Шугаман тэгшитгэлийн үл нийцэх систем. Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх матрицын арга

Эдийн засгийн салбарт янз бүрийн үйл явцыг математик загварчлахад тэгшитгэлийн системийг өргөн ашигладаг. Жишээлбэл, үйлдвэрлэлийн менежмент, төлөвлөлт, логистикийн маршрут (тээврийн асуудал) эсвэл тоног төхөөрөмжийг байрлуулах асуудлыг шийдвэрлэхэд.

Тэгшитгэлийн системийг зөвхөн математикт төдийгүй физик, хими, биологи, хүн амын тоог олох асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг.

Шугаман тэгшитгэлийн систем гэдэг нь нийтлэг шийдлийг олох шаардлагатай хэд хэдэн хувьсагчтай хоёр ба түүнээс дээш тэгшитгэл юм. Бүх тэгшитгэл нь жинхэнэ тэгшитгэл болох эсвэл дараалал байхгүй гэдгийг нотлох тоонуудын ийм дараалал.

Шугаман тэгшитгэл

ax+by=c хэлбэрийн тэгшитгэлийг шугаман гэнэ. x, y тэмдэглэгээ нь утгыг нь олох ёстой үл мэдэгдэх зүйлс, b, a нь хувьсагчдын коэффициент, в нь тэгшитгэлийн чөлөөт гишүүн юм.
Тэгшитгэлийг зурах замаар шийдэх нь бүх цэгүүд нь олон гишүүнтийн шийдэл болох шулуун шугам шиг харагдана.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн төрлүүд

Хамгийн энгийн жишээ бол X ба Y хоёр хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системүүд юм.

F1(x, y) = 0 ба F2(x, y) = 0, энд F1,2 нь функц, (x, y) нь функцын хувьсагч юм.

Тэгшитгэлийн системийг шийдэх - Энэ нь систем жинхэнэ тэгш байдал болж хувирах утгуудыг (x, y) олох эсвэл x ба y-ийн тохирох утгууд байхгүй болохыг тогтооно гэсэн үг юм.

Цэгийн координат хэлбэрээр бичигдсэн хос утгыг (x, y) шугаман тэгшитгэлийн системийн шийдэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв системүүд нэг нийтлэг шийдэлтэй эсвэл шийдэл байхгүй бол тэдгээрийг эквивалент гэж нэрлэдэг.

Шугаман тэгшитгэлийн нэгэн төрлийн системүүд нь баруун тал нь тэгтэй тэнцүү систем юм. Хэрэв тэнцүү тэмдгийн дараа баруун хэсэг нь утгатай эсвэл функцээр илэрхийлэгддэг бол ийм систем нь гетероген байна.

Хувьсагчийн тоо хоёроос хамаагүй их байж болно, тэгвэл бид гурав ба түүнээс дээш хувьсагчтай шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг ярих хэрэгтэй.

Системтэй тулгарах үед сургуулийн сурагчид тэгшитгэлийн тоо нь үл мэдэгдэх тоотой заавал давхцах ёстой гэж үздэг боловч энэ нь тийм биш юм. Систем дэх тэгшитгэлийн тоо нь хувьсагчаас хамаардаггүй;

Тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх энгийн бөгөөд төвөгтэй аргууд

Ийм системийг шийдвэрлэх ерөнхий аналитик арга байхгүй; бүх аргууд нь тоон шийдэл дээр суурилдаг. Сургуулийн математикийн хичээлд орлуулах, алгебрийн нэмэх, орлуулах аргууд, түүнчлэн график, матрицын аргууд, Гауссын аргаар шийдвэрлэх аргуудыг нарийвчлан тайлбарласан болно.

Шийдлийн аргуудыг заах гол ажил бол системд хэрхэн зөв дүн шинжилгээ хийх, жишээ тус бүрийн оновчтой шийдлийн алгоритмыг олоход сургах явдал юм. Хамгийн гол нь арга тус бүрийн дүрэм, үйлдлийн системийг цээжлэх биш, харин тодорхой аргыг ашиглах зарчмуудыг ойлгох явдал юм.

Ерөнхий боловсролын 7-р ангийн сургалтын хөтөлбөрт шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх нь маш энгийн бөгөөд нарийвчлан тайлбарласан болно. Аливаа математикийн сурах бичигт энэ хэсэгт хангалттай анхаарал хандуулдаг. Гаусс ба Крамерын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх жишээг дээд боловсролын эхний жилүүдэд илүү нарийвчлан судалдаг.

Орлуулах аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Орлуулах аргын үйлдэл нь нэг хувьсагчийн утгыг хоёр дахь хувьсагчаар илэрхийлэхэд чиглэгддэг. Илэрхийлэлийг үлдсэн тэгшитгэлд орлуулж, дараа нь нэг хувьсагчтай хэлбэр болгон бууруулна. Үйлдэл нь систем дэх үл мэдэгдэх тооноос хамаарч давтагдана

Орлуулах аргыг ашиглан 7-р ангийн шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдлийг өгье.

Жишээнээс харахад х хувьсагчийг F(X) = 7 + Y-ээр илэрхийлсэн. Үр дүнгийн илэрхийлэл нь X-ийн оронд системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулсан нь 2-р тэгшитгэлд нэг Y хувьсагчийг авахад тусалсан. . Энэ жишээг шийдэх нь хялбар бөгөөд Y утгыг авах боломжийг олгодог. Сүүлийн алхам бол олж авсан утгыг шалгах явдал юм.

Шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг орлуулах замаар шийдэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. Тэгшитгэлүүд нь төвөгтэй байж болох ба хувьсагчийг хоёр дахь үл мэдэгдэх байдлаар илэрхийлэх нь цаашдын тооцоололд хэтэрхий төвөгтэй байх болно. Системд 3-аас дээш үл мэдэгдэх зүйл байвал орлуулах замаар шийдвэрлэх нь бас боломжгүй юм.

Шугаман нэг төрлийн бус тэгшитгэлийн системийн жишээний шийдэл:

Алгебрийн нэмэлтийг ашиглан шийдэл

Нэмэх аргыг ашиглан системийн шийдлүүдийг хайхдаа тэгшитгэлийг гишүүнээр нь нэмж, янз бүрийн тоогоор үржүүлнэ. Математик үйлдлүүдийн эцсийн зорилго нь нэг хувьсагчтай тэгшитгэл юм.

Энэ аргыг хэрэглэх нь дадлага, ажиглалт шаарддаг. 3 ба түүнээс дээш хувьсагчтай үед шугаман тэгшитгэлийн системийг нэмэх аргыг ашиглан шийдвэрлэх нь тийм ч хялбар биш юм. Тэгшитгэл нь бутархай ба аравтын бутархайг агуулсан үед алгебрийн нэмэлтийг ашиглахад тохиромжтой.

Шийдлийн алгоритм:

1. Тэгшитгэлийн хоёр талыг тодорхой тоогоор үржүүлнэ. Арифметик үйлдлийн үр дүнд хувьсагчийн нэг коэффициент нь 1-тэй тэнцүү байх ёстой.
2. Үүссэн илэрхийллийн гишүүнийг гишүүнээр нэмээд үл мэдэгдэх нэгийг ол.
3. Үүссэн утгыг системийн 2-р тэгшитгэлд орлуулж, үлдсэн хувьсагчийг ол.

Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэх замаар шийдвэрлэх арга

Хэрэв систем нь хоёроос илүүгүй тэгшитгэлийн шийдлийг олохыг шаарддаг бол үл мэдэгдэх тоо хоёроос илүүгүй байх шаардлагатай бол шинэ хувьсагчийг оруулж болно.

Энэ аргыг шинэ хувьсагч оруулах замаар нэг тэгшитгэлийг хялбарчлахад ашигладаг. Шинэ тэгшитгэлийг танилцуулсан үл мэдэгдэх зүйлийг шийдэж, үр дүнгийн утгыг анхны хувьсагчийг тодорхойлоход ашиглана.

Шинэ хувьсагч t-г оруулснаар системийн 1-р тэгшитгэлийг стандарт квадрат гурвалжин болгон бууруулах боломжтой байсныг жишээ харуулж байна. Дискриминантыг олох замаар олон гишүүнтийг шийдэж болно.

Мэдэгдэж буй томьёог ашиглан ялгаварлагчийн утгыг олох шаардлагатай: D = b2 - 4*a*c, энд D нь хүссэн дискриминант, b, a, c нь олон гишүүнтийн хүчин зүйлүүд юм. Өгөгдсөн жишээнд a=1, b=16, c=39, тиймээс D=100. Хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс их бол хоёр шийдэл байна: t = -b±√D / 2*a, хэрэв ялгаварлагч нь тэгээс бага бол нэг шийдэл байна: x = -b / 2*a.

Үүссэн системүүдийн шийдлийг нэмэх аргаар олно.

Системийг шийдвэрлэх харааны арга

3 тэгшитгэлийн системд тохиромжтой. Энэ арга нь координатын тэнхлэг дээр системд багтсан тэгшитгэл бүрийн графикийг байгуулахаас бүрдэнэ. Муруйнуудын огтлолцох цэгүүдийн координатууд нь системийн ерөнхий шийдэл болно.

График арга нь хэд хэдэн нюанстай байдаг. Шугаман тэгшитгэлийн системийг визуал аргаар шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Жишээнээс харахад мөр бүрт хоёр цэгийг байгуулж, x хувьсагчийн утгыг дур мэдэн сонгосон: 0 ба 3. x-ийн утгуудад үндэслэн y-ийн утгыг олов: 3 ба 0. График дээр (0, 3) ба (3, 0) координаттай цэгүүдийг тэмдэглэж, шугамаар холбосон.

Хоёр дахь тэгшитгэлийн хувьд алхамуудыг давтах ёстой. Шугамануудын огтлолцох цэг нь системийн шийдэл юм.

Дараах жишээнд шугаман тэгшитгэлийн системийн график шийдийг олох шаардлагатай: 0.5x-y+2=0 ба 0.5x-y-1=0.

Графикууд параллель бөгөөд бүхэл бүтэн уртаараа огтлолцдоггүй тул жишээнээс харахад системд шийдэл байхгүй.

2 ба 3-р жишээн дээрх системүүд нь ижил төстэй боловч бүтээгдсэн үед тэдгээрийн шийдэл нь өөр болох нь тодорхой болно. Системд шийдэл байгаа эсэхийг үргэлж хэлэх боломжгүй гэдгийг санах нь зүйтэй бөгөөд энэ нь үргэлж график байгуулах шаардлагатай байдаг.

Матриц ба түүний сортууд

Матрицыг шугаман тэгшитгэлийн системийг товч бичихэд ашигладаг. Матриц бол тоогоор дүүргэсэн тусгай төрлийн хүснэгт юм. n*m нь n - мөр, m - баганатай.

Матриц нь багана, мөрийн тоо тэнцүү байх үед квадрат болно. Матриц-вектор гэдэг нь хязгааргүй тооны мөр бүхий нэг баганын матриц юм. Диагональ ба бусад тэг элементүүдийн дагуу нэг нь бүхий матрицыг ижил төстэй байдал гэж нэрлэдэг.

Урвуу матриц нь үржүүлбэл анхны матриц нь нэгж матриц болж хувирдаг матриц нь зөвхөн анхны квадратын хувьд л байдаг.

Тэгшитгэлийн системийг матриц руу хөрвүүлэх дүрэм

Тэгшитгэлийн системтэй холбоотойгоор тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нөхцөлийг матрицын тоогоор бичдэг нэг тэгшитгэл нь матрицын нэг эгнээ;

Хэрэв мөрийн ядаж нэг элемент тэг биш байвал матрицын мөрийг тэгээс өөр гэж нэрлэдэг. Тиймээс, хэрэв тэгшитгэлийн аль нэгэнд хувьсагчийн тоо өөр байвал алга болсон үл мэдэгдэхийн оронд тэг оруулах шаардлагатай.

Матрицын баганууд нь хувьсагчидтай яг тохирч байх ёстой. Энэ нь х хувьсагчийн коэффициентийг зөвхөн нэг баганад, жишээлбэл, эхнийх нь үл мэдэгдэх у-ийн коэффициентийг зөвхөн хоёр дахь хэсэгт бичиж болно гэсэн үг юм.

Матрицыг үржүүлэхдээ матрицын бүх элементүүдийг тоогоор дараалан үржүүлнэ.

Урвуу матрицыг олох сонголтууд

Урвуу матрицыг олох томьёо нь маш энгийн: K -1 = 1 / |K|, K -1 нь урвуу матриц ба |K| матрицын тодорхойлогч юм. |K| тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, тэгвэл систем шийдэлтэй болно.

Тодорхойлогчийг хоёроос хоёр матрицад хялбархан тооцдог, та диагональ элементүүдийг бие биенээр нь үржүүлэхэд л хангалттай. “Гурав гурваар” гэсэн хувилбарын хувьд |K|=a 1 b 2 c 3 + a 1 b 3 c 2 + a 3 b 1 c 2 + a 2 b 3 c 1 + a 2 b 1 c 3 томъёо байна. + a 3 b 2 c 1 . Та томьёог ашиглаж болно, эсвэл ажил дээр багана, мөрийн элементийн тоо давтагдахгүйн тулд мөр, багана бүрээс нэг элемент авах хэрэгтэй гэдгийг санаж болно.

Матрицын аргыг ашиглан шугаман тэгшитгэлийн системийн жишээг шийдвэрлэх

Шийдвэр олох матрицын арга нь олон тооны хувьсагч, тэгшитгэл бүхий системийг шийдвэрлэхэд төвөгтэй оруулгуудыг багасгах боломжийг олгодог.

Жишээн дээр a nm нь тэгшитгэлийн коэффициентууд, матриц нь вектор x n хувьсагч, b n нь чөлөөт нэр томъёо юм.

Гауссын аргыг ашиглан системийг шийдвэрлэх

Дээд математикт Гауссын аргыг Крамерын аргатай хамт судалдаг бөгөөд системийн шийдлийг олох үйл явцыг Гаусс-Крамерын шийдлийн арга гэж нэрлэдэг. Эдгээр аргуудыг олон тооны шугаман тэгшитгэл бүхий системийн хувьсагчдыг олоход ашигладаг.

Гауссын арга нь орлуулалт болон алгебрийн нэмэлтээр шийдлүүдтэй маш төстэй боловч илүү системтэй байдаг. Сургуулийн хичээл дээр Гауссын аргын шийдлийг 3 ба 4 тэгшитгэлийн системд ашигладаг. Аргын зорилго нь системийг урвуу трапец хэлбэрийн хэлбэрт оруулах явдал юм. Алгебрийн хувиргалт ба орлуулалтын тусламжтайгаар нэг хувьсагчийн утгыг системийн тэгшитгэлийн аль нэгэнд олно. Хоёр дахь тэгшитгэл нь 2 үл мэдэгдэх илэрхийлэл бөгөөд 3 ба 4 нь 3 ба 4 хувьсагчтай байна.

Системийг тодорхойлсон хэлбэрт оруулсны дараа дараагийн шийдлийг системийн тэгшитгэлд мэдэгдэж буй хувьсагчдыг дараалан орлуулах хүртэл бууруулна.

7-р ангийн сургуулийн сурах бичигт Гауссын аргын шийдлийн жишээг дараах байдлаар дүрсэлсэн болно.

Жишээнээс харахад (3) алхам дээр 3х 3 -2х 4 =11 ба 3х 3 +2х 4 =7 гэсэн хоёр тэгшитгэл гарсан. Аливаа тэгшитгэлийг шийдэх нь x n хувьсагчийн аль нэгийг олох боломжийг олгоно.

Бичвэрт дурдсан теорем 5-д хэрэв системийн тэгшитгэлийн аль нэгийг ижил тэгшитгэлээр сольсон тохиолдолд үүссэн систем нь анхныхтай тэнцүү байх болно гэж заасан.

Гауссын арга нь дунд ангийн сурагчдад ойлгоход хэцүү ч математик, физикийн ангиудад гүнзгийрүүлсэн сургалтын хөтөлбөрт хамрагдаж буй хүүхдүүдийн оюун ухааныг хөгжүүлэх хамгийн сонирхолтой аргуудын нэг юм.

Бичлэг хийхэд хялбар байх үүднээс тооцооллыг ихэвчлэн дараах байдлаар хийдэг.

Тэгшитгэлийн коэффициент ба чөлөөт нэр томъёог матрицын хэлбэрээр бичсэн бөгөөд матрицын мөр бүр нь системийн тэгшитгэлүүдийн аль нэгэнд тохирч байна. тэгшитгэлийн зүүн талыг баруун талаас нь тусгаарлана. Ромын тоо нь систем дэх тэгшитгэлийн тоог заана.

Эхлээд ажиллах матрицыг бичээд дараа нь аль нэг мөрийг ашиглан хийсэн бүх үйлдлийг бичнэ үү. Үүссэн матрицыг "сум" тэмдгийн дараа бичиж, үр дүнд хүрэх хүртэл шаардлагатай алгебрийн үйлдлүүдийг үргэлжлүүлнэ.

Үр дүн нь диагональуудын аль нэг нь 1-тэй тэнцүү, бусад бүх коэффициентүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матриц байх ёстой, өөрөөр хэлбэл матрицыг нэгж хэлбэрээр бууруулсан байна. Бид тэгшитгэлийн хоёр талд тоогоор тооцоо хийхээ мартаж болохгүй.

Энэхүү бичлэг хийх арга нь илүү төвөгтэй бөгөөд олон тооны үл мэдэгдэх зүйлсийг жагсаахад анхаарлаа сарниулахгүй байх боломжийг олгодог.

Аливаа шийдлийн аргыг үнэ төлбөргүй ашиглах нь анхаарал халамж, зарим туршлага шаарддаг. Бүх аргууд нь хэрэглээний шинж чанартай байдаггүй. Шийдэл олох зарим аргууд нь хүний ​​​​үйл ажиллагааны тодорхой салбарт илүү тохиромжтой байдаг бол зарим нь боловсролын зорилгоор байдаг.

Хэрэв асуудал гурваас цөөн хувьсагчтай бол энэ нь асуудал биш; хэрэв наймаас дээш бол шийдвэрлэх боломжгүй. Энон.

Параметртэй холбоотой асуудлууд нь Улсын нэгдсэн шалгалтын бүх хувилбарт байдаг тул тэдгээрийг шийдвэрлэх нь төгсөгчдийн мэдлэг хэр гүнзгий бөгөөд албан бус болохыг хамгийн тодорхой харуулдаг. Ийм даалгаврыг гүйцэтгэхэд оюутнуудад тулгардаг бэрхшээл нь зөвхөн харьцангуй нарийн төвөгтэй байдлаас гадна сурах бичигт хангалттай анхаарал хандуулаагүйгээс үүдэлтэй юм. Математикийн KIM-ийн хувилбаруудад параметр бүхий хоёр төрлийн даалгавар байдаг. Эхнийх нь: "параметрийн утга бүрийн хувьд тэгшитгэл, тэгш бус байдал эсвэл системийг шийд." Хоёр дахь нь: "Тэгш бус байдал, тэгшитгэл эсвэл системийн шийдэл нь өгөгдсөн нөхцлийг хангаж байгаа параметрийн бүх утгыг ол." Үүний дагуу эдгээр хоёр төрлийн асуудлын хариултууд нь мөн чанараараа ялгаатай байдаг. Эхний тохиолдолд хариулт нь параметрийн бүх боломжит утгуудыг жагсаасан бөгөөд эдгээр утга тус бүрийн хувьд тэгшитгэлийн шийдлүүдийг бичсэн болно. Хоёр дахь нь асуудлын нөхцөл хангагдсан бүх параметрийн утгуудыг жагсаав. Хариултыг бичих нь шийдлийн чухал үе шат бөгөөд хариултанд шийдлийн бүх үе шатыг тусгахаа мартаж болохгүй. Үүнд оюутнууд анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй.
Хичээлийн хавсралт нь оюутнуудыг эцсийн гэрчилгээнд бэлтгэхэд туслах "Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх" сэдвээр нэмэлт материалыг агуулсан болно.

Хичээлийн зорилго:

• оюутнуудын мэдлэгийг системчлэх;
• тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхдээ график дүрслэлийг ашиглах чадварыг хөгжүүлэх;
• параметрүүдийг агуулсан шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх;
• үйл ажиллагааны хяналт, оюутнуудын өөрийгөө хянах хэрэгжилт;
• сургуулийн сурагчдын судалгаа, танин мэдэхүйн үйл ажиллагааг хөгжүүлэх, олж авсан үр дүнг үнэлэх чадвар.

Хичээл хоёр цаг үргэлжилнэ.

Хичээлийн явц

1. Зохион байгуулалтын мөч

Хичээлийн сэдэв, зорилго, зорилтыг таниулах.

1. Оюутнуудын анхан шатны мэдлэгийг шинэчлэх

Гэрийн даалгавраа шалгаж байна. Гэрийн даалгавар болгон сурагчдаас шугаман тэгшитгэлийн гурван систем тус бүрийг шийдвэрлэхийг даалгасан

а) б) V)

график болон аналитик байдлаар; тохиолдол бүрийн хувьд олж авсан шийдлийн тооны талаар дүгнэлт гарга

Сурагчдын гаргасан дүгнэлтийг сонсож, дүн шинжилгээ хийдэг. Багшийн удирдлаган дор хийсэн ажлын үр дүнг дэвтэрт нэгтгэн бичсэн болно.

Ерөнхийдөө хоёр үл мэдэгдэх хоёр шугаман тэгшитгэлийн системийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. .

Өгөгдсөн тэгшитгэлийн системийг графикаар шийднэ гэдэг нь эдгээр тэгшитгэлийн графикуудын огтлолцох цэгүүдийн координатыг олох эсвэл байхгүй гэдгийг батлах гэсэн үг юм. Энэ системийн тэгшитгэл бүрийн хавтгай дээрх график нь тодорхой шулуун шугам юм.

Хавтгай дээр хоёр шулуун шугамыг харилцан байрлуулах гурван боломжит тохиолдол байдаг.

<Рисунок1>;

<Рисунок2>;

<Рисунок3>.

Тохиолдол бүрийн хувьд зураг зурах нь ашигтай байдаг.

1. Шинэ материал сурах

Өнөөдөр хичээлээр бид параметрүүдийг агуулсан шугаман тэгшитгэлийн системийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах болно. Параметр гэдэг нь тухайн асуудал дахь утга нь өгөгдсөн тогтмол эсвэл дурын бодит тоо эсвэл урьдчилан тодорхойлсон олонлогт хамаарах тоо гэж тооцогддог бие даасан хувьсагч юм. Параметр бүхий тэгшитгэлийн системийг шийднэ гэдэг нь параметрийн аль ч утгыг системд тохирох шийдлийн багцыг олох боломжийг олгодог захидал харилцааг бий болгоно гэсэн үг юм.

Параметртэй асуудлын шийдэл нь түүнд тавьсан асуултаас хамаарна. Хэрэв та зүгээр л нэг параметрийн өөр өөр утгуудын тэгшитгэлийн системийг шийдэх эсвэл судлах шаардлагатай бол параметрийн аль ч утгын талаар эсвэл өмнө нь заасан багцад хамаарах параметрийн утгын талаар үндэслэлтэй хариулт өгөх хэрэгтэй. асуудал. Хэрэв тодорхой нөхцлийг хангасан параметрийн утгыг олох шаардлагатай бол бүрэн судалгаа хийх шаардлагагүй бөгөөд системийн шийдэл нь эдгээр тодорхой параметрийн утгыг олоход л хязгаарлагдана.

Жишээ 1.Параметрийн утга бүрийн хувьд бид тэгшитгэлийн системийг шийддэг

Шийдэл.

1. Хэрэв систем нь өвөрмөц шийдэлтэй

Энэ тохиолдолд бидэнд байна

1. Хэрэв a = 0 бол систем хэлбэрийг авна

Систем нь тогтворгүй, өөрөөр хэлбэл. шийдэл байхгүй.

1. Хэрэв систем нь хэлбэрээр бичигдсэн бол

Мэдээжийн хэрэг, энэ тохиолдолд систем нь x = t хэлбэрийн хязгааргүй олон шийдлүүдтэй байх; Энд t нь аливаа бодит тоо.

Хариулт:

Жишээ 2.

• өвөрмөц шийдэлтэй;
• олон шийдэлтэй;
• шийдэл байхгүй юу?

Шийдэл.

Хариулт:

Жишээ 3.Системд тохирох a ба b параметрийн нийлбэрийг олъё

тоо томшгүй олон шийдэлтэй.

Шийдэл.Хэрэв систем нь хязгааргүй олон шийдэлтэй

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв a = 12, b = 36; a + b = 12 + 36 =48.

Хариулт: 48.

1. Асуудлыг шийдвэрлэх явцад сурсан зүйлээ бататгах

1. № 15.24(a) . Параметрийн утга бүрийн хувьд тэгшитгэлийн системийг шийд

1. No 15.25(a) Параметрийн утга тус бүрийн хувьд тэгшитгэлийн системийг шийд

1. a параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэлийн систем ажилладаг

а) шийдэл байхгүй; б) хязгааргүй олон шийдэлтэй.

Хариулт: a = 2-ын хувьд шийдэл байхгүй, a = -2-ийн хувьд хязгааргүй тооны шийдэл байна.

1. Бүлэг дэх практик ажил

Анги нь 4-5 хүнтэй бүлэгт хуваагдана. Бүлэг бүрт математикийн бэлтгэлийн янз бүрийн түвшний сурагчид багтдаг. Бүлэг бүр ажлын карт авдаг. Та бүх бүлгийг нэг тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд урьж, шийдлийг албан ёсоор гаргаж болно. Даалгаврыг хамгийн түрүүнд зөв гүйцэтгэсэн бүлэг шийдлээ танилцуулна; үлдсэн хэсэг нь шийдлийг багшид өгнө.

Карт.Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийд

a параметрийн бүх утгын хувьд.

Хариулт: хэзээ систем нь өвөрмөц шийдэлтэй ; шийдэл байхгүй үед; a = -1-ийн хувьд (t; 1- t) хэлбэрийн хязгааргүй олон шийдэл байдаг. t R

Анги хүчирхэг бол бүлгүүдэд өөр өөр тэгшитгэлийн системийг санал болгож болох бөгөөд тэдгээрийн жагсаалтыг Хавсралт 1-д оруулсан болно. Дараа нь бүлэг бүр өөрсдийн шийдлийг ангид танилцуулна.

Даалгаврыг хамгийн түрүүнд зөв гүйцэтгэсэн бүлгийн тайлан

Оролцогчид дуу хоолойгоо илэрхийлж, шийдлээ тайлбарлаж, бусад бүлгийн төлөөлөгчдийн тавьсан асуултад хариулдаг.

1. Бие даасан ажил

Сонголт 1

Сонголт 2

1. Хичээлийн хураангуй

Параметр бүхий шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх нь гурван үндсэн нөхцөлийг хамарсан судалгаатай харьцуулж болно. Багш сурагчдыг тэдгээрийг томъёолохыг урьж байна.

Шийдвэр гаргахдаа дараахь зүйлийг санаарай.

1. Систем өвөрмөц шийдэлтэй байхын тулд системийн тэгшитгэлд харгалзах шугамууд огтлолцох шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан байх ёстой;
2. шийдэлгүй байхын тулд шугамууд зэрэгцээ байх ёстой, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан
3. эцэст нь систем хязгааргүй олон шийдэлтэй байхын тулд шугамууд давхцах ёстой, өөрөөр хэлбэл. нөхцөл хангагдсан.

Багш ангийнхаа ажлыг бүхэлд нь үнэлж, тус бүр сурагчдад хичээлийн оноог өгдөг. Бие даан хийсэн ажлыг шалгасны дараа оюутан бүр хичээлийн дүнг авна.

1. Гэрийн даалгавар

b параметрийн ямар утгуудад тэгшитгэлийн систем ажилладаг

• хязгааргүй олон шийдэлтэй;
• шийдэл байхгүй юу?

y = 4x + b ба y = kx + 6 функцуудын графикууд ординаттай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.

• b ба k-г олох,
• Эдгээр графикуудын огтлолцох цэгийн координатыг ол.

m ба n-ийн бүх утгын тэгшитгэлийн системийг шийд.

a параметрийн бүх утгын шугаман тэгшитгэлийн системийг шийднэ үү (таны сонгосон ямар ч утга).

Уран зохиол

1. Алгебр ба математик анализын эхлэл: сурах бичиг. 11-р ангийн хувьд ерөнхий боловсрол байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / С.М.Никольский, М.К.Потапов, Н.Н.Решетников, А.В.Шевкин - М.: Боловсрол, 2008.
2. Математик: 9-р анги: Улсын эцсийн гэрчилгээнд бэлтгэх / M. N. Korchagina, V. V. Korchagin - M.: Eksmo, 2008.
3. Бид их сургуульд орохоор бэлтгэж байна. Математик. 2-р хэсэг. Улсын нэгдсэн шалгалтанд бэлтгэх, төвлөрсөн шалгалтад оролцох, Кубан улсын техникийн их сургууль / Кубан руу элсэлтийн шалгалт өгөх сурах бичиг. муж технологи. их сургууль; Орчин үеийн хүрээлэн технологи. ба эдийн засаг; Эмхэтгэсэн: С.Н.Горшкова, Л.М.Данович, Н.А. Наумова, А.В. Мартыненко, I.A. Палщикова. - Краснодар, 2006.
4. TUSUR-ийн бэлтгэл ангид зориулсан математикийн асуудлын цуглуулга: Сурах бичиг / Z. M. Goldshtein, G. A. Kornievskaya, G. A. Korotchenko, S. N. Кудинова. - Томск: Томск. муж Хяналтын систем ба радиоэлектроникийн их сургууль, 1998 он.
5. Математик: эрчимжүүлсэн шалгалтанд бэлтгэх курс / О.Ю.Черкасов, А.Г.Якушев. - М.: Рольф, Ирис-пресс, 1998.

Шийдэл. A= . r(A)-г олъё. Учир нь матрицМөн 3х4 дараалалтай, дараа нь насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн дээд эрэмб нь 3 байна. Түүнээс гадна, бүх гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна (өөрийгөө шалгаарай). гэсэн үг, r(A)< 3. Возьмем главный үндсэн бага = -5-4 = -9 ≠ 0. Иймд r(A) =2.

Ингээд авч үзье матриц ХАМТ = .

Бага гурав дахь захиалга ≠ 0. Тэгэхээр r(C) = 3 байна.

r(A)-аас хойш ≠ r(C) , тэгвэл систем нь нийцэхгүй байна.

Жишээ 2.Тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг тодорхойлох

Хэрэв энэ систем тогтвортой байвал шийднэ үү.

Шийдэл.

A =, C = . r(A) ≤ 3, r(C) ≤ 4. detC = 0 тул r(C) байх нь ойлгомжтой.< 4. Ингээд авч үзье бага гурав дахь захиалга, А ба С матрицын зүүн дээд буланд байрладаг: = -23 ≠ 0. Тэгэхээр r(A) = r(C) = 3 байна.

Тоо үл мэдэгдэх системд n=3. Энэ нь систем нь өвөрмөц шийдэлтэй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд дөрөв дэх тэгшитгэл нь эхний гурвын нийлбэрийг илэрхийлэх бөгөөд үүнийг үл тоомсорлож болно.

Крамерын томъёоны дагуубид x 1 = -98/23, x 2 = -47/23, x 3 = -123/23 болно.

2.4. Матрицын арга. Гауссын арга

систем nшугаман тэгшитгэл-тай nүл мэдэгдэх асуудлыг шийдэж болно матрицын аргатомъёоны дагуу X = A -1 B (Δ үед ≠ 0), энэ нь (2)-аас хоёр хэсгийг A -1-ээр үржүүлснээр гарна.

Жишээ 1. Тэгшитгэлийн системийг шийд

матрицын арга (2.2-р хэсэгт энэ системийг Крамерын томъёогоор шийдсэн)

Шийдэл. Δ = 10 ≠ 0 A = - доройтдоггүй матриц.

= (шаардлагатай тооцоог хийх замаар үүнийг өөрөө шалгана уу).

A -1 = (1/Δ)х= .

X = A -1 V = x= .

Хариулах: .

Практик талаас нь авч үзвэлматрицын арга ба томъёо Крамерих хэмжээний тооцоололтой холбоотой тул давуу эрх олгодог Гауссын арга, энэ нь үл мэдэгдэх зүйлсийг дараалан арилгахаас бүрддэг. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн системийг гурвалжин өргөтгөсөн матриц бүхий эквивалент систем болгон бууруулсан (үндсэн диагональаас доош байгаа бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү). Эдгээр үйлдлийг урагшлах хөдөлгөөн гэж нэрлэдэг. Үүссэн гурвалжин системээс хувьсагчдыг дараалсан орлуулалтыг (урвуу) ашиглан олно.

Жишээ 2. Гауссын аргыг ашиглан системийг шийд

(Дээрх энэ системийг Крамерын томъёо болон матрицын аргыг ашиглан шийдсэн).

Шийдэл.

Шууд шилжих. Өргөтгөсөн матрицыг бичиж, энгийн хувиргалтуудыг ашиглан гурвалжин хэлбэрт оруулцгаая.

~ ~ ~ ~ .

Бид авдаг систем

Урвуу хөдөлгөөн.Сүүлийн тэгшитгэлээс бид олдог X 3 = -6 ба энэ утгыг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу:

X 2 = - 11/2 - 1/4X 3 = - 11/2 - 1/4(-6) = - 11/2 + 3/2 = -8/2 = -4.

X 1 = 2 -X 2 + X 3 = 2+4-6 = 0.

Хариулах: .

2.5. Шугаман тэгшитгэлийн системийн ерөнхий шийдэл

Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгье = б би(би=). r(A) = r(C) = r, i.e. систем нь хамтын ажиллагаа юм. r-ийн тэгээс бусад бага зэрэг нь үндсэн бага.Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид суурь минор нь А матрицын эхний r (1 ≤ r ≤ min(m,n)) мөр, баганад байрлана гэж үзнэ. Системийн сүүлчийн m-r тэгшитгэлийг хасаад бид a бичнэ. богиносгосон систем:

Энэ нь анхныхтай тэнцүү юм. Үл мэдэгдэх хүмүүсийг нэрлэе x 1 ,….x rүндсэн, ба x r +1 ,…, x rчөлөөтэй ба чөлөөт үл мэдэгдэх нэр томъёог таслагдсан системийн тэгшитгэлийн баруун талд шилжүүлнэ. Бид үндсэн үл мэдэгдэх системийг олж авдаг.

чөлөөт үл мэдэгдэх утгын багц бүрийн хувьд x r +1 = С 1 ,…, x n = С n-rганцхан шийдэлтэй x 1 (C 1 ,…, C n-r),…, x r (C 1 ,…, C n-r),Крамерын дүрмээр олдсон.

Холбогдох шийдэлбогиносгосон тул анхны систем нь дараах хэлбэртэй байна.

X(C 1 ,…, C n-r) = - системийн ерөнхий шийдэл.

Хэрэв бид ерөнхий шийдэлд чөлөөт үл мэдэгдэх тоон утгыг оноож өгвөл хэсэгчилсэн шийдэл гэж нэрлэгддэг шугаман системийн шийдлийг олж авна.

Жишээ.

ШийдэлТохиромжтой байдлыг бий болгож, системийн ерөнхий шийдлийг олох . A = .

, C = Тэгэхээр Яаж r(A)< 4).

Шийдэл. Системийн ерөнхий шийдэл болон зарим тодорхой шийдлийг ол

Үндсэн А матрицыг тасархай шугамаар тусгаарлаж, системийн тэгшитгэл дэх нэр томъёоны боломжит зохицуулалтыг санаж, дээд талд нь үл мэдэгдэх системүүдийг бичдэг. Өргөтгөсөн матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох замаар бид нэгэн зэрэг үндсэн матрицын зэрэглэлийг олдог. В матрицын эхний ба хоёр дахь багана нь пропорциональ байна. Хоёр пропорциональ баганаас зөвхөн нэг нь үндсэн баганад орох боломжтой тул жишээлбэл, эхний баганыг эсрэг тэмдэгтэй тасархай шугамын цаана шилжүүлье. Системийн хувьд энэ нь x 1-ээс тэгшитгэлийн баруун тал руу нэр томъёог шилжүүлэх гэсэн үг юм.

Матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулъя. Матрицын мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлж, системийн өөр мөрөнд нэмэх нь тэгшитгэлийг ижил тоогоор үржүүлж, өөр тэгшитгэлээр нэмэхийг хэлдэг тул бид зөвхөн мөрүүдтэй ажиллах болно. систем. Бид эхний эгнээтэй ажилладаг: матрицын эхний эгнээ (-3) -аар үржүүлж, хоёр, гурав дахь эгнээнд ээлжлэн нэмнэ. Дараа нь эхний мөрийг (-2) үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ.

Хоёр ба гурав дахь мөр нь пропорциональ байдаг тул тэдгээрийн аль нэгийг нь, жишээлбэл, хоёр дахь мөрийг нь хасаж болно. Энэ нь системийн хоёр дахь тэгшитгэлийг хассантай тэнцэнэ, учир нь энэ нь гурав дахь тэгшитгэлийн үр дагавар юм.

Одоо бид хоёр дахь мөрөнд ажиллаж байна: үүнийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Тасалсан шугамаар дугуйлсан минор нь хамгийн өндөр дараалалтай (боломжтой жижиг хэсгүүд) бөгөөд тэг биш (энэ нь үндсэн диагональ дээрх элементүүдийн үржвэртэй тэнцүү), энэ минор нь үндсэн матриц болон өргөтгөсөн аль алинд нь хамаарна. , тиймээс rangA = rangB = 3.
Бага суурь юм. Үүнд x 2 , x 3 , x 4 үл мэдэгдэх коэффициентүүд багтсан бөгөөд энэ нь үл мэдэгдэх x 2 , x 3 , x 4 нь хамааралтай, x 1 , x 5 нь чөлөөтэй гэсэн үг юм.
Матрицыг хувиргаж, зүүн талд зөвхөн минорын суурийг үлдээе (энэ нь дээрх шийдлийн алгоритмын 4-р цэгт тохирч байна).

Энэхүү матрицын коэффициент бүхий систем нь анхны системтэй тэнцүү бөгөөд хэлбэртэй байна

Үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах аргыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.
, ,

Бид x 2, x 3, x 4 хамааралтай хувьсагчдыг x 1 ба x 5 чөлөөт хувьсагчаар илэрхийлсэн харилцааг олж авсан, өөрөөр хэлбэл ерөнхий шийдлийг олсон.

Үнэгүй үл мэдэгдэх утгуудад ямар ч утгыг өгснөөр бид хэдэн ч хэсэгчилсэн шийдлийг олж авдаг. Хоёр тодорхой шийдлийг олцгооё:
1) x 1 = x 5 = 0, тэгвэл x 2 = 1, x 3 = -3, x 4 = 3;
2) x 1 = 1, x 5 = -1, дараа нь x 2 = 4, x 3 = -7, x 4 = 7.
Ийнхүү хоёр шийдэл олдлоо: (0,1,-3,3,0) – нэг шийдэл, (1,4,-7,7,-1) – өөр шийдэл.

Жишээ 2. Тохиромжтой байдлыг судалж, системийн ерөнхий болон тодорхой шийдлийг олох

Шийдэл. Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийг эхний тэгшитгэлд нэг байхаар дахин цэгцэлж, В матрицыг бичье.

Эхний мөртэй ажиллах замаар бид дөрөв дэх баганад тэгийг авна.

Одоо бид хоёр дахь мөрийг ашиглан гурав дахь баганад тэгийг авна.

Гурав, дөрөв дэх мөр нь пропорциональ тул тэдгээрийн аль нэгийг нь зэрэглэлийг өөрчлөхгүйгээр зурж болно.
Гурав дахь мөрийг (-2)-оор үржүүлж, дөрөв дэх мөрөнд нэмнэ:

Үндсэн болон өргөтгөсөн матрицуудын зэрэглэл нь 4-тэй тэнцүү бөгөөд зэрэглэл нь үл мэдэгдэх тоотой давхцаж байгааг бид харж байна, тиймээс систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
;
x 4 = 10- 3х 1 – 3х 2 – 2х 3 = 11.

Жишээ 3. Системийн нийцтэй байдлыг шалгаж, хэрэв байгаа бол шийдлийг олоорой.

Шийдэл. Бид системийн өргөтгөсөн матрицыг эмхэтгэдэг.

Бид эхний хоёр тэгшитгэлийг зүүн дээд буланд 1 байхаар өөрчлөнө.
Эхний мөрийг (-1) үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмнэ:

Хоёр дахь мөрийг (-2)-оор үржүүлээд гурав дахь мөрөнд нэмнэ.

Үндсэн матрицад бид тэгээс бүрдэх мөрийг хүлээн авсан бөгөөд эрэмбэ олдох үед таслагдах боловч өргөтгөсөн матрицад сүүлчийн эгнээ хэвээр байна, өөрөөр хэлбэл r B > r A .

Дасгал хийх. Энэ тэгшитгэлийн системийг нийцтэй эсэхийг судалж, матрицын тооцоолол ашиглан шийд.
Шийдэл

Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийн нийцтэй байдлыг баталж, үүнийг хоёр аргаар шийд: 1) Гауссын аргаар; 2) Крамерын арга. (хариултыг x1,x2,x3 хэлбэрээр оруулна уу)
Шийдэл :doc :doc :xls
Хариулт: 2,-1,3.

Жишээ. Шугаман тэгшитгэлийн системийг өгөв. Түүний нийцтэй байдлыг нотлох. Системийн ерөнхий шийдэл ба нэг тодорхой шийдлийг ол.
Шийдэл
Хариулт: x 3 = - 1 + x 4 + x 5; x 2 = 1 - x 4; x 1 = 2 + x 4 - 3x 5

Дасгал хийх. Систем бүрийн ерөнхий болон тусгай шийдлүүдийг олох.
Шийдэл.Бид энэ системийг Кронекер-Капелли теоремыг ашиглан судалдаг.
Өргөтгөсөн болон үндсэн матрицуудыг бичье.

Дасгал хийх. Тэгшитгэлийн системийг шийд.
Хариулах:x 2 = 2 - 1.67x 3 + 0.67x 4
x 1 = 5 - 3.67x 3 + 0.67x 4
Үнэгүй үл мэдэгдэх утгуудад ямар ч утгыг өгснөөр бид хэдэн ч хэсэгчилсэн шийдлийг олж авдаг. Систем нь тодорхойгүй

• Системүүд мшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
  Шугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэх- энэ бол ийм тооны багц юм ( x 1 , x 2 , …, x n), системийн тэгшитгэл тус бүрийг орлуулах үед зөв тэгшитгэлийг олж авна.
  Хаана a ij , i = 1, …, m; j = 1, …, n- системийн коэффициентүүд;
  b i , i = 1, …, m- чөлөөт гишүүд;
  x j , j = 1, …, n- үл мэдэгдэх.
  Дээрх системийг матриц хэлбэрээр бичиж болно: A X = B,
  
  
  
  
  Хаана ( А|Б) нь системийн үндсэн матриц;
  А- өргөтгөсөн системийн матриц;
  X- үл мэдэгдэх багана;
  Б- чөлөөт гишүүдийн багана.
  Хэрэв матриц Бтэг матриц ∅ биш бол энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн бус гэж нэрлэдэг.
  Хэрэв матриц Б= ∅ бол энэ шугаман тэгшитгэлийн системийг нэгэн төрлийн гэж нэрлэдэг. Нэг төрлийн системд үргэлж тэг (жижиг) шийдэл байдаг: x 1 = x 2 = …, x n = 0.
  Шугаман тэгшитгэлийн хамтарсан системшийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
  Шугаман тэгшитгэлийн үл нийцэх системнь шийдэгдээгүй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
  Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой системөвөрмөц шийдэлтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
  Шугаман тэгшитгэлийн тодорхой бус системнь хязгааргүй тооны шийдтэй шугаман тэгшитгэлийн систем юм.
• n үл мэдэгдэх n шугаман тэгшитгэлийн системүүд
  Хэрэв үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тоотой тэнцүү бол матриц нь квадрат болно. Матрицын тодорхойлогчийг шугаман тэгшитгэлийн системийн үндсэн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг бөгөөд Δ тэмдгээр тэмдэглэнэ.
  Крамер аргасистемийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх.
  Крамерын дүрэм.
  Хэрэв шугаман тэгшитгэлийн системийн гол тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү биш бол систем нь тууштай, тодорхойлогддог бөгөөд цорын ганц шийдлийг Крамерын томъёогоор тооцоолно.
  Энд Δ i нь системийн үндсэн тодорхойлогчоос Δ солих замаар олж авсан тодорхойлогч юм. би th баганаас чөлөөт гишүүдийн баганад. .
• n үл мэдэгдэх m шугаман тэгшитгэлийн системүүд
  Кронекер-Капелли теорем.
  
  
  Өгөгдсөн шугаман тэгшитгэлийн систем тууштай байхын тулд системийн матрицын зэрэглэл нь системийн өргөтгөсөн матрицын зэрэгтэй тэнцүү байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай. дуугарав(Α) = дуугарлаа(Α|B).
  Хэрэв дуугарав(Α) ≠ дуугарав(Α|B), тэгвэл системд шийдэл байхгүй нь ойлгомжтой.
  Хэрэв дуугарав(Α) = дуугарлаа(Α|B), дараа нь хоёр тохиолдол боломжтой:
  1) зэрэглэл(Α) = n(үл мэдэгдэх тоо) - шийдэл нь өвөрмөц бөгөөд Крамерын томъёог ашиглан олж авах боломжтой;
  2) зэрэглэл(Α)< n - Хязгааргүй олон шийдэл байдаг.
• Гауссын аргашугаман тэгшитгэлийн системийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан
  
  
  Өргөтгөсөн матриц үүсгэцгээе ( А|Б) тодорхойгүй болон баруун талын коэффициентуудаас өгөгдсөн системийн.
  Гауссын арга буюу үл мэдэгдэх зүйлийг арилгах арга нь өргөтгөсөн матрицыг багасгахаас бүрдэнэ. А|Б) диагональ хэлбэрт (дээд гурвалжин хэлбэрт) эгнээн дээр энгийн хувиргалтыг ашиглана. Тэгшитгэлийн систем рүү буцаж ирэхэд бүх үл мэдэгдэх зүйл тодорхойлогддог.
  Мөр дээрх үндсэн хувиргалтуудад дараахь зүйлс орно.
  1) хоёр мөрийг солих;
  2) мөрийг 0-ээс өөр тоогоор үржүүлэх;
  3) өөр тэмдэгт мөрийг дурын тоогоор үржүүлсэн мөрөнд нэмэх;
  4) тэг шугамыг хаях.
  Диагональ хэлбэрт оруулсан өргөтгөсөн матриц нь өгөгдсөнтэй тэнцэх шугаман системтэй тохирч, шийдэл нь хүндрэл учруулдаггүй. .
• Нэг төрлийн шугаман тэгшитгэлийн систем.
  Нэг төрлийн систем нь дараахь хэлбэртэй байна.
  
  энэ нь матрицын тэгшитгэлтэй тохирч байна A X = 0.
  1) Нэг төрлийн систем үргэлж тууштай байдаг, учир нь r(A) = r(A|B), үргэлж тэг шийдэл байдаг (0, 0, …, 0).
  2) Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд шаардлагатай бөгөөд хангалттай. r = r(A)< n Δ = 0-тэй тэнцүү байна.
  3) Хэрэв r< n , тэгвэл мэдээж Δ = 0, тэгвэл чөлөөт үл мэдэгдэх зүйлс үүснэ c 1 , c 2 , …, c n-r, систем нь өчүүхэн бус шийдлүүдтэй бөгөөд тэдгээр нь хязгааргүй олон байдаг.
  4) Ерөнхий шийдэл Xцагт r< n матриц хэлбэрээр дараах байдлаар бичиж болно.
  X = c 1 X 1 + c 2 X 2 + … + c n-r X n-r,
  шийдэл хаана байна X 1 , X 2 , …, X n-rшийдлийн үндсэн системийг бүрдүүлнэ.
  5) Уусмалын үндсэн системийг нэгэн төрлийн системийн ерөнхий шийдлээс гаргаж авч болно.
  
  ,
  хэрэв бид параметрийн утгуудыг (1, 0, …, 0), (0, 1, …, 0), …, (0, 0, …, 1)-тэй тэнцүүлэх юм бол.
  Шийдлийн үндсэн системийн хувьд ерөнхий шийдлийг өргөжүүлэхүндсэн системд хамаарах шийдлүүдийн шугаман хослол хэлбэрийн ерөнхий шийдлийн бичлэг юм.
  Теорем. Шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд Δ ≠ 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.
  Тэгэхээр тодорхойлогч Δ ≠ 0 бол систем нь өвөрмөц шийдэлтэй байна.
  Хэрэв Δ ≠ 0 бол шугаман нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн систем хязгааргүй тооны шийдтэй байна.
  Теорем. Нэг төрлийн систем тэгээс өөр шийдэлтэй байхын тулд энэ нь зайлшгүй бөгөөд хангалттай юм r(A)< n .
  Баталгаа:
  1) rилүү байж болохгүй n(матрицын зэрэглэл нь багана эсвэл мөрийн тооноос хэтрэхгүй);
  2) r< n , учир нь Хэрэв r = n, дараа нь системийн гол тодорхойлогч Δ ≠ 0 бөгөөд Крамерын томъёоны дагуу өвөрмөц өчүүхэн шийдэл байдаг. x 1 = x 2 = … = x n = 0, энэ нь нөхцөлтэй зөрчилдөж байна. гэсэн үг, r(A)< n .
  Үр дагавар. Нэг төрлийн системийг бий болгохын тулд nшугаман тэгшитгэлүүд nүл мэдэгдэх нь тэгээс өөр шийдэлтэй байсан тул Δ = 0 байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.