Тархалтын нөхцөлт хуулиуд. Регресс.
Тодорхойлолт. Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн (X, Y) нөхцөлт тархалтын хууль нь түүний тархалтын хууль бөгөөд нөгөө бүрэлдэхүүн хэсэг нь тодорхой утгыг авсан (эсвэл зарим интервалд унасан) нөхцөлд тооцдог. Өмнөх лекцээр бид дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нөхцөлт тархалтыг олох талаар авч үзсэн. Нөхцөлт магадлалын томъёог мөн энд өгөв.
Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд j y (x) ба j X (y) нөхцөлт тархалтын магадлалын нягтыг тодорхойлох шаардлагатай. Энэ зорилгоор өгөгдсөн томъёонд бид үйл явдлын магадлалыг тэдгээрийн "магадлалын элементүүд"-ээр солино!
dx ба dy-ээр бууруулсны дараа бид дараахь зүйлийг авна.
тэдгээр. хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүний нэг хэмжээст бүрэлдэхүүн хэсгийн нөхцөлт магадлалын нягт нь түүний холбоосын нягтыг нөгөө бүрэлдэхүүн хэсгийн магадлалын нягттай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна. Эдгээр харилцааг хэлбэрээр бичсэн болно
тархалтын нягтыг үржүүлэх теорем (дүрэм) гэж нэрлэдэг.
Нөхцөлт нягтрал j y (x) ба j X (y). "Нөхцөлгүй" нягтын бүх шинж чанаруудтай.
Хоёр хэмжээст санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг судлахдаа нэг хэмжээст X ба Y бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тоон шинж чанарыг харгалзан үздэг - математикийн хүлээлт ба хэлбэлзэл. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд (X, Y) тэдгээрийг дараах томъёогоор тодорхойлно.
Тэдгээрийн хамт нөхцөлт тархалтын тоон шинж чанарыг харгалзан үзнэ: нөхцөлт математикийн хүлээлт M x (Y) ба M y (X) ба нөхцөлт дисперс D x (Y) ба D Y (X). Эдгээр шинж чанаруудыг математикийн хүлээлт ба дисперсийн ердийн томьёо ашиглан олдог бөгөөд үүнд үйл явдлын магадлал эсвэл магадлалын нягтын оронд нөхцөлт магадлал эсвэл нөхцөлт магадлалын нягтыг ашигладаг.
X = x үед санамсаргүй хэмжигдэхүүн Y-ийн нөхцөлт математикийн хүлээлт, i.e. M x (Y) нь х-ийн функцийг регрессийн функц гэж нэрлэдэг эсвэл Х дээр У-ийн регресс гэж нэрлэдэг. Үүний нэгэн адил, M Y (X) нь регрессийн функц эсвэл Y дээр X-ийн регресс гэж нэрлэгддэг. Эдгээр функцүүдийн графикууд нь дараах байдалтай байна. регрессийн шугам (эсвэл регрессийн муруй) Y-ийг X-ээр эсвэл X-ийг Y-ээр нэрлэнэ.
Хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд.
Тодорхойлолт. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хамтарсан тархалтын функц F(x,y) нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүний F 1 (x) ба F 2 (y) хуваарилалтын функцүүдийн үржвэрээр илэрхийлэгдсэн бол тэдгээрийг бие даасан гэж нэрлэдэг.
Үгүй бол X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хамааралтай гэж нэрлэдэг.
x ба y аргументуудын хувьд тэгш байдлыг хоёр удаа ялгаж, бид олж авна
тэдгээр. X ба Ү бие даасан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд тэдгээрийн хамтарсан нягт j(x,y) нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн j 1 (x) ба j 2 (y) магадлалын нягтын үржвэртэй тэнцүү байна.
Өнөөг хүртэл бид нэг хувьсагчийн x утга нь нөгөө хувьсагчийн хатуу тодорхойлсон утгатай тохирч байх үед X ба Y хувьсагчдын хоорондох функциональ хамаарлын тухай ойлголттой тулгарсаар ирсэн. Жишээлбэл, санамсаргүй хоёр хэмжигдэхүүн хоорондын хамаарал - тодорхой хугацааны туршид бүтэлгүйтсэн тоног төхөөрөмжийн тоо, тэдгээрийн өртөг - функциональ байдаг.
Ерөнхийдөө тэд функциональ байдлаас арай бага хамааралтай өөр төрлийн хараат байдалтай тулгардаг.
Тодорхойлолт.Хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоорондын хамаарлыг тэдгээрийн аль нэгнийх нь утга тус бүр нь нөгөөгийн тодорхой (нөхцөлт) тархалттай тохирч байвал магадлалын (стохастик эсвэл статистик) гэж нэрлэдэг.
Магадлалын (стохастик) хамаарлын хувьд тэдгээрийн аль нэгнийх нь үнэ цэнийг мэдэхийн тулд нөгөөгийнх нь утгыг нарийн тодорхойлох боломжгүй, гэхдээ та зөвхөн нөгөө хэмжигдэхүүний тархалтыг зааж өгч болно. Жишээлбэл, тоног төхөөрөмжийн эвдрэлийн тоо, урьдчилан сэргийлэх засварын зардал, хүний жин, өндөр, сургуулийн сурагчийн телевизийн нэвтрүүлэг үзэх, ном уншихад зарцуулсан цаг хугацаа гэх мэт. магадлал (стохастик).
Зураг дээр. Зураг 5.10-д X ба Ү хамааралтай ба бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг үзүүлэв.
Хэрэв нэг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль нөгөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн ямар утгыг авахаас хамаарч өөрчлөгдөхгүй бол $X$ ба $Y$ хоёр санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бие даасан гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, дурын $x$ ба $y$-ийн хувьд $X=x$ болон $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан байна. $X=x$ ба $Y=y$ үйл явдлууд бие даасан тул бие даасан үйл явдлуудын магадлалын үржвэрийн теоремоор $P\left(\left(X=x\right)\left(Y=y\) баруун)\баруун)=P \left(X=x\right)P\left(Y=y\баруун)$.
Жишээ 1 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь "Оросын Лотто" сугалааны нэг сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг, $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь өөр "Алтан түлхүүр" сугалааны тасалбараас авсан мөнгөн хожлыг илэрхийлнэ. Нэг сугалааны тасалбарын хонжвор нь өөр нэг сугалааны тасалбараас хожлын хуваарилалтын хуулиас хамаарахгүй тул санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь бие даасан байх нь ойлгомжтой. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X,\Y$ нь ижил сугалааны хожлыг илэрхийлэх юм бол эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай байх нь ойлгомжтой.
Жишээ 2 . Хоёр ажилчин өөр өөр цехэд ажиллаж, үйлдвэрлэлийн технологи, ашигласан түүхий эдээр бие биенээсээ хамааралгүй төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн үйлдвэрлэдэг. Нэг ээлжинд эхний ажилчны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль дараахь хэлбэртэй байна.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ x & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.8 & 0.2 \\
\hline
\end(массив)$
Хоёр дахь ажилтны нэг ээлжинд үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь дараахь хуваарилалтын хуулийг дагаж мөрддөг.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо \ y & 0 & 1 \\
\hline
Магадлал & 0.7 & 0.3 \\
\hline
\end(массив)$
Нэг ээлжиндээ хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хуулийг олъё.
Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь нэг ээлжинд эхний ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо, $Y$ нь нэг ээлжинд хоёр дахь ажилтны үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо байх болно. Нөхцөлөөр $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байна.
Нэг ээлжинд хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X+Y$ байна. Түүний боломжит утгууд нь $0,\1$, $2$ байна. $X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн өөрийн утгыг авах магадлалыг олцгооё.
$P\left(X+Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0,\Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун) =0.8\cdot 0.7=0.56.$
$P\зүүн(X+Y=1\баруун)=P\зүүн(X=0,\ Y=1\ эсвэл\ X=1,\ Y=0\баруун)=P\зүүн(X=0\баруун) )P\left(Y=1\баруун)+P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=0\баруун)=0.8\cdot 0.3+0.2\cdot 0.7 =0.38.$
$P\зүүн(X+Y=2\баруун)=P\зүүн(X=1,\Y=1\баруун)=P\зүүн(X=1\баруун)P\зүүн(Y=1\баруун) =0.2\cdot 0.3=0.06.$
Дараа нь нэг ээлжинд хоёр ажилчин үйлдвэрлэсэн гэмтэлтэй бүтээгдэхүүний тоог хуваарилах хууль:
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
\ гэмтэлтэй \ бүтээгдэхүүний тоо & 0 & 1 & 2 \\
\hline
Магадлал & 0.56 & 0.38 & 0.06\\
\hline
\end(массив)$
Өмнөх жишээн дээр бид $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд дээр үйлдэл хийж, тэдгээрийн $X+Y$ нийлбэрийг олсон. Одоо санамсаргүй хэмжигдэхүүн дээрх үйлдлүүдийн (нэмэх, ялгах, үржүүлэх) илүү нарийн тодорхойлолтыг өгч, шийдлийн жишээг өгье.
Тодорхойлолт 1. Тогтмол хэмжигдэхүүнтэй $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний $kX$ үржвэр нь $kx_i$-г ижил магадлалтай $p_i$ $\left(i=1,\ 2,\) авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. \цэгүүд ,\ n\ баруун)$.
Тодорхойлолт 2. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр (ялгаа эсвэл бүтээгдэхүүн) нь $x_i+y_j$ ($x_i-y_i$ эсвэл $x_i\cdot y_i$) хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. , $i=1 ,\ 2,\dots ,\ n$, $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ нь $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай:
$$p_(ij)=P\зүүн[\зүүн(X=x_i\баруун)\зүүн(Y=y_j\баруун)\баруун].$$
$X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.
Жишээ 3 . $X,\Y$ бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь магадлалын тархалтын хуулиар тодорхойлогддог.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -8 & 2 & 3 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$
$Z=2X+Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг томьёолъё. $X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн нийлбэр, өөрөөр хэлбэл $X+Y$ нь $x_i+y_j$ хэлбэрийн бүх боломжит утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд $i=1,\2 ,\dots ,\ n$ , $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_i$ утгыг, $Y$ $y_j$ утгыг авах $p_(ij)$ магадлалтай: $p_(ij)=P\left [\left(X=x_i\right )\left(Y=y_j\right)\right]$. $X,\Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь бие даасан байдаг тул бие даасан үйл явдлын магадлалын үржүүлэх теоремын дагуу: $p_(ij)=P\left(X=x_i\right)\cdot P\left(Y=y_j\ баруун) = p_i \ cdot p_j $.
Тиймээс $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн тархалтын хуультай.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
x_i & -16 & 4 & 6 \\
\hline
p_i & 0.4 & 0.1 & 0.5 \\
\hline
\end(массив)$
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
y_i & 2 & 8 \\
\hline
p_i & 0.3 & 0.7 \\
\hline
\end(массив)$
$Z=2X+Y$ нийлбэрийн бүх утгууд ба тэдгээрийн магадлалыг олоход хялбар байх үүднээс бид туслах хүснэгтийг зохиож, нүд бүрт нь $ нийлбэрийн утгыг зүүн буланд байрлуулна. Z=2X+Y$, баруун буланд - $2X$ ба $Y$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний харгалзах утгуудын магадлалыг үржүүлсний үр дүнд олж авсан эдгээр утгуудын магадлал.
Үүний үр дүнд бид $Z=2X+Y$ хуваарилалтыг олж авна.
$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
z_i & -14 & -8 & 6 & 12 & 10 & 16 \\
\hline
p_i & 0.12 & 0.28 & 0.03 & 0.07 & 0.15 & 0.35 \\
\hline
\end(массив)$
