бус бутархай юм. Энэ мэдэгдэл нь аливаа иррационал тооны хувьд бас үнэн юм.

Асуудал нь 2-ын квадрат язгуурын ойролцоо утгатай аравтын бутархай нь юм үечилсэн бус бутархай. Тооцоололдоо хэр хол явсан ч бидний олж авсан бутархай нь үе үе биш байх болно.

Аравтын бутархайн араас олон тооны үечилсэн бус оронтой бутархайг төсөөлөөд үз дээ. Хэрэв гэнэт сая дахь оронгийн дараа аравтын бутархай бүхэл бүтэн дараалал давтагдвал энэ нь гэсэн үг юм аравтын- үечилсэн бөгөөд бүхэл тоонуудын харьцаа хэлбэрээр үүнтэй дүйцэхүйц байдаг. Хэрэв үе үе бус аравтын бутархай асар их тоо (тэрбум, сая) бүхий бутархай нь эцэс төгсгөлгүй давтагдах цифрүүдтэй, жишээ нь $...55555555555...$ байвал энэ нь мөн үечилсэн болон түүний хувьд бүхэл тоонуудын харьцаа хэлбэрээр эквивалент байдаг.

Гэсэн хэдий ч, тэдгээрийн аравтын бутархайн эквивалент нь бүрэн үе биш бөгөөд үе үе болж чадахгүй.

Мэдээжийн хэрэг, та дараах асуултыг асууж болно: "Их наяд тэмдгийн дараа бутархайд юу тохиолдохыг хэн мэдэж, баттай хэлж чадах вэ? Бутархай хэсэг нь үе үе болохгүйг хэн баталгаажуулах вэ?" Иррационал тоо нь үе үе биш гэдгийг эцэслэн батлах арга замууд байдаг ч ийм баталгаа нь нарийн төвөгтэй математик шаарддаг. Гэхдээ энэ нь гэнэт иррационал тоо болж хувирсан бол үечилсэн бутархай, энэ нь математикийн шинжлэх ухааны үндэс суурь бүрэн сүйрнэ гэсэн үг юм. Тэгээд үнэндээ энэ нь бараг боломжгүй юм. Та үүнийг хоёр тал руугаа шиднэ гэдэг амаргүй, энд нарийн төвөгтэй математикийн онол бий.

Хэрэв тэд цувралын онолыг мэддэг бол үүнгүйгээр метаматик ойлголтыг нэвтрүүлэх боломжгүй юм. Түүгээр ч барахгүй эдгээр хүмүүс үүнийг өргөнөөр ашигладаггүй хүн бүр мэдлэггүй гэж үздэг. Эдгээр хүмүүсийн үзэл бодлыг тэдний ухамсарт үлдээе. Хязгааргүй үечилсэн бутархай гэж юу байдгийг, боловсролгүй, хил хязгааргүй хүмүүс бид үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх ёстойг илүү сайн ойлгоцгооё.

237-г 5-д хуваая. Үгүй ээ, та Тооны машиныг ажиллуулах шаардлагагүй. Дунд (эсвэл бүр бага) сургуулийг илүү сайн санаж, үүнийг багана болгон хуваацгаая.

За, санаж байна уу? Дараа нь та ажилдаа орж болно.

Математик дахь "бутархай" гэсэн ойлголт нь хоёр утгатай.

1. Бүхэл бус тоо.
2. Бүхэл бус хэлбэр.

1. Энгийн (эсвэл босоо) бутархай, 1/2 эсвэл 237/5 гэх мэт.
2. 0.5 эсвэл 47.4 гэх мэт аравтын бутархай.

Математикийн хувьд ерөнхийдөө аравтын бутархай тоолохыг үргэлж хүлээн зөвшөөрдөг байсан тул аравтын бутархай нь энгийн, өөрөөр хэлбэл аравтын бутархайтай бутархайгаас илүү тохиромжтой байдаг (Владимир Дал. Амьд агуу орос хэлний тайлбар толь бичиг. "Арав") .

Бүр бүрэн боловсролгүй хүн ч гэсэн анзаарах болно: хичнээн удаан хугацаа шаардагдахаас үл хамааран энэ нь салахгүй: гурван ихэрүүд хязгааргүй хэвээр байх болно. Ингээд бичье: 0.33... Бид “1-ийг 3-т хуваахад гарах тоо” буюу товчоор хэлбэл “гуравны нэг” гэсэн үг. Мэдээжийн хэрэг, гуравны нэг нь үгийн эхний утгаараа бутархай, "1/3" ба "0.33 ..." нь үгийн хоёр дахь утгаараа бутархай юм. нэвтрэх маягтуудтоон шулуун дээр тэгээс тийм зайд байрлах тоо, хэрэв та үүнийг гурван удаа хойш тавьбал нэг болно.

Одоо 5-ыг 6-д хуваахыг хичээцгээе.

Дахиад бичье: 0.833... Бид “5-ыг 6-д хуваахад гарах тоо” буюу товчхондоо “зургааны тав” гэсэн үг. Гэсэн хэдий ч энд төөрөгдөл үүсч байна: энэ нь 0.83333 (дараа нь гурвалсан давтагддаг), эсвэл 0.833833 (дараа нь 833 давтагдана) гэсэн үг үү. Тиймээс эллипс бүхий тэмдэглэгээ нь бидэнд тохирохгүй: давтагдах хэсэг хаанаас эхлэх нь тодорхойгүй байна (үүнийг "үе" гэж нэрлэдэг). Тиймээс бид цэгийг хаалтанд дараах байдлаар оруулна: 0, (3); 0.8(3).

0, (3) амар биш тэнцүү байнагуравны нэг нь Байнагуравны нэг, учир нь бид энэ тоог аравтын бутархай хэлбэрээр илэрхийлэхийн тулд энэ тэмдэглэгээг тусгайлан зохион бүтээсэн.

Энэ оруулга гэж нэрлэгддэг хязгааргүй үечилсэн бутархай, эсвэл зүгээр л үечилсэн бутархай.

Нэг тоог нөгөө тоонд хуваах тоолонд бид төгсгөлтэй бутархай авахгүй бол төгсгөлгүй үечилсэн бутархай болно, өөрөөр хэлбэл хэзээ нэгэн цагт тоонуудын дараалал давтагдаж эхэлнэ. Яагаад ийм байдгийг багана хуваах алгоритмыг анхааралтай ажигласнаар зөвхөн таамаглалаар ойлгож болно.

Шалгалтын тэмдэгээр тэмдэглэгдсэн газруудад өөр өөр хос тоог үргэлж авах боломжгүй (учир нь зарчмын хувьд ийм хос хязгаарлагдмал тооны байдаг). Тэнд аль хэдийн байсан ийм хос гарч ирмэгц ялгаа нь ижил байх болно - дараа нь бүх үйл явц дахин давтагдаж эхэлнэ. Үүнийг шалгах шаардлагагүй, учир нь та ижил үйлдлүүдийг давтвал үр дүн нь адилхан байх нь тодорхой юм.

Одоо бид сайн ойлгосон мөн чанарүечилсэн бутархай, гуравны нэгийг гурваар үржүүлж үзье. Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг, та нэгийг авах болно, гэхдээ энэ бутархайг аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж, баганад үржүүлье (аравтын бутархайн дараа бүх тоо ижил тул энд зуйван цэгийн улмаас хоёрдмол байдал үүсэхгүй):

Мөн аравтын бутархайн дараа ес, ес, ес үргэлж гарч ирэхийг бид дахин анзаарч байна. Өөрөөр хэлбэл, урвуу хаалт тэмдэглэгээг ашиглан бид 0, (9) авна. Гуравны нэг ба гурвын үржвэр нь нэг гэдгийг мэддэг учраас 0.(9) нь нэгийг бичих ийм гоёмсог арга юм. Гэсэн хэдий ч бичлэгийн энэ хэлбэрийг ашиглах нь тохиромжгүй, учир нь нэгжийг цэг хэрэглэхгүйгээр төгс бичиж болно: 1.

Таны харж байгаагаар 0,(9) нь бүхэл тоог 3/3 эсвэл 7.0 гэх мэт бутархай хэлбэрээр бичсэн тохиолдлын нэг юм. Өөрөөр хэлбэл, 0,(9) нь зөвхөн үгийн хоёр дахь утгаараа бутархай, харин эхнийх нь биш юм.

Тиймээс бид ямар ч хязгаарлалт, цуваагүйгээр 0.(9) гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн харьцах талаар олж мэдсэн.

Гэхдээ бид үнэн хэрэгтээ ухаантай, шинжилгээнд суралцдаг гэдгийг санаж явцгаая. Үнэн хэрэгтээ үүнийг үгүйсгэхэд хэцүү байдаг:

Гэсэн хэдий ч, магадгүй хэн ч маргахгүй.

Энэ бүхэн мэдээжийн хэрэг үнэн. Үнэн хэрэгтээ 0,(9) нь бууруулсан цувааны нийлбэр ба заасан өнцгийн давхар синус, Эйлерийн тооны натурал логарифм юм.

Гэхдээ нэг нь ч, нөгөө нь ч, гурав дахь нь ч тодорхойлолт биш юм.

0,(9) нь төгсгөлгүй 9/(10 n) цувралын нийлбэр, n нь нэгтэй тэнцүү гэж хэлэхэд синус нь Тэйлорын хязгааргүй цувааны нийлбэр гэж хэлэхтэй ижил байна.

Энэ туйлын зөв, мөн энэ нь тооцооллын математикийн хувьд хамгийн чухал баримт боловч энэ нь тодорхойлолт биш бөгөөд хамгийн чухал нь хүнийг ойлгоход ойртуулдаггүй. үндсэндээсинус Тодорхой өнцгийн синусын мөн чанар нь түүнд оршино зүгээр л бүх зүйлөнцгийн эсрэг талын хөлний гипотенузын харьцаа.

Тэгэхээр, үечилсэн бутархай юм зүгээр л бүх зүйлүед олж авсан аравтын бутархай баганаар хуваах үедижил тооны багц давтагдах болно. Энд шинжилгээний ул мөр байхгүй.

Эндээс асуулт гарч ирнэ: энэ нь хаанаас ирсэн бэ? ерөөсөөБид 0,(9) тоог авсан уу? Үүнийг авахын тулд бид баганаар юуг хуваах вэ? Үнэн хэрэгтээ бид баганад хуваагдвал эцэс төгсгөлгүй ес гарч ирэх тийм тоо байхгүй. Гэхдээ бид 0,(3)-ыг 3-аар баганагаар үржүүлснээр энэ тоог гаргаж чадсан уу? Үнэхээр биш. Эцсийн эцэст, цифрүүдийн шилжүүлгийг зөв тооцохын тулд та баруунаас зүүн тийш үржүүлэх хэрэгтэй бөгөөд бид үүнийг зүүнээс баруун тийш хийсэн бөгөөд шилжүүлэг хаана ч тохиолддоггүйг ашиглан зальтай байдлаар хийсэн. Тиймээс 0,(9) гэж бичих хууль ёсны эсэх нь бид ийм баганаар үржүүлэх хууль ёсны эсэхийг хүлээн зөвшөөрөх эсэхээс хамаарна.

Тиймээс бид ерөнхийдөө 0,(9) тэмдэглэгээг буруу гэж хэлж болох бөгөөд тодорхой хэмжээгээр зөв байх болно. Гэсэн хэдий ч a ,(b ) тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрсөн тул b = 9 байхад үүнийг орхих нь зүгээр л муухай юм; Ийм оруулга ямар утгатай болохыг шийдэх нь дээр. Тэгэхээр, хэрэв бид 0,(9) гэсэн тэмдэглэгээг ерөнхийд нь хүлээн зөвшөөрвөл энэ тэмдэглэгээ нь мэдээж нэг тоог илэрхийлнэ.

Хэрэв бид гурвалсан тооллын системийг ашигласан бол нэг (1 3) баганыг гурваар (10 3) хуваахад бид 0.1 3 ("тэг цэгийн гуравны нэг" гэж уншина уу) болно гэдгийг нэмэх л үлдлээ. ба нэгийг хоёр хуваахад 0,(1) 3 болно.

Тиймээс бутархай тооны үе үе нь бутархай тооны объектив шинж чанар биш, харин нэг буюу өөр тооны системийг ашиглах гаж нөлөө юм.

2/4, 3/6, 4/8 гэх мэт хэлбэрийн дүрслэлээс ялгаатай 1/2 оновчтой тооны өөр нэг дүрслэл байдаг. Бид аравтын бутархай 0.5 хэлбэрээр дүрслэхийг хэлж байна. Зарим бутархай нь хязгаарлагдмал аравтын бутархай дүрслэлтэй байдаг, жишээлбэл.

бусад бутархайн аравтын дүрслэл нь хязгааргүй байхад:

Эдгээр хязгааргүй аравтын бутархайг тохирох рационал бутархайнуудаас тоологчийг хуваагчд хуваах замаар олж авч болно. Жишээлбэл, 5/11 бутархайн хувьд 5.000...-г 11-д хуваахад 0.454545... болно.

Аль рационал бутархай нь төгсгөлтэй аравтын бутархай дүрстэй вэ? Энэ асуултад ерөнхийд нь хариулахын өмнө тодорхой жишээг авч үзье. Эцсийн аравтын бутархай 0.8625 гэж үзье. Бид үүнийг мэднэ

мөн ямар ч төгсгөлтэй аравтын бутархайг 10, 100, 1000 эсвэл 10-ын бусад зэрэгтэй тэнцүү хуваагчтай рационал аравтын бутархай хэлбэрээр бичиж болно.

Баруун талд байгаа бутархайг бууруулж болохгүй бутархай болгон бууруулснаар бид олж авна

80-ын хуваагч нь 10,000-ыг 125-д хуваах замаар олддог - 10,000 ба 8625-ын хамгийн том нийтлэг хуваагч. Тиймээс 80-ийн анхны үржвэрүүд нь 10,000-ын адилаар зөвхөн хоёр үндсэн хүчин зүйлийг агуулдаг: 2 ба 5. Хэрэв бид тэгээгүй бол. 0, 8625 болон бусад төгсгөлтэй аравтын бутархайгаар эхлэх юм бол үр дүнд нь буурахгүй рационал бутархай нь мөн энэ шинж чанартай байх болно. Өөрөөр хэлбэл, b хуваагчийг анхны хүчин зүйл болгон өргөжүүлэхэд зөвхөн 2 ба 5 анхны тоог багтааж болно, учир нь b нь 10-ын зарим түвшний хуваагч, a. Энэ нөхцөл байдал шийдвэрлэх хүчин зүйл болж хувирав, тухайлбал дараахь ерөнхий мэдэгдлийг баримтална.

Хэрэв b тоо нь 2 ба 5-ын анхны хүчин зүйлгүй тохиолдолд л бууруулж болохгүй рационал бутархай нь төгсгөлтэй аравтын бутархай дүрслэлтэй байна.

b нь анхны хүчин зүйлсийнхээ дунд 2 ба 5-ын аль аль нь байх албагүй гэдгийг анхаарна уу: энэ нь зөвхөн нэгд нь хуваагдах эсвэл огт хуваагдахгүй. Жишээлбэл,

Энд b нь тус тус 25, 16, 1-тэй тэнцүү бөгөөд b-д 2 ба 5-аас өөр хуваагч байхгүй байна.

Дээрх өгүүлбэрт хэрэв зөвхөн бол гэсэн илэрхийлэл агуулагдаж байна. Одоогийн байдлаар бид зөвхөн эргэлттэй холбоотой хэсгийг л нотолсон. Рационал тоог аравтын бутархай болгон задлах нь b-д 2 ба 5-аас өөр анхны хүчин зүйл байхгүй тохиолдолд л төгсгөлтэй байх болно гэдгийг бид харуулсан.

(Өөрөөр хэлбэл, b нь 2 эсвэл 5-аас өөр анхны тоонд хуваагддаг бол бууруулж болохгүй бутархай нь төгсгөлтэй аравтын бутархай илэрхийлэлгүй болно.)

Өгүүлбэрийн дараачийн хэсэгт хэрэв b бүхэл тоо нь 2 ба 5-аас өөр анхны хүчин зүйлгүй бол бууруулж болохгүй рационал бутархайг төгсгөлтэй аравтын бутархайгаар илэрхийлж болно гэж заасан. Үүнийг батлахын тулд бид b нь 2 ба 5-аас өөр анхны хүчин зүйлгүй дурын бууруулж болохгүй рационал бутархайг авч, харгалзах аравтын бутархай төгсгөлтэй эсэхийг шалгах ёстой. Эхлээд жишээ авч үзье. Болъё

Аравтын бутархайг олохын тулд бид энэ бутархайг хуваагч нь аравын бүхэл тоо бүхий бутархай болгон хувиргана. Үүнийг тоологч ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлж болно.

Дээрх үндэслэлийг ерөнхий тохиолдолд дараах байдлаар өргөтгөж болно. b хэлбэр нь сөрөг бус бүхэл тоо (өөрөөр хэлбэл эерэг тоо эсвэл тэг) байна гэж бодъё. Хоёр тохиолдол боломжтой: бага эсвэл тэнцүү (энэ нөхцөлийг бичсэн), эсвэл их (энэ нь бичигдсэн). Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлэхэд