Зорилго: "Функцийн үечлэл" сэдвээр оюутнуудын мэдлэгийг нэгтгэн дүгнэх, системчлэх; үечилсэн функцийн шинж чанарыг ашиглах, функцийн хамгийн бага эерэг үеийг олох, үечилсэн функцийн график байгуулах ур чадварыг хөгжүүлэх; математикийг судлах сонирхлыг нэмэгдүүлэх; ажиглалт, нарийвчлалыг төлөвшүүлэх.
Тоног төхөөрөмж: компьютер, мультимедиа проектор, даалгаврын карт, слайд, цаг, гоёл чимэглэлийн ширээ, ардын гар урлалын элементүүд
"Математик бол хүмүүсийн байгалийг болон өөрийгөө удирдахад ашигладаг зүйл юм."
А.Н. Колмогоров
Хичээлийн явц
I. Зохион байгуулалтын үе шат.
Сурагчдын хичээлд бэлэн байдлыг шалгах. Хичээлийн сэдэв, зорилгыг илтгэнэ.
II. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.
Бид дээж ашиглан гэрийн даалгавраа шалгаж, хамгийн хэцүү зүйлсийг хэлэлцдэг.
III. Мэдлэгийг нэгтгэх, системчлэх.
1. Амны урд талын ажил.
Онолын асуудлууд.
1) Функцийн хугацааны тодорхойлолтыг бүрдүүлэх
2) y=sin(x), y=cos(x) функцүүдийн хамгийн бага эерэг үеийг нэрлэнэ үү.
3). y=tg(x), y=ctg(x) функцүүдийн хамгийн бага эерэг үе хэд вэ?
4) Тойрог ашиглан харилцааны зөвийг нотлох:
у=нүгэл(x) = нүгэл(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+18 0º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Тогтмол функцийг хэрхэн графикаар зурах вэ?
Амны дасгалууд.
1) Дараах хамаарлыг батал
а) нүгэл (740º) = нүгэл (20º)
б) cos(54º) = cos(-1026º)
в) нүгэл (-1000º) = нүгэл (80º)
2. 540º өнцөг нь y= cos(2x) функцийн үеүүдийн нэг гэдгийг батал.
3. 360º өнцөг нь y=tg(x) функцийн үеүүдийн нэг гэдгийг батал.
4. Эдгээр илэрхийлэлд орсон өнцгүүдийг үнэмлэхүй утгаараа 90º-ээс хэтрэхгүй байхаар хувирга.
а) tg375º
б) ctg530º
в) sin1268º
г) cos(-7363º)
5. ХУГАЦАА, ХУГАЦАА гэдэг үг хаанаас таарсан бэ?
Оюутны хариулт: Хөгжмийн үе гэдэг нь хөгжмийн бүрэн бүтэн сэтгэлгээг харуулсан бүтэц юм. Геологийн үе нь эриний нэг хэсэг бөгөөд 35-аас 90 сая жилийн хугацаатай эрин үеүүдэд хуваагддаг.
Цацраг идэвхт бодисын хагас задралын хугацаа. Үе үе бутархай. Тогтмол хэвлэл гэдэг нь тодорхой хугацааны дотор гарч ирдэг хэвлэмэл хэвлэл юм. Менделеевийн үечилсэн систем.
6. Зурагт үечилсэн функцүүдийн графикийн хэсгүүдийг харуулав. Функцийн хугацааг тодорхойл. Функцийн хугацааг тодорхойл.
Хариулах: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Та амьдралынхаа аль хэсэгт давтагдах элементүүдийн бүтээн байгуулалттай тулгарч байсан бэ?
Оюутны хариулт: Гоёл чимэглэлийн элементүүд, ардын урлаг.
IV. Хамтын асуудлыг шийдвэрлэх.
(Слайд дээрх асуудлыг шийдвэрлэх.)
Функцийг үечилсэн байдлын хувьд судлах аргуудын нэгийг авч үзье.
Энэ арга нь тодорхой үе нь хамгийн бага гэдгийг нотлохтой холбоотой бэрхшээлээс зайлсхийж, үечилсэн функцууд дээр арифметик үйлдлүүд болон нарийн төвөгтэй функцүүдийн үечилсэн байдлын талаархи асуултуудыг шийдвэрлэх хэрэгцээг арилгадаг. Үндэслэл нь зөвхөн үечилсэн функцийн тодорхойлолт болон дараах баримт дээр үндэслэсэн болно: хэрэв T нь функцийн үе бол nT(n?0) нь түүний үе юм.
Бодлого 1. f(x)=1+3(x+q>5) функцийн хамгийн бага эерэг үеийг ол.
Шийдэл: Энэ функцийн T үе гэж үзье. Дараа нь бүх x € D(f) хувьд f(x+T)=f(x), i.e.
1+3(x+T+0.25)=1+3(x+0.25)
(x+T+0.25)=(x+0.25)
Бид x=-0.25-ыг тавья
(T)=0<=>T=n, n € Z
Тухайн функцийн бүх үе (хэрэв байгаа бол) бүхэл тоонуудын дунд байгааг бид олж мэдсэн. Эдгээр тоонуудаас хамгийн бага эерэг тоог сонгоцгооё. Энэ 1 . Энэ нь үнэхээр үе байх эсэхийг шалгацгаая 1 .
f(x+1) =3(x+1+0.25)+1
Аливаа Т-д (T+1)=(T) байх тул f(x+1)=3((x+0.25)+1)+1=3(x+0.25)+1=f(x ), i.e. 1 – үе f. 1 нь бүх эерэг бүхэл тоонуудын хамгийн бага нь тул T=1 болно.
Бодлого 2. f(x)=cos 2 (x) функц үе үе болохыг харуулж, үндсэн үеийг ол.
Бодлого 3. Функцийн үндсэн үеийг ол
f(x)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
Функцийн Т үеийг, дараа нь дурын хувьд авч үзье Xхарьцаа хүчинтэй байна
sin1.5(x+T)+5cos0.75(x+T)=sin(1.5x)+5cos(0.75x)
Хэрэв x=0 байвал
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=sin0+5cos0
sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5
Хэрэв x=-T байвал
sin0+5cos0=sin(-1.5T)+5cos0.75(-T)
5= – sin(1.5T)+5cos(0.75T)
| sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 – sin(1.5T)+5cos(0.75T)=5 |
Үүнийг нэмбэл бид:
10cos(0.75T)=10
2π n, n € Z
Үеийн бүх “сэжигтэй” тооноос хамгийн бага эерэг тоог сонгоод f-ийн цэг мөн эсэхийг шалгая. Энэ тоо
f(x+)=sin(1.5x+4π )+5cos(0.75x+2π )= sin(1.5x)+5cos(0.75x)=f(x)
Энэ нь f функцийн үндсэн үе гэсэн үг.
Бодлого 4. f(x)=sin(x) функц үечилсэн эсэхийг шалгацгаая
f функцийн үеийг T гэж үзье. Дараа нь дурын х
sin|x+Т|=sin|x|
Хэрэв x=0 бол sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
гэж бодъё. Зарим n-ийн хувьд π n тоо нь үе юм
авч үзэж буй функц π n>0. Дараа нь sin|π n+x|=sin|x|
Энэ нь n нь тэгш, сондгой тоо байх ёстой гэсэн үг боловч энэ нь боломжгүй юм. Тиймээс энэ функц нь үе үе биш юм.
Даалгавар 5. Функц нь үечилсэн эсэхийг шалгана уу
f(x)= 
Дараа нь T-г f-ийн үе гэж үзье
, иймээс sinT=0, Т=π n, n € Z. Зарим n-ийн хувьд π n тоо үнэхээр энэ функцийн үе гэж үзье. Дараа нь 2π n тоо нь үе болно
Тоолуур нь тэнцүү тул хуваагч нь тэнцүү байна
Энэ нь f функц нь үечилсэн биш гэсэн үг юм.
Бүлгээр ажиллах.
1-р бүлгийн даалгавар.
2-р бүлгийн даалгавар.
f функц үечилсэн эсэхийг шалгаад түүний үндсэн үеийг ол (хэрэв байгаа бол).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
3-р бүлгийн даалгавар.
Ажлынхаа төгсгөлд бүлгүүд шийдлээ танилцуулдаг.
VI. Хичээлийг дүгнэж байна.
Тусгал.
Багш сурагчдад зурагтай картуудыг өгч, функцийг судлах аргыг хэр зэрэг эзэмшсэн гэж бодсоныхоо дагуу эхний зургийн нэг хэсгийг, хоёр дахь зургийн нэг хэсгийг өөрсдийнхөө дагуу зурахыг хүснэ. хичээлийн ажилд оруулсан хувь нэмэр.
VII. Гэрийн даалгавар
1). f функц үечилсэн эсэхийг шалгаад түүний үндсэн үеийг ол (хэрэв байгаа бол)
б). f(x)=x 2 -2x+4
в). f(x)=2tg(3x+5)
2). y=f(x) функц нь T=2 үетэй ба x € [-2; f(x)=x 2 +2x; 0]. -2f(-3)-4f(3.5) илэрхийллийн утгыг ол.
Уран зохиол/
- Мордкович А.Г.Гүнзгийрүүлэн судлах алгебр ба шинжилгээний эхлэл.
- Математик. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх. Эд. Лысенко Ф.Ф., Кулабухова С.Ю.
- Шереметева Т.Г. , Тарасова Е.А. 10-11-р ангийн алгебр, эхлэлийн шинжилгээ.
Аргумент x, дараа нь ямар ч x F(x + T) = F(x) байх T тоо байвал үүнийг үечилсэн гэж нэрлэдэг. Энэ T тоог функцийн үе гэж нэрлэдэг.
Хэд хэдэн үе байж болно. Жишээлбэл, F = const функц нь аргументийн аль ч утгын хувьд ижил утгыг авдаг тул дурын тоог түүний үе гэж үзэж болно.
Ихэвчлэн та функцийн хамгийн бага тэг биш үеийг сонирхдог. Товчхондоо үүнийг үе гэж нэрлэдэг.
Тогтмол функцүүдийн сонгодог жишээ бол тригонометр юм: синус, косинус, тангенс. Тэдний үе нь ижил бөгөөд 2π-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) гэх мэт. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг тригонометрийн функцууд нь зөвхөн үечилсэн функцууд биш юм.
Энгийн, үндсэн функцүүдийн хувьд тэдгээрийг үе үе эсвэл үечилсэн биш гэдгийг тодорхойлох цорын ганц арга бол тооцоолол юм. Гэхдээ нарийн төвөгтэй функцүүдийн хувьд хэд хэдэн энгийн дүрмүүд байдаг.
Хэрэв F(x) нь T үетэй бөгөөд түүнд зориулж дериватив нь тодорхойлогдсон бол энэ дериватив f(x) = F′(x) нь мөн T үетэй үечилсэн функц болно. Эцсийн эцэст цэг дээрх деривативын утга x нь энэ цэг дэх түүний эсрэг деривативын графикийн шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү бөгөөд эсрэг дериватив нь үе үе давтагддаг тул дериватив нь мөн давтагдах ёстой. Жишээлбэл, sin(x) функцийн дериватив нь cos(x)-тэй тэнцүү бөгөөд энэ нь үе үе юм. cos(x)-ийн деривативыг авбал –sin(x) болно. Давтамж өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Гэсэн хэдий ч эсрэгээрээ үргэлж үнэн байдаггүй. Иймд f(x) = const функц нь үечилсэн боловч түүний эсрэг дериватив F(x) = const*x + C биш юм.
Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бол G(x) = a*F(kx + b), a, b, k нь тогтмол бөгөөд k нь тэгтэй тэнцүү биш - мөн үечилсэн функц юм. , түүний хугацаа нь T/k байна. Жишээлбэл, sin(2x) нь үечилсэн функц бөгөөд түүний хугацаа нь π юм. Үүнийг ийм байдлаар дүрсэлж болно: x-ийг хэдэн тоогоор үржүүлснээр та функцийн графикийг хэвтээ байдлаар яг хэд дахин шахаж байгаа юм шиг санагдаж байна.
Хэрэв F1(x) ба F2(x) нь үечилсэн функц бөгөөд тэдгээрийн үеүүд нь тус тус T1 ба T2-тэй тэнцүү бол эдгээр функцүүдийн нийлбэр нь мөн үечилсэн байж болно. Гэсэн хэдий ч түүний хугацаа нь T1 ба T2 үеүүдийн энгийн нийлбэр биш байх болно. Хэрэв T1/T2 хуваалтын үр дүн нь оновчтой тоо бол функцүүдийн нийлбэр нь үечилсэн бөгөөд түүний үе нь T1 ба T2 үеүүдийн хамгийн бага нийтлэг үржвэртэй (LCM) тэнцүү байна. Жишээлбэл, хэрэв эхний функцийн үе нь 12, хоёр дахь үе нь 15 бол тэдгээрийн нийлбэрийн хугацаа нь LCM (12, 15) = 60-тай тэнцүү байх болно.
Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: функцууд нь өөр өөр "алхмын өргөнтэй" ирдэг, гэхдээ тэдгээрийн өргөнүүдийн харьцаа оновчтой байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт (ялангуяа алхмуудын LCM-ээр) тэд дахин тэнцүү болно. тэдний нийлбэр шинэ үе эхэлнэ.
Гэсэн хэдий ч хэрэв үеүүдийн харьцаа иррациональ байвал нийт функц нь үечилсэн биш байх болно. Жишээлбэл, F1(x) = x mod 2 (х-г 2-т хуваахад үлдэгдэл), F2(x) = sin(x) гэж үзье. Энд T1 нь 2, T2 нь 2π-тэй тэнцүү байх болно. Үеийн харьцаа нь π-тэй тэнцүү - иррационал тоо. Тиймээс sin(x) + x mod 2 функц нь үечилсэн биш юм.
Байгалийн үзэгдлийг судалж, техникийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ бид тусгай төрлийн функцээр тодорхойлогддог үе үе үйл явцтай тулгардаг.
Дараах хоёр нөхцөл хангагдсан дор хаяж нэг T > 0 тоо байвал D домэйнтэй y = f(x) функцийг үечилсэн гэж нэрлэдэг.
1) x + T, x − T цэгүүд нь дурын x ∈ D-ийн тодорхойлолтын D мужид хамаарна;
2) D-ээс x бүрийн хувьд дараах хамаарал байна.
f(x) = f(x + T) = f(x − T).
T тоог f(x) функцийн үе гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл тодорхой интервалын дараа утгууд нь давтагдах функцийг үечилсэн функц гэнэ. Жишээлбэл, y = sin x функц нь 2π үетэй үечилсэн (Зураг 1) юм.
Хэрэв T тоо нь f(x) функцийн үе юм бол 2T тоо нь мөн 3T, 4T гэх мэт үе байх болно, өөрөөр хэлбэл, үечилсэн функц нь хязгааргүй олон өөр үетэй байдаг гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв тэдгээрийн дунд хамгийн бага нь (тэгтэй тэнцүү биш) байвал функцийн бусад бүх үе нь энэ тооны үржвэр болно. Тогтмол функц бүр ийм хамгийн бага эерэг үетэй байдаггүй гэдгийг анхаарна уу; жишээ нь f(x)=1 функцэд ийм үе байхгүй. Жишээлбэл, хамгийн бага эерэг үетэй T 0 хоёр үечилсэн функцын нийлбэр нь эерэг үетэй байх албагүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Иймд f(x) = sin x ба g(x) = −sin x функцүүдийн нийлбэр нь хамгийн бага эерэг үетэй огт байхгүй ба f(x) = sin x + sin 2x функцуудын нийлбэр ба g(x) = −sin x, хамгийн бага үе нь 2π-тэй тэнцүү, хамгийн бага эерэг үе нь π-тэй тэнцүү байна.
Хэрэв f(x) ба g(x) хоёр функцийн үеүүдийн харьцаа рационал тоо байвал эдгээр функцүүдийн нийлбэр ба үржвэр нь мөн үечилсэн функц болно. Хэрвээ хаа сайгүй тодорхойлогдсон, үргэлжилсэн f ба g функцүүдийн үеүүдийн харьцаа иррационал тоо бол f + g ба fg функцүүд аль хэдийн үечилсэн бус функц байх болно. Жишээлбэл, cos x sin √2 x ба cosj √2 x + sin x функцууд нь үечилсэн бус боловч sin x ба cos x функцууд нь 2π хугацаатай үечилсэн боловч sin √2 x ба cos функцууд √2 x нь √2 π үетэй үечилсэн байна.
Хэрэв f(x) нь Т үетэй үечилсэн функц бол нийлмэл функц (мэдээж хэрэг бол утга учиртай бол) F(f(x)) нь мөн үечилсэн функц бөгөөд T тоо нь түүний үүрэг гүйцэтгэх болно гэдгийг анхаарна уу. хугацаа. Жишээлбэл, y = sin 2 x, y = √(cos x) (Зураг 2.3) функцууд нь үечилсэн функцууд (энд: F 1 (z) = z 2 ба F 2 (z) = √z). Гэсэн хэдий ч, хэрэв f(x) функц нь хамгийн бага эерэг үетэй T 0 бол F(f(x)) функц нь мөн адил хамгийн бага эерэг үетэй байна гэж бодож болохгүй; жишээ нь y = sin 2 x функц нь хамгийн бага эерэг үетэй, f(x) = sin x функцээс 2 дахин бага (Зураг 2).
Хэрэв f функц нь T үетэй үечилсэн, бодит шугамын цэг бүрт тодорхойлогддог ба дифференциал байдаг бол f"(x) (үүсмэл) функц нь мөн T үетэй үечилсэн функц боловч эсрэг дериватив гэдгийг харуулахад хялбар. f(x)-ийн функц F(x) (интеграл тооцоог үзнэ үү) нь зөвхөн дараах тохиолдолд үечилсэн функц байх болно.
F(T) − F(0) = T o ∫ f(x) dx = 0.
Сургуулийн математикийн хичээлээс эхлэн хүн бүр жигд долгионоор хол зайд сунадаг синусын графикийг санаж байна. Бусад олон функцууд ижил төстэй шинж чанартай байдаг - тодорхой интервалаар давтагддаг. Тэднийг үе үе гэж нэрлэдэг. Тогтмол байдал нь функцын маш чухал чанар бөгөөд ихэвчлэн өөр өөр ажилд илэрдэг. Иймээс функц нь үечилсэн эсэхийг тодорхойлох нь ашигтай байдаг.
Заавар
1. Хэрэв F(x) нь х аргументийн функц юм бол x бүрт F(x + T) = F(x) байхаар T тоо байвал үүнийг үечилсэн гэж нэрлэдэг. Энэ T тоог функцийн үе гэж нэрлэдэг. Хэд хэдэн үе байж болно. F = const функц нь аргументийн бүх утгуудын хувьд ижил утгыг авдаг тул ямар ч тоог түүний үе гэж үзэж болно гэж бодъё. Товчхондоо үүнийг анхдагч үе гэж нэрлэдэг.
2. Тогтмол функцүүдийн ердийн жишээ бол тригонометр юм: синус, косинус, тангенс. Тэдний үе нь ижил бөгөөд 2?-тэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл sin(x) = sin(x + 2?) = sin(x + 4?) гэх мэт. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг тригонометрийн функцууд нь зөвхөн үе үе биш юм.
3. Анхдагч, үндсэн функцүүдийн тухайд тэдгээрийн үе үе эсвэл үечилсэн бус байдлыг тогтоох цорын ганц арга бол тооцоолол юм. Гэхдээ хэцүү функцүүдийн хувьд хэд хэдэн энгийн дүрмүүд байдаг.
4. Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бөгөөд түүнд зориулж дериватив нь тодорхойлогдсон бол энэ үүсмэл f(x) = F?(x) нь мөн T үетэй үечилсэн функц болно. Цэг дэх деривативын утга x нь шүргэгч өнцгийн тангенстай тэнцүү бөгөөд энэ цэг дэх түүний эсрэг деривативын график нь x тэнхлэгтэй тэнцүү бөгөөд эсрэг дериватив нь үе үе давтагддаг тул дериватив нь мөн давтагдах ёстой. sin(x) функцийн дериватив нь cos(x)-тэй тэнцүү, үе үе гэж бодъё. cos(x)-ийн деривативыг авбал –sin(x) болно. Үе үе тогтмол хэвээр байгаа ч эсрэгээрээ үргэлж байдаггүй. Иймээс f(x) = const функц нь үечилсэн боловч түүний эсрэг дериватив F(x) = const*x + C биш юм.
5. Хэрэв F(x) нь T үетэй үечилсэн функц бол G(x) = a*F(kx + b), a, b, k нь тогтмол бөгөөд k нь тэгтэй тэнцүү биш - мөн үечилсэн функц юм. , түүний хугацаа нь T/k байна. sin(2x) нь үечилсэн функц ба түүний хугацаа нь?-тэй тэнцүү гэж үзье. Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: x-г дурын тоогоор үржүүлснээр функцийн графикийг хэвтээ байдлаар яг хэд дахин шахаж байгаа юм шиг санагдаж байна.
6. Хэрэв F1(x) ба F2(x) нь үечилсэн функц бөгөөд тэдгээрийн үеүүд нь тус тус T1 ба T2-тэй тэнцүү бол эдгээр функцүүдийн нийлбэр нь мөн үечилсэн байж болно. Гэсэн хэдий ч түүний хугацаа нь T1 ба T2 үеүүдийн нийлбэр нь тийм ч хялбар биш байх болно. Хэрэв T1/T2 хуваах үр дүн нь боломжийн тоо бол функцүүдийн нийлбэр нь үечилсэн бөгөөд түүний хугацаа нь T1 ба T2 үеүүдийн хамгийн бага бүх нийтийн үржвэртэй (LCM) тэнцүү байна. Хэрэв эхний функцийн үе нь 12, 2-ын үе нь 15 байвал тэдгээрийн нийлбэрийн хугацаа нь LCM (12, 15) = 60-тай тэнцүү байна гэж үзье. Үүнийг дараах байдлаар дүрсэлж болно: функцууд. өөр өөр "алхмын өргөнтэй" ирдэг, гэхдээ хэрэв тэдгээрийн өргөний харьцаа нь утга учиртай байвал эрт орой хэзээ нэгэн цагт (ялангуяа алхамуудын LCM-ээр) тэд дахин тэнцүү болж, нийлбэр нь шинэ үе эхэлнэ.
7. Гэсэн хэдий ч хэрэв үеүүдийн харьцаа иррациональ байвал нийт функц нь үечилсэн биш байх болно. F1(x) = x mod 2 (х-г 2-т хуваахад үлдэгдэл), F2(x) = sin(x) гэж үзье. Энд T1 нь 2, T2 нь 2?-тэй тэнцүү байх болно. Үеийн харьцаа тэнцүү байна уу? - иррационал тоо. Иймээс sin(x) + x mod 2 функц нь үе үе биш юм.
Математикийн олон функцууд нь тэдгээрийг бүтээхэд хялбар болгодог нэг онцлог шинж чанартай байдаг - энэ нь тийм юм үе үе, өөрөөр хэлбэл координатын тор дээрх графикийн ижил интервалтайгаар давтагдах чадвар.
Заавар
1. Математикийн хамгийн алдартай үечилсэн функцууд бол синус ба косинус юм. Эдгээр функцууд нь долгионы шинж чанартай бөгөөд эргэлтийн хугацаа нь 2P-тэй тэнцүү байна. Мөн үечилсэн функцийн онцгой тохиолдол нь f(x)=const. Ямар ч тоо x байрлалд багтах бөгөөд энэ функц нь шулуун шугам тул үндсэн үегүй.
2. Ерөнхийдөө f(x)=f(x+N) дүрмийг хангасан тэгээс өөр бүхэл тоо N байвал функц нь үечилсэн шинж чанартай байдаг тул давтагдах чадварыг хангадаг. Функцийн үе нь хамгийн бага N тоо боловч тэг биш. Өөрөөр хэлбэл, sin x функц нь sin (x+2ПN) функцтэй тэнцүү, N=±1, ±2 гэх мэт.
3. Заримдаа функц нь үржүүлэгчтэй (син 2x гэх мэт) байж болох бөгөөд энэ нь функцийн үеийг ихэсгэх эсвэл багасгах болно. Хугацааг илрүүлэхийн тулд график, та функцийн экстремумыг тодорхойлох хэрэгтэй - функцийн графикийн хамгийн дээд ба доод цэгүүд. Синус болон косинусын долгион нь долгионтой төстэй шинж чанартай байдаг тул үүнийг хийхэд маш хялбар байдаг. Эдгээр цэгүүдээс X тэнхлэгтэй огтлолцох хүртэл перпендикуляр шулуун шугамуудыг байгуулна.
4. Дээд мөчөөс доод хэсэг хүртэлх зай нь функцийн хугацааны хагас байх болно. Графикийн Y тэнхлэгтэй огтлолцсон үеэс эхлэн үеийг тооцоолох нь хүн бүрт илүү тохиромжтой бөгөөд үүний дагуу x тэнхлэг дээрх тэг тэмдэг юм. Үүний дараа та үүссэн утгыг хоёроор үржүүлж, функцийн эргэлтийн хугацааг авах хэрэгтэй.
5. Синус болон косинусын муруйг зурахад хялбар болгохын тулд хэрэв функц бүхэл тоотой бол түүний хугацаа уртасна (өөрөөр хэлбэл 2P-ийг энэ үзүүлэлтээр үржүүлэх шаардлагатай) график нь илүү зөөлөн, жигд харагдах болно гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. ; хэрэв тоо нь бутархай бол эсрэгээрээ буурч, график нь илүү "хурц", үсрэлттэй төстэй харагдах болно.
Сэдвийн талаархи видео
Хавсралт No7
Хотын боловсролын байгууллага
3-р дунд сургууль
Багш аа
Короткова
Ася Эдиковна
Курганинск
2008 он
АГУУЛГА
Оршил……………………………………………………………… 2-3
Үе үе функц ба тэдгээрийн шинж чанарууд ……………. 4-6
Асуудал………………………………………………………………… 7-14
Танилцуулга
Боловсрол, арга зүйн уран зохиолын үе үетэй холбоотой асуудлууд нь амаргүй хувь тавилантай болохыг анхаарна уу. Энэ нь шалгалтын үеэр маргаантай шийдвэр гаргах, зөрчил гаргахад хүргэдэг үе үе чиг үүргийг тодорхойлохдоо тодорхой хайхрамжгүй ханддаг хачирхалтай уламжлалтай холбон тайлбарлаж байна.
Жишээлбэл, "Математикийн нэр томъёоны тайлбар толь бичиг" - М, 1965 номонд дараахь тодорхойлолтыг өгсөн: "Үелэх функц нь функц юм.
y = f(x), түүний хувьд t > 0 тоо байгаа бөгөөд энэ нь бүх x ба x+t домэйны хувьд f(x + t) = f(x).
Энэ тодорхойлолтын бурууг харуулсан эсрэг жишээг өгье. Энэ тодорхойлолтын дагуу функц нь t = 2π үетэй үе үе байх болно
с(x) = Cos(√x) 2 – Cos(√4π - x) 2 Тодорхойлолтын хязгаарлагдмал хүрээтэй бөгөөд энэ нь үечилсэн функцүүдийн талаархи нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн үзэл бодолтой зөрчилддөг.
Сургуулийн шинэ сурах бичгүүдийн ихэнх нь ижил төстэй асуудалтай тулгардаг.
А.Н.Колмогоровын сурах бичигт дараахь тодорхойлолтыг өгсөн: "F функцийн үечилсэн байдлын тухай ярихад, D (f) цэг бүртэй хамт тодорхойлолтын муж нь T ≠ 0 байна гэж үздэг. Ox тэнхлэгийн дагуу (баруун ба зүүн тийш) T зайд параллель хөрвүүлснээр х-ээс олж авсан цэгүүдийг агуулна. f функцийг гэнэ.үе үе Т ≠ 0 үетэй, хэрэв тодорхойлолтын аль нэг мужид x, x - T, x + T цэгүүд дэх энэ функцийн утгууд тэнцүү бол, өөрөөр хэлбэл. f (x + T) = f (x) = f (x – T).” Цаашид сурах бичигт: “Синус ба косинус нь бүх тооны шулуун дээр тодорхойлогддог тул Sin (x + 2π) = Sin x,
Cos (x + 2π) = Cos x нь дурын х, синус ба косинус нь 2π хугацаатай функцийн үе юм.”
Энэ жишээнд ямар нэг шалтгааны улмаас тодорхойлолтод шаардлагатай нөхцөлийг шалгаагүй болно.
Нүгэл (x – 2π) = Sin x. Юу болсон бэ? Баримт нь тодорхойлолт дахь энэ нөхцөл нь илүүц юм. Үнэхээр T > 0 нь f(x) функцийн үе бол T нь мөн энэ функцийн үе болно.
М.И. Башмаковын "10-11-р ангийн алгебр ба анализын эхлэл" сурах бичгээс өөр нэг тодорхойлолтыг хэлмээр байна. “Т ≠ 0 тоо байвал y = f(x) функцийг үечилсэн гэж нэрлэдэг.
f (x + T) = f (x) нь x-ийн бүх утгын хувьд ижил байна."
Дээрх тодорхойлолт нь функцийн домэйны талаар юу ч хэлээгүй боловч энэ нь тодорхойлолтын мужид x гэсэн утгатай болохоос бодит х биш. Энэ тодорхойлолтоор y = Sin (√x) функц нь үе үе байж болно 2 , зөвхөн x ≥ 0-д тодорхойлсон бөгөөд энэ нь буруу байна.
Улсын нэгдсэн шалгалтанд үе үе хийх даалгавар байдаг. Нэгэн шинжлэх ухааны тогтмол сэтгүүлд Улсын нэгдсэн шалгалтын С хэсэгт зориулсан сургалтын хэлбэрээр уг асуудлын шийдлийг өгсөн: "y (x) = Sin функц юм. 2 (2+x) – 2 Sin 2 Sin x Cos (2+x) үе үе?”
Хариултанд y (x – π) = y (x) нэмэлт оруулга байгааг шийдэл харуулж байна.
"T = π" (эцсийн эцэст хамгийн бага эерэг үеийг олох тухай асуудал тавигдаагүй). Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд тригонометрийн цогц боловсрол олгох шаардлагатай юу? Эцсийн эцэст, энд та асуудлын нөхцөл байдлын гол түлхүүр болох үе үе гэсэн ойлголт дээр анхаарлаа төвлөрүүлж болно.
Шийдэл.
f 1 (x) = Sin x – Т = 2π үетэй үечилсэн функц
f 2 (x) = Cos x нь T = 2π үетэй үечилсэн функц, тэгвэл 2π нь f функцийн үе юм. 3 (x) = Sin (2 + x) ба f 4 (x) = Cos (2 + x), (энэ нь үечилсэн байдлын тодорхойлолтоос үүдэлтэй)
f 5 (x) = - 2 Sin 2 = Const, түүний үе нь 2π-г оруулаад дурын тоо юм.
Учир нь Т нийтлэг үетэй үечилсэн функцүүдийн нийлбэр ба үржвэр нь мөн Т үетэй, тэгвэл энэ функц нь үечилсэн байна.
Энэ ажилд танилцуулсан материал нь үе үетэй холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэхэд тусална гэж найдаж байна.
Үе үе функц ба тэдгээрийн шинж чанарууд
Тодорхойлолт: f(t) функцийг энэ D функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын t хувьд бол үечилсэн гэж нэрлэдэг.е Үүнд: ω ≠ 0 тоо байна.
1) тоонууд (t ± ω) є D f ;
2) f (t + ω) = f (t).
1. Хэрэв ω тоо f (t) функцийн үе бол kω тоо, энд k = ±1, ±2, ±3, ... нь мөн f(t) функцийн үе юм.
ЖИШЭЭ f (t) = Sin t. T = 2π тоо нь энэ функцийн хамгийн бага эерэг үе юм. Т 1 = 4π. Үүнийг харуулъя, Т 1 мөн энэ функцийн үе юм.
F (t + 4π) = f (t + 2π + 2π) = Sin (t + 2π) = Sin t.
Тиймээс T 1 – f (t) = Sin t функцийн үе.
2. Хэрэв f(t) – ω функц нь үечилсэн функц бол f (аt), энд а є R, f (t + с) функцууд нь дурын тогтмол юм.
f (аt) функцийн үеийг олъё.
f(аt) = f(аt + ω) = f (а(t + ω/а)), i.e. f (аt) = f (а(t + ω/а).
Иймд f(аt) – ω функцийн үе 1 = ω/a.
Жишээ 1. y = Sin t/2 функцийн үеийг ол.
Жишээ 2. y = Sin (t + π/3) функцийн үеийг ол.
f(t) = Sin t; y 0 = Нүгэл (t 0 + π/3).
Тэгвэл f(t) = Sin t функц ижил утгыг авна t = t 0 + π/3 үед 0.
Тэдгээр. y функцийн авдаг бүх утгыг f(t) функцээр авна. Хэрэв t-г цаг гэж тайлбарлавал y-ийн утга бүр 0 функц y = Sin (t + π/3) нь f(t) функцээс π/3-аар зүүн тийш "шилжсэн"-ээс π/3 цагийн нэгжээр өмнө хүлээн зөвшөөрөгдөнө. Үүнээс болж функцийн хугацаа өөрчлөгдөхгүй нь ойлгомжтой, өөрөөр хэлбэл. Т y = T 1.
3. Хэрэв F(x) нь зарим функц, f(t) нь үечилсэн функц бөгөөд f(t) нь F(x) – D функцийн тодорхойлолтын мужид хамаарах бол.Ф , тэгвэл F(f (t)) функц нь үечилсэн функц болно.
F(f (t)) = φ гэж үзье.
Φ (t + ω) = F(f (t + ω)) = F(f (t)) = φ (t) ямар ч t є D хувьде.
ЖИШЭЭ Функцийн үечилсэн байдлыг шалгана уу: F(x) = ℓсинкс.
Энэ функцийн домэйн Dе R бодит тооны олонлогтой давхцаж байна. f (x) = Sin x.
Энэ функцийн утгуудын багц нь [-1; 1]. Учир нь сегмент [-1; 1] Д-д харьяалагддаге , тэгвэл F(x) функц нь үечилсэн байна.
F(x+2π) = ℓ sin (x + 2π) = ℓ sin x = F(x).
2 π – энэ функцийн үе.
4. Хэрэв функцууд f 1 (t) ба f 2 бол (t) үечилсэн, ω үетэй тус тус 1 ба ω 2 ба ω 1 /ω 2 = r, энд r нь рационал тоо, дараа нь функцууд
C 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t) ба f 1 (t) f 2 (t) үе үе (C 1 ба С 2 нь тогтмол).
Тайлбар: 1) Хэрэв r = ω бол 1 /ω 2 = p/q, учир нь r бол рационал тоо юм
ω 1 q = ω 2 p = ω, энд ω нь ω-ийн хамгийн бага нийтлэг үржвэр юм 1 ба ω 2 (NOC).
C функцийг авч үзье 1 f 1 (t) + C 2 f 2 (t).
Үнэхээр ω = LCM (ω 1 , ω 2 ) - энэ функцийн хугацаа
С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) = С 1 f 1 (t+ ω 1 q) + С 2 f 2 (t+ ω 2 p) + С 1 f 1 (t) + С 2 f 2 (t) .
2) ω – функцийн үе f 1 (t) f 2 (t), учир нь
f 1 (t + ω) f 2 (t + ω =f 1 (t +ω 1 q) f 2 (t =ω 2 p) = f 1 (t) f 2 (t).
Тодорхойлолт: f 1 (t) ба f (t) нь ω үетэй үечилсэн функцууд юм 1 ба ω 2 , дараа нь хоёр үеийг тэнцүү гэж хэлнэω 1 /ω 2 = r нь оновчтой тоо юм.
3) Хэрэв ω 1 ба ω 2 цэгүүд байвал хэмжигдэхүйц биш бол функцууд f 1 (t) + f 2 (t) ба
f 1 (t) f 2 (t) тогтмол биш. Энэ нь хэрэв f 1 (t) ба f 2 (t) нь тогтмол, үечилсэн, тасралтгүй, тэдгээрийн үе нь тэнцүү биш, дараа нь f 1 (t) + f 2 (t), f 1 (t) f 2 (t) тогтмол биш.
4) f(t) = C гэж үзье, энд C нь дурын тогтмол юм. Энэ функц нь үе үе байдаг. Түүний үе нь ямар ч оновчтой тоо бөгөөд энэ нь хамгийн бага эерэг үегүй гэсэн үг юм.
5) Энэ мэдэгдэл нь илүү олон тооны функцүүдийн хувьд үнэн юм.
Жишээ 1. Функцийн үечлэлийг судал
F(x) = Sin x + Cos x.
Шийдэл. f 1 (x) = Sin x, тэгвэл ω 1 = 2πk, энд k є Z.
Т 1 = 2π – хамгийн бага эерэг үе.
f 2 (x) = Cos x, T 2 = 2π.
T 1 / T 2 харьцаа = 2π/2π = 1 – оновчтой тоо, өөрөөр хэлбэл. функцийн үеүүд f 1 (x) ба f 2 (x) нь тэнцүү байна. Энэ нь энэ функц нь үе үе байдаг гэсэн үг юм. Түүний үеийг олцгооё. Үе үе функцийн тодорхойлолтоор бид байна
Нүгэл (x + T) + Cos (x + T) = Sin x + Cos x,
Нүгэл (x + T) - Sin x = Cos x - Cos (x + T),
2 Cos 2х+ π/2 · Нүгэл Т/2 = 2 Нүгэл 2х+Т/2 · Нүгэл Т/2,
Sin T/2 (Cos T+2x/2 - Sin T+2x/2) =0,
√2 Sin Т/2 Sin (π/4 – Т+2х/2) = 0, тиймээс,
Sin Т/2 = 0, дараа нь Т = 2πk.
Учир нь (х ± 2πk) є D f , энд f(x) = Sin x + Cos x,
f(x + t) = f(x), тэгвэл f(x) функц нь 2π хамгийн бага эерэг үетэй үечилсэн байна.
Жишээ 2. f(x) = Cos 2x · Sin x функц үе үе мөн үү, түүний хугацаа хэд вэ?
Шийдэл. f 1 (x) = Cos 2x, тэгвэл T 1 = 2π: 2 = π (2-ыг үзнэ үү)
f 2 (x) = Sin x, дараа нь T 2 гэж үзье = 2π. Учир нь π/2π = ½ нь рационал тоо, тэгвэл энэ функц нь үечилсэн байна. Түүний хугацаа T = NOC
(π, 2π) = 2π.
Тэгэхээр энэ функц нь 2π үетэй үе үе юм.
5. Тогтмолтой ижил биш f(t) функц тасралтгүй ба үетэй байвал хамгийн бага эерэг үе ω байна. 0 , ω-ийн бусад үе нь: ω хэлбэртэй байна= kω 0, энд k є Z.
Тайлбар: 1) Энэ өмчид хоёр нөхцөл маш чухал:
f(t) тасралтгүй, f(t) ≠ C, энд C нь тогтмол.
2) Эсрэг заалт нь үнэн биш юм. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бүх үеийг харьцуулж үзвэл хамгийн бага эерэг үе байдаг гэсэн үг биш юм. Тэдгээр. үечилсэн функц нь хамгийн бага эерэг үетэй байж болохгүй.
Жишээ 1. f(t) = C, үечилсэн. Түүний хугацаа нь ямар ч бодит тоо юм;
Жишээ 2. Дирихле функц:
D(x) =
Аливаа оновчтой тоо нь түүний үе юм;
6. Хэрэв f(t) нь тасралтгүй үечилсэн функц ба ω 0 нь түүний хамгийн бага эерэг үе бол f(αt + β) функц нь хамгийн бага эерэг үе ω байна. 0 //α/. Энэхүү мэдэгдэл нь 2-р зүйлээс хамаарна.
Жишээ 1. y = Sin (2x – 5) функцийн үеийг ол.
Шийдэл. у = Нүгэл (2х – 5) = Нүгэл (2(х – 5/2)).
Sin x функцийн графикаас эхлээд хоёр дахин шахаж, дараа нь баруун тийш 2.5-аар “шилж” y функцийн график гарна. “Шилжилт нь үечлэлд нөлөөлөхгүй, T = π нь энэ функцийн үе юм.
6-р алхамын өмчийг ашиглан энэ функцийн хугацааг хялбархан олж авна:
Т = 2π/2 = π.
7. Хэрэв f(t) – ω нь үечилсэн функц бөгөөд энэ нь тасралтгүй f"(t) уламжлалтай бол f"(t) нь мөн үечилсэн функц болно, Т = ω
Жишээ 1. f(t) = Sin t, Т = 2πk. Үүний уламжлал f"(t) = Cos t
F"(t) = Cos t, Т = 2πk, k є Z.
Жишээ 2. f(t) = Cos t, Т = 2πk. Түүний дериватив
F"(t) = - Sin t, T = 2πk, k є Z.
Жишээ 3. f(t) =tg t, түүний үе T = πk.
F"(t) = 1/ Cos 2 t нь 7-р алхамын шинж чанараар мөн үечилсэн бөгөөд T = πk үетэй. Түүний хамгийн бага эерэг үе нь T = π байна.
ЗА Д АЧ И.
№ 1
f(t) = Sin t + Sin πt функц үечилсэн үү?
Шийдэл. Харьцуулбал бид энэ асуудлыг хоёр аргаар шийддэг.
Нэгдүгээрт, үечилсэн функцийн тодорхойлолтоор. f(t) нь үе үе гэж бодъё, тэгвэл дурын t є D f бидэнд байна:
Sin (t + T) + Sin π (t + T) = Sin t + Sin πt,
Sin (t + T) - Sin t = Sin πt - Sin π (t + T),
2 Cos 2t + Т/2 Sin Т/2 = -2 Cos 2 πt + πt/2 Sin πt/2.
Учир нь Энэ нь ямар ч t є D хувьд үнэн юме , дараа нь ялангуяа т 0 , хамгийн сүүлийн тэгш байдлын зүүн тал нь тэг болно.
Дараа нь бидэнд: 1) Cos 2t байна 0 +T/2 Sin T/2 = 0. Т-тэй харьцангуйгаар шийдэцгээе.
Sin Т/2 = 0 үед Т = 2 πk, энд k є Z.
2) Cos 2πt 0 + πt 0 /2 Sin πT/2 = 0. Т-тэй харьцангуйгаар шийдэцгээе.
Sin πТ/2 = 0, дараа нь Т = 2πn/ π = 2n, n≠0, энд n є Z.
Учир нь Бид ижил төстэй шинж чанартай, тэгвэл 2 πk = 2n, π = 2n/2 k = n/ k, энэ нь байж болохгүй, учир нь π нь иррационал тоо, n/ k нь рационал тоо юм. Өөрөөр хэлбэл, f(t) функцийг үечилсэн гэсэн бидний таамаг буруу байсан.
Хоёрдугаарт, хэрэв та үечилсэн функцүүдийн дээрх шинж чанаруудыг ашиглавал шийдэл нь илүү хялбар болно.
f 1 (t) = Sin t, T 1 = 2 π; f 2 (t) = Sin πt, T 2 - 2π/π = 2. Дараа нь T 1 / T 2. = 2π/2 = π нь иррационал тоо, өөрөөр хэлбэл. үе Т 1, Т 2 тэнцүү биш, энэ нь f(t) нь үе үе биш гэсэн үг.
Хариулт: үгүй.
№ 2
Хэрэв α нь иррационал тоо бол функц болохыг харуул
F(t) = Cos t + Cos αt
үе үе биш.
Шийдэл. f 1 (t) = Cos t, f 2 (t) = Cos αt гэж үзье.
Дараа нь тэдний сарын тэмдэг Т 1 = 2π, T 2 = 2π//α/ - хамгийн бага эерэг үеүүд. Олъё, Т 1 /Т 2 = 2π/α//2π = /α/ нь иррационал тоо юм. Тиймээс Т 1 ба T 2 харьцуулшгүй, үйл ажиллагаа
f(t) нь тогтмол биш.
№ 3
f(t) = Sin 5t функцийн хамгийн бага эерэг үеийг ол.
Шийдэл. Үл хөдлөх хөрөнгийн 2-р зүйлд бид:
f(t) - үе үе; T = 2π/5.
Хариулт: 2π/5.
№ 4
F(x) = arccos x + arcsin x функц нь үе үе мөн үү?
Шийдэл. Энэ функцийг авч үзье
F(x) = arccos x + arcsin x = π - arcsin x + arcsin x = π,
тэдгээр. F(x) нь үечилсэн функц юм (5-р зүйлийн шинж чанарыг жишээ 1-ээс үзнэ үү).
Хариулт: тиймээ.
№ 5
Функц үе үе байна уу?
F(x) = Sin 2x + Cos 4x + 5?
шийдэл. f 1 (x) = Sin 2x, тэгвэл T 1 = π;
F 2 (x) = Cos 4x, дараа нь T 2 = 2π/4 = π/2;
F 3 (x) = 5, T 3 - аливаа бодит тоо, ялангуяа Т 3 бид T-тэй тэнцүү гэж үзэж болно 1 эсвэл T 2 . Тэгвэл энэ функцийн үе T = LCM (π, π/2) = π. Өөрөөр хэлбэл, f(x) нь T = π үетэй үечилсэн байна.
Хариулт: тиймээ.
№ 6
f(x) = x – E(x) функц нь үечилсэн байна уу, E(x) нь өгөгдсөнөөс хэтрэхгүй хамгийн бага бүхэл тоонд х аргументыг оноодог функц юм.
Шийдэл. Ихэнхдээ f(x) функцийг (x) гэж тэмдэглэдэг - x тооны бутархай хэсэг, өөрөөр хэлбэл.
F(x) = (x) = x – E(x).
f(x) нь үечилсэн функц байг, өөрөөр хэлбэл. x – E(x) = x + T – E(x + T) байх T > 0 тоо байна. Энэ тэгш байдлыг бичье
(x) + E(x) – E(x) = (x + T) + E(x + T) – E(x + T),
(x) + (x + T) – D домэйны дурын х-д үнэне, T ≠ 0 ба T є Z. Тэдний хамгийн бага эерэг нь T = 1, i.e. T =1 ийм байна
X + T – E(x + T) = x – E(x),
Түүнээс гадна (x ± Tk) є Д f, хаана k є Z.
Хариулт: Энэ функц нь үе үе юм.
№ 7
f(x) = Sin x функц үечилсэн үү? 2 .
Шийдэл. f(x) = Sin x гэж үзье 2 үечилсэн функц. Дараа нь үечилсэн функцийн тодорхойлолтоор T ≠ 0 тоо гарч ирнэ: Sin x 2 = Sin (x + T) 2 нь дурын x є D f.
Нүгэл х 2 = Нүгэл (х + Т) 2 = 0,
2 Cos x 2 + (x+T) 2 /2 Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0, тэгвэл
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0 эсвэл Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0.
Эхний тэгшитгэлийг авч үзье.
Cos x 2 + (x+T) 2 /2 = 0,
X 2 + (x+T) 2 /2 = π(1+2 k)/2 (k є Z),
Т = √ π(1+2 k) – x 2 – x. (1)
Хоёр дахь тэгшитгэлийг авч үзье.
Sin x 2 -(x+T) 2 /2 = 0,
X + T = √- 2πk + x 2,
T = √x 2 - 2πk – x. (2)
(1) ба (2) илэрхийллээс харахад T-ийн олсон утга нь x-ээс хамаардаг, өөрөөр хэлбэл. тийм T>0 байхгүй
Нүгэл х 2 = Нүгэл (х+Т) 2
Энэ функцийн тодорхойлолтын мужаас дурын x-ийн хувьд. f(x) нь тогтмол биш.
Хариулт: үгүй
№ 8
f(x) = Cos функцийг үечилсэн байдлыг шалгана уу 2 х.
Шийдэл. Давхар өнцгийн косинусын томъёог ашиглан f(x)-ийг төлөөлүүлье
F(x) = 1/2 + 1/2 Cos 2x.
f 1 (x) = ½, дараа нь T 1 гэж үзье - энэ нь ямар ч бодит тоо байж болно; е 2 (x) = ½ Cos 2x нь үечилсэн функц, учир нь Нийтлэг үетэй хоёр үечилсэн функцийн үржвэр T 2 = π. Дараа нь энэ функцийн хамгийн бага эерэг үе
T = LOC (T 1, T 2) =π.
Тэгэхээр f(x) = Cos функц 2 x – π – үечилсэн.
Хариулт: π нь үе үе юм.
№ 9
Тогтмол функцийн домэйн нь:
A) хагас шугам [a, ∞),
B) сегмент?
Шийдэл. Үгүй, учир нь
A) үечилсэн функцийн тодорхойлолтоор, хэрэв x є D f, тэгвэл x ± ω мөн
Функцийн домэйнд хамаарах ёстой. Тэгвэл x = a гэж үзье
X 1 = (a – ω) є [a, ∞);
B) x = 1, дараа нь x 1 = (1 + T) є .
№ 10
Тогтмол функц байж болох уу:
A) хатуу монотон;
B) жигд;
C) бүр биш үү?
Шийдэл. a) f(x) нь үечилсэн функц байг, өөрөөр хэлбэл. D функцүүдийн тодорхойлолтын мужаас дурын x-ийн хувьд Т≠0 байдаг f яагаад
(x ±T) є D f ба f (x±T) = f(x).
Дурын х-г засъя 0 є D f , учир нь f(x) нь үе үе, дараа нь (x 0 +T) є D f ба f(x 0) = f(x 0 +T).
f(x) нь D тодорхойлолтын бүх мужийг бүхэлд нь монотон гэж үзьее жишээлбэл, нэмэгддэг. Дараа нь дурын x-ийн өсөлтийн функцийн тодорхойлолтоор 1 ба x 2 тодорхойлолтын хүрээнээс Dе x тэгш бус байдлаас 1 2 нь f(x 1) гэсэн үг. 2 ). Ялангуяа x нөхцөлөөс 0 0 + T, үүнийг дагадаг
F(x 0) 0 +T) нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.
Энэ нь үечилсэн функц нь хатуу монотон байж болохгүй гэсэн үг юм.
б) Тийм ээ, үечилсэн функц тэгш байж болно. Хэд хэдэн жишээ хэлье.
F(x) = Cos x, Cos x = Cos (-x), T = 2π, f(x) нь тэгш үечилсэн функц юм.
x нь рационал тоо бол 0;
D(x) =
Хэрэв x нь иррационал тоо бол 1.
D(x) = D(-x), D(x) функцийн тодорхойлолтын муж нь тэгш хэмтэй байна.
Дирехлет функц D(x) нь тэгш үечилсэн функц юм.
f(x) = (x),
f(-x) = -x – E(-x) = (-x) ≠ (x).
Энэ функц нь жигд биш юм.
в) Тогтмол функц нь сондгой байж болно.
f(x) = Sin x, f(-x) = Sin (-x) = - Sin = - f(x)
f(x) нь сондгой үечилсэн функц юм.
f(x) – Sin x Cos x, f(-x) = Sin (-x) Cos (-x) = - Sin x Cos x = - f(x) ,
f(x) – сондгой ба үечилсэн.
f(x) = ℓ Sin x, f(-x) = ℓ Sin(- x) = ℓ -Sin x ≠ - f(x),
f(x) нь сондгой биш.
f(x) = tan x – сондгой үечилсэн функц.
Хариулт: үгүй; Тиймээ; Тиймээ.
№ 11
Тогтмол функц хэдэн тэгтэй байж болох вэ:
1) ; 2) функцийн үе нь T-тэй тэнцүү бол бүхэл тоон тэнхлэгт?
Шийдэл: 1. a) [a, b] сегмент дээр үечилсэн функц тэгтэй байж болохгүй, жишээлбэл, f(x) = C, C≠0; f(x) = Cos x + 2.
b) [a, b] интервал дээр үечилсэн функц нь хязгааргүй тооны тэгтэй байж болно, жишээлбэл, Дирехлет функц.
Хэрэв x нь рационал тоо бол 0,
D(x) =
Хэрэв x нь иррационал тоо бол 1.
в) [a, b] интервал дээр үечилсэн функц нь төгсгөлтэй тооны тэгтэй байж болно. Энэ тоог олъё.
Функцийн үеийг T гэж үзье. гэж тэмдэглэе
X 0 = (min x є(a,b), f(x) = 0 байхаар).
Дараа нь [a, b] сегмент дээрх тэгүүдийн тоо: N = 1 + E (c-x 0 /T).
Жишээ 1. x є [-2, 7π/2], f(x) = Cos 2 x – T = π үетэй үечилсэн функц; X 0 = -π/2; дараа нь өгөгдсөн интервал дээрх f(x) функцийн тэгийн тоо
N = 1 + E (7π/2 – (-π/2)/2) = 1 + E (8π/2π) = 5.
Жишээ 2. f(x) = x – E(x), x є [-2; 8.5]. f(x) – үечилсэн функц, T + 1,
x 0 = -2. Дараа нь өгөгдсөн интервал дээрх f(x) функцийн тэгийн тоо
N = 1 + E (8.5 – (-2)/1) = 1 + E (10.5/1) = 1 + 10 = 11.
Жишээ 3. f(x) = Cos x, x є [-3π; π], Т 0 = 2π, x 0 = - 5π/2.
Дараа нь өгөгдсөн интервал дээрх энэ функцийн тэгийн тоо
N = 1 + E (π – (-5π/2)/2π) = 1 + E (7π/2π) = 1 + 3 = 4.
2. a) Хязгааргүй тооны тэг, учир нь X 0 є D f ба f(x 0 ) = 0, дараа нь бүх тооны хувьд
Х 0 +Тk, энд k є Z, f(х 0 ± Тk) = f(х 0) ) =0, мөн x хэлбэрийн цэгүүд 0 ± Tk нь хязгааргүй олонлог;
б) тэг байхгүй; хэрэв f(x) нь үечилсэн бөгөөд аль нэгийн хувьд
x є D f функц f(x) >0 эсвэл f(x)
F(x) = Sin x +3.6; f(x) = C, C ≠ 0;
F(x) = Sin x – 8 + Cos x;
F(x) = Sin x Cos x + 5.
№ 12
Үе үе бус функцүүдийн нийлбэр үечилсэн байж болох уу?
Шийдэл. Тиймээ, чадна. Жишээ нь:
- f 1 (x) = x – үечилсэн бус, f 2 (x) = E(x) – үечилсэн бус
F(x) = f 1 (x) – f 2 (x) = x – E(x) – үечилсэн.
- f 1 (x) = x – үечилсэн бус, f(x) = Sin x + x – үечилсэн бус
F(x) = f 2 (x) – f 1 (x) = Sin x – үе үе.
Хариулт: тиймээ.
№ 13
f(x) ба φ(x) функц нь T үетэй үечилсэн байна 1 ба T 2 тус тус. Тэдний бүтээгдэхүүн үргэлж үечилсэн функц байдаг уу?
Шийдэл. Үгүй ээ, зөвхөн Т 1 ба T 2 - тэнцүү байна. Жишээлбэл,
F(x) = Sin x Sin πx, T 1 = 2π, T 2 = 2; дараа нь T 1 / T 2 = 2π/2 = π нь иррационал тоо бөгөөд f(x) нь үечилсэн биш гэсэн үг.
f(x) = (x) Cos x = (x – E(x)) Cos x. Ф 1 (x) = x – E(x), T 1 = 1;
f 2 (x) = Cos (x), T 2 = 2π. T 2 /T 1 = 2π/1 = 2π, энэ нь f(x) нь үечилсэн биш гэсэн үг.
Хариулт: Үгүй.
Бие даан шийдвэрлэх асуудал
Функцуудын аль нь үе үе вэ, үеийг олоорой?
1. f(x) = Sin 2x, 10. f(x) = Sin x/2 + tan x,
2. f(x) = Cos x/2, 11. f(x) = Sin 3x + Cos 4x,
3. f(x) = tan 3x, 12. f(x) = Sin 2 x+1,
4. f(x) = Cos (1 – 2x), 13. f(x) = tan x + ctg√2x,
5. f(x) = Sin x Cos x, 14. f(x) = Sin πх + Cos x,
6. f(x) = ctg x/3, 15. f(x) = x 2 – E(x 2),
7. f(x) = Sin (3x – π/4), 16. f(x) = (x – E(x)) 2 ,
8. f(x) = Sin 4 x + Cos 4 x, 17. f(x) = 2 x – E(x),
9. f(x) = Нүгэл 2 x, 18. f(x) = x – n + 1, хэрэв n ≤ x≤ n + 1, n = 0, 1, 2…
№ 14
f(x) – T нь үечилсэн функц байг. Функцуудын аль нь үе үе (T-г ол) вэ?
- φ(x) = f(x + λ) – үечилсэн, учир нь Ox тэнхлэгийн дагуух "шилжилт" нь ω-д нөлөөлөхгүй; түүний үе ω = T.
- φ(x) = a f(x + λ) + в – ω = T үетэй үечилсэн функц.
- φ(х) = f(kh) – ω = Т/к үетэй үечилсэн функц.
- φ(x) = f(ax + b) нь ω = T/a үетэй үечилсэн функц юм.
- φ(x) = f(√x) нь үечилсэн биш, учир нь түүний тодорхойлолтын хүрээ Dφ = (x/x ≥ 0) ба үечилсэн функц нь хагас тэнхлэгээр тодорхойлогдсон мужтай байж болохгүй.
- φ(x) = (f(x) + 1/(f(x) – 1) нь үечилсэн функц, учир нь
φ(x +T) = f(x+T) + 1/f(x +T) – 1 = φ(x), ω = T.
- φ(x) = a f 2 (x) + in f(x) + c.
φ 1 (x) = a f 2 гэж үзье (x) – үечилсэн, ω 1 = т/2;
φ 2 (x) = f(x)-д – үечилсэн, ω 2 = T/T = T;
φ 3 (x) = с – үечилсэн, ω 3 - дурын тоо;
тэгвэл ω = LCM(T/2; T) = T, φ(x) нь үечилсэн байна.
Үгүй бол, учир нь Энэ функцийг тодорхойлох талбар нь бүхэл тооны шугам, дараа нь f - E функцийн утгуудын багц юм f є D φ , энэ нь функц гэсэн үг юм
φ(x) нь үечилсэн бөгөөд ω = T.
- φ(x) = √φ(x), f(x) ≥ 0.
φ(x) – ω = T үетэй үечилсэн, учир нь дурын х-ийн хувьд f(x) функц нь f(x) ≥ 0 утгыг авна, өөрөөр хэлбэл. түүний утгуудын багц E f є D φ , хаана
Dφ – φ(z) = √z функцийн тодорхойлолтын муж.
№ 15
f(x) = x функц байна 2 үе үе?
Шийдэл. x ≥ 0-ийг авч үзье, тэгвэл f(x)-ын хувьд урвуу функц √x байгаа нь энэ интервал дээр f(x) нь монотон функц байна гэсэн үг, тэгвэл энэ нь үечилсэн байж болохгүй (No 10-ыг үзнэ үү).
№ 16
P(x) = a олон гишүүнт өгөгдсөн 0 + a 1 x + a 2 x + ...a n x.
P(x) нь үечилсэн функц мөн үү?
Шийдэл. 1. Хэрэв таних тэмдэг нь тогтмолтой тэнцүү бол P(x) нь үечилсэн функц, өөрөөр хэлбэл. хэрэв а i = 0, энд i ≥ 1 байна.
2. P(x) ≠ с байг, энд с ямар нэг тогтмол байна. P(x) нь үечилсэн функц, P(x) нь бодит язгууртай байя гэж бодъё P(x) нь үечилсэн функц бөгөөд тэдгээрийн тоо хязгааргүй байх ёстой. Мөн алгебрийн үндсэн теоремын дагуу тэдгээрийн k тоо нь k ≤ n байх болно. Энэ нь P(x) нь үечилсэн функц биш гэсэн үг юм.
3. P(x) нь тэгээс өөр олон гишүүнт байх ба бодит үндэсгүй байг. P(x) нь үечилсэн функц гэж үзье. q(x) = a олон гишүүнтийг танилцуулъя 0 , q(x) нь үечилсэн функц юм. P(x) - q(x) = a ялгааг авч үзье 1 x 2 + … +a n x n.
Учир нь Тэгш байдлын зүүн талд үечилсэн функц байгаа бол баруун талын функц нь мөн үечилсэн байх ба энэ нь ядаж нэг бодит язгууртай, x = 0. Учир нь. Хэрэв функц нь үечилсэн бол хязгааргүй тооны тэг байх ёстой. Бид зөрчилдсөн.
P(x) нь үечилсэн функц биш юм.
№ 17
f(t) – T – үечилсэн функц өгөгдсөн. функц нь f(t), хаана
k є Z, үечилсэн функц, тэдгээрийн үеүүд ямар холбоотой вэ?
Шийдэл. Бид математикийн функцын аргыг ашиглан нотлох ажлыг гүйцэтгэнэ. Болъё
f 1 = f(t), дараа нь f 2 = f 2 (t) = f(t) f(t),
F 3 = f 3 (t) = f (t) f 2 4-р алхамын шинж чанарын дагуу үечилсэн функц юм.
………………………………………………………………………….
f k-1 = f k-1 гэж үзье (t) – үечилсэн функц ба түүний үе Тк-1 T үетэй харьцуулах боломжтой. Сүүлийн тэгшитгэлийн хоёр талыг f(t)-ээр үржүүлснээр бид f-г олж авна k-1 f(t) = f(t) f k-1 (t),
F k = f k (t) нь 4-р алхамын шинж чанарын дагуу үечилсэн функц юм. ω ≤ Т.
№ 18
f(x) -д тодорхойлогдсон дурын функц байг f((x)) функц үечилсэн үү?
Хариулт: тийм ээ, учир нь (x) функцийн утгуудын багц нь f(x) функцийг тодорхойлох мужид хамаарах бөгөөд 3-р зүйлийн шинж чанараар f((x)) нь үечилсэн функц бөгөөд түүний хугацаа ω = T = 1 байна. .
№ 19
F(x) нь [-1 дээр тодорхойлогдсон дурын функц юм; 1], f(sinx) функц үечилсэн үү?
Хариулт: тийм ээ, түүний хугацаа нь ω = Т = 2π (No 18-тай төстэй нотолгоо).
