Комплекс хувьсагчийн функцууд.
Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн ялгаа.

Энэ нийтлэл нь цогц хувьсагчийн функцүүдийн онолтой холбоотой ердийн асуудлуудыг авч үзэх цуврал хичээлүүдийг нээж байна. Жишээнүүдийг амжилттай эзэмшихийн тулд та нийлмэл тооны үндсэн мэдлэгтэй байх ёстой. Материалыг нэгтгэх, давтахын тулд хуудас руу зочлоорой. Мөн олохын тулд танд ур чадвар хэрэгтэй болно хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив. Тэд энд байна, эдгээр хэсэгчилсэн деривативууд ... одоо ч гэсэн тэд хэр олон тохиолддог болохыг би бага зэрэг гайхаж байсан ...

Бидний судалж эхэлж буй сэдэв нь ямар нэгэн хүндрэл учруулахгүй бөгөөд нарийн төвөгтэй хувьсагчийн функцэд зарчмын хувьд бүх зүйл ойлгомжтой, хүртээмжтэй байдаг. Хамгийн гол нь миний туршилтаар олж авсан үндсэн дүрмийг дагаж мөрдөх явдал юм. Үргэлжлүүлэн уншина уу!

Комплекс хувьсагчийн функцийн тухай ойлголт

Эхлээд нэг хувьсагчийн сургуулийн функцын талаарх мэдлэгээ сэргээцгээе.

Нэг хувьсагч функцЭнэ нь бие даасан хувьсагчийн утга бүр (тодорхойлолтын мужаас) функцийн нэг бөгөөд зөвхөн нэг утгатай тохирдог дүрэм юм. Мэдээжийн хэрэг, "x" ба "y" нь бодит тоо юм.

Нарийн төвөгтэй тохиолдолд функциональ хамаарлыг дараахь байдлаар тодорхойлно.

Комплекс хувьсагчийн нэг утгатай функц- энэ бол хүн бүрийн дагаж мөрддөг дүрэм юм цогцбие даасан хувьсагчийн утга (тодорхойлолтын домэйноос) нь зөвхөн нэгтэй тохирч байна цогцфункцийн утга. Онол нь олон утгатай болон бусад зарим төрлийн функцуудыг авч үздэг боловч энгийн байхын тулд би нэг тодорхойлолт дээр анхаарлаа хандуулах болно.

Комплекс хувьсагчийн функцийн ялгаа нь юу вэ?

Гол ялгаа: комплекс тоо. Би шоолж байгаа юм биш. Ийм асуултууд ихэвчлэн хүмүүсийг тэнэг байдалд оруулдаг. Өгүүллийн төгсгөлд би танд хөгжилтэй түүх ярих болно. Ангид Даммигийн нийлмэл тообид цогц тоог хэлбэрээр авч үзсэн. Одооноос хойш "z" үсэг болжээ хувьсагч, дараа нь бид үүнийг дараах байдлаар тэмдэглэх болно: , харин "x" болон "y" нь өөр байж болно хүчинтэйутга. Товчоор хэлбэл, нийлмэл хувьсагчийн функц нь "ердийн" утгыг авдаг хувьсагч ба -аас хамаардаг. Энэ баримтаас дараах зүйл логикоор гарч байна.

Комплекс хувьсагчийн функцийг дараах байдлаар бичиж болно.
, энд ба нь хоёрын хоёр функц юм хүчинтэйхувьсагч.

Функцийг дууддаг бодит хэсэгфункцууд
Функцийг дууддаг төсөөллийн хэсэгфункцууд

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл хувьсагчийн функц нь хоёр бодит функцээс хамаардаг ба . Эцэст нь бүх зүйлийг тодруулахын тулд практик жишээг харцгаая.

Жишээ 1

Шийдэл:Бие даасан хувьсагч "zet" нь таны санаж байгаагаар хэлбэрээр бичигдсэн байдаг тул:

(1) Бид орлуулсан.

(2) Эхний нэр томъёоны хувьд товчилсон үржүүлэх томъёог ашигласан. Хугацааны хувьд хаалт нээгдсэн байна.

(3) Үүнийг мартаж болохгүй болгоомжтой квадрат

(4) Нэр томъёоны өөрчлөлт: эхлээд бид нэр томъёог дахин бичнэ , ямар ч төсөөллийн нэгж байхгүй(эхний бүлэг), дараа нь байгаа нэр томъёо (хоёр дахь бүлэг). Нөхцөлүүдийг холих шаардлагагүй бөгөөд энэ алхамыг алгасаж болно (үнэндээ үүнийг амаар хийх замаар).

(5) Хоёр дахь бүлгийн хувьд бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авдаг.

Үүний үр дүнд бидний функц хэлбэрээр дүрслэгдсэн байна

Хариулт:
- функцийн бодит хэсэг.
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Эдгээр нь ямар төрлийн функцууд болж хувирсан бэ? Та ийм алдартай олж болох хоёр хувьсагчийн хамгийн энгийн функцууд хэсэгчилсэн дериватив. Өршөөлгүйгээр бид үүнийг олох болно. Гэхдээ жаахан дараа.

Товчхондоо, шийдэгдсэн асуудлын алгоритмыг дараах байдлаар бичиж болно: бид анхны функцийг орлуулж, хялбаршуулж, бүх нэр томъёог хоёр бүлэгт хуваадаг - төсөөллийн нэгжгүйгээр (бодит хэсэг) болон төсөөллийн нэгжтэй (төсөөлөл хэсэг) .

Жишээ 2

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгийг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Даам зурсан нарийн төвөгтэй онгоцонд тулалдаанд орохын өмнө би танд энэ сэдвээр хамгийн чухал зөвлөгөөг өгье.

АНХААРУУЛГА!Мэдээжийн хэрэг та хаа сайгүй болгоомжтой байх хэрэгтэй, гэхдээ нарийн төвөгтэй тоогоор та урьд өмнөхөөсөө илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй! Хаалтанд болгоомжтой нээж, юу ч бүү алдаарай гэдгийг санаарай. Миний ажигласнаар хамгийн түгээмэл алдаа бол тэмдэг алдагдах явдал юм. Яарах хэрэггүй!

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Одоо шоо. Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг гаргаж авна.
.

Томъёо нь практикт хэрэглэхэд маш тохиромжтой, учир нь тэдгээр нь шийдлийн процессыг ихээхэн хурдасгадаг.

Комплекс хувьсагчийн функцүүдийн ялгаа.

Надад сайн, муу гэсэн хоёр мэдээ байна. Би сайнаас нь эхэлье. Комплекс хувьсагчийн функцийн хувьд ялгах дүрэм, элементар функцын деривативын хүснэгт хүчинтэй байна. Иймээс дериватив нь бодит хувьсагчийн функцтэй яг ижил аргаар авдаг.

Муу мэдээ гэвэл олон нийлмэл хувьсах функцүүдийн хувьд дериватив огт байдаггүй бөгөөд та үүнийг олох хэрэгтэй. ялгах боломжтой юунэг эсвэл өөр функц. Мөн таны зүрх сэтгэл ямар байгааг "ойлгох" нь нэмэлт асуудалтай холбоотой юм.

Комплекс хувьсагчийн функцийг авч үзье. Энэ функцийг ялгахын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай:

1) Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд байдаг. Эдгээр тэмдэглэгээг нэн даруй мартаарай, учир нь нийлмэл хувьсагчийн функцын онолд уламжлалт байдлаар өөр тэмдэглэгээг ашигладаг. .

2) гэж нэрлэгддэг зүйлийг хэрэгжүүлэх Коши-Риманы нөхцөл:

Зөвхөн энэ тохиолдолд дериватив байх болно!

Жишээ 3

Шийдэлдараалсан гурван үе шатанд хуваагдана:

1) Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг олцгооё. Энэ ажлыг өмнөх жишээнүүдэд авч үзсэн тул би тайлбаргүйгээр бичих болно.

Түүнээс хойш:

Тиймээс:

- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Би өөр нэг техникийн асуудалд анхаарлаа хандуулъя: ямар дарааллаарбодит болон зохиомол хэсэгт нэр томъёог бичнэ үү? Тиймээ, зарчмын хувьд энэ нь хамаагүй. Жишээлбэл, бодит хэсгийг дараах байдлаар бичиж болно. , мөн төсөөлөлтэй нь - иймэрхүү: .

2) Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая. Тэдний хоёр нь бий.

Нөхцөл байдлыг шалгаж эхэлцгээе. Бид олдог хэсэгчилсэн дериватив:

Тиймээс нөхцөл хангагдсан байна.

Мэдээжийн хэрэг, сайн мэдээ гэвэл хэсэгчилсэн дериватив нь бараг үргэлж маш энгийн байдаг.

Бид хоёр дахь нөхцлийн биелэлтийг шалгана.

Үр дүн нь адилхан, гэхдээ эсрэг шинж тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл нөхцөл нь бас биелдэг.

Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан тул функцийг ялгах боломжтой.

3) Функцийн деривативыг олъё. Дериватив нь маш энгийн бөгөөд ердийн дүрмийн дагуу олддог.

Ялгах үед төсөөллийн нэгжийг тогтмол гэж үздэг.

Хариулт: - бодит хэсэг, - төсөөллийн хэсэг.
Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан, .

Деривативыг олох өөр хоёр арга бий, тэдгээр нь мэдээжийн хэрэг бага ашиглагддаг, гэхдээ мэдээлэл нь хоёр дахь хичээлийг ойлгоход хэрэгтэй болно. Комплекс хувьсагчийн функцийг хэрхэн олох вэ?

Деривативыг дараах томъёогоор олж болно.

Энэ тохиолдолд:

Тиймээс

Бид урвуу асуудлыг шийдэх ёстой - үүссэн илэрхийлэлд бид тусгаарлах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд нэр томъёо болон хаалтны гадна талд шаардлагатай:

Урвуу үйлдлийг олон хүмүүсийн анзаарсанчлан шалгах нь арай илүү хэцүү байдаг тул ноорог дээрх илэрхийлэлийг авах эсвэл хаалтуудыг амаар нээж, үр дүн нь яг байгаа эсэхийг шалгаарай;

Дериватив олох толин тусгал томъёо:

Энэ тохиолдолд: , Тийм учраас:

Жишээ 4

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан бол функцийн деривативыг ол.

Хичээлийн төгсгөлд богино шийдэл, эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Коши-Риманы нөхцөл үргэлж хангагдсан уу? Онолын хувьд тэд биелэхээсээ илүү олон удаа биелдэггүй. Гэхдээ практик жишээн дээр тэд биелэгдээгүй тохиолдлыг би санахгүй байна =) Тиймээс, хэрэв таны хэсэгчилсэн деривативууд "нийцэхгүй" бол маш өндөр магадлалтайгаар та хаа нэгтээ алдаа гаргасан гэж хэлж болно.

Функцуудаа төвөгтэй болгоцгооё:

Жишээ 5

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тооцоол

Шийдэл:Шийдлийн алгоритм нь бүрэн хадгалагдсан боловч төгсгөлд шинэ цэг нэмэгдэх болно: нэг цэгээс деривативыг олох. Кубын хувьд шаардлагатай томъёог аль хэдийн гаргаж авсан болно:

Энэ функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлъё.

Анхаарал, дахин анхаарал!

Түүнээс хойш:


Тиймээс:
- функцийн бодит хэсэг;
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Хоёр дахь нөхцлийг шалгаж байна:

Үр дүн нь адилхан, гэхдээ эсрэг шинж тэмдэгтэй, өөрөөр хэлбэл нөхцөл нь бас биелдэг.

Коши-Риманы нөхцөлүүд хангагдсан тул функцийг ялгах боломжтой:

Шаардлагатай цэг дээр деривативын утгыг тооцоолъё.

Хариулт:, , Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан,

Шоо дөрвөлжин хэлбэртэй функцууд нийтлэг байдаг тул бататгах жишээ энд байна:

Жишээ 6

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тооцоол.

Хичээлийн төгсгөлд дуусгах шийдэл ба жишээ.

Нарийн төвөгтэй шинжилгээний онол нь нарийн төвөгтэй аргументийн бусад функцийг тодорхойлдог: экспонент, синус, косинус гэх мэт. Эдгээр функцууд нь ер бусын, бүр хачирхалтай шинж чанартай байдаг - энэ нь үнэхээр сонирхолтой юм! Би танд хэлэхийг үнэхээр хүсч байна, гэхдээ энд лавлах ном эсвэл сурах бичиг биш, харин шийдлийн ном байгаа тул зарим нийтлэг функцтэй ижил асуудлыг авч үзэх болно.

Эхлээд гэж нэрлэгддэг зүйлийн талаар Эйлерийн томъёо:

Хэнд ч зориулав хүчинтэйтоо, дараах томъёонууд хүчинтэй байна:

Та үүнийг дэвтэртээ лавлах материал болгон хуулж болно.

Хатуухан хэлэхэд зөвхөн нэг томьёо байдаг, гэхдээ ихэвчлэн ая тухтай байлгах үүднээс экспонент дахь хасах тэмдэгтэй тусгай тохиолдлыг бичдэг. Параметр нь нэг үсэг байх албагүй, энэ нь нарийн төвөгтэй илэрхийлэл эсвэл функц байж болно, зөвхөн тэдгээрийг хүлээн зөвшөөрөх нь чухал юм зөвхөн хүчинтэйутга. Үнэндээ бид үүнийг яг одоо харах болно:

Жишээ 7

Деривативыг ол.

Шийдэл:Намын ерөнхий шугам нь хөдлөшгүй хэвээр байна - функцийн бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг ялгах шаардлагатай. Би дэлгэрэнгүй шийдлийг өгч, доорх алхам бүрийн талаар тайлбар өгөх болно.

Түүнээс хойш:

(1) Оронд нь "z"-г орлуулна.

(2) Орлуулсны дараа та бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг сонгох хэрэгтэй үзүүлэлтийн эхнийхүзэсгэлэнд оролцогчид. Үүнийг хийхийн тулд хаалтуудыг нээнэ үү.

(3) Бид индикаторын төсөөллийн хэсгийг бүлэглэж, төсөөллийн нэгжийг хаалтанд байрлуулна.

(4) Бид сургуулийн үйлдлийг зэрэгтэй ашигладаг.

(5) Үржүүлэгчийн хувьд бид Эйлерийн томъёог ашигладаг ба .

(6) Хаалтуудыг нээснээр:

- функцийн бодит хэсэг;
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Цаашдын үйлдлүүд нь стандарт бөгөөд Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая:

Жишээ 9

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойлох . Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу. Тиймээс бид деривативыг олохгүй.

Шийдэл:Шийдлийн алгоритм нь өмнөх хоёр жишээтэй маш төстэй боловч маш чухал цэгүүд байгаа тул би эхний үе шатыг алхам алхмаар дахин тайлбарлах болно.

Түүнээс хойш:

1) Оронд нь "z"-г орлуулна уу.

(2) Эхлээд бид бодит болон төсөөллийн хэсгүүдийг сонгоно синусын дотор. Эдгээр зорилгын үүднээс бид хаалтуудыг нээдэг.

(3) Бид томъёог ашигладаг, ба .

(4) Ашиглах гипербол косинусын паритет: Тэгээд гиперболын синусын хачин байдал: . Гиперболи нь хэдийгээр энэ ертөнцөөс гарсан боловч олон талаараа ижил төстэй тригонометрийн функцуудыг санагдуулдаг.

Үүний үр дүнд:
- функцийн бодит хэсэг;
- функцийн төсөөллийн хэсэг.

Анхаар!Хасах тэмдэг нь төсөөллийн хэсгийг хэлдэг бөгөөд ямар ч тохиолдолд бид үүнийг алдах ёсгүй! Тодорхой дүрслэхийн тулд дээр дурдсан үр дүнг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгая:

Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан.

Хариулт:, , Коши-Риманы нөхцөл хангагдсан.

Эрхэм ноёд хатагтай нар аа, бид өөрсдөө шийдье.

Жишээ 10

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойл. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу.

Би зориуд илүү хэцүү жишээнүүдийг сонгосон, учир нь хүн бүр хальсалсан самрын гэх мэт зүйлийг даван туулах чадвартай юм шиг санагддаг. Үүний зэрэгцээ та анхаарлаа төвлөрүүлэх болно! Хичээлийн төгсгөлд самрын жигнэмэг.

Эцэст нь хэлэхэд, нийлмэл аргумент нь хуваарьт байгаа үед би өөр нэг сонирхолтой жишээг авч үзэх болно. Практикт энэ нь хэд хэдэн удаа тохиолдсон тул энгийн зүйлийг харцгаая. Өө, би хөгширч байна ...

Жишээ 11

Функцийн бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг тодорхойл. Коши-Риманы нөхцлийн биелэлтийг шалгана уу.

Шийдэл:Дахин хэлэхэд функцын бодит ба төсөөллийн хэсгүүдийг ялгах шаардлагатай байна.
Хэрэв бол

Хуваарьт "Z" байвал яах вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Бүх зүйл энгийн - стандарт нь туслах болно нийлмэл илэрхийллээр тоо болон хуваагчийг үржүүлэх арга, үүнийг аль хэдийн хичээлийн жишээнүүдэд ашигласан Даммигийн нийлмэл тоо. Сургуулийн томъёог санацгаая. Бид хуваагчдаа аль хэдийн байгаа бөгөөд энэ нь нийлмэл илэрхийлэл байх болно гэсэн үг юм. Тиймээс та тоологч ба хуваагчийг дараах байдлаар үржүүлэх хэрэгтэй.