Олон гишүүнтийн зэрэг ба олон гишүүнтийн стандарт хэлбэр. Олон гишүүнт гэдэг үгийн утга

- олон гишүүнт. Энэ нийтлэлд бид олон гишүүнтийн талаархи анхны болон шаардлагатай бүх мэдээллийг тоймлох болно. Үүнд, нэгдүгээрт, олон гишүүнтийн нэр томъёоны тодорхойлолт, тухайлбал чөлөөт нэр томьёо болон ижил төстэй нэр томъёоны дагалддаг олон гишүүнтийн тодорхойлолт орно. Хоёрдугаарт, стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтүүд дээр анхаарлаа хандуулж, холбогдох тодорхойлолтыг өгч, тэдгээрийн жишээг өгье. Эцэст нь бид олон гишүүнтийн зэргийн тодорхойлолтыг танилцуулж, түүнийг хэрхэн олох, олон гишүүнтийн нөхцлийн коэффициентүүдийн талаар ярих болно.

Хуудасны навигаци.

Олон гишүүнт ба түүний нэр томъёо - тодорхойлолт ба жишээ

7-р ангид олон гишүүнтийг мономиалуудын дараа шууд судалдаг тул энэ нь ойлгомжтой олон гишүүнт тодорхойлолтмономиалаар өгөгддөг. Олон гишүүнт гэж юу болохыг тайлбарлахын тулд энэ тодорхойлолтыг өгье.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнтмономиалуудын нийлбэр; Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтийн онцгой тохиолдол гэж үздэг.

Бичсэн тодорхойлолт нь олон гишүүнтийн жишээг хүссэнээрээ өгөх боломжийг олгодог. 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0.6 x (−2) y 12 гэх мэт мономиалуудын аль нэг нь. олон гишүүнт юм. Мөн тодорхойлолтоор 1+x, a 2 +b 2 ба олон гишүүнт юм.

Олон гишүүнтийг тайлбарлахад хялбар болгох үүднээс олон гишүүнт нэр томъёоны тодорхойлолтыг оруулсан болно.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнт нэр томъёоолон гишүүнт бүрдүүлэгч мономиалууд юм.

Жишээлбэл, 3 x 4 −2 x y+3−y 3 олон гишүүнт нь 3 x 4 , −2 x y , 3 ба −y 3 гэсэн дөрвөн гишүүнээс бүрдэнэ. Нэг гишүүнийг нэг гишүүнээс бүрдсэн олон гишүүнт гэж үзнэ.

Тодорхойлолт.

Хоёр ба гурван гишүүнээс бүрдэх олон гишүүнтүүд тусгай нэртэй байдаг - биномТэгээд гурвалсантус тус.

Тэгэхээр x+y нь хоёр гишүүн, 2 x 3 q−q x x x+7 b нь гурвалсан тоо юм.

Сургууль дээр бид ихэвчлэн хамтран ажиллах шаардлагатай болдог шугаман бином a x+b , энд a ба b нь зарим тоонууд, x нь хувьсагч, түүнчлэн c квадрат гурвалжин a·x 2 +b·x+c, энд a, b, c нь зарим тоо, x нь хувьсагч юм. Шугаман хоёр гишүүний жишээ энд байна: x+1, x 7,2−4, мөн дөрвөлжин гурвалсан тоонуудын жишээ энд байна: x 2 +3 x−5 ба .

Тэмдэглэгээнд олон гишүүнт ижил нэр томъёотой байж болно. Жишээ нь: 1+5 x−3+y+2 x олон гишүүнт 1 ба −3, мөн 5 x ба 2 x гэсэн ижил төстэй гишүүд байна. Тэд өөрсдийн гэсэн тусгай нэртэй байдаг - олон гишүүнтийн ижил төстэй нэр томъёо.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнтийн ижил төстэй нэр томъёоолон гишүүнт ижил төстэй нэр томъёог нэрлэдэг.

Өмнөх жишээнд 1 ба −3, түүнчлэн 5 x ба 2 x хос нь олон гишүүнтийн ижил төстэй гишүүд юм. Ижил нэр томьёотой олон гишүүнтүүдийн хэлбэрийг хялбарчлахын тулд ижил төстэй нэр томъёог багасгаж болно.

Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт

Олон гишүүнтийн хувьд, мономитын хувьд стандарт хэлбэр гэж нэрлэгддэг хэлбэр байдаг. Холбогдох тодорхойлолтыг хэлье.

Энэ тодорхойлолт дээр үндэслэн бид стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтүүдийн жишээг өгч болно. Тэгэхээр 3 x 2 −x y+1 олон гишүүнт ба стандарт хэлбэрээр бичсэн. Мөн 5+3 x 2 −x 2 +2 x z ба x+x y 3 x x z 2 +3 z илэрхийлэл нь стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт биш, учир нь тэдгээрийн эхнийх нь 3 x 2 ба −x 2 ижил төстэй нэр томьёо агуулж байна. хоёр дахь нь - мономиаль x·y 3 ·x·z 2 , хэлбэр нь стандартаас ялгаатай.

Шаардлагатай бол олон гишүүнтийг стандарт хэлбэр болгон бууруулж болно гэдгийг анхаарна уу.

Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнттэй холбоотой өөр нэг ойлголт бол олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүний тухай ойлголт юм.

Тодорхойлолт.

Олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүнүсгийн хэсэггүй стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн гишүүн юм.

Өөрөөр хэлбэл стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт тоо агуулсан байвал түүнийг чөлөөт гишүүн гэнэ. Жишээ нь: 5 нь x 2 z+5 олон гишүүнтийн чөлөөт гишүүн боловч 7 a+4 a b+b 3 олон гишүүнт чөлөөт гишүүн байхгүй.

Олон гишүүнтийн зэрэг - үүнийг хэрхэн олох вэ?

Холбогдох өөр нэг чухал тодорхойлолт бол олон гишүүнтийн зэрэглэлийн тодорхойлолт юм. Нэгдүгээрт, бид стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэрэглэлийг тодорхойлдог;

Тодорхойлолт.

Стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэрэгнь түүний тэмдэглэгээнд орсон мономиалуудын хамгийн том хүч юм.

Жишээ хэлье. 5 x 3 −4 олон гишүүнтийн зэрэг нь 3-тай тэнцүү, үүнд багтсан 5 x 3 ба −4 мономиалууд нь 3 ба 0 зэрэгтэй тул эдгээр тоонуудын хамгийн том нь 3 буюу олон гишүүнтийн зэрэг болно. тодорхойлолтоор. Мөн олон гишүүнтийн зэрэг 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5 ба 1 тоонуудын хамгийн том нь 5-тай тэнцүү.

Одоо дурын хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэргийг хэрхэн олохыг олж мэдье.

Тодорхойлолт.

Дурын хэлбэрийн олон гишүүнтийн зэрэгстандарт хэлбэрийн харгалзах олон гишүүнтийн зэрэг гэж нэрлэнэ.

Тиймээс, хэрэв олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрээр бичээгүй бөгөөд та түүний зэрэглэлийг олох шаардлагатай бол анхны олон гишүүнтийг стандарт хэлбэр болгон бууруулж, үүссэн олон гишүүнтийн зэргийг олох хэрэгтэй - энэ нь шаардлагатай болно. Шийдлийн жишээг авч үзье.

Жишээ.

Олон гишүүнтийн зэргийг ол 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Шийдэл.

Эхлээд та олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрээр илэрхийлэх хэрэгтэй.
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Стандарт хэлбэрийн үр дүнд бий болсон олон гишүүнтэд −2·a 2 ·b 2 ·c 2 ба y 2 ·z 2 хоёр мономиал орно. Тэдний хүчийг олцгооё: 2+2+2=6 ба 2+2=4. Мэдээжийн хэрэг, эдгээр хүчнүүдийн хамгийн том нь 6 бөгөөд энэ нь тодорхойлолтоор стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн хүч юм. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, улмаар анхны олон гишүүнтийн зэрэг., 2 x−0.5 x y+3 x+7 олон гишүүнтийн 3 х ба 7 .

Лавлагаа.

• Алгебр:сурах бичиг 7-р ангийн хувьд ерөнхий боловсрол байгууллагууд / [Ю. Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; засварласан С.А.Теляковский. - 17 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2008. - 240 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Мордкович А.Г.Алгебр. 7-р анги. 2 цагийн дотор 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн сурагчдад зориулсан сурах бичиг / A. G. Mordkovich. - 17 дахь хэвлэл, нэмэх. - М.: Mnemosyne, 2013. - 175 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Алгебрболон математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; засварласан A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010.- 368 х. : өвчтэй. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г.Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага): Proc. тэтгэмж.- М.; Илүү өндөр сургууль, 1984.-351 х., өвчтэй.

олон гишүүнт, хэлбэрийн илэрхийлэл

Axkyl┘..wm + Bxnyp┘..wq + ┘┘ + Dxrts┘..wt,

Энд x, y, ..., w ≈ хувьсагч, мөн A, B, ..., D (M коэффициент) ба k, l, ..., t (дэлгэц ≈ сөрөг бус бүхэл тоо) ≈ тогтмолууд. Ахкил┘..wm хэлбэрийн бие даасан нөхцлүүдийг М-ийн нөхцөл гэнэ.Нэр томъёоны дараалал, түүнчлэн гишүүн бүрийн хүчин зүйлсийн дарааллыг дур зоргоороо өөрчилж болно; үүнтэй адилаар та тэг коэффициенттэй нэр томъёог оруулах эсвэл орхих боломжтой бөгөөд тус бүрдээ ≈ хүчин чадал нь тэг коэффициенттэй байна. Бүтэц нэг, хоёр, гурван гишүүнтэй бол түүнийг мономиаль, хоёр гишүүн, гурвалсан гэж нэрлэдэг. Ижил хувьсагчийн илтгэгч нь хосоороо тэнцүү байвал тэгшитгэлийн хоёр гишүүнийг ижил төстэй гэж нэрлэдэг. Ижил төстэй гишүүд

A"хkyl┘..wm, B"xkyl┘..wm, ┘.., D"xkyl┘..wm

нэгээр сольж болно (ижил төстэй нэр томъёо авчирч). Хэрэв ижил төстэй загваруудыг бууруулсны дараа тэг биш коэффициент бүхий бүх нэр томъёо нь хосоороо ижил (гэхдээ өөр дарааллаар бичигдсэн байж магадгүй), мөн эдгээр загваруудын бүх коэффициентүүд тэнцүү бол хоёр загварыг тэнцүү гэж нэрлэдэг. тэг. Сүүлчийн тохиолдолд хэмжигдэхүүнийг ижил тэг гэж нэрлэх ба 0 тэмдгээр тэмдэглэнэ. Нэг x хувьсагчийн хэмжигдэхүүнийг үргэлж хэлбэрээр бичиж болно.

P(x) = a0xn+ a1xn-1 + ... + an-1x+ an,

Үүнд: a0, a1,..., an ≈ коэффициентүүд.

Загварын аль нэг гишүүний илтгэгчийн нийлбэрийг тухайн гишүүний зэрэг гэнэ. Хэрэв M нь тэг биш бол тэгээс өөр коэффициенттэй нөхцлүүдийн дунд (ийм бүх нэр томъёог өгсөн гэж үздэг) нэг буюу хэд хэдэн хамгийн дээд зэрэгтэй байна; энэ хамгийн их зэргийг M-ийн зэрэг гэнэ. Ижил тэг нь зэрэггүй. Тэг градусын M. нь нэг гишүүн А (тогтмол, тэгтэй тэнцүү биш) болж буурдаг. Жишээ нь: xyz + x + y + z нь гуравдугаар зэргийн олон гишүүнт, 2x + y ≈ z + 1 нь нэгдүгээр зэргийн олон гишүүнт (шугаман M), 5x2 ≈ 2x2 ≈ 3x2 нь тэгтэй ижил тул зэрэггүй байна. . Бүх гишүүд нь ижил зэрэгтэй загварыг нэгэн төрлийн загвар буюу хэлбэр гэж нэрлэдэг; Эхний, хоёр, гуравдугаар зэргийн хэлбэрүүдийг шугаман, квадрат, куб гэж нэрлэдэг бөгөөд хувьсагчийн тоогоор (хоёр, гурав) хоёртын (хоёртын), гурвалсан (гурвалсан) (жишээлбэл, x2 + y2 + z2 ≈ xy ≈) yz ≈ xz нь гурвалсан квадрат хэлбэр юм).

Математикийн коэффициентүүдийн хувьд тэдгээрийг тодорхой талбарт (Алгебрийн талбарыг үзнэ үү), жишээлбэл, оновчтой, бодит эсвэл нийлмэл тооны талбарт хамаардаг гэж үздэг. Солих, хослуулах, хуваарилах хуулиуд дээр үндэслэсэн загвар дээр нэмэх, хасах, үржүүлэх үйлдлүүдийг хийснээр тухайн талбарын коэффициент бүхий бүх загваруудын багц нь цагираг үүсгэдэг (Алгебр цагираг) ≈ өгөгдсөн талбар дээрх олон гишүүнтийн цагираг; Энэ цагираг нь тэг хуваагчгүй, өөрөөр хэлбэл 0-тэй тэнцүү биш тооны үржвэр нь 0-ийг өгч чадахгүй.

Хэрэв P(x) ба Q(x) хоёр олон гишүүнт P = QR байх олон гишүүнт R(x) олох боломжтой бол P нь Q-д хуваагддаг гэж; Q-г хуваагч, R ≈ хуваагч гэж нэрлэдэг. Хэрэв P нь Q-д хуваагдахгүй бол P = QR + S, S(x) -ийн зэрэг нь Q(x) -ийн зэргээс бага байх P(x) ба S(x) олон гишүүнтүүдийг олж болно.

Энэ үйлдлийг дахин давтан хийснээр P ба Q-ийн хамгийн том нийтлэг хуваагчийг, өөрөөр хэлбэл эдгээр олон гишүүнтүүдийн аль ч нийтлэг хуваагчаар хуваагдах P ба Q хуваагчийг олох боломжтой (Евклидийн алгоритмыг үзнэ үү). Өгөгдсөн талбайн коэффициент бүхий бага зэрэгтэй матрицын үржвэрээр дүрсэлж болох матрицыг бууруулж болох (өгөгдсөн талбарт), эс тэгвээс үүнийг бууруулж болохгүй гэж нэрлэдэг. Бүхэл тооны онолын анхны тоотой төстэй тоонуудын цагирагт үл буурах тоо нь үүрэг гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, теорем үнэн: хэрэв PQ үржвэр нь R-д хуваагддаггүй, харин P нь R-д хуваагддаггүй бол Q нь R-д хуваагдах ёстой. Тэгээс их M градус бүрийг задлах боломжтой. өгөгдсөн талбарыг өвөрмөц аргаар бууруулж болохгүй хүчин зүйлийн үржвэр болгон (тэг градусын хүчин зүйл хүртэл). Жишээлбэл, рационал тоонуудын талбарт бууруулж болохгүй олон гишүүнт x4 + 1 нь хүчин зүйлчлэгдсэн байдаг.

бодит тооны талбарт болон дөрвөн хүчин зүйлээр ═комплекс тооны талбарт. Ер нь нэг х хувьсагчийн загвар бүрийг бодит тооны талбарт нэг ба хоёрдугаар зэргийн хүчин зүйл, цогцолбор тооны талбарт нэгдүгээр зэргийн хүчин зүйл (алгебрийн үндсэн теорем) болгон задалдаг. Хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчийн хувьд үүнийг хэлэх боломжгүй; жишээ нь x3 + yz2 + z3 олон гишүүнт аль ч тооны талбарт буурах боломжгүй.

Хэрэв x, y, ..., w хувьсагчдад тодорхой тоон утгууд (жишээлбэл, бодит эсвэл төвөгтэй) өгөгдсөн бол M нь мөн тодорхой тоон утгыг хүлээн авна. Үүнээс үзэхэд загвар бүрийг харгалзах хувьсагчдын функц гэж үзэж болно. Энэ функц нь тасралтгүй бөгөөд хувьсагчийн аль ч утгын хувьд ялгах боломжтой; Үүнийг бүхэл бүтэн оновчтой функц, өөрөөр хэлбэл тодорхой дарааллаар гүйцэтгэсэн нэмэх, хасах, үржүүлэх замаар хувьсагч ба зарим тогтмол (коэффициент) -ээс олж авсан функц гэж тодорхойлж болно. Бүх рационал функцууд нь илүү өргөн хүрээний рационал функцүүдийн ангилалд багтдаг бөгөөд жагсаасан үйлдлүүд дээр хуваах нь нэмэгддэг: дурын рационал функцийг хоёр M-ийн категори хэлбэрээр илэрхийлж болно. Эцэст нь, рационал функцууд нь алгебрийн функцүүдийн ангилалд багтдаг.

Математикийн хамгийн чухал шинж чанаруудын нэг нь аливаа тасралтгүй функцийг математикийн дурын жижиг алдаагаар сольж болдог (Вейерштрассын теорем; түүний яг томьёолол нь өгөгдсөн функц нь зарим хязгаарлагдмал, хаалттай олонлог цэгүүд дээр, жишээлбэл, дээр) тасралтгүй байхыг шаарддаг. бодит шугамын хэсэг). Математикийн шинжилгээгээр нотлогдсон энэхүү баримт нь байгалийн шинжлэх ухаан, технологийн аль ч асуудалд судлагдсан хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг ойролцоогоор математик хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог. Ийм илэрхийлэлийн аргуудыг математикийн тусгай хэсгүүдэд судалдаг (Функцуудын ойролцоолсон болон интерполяци, Хамгийн бага квадратын аргыг үзнэ үү).

Энгийн алгебрийн хувьд олон гишүүнтийг заримдаа алгебрийн илэрхийлэл гэж нэрлэдэг бөгөөд хамгийн сүүлийн үйлдэл нь нэмэх эсвэл хасах үйлдэл юм.

Гэрэл. : Курош А.Г., Дээд алгебрийн курс, 9-р хэвлэл, М., 1968; Мишина А.П., Проскуряков И.В., Дээд алгебр, 2-р хэвлэл, М., 1965.

Тодорхойлолтоор олон гишүүнт гэдэг нь мономиалуудын нийлбэрийг илэрхийлсэн алгебрийн илэрхийлэл юм.

Жишээ нь: 2*a^2 + 4*a*x^7 - 3*a*b^3 + 4; 6 + 4*b^3 нь олон гишүүнт бөгөөд z/(x - x*y^2 + 4) илэрхийлэл нь нэг гишүүнтийн нийлбэр биш учраас олон гишүүнт биш юм. Олон гишүүнтийг заримдаа олон гишүүнт гэж нэрлэдэг ба олон гишүүнтийн нэг хэсэг болох мономиалууд нь олон гишүүнт эсвэл нэг гишүүнтийн гишүүд байдаг.

Олон гишүүнтийн цогц ойлголт

Хэрэв олон гишүүнт хоёр гишүүнээс тогтвол түүнийг хоёр гишүүн гэж нэрлэнэ. Дөрвөн гишүүн, таван гишүүн болон бусад нэрсийг ашигладаггүй бөгөөд ийм тохиолдолд тэд зүгээр л олон гишүүнт гэж хэлдэг. Ийм нэр томъёо нь нэр томъёоны тооноос хамааран бүх зүйлийг байранд нь тавьдаг.

Мөн мономиал гэдэг нэр томъёо нь зөн совинтой болдог. Математикийн үүднээс авч үзвэл мономиал нь олон гишүүнтийн онцгой тохиолдол юм. Нэг гишүүнчлэлээс бүрдэх олон гишүүнтийг мономиал гэнэ.

Мономитийн нэгэн адил олон гишүүнт өөрийн гэсэн стандарт хэлбэртэй байдаг. Олон гишүүнтийн стандарт хэлбэр нь олон гишүүнтийн тэмдэглэгээ бөгөөд үүнд гишүүн нэр томъёонд орсон бүх нэг гишүүнийг стандарт хэлбэрээр бичиж, ижил төстэй нэр томъёог өгдөг.

Олон гишүүнтийн стандарт хэлбэр

Олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулах журам нь нэг гишүүнт бүрийг стандарт хэлбэр болгон бууруулж, дараа нь ижил төстэй бүх мономиалуудыг нэгтгэх явдал юм. Олон гишүүнт ижил төстэй гишүүнийг нэмэхийг ижил төстэй гишүүний бууралт гэнэ.
Жишээ нь, 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b олон гишүүнт ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя.

4*a*b^2*c^3 ба 6*a*b^2*c^3 гэсэн нэр томъёо энд төстэй байна. Эдгээр нөхцлийн нийлбэр нь мономиал 10*a*b^2*c^3 болно. Тиймээс анхны олон гишүүнт 4*a*b^2*c^3 + 6*a*b^2*c^3 - a*b-ийг 10*a*b^2*c^3 - a* гэж дахин бичиж болно. б . Энэ оруулга нь олон гишүүнтийн стандарт хэлбэр байх болно.

Аливаа мономийг стандарт хэлбэрт оруулж болно гэдгээс үзэхэд аливаа олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулж болно гэсэн үг.

Олон гишүүнтийг стандарт хэлбэрт оруулахад олон гишүүнтийн зэрэг гэх мэт ойлголтын талаар ярьж болно. Олон гишүүнтийн зэрэг нь тухайн олон гишүүнт багтсан нэг гишүүнтийн хамгийн дээд зэрэг юм.
Жишээлбэл, 1 + 4*x^3 - 5*x^3*y^2 нь тавдугаар зэрэглэлийн олон гишүүнт юм, учир нь олон гишүүнт нэг гишүүний хамгийн их зэрэг (5*x^3*y^) орсон байдаг. 2) тав дахь.

Эсвэл хатуугаар хэлбэл энэ нь хэлбэрийн төгсгөлтэй албан ёсны нийлбэр юм

Ялангуяа нэг хувьсагчийн олон гишүүнт хэлбэр нь эцсийн албан ёсны нийлбэр юм

Олон гишүүнтийг ашигласнаар "алгебрийн тэгшитгэл", "алгебрийн функц" гэсэн ойлголтуудыг гаргаж авдаг.

Суралцах, хэрэглэх[ | ]

Олон гишүүнт тэгшитгэл ба тэдгээрийн шийдлийг судлах нь "сонгодог алгебр"-ийн гол объект байсан байж магадгүй юм.

Математикийн хэд хэдэн өөрчлөлтүүд нь олон гишүүнтийг судлахтай холбоотой: тэг, сөрөг, дараа нь нийлмэл тоонуудыг авч үзэх, түүнчлэн бүлгийн онолыг математикийн салбар болгон бий болгох, тусгай функцийн ангиудыг тодорхойлох. шинжилгээнд.

Илүү төвөгтэй функцүүдийн ангилалтай харьцуулахад олон гишүүнттэй холбоотой тооцооллын техникийн энгийн байдал, түүнчлэн олон гишүүнтүүдийн багц нь Евклидийн орон зайн авсаархан дэд олонлогууд дээр тасралтгүй функцуудын орон зайд нягт байдаг (Вейерштрассын ойролцоо теоремыг үзнэ үү) нь хувь нэмэр оруулсан. Математик шинжилгээнд цуваа тэлэх ба олон гишүүнт тэлэлтийн аргуудыг хөгжүүлэх.

Олон гишүүнтүүд нь мөн олон гишүүнтийн системийн шийдэл гэж тодорхойлсон олонлогууд болох алгебрийн геометрт гол үүрэг гүйцэтгэдэг.

Олон гишүүнтийг үржүүлэхэд коэффициентийг хувиргах тусгай шинж чанарыг алгебрийн геометр, алгебр, зангилааны онол болон математикийн бусад салбаруудад олон гишүүнт дэх янз бүрийн объектын шинж чанарыг кодлох эсвэл илэрхийлэхэд ашигладаг.

Холбогдох тодорхойлолтууд[ | ]

• Маягтын олон гишүүнт c x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle cx_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_(n)))дуудсан мономиалэсвэл мономиалолон индекс I = (i 1 , … , i n) (\displaystyle I=(i_(1),\цэг,\,i_(n))).
• Олон индекст тохирсон мономиал I = (0 , … , 0) (\displaystyle I=(0,\dots,\,0))дуудсан чөлөөт гишүүн.
• Бүрэн зэрэгтэй(тэг биш) мономиал c I x 1 i 1 x 2 i 2 ⋯ x n i n (\displaystyle c_(I)x_(1)^(i_(1))x_(2)^(i_(2))\cdots x_(n)^(i_) (n)))бүхэл тоо гэж нэрлэдэг |.
• би | = i 1 + i 2 + ⋯ + i n (\displaystyle |I|=i_(1)+i_(2)+\цэг +i_(n))Олон тооны индексүүд I, тэдгээрийн хувьд коэффициентүүд c I (\displaystyle c_(I))тэг биш, гэж нэрлэдэг олон гишүүнтийн тээвэрлэгч.
• , түүний гүдгэр их бие ньНьютоны олон өнцөгт Полином зэрэг.
• түүний мономиалуудын чадлын дээд хэмжээ гэж нэрлэдэг. Ижил тэгийн зэрэг нь цаашид утгаараа тодорхойлогдоно − ∞ (\displaystyle -\infty)эсвэл Хоёр мономитын нийлбэр болох олон гишүүнтийг нэрлэдэг,
• бином бином.
• Гурван мономитын нийлбэр болох олон гишүүнтийг гэнэ гурвалсанОлон гишүүнтийн коэффициентийг ихэвчлэн тодорхой нэг шилжих цагирагаас авдаг гурвалсан R (\displaystyle R) (ихэнхдээ талбарууд, жишээлбэл, бодит эсвэл нийлмэл тооны талбарууд). Энэ тохиолдолд нэмэх ба үржүүлэх үйлдлүүдийн хувьд олон гишүүнтүүд нь цагираг үүсгэдэг (түүнээс гадна цагираг дээрх ассоциатив-коммутатив алгебр)
• тэг хуваагчгүй) гэж тэмдэглэсэн байна R [ x 1 , x 2 , … , x n ] .(\ displaystyle R.) Олон гишүүнтийн хувьд p (x) (\displaystyle p(x))

нэг хувьсагч, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх[ | ]

p (x) = 0 (\displaystyle p(x)=0) түүний үндэс гэж нэрлэдэг.Олон гишүүнт функцууд гурвалсанБолъё A (\displaystyle A)цагираг дээр алгебр байдаг

p (x) ∈ R [ x 1 , x 2 , … , x n ] (\displaystyle p(x)\in R) олон гишүүнт функцийг тодорхойлно.

p R: A → A (\displaystyle p_(R):A\to A) гурвалсанХамгийн их авч үздэг тохиолдол бол A = R (\displaystyle A=R)тохиолдолд бодит буюу нийлмэл тоонуудын талбар (мөн хязгааргүй тооны элемент бүхий бусад талбарууд) функц юм.Тэгээд f p: R n → R (\displaystyle f_(p):R^(n)\to R)олон гишүүнт p-г бүрэн тодорхойлно. Гэсэн хэдий ч ерөнхийдөө энэ нь үнэн биш юм, жишээлбэл: олон гишүүнт p 1 (x) ≡ x (\displaystyle p_(1)(x)\equiv x) p 2 (x) ≡ x 2 (\displaystyle p_(2)(x)\эквив x^(2)) -аас.

Нэг бодит хувьсагчийн олон гишүүнт функцийг бүхэл бүтэн рационал функц гэнэ.

Олон гишүүнтийн төрлүүд[ | ]

Үл хөдлөх хөрөнгө [ | ]

Хуваагдах чадвар [ | ]

Олон гишүүнт цагираг дахь бууруулж болохгүй олон гишүүнтүүдийн үүрэг нь бүхэл тоонуудын цагираг дахь анхны тоонуудын үүрэгтэй төстэй. Жишээлбэл, теорем үнэн: хэрэв олон гишүүнтийн үржвэр бол p q (\displaystyle pq)нь бууруулж болохгүй олон гишүүнт хуваагддаг бол хэсвэл qхуваасан λ (\displaystyle \lambda). Тэгээс их олон гишүүнт бүрийг тухайн талбарт өвөрмөц аргаар (тэг градусын хүчин зүйл хүртэл) бууруулж болохгүй хүчин зүйлийн үржвэр болгон задалж болно.

Жишээлбэл, олон гишүүнт x 4 − 2 (\displaystyle x^(4)-2), рационал тооны талбарт бууруулж болохгүй, бодит тооны талбарт гурван хүчин зүйл, цогцолбор тооны талбарт дөрвөн хүчин зүйлд задардаг.

Ерөнхийдөө олон гишүүнт бүр нэг хувьсагчтай x (\displaystyle x)бодит тооны талбарт нэг ба хоёрдугаар зэргийн хүчин зүйлд, нийлмэл тооны талбарт нэгдүгээр зэргийн хүчин зүйлд (алгебрийн үндсэн теорем) задардаг.

Хоёр ба түүнээс дээш хувьсагчийн хувьд үүнийг хэлэх боломжгүй. Хэнд ч зориулж аль ч талбараас дээгүүр n > 2 (\displaystyle n>2)-аас олон гишүүнт байдаг n (\displaystyle n)Энэ талбарын ямар ч өргөтгөлөөр буурах боломжгүй хувьсагч. Ийм олон гишүүнтийг туйлын бууралтгүй гэж нэрлэдэг.