Математикч Яков Перелман: шинжлэх ухаанд оруулсан хувь нэмэр. Оросын нэрт математикч Григорий Перелман

СЭТГЭЛИЙН ТОГЛООМ

Саяхныг хүртэл математик нь "санваартнууддаа" алдар нэр, эд баялгийг амладаггүй байв. Тэдэнд Нобелийн шагнал ч өгөөгүй. Тийм нэр дэвшсэн зүйл байхгүй. Эцсийн эцэст, маш алдартай домогт өгүүлснээр Нобелийн эхнэр нэг удаа түүнийг математикчтай хуурч байжээ. Тэгээд хариуд нь баян хүн бүх луйварч ах нарынхаа хүндэтгэл, шагналын мөнгөнөөс харамлажээ.

2000 онд байдал өөрчлөгдсөн. Хувийн Математикийн Хүрээлэн Шавар Математикийн Хүрээлэн хамгийн хэцүү долоон бодлогыг сонгосон. Мөн тэрээр шийдвэрийнхээ төлөө хүн бүрт нэг сая доллар төлөхөө амласан. Тэд математикчдыг хүндэтгэн харав. 2001 онд гол дүр нь математикч байсан "Үзэсгэлэнт оюун ухаан" киног хүртэл гаргасан.

Одоо зөвхөн соёл иргэншлээс алслагдсан хүмүүс л мэдэхгүй байна: амласан сая сая хүмүүсийн нэг нь - хамгийн анхных нь - аль хэдийн шагнагдсан. Шагналыг ОХУ-ын иргэн, Санкт-Петербург хотын оршин суугч Григорий Перелман өөрийн хүчин чармайлтаар теорем болсон Пуанкаре таамаглалыг шийдсэнийх нь төлөө хүртжээ. 44 настай сахалтай эр дэлхийн хамрыг арчсан. Одоо энэ нь дэлхий ертөнцийг эргэлзээтэй байлгасаар байна. Математикч шударгаар хүртэх ёстой сая доллараа авах уу эсвэл татгалзах уу гэдэг нь тодорхойгүй байна. Олон орны дэвшилтэт олон нийт санаа зовдог. Наад зах нь бүх тивийн сонинууд санхүү, математикийн сонирхлыг тойрон бичдэг.

Мөн эдгээр сонирхолтой үйл ажиллагаануудын цаана - аз харж, бусдын мөнгийг хуваах - Перелманы ололт амжилтын утга учир ямар нэгэн байдлаар алдагдсан. Шагналын сангийн зорилго нь хариулт хайх бус математикийн шинжлэх ухааны нэр хүндийг өсгөх, залуучуудыг сонирхох оролдлого байсан гэж мэдээж Клей институтын ерөнхийлөгч Жим Карлсон нэгэнтээ хэлж байсан. Гэсэн хэдий ч ямар учиртай вэ?

POINCARE ТААМАГЛАЛ - Энэ юу вэ?

Оросын суут ухаантны тайлсан оньсого нь топологи хэмээх математикийн салбарын үндсийг хөнддөг. Түүний топологийг ихэвчлэн "резин хуудасны геометр" гэж нэрлэдэг. Энэ нь геометрийн дүрсийг сунгах, мушгирах, нугалахад хадгалагдах шинж чанаруудыг авч үздэг. Өөрөөр хэлбэл урагдах, зүсэх, наахгүйгээр гажигтай байдаг.

Топологи нь сансар огторгуйн шинж чанарыг ойлгох боломжийг олгодог тул математик физикийн хувьд чухал ач холбогдолтой юм. Эсвэл энэ орон зайн хэлбэрийг гаднаас нь харж чадахгүй байж үнэл. Жишээлбэл, манай орчлон ертөнцөд.

Пуанкаре таамаглалыг тайлбарлахдаа тэд дараах байдлаар эхэлдэг: хоёр хэмжээст бөмбөрцгийг төсөөлөөд үз дээ - резинэн диск аваад бөмбөгөн дээгүүр тат. Тиймээс дискний тойргийг нэг цэг дээр цуглуулдаг. Үүнтэй адилаар, жишээлбэл, та спорт үүргэвчийг утсаар холбож болно. Үр дүн нь бөмбөрцөг юм: бидний хувьд - гурван хэмжээст, гэхдээ математикийн үүднээс - зөвхөн хоёр хэмжээст.

Дараа нь тэд ижил дискийг гурилан бүтээгдэхүүн дээр татахыг санал болгож байна. Энэ нь бүтэх юм шиг байна. Гэхдээ дискний ирмэгүүд нь тойрог болж нийлэх бөгөөд үүнийг цэг рүү татах боломжгүй - энэ нь гурилан бүтээгдэхүүнийг таслах болно.

Оросын өөр нэг математикч Владимир Успенский алдартай номондоо "Хоёр хэмжээст бөмбөрцөгөөс ялгаатай нь гурван хэмжээст бөмбөрцөг нь бидний шууд ажиглалтад хүрдэггүй бөгөөд бидний хувьд тэдгээрийг төсөөлөхөд Василий Ивановичийн төсөөлөхөд хэцүү байдаг. Алдарт онигооны дөрвөлжин гурвалжин”.

Тиймээс Пуанкарегийн таамаглалын дагуу гурван хэмжээст бөмбөрцөг нь ямар нэгэн таамаглалтай "гиперкорд"-оор гадаргууг нэг цэгт татах боломжтой цорын ганц гурван хэмжээст зүйл юм.

Жюль Анри Пуанкаре үүнийг 1904 онд санал болгосон. Одоо Перелман Францын топологичийн зөв байсан гэдгийг ойлгодог бүх хүмүүст итгүүлэв. Тэгээд түүний таамаглалыг теорем болгон хувиргасан.

Нотолгоо нь манай орчлон ертөнц ямар хэлбэртэй болохыг ойлгоход тусална. Энэ нь яг ижил гурван хэмжээст бөмбөрцөг гэж маш үндэслэлтэй таамаглах боломжийг бидэнд олгодог. Гэхдээ орчлон бол нэг цэг хүртэл агшиж болох цорын ганц "дүрс" юм бол түүнийг цэгээс сунгаж болох юм. Энэ нь орчлон ертөнц нэг цэгээс үүссэн гэсэн Их тэсрэлтийн онолын шууд бус баталгаа болж байна.

Перелман Пуанкарегийн хамт орчлон ертөнцийн тэнгэрлэг эхлэлийг дэмжигчид гэж нэрлэгддэг креационистуудыг бухимдуулсан нь харагдаж байна. Мөн тэд материалист физикчдийн тээрэм рүү ширгэдэг.

БА ЭНЭ ҮЕД

Суут ухаантан одоохондоо нэг сая доллараа өгөөгүй байна

Математикч сэтгүүлчидтэй харилцахаас зөрүүдлэн татгалздаг. Бидний хувьд - үнэхээр: тэр бүр дуугаа ч гаргадаггүй. Барууныхан - хаалттай хаалгаар тайлбар шиддэг. Яг л намайг тайван орхи. Суут ухаантан зөвхөн Clay Institute-ийн ерөнхийлөгч Жим Карлсонтой л харилцдаг бололтой.

Григорий Перелманы сая долларын тухай мэдээлэл гарсны дараахан Карлсон "Суут ухаантан юу шийдсэн бэ?" Гэсэн асуултад хариулав. "Тэр надад цаг тухайд нь мэдэгдэх болно" гэж хариулав. Өөрөөр хэлбэл, тэр Григорийтой холбоотой байсан гэсэн үг юм.

Урд өдөр нь бид Ерөнхийлөгчөөс шинэ мессеж хүлээн авлаа. Түүнийг Британийн The Telegraph сонин олон нийтэд мэдээлсэн байна: "Тэр шийдвэрийнхээ талаар хэзээ нэгэн цагт надад мэдэгдэнэ гэж хэлсэн. Гэхдээ энэ нь хэзээ болох талаар тэр дор хаяж хэлээгүй. Маргааш тийм биш гэж бодож байна."

Ерөнхийлөгчийн хэлснээр суут ухаантан хуурай боловч эелдэг байдлаар ярьсан байна. Энэ нь товчхон байсан. Перелманыг өмөөрөхдөө Карлсон: "Хүн сая доллараа өгөх боломжийн талаар өдөр бүр тоглоом шоглоомоор боддоггүй" гэж тэмдэглэжээ.

ДЭЭРДЭЭ

Тэд өөр яагаад сая доллар өгөх болов?

1. Күүкийн асуудал

Асуудлын шийдлийн зөв эсэхийг шалгах нь шийдлийг өөрөө олж авахаас илүү урт хугацаа шаардагдах эсэхийг тодорхойлох шаардлагатай. Энэхүү логик даалгавар нь криптографийн мэргэжилтнүүдэд чухал ач холбогдолтой - өгөгдлийг шифрлэх.

2. Риманы таамаглал

Анхны тоо гэж нэрлэгддэг 2, 3, 5, 7 гэх мэт зөвхөн өөртөө хуваагддаг тоонууд байдаг. Нийт хэдэн хүн байгаа нь тодорхойгүй байна. Риман үүнийг тодорхойлж, тэдгээрийн тархалтын хэв маягийг олж болно гэж үзэж байв. Хэн олсон нь криптографийн үйлчилгээ үзүүлэх болно.

3. Хусан ба Свиннертон-Дайерын таамаглал

Асуудал нь гурван үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг хүчирхэгжүүлсэн тэгшитгэлийг шийдэх явдал юм. Нарийн төвөгтэй байдлаас үл хамааран тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар олж мэдэх хэрэгтэй.

4. Хожийн таамаглал

Хорьдугаар зуунд математикчид нарийн төвөгтэй объектуудын хэлбэрийг судлах аргыг нээсэн. Гол санаа нь объектын оронд энгийн "тоосго" ашиглах бөгөөд тэдгээр нь хоорондоо нааж, түүний ижил төстэй байдлыг бий болгодог. Үүнийг үргэлж зөвшөөрдөг гэдгийг батлах шаардлагатай.

5. Navier - Stokes тэгшитгэл

Тэднийг онгоцонд санаж байх нь зүйтэй. Тэгшитгэлүүд нь түүнийг агаарт байлгадаг агаарын урсгалыг тодорхойлдог. Одоо тэгшитгэлийг ойролцоогоор томъёогоор шийдэж байна. Бид яг нарийныг нь олж, гурван хэмжээст орон зайд үргэлж үнэн байдаг тэгшитгэлийн шийдэл байдгийг батлах хэрэгтэй.

6. Ян - Миллсийн тэгшитгэл

Физикийн ертөнцөд нэг таамаглал байдаг: хэрэв энгийн бөөмс масстай бол түүний доод хязгаар байдаг. Гэхдээ аль нь тодорхойгүй байна. Бид түүнд хүрэх хэрэгтэй. Энэ нь магадгүй хамгийн хэцүү ажил юм. Үүнийг шийдэхийн тулд "бүх зүйлийн онол" - байгалийн бүх хүч, харилцан үйлчлэлийг нэгтгэдэг тэгшитгэлийг бий болгох шаардлагатай. Үүнийг хийж чадах хүн Нобелийн шагнал авах байх.

Цэвэр математикийн сүүлчийн том ололт бол 2002-2003 онд Санкт-Петербургийн оршин суугч Григорий Перелман 1904 онд дэвшүүлсэн Пуанкаре таамаглалыг нотолж, "холбогдсон, энгийн холбогдсон, хил хязгааргүй авсаархан гурван хэмжээст олон талт бүр нь юм" гэж хэлсэн байдаг. S 3 бөмбөрцөгт гомеоморф.”

Энэ хэллэгт хэд хэдэн нэр томъёо байгаа бөгөөд тэдгээрийн ерөнхий утгыг математикч бус хүмүүст ойлгомжтой байлгах үүднээс тайлбарлахыг хичээх болно (Уншигч ахлах сургуулиа төгссөн, сургуулийнхаа математикийн зарим хэсгийг одоо ч санаж байна гэж би бодож байна).

Топологийн гол хэсэг болох гомеоморфизмын тухай ойлголтоос эхэлье. Ерөнхийдөө топологийг ихэвчлэн "резинэн геометр" гэж тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл, гөлгөр хэв гажилтын үед завсарлага, наалтгүйгээр өөрчлөгддөггүй геометрийн дүрсийн шинж чанаруудын шинжлэх ухаан гэж тодорхойлдог, эс тэгвээс хэрэв нэгээс нэгийг нь тогтоох боломжтой бол. хоёр объектын хоорондох нэг ба харилцан тасралтгүй захидал харилцаа .

Гол санаа нь аяга, гурилан бүтээгдэхүүний сонгодог жишээг ашиглан тайлбарлахад хялбар байдаг. Эхнийх нь тасралтгүй хэв гажилтаар хоёр дахь болж хувирч болно.

Эдгээр тоонууд нь аяга нь гурилан бүтээгдэхүүний хувьд гомеоморф болохыг тодорхой харуулж байгаа бөгөөд энэ баримт нь тэдгээрийн гадаргуу (торус гэж нэрлэгддэг хоёр хэмжээст олон талт) болон дүүрсэн биетүүдийн хувьд (ирмэгтэй гурван хэмжээст олон талт) хоёуланд нь үнэн юм.

Таамаглалыг боловсруулахад гарсан үлдсэн нэр томъёоны тайлбарыг өгье.

Ирмэггүй гурван хэмжээст олон талт.Энэ бол цэг бүр нь гурван хэмжээст бөмбөг хэлбэртэй хөрштэй байдаг геометрийн объект юм. 3-олон талтуудын жишээнд, нэгдүгээрт, R 3-ээр тэмдэглэгдсэн гурван хэмжээст орон зайг бүхэлд нь, түүнчлэн R 3 дахь аливаа нээлттэй цэгүүдийн багцыг, жишээлбэл, цул торус (пончик)-ийн дотоод хэсэг орно. Хэрэв бид хаалттай хатуу торусыг авч үзвэл, өөрөөр хэлбэл түүний хилийн цэгүүдийг (torus-ийн гадаргуу) нэмбэл бид ирмэг бүхий олон талт хэсгийг олж авдаг - ирмэгийн цэгүүд нь бөмбөг хэлбэртэй хөршүүдтэй байдаггүй, гэхдээ зөвхөн хэлбэрээр байдаг. хагас бөмбөг.
Холбогдсон.Энд байгаа холболтын тухай ойлголт нь хамгийн энгийн зүйл юм. Олон талт утас нь нэг хэсгээс бүрдэх юм уу аль ч хоёр цэг нь хил хязгаараас нь гарахгүй үргэлжилсэн шугамаар холбогдож байвал холбогдсон байна.
Зүгээр л холбогдсон.Энгийн холболтын тухай ойлголт нь илүү төвөгтэй байдаг. Энэ нь өгөгдсөн олон талт дотор бүхэлдээ байрлах аливаа тасралтгүй хаалттай муруйг энэ олон талт талбараас гарахгүйгээр цэг хүртэл жигд агшиж болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, R 3 дахь энгийн хоёр хэмжээст бөмбөрцөгийг зүгээр л холбодог (алимны гадаргуу дээр ямар нэгэн байдлаар байрлуулсан резинэн туузыг алимнаас резинэн туузыг таслахгүйгээр гөлгөр хэв гажилтаар нэг цэг хүртэл жигд татах боломжтой) . Нөгөөтэйгүүр, тойрог ба торус нь зүгээр л холбогддоггүй.
Компакт.Гомеоморф дүрсүүдийн аль нэг нь хязгаарлагдмал хэмжээтэй байвал олон талт авсаархан байна. Жишээ нь, шугам дээрх нээлттэй интервал (хэсгүүдийн төгсгөлөөс бусад бүх цэгүүд) нь хязгааргүй шугам хүртэл тасралтгүй үргэлжлэх боломжтой тул нягт биш юм. Гэхдээ битүү сегмент (төгсгөлүүдтэй) нь хил хязгаартай авсаархан олон талт хэсэг юм: аливаа тасралтгүй хэв гажилтын хувьд төгсгөлүүд нь зарим тодорхой цэгүүдэд очдог бөгөөд бүх сегмент нь эдгээр цэгүүдийг холбосон хязгаарлагдмал муруй руу орох ёстой.

Хэмжээолон талт нь түүн дээр "амьдрах" цэгийн эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоо юм. Цэг бүр нь харгалзах хэмжээсийн диск хэлбэртэй хөрштэй, өөрөөр хэлбэл нэг хэмжээст тохиолдолд шугамын интервал, хоёр хэмжээст хавтгай дээрх тойрог, гурван хэмжээст бөмбөг гэх мэт. Цэгээс топологийн үүднээс авч үзвэл ирмэггүй нэг хэмжээст холбогдсон олон талт хоёр л байдаг: шугам ба тойрог. Эдгээрээс зөвхөн тойрог нь авсаархан байна.

Олон талт бус орон зайн жишээ бол жишээлбэл, огтлолцсон хос шугам юм - эцсийн эцэст, хоёр шугамын огтлолцлын цэг дээр ямар ч хороололд загалмай хэлбэртэй байдаг, түүнд ийм хөрш байдаггүй. өөрөө зүгээр л интервал байх (мөн бусад бүх цэгүүд ийм хөрштэй байдаг). Ийм тохиолдолд математикчид бид нэг онцгой цэгтэй тусгай сорттой харьцаж байна гэж хэлдэг.

Хоёр хэмжээст авсаархан олон талт төхөөрөмжүүдийг сайн мэддэг. Хэрэв бид зөвхөн авч үзвэл чиглэсэнхил хязгааргүй олон талт, дараа нь топологийн үүднээс авч үзвэл тэд хязгааргүй ч гэсэн энгийн жагсаалт үүсгэдэг: гэх мэт. Ийм олон талт бүрийг хэд хэдэн бариулыг наах замаар бөмбөрцөгөөс гаргаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн тоог гадаргуугийн төрөл гэж нэрлэдэг.

Зурагт 0, 1, 2, 3 төрлийн гадаргууг харуулж байна. Энэ жагсаалтад байгаа бүх гадаргуугаас бөмбөрцөг юугаараа онцлог вэ? Энэ нь зүгээр л холбогдсон байна: бөмбөрцөг дээр ямар ч битүү муруйг нэг цэг хүртэл агшиж болох боловч өөр ямар ч гадаргуу дээр гадаргуугийн дагуух цэг хүртэл агших боломжгүй муруйг зааж өгөх боломжтой байдаг.

Хил хязгааргүй гурван хэмжээст авсаархан олон талт утсыг тодорхой жагсаалтад ангилж болох нь хоёр хэмжээст тохиолдол шиг энгийн биш боловч нэлээд төвөгтэй бүтэцтэй байх нь сонирхолтой юм. Гэсэн хэдий ч 3D бөмбөрцөг S 3 нь дээрх жагсаалтад байгаа 2D бөмбөрцөгтэй адилаар энэ жагсаалтад тод харагдаж байна. S 3 дээрх дурын муруй нь нэг цэг хүртэл агшдаг нь хоёр хэмжээст тохиолдлын адил энгийн байдлаар нотлогддог. Харин эсрэг заалт, тухайлбал, энэ шинж чанар нь бөмбөрцөгт тусгайлан онцгой шинж чанартай, өөрөөр хэлбэл, бусад гурван хэмжээст олон талт дээр агшихгүй муруй байдаг гэсэн үг нь маш хэцүү бөгөөд бидний ярьж буй Пуанкаре таамаглалын агуулгыг яг бүрдүүлдэг. .

Олон талт байдал нь бие даан амьдрах чадвартай гэдгийг ойлгох нь чухал бөгөөд үүнийг хаана ч ороогүй бие даасан объект гэж үзэж болно. (Ердийн бөмбөрцгийн гадаргуу дээр гуравдагч хэмжээст байгааг мэдэхгүй хоёр хэмжээст амьтад шиг амьдарч байна гэж төсөөлөөд үз дээ.) Аз болоход дээрх жагсаалтад байгаа бүх хоёр хэмжээст гадаргууг энгийн R3 орон зайд байрлуулж, илүү хялбар болгодог. дүрслэх. Гурван хэмжээст бөмбөрцөг S 3 (мөн ерөнхийдөө хил хязгааргүй авсаархан гурван хэмжээст олон талт хувьд) энэ нь цаашид байхаа больсон тул түүний бүтцийг ойлгохын тулд бага зэрэг хүчин чармайлт гаргах шаардлагатай болно.

Гурван хэмжээст S 3 бөмбөрцгийн топологийн бүтцийг тайлбарлах хамгийн энгийн арга бол нэг цэгийн нягтаршлыг ашиглах явдал юм. Тухайлбал, гурван хэмжээст бөмбөрцөг S 3 нь энгийн гурван хэмжээст (хязгааргүй) орон зай R 3-ийн нэг цэгийн нягтрал юм.

Эхлээд энэ бүтцийг энгийн жишээн дээр тайлбарлая. Энгийн хязгааргүй шулуун шугамыг (орон зайн нэг хэмжээст аналог) авч, шулуун шугамын дагуу баруун эсвэл зүүн тийш шилжихдээ эцэст нь энэ цэгт хүрнэ гэж үзээд түүнд нэг "хязгааргүй алслагдсан" цэгийг нэмье. Топологийн үүднээс авч үзвэл хязгааргүй шугам ба хязгаарлагдмал нээлттэй шугамын сегмент (төгсгөлийн цэггүй) хооронд ямар ч ялгаа байхгүй. Ийм сегментийг нуман хэлбэрээр тасралтгүй нугалж, төгсгөлийг ойртуулж, уулзвар дээр байхгүй цэгийг нааж болно. Бид мэдээж тойрог авах болно - бөмбөрцгийн нэг хэмжээст аналог.

Үүнтэй адилаар, хэрэв би хязгааргүй хавтгайг авч, ямар ч чиглэлд өнгөрч буй анхны хавтгайн бүх шулуун шугамууд чиглэдэг хязгааргүй нэг цэгийг нэмбэл хоёр хэмжээст (ердийн) бөмбөрцөг S 2 болно. Энэ процедурыг хойд туйлын N, P хавтгай дээрх тодорхой цэгээс бусад бөмбөрцгийн P цэг бүрт хуваарилдаг стереографийн проекц ашиглан ажиглаж болно."

Тиймээс нэг цэггүй бөмбөрцөг нь топологийн хувьд хавтгайтай ижил бөгөөд цэгийг нэмбэл хавтгай нь бөмбөрцөг болж хувирдаг.

Зарчмын хувьд яг ижил бүтэц нь гурван хэмжээст бөмбөрцөг, гурван хэмжээст орон зайд хамаарах бөгөөд үүнийг хэрэгжүүлэхийн тулд зөвхөн дөрөв дэх хэмжээсийг оруулах шаардлагатай бөгөөд үүнийг зураг дээр дүрслэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тиймээс би R 3 орон зайн нэг цэгийн нягтаршилыг амаар тайлбарлахаар хязгаарлах болно.

Бидний физик орон зайд (бид Ньютоныг дагаж, x, y, z гурван координаттай, хязгааргүй Евклидийн орон зай гэж үздэг) нэг "хязгааргүй" цэгийг шулуун шугамаар хөдөлгөх үед ямар ч чиглэлд нэмж оруулдаг гэж төсөөлөөд үз дээ. та тийшээ очих чиглэл (өөрөөр хэлбэл орон зайн шугам бүр тойрог болж хаагдана). Дараа нь бид авсаархан гурван хэмжээст олон талт хэсгийг авдаг бөгөөд энэ нь тодорхойлолтоор S 3 бөмбөрцөг юм.

S 3 бөмбөрцөг нь зүгээр л холбогдсон гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Үнэн хэрэгтээ энэ бөмбөрцөг дээрх ямар ч хаалттай муруйг бага зэрэг шилжүүлж болох бөгөөд ингэснээр нэмэлт цэгээр дамжин өнгөрөхгүй. Дараа нь бид энгийн R 3 орон зайд муруйг олж авдаг бөгөөд энэ нь гомотетиар дамжуулан цэг хүртэл амархан агшиж, өөрөөр хэлбэл бүх гурван чиглэлд тасралтгүй шахалт хийдэг.

S 3 сорт хэрхэн бүтэцтэй болохыг ойлгохын тулд түүнийг хоёр хатуу тори болгон хуваахыг авч үзэх нь маш сургамжтай юм. Хэрэв бид хатуу торусыг R 3 орон зайнаас салгавал тийм ч тодорхой бус зүйл үлдэх болно. Хэрэв орон зай бөмбөрцөг болж нягтарвал энэ нэмэлт нь мөн хатуу торус болж хувирдаг. Өөрөөр хэлбэл, S 3 бөмбөрцөг нь нийтлэг хил бүхий хоёр хатуу торид хуваагддаг - торус.

Та үүнийг хэрхэн ойлгохыг эндээс үзнэ үү. Торусыг ердийнх шигээ R 3-д дугуй гурилан бүтээгдэхүүн хэлбэрээр оруулаад босоо шугамыг зуръя - энэ гурилын эргэлтийн тэнхлэг. Бид тэнхлэгээр дамжуулан дурын хавтгайг зурж, энэ нь бидний хатуу торыг хоёр тойргийн дагуу огтолж, зурган дээр ногооноор харуулсан бөгөөд онгоцны нэмэлт хэсэг нь тасралтгүй улаан тойрогт хуваагдана. Үүнд төв тэнхлэгийг илүү зоримог тодруулсан, учир нь S 3 бөмбөрцөгт шулуун шугам нь тойрог болж хаагддаг. Энэхүү хоёр хэмжээст зургаас тэнхлэгийг тойрон эргүүлэх замаар гурван хэмжээст зургийг гаргаж авдаг. Эргүүлсэн тойргийн иж бүрдэл нь гурван хэмжээст биеийг дүүргэж, гомеоморф хэлбэртэй, хатуу торустай боловч ер бусын харагддаг.

Үнэн хэрэгтээ төв тэнхлэг нь тэнхлэгийн тойрог байх бөгөөд үлдсэн хэсэг нь ердийн хатуу торусыг бүрдүүлдэг параллелуудын үүрэг гүйцэтгэх болно.

Гурван бөмбөрцөгтэй харьцуулах зүйлтэй байхын тулд би авсаархан 3 олон талт, тухайлбал гурван хэмжээст торусын өөр жишээг өгөх болно. Гурван хэмжээст торусыг дараах байдлаар барьж болно. Эхлэх материал болгон энгийн гурван хэмжээст шоо авч үзье.

Энэ нь зүүн ба баруун, дээд ба доод, урд ба хойд гэсэн гурван хос ирмэгтэй. Зэрэгцээ нүүр царай бүрт бид кубын ирмэгийн дагуу шилжүүлснээр бие биенээсээ олж авсан цэгүүдийг хосоор нь тодорхойлно. Өөрөөр хэлбэл, бид (цэвэр хийсвэр байдлаар, физик хэв гажилтыг ашиглахгүйгээр) жишээлбэл, А ба А" нь ижил цэг, В ба В" нь бас нэг цэг боловч А цэгээс ялгаатай гэж үзэх болно. Бүх дотоод цэгүүд шоо Бид үүнийг ердийнхөөрөө авч үзэх болно. Шоо нь өөрөө ирмэг бүхий олон талт хэлбэртэй боловч наалт хийсний дараа ирмэг нь өөрөө хаагдаж, алга болдог. Үнэн хэрэгтээ, шоо дахь А ба А цэгүүдийн хөршүүд (тэдгээр нь зүүн, баруун сүүдэртэй нүүрэн дээр байрладаг) нь бөмбөлгүүдийн хагас бөгөөд тэдгээр нь нүүрээ наалдсаны дараа бүхэл бүтэн бөмбөлөг болж нийлдэг. гурван хэмжээст торусын харгалзах цэг.

Физик орон зайн талаархи өдөр тутмын санаан дээр тулгуурлан 3-torus-ийн бүтцийг мэдрэхийн тулд та урагш, зүүн, дээш гэсэн гурван харилцан перпендикуляр чиглэлийг сонгох хэрэгтэй бөгөөд шинжлэх ухааны уран зөгнөлт зохиолуудын нэгэн адил эдгээр чиглэлүүдийн аль нэгэнд шилжихдээ оюун санааны хувьд анхаарч үзэх хэрэгтэй. , нэлээд урт боловч хязгаарлагдмал хугацаа , бид эхлэх цэг рүү буцах болно, гэхдээ эсрэг чиглэлээс. Энэ нь мөн "орон зайг нягтруулах" боловч өмнө нь бөмбөрцөг бүтээхэд ашигладаг байсан нэг цэг биш, харин илүү төвөгтэй юм.

Гурван хэмжээст торус дээр агших боломжгүй замууд байдаг; жишээлбэл, энэ нь зураг дээрх AA сегмент юм (torus дээр энэ нь хаалттай замыг илэрхийлдэг). Энэ нь агших боломжгүй, учир нь ямар ч тасралтгүй хэв гажилтын хувьд А ба А" цэгүүд нь нүүрний дагуу хөдөлж, бие биенийхээ эсрэг талд байх ёстой ( эс бөгөөс муруй нээгдэнэ).

Тиймээс бид энгийн холбогдсон ба энгийн холболтгүй авсаархан 3-олон талбарууд байгааг харж байна. Перелман энгийн холбогдсон олон талт нь яг нэг гэдгийг нотолсон.

Баталгаажуулах анхны санаа нь "Ricci урсгал" гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм: бид зүгээр л холбогдсон авсаархан 3-олон талбарыг авч, дурын геометрээр (өөрөөр хэлбэл зай, өнцөг бүхий зарим хэмжигдэхүүнийг оруулаад) авч үзье. түүний Риччи урсгалын дагуух хувьсал. 1981 онд энэ санааг дэвшүүлсэн Ричард Хамилтон энэхүү хувьсал нь бидний олон янз байдлыг бөмбөрцөг болгон хувиргана гэж найдаж байсан. Энэ нь үнэн биш болох нь тогтоогдсон - гурван хэмжээст тохиолдолд Ricci урсгал нь олон талт хэсгийг сүйтгэх чадвартай, өөрөөр хэлбэл олон талт бус болгох чадвартай (дээрх огтлолцсон шугамын жишээн дээрх цорын ганц цэгтэй зүйл) . Перелман техникийн гайхалтай бэрхшээлийг даван туулж, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хүнд төхөөрөмжийг ашиглан хувьслын явцад олон талт топологи өөрчлөгдөөгүй, онцгой цэгүүд үүсэхгүй байхаар өвөрмөц цэгүүдийн ойролцоох Риччи урсгалд засвар оруулж чадсан. эцэст нь энэ нь дугуй нэг бөмбөрцөг болж хувирдаг. Гэхдээ бид эцэст нь энэ Ricci урсгал гэж юу болохыг тайлбарлах ёстой. Хамилтон, Перелман нарын ашигласан урсгалууд нь хийсвэр олон талт талбар дээрх дотоод хэмжүүрийн өөрчлөлтийг хэлдэг бөгөөд үүнийг тайлбарлахад нэлээд хэцүү тул би хавтгайд суулгагдсан нэг хэмжээст олон талт дээрх Риччи урсгалын "гадаад" урсгалыг тайлбарлахаар хязгаарлах болно.

Евклидийн хавтгай дээр гөлгөр битүү муруйг төсөөлж, түүн дээрх чиглэлийг сонгож, цэг бүрт нэгж урттай шүргэгч векторыг авч үзье. Дараа нь сонгосон чиглэлд муруйг тойрох үед энэ вектор тодорхой өнцгийн хурдаар эргэлдэх бөгөөд үүнийг муруйлт гэж нэрлэдэг. Муруй илүү эгц муруйсан газруудад муруйлт (үнэмлэхүй утгаараа) илүү их байх ба гөлгөр бол муруйлт бага байх болно.

Хэрэв хурдны вектор нь бидний муруйн дагуу хоёр хэсэгт хуваагдсан онгоцны дотоод хэсэг рүү эргэвэл муруйлт эерэг, гадагш эргэвэл сөрөг гэж үзнэ. Энэ конвенц нь муруйг туулах чиглэлээс хамааралгүй юм. Эргэлтийн чиглэлийг өөрчилдөг гулзайлтын цэгүүдэд муруйлт нь 0 байна. Жишээлбэл, 1-р радиустай тойрог нь 1-ийн тогтмол эерэг муруйлттай байна (радианаар хэмжсэн бол).

Одоо шүргэгч векторуудын тухай мартаж, эсрэгээр нь муруйн цэг бүрт перпендикуляр, өгөгдсөн цэгийн муруйлттай тэнцүү урттай, муруйлт эерэг байвал дотогшоо чиглэсэн, сөрөг байвал гадагш чиглэсэн векторыг хавсаргая. , дараа нь цэг бүрийг урттай пропорциональ хурдтайгаар харгалзах векторын чиглэлд хөдөлгөнө. Энд нэг жишээ байна:

Хавтгай дээрх аливаа битүү муруй нь ийм хувьслын үед ижил төстэй байдлаар ажилладаг, өөрөөр хэлбэл энэ нь эцэстээ тойрог болж хувирдаг. Энэ бол Риччи урсгалыг ашиглан Пуанкаре таамаглалын нэг хэмжээст аналогийн нотолгоо юм (гэхдээ энэ тохиолдолд мэдэгдэл нь аль хэдийн тодорхой болсон, зөвхөн нотлох арга нь 3-р хэмжээст юу болж байгааг харуулж байна).

Перелманы үндэслэл нь зөвхөн Пуанкаре таамаглалыг нотлоод зогсохгүй ерөнхийдөө бүх авсаархан гурван хэмжээст олон талт олон талтуудын бүтцийг тодорхой утгаараа тодорхойлсон Турстоны геометрийн илүү ерөнхий таамаглалыг баталж байгааг дүгнэж үзье. Гэхдээ энэ сэдэв нь энэхүү анхан шатны өгүүллийн хамрах хүрээнээс гадуур байна.

Орон зай хомс байгаа тул би чиглүүлэх боломжгүй олон талтуудын талаар ярихгүй бөгөөд үүний жишээ бол алдартай Klein лонх юм - огтлолцолгүйгээр огторгуйд суулгах боломжгүй гадаргуу юм.

Гэрэл зургийг Н.Четверикова 2002-2003 онд Санкт-Петербургийн оршин суугч Григорий Перелманы 1904 онд дэвшүүлсэн Пуанкаре таамаглалыг нотолж, “холбогдсон, энгийн холбогдсон, авсаархан гурван хэмжээст олон талт бүрийг 2002-2003 онд гаргасан нь цэвэр математикийн сүүлчийн том ололт юм. Хил хязгааргүй бол S 3 бөмбөрцөгт гомеоморф байна.”

Гол санаа нь аяга, гурилан бүтээгдэхүүний сонгодог жишээг ашиглан тайлбарлахад хялбар байдаг. Эхнийх нь тасралтгүй хэв гажилтаар хоёр дахь хэлбэр болж хувирч болно: Эдгээр тоонууд нь аяга нь гурилан бүтээгдэхүүнээс гомеоморф болохыг тодорхой харуулж байгаа бөгөөд энэ нь тэдгээрийн гадаргуу (торус гэж нэрлэгддэг хоёр хэмжээст олон талт) болон дүүрсэн биетүүдийн хувьд (гурван хэмжээст) хоёуланд нь үнэн юм. -ирмэг бүхий хэмжээст олон талт).

Таамаглалыг боловсруулахад гарсан үлдсэн нэр томъёоны тайлбарыг өгье.

1. Ирмэггүй гурван хэмжээст олон талт.Энэ бол цэг бүр нь гурван хэмжээст бөмбөг хэлбэртэй хөрштэй байдаг геометрийн объект юм. 3-олон талтуудын жишээнд, нэгдүгээрт, R 3-ээр тэмдэглэгдсэн гурван хэмжээст орон зайг бүхэлд нь, түүнчлэн R 3 дахь аливаа нээлттэй цэгүүдийн багцыг, жишээлбэл, цул торус (пончик)-ийн дотоод хэсэг орно. Хэрэв бид хаалттай бүрэн торусыг авч үзвэл, өөрөөр хэлбэл, түүний хилийн цэгүүдийг (торусын гадаргуу) нэмбэл бид ирмэг бүхий олон талт хэсгийг олж авдаг - ирмэгийн цэгүүд нь бөмбөг хэлбэртэй хөршүүдтэй байдаггүй, гэхдээ зөвхөн хэлбэрээр байдаг. хагас бөмбөг.

2. Холбогдсон.Энд байгаа холболтын тухай ойлголт нь хамгийн энгийн зүйл юм. Олон талт утас нь нэг хэсгээс бүрдэх юм уу аль нэг хоёр цэг нь түүний хил хязгаараас хэтрэхгүй тасралтгүй шугамаар холбогдож байвал холбогдсон байна.

3. Зүгээр л холбогдсон.Энгийн холболтын тухай ойлголт нь илүү төвөгтэй байдаг. Энэ нь өгөгдсөн олон талт дотор бүхэлдээ байрлах аливаа тасралтгүй хаалттай муруйг энэ олон талт талбараас гарахгүйгээр цэг хүртэл жигд агшиж болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, R 3 дахь энгийн хоёр хэмжээст бөмбөрцөгийг зүгээр л холбодог (алимны гадаргуу дээр ямар нэгэн байдлаар байрлуулсан резинэн туузыг алимнаас резинэн туузыг таслахгүйгээр гөлгөр хэв гажилтаар нэг цэг хүртэл жигд татах боломжтой) . Нөгөөтэйгүүр, тойрог ба торус нь зүгээр л холбогддоггүй.

4. Авсаархан.Төрөл бүрийн гомеоморф дүрс нь хязгаарлагдмал хэмжээтэй байвал авсаархан байдаг. Жишээ нь, шугам дээрх нээлттэй интервал (хэсгүүдийн төгсгөлөөс бусад бүх цэгүүд) нь хязгааргүй шугам хүртэл тасралтгүй үргэлжлэх боломжтой тул нягт биш юм. Гэхдээ битүү сегмент (төгсгөлүүдтэй) нь хил хязгаартай авсаархан олон талт хэсэг юм: аливаа тасралтгүй хэв гажилтын хувьд төгсгөлүүд нь зарим тодорхой цэгүүдэд очдог бөгөөд бүх сегмент нь эдгээр цэгүүдийг холбосон хязгаарлагдмал муруй руу орох ёстой.

Хоёр хэмжээст авсаархан олон талт төхөөрөмжүүдийг сайн мэддэг. Хэрэв бид зөвхөн авч үзвэл чиг баримжаатай 1хил хязгааргүй олон талт, дараа нь топологийн үүднээс авч үзвэл тэд хязгааргүй ч гэсэн энгийн жагсаалт үүсгэдэг: гэх мэт. Ийм олон талт бүрийг хэд хэдэн бариулыг наах замаар бөмбөрцөгөөс гаргаж авдаг бөгөөд тэдгээрийн тоог гадаргуугийн төрөл гэж нэрлэдэг.

1 Орон зай хомс байгаа тул би чиглүүлэх боломжгүй олон талтуудын талаар ярихгүй бөгөөд үүний жишээ бол алдартай Klein лонх юм - огтлолцолгүйгээр огторгуйд суулгах боломжгүй гадаргуу юм.

Үүнтэй адилаар, хэрэв би хязгааргүй хавтгайг авч, ямар ч чиглэлд өнгөрч буй анхны хавтгайн бүх шулуун шугамууд чиглэдэг хязгааргүй нэг цэгийг нэмбэл хоёр хэмжээст (ердийн) бөмбөрцөг S 2 болно. Энэхүү процедурыг стереографийн проекц ашиглан ажиглаж болох бөгөөд энэ нь хойд туйл N, P хавтгай дээрх тодорхой цэгээс бусад бөмбөрцгийн P цэг бүрт оноож болно.

Физик орон зайн талаархи өдөр тутмын санаан дээр тулгуурлан 3-torus-ийн бүтцийг мэдрэхийн тулд та урагш, зүүн, дээш гэсэн гурван харилцан перпендикуляр чиглэлийг сонгох хэрэгтэй бөгөөд шинжлэх ухааны уран зөгнөлт зохиолуудын нэгэн адил эдгээр чиглэлүүдийн аль нэгэнд шилжихдээ оюун санааны хувьд анхаарч үзэх хэрэгтэй. , нэлээн урт боловч хязгаарлагдмал хугацаа , бид эхлэх цэг рүү буцах болно, гэхдээ эсрэг талаас нь энэ нь мөн "орон зайг нягтруулах" боловч өмнө нь бөмбөрцгийг бүтээхэд ашигладаг байсан нэг цэг биш, харин илүү төвөгтэй.

Баталгаажуулах анхны санаа нь "Ricci урсгал" гэж нэрлэгддэг аргыг ашиглах явдал юм: бид зүгээр л холбогдсон авсаархан 3-олон талбарыг авч, дурын геометрээр (өөрөөр хэлбэл зай, өнцөг бүхий зарим хэмжигдэхүүнийг оруулаад) авч үзье. түүний Риччи урсгалын дагуух хувьсал. 1981 онд энэ санааг дэвшүүлсэн Ричард Хамилтон энэхүү хувьсал нь бидний олон янз байдлыг бөмбөрцөг болгон хувиргана гэж найдаж байсан. Энэ нь үнэн биш болох нь тогтоогдсон - гурван хэмжээст тохиолдолд Ricci урсгал нь олон талт хэсгийг сүйтгэх чадвартай, өөрөөр хэлбэл түүнийг олон талт бус болгох чадвартай (дээрх огтлолцсон шугамын жишээн дээрх цорын ганц цэгтэй зүйл). Перелман техникийн гайхалтай бэрхшээлийг даван туулж, хэсэгчилсэн дифференциал тэгшитгэлийн хүнд төхөөрөмжийг ашиглан хувьслын явцад олон талт топологи өөрчлөгдөөгүй, онцгой цэгүүд үүсэхгүй байхаар өвөрмөц цэгүүдийн ойролцоох Риччи урсгалд засвар оруулж чадсан. эцэст нь дугуй бөмбөрцөг болж хувирдаг. Гэхдээ бид эцэст нь энэ Ricci урсгал гэж юу болохыг тайлбарлах ёстой. Хамилтон, Перелман нарын ашигласан урсгалууд нь хийсвэр олон талт талбар дээрх дотоод хэмжүүрийн өөрчлөлтийг хэлдэг бөгөөд үүнийг тайлбарлахад нэлээд хэцүү тул би хавтгайд суулгагдсан нэг хэмжээст олон талт дээрх Риччи урсгалын "гадаад" урсгалыг тайлбарлахаар хязгаарлах болно.

Хэрэв хурдны вектор нь бидний муруйн дагуу хоёр хэсэгт хуваагдсан онгоцны дотоод хэсэг рүү эргэвэл муруйлт эерэг, гадагш эргэвэл сөрөг гэж үзнэ. Энэ гэрээ нь муруйг ямар чиглэлд гатлахаас хамаарахгүй. Эргэлтийн чиглэлийг өөрчилдөг гулзайлтын цэгүүдэд муруйлт нь 0 байна. Жишээлбэл, 1-р радиустай тойрог нь 1-ийн тогтмол эерэг муруйлттай байна (радианаар хэмжсэн бол).

Сергей Дужин,
Физик, математикийн ухааны доктор шинжлэх ухаан,
ахлах эрдэм шинжилгээний ажилтан
Санкт-Петербург дахь салбар
ОХУ-ын ШУА-ийн Математикийн хүрээлэн

Хамгийн агуу математикчдын нэг Анри Пуанкаре (1854-1912) 1904 онд гажигтай гурван хэмжээст бөмбөрцгийн тухай алдартай санааг 65 хуудасны төгсгөлд байрлуулсан жижиг захын тэмдэглэл хэлбэрээр томъёолжээ. огт өөр асуудалд зориулсан нийтлэлд "За, энэ асуулт биднийг хэтэрхий хол авчирна" гэсэн үгээр нэлээд хачирхалтай таамаглалыг хэдэн мөр сараачжээ...

Оксфордын их сургуулийн Маркус Ду Саутой үүнд итгэдэг Пуанкарегийн теорем-"Энэ математик, физикийн гол асуудал , ойлгох оролдлого ямар хэлбэр Байж магадгүй Орчлон ертөнц , түүнтэй ойртоход маш хэцүү байдаг."

Григорий Перелман долоо хоногт нэг удаа Принстон руу явж, ахисан түвшний судалгааны хүрээлэнгийн семинарт оролцдог байв. Семинар дээр Харвардын их сургуулийн математикчдын нэг Перелманы асуултад хариулав: "Геометржуулалтын таамаглал гэж нэрлэгддэг Уильям Турстоны (1946-2012, математикч, "Гурван хэмжээст геометр ба топологи" чиглэлээр ажилладаг) онол нь бүх зүйлийг тодорхойлдог. боломжтой гурван хэмжээст гадаргуу ба Пуанкаре таамаглалтай харьцуулахад урагшлах алхам юм. Хэрэв та Уильям Турстоны таамаглалыг нотлох юм бол Пуанкаре таамаглал танд бүх хаалгыг нээж өгөх болно. түүний шийдэл нь орчин үеийн шинжлэх ухааны топологийн ландшафтыг бүхэлд нь өөрчлөх болно ».

2003 оны 3-р сард Америкийн тэргүүлэх зургаан их сургууль Перелманыг түүний ажлыг тайлбарласан цуврал лекц уншихыг урьсан. 2003 оны 4-р сард Перелман шинжлэх ухааны аялал хийсэн. Түүний лекцүүд нь шинжлэх ухааны гайхалтай үйл явдал болдог. Жон Болл (Олон улсын математикийн холбооны дарга), Эндрю Уайлс (математикч, эллипсийн муруйн арифметикийн чиглэлээр ажилладаг, 1994 онд Фермагийн теоремыг баталсан), Жон Нэш (тоглоомын онол, дифференциал геометрийн чиглэлээр ажилладаг математикч) нар иржээ. Принстонд түүнийг сонс.

Григорий Перелман долоон мянганы асуудлын нэгийг шийдэж чадсан Тэгээд математикийн аргаар тайлбарлах гэж нэрлэгддэг орчлон ертөнцийн томъёо , Пуанкаре таамаглалыг батлах. 100 гаруй жил оюун ухаантнууд энэ таамаглалтай тэмцэж байгаа бөгөөд үүний нотолгоо болохын тулд дэлхийн математикийн нийгэмлэг (Clay Mathematical Institute) 2010 оны 6-р сарын 8-нд 1 сая доллар амласан. Григорий Перелман гарч ирээгүй үүн дээр, мөн дэлхийн математикийн нийгэмлэг " Эрүү унав."

2006 онд математикч Пуанкаре таамаглалыг шийдсэнийхээ төлөө математикийн хамгийн дээд шагнал болох Филдсийн медалиар шагнагджээ. Жон Болл шагналыг нь авахыг ятгахын тулд Санкт-Петербургт биечлэн очсон байна. Тэрээр үүнийг хүлээн авахаас татгалзав: " Нийгэм миний ажлыг нухацтай үнэлж чадахгүй байх».

“Филдсийн медаль (болон медаль)-ийг олон улсын математикийн конгресс бүрээр 4 жилд нэг удаа математикийн хөгжилд жинтэй хувь нэмэр оруулсан залуу эрдэмтдэд (40 хүртэлх насны) олгодог. Хүлээн авагчдад одонгоос гадна 15 мянган канад доллар буюу 13 мянган ам.доллар олгодог.”

Анхны томъёололдоо Пуанкаре таамаглал нь "Хязгааргүй энгийн холбогдсон авсаархан гурван хэмжээст олон талт бүр гурван хэмжээст бөмбөрцөгт гомеоморф байдаг" гэж бичсэн байдаг. IN нийтлэг хэл рүү орчуулах, энэ нь ямар ч гурван хэмжээст объектыг, жишээлбэл, шилийг дангаар нь хэв гажилтаар бөмбөлөг болгон хувиргаж болно гэсэн үг юм, өөрөөр хэлбэл түүнийг зүсэх, наах шаардлагагүй болно. Өөрөөр хэлбэл, Пуанкаре ингэж таамаглаж байсан орон зай нь гурван хэмжээст биш боловч илүү олон тооны хэмжээсийг агуулдаг , Перелман 100 жилийн дараа математикийн хувьд үүнийг нотолсон .

Григорий Перелманы матери өөр төлөв, хэлбэрт хувиргах тухай Пуанкарегийн теоремыг илэрхийлсэн нь Анастасия Новыхын “Сэнсей IV” номонд өгүүлсэн мэдлэгтэй төстэй: “Үнэндээ бидний хувьд хязгааргүй энэ ертөнц хэдэн тэрбум удаа орон зайг эзэлдэг. хамгийн нимгэн эмнэлгийн зүүний үзүүрээс жижиг". Мөн зургаа дахь хэмжээсээс дээш (7-аас 72 хүртэлх) хяналтын хэмжигдэхүүнээс ажиглагчийн оруулсан өөрчлөлтөөр материаллаг ертөнцийг удирдах чадвар ("Эзоосмик сүлжээ" сэдвийг илтгэнэ).

Григорий Перелман амьдралынхаа даяанч зан, өөртөө болон бусдад тавих ёс зүйн шаардлагуудаараа ялгардаг байв. Түүнийг харахад хүн түүнийг шударга юм шиг санагдуулна биеэр амьдардаг бусад бүх үеийнхэнтэй ерөнхийдөө орон зай , А Сүнслэг байдлын хувьд өөр аргаар , хаана ч гэсэн 1 сая долларын төлөө тэд очдоггүй хамгийн "гэмгүй" ухамсраараа буулт хийдэг . Энэ ямар орон зай вэ, бүр нүднийхээ булангаар ч харж болох уу?..

Онцгой таамаглалын ач холбогдол, ойролцоогоор зуун жилийн өмнө математикч дэвшүүлсэн Пуанкаре, гурван хэмжээст бүтэцтэй холбоотой бөгөөд орчин үеийн судалгааны гол элемент юм орчлон ертөнцийн үндэс . Энэхүү оньсого нь Клэй Институтын мэргэжилтнүүдийн үзэж байгаагаар ирээдүйн математикийг хөгжүүлэх үндсэн долоон чухал оньсого юм.

Перелман медаль, шагналаас татгалзаж, "Яагаад надад хэрэгтэй байна вэ? Тэд надад огт хэрэггүй. Хэрэв нотлох баримт зөв бол өөр хүлээн зөвшөөрөх шаардлагагүй гэдгийг хүн бүр ойлгодог. Би хардлага төрүүлэх хүртлээ математикийн нийгэмлэг бүхэлдээ ёс суртахууны түвшин доогуур байсан тул задран унасан тухай чангаар ярих, эсвэл юу ч хэлэлгүй өөрийгөө үхэр шиг үзэхийг зөвшөөрөх гэсэн сонголттой байсан. Одоо би хардахаасаа илүү мал шиг байж, чимээгүй байж чадахгүй болохоор явахаас өөр аргагүй” гэж хэлсэн.

Орчин үеийн математикийн хичээлд орохын тулд түүнийг задалдаг, чиг баримжаа алдагдуулдаг, үнэ цэнийг орлуулдаг өчүүхэн ч хольцгүй цэвэр ариун сэтгэлтэй байх хэрэгтэй бөгөөд энэ шагналыг хүлээн авах нь сул дорой байдлаа харуулж байна гэсэн үг. Идэвхтэй эрдэмтэн зөвхөн шинжлэх ухааны чиглэлээр ажилладаг, өөр юу ч (эрх мэдэл, хөрөнгө) хамаагүй, тэр цэвэр оюун ухаантай байх ёстой бөгөөд Перелманы хувьд энэ идеалын дагуу амьдрахаас илүү чухал зүйл байхгүй. Олон саяар тоологдох энэ санаа бүхэлдээ математикт хэрэгтэй юу, жинхэнэ эрдэмтэнд ийм урамшуулал хэрэгтэй юу? Мөн энэ ертөнцийн бүх зүйлийг худалдан авч, захирагдах капиталын хүсэл нь доромжилсон хэрэг биш гэж үү? Эсвэл зарж болно чиний цэвэр ариун байдал саяын төлөө? Мөнгө хэчнээн их байсан ч тэнцдэг Сүнсний үнэн ? Эцсийн эцэст бид мөнгөтэй ямар ч хамааралгүй асуудлуудыг априори үнэлгээгээр шийдэж байна, тийм үү? Энэ бүхнээс лотто сая, бооцоо тавих гэх мэт зүйл хийх нь шинжлэх ухааны задралыг өөгшүүлэх гэсэн үг юм. бүхэл бүтэн хүний нийгэмлэг (Бүтээлч нийгмийг бий болгох замын тухай AllatRa номын тайлан болон сүүлийн 50 хуудсыг үзнэ үү). Мөн бизнесмэнүүдийн шинжлэх ухаанд өгөхөд бэлэн байгаа мөнгө (эрч хүч) -ийг ашиглах шаардлагатай бол түүнийг доромжлохгүйгээр зөв, эсвэл ямар нэгэн зүйл ашиглах ёстой. Жинхэнэ үйлчилгээний сүнс , та яаж ч харсан мөнгөн дүнгээр үнэлж баршгүй: " Харьцуулбал сая юу вэ? , цэвэр ариун, эсвэл агуу байдлаар тэдгээр бөмбөрцөг (дэлхийн ертөнц ба сүнслэг ертөнцийн хэмжээсүүдийн талаар "АллатРа" номыг үзнэ үү. болон тайлан ) , аль нь нэвтэрч чадахгүй хүн ч гэсэн төсөөлөл (оюун ухаан) ?! Цаг хугацааны хувьд сая одтой тэнгэр гэж юу вэ?!"

Таамаглалыг боловсруулахад үлдсэн нэр томъёоны тайлбарыг өгье.

- Топологи- (Грек хэлнээс topos - газар ба лого - заах) - дүрсүүдийн топологийн шинж чанарыг судалдаг математикийн салбар, өөрөөр хэлбэл. ямар ч хэв гажилтын үед өөрчлөгддөггүй шинж чанарууд нь завсарлага, наалтгүйгээр үйлдвэрлэсэн (илүү нарийвчлалтай, нэг ба тасралтгүй зураглалаар). Зургийн топологийн шинж чанаруудын жишээ бол хэмжээс, өгөгдсөн талбайг хязгаарлах муруйны тоо гэх мэт. Тиймээс тойрог, эллипс, дөрвөлжингийн тойм нь ижил топологийн шинж чанартай байдаг, учир нь эдгээр шугамууд нь дээр дурдсан аргаар бие биенээ хэлбэржүүлж болно; Үүний зэрэгцээ цагираг ба тойрог нь өөр өөр топологийн шинж чанартай байдаг: тойрог нь нэг контураар, бөгж нь хоёроор хязгаарлагддаг.

- Гомеоморфизм(Грек. ομοιο - ижил төстэй, μορφη - хэлбэр) - хоёр топологийн орон зайн хоорондох ганцаарчилсан захидал харилцаа бөгөөд энэ захидал харилцаагаар тодорхойлогдсон харилцан урвуу газрын зураг хоёулаа үргэлжилдэг. Эдгээр зураглалыг гомеоморф буюу топологийн зураглал, түүнчлэн гомеоморфизм гэж нэрлэдэг ба орон зайг ижил топологийн төрөлд хамааруулж, гомеоморф буюу топологийн эквивалент гэж нэрлэдэг.

- Ирмэггүй гурван хэмжээст олон талт. Энэ бол цэг бүр нь гурван хэмжээст бөмбөг хэлбэртэй хөрштэй байдаг геометрийн объект юм. 3-олон талтуудын жишээнд, нэгдүгээрт, R3-ээр тэмдэглэсэн гурван хэмжээст орон зайг бүхэлд нь, түүнчлэн R3 дахь нээлттэй цэгүүдийн багцыг, жишээлбэл, хатуу торус (пончик) дотоод хэсгийг багтаана. Хэрэв бид хаалттай хатуу торусыг авч үзвэл, i.e. түүний хилийн цэгүүдийг (torus-ийн гадаргуу) нэмнэ, дараа нь бид ирмэг бүхий олон талт хэсгийг авна - ирмэгийн цэгүүд нь бөмбөг хэлбэртэй хөршүүдтэй байдаггүй, харин зөвхөн хагас бөмбөг хэлбэртэй байдаг.

- Бүрэн торус (бүрэн торус)- хоёр хэмжээст диск ба тойрог D 2 * S 1-ийн үржвэртэй гомеоморф хэлбэртэй геометрийн бие. Албан бусаар хатуу торус нь гурилан бүтээгдэхүүн, харин торус нь зөвхөн түүний гадаргуу (дугуйны хөндий) юм.

- Зүгээр л холбогдсон. Энэ нь өгөгдсөн олон талт дотор бүхэлдээ байрлах аливаа тасралтгүй хаалттай муруйг энэ олон талт талбараас гарахгүйгээр цэг хүртэл жигд агшиж болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, R3 дахь энгийн хоёр хэмжээст бөмбөрцөгийг зүгээр л холбодог (алимны гадаргуу дээр ямар нэгэн байдлаар байрлуулсан резинийг алимнаас резинэн туузыг таслахгүйгээр нэг цэг хүртэл жигд татах боломжтой). Нөгөөтэйгүүр, тойрог ба торус нь зүгээр л холбогддоггүй.

- Компакт.Гомеоморф дүрсүүдийн аль нэг нь хязгаарлагдмал хэмжээтэй байвал олон талт авсаархан байна. Жишээ нь, шугам дээрх нээлттэй интервал (хэсгүүдийн төгсгөлөөс бусад бүх цэгүүд) нь хязгааргүй шугам хүртэл тасралтгүй үргэлжлэх боломжтой тул нягт биш юм. Гэхдээ хаалттай сегмент (төгсгөлүүдтэй) нь ирмэг бүхий авсаархан олон талт хэсэг юм: аливаа тасралтгүй хэв гажилтын хувьд төгсгөлүүд нь зарим тодорхой цэгүүд рүү явдаг бөгөөд бүх сегмент нь эдгээр цэгүүдийг холбосон хязгаарлагдмал муруй руу орох ёстой.

Илназ Башаров

Уран зохиол:

“ALLATRA” олон улсын нийгмийн хөдөлгөөний олон улсын эрдэмтдийн бүлгийн “PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS” тайлан, ред. Анастасия Новых, 2015;

Шинэ. A. “АллатРа”, К.: АллатРа, 2013.

Пуанкарегийн теорем бол "Орчлон ертөнц"-ийн математикийн томьёо юм. Григорий Перелман. 1-р хэсэг ("Шинжлэх ухаанд жинхэнэ хүн" цувралаас)

Оксфордын Их Сургуулийн Маркус Ду Саутой Пуанкарегийн теоремыг "болов математик, физикийн гол асуудал, ойлгох оролдлого ямар хэлбэрБайж магадгүй Орчлон ертөнц, түүнтэй ойртоход маш хэцүү байдаг."

Григорий Перелман долоо хоногт нэг удаа Принстон руу явж, ахисан түвшний судалгааны хүрээлэнгийн семинарт оролцдог байв. Семинар дээр Харвардын их сургуулийн математикчдын нэг Перелманы асуултад хариулав: "Геометржуулалтын таамаглал гэж нэрлэгддэг Уильям Турстоны (1946-2012, математикч, "Гурван хэмжээст геометр ба топологи" чиглэлээр ажилладаг) онол нь бүх зүйлийг тодорхойлдог. боломжтой гурван хэмжээст гадаргуу ба Пуанкаре таамаглалтай харьцуулахад урагшлах алхам юм. Хэрэв та Уильям Турстоны таамаглалыг нотлох юм бол Пуанкаре таамаглал танд бүх хаалгыг нээж өгөх болно. түүний шийдэл нь орчин үеийн шинжлэх ухааны топологийн ландшафтыг бүхэлд нь өөрчлөх болно».

Григорий Перелман долоон мянганы асуудлын нэгийг шийдэж чадсанТэгээд математикийн аргаар тайлбарлахгэж нэрлэгддэг орчлон ертөнцийн томъёо, Пуанкаре таамаглалыг батлах. 100 гаруй жил оюун ухаантнууд энэ таамаглалтай тэмцэж байгаа бөгөөд үүний нотолгоо болохын тулд дэлхийн математикийн нийгэмлэг (Clay Mathematical Institute) 2010 оны 6-р сарын 8-нд 1 сая доллар амласан. Григорий Перелман гарч ирээгүй үүн дээр, мөн дэлхийн математикийн нийгэмлэг " Эрүү унав."

2006 онд математикч Пуанкаре таамаглалыг шийдсэнийхээ төлөө математикийн дээд шагнал болох Филдсийн медалиар шагнагджээ. Жон Болл шагналыг нь авахыг ятгахын тулд Санкт-Петербургт биечлэн очсон байна. Тэрээр "Нийгэм миний ажлыг нухацтай үнэлэх боломжгүй" гэсэн үгээр үүнийг хүлээн авахаас татгалзав.

Анхны томъёололдоо Пуанкаре таамаглал нь "Хязгааргүй энгийн холбогдсон авсаархан гурван хэмжээст олон талт бүр гурван хэмжээст бөмбөрцөгт гомеоморф байдаг" гэж бичсэн байдаг. Нийтлэг хэл рүү хөрвүүлбэл ямар ч гурван хэмжээст объект, жишээлбэл, шилийг дангаар нь хэв гажилтаар бөмбөлөг болгон хувиргах боломжтой, өөрөөр хэлбэл зүсэх, наах шаардлагагүй болно гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл, Пуанкаре ингэж таамаглаж байсан орон зай нь гурван хэмжээст биш боловч илүү олон тооны хэмжээсийг агуулдаг, Перелман 100 жилийн дараа математикийн хувьд үүнийг нотолсон.

Григорий Перелманы матери өөр төлөв, хэлбэрт хувиргах тухай Пуанкарегийн теоремыг илэрхийлсэн нь Анастасия Новыхын “Сэнсей IV” номонд өгүүлсэн мэдлэгтэй төстэй: “Үнэндээ бидний хувьд хязгааргүй энэ ертөнц хэдэн тэрбум удаа орон зайг эзэлдэг. хамгийн нимгэн эмнэлгийн зүүний үзүүрээс жижиг". Мөн зургаа дахь хэмжээсээс дээш (7-аас 72-ыг багтаасан) Ажиглагчийн оруулсан өөрчлөлтөөр материаллаг орчлон ертөнцийг удирдах чадвар ("PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS" сэдэвт "Эзоосмик тор" илтгэл).

Григорий Перелман амьдралынхаа даяанч зан, өөртөө болон бусдад тавих ёс зүйн шаардлагуудаараа ялгардаг байв. Түүнийг харахад хүн түүнийг шударга юм шиг санагдуулна биеэр амьдардагбусад бүх үеийнхэнтэй ерөнхийдөө орон зай, А Сүнслэг байдлын хувьд өөр аргаар, хаана ч гэсэн 1 сая долларын төлөө тэд очдоггүйхамгийн "гэмгүй" ухамсраараа буулт хийдэг. Энэ ямар орон зай вэ, бүр нүднийхээ булангаар ч харж болох уу?..

Зууны өмнө математикч Пуанкаре дэвшүүлсэн таамаглалын онцгой ач холбогдол нь гурван хэмжээст бүтэцтэй холбоотой бөгөөд орчин үеийн судалгааны гол элемент юм. орчлон ертөнцийн үндэс. Энэхүү оньсого нь Клэй Институтын мэргэжилтнүүдийн үзэж байгаагаар ирээдүйн математикийг хөгжүүлэх үндсэн долоон чухал оньсого юм.

Орчин үеийн математикийн хичээлд орохын тулд түүнийг задалдаг, чиг баримжаа алдагдуулдаг, үнэ цэнийг орлуулдаг өчүүхэн ч хольцгүй цэвэр ариун сэтгэлтэй байх хэрэгтэй бөгөөд энэ шагналыг хүлээн авах нь сул дорой байдлаа харуулж байна гэсэн үг. Идэвхтэй эрдэмтэн зөвхөн шинжлэх ухааны чиглэлээр ажилладаг, өөр юу ч (эрх мэдэл, хөрөнгө) хамаагүй, тэр цэвэр оюун ухаантай байх ёстой бөгөөд Перелманы хувьд энэ идеалын дагуу амьдрахаас илүү чухал зүйл байхгүй. Энэ бүхэл бүтэн сая сая санаа нь математикт ашигтай юу, жинхэнэ эрдэмтэнд ийм урамшуулал хэрэгтэй юу? Мөн энэ ертөнцийн бүх зүйлийг худалдан авч, захирагдах капиталын хүсэл нь доромжилсон шинжтэй биш гэж үү? Эсвэл зарж болно чиний цэвэр ариун байдалсаяын төлөө? Мөнгө хэчнээн их байсан ч тэнцдэг Сүнсний үнэн? Эцсийн эцэст бид мөнгөтэй ямар ч хамааралгүй асуудлуудыг априори үнэлгээгээр шийдэж байна, тийм үү? Энэ бүхнээс лотто сая, бооцоо тавих гэх мэт зүйл хийх нь шинжлэх ухааны задралыг өөгшүүлэх гэсэн үг юм. бүхэл бүтэн хүний нийгэмлэг("ALLATRA-ийн ПРИМОДИУМ ФИЗИКС" илтгэл болон "АллатРа" номын сүүлийн 50 хуудаснаас бүтээлч нийгмийг байгуулах замын талаар үзнэ үү). Мөн бизнесмэнүүдийн шинжлэх ухаанд өгөхөд бэлэн байгаа мөнгө (эрч хүч) -ийг ашиглах шаардлагатай бол түүнийг доромжлохгүйгээр зөв, эсвэл ямар нэгэн зүйл ашиглах ёстой. Жинхэнэ үйлчилгээний сүнс, та яаж ч харсан мөнгөн дүнгээр үнэлж баршгүй: " Харьцуулбал сая юу вэ?, цэвэр ариун, эсвэл агуу байдлаар тэдгээр бөмбөрцөгүүд (дэлхийн ертөнц ба Сүнслэг ертөнцийн хэмжээсийн талаар номыг үзнэ үү"АллатРа" болон тайлан"PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS"), үүнд нэвтэрч чадахгүйхүн ч гэсэн төсөөлөл (оюун ухаан)?! Цаг хугацааны хувьд сая одтой тэнгэр гэж юу вэ?!"

Таамаглалыг боловсруулахад үлдсэн нэр томъёоны тайлбарыг өгье.

Топологи - (Грек хэлнээс topos - газар ба лого - заах) - дүрсүүдийн топологийн шинж чанарыг судалдаг математикийн салбар, өөрөөр хэлбэл. ямар ч хэв гажилтын үед өөрчлөгддөггүй шинж чанарууд нь завсарлага, наалтгүйгээр үйлдвэрлэсэн (илүү нарийвчлалтай, нэг ба тасралтгүй зураглалаар). Зургийн топологийн шинж чанаруудын жишээ бол хэмжээс, өгөгдсөн талбайг хязгаарлах муруйны тоо гэх мэт. Тиймээс тойрог, эллипс, дөрвөлжингийн контур нь ижил топологийн шинж чанартай байдаг, учир нь эдгээр шугамууд нь дээр дурдсан аргаар бие биенээ хэлбэржүүлж болно; Үүний зэрэгцээ цагираг ба тойрог нь өөр өөр топологийн шинж чанартай байдаг: тойрог нь нэг контураар, бөгж нь хоёроор хязгаарлагддаг.

Гомеоморфизм (Грек. ομοιο - ижил төстэй, μορφη - хэлбэр) нь хоёр топологийн орон зайн хоорондох нэгээс нэг харгалзах явдал бөгөөд энэ захидал харилцаагаар тодорхойлогдсон харилцан урвуу зураг хоёулаа үргэлжилдэг. Эдгээр зураглалыг гомеоморф буюу топологийн зураглал, түүнчлэн гомеоморфизм гэж нэрлэдэг ба орон зайг ижил топологийн төрөлд хамааруулж, гомеоморф буюу топологийн эквивалент гэж нэрлэдэг.

Ирмэггүй гурван хэмжээст олон талт. Энэ бол цэг бүр нь гурван хэмжээст бөмбөг хэлбэртэй хөрштэй байдаг геометрийн объект юм. 3-олон талтуудын жишээнд, нэгдүгээрт, R3-ээр тэмдэглэсэн гурван хэмжээст орон зайг бүхэлд нь, түүнчлэн R3 дахь нээлттэй цэгүүдийн багцыг, жишээлбэл, хатуу торус (пончик) дотоод хэсгийг багтаана. Хэрэв бид хаалттай хатуу торусыг авч үзвэл, i.e. түүний хилийн цэгүүдийг (torus-ийн гадаргуу) нэмнэ, дараа нь бид ирмэг бүхий олон талт хэсгийг авна - ирмэгийн цэгүүд нь бөмбөг хэлбэртэй хөршүүдтэй байдаггүй, харин зөвхөн хагас бөмбөг хэлбэртэй байдаг.

Хатуу торус (хатуу торус) нь хоёр хэмжээст диск ба D2 * S1 тойргийн үржвэрийн геометрийн гомеоморф бие юм. Албан бусаар хатуу торус нь гурилан бүтээгдэхүүн, харин торус нь зөвхөн түүний гадаргуу (дугуйны хөндий) юм.

Зүгээр л холбогдсон. Энэ нь өгөгдсөн олон талт дотор бүхэлдээ байрлах аливаа тасралтгүй хаалттай муруйг энэ олон талт талбараас гарахгүйгээр цэг хүртэл жигд агшиж болно гэсэн үг юм. Жишээлбэл, R3 дахь энгийн хоёр хэмжээст бөмбөрцөгийг зүгээр л холбодог (алимны гадаргуу дээр ямар нэгэн байдлаар байрлуулсан резинийг алимнаас резинэн туузыг таслахгүйгээр нэг цэг хүртэл жигд татах боломжтой). Нөгөөтэйгүүр, тойрог ба торус нь зүгээр л холбогддоггүй.

Компакт. Гомеоморф дүрсүүдийн аль нэг нь хязгаарлагдмал хэмжээтэй байвал олон талт авсаархан байна. Жишээ нь, шугам дээрх нээлттэй интервал (хэсгүүдийн төгсгөлөөс бусад бүх цэгүүд) нь хязгааргүй шугам хүртэл тасралтгүй үргэлжлэх боломжтой тул нягт биш юм. Гэхдээ хаалттай сегмент (төгсгөлүүдтэй) нь ирмэг бүхий авсаархан олон талт хэсэг юм: аливаа тасралтгүй хэв гажилтын хувьд төгсгөлүүд нь зарим тодорхой цэгүүд рүү явдаг бөгөөд бүх сегмент нь эдгээр цэгүүдийг холбосон хязгаарлагдмал муруй руу орох ёстой.

Үргэлжлүүлэхээр...

Илназ Башаров

Уран зохиол:

– “ALLATRA” олон улсын нийгмийн хөдөлгөөний олон улсын эрдэмтдийн бүлгийн “PRIMODIUM ALLATRA PHYSICS” илтгэл, ред. Анастасия Новых, 2015 http://allatra-science.org/pub... ;

-Шинэ. A. "AllatRa", K.: AllatRa, 2013. http://schambala.com.ua/book/a... .

-Шинэ. А., “Sensei-IV”, К.: LOTOS, 2013, 632 х. http://schambala.com.ua/book/s...

– Сергей Дужин, физик, математикийн ухааны доктор. Шинжлэх ухаан, Оросын ШУА-ийн Математикийн хүрээлэнгийн Санкт-Петербург дахь салбарын ахлах эрдэм шинжилгээний ажилтан