Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн жишээ. Шугаман бус тэгшитгэл бүхий системүүд

Энэхүү видео хичээлээр оюутнууд нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн сэдвийг судлах боломжтой болно.

Тодорхойлолтуудыг өгье:

1) нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь sin x + b cos x = 0 шиг харагдаж байна;

2) хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 шиг харагдаж байна.

a sin x + b cos x = 0 тэгшитгэлийг авч үзье. Хэрэв a нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь b cos x = 0 шиг харагдана; Хэрэв b нь тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь sin x = 0 шиг харагдах болно. Эдгээр нь бидний хамгийн энгийн гэж нэрлэсэн тэгшитгэлүүд бөгөөд өмнөх сэдвүүдэд шийдэгдсэн.

Одоо a ба b нь тэгтэй тэнцүү биш байх үеийн сонголтыг авч үзье. Тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус x-д хуваах замаар бид хувиргалтыг гүйцэтгэдэг. Бид tg x + b = 0-ийг авна, тэгвэл tg x нь - b/a-тай тэнцүү болно.

Дээрхээс харахад a sin mx + b cos mx = 0 тэгшитгэл нь I зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд түүний хэсгүүдийг cos mx-д хуваана.

1-р жишээг харцгаая. 7 sin (x/2) - 5 cos (x/2) = 0-ийг шийд. Эхлээд тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус (x/2)-д хуваа. Косинусыг хуваасан синус тангенс гэдгийг мэдвэл бид 7 tan (x/2) - 5 = 0 болно. Илэрхийлэлийг хувиргаснаар бид tan (x/2) утга нь 5/7-тэй тэнцүү болохыг олж мэднэ. Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь x = arctan a + πn хэлбэртэй, манай тохиолдолд x = 2 арктан (5/7) + 2πn байна.

a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 тэгшитгэлийг авч үзье.

1) тэгтэй тэнцүү бол тэгшитгэл нь b sin x cos x + c cos 2 x = 0 шиг харагдах болно. Хувиргаснаар бид cos x (b sin x + c cos x) = 0 илэрхийлэлийг олж аваад хоёрыг шийдэж эхэлнэ. тэгшитгэл. Тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус x-д хуваасны дараа бид b tg x + c = 0 болно, энэ нь tg x = - c/b гэсэн үг юм. x = arctan a + πn гэдгийг мэдвэл энэ тохиолдолд шийдэл нь x = arctan (- с/b) + πn болно.

2) хэрэв a нь тэгтэй тэнцүү биш бол тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинусын квадратад хуваах замаар бид шүргэгч агуулсан тэгшитгэлийг олж авах бөгөөд энэ нь квадрат байх болно. Энэ тэгшитгэлийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийдэж болно.

3) c нь тэгтэй тэнцүү байх үед тэгшитгэл нь sin 2 x + b sin x cos x = 0 хэлбэртэй болно. Хэрэв бид x-ийн синусыг хаалтнаас гаргаж авбал энэ тэгшитгэлийг шийдэж болно.

1. тэгшитгэлд нүгэл 2 х байгаа эсэхийг харах;

2. Хэрэв тэгшитгэл нь sin 2 x гэсэн нэр томьёог агуулж байвал хоёр талыг косинусын квадратад хувааж, дараа нь шинэ хувьсагч оруулах замаар тэгшитгэлийг шийдэж болно.

3. Хэрэв тэгшитгэлд sin 2 x агуулаагүй бол хаалтнаас cosx-ыг авч тэгшитгэлийг шийдэж болно.

2-р жишээг авч үзье. Хаалтнаас косинусыг авч хоёр тэгшитгэл гаргая. Эхний тэгшитгэлийн үндэс нь x = π/2 + πn байна. Хоёр дахь тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид энэ тэгшитгэлийн хэсгүүдийг косинус x-д хувааж, хувиргах замаар бид x = π/3 + πn-ийг авна. Хариулт: x = π/2 + πn ба x = π/3 + πn.

3 sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 2 2x = 2 хэлбэрийн тэгшитгэл болох жишээ 3-ыг шийдэж, - π-ээс π хүртэлх хэрчимд хамаарах язгууруудыг олъё. Учир нь Энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн бус тул үүнийг нэгэн төрлийн хэлбэрт оруулах шаардлагатай. sin 2 x + cos 2 x = 1 томьёог ашиглан sin 2 2x - 2 sin 2x cos 2x + cos 2 2x = 0 тэгшитгэлийг авна. Тэгшитгэлийн бүх хэсгийг cos 2 x-т хуваавал tg 2 2x + болно. 2tg 2x + 1 = 0 z = tan 2x шинэ хувьсагчийн оролтыг ашиглан язгуур нь z = 1 гэсэн тэгшитгэлийг шийднэ. Дараа нь tan 2x = 1, энэ нь x = π/8 + (πn)/2 гэсэн үг юм. . Учир нь асуудлын нөхцлийн дагуу та - π-ээс π хүртэлх сегментэд хамаарах үндсийг олох хэрэгтэй, шийдэл нь - π хэлбэртэй байна.< x <π. Подставляя найденное значение x в данное выражение и преобразовывая его, получим - 2,25 < n < 1,75. Т.к. n - это целые числа, то решению уравнения удовлетворяют значения n: - 2; - 1; 0; 1. При этих значениях n получим корни решения исходного уравнения: x = (- 7π)/8, x = (- 3π)/8, x =π/8, x = 5π/8.

Текстийг тайлах:

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд

Өнөөдөр бид "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл" хэрхэн шийдэгддэгийг авч үзэх болно. Эдгээр нь тусгай төрлийн тэгшитгэлүүд юм.

Тодорхойлолттой танилцацгаая.

Маягтын тэгшитгэл мөн нүгэл x+бcosx = 0 (мөн синус x нэмэх косинус x нь тэгтэй тэнцүү) нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг;

хэлбэрийн тэгшитгэл мөн гэм 2 х+бгэм хcosx+scos 2 x= 0 (мөн синусын квадрат х нэмэх нь синус x косинус x нэмэх se косинусын квадрат х нь тэгтэй тэнцүү) хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Хэрэв a=0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна бcosx = 0.

Хэрэв б = 0 , тэгвэл бид авна ба нүгэл x= 0.

Эдгээр тэгшитгэлүүд нь энгийн тригонометр бөгөөд тэдгээрийн шийдлийг бид өмнөх сэдвүүддээ авч үзсэн

Ингээд авч үзьекоэффициент хоёулаа тэгтэй тэнцүү биш тохиолдолд. Тэгшитгэлийн хоёр талыг хувааж үзье Анүгэлx+ бcosx = 0 гишүүнээр cosx.

x-ийн косинус тэгээс ялгаатай тул бид үүнийг хийж чадна. Эцсийн эцэст, хэрэв cosx = 0 , дараа нь тэгшитгэл Анүгэлx+ бcosx = 0 хэлбэрийг авна Анүгэлx = 0 , А≠ 0, тиймээс нүгэлx = 0 . Энэ нь боломжгүй, учир нь үндсэн тригонометрийн шинж чанарын дагуу гэм 2 х+cos 2 x=1 .

Тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах Анүгэлx+ бcosx = 0 гишүүнээр cosx, бид авна: + =0

Өөрчлөлтүүдийг хийцгээе:

1. оноос хойш = tg x, тэгвэл =ба tg x

2 -аар багасгах cosx, Дараа нь

Тиймээс бид дараах илэрхийллийг олж авна ба tg x + b =0.

Өөрчлөлтийг хийцгээе:

1.b-г эсрэг тэмдэгтэй илэрхийллийн баруун талд шилжүүлнэ

ба tg x =- b

2. Үржүүлэгчээс салцгаая тэгшитгэлийн хоёр талыг а-д хуваах

бор х= -.

Дүгнэлт: Маягтын тэгшитгэл нүгэлмx+бcosmx = 0 (мөн синус эм x нэмэх нь косинус em x нь тэгтэй тэнцүү) -ийг нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Үүнийг шийдэхийн тулд хоёр талыг хуваах хэрэгтэй cosmx.

ЖИШЭЭ 1. 7 sin - 5 cos = 0 тэгшитгэлийг шийд (долоон синус х хоёрыг хасах таван косинус х хоёрыг тэгтэй тэнцүү)

Шийдэл. Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos-д хуваавал бид гарна

1. = 7 тан (синус ба косинусын харьцаа нь шүргэгч тул долоон синус х-ийг косинусыг хоёроор хуваавал 7 тан х хоёр-той тэнцүү байна)

2. -5 = -5 (cos товчлолтой)

Ингэснээр бид тэгшитгэлийг олж авсан

7tg - 5 = 0, Илэрхийлэлийг өөрчилье, хасах тавыг баруун тал руу шилжүүлж, тэмдгийг өөрчилье.

Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t=, a = хэлбэрт оруулав. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул А мөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна

x = arctan a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл дараах хэлбэртэй байна.

Arctg + πn, х-г ол

x=2 арктан + 2πn.

Хариулт: x=2 арктан + 2πn.

Хоёр дахь зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл рүү шилжье

Аsin 2 x+b sin x cos x +-тайcos 2 x= 0.

Хэд хэдэн тохиолдлыг авч үзье.

I. Хэрэв a=0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна бнүгэлxcosx+scos 2 x= 0.

шийдвэрлэх үед eДараа нь бид тэгшитгэлийг хүчин зүйлжүүлэх аргыг ашигладаг. Бид үүнийг гаргана cosxхаалтны цаана байгаа бөгөөд бид дараахь зүйлийг авна. cosx(бнүгэлx+scosx)= 0 . Хаана cosx= 0 эсвэл

b sin x +-тайcos x= 0.Мөн бид эдгээр тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэхээ аль хэдийн мэддэг болсон.

Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cosх-д хуваая, бид олж авна

1 (синус ба косинусын харьцаа нь шүргэгч учраас).

Тиймээс бид тэгшитгэлийг олж авна: б tg x+c=0

Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t= x, a = хэлбэртэй болгож бууруулсан. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул Амөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна

x = arctan a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл нь:

x = арктан + πn, .

II. Хэрэв a≠0, дараа нь тэгшитгэлийн хоёр талыг гишүүнээр нь хуваана cos 2 x.

(Эхний зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн хувьд косинус х тэг рүү явж чадахгүй байгаатай адил аргаар маргаж байна).

III. Хэрэв c=0, тэгвэл тэгшитгэл хэлбэрийг авна Анүгэл 2 x+ бнүгэлxcosx= 0. Энэ тэгшитгэлийг хүчин зүйлчлэлийн аргаар шийдэж болно (бид гаргаж авдаг нүгэлxхаалтаас цааш).

Энэ нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед гэсэн үг юм Анүгэл 2 x+ бнүгэлxcosx+scos 2 x= 0 Та алгоритмыг дагаж болно:

ЖИШЭЭ 2. sinxcosx - cos 2 x= 0 тэгшитгэлийг шийднэ (синус х үржүүлсэн косинус х язгуурыг гурваар үржүүлсэн косинусын квадрат х тэгтэй тэнцүү).

Шийдэл. Үүнийг хүчин зүйлээр ангилъя (cosx-ийг хаалтнаас гарга). Бид авдаг

cos x(sin x - cos x)= 0, i.e. cos x=0 эсвэл sin x - cos x= 0.

Хариулт: x =+ πn, x= + πn.

ЖИШЭЭ 3. 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 (гурван синусын квадрат хоёр X хасах синусын үржвэрийг хоёр X үржүүлсэн косинус хоёр X нэмэх гурван косинусын квадрат хоёр X) тэгшитгэлийг шийдэж, хамаарах язгуурыг ол. интервал (- π;

Шийдэл. Энэ тэгшитгэл нь нэгэн төрлийн биш тул зарим өөрчлөлтийг хийцгээе. Бид тэгшитгэлийн баруун талд байгаа 2-ын тоог 2 1 бүтээгдэхүүнээр солино

Учир нь үндсэн тригонометрийн ижилсэлээр sin 2 x + cos 2 x =1, тэгвэл

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) = хаалтуудыг нээвэл: 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

2 ∙ 1= 2 ∙ (sin 2 x + cos 2 x) =2 sin 2 x + 2 cos 2 x

Энэ нь 3sin 2 2x - 2 sin2xcos2 x +3cos 2 2x= 2 тэгшитгэл дараах хэлбэртэй байна гэсэн үг.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x = 2 sin 2 x + 2 cos 2 x.

3sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +3cos 2 2x - 2 sin 2 x - 2 cos 2 x=0,

sin 2 2x - 2 sin 2x cos2 x +cos 2 2x =0.

Бид хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг олж авлаа. Cos 2 2x-ээр гишүүнээр нь хуваах аргыг хэрэглэцгээе.

тг 2 2х - 2тг 2х + 1 = 0.

z= tan2х шинэ хувьсагчийг оруулъя.

Бидэнд z 2 - 2 z + 1 = 0 байна. Энэ бол квадрат тэгшитгэл юм. Зүүн талд байгаа товчилсон үржүүлэх томъёог анзаарч - ялгааны квадрат (), бид (z - 1) 2 = 0, i.e. z = 1. Урвуу орлуулалт руу буцъя:

Бид тэгшитгэлийг tg t = a, t= 2x, a =1 хэлбэртэй болгож буурууллаа. Мөн энэ тэгшитгэл нь ямар ч утгын шийдэлтэй тул Амөн эдгээр шийдлүүд нь хэлбэртэй байна

x = arctan x a + πn, тэгвэл бидний тэгшитгэлийн шийдэл нь:

2х= арктан1 + πn,

x = + , (х нь pi үрийг найм, pi en хоёрыг үржүүлсэнтэй тэнцүү).

Бидний хийх ёстой зүйл бол интервалд байгаа x утгуудыг олох явдал юм

(- π; π), i.e. π x π давхар тэгш бус байдлыг хангана. Учир нь

x= +, дараа нь - π + π. Энэ тэгш бус байдлын бүх хэсгийг π-д хувааж, 8-аар үржүүлбэл бид олж авна

нэгийг баруун, зүүн тийш шилжүүлж, тэмдгийг хасах нэг болгон өөрчил

бид дөрөв хуваах,

Тохиромжтой болгохын тулд бид бүхэл хэсгүүдийг бутархайгаар тусгаарладаг

-

Энэ тэгш бус байдлыг дараах n бүхэл тоогоор хангана: -2, -1, 0, 1

Математикийн улсын нэгдсэн шалгалтын C1 даалгаврыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар хамгийн сүүлийн дэлгэрэнгүй мэдээлэл - нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх.Энэ эцсийн хичээл дээр бид тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар танд хэлэх болно.

Эдгээр тэгшитгэлүүд юу вэ? Тэдгээрийг ерөнхийд нь бичье.

$$a\sin x + b\cos x = 0,$$

`a` ба `b` нь зарим тогтмолууд юм. Энэ тэгшитгэлийг нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл

Ийм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд та үүнийг `\cos x`-д хуваах хэрэгтэй. Дараа нь энэ хэлбэрийг авна

$$\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))) a \tg x + b = 0.$$

Ийм тэгшитгэлийн хариултыг арктангенс ашиглан амархан бичдэг.

`\cos x ≠0` гэдгийг анхаарна уу. Үүнийг батлахын тулд косинусын оронд тэгийг тэгшитгэлд орлуулж, синус нь мөн тэгтэй тэнцүү байх ёстойг олж мэдэв. Гэсэн хэдий ч тэдгээр нь нэгэн зэрэг тэгтэй тэнцүү байж болохгүй, энэ нь косинус нь тэг биш гэсэн үг юм.

Энэ жилийн бодит шалгалтын зарим асуулт нь нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлтэй холбоотой байв. холбоосоор орж үзнэ үү. Бид асуудлын бага зэрэг хялбаршуулсан хувилбарыг авах болно.

Эхний жишээ. Нэгдүгээр зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл

$$\sin x + \cos x = 0.$$

`\cos x`-д хуваана.

$$\tg x + 1 = 0,$$

$$x = -\frac(\pi)(4)+\pi k.$$

Би давтан хэлье, ижил төстэй даалгавар Улсын нэгдсэн шалгалтанд байсан :)

Одоо дараагийн төрлийн тэгшитгэл рүү шилжье.

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл

Ерөнхийдөө энэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

$$a\sin^2 x + b\sin x \cos x + c\cos^2 x =0,$$

Энд `a, b, c` нь зарим тогтмолууд юм.

Ийм тэгшитгэлийг `\cos^2 x`-д хуваах замаар шийддэг (энэ нь дахиад тэг биш). Нэг жишээг даруй харцгаая.

Хоёр дахь жишээ. Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл

$$\sin^2 x - 2\sin x \, \cos x - 3\cos^2 x = 0.$$

`\cos^2 x`-д хуваана.

$$(\tg)^2 x - 2\tg x -3 =0.$$

`t = \tg x`-г орлуулъя.

$$t^2 - 2т -3 = 0,$$

$$t_1 = 3,\t_2 = -1.$$

Урвуу солих

$$\tg x = 3, \text( or ) \tg x = -1,$$

$$x = \arctan(3)+\pi k, \text( or ) x= -\frac(\pi)(4)+ \pi k.$$

Хариулт нь ирсэн.

Гурав дахь жишээ. Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн шийдэл

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2.$$

Бүх зүйл сайхан байх болно, гэхдээ энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн биш - баруун талд байгаа "-2" нь бидэнд саад болж байна. Юу хийх вэ? Үндсэн тригонометрийн таних тэмдэгийг ашиглаад `-2` гэж бичье.

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x = -2(\sin^2 x + \cos^2 x ), $$

$$-\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - 3\cos^2 x + 2\sin^2 x + 2\cos^2 x = 0,$$

$$\sin^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3)\sin x \cos x - \cos^2 x = 0.$$

`\cos^2 x`-д хуваана.

$$(\tg)^2 x + \frac(2\sqrt(2))(3) \tg x - 1 = 0,$$

`t= \tg x` орлуулах.

$$t^2 + \frac(2\sqrt(2))(3) t - 1 = 0,$$

$$t_1 = \frac(\sqrt(3))(3),\ t_2 = -\sqrt(3).$$

Урвуу орлуулалтыг хийсний дараа бид дараахь зүйлийг авна.

$$\tg x = \frac(\sqrt(3))(3) \text( эсвэл ) \tg x = -\sqrt(3).$$

$$x =-\frac(\pi)(3) + \pi k,\ x = \frac(\pi)(6)+ \pi k.$$

Энэ бол энэ гарын авлагын сүүлчийн жишээ юм.

Ердийнх шигээ сануулъя: сургалт бол бидний хувьд бүх зүйл юм. Хичнээн мундаг хүн байлаа ч бэлтгэл хийхгүйгээр ур чадвар хөгжихгүй. Шалгалтын үеэр энэ нь сэтгэлийн түгшүүр, алдаа, цаг хугацаа алдах зэргээр дүүрэн байдаг (энэ жагсаалтыг өөрөө үргэлжлүүлээрэй). Заавал суралцаарай!

Сургалтын даалгавар

Тэгшитгэлийг шийд:

• `10^(\sin x) = 2^(\sin x) \cdot 5^(-\cos x)`. Энэ бол 2013 оны Улсын нэгдсэн шалгалтын даалгавар юм. Зэрэглэлийн шинж чанарын талаарх мэдлэгийг хэн ч цуцалсангүй, гэхдээ мартсан бол хараарай;
• `\sqrt(3) \sin x + \sin^2 \frac(x)(2) = \cos^2 \frac(x)(2)`. Долоо дахь хичээлийн томъёо нь хэрэг болно.
• `\sqrt(3) \sin 2x + 3 \cos 2x = 0`.

Ингээд л болоо. Ердийнх шигээ эцэст нь: сэтгэгдэл дээр асуулт асууж, дуртай, видео үзэх, Улсын нэгдсэн шалгалтыг хэрхэн шийдвэрлэх талаар сурах.

Өнөөдөр бид нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг судлах болно. Эхлээд нэр томъёог авч үзье: нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж юу вэ. Энэ нь дараах шинж чанаруудтай.

1. хэд хэдэн нэр томъёо агуулсан байх ёстой;
2. бүх нэр томъёо ижил зэрэгтэй байх ёстой;
3. Нэг төрлийн тригонометрийн ижилсэлд багтсан бүх функцууд нь ижил аргументтай байх ёстой.

Шийдлийн алгоритм

Нөхцөлүүдийг сонгоцгооё

Хэрэв эхний зүйлд бүх зүйл тодорхой байвал хоёр дахь зүйлийн талаар илүү дэлгэрэнгүй ярих нь зүйтэй юм. Нэр томьёо нэг зэрэгтэй байна гэдэг нь юу гэсэн үг вэ? Эхний асуудлыг авч үзье:

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Энэ тэгшитгэлийн эхний гишүүн юм 3cosx 3\cos x. Энд зөвхөн нэг тригонометрийн функц байгааг анхаарна уу - cosx\cos x - энд өөр ямар ч тригонометрийн функц байхгүй тул энэ нэр томъёоны зэрэг нь 1. Хоёрдахьтай адил - 5sinx 5\sin x - энд зөвхөн синус байгаа, өөрөөр хэлбэл энэ нэр томъёоны зэрэг нь нэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс бидний өмнө тригонометрийн функцийг агуулсан хоёр элементээс бүрдэх ижил төстэй байдал, зөвхөн нэг л байна. Энэ бол нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл юм.

Хоёр дахь илэрхийлэл рүү шилжье:

4нүгэл2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Энэхүү бүтээн байгуулалтын анхны гишүүн нь 4нүгэл2 x 4((\sin )^(2))x.

Одоо бид дараах шийдлийг бичиж болно.

нүгэл2 x=sinx⋅sinx

((\sin )^(2))x=\sin x\cdot \sin x

Өөрөөр хэлбэл, эхний гишүүн нь хоёр тригонометрийн функцийг агуулна, өөрөөр хэлбэл түүний зэрэг нь хоёр байна. Хоёрдахь элементийг авч үзье - нүгэл 2х\sin 2x. Энэ томьёог санацгаая - давхар өнцгийн томъёо:

sin2x=2sinx⋅cosx

\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x

Дахин хэлэхэд, үүссэн томъёонд бид синус ба косинус гэсэн хоёр тригонометрийн функцтэй байна. Тиймээс барилгын энэ хугацааны эрчим хүчний үнэ цэнэ нь мөн хоёртой тэнцүү байна.

Гурав дахь элемент рүү шилжье - 3. Ахлах сургуулийн математикийн хичээлээс бид дурын тоог 1-ээр үржүүлж болно гэдгийг санаж байгаа тул бид үүнийг бичнэ.

˜ 3=3⋅1

Мөн нэгжийг үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг ашиглан дараах хэлбэрээр бичиж болно.

1=нүгэл2 x⋅ cos2 x

1=((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x

Тиймээс бид 3-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

3=3(нүгэл2 x⋅ cos2 x)=3нүгэл2 x+3 cos2 x

3=3\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x \right)=3((\sin )^(2))x+3(( \cos )^(2))x

Тиймээс бидний 3-р нэр томъёо нь хоёр элементэд хуваагддаг бөгөөд тус бүр нь нэгэн төрлийн, хоёр дахь зэрэгтэй байдаг. Эхний гишүүн дэх синус хоёр удаа, хоёр дахь косинус хоёр удаа тохиолддог. Тиймээс 3-ыг хоёр зэрэглэлийн илтгэгчтэй нэр томъёогоор илэрхийлж болно.

Гурав дахь илэрхийлэлтэй ижил зүйл:

нүгэл3 x+ нүгэл2 xcosx=2 cos3 x

Харцгаая. Эхний нэр томъёо нь нүгэл3 x((\sin )^(3))x нь гуравдугаар зэргийн тригонометрийн функц юм. Хоёрдахь элемент - нүгэл2 xcosx((\sin )^(2))x\cos x.

нүгэл2 ((\sin )^(2)) нь чадлын утгыг хоёроор үржүүлсэн холбоос юм cosx\cos x нь эхний гишүүн юм. Нийтдээ гурав дахь нэр томъёо нь гурван хүчин чадлын утгатай байна. Эцэст нь баруун талд өөр холбоос байна - 2cos3 x 2((\cos )^(3))x нь гуравдугаар зэргийн элемент юм. Тиймээс бидний өмнө гурав дахь зэрэгтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл байна.

Бидэнд бичигдсэн өөр өөр зэрэгтэй гурван таних тэмдэг бий. Хоёр дахь илэрхийлэлд дахин анхаарлаа хандуулаарай. Анхны бичлэгт нэг гишүүн маргалдсан байдаг 2x 2x. Бид энэ аргументыг давхар өнцгийн синусын томьёог ашиглан хувиргах замаар арилгахаас өөр аргагүй болсон, учир нь бидний таних тэмдэгт багтсан бүх функцүүд нь заавал ижил аргументтай байх ёстой. Мөн энэ нь нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлд тавигдах шаардлага юм.

Бид үндсэн тригонометрийн ижил төстэй томъёог ашиглаж, эцсийн шийдлийг бичнэ

Нөхцөлүүдийг цэгцэлсэн тул шийдэл рүүгээ явцгаая. Хүч чадлын экспонентаас үл хамааран энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх нь үргэлж хоёр үе шаттайгаар явагддаг.

1) үүнийг нотлох

cosx≠0

\cos x\ne 0. Үүнийг хийхийн тулд үндсэн тригонометрийн ижилтгэлийн томъёог эргэн санахад хангалттай. (нүгэл2 x⋅ cos2 x=1)\left(((\sin )^(2))x\cdot ((\cos )^(2))x=1 \right) ба энэ томъёонд орлуулна уу cosx=0\cos x=0. Бид дараах илэрхийлэлийг авах болно.

нүгэл2 x=1sinx=±1

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\sin )^(2))x=1 \\& \sin x=\pm 1 \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх)

Хүлээн авсан утгыг орлуулах, өөрөөр хэлбэл оронд нь cosx\cos x нь тэг, оронд нь синкс\sin x — 1 эсвэл -1, анхны илэрхийлэлд бид буруу тоон тэгшитгэл авах болно. Энэ бол үндэслэл юм

cosx≠0

2) хоёр дахь алхам нь эхнийхээс логикоор дагалддаг. Учир нь

cosx≠0

\cos x\ne 0, бид бүтцийн аль аль талыг нь хуваана cosn x((\cos )^(n))x, хаана n n нь нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн чадлын илтгэгч юм. Энэ нь бидэнд юу өгдөг вэ:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

синксcosx=tgxcosxcosx=1

\begin(align)& \frac(\sin x)(\cos x)=tgx \\& \frac(\cos x)(\cos x)=1 \\\ end(align) \\() \\ \төгсгөл(массив)\]

Үүний ачаар бидний хүнд хэцүү анхны бүтээн байгуулалт тэгшитгэл рүү буурч байна nШүргэгчийн хувьд n-зэрэг, хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан шийдлийг хялбархан бичиж болно. Энэ бол бүхэл бүтэн алгоритм юм. Энэ нь практик дээр хэрхэн ажилладагийг харцгаая.

Бид бодит асуудлыг шийддэг

Даалгавар №1

3cosx+5sinx=0

3\cos x+5\sin x=0

Энэ нь нэгтэй тэнцүү чадлын илтгэгчтэй нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэдгийг бид аль хэдийн олж мэдсэн. Тиймээс эхлээд үүнийг олж мэдье cosx≠0\cos x\ne 0. Эсрэгээр нь гэж бодъё

cosx=0→sinx=±1

\cos x=0\to \sin x=\pm 1.

Үр дүнгийн утгыг илэрхийлэлдээ орлуулж, бид дараахийг авна.

3⋅0+5⋅(±1) =0±5=0

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3\cdot 0+5\cdot \left(\pm 1 \right)=0 \\& \pm 5=0 \\\ end(зохих)

Үүн дээр үндэслэн бид үүнийг хэлж чадна cosx≠0\cos x\ne 0. Тэгшитгэлээ хуваая cosx\cos x учир нь бидний илэрхийлэл бүхэлдээ нэг чадлын утгатай байна. Бид авах:

3(cosxcosx) +5(синксcosx) =0 3+5тгх=0tgx=− 3 5

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& 3\left(\frac(\cos x)(\cos x) \баруун)+5\left(\frac(\sin x)(\cos x) \баруун)=0 \\& 3+5tgx=0 \\& tgx=-\frac(3)(5) \\\төгсгөл(эгцлэх)

Энэ нь хүснэгтийн утга биш тул хариултыг оруулах болно arctgx arctgx:

x=arctg (−3 5 ) + π n,n∈Z

x=arctg\left(-\frac(3)(5) \баруун)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\-д Z

Учир нь arctg arctg arctg нь сондгой функц тул бид аргументаас “хасах”-ыг авч, arctg-ийн өмнө тавьж болно. Бид эцсийн хариултыг авна:

x=−arctg 3 5 + π n,n∈Z

x=-arctg\frac(3)(5)+\text( )\!\!\pi\!\!\text( )n,n\ in Z

Даалгавар №2

4нүгэл2 x+sin2x−3=0

4((\sin )^(2))x+\sin 2x-3=0

Таны санаж байгаагаар үүнийг шийдэж эхлэхээсээ өмнө зарим өөрчлөлтийг хийх хэрэгтэй. Бид өөрчлөлтийг хийдэг:

4нүгэл2 x+2sinxcosx−3 (нүгэл2 x+ cos2 x)=0 4нүгэл2 x+2sinxcosx−3 нүгэл2 x−3 cos2 x=0нүгэл2 x+2sinxcosx−3 cos2 x=0

\begin(align)& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3\left(((\sin )^(2))x+((\cos )^(2 ))x \right)=0 \\& 4((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\sin )^(2))x-3((\cos) )^(2))x=0 \\& ((\sin )^(2))x+2\sin x\cos x-3((\cos )^(2))x=0 \\\end (зохицуулах)

Бид гурван элементээс бүрдсэн бүтцийг хүлээн авсан. Эхний улиралд бид харж байна нүгэл2 ((\sin )^(2)), өөрөөр хэлбэл түүний чадлын утга нь хоёр байна. Хоёр дахь улиралд бид харж байна синкс\sin x ба cosx\cos x - дахиад хоёр функц байгаа, тэдгээрийг үржүүлсэн тул нийт зэрэг нь дахин хоёр байна. Гурав дахь холбоос дээр бид харж байна cos2 x((\cos )^(2))x - эхний утгатай төстэй.

Үүнийг баталцгаая cosx=0\cos x=0 нь энэ барилгын шийдэл биш юм. Үүнийг хийхийн тулд эсрэгээр нь төсөөлье:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\1+2\cdot \left(\pm 1 \right)\cdot 0-3\cdot 0=0 \\1+0-0=0 \ \1=0 \\\төгсгөл(массив)\]

Бид үүнийг нотолсон cosx=0\cos x=0 шийдэл байж болохгүй. Хоёр дахь алхам руу шилжье - илэрхийлэлээ бүхэлд нь хуваа cos2 x((\cos )^(2))x. Яагаад квадрат гэж? Учир нь энэ нэгэн төрлийн тэгшитгэлийн чадлын илтгэгч нь хоёртой тэнцүү байна.

нүгэл2 xcos2 x+2sinxcosxcos2 x−3=0 т g2 x+2tgx−3=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(2))x)(((\cos )^(2))x)+2\frac(\sin x\cos x)(((\ cos )^(2))x)-3=0 \\& t((g)^(2))x+2tgx-3=0 \\\төгсгөл(зохицуулах)

Дискриминант ашиглан энэ илэрхийллийг шийдэх боломжтой юу? Мэдээж та чадна. Гэхдээ би Вьетагийн теоремын эсрэг теоремыг эргэн санахыг санал болгож байгаа бөгөөд бид энэ олон гишүүнтийг хоёр энгийн олон гишүүнт хэлбэрээр төлөөлж чадна гэдгийг олж мэдье, тухайлбал:

(tgx+3) (tgx−1) =0tgx=−3→x=−arctg3+ π n,n∈Ztgx=1→x= π 4 + π k,k∈Z

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& \left(tgx+3 \баруун)\зүүн(tgx-1 \баруун)=0 \\& tgx=-3\to x=-arctg3+\text( )\!\!\pi\ !\!\text( )n,n\in Z \\& tgx=1\to x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\ text( )\!\!\pi\!\!\text( )k,k\ in Z \\\ end(зохицуулах)

Олон оюутнууд ижил төстэй байдлын шийдлийн бүлэг тус бүрд тус тусад нь коэффициент бичих нь зүйтэй болов уу, эсвэл хаа сайгүй ижил зүйлийг бичихгүй байх нь зүйтэй болов уу гэж асуудаг. Хэрэв та математикийн нэмэлт шалгалттай техникийн ноцтой их сургуульд элсэх юм бол шалгуулагчид хариултаас алдаа олохгүй байхын тулд өөр үсэг ашиглах нь илүү сайн бөгөөд найдвартай гэж би хувьдаа үздэг.

Даалгавар №3

нүгэл3 x+ нүгэл2 xcosx=2 cos3 x

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x=2((\cos )^(3))x

Энэ бол гурав дахь зэрэглэлийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэдгийг бид аль хэдийн мэдэж байгаа, тусгай томъёолол шаардлагагүй бөгөөд биднээс шаардлагатай бүх зүйл бол нэр томъёог шилжүүлэх явдал юм. 2cos3 x 2((\cos )^(3))x зүүн тийш. Дахин бичье:

нүгэл3 x+ нүгэл2 xcosx−2 cos3 x=0

((\sin )^(3))x+((\sin )^(2))x\cos x-2((\cos )^(3))x=0

Элемент бүр гурван тригонометрийн функц агуулж байгааг бид харж байгаа тул энэ тэгшитгэл нь гурван чадлын утгатай байна. Үүнийг шийдье. Юуны өмнө бид үүнийг батлах хэрэгтэй cosx=0\cos x=0 нь үндэс биш:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

\cos x=0 \\\sin x=\pm 1 \\\төгсгөл(массив)\]

Эдгээр тоог анхны бүтэцдээ орлуулъя:

(±1)3 +1⋅0−2⋅0=0 ±1+0−0=0±1=0

\эхлэх(зэрэгцүүлэх)& ((\зүүн(\pm 1 \баруун))^(3))+1\cdot 0-2\cdot 0=0 \\& \pm 1+0-0=0 \\& \pm 1=0 \\\төгсгөл(гацуулах)

Тиймээс, cosx=0\cos x=0 бол шийдэл биш. Бид үүнийг нотолсон cosx≠0\cos x\ne 0. Нэгэнт бид үүнийг нотолсон бол анхны тэгшитгэлээ хувааж үзье cos3 x((\cos )^(3))x. Яагаад шоо гэж? Учир нь бид анхны тэгшитгэл маань гуравдагч хүчинтэй гэдгийг дөнгөж сая нотолсон.

нүгэл3 xcos3 x+нүгэл2 xcosxcos3 x−2=0 т g3 x+t g2 x−2=0

\begin(align)& \frac(((\sin )^(3))x)(((\cos )^(3))x)+\frac(((\sin )^(2))x\ cos x)(((\cos )^(3))x)-2=0 \\& t((g)^(3))x+t((g)^(2))x-2=0 \\\төгсгөл(зохицуулах)

Шинэ хувьсагчийг танилцуулъя:

tgx=t

Барилгыг дахин бичье:

т3 +т2 −2=0

((t)^(3))+((t)^(2))-2=0

Бид куб тэгшитгэлтэй. Үүнийг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Эхэндээ би энэ видео хичээлийг эвлүүлж байхдаа эхлээд олон гишүүнтийг факторинг болон бусад аргуудын талаар ярихаар төлөвлөж байсан. Гэхдээ энэ тохиолдолд бүх зүйл илүү хялбар байдаг. Бидний өгөгдсөн нэр томъёог харна уу, хамгийн өндөр зэрэгтэй нэр томъёо нь 1. Үүнээс гадна бүх коэффициентүүд нь бүхэл тоо юм. Энэ нь бид бүх язгуурууд нь -2 тооны хуваагч, өөрөөр хэлбэл чөлөөт нэр томъёо гэсэн Безоутын теоремын үр дүнг ашиглаж болно гэсэн үг юм.

Асуулт гарч ирнэ: -2 нь юунд хуваагдах вэ? 2 нь анхны тоо учраас олон сонголт байхгүй. Эдгээр нь дараах тоонууд байж болно: 1; 2; -1; -2. Сөрөг үндэс нь нэн даруй алга болдог. Яагаад? Учир нь хоёулаа үнэмлэхүй утгаараа 0-ээс их байдаг т3 ((t)^(3))-аас модулиар их байх болно т2 ((t)^(2)). Мөн шоо нь сондгой функц тул шоо дахь тоо сөрөг байх болно т2 ((t)^(2)) - эерэг, мөн энэ бүх бүтэц, хамт t=−1 t=-1 ба t=−2 t=-2, 0-ээс ихгүй байх болно. Үүнээс -2-ыг хасаад мэдээж 0-ээс бага тоо гарна. Зөвхөн 1 ба 2-ыг л орлуулъя.

˜ t=1→ 1+1−2=0→0=0

˜t=1\to \text( )1+1-2=0\to 0=0

Бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авлаа. Тиймээс, t=1 t=1 нь үндэс юм.

t=2→8+4−2=0→10≠0

t=2\to 8+4-2=0\to 10\n 0

t=2 t=2 нь үндэс биш.

Үүний үр дагавар ба ижил Безоутын теоремын дагуу үндэс нь байгаа олон гишүүнт x0 ((x)_(0)), дараах хэлбэрээр илэрхийлнэ.

Q(x)=(x= x0 )P(x)

Q(x)=(x=((x)_(0)))P(x)

Манай тохиолдолд дүрд x x нь хувьсагч юм т t, мөн дүрд x0 ((x)_(0)) нь 1-тэй тэнцүү үндэс юм. Бид дараахыг авна.

т3 +т2 −2=(t−1)⋅P(t)

((t)^(3))+((t)^(2))-2=(t-1)\cdot P(t)

Олон гишүүнтийг хэрхэн олох вэ П (t) P\зүүн(t\баруун)? Мэдээжийн хэрэг та дараахь зүйлийг хийх хэрэгтэй.

P(t)= т3 +т2 −2 t−1

P(t)=\frac(((t)^(3))+((t)^(2))-2)(t-1)

Орлуулж үзье:

т3 +т2 +0⋅t−2t−1=т2 +2т+2

\frac(((t)^(3))+((t)^(2))+0\cdot t-2)(t-1)=((t)^(2))+2t+2

Тэгэхээр бидний анхны олон гишүүнт үлдэгдэлгүй хуваагдана. Тиймээс бид анхны тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

(t−1)( т2 +2т+2)=0

(t-1)(((t)^(2))+2t+2)=0

Хүчин зүйлийн ядаж нэг нь тэг байх үед бүтээгдэхүүн нь тэг болно. Бид эхний үржүүлэгчийг аль хэдийн авч үзсэн. Хоёрдахь зүйлийг харцгаая:

т2 +2т+2=0

((t)^(2))+2t+2=0

Туршлагатай оюутнууд энэ бүтээн байгуулалт ямар ч үндэсгүй гэдгийг аль хэдийн ойлгосон байх, гэхдээ ялгаварлан гадуурхалтыг тооцож үзье.

D=4−4⋅2=4−8=−4

D=4-4\cdot 2=4-8=-4

Дискриминант нь 0-ээс бага тул илэрхийлэлд үндэс байхгүй. Нийтдээ асар том бүтээн байгуулалтыг ердийн тэгш байдал болгон бууруулсан:

\[\begin(массив)(·(35)(л))

t=\text( )1 \\tgx=\text( )1 \\x=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(4)+\text( ) \!\!\pi\!\!\text( )k,k\-д Z \\\төгсгөл(массив)\]

Эцэст нь хэлэхэд, би сүүлийн даалгаврын талаар хэд хэдэн тайлбар нэмэхийг хүсч байна.

1. нөхцөл үргэлж сэтгэл хангалуун байх уу? cosx≠0\cos x\ne 0, тэгээд энэ шалгалтыг хийх нь үнэ цэнэтэй юу? Мэдээжийн хэрэг, үргэлж биш. Ямар тохиолдолд cosx=0\cos x=0 нь бидний тэгш байдлын шийдэл бөгөөд бид үүнийг хаалтнаас гаргах ёстой бөгөөд дараа нь бүрэн эрхт нэгэн төрлийн тэгшитгэл нь хаалтанд үлдэх болно.
2. Олон гишүүнт олон гишүүнт хуваагдах нь юу вэ. Үнэхээр ч ихэнх сургуулиуд үүнийг судалдаггүй бөгөөд оюутнууд ийм загварыг анх удаа хараад бага зэрэг цочирддог. Гэвч үнэн хэрэгтээ энэ бол өндөр түвшний тэгшитгэлийн шийдлийг ихээхэн хөнгөвчлөх энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй техник юм. Мэдээжийн хэрэг, тусдаа видео зааварчилгааг түүнд зориулах бөгөөд би үүнийг ойрын ирээдүйд нийтлэх болно.

Гол цэгүүд

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь бүх төрлийн тестийн хамгийн дуртай сэдэв юм. Тэдгээрийг маш энгийнээр шийдэж болно - нэг удаа дасгал хий. Юу яриад байгааг тодорхой болгохын тулд шинэ тодорхойлолтыг оруулъя.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь тэгээс бусад гишүүн бүр ижил тооны тригонометрийн хүчин зүйлээс бүрдэх тэгшитгэл юм. Эдгээр нь синус, косинус эсвэл тэдгээрийн хослол байж болно - шийдлийн арга нь үргэлж ижил байдаг.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн зэрэг нь 0-ээс өөр гишүүнчлэлд багтсан тригонометрийн хүчин зүйлсийн тоо юм.

sinx+15 cos x=0

\sin x+15\text( cos )x=0 - 1-р зэргийн таних тэмдэг;

2 sin2x+5sinxcosx−8cos2x=0

2\text( sin)2x+5\sin xcosx-8\cos 2x=0 - 2-р зэрэг;

sin3x+2sinxcos2x=0

\sin 3x+2\sin x\cos 2x=0 - 3-р зэрэг;

sinx+cosx=1

\sin x+\cos x=1 - мөн энэ тэгшитгэл нь нэг төрлийн биш, учир нь баруун талд нэгж байдаг - тригонометрийн хүчин зүйл байхгүй тэгээс өөр нэр томъёо;

sin2x+2sinx−3=0

\sin 2x+2\sin x-3=0 нь бас нэгэн төрлийн бус тэгшитгэл юм. Элемент нүгэл 2х\sin 2x нь 2-р зэрэгтэй (үүнийг төлөөлөх боломжтой

sin2x=2sinxcosx

\sin 2x=2\sin x\cos x), 2sinx 2\sin x нь эхнийх бөгөөд 3 гэсэн нэр томъёо нь ерөнхийдөө тэг болно, учир нь синус эсвэл косинус байхгүй.

Ерөнхий шийдлийн схем

Шийдлийн схем нь үргэлж ижил байдаг:

Ингэж бодъё cosx=0\cos x=0. Дараа нь sinx=±1\sin x=\pm 1 - энэ нь үндсэн таних тэмдэгээс гардаг. Орлуулж үзье синкс\sin x ба cosx\cos x-г анхны илэрхийлэлд оруулах ба хэрэв үр дүн нь утгагүй бол (жишээлбэл, илэрхийлэл 5=0 5=0), хоёр дахь цэг рүү оч;

Бид бүгдийг косинусын хүчээр хуваадаг: cosx, cos2x, cos3x... - тэгшитгэлийн чадлын утгаас хамаарна. Бид шүргэгчтэй ердийн тэгш байдлыг олж авдаг бөгөөд үүнийг tgx=t-ийг сольсны дараа аюулгүйгээр шийдэж болно.

tgx=tОлдсон үндэс нь анхны илэрхийллийн хариулт болно.

Бүгд Найрамдах Тува Улсын Тээлийн тосгон дахь улсын төсвийн мэргэжлийн боловсролын байгууллага

Математикийн хичээлийг хөгжүүлэх

Хичээлийн сэдэв:

"Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл"

Багш: Ооржак

Айлана Михайловна

Хичээлийн сэдэв : "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл"(А.Г. Мордковичийн сурах бичгийн дагуу)

Бүлэг : Ургамал тариалангийн магистр, 1-р курс

Хичээлийн төрөл: Шинэ материал сурах хичээл.

Хичээлийн зорилго:

2. Логик сэтгэлгээ, дүгнэлт хийх чадвар, гүйцэтгэсэн үйлдлийн үр дүнг үнэлэх чадварыг хөгжүүлэх

3. Суралцагчдад үнэн зөв, хариуцлагатай байх, суралцах эерэг сэдлийг төлөвшүүлэх.

Хичээлийн тоног төхөөрөмж: зөөврийн компьютер, проектор, дэлгэц, карт, тригонометрийн зурагт хуудас: тригонометрийн функцын утга, тригонометрийн үндсэн томъёо.

Хичээлийн үргэлжлэх хугацаа: 45 минут.

Хичээлийн бүтэц:

Хичээлийн явц.

1. Зохион байгуулалтын үе (1 мин)

Сурагчдын хичээлд бэлэн байдлыг шалгаж, жижүүрийн бүлгийг сонс.

2. Суурь мэдлэгээ шинэчлэх (3 мин)

2.1. Гэрийн даалгавраа шалгаж байна.

18.8 (в, г) самбарт гурван сурагч шийднэ; № 18.19. Үлдсэн оюутнууд үе тэнгийнхнийхээ үнэлгээг хийдэг.

3. Шинэ материал сурах (13 мин)

3.1. Оюутнуудын урам зориг.

Сурагчид мэддэг, шийдэж чаддаг тэгшитгэлүүдийг нэрлэхийг хүснэ (слайд №1)

1) 3 cos 2 x – 3 cos x = 0;

2) cos (x – 1) = ;

3) 2 нүгэл 2 х + 3 нүгэл x = 0;

4) 6 син 2 x – 5 cos x + 5 = 0; 1 2

5) sin x cos x + cos²x = 0;

6) tg + 3ctg = 4.

7) 2sin x – 3cos x = 0;

8) нүгэл 2 x + cos 2 x = 0;

9) sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0.

Сурагчид 7-9-р тэгшитгэлийн шийдлийг нэрлэж чадахгүй.

3.2. Шинэ сэдвийн тайлбар.

Багш: Таны шийдэж чадаагүй тэгшитгэлүүд практикт нэлээд түгээмэл байдаг. Тэдгээрийг нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Хичээлийн сэдвийг бичнэ үү: "Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд." (слайдын дугаар 2)

Проекторын дэлгэц дээр нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг тодорхойлох. (слайдын дугаар 3)

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг авч үзье (слайд No4, 5)

Жишээнүүдийн шийдлүүдэд дүн шинжилгээ хий

Жишээ 1. 2sin тэгшитгэлийг шийд x – 3cos x = 0; (слайдын дугаар 6)

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos-д хуваая x, бид дараахыг авна:

2тг х – 3 = 0

tg x =

x = arctan + πn , n Z.

Хариулт: x = arctan + π n, n Z.

Жишээ 2 . Sin 2 тэгшитгэлийг шийд x + cos 2 x = 0; (слайдын дугаар 7)

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos 2-т хуваая x, бид дараахыг авна:

tg2 x + 1 = 0

tg2 x = - 1

2х = арктан (-1)+ πn, n Z.

2х = - + πn, n Z.

x = - + , n Z.

Хариулт: x = - + , n Z.

Жишээ 3 . sin²х – 3sinх cos x+2cos²х = 0 тэгшитгэлийг шийд. (слайдын дугаар 8)

Тэгшитгэлийн гишүүн бүр ижил зэрэгтэй байна. Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos-д хуваая 2 x ≠ 0, бид дараахь зүйлийг авна.

тг 2 x-3tg x+2 = 0. z = tan x шинэ хувьсагчийг оруулъя, бид олж авна.

z 2 – 3z + 2 =0

z 1 = 1, z 2 = 2

Энэ нь tg x = 1 эсвэл tg x = 2 гэсэн үг юм

4. Судалсан материалыг нэгтгэх (10 мин)

Багш нь самбар дээр сул оюутнуудтай жишээн дээр нарийвчлан дүн шинжилгээ хийдэг, хүчтэй сурагчид дэвтэр дээрээ бие даан шийддэг.

5. Ялгасан бие даасан ажил (15 мин)

Багш үндсэн (A), дунд (B), ахисан (C) гэсэн гурван түвшний даалгавар бүхий картуудыг гаргадаг. Оюутнууд аль түвшний жишээг шийдэхээ өөрсдөө сонгодог.

6. Дүгнэж байна. Анги доторх сургалтын үйл ажиллагааны талаар эргэцүүлэн бодох (2 мин)

Асуултанд хариулна уу:

Бид ямар төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг сурсан бэ?

Нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Би олж мэдсэн ...

Би сурсан...

Хичээл дээр бие даасан сурагчдын сайн ажлыг үнэлж, үнэлгээ өгөх.

7. Гэрийн даалгавар. (1 мин)

Суралцагчдад гэрийн даалгавраа мэдэгдэж, хэрхэн гүйцэтгэх талаар товч зааварчилгаа өгнө.

No 18.12 (в, г), No 18.24 (в, г), No 18.27 (а)

Ашигласан уран зохиол:

Слайд 2

"Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл"

1. a sin x + b cos x = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг a ≠0, b ≠0 бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ. 2. a sin 2 x + b sin x cos x + c cos 2 x = 0 хэлбэрийн тэгшитгэлийг a ≠0, b ≠0, c ≠0-ийг хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл гэнэ. Тодорхойлолт:

I зэрэг a sinx + b cosx = 0, (a,b ≠ 0). Тэгшитгэлийн хоёр талыг cosx ≠ 0 гишүүнээр хуваая: a tanx + b = 0 tgx = -b /a хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэл Нэг төрлийн тэгшитгэлийг a sinx + b cosx = 0-ийг cos x ≠-д хуваахдаа гарна. 0 бол энэ тэгшитгэлийн үндэс алдагдахгүй. Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга

a sin²x + b sinx cosx + c cos²x = 0. 1) хэрэв a ≠ 0 бол тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos ² x ≠0-д хуваана. Бид дараахийг олж авна: a tan ² x + b tgx + c = 0, танилцуулах замаар шийднэ. шинэ хувьсагч z = tgx 2) хэрэв a = 0 бол бид дараахь зүйлийг авна: b sinx cosx + c cos ² x =0, үржүүлэх аргаар шийднэ / Нэг төрлийн тэгшитгэлийг хуваахдаа a sin ² x + b sinx cosx + c cos ² x = 0, cos 2 x ≠ 0 бол энэ тэгшитгэлийн үндэс алдагдахгүй. II зэрэг

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг гишүүнээр нь cos x-д хуваавал: Жишээ 1. 2 sin x – 3 cos x = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн гишүүний хоёр талыг cos 2 x-т хуваавал: Жишээ 2. sin 2 x + cos 2 x = 0 тэгшитгэлийг шийд

Тэгшитгэлийн гишүүн бүр ижил зэрэгтэй байна. Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн хоёр талыг os 2 x ≠ 0 гишүүнээр хуваавал: Жишээ 3. sin ² x – 3 sin x cos x+2 cos ² x = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Асуултанд хариулна уу: - Бид ямар төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг судалсан бэ? -Нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? - Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ? Дүгнэж байна

Би сурсан... - Би сурсан... Тусгал

No18.12 (в, г), No 18.24 (в, г), No 18.27 (а) Гэрийн даалгавар.

Хичээл өгсөнд баярлалаа! Сайн байна!

Урьдчилан үзэх:

Багш Ооржак А.М.-ийн математикийн хичээлийн бие даасан дүн шинжилгээ.

Бүлэг : Ургамал тариалангийн магистр, 1-р курс.

Хичээлийн сэдэв : Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

Хичээлийн төрөл : Шинэ материал сурах хичээл.

Хичээлийн зорилго:

1. Оюутнуудын нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх чадварыг хөгжүүлэх, үндсэн болон ахисан түвшний нарийн төвөгтэй нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргуудыг авч үзэх.

2. Логик сэтгэлгээ, дүгнэлт гаргах, гүйцэтгэсэн үйлдлийн үр дүнг үнэлэх чадварыг хөгжүүлэх.

3. Суралцагчдад үнэн зөв байдал, хариуцлагын мэдрэмж, суралцах эерэг сэдлийг төлөвшүүлэх.

Хичээлийг сэдэвчилсэн төлөвлөлтийн дагуу явуулав. Хичээлийн сэдэв нь хичээлийн онол, практик хэсгүүдийг тусгасан бөгөөд оюутнуудад ойлгомжтой болно. Хичээлийн бүх үе шатууд нь бүлгийн онцлогийг харгалзан эдгээр зорилгод хүрэхэд чиглэгддэг.

Хичээлийн бүтэц.

1. Зохион байгуулалтын мөчид бүлгийн урьдчилсан зохион байгуулалт, хичээлийг дайчлах эхлэл, сэтгэлзүйн тайтгарлыг бий болгох, оюутнуудыг шинэ материалыг идэвхтэй, ухамсартай эзэмшихэд бэлтгэх зэрэг багтана. Бүлэг болон оюутан бүрийн бэлтгэлийг би нүдээр шалгасан. Тайзны дидактик даалгавар: Пхичээлд эерэг хандлага.

2. Дараагийн шат нь оюутнуудын үндсэн мэдлэгийг шинэчлэх явдал юм. Энэ үе шатны гол ажил бол сурагчдын ой санамжинд шинэ материал сурахад шаардлагатай мэдлэгийг сэргээх явдал юм. Шинэчлэлтийг самбар дээр гэрийн даалгавраа шалгах хэлбэрээр хийсэн.

3. (Хичээлийн үндсэн үе шат) Шинэ мэдлэгийг бүрдүүлэх. Энэ үе шатанд дараахь дидактик даалгавруудыг хэрэгжүүлэв: Судалгааны объект дахь мэдлэг, үйл ажиллагааны арга, холбоо, харилцааны талаархи ойлголт, ойлголт, анхан шатны цээжлэлтийг хангах.

Үүнд: асуудлын нөхцөл байдлыг бий болгох, МХХТ-ийн хэрэглээтэй хослуулан ярилцах арга нь тусалсан. Оюутнуудын шинэ мэдлэгийг эзэмших үр дүнтэй байдлын үзүүлэлт бол хариултын зөв байдал, бие даасан ажил, оюутнуудын ажилд идэвхтэй оролцох явдал юм.

4.Дараагийн үе шат бол материалын анхан шатны нэгтгэлт юм. Үүний зорилго нь шинэ материалын ойлголтын түвшин, бүрэн гүйцэд, зөв ​​шингээх, илэрсэн алдааг цаг тухайд нь засах талаар мэдээлэл авахын тулд санал хүсэлтийг бий болгох явдал юм. Үүний тулд би ашигласан: энгийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх. Энд сурах бичгийн шаардлагатай сургалтын үр дүнд тохирсон даалгавруудыг ашигласан. Материалын анхны нэгтгэл нь сайн санаа, хамтын ажиллагааны уур амьсгалд явагдсан. Энэ үе шатанд би сул сурагчидтай ажиллаж, бусад нь өөрсдөө шийдэж, дараа нь самбараас өөрийгөө шалгасан.

5. Хичээлийн дараагийн мөч бол мэдлэгийн анхан шатны хяналт байв. Үе шатын дидактик даалгавар: Мэдлэг, үйл ажиллагааны арга барилыг эзэмших чанар, түвшинг тодорхойлох, тэдгээрийг засах. Энд тэрээр сургалтын ялгавартай хандлагыг хэрэгжүүлж, хүүхдүүдэд үндсэн (A), дунд (B), гүнзгий (C) гэсэн гурван түвшний даалгаврын сонголтыг санал болгов. Би тойрог хийж, үндсэн шатыг сонгосон оюутнуудыг тэмдэглэв. Эдгээр сурагчид багшийн удирдлаган дор ажлыг гүйцэтгэсэн.

6. Дараагийн шатанд - нэгтгэн дүгнэхэд зорилгодоо хүрэх амжилтыг шинжлэх, үнэлэх даалгавруудыг шийдсэн. Хичээлийг дүгнэхдээ би сургалтын үйл ажиллагааны талаар нэгэн зэрэг эргэцүүлэв. Оюутнууд нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх арга замыг сурсан. Дүн өгсөн.

7. Эцсийн шат бол гэрийн даалгавар юм. Дидактик даалгавар: Оюутнуудад гэрийн даалгавраа гүйцэтгэх агуулга, арга барилын талаар ойлголт өгөх. Гэрийн даалгавраа хэрхэн хийх талаар товч зааварчилгаа өгсөн.

Хичээлийн явцад би заах, хөгжүүлэх, хүмүүжүүлэх зорилгыг хэрэгжүүлэх боломжтой болсон. Хичээлийн эхний минутаас эхлэн хүүхдүүд идэвхтэй ажиллаж байсан нь үүнд нөлөөлсөн гэж бодож байна. Тэд шинэ сэдвийг хүлээн авахад бэлэн байв. Бүлгийн уур амьсгал сэтгэл зүйн хувьд таатай байсан.




Энэ нийтлэлд бид нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргыг авч үзэх болно.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл нь бусад төрлийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлтэй ижил бүтэцтэй байдаг. Хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг шийдэх аргыг танд сануулъя.

Хэлбэрийн нэгэн төрлийн тэгшитгэлийг авч үзье


Нэг төрлийн тэгшитгэлийн онцлог шинж чанарууд:

a) бүх мономиалууд ижил зэрэгтэй;

б) чөлөөт нэр томъёо нь тэг,

в) тэгшитгэл нь хоёр өөр суурьтай хүчийг агуулна.

Нэг төрлийн тэгшитгэлийг ижил төстэй алгоритм ашиглан шийддэг.

Энэ төрлийн тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг (хуваах эсвэл хувааж болно) хуваана.

Анхаар! Үл мэдэгдэх илэрхийлэл бүхий тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг хуваах үед та үндсээ алдаж болно. Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваах илэрхийллийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг шалгах шаардлагатай.

Хэрэв тийм бол бид үүнийг дараа нь мартахгүйн тулд энэ үндсийг бичээд дараа нь илэрхийллийг үүн дээр хуваана.

Ер нь баруун талдаа тэгтэй тэгшитгэлийг шийдэхдээ хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол тэгшитгэлийн зүүн талыг боломжит ямар ч аргаар ялгахыг оролдох явдал юм. Дараа нь хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүл. Энэ тохиолдолд бид үндсээ алдахгүй нь гарцаагүй.

Тиймээс тэгшитгэлийн зүүн талыг илэрхийллийн нэр томъёо болгон сайтар хуваа. Бид авах:



Хоёр ба гурав дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг бууруулъя.



Орлуулахыг танилцуулъя:

Бид квадрат тэгшитгэлийг олж авна:



Квадрат тэгшитгэлийг шийдэж, -ийн утгыг олоод анхны үл мэдэгдэх зүйл рүү буцъя.

Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ хэд хэдэн чухал зүйлийг санах хэрэгтэй.

1. Тригонометрийн үндсэн утгыг ашиглан дамми нэр томъёог синус ба косинусын квадрат руу хөрвүүлж болно.

2. Давхар аргументийн синус ба косинус нь хоёрдугаар зэргийн мономиалууд - давхар аргументийн синусыг синус ба косинусын үржвэрт хялбархан хувиргаж, давхар аргументийн косинусыг синус эсвэл косинусын квадрат болгон хувиргах боломжтой.



Нэг төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх хэд хэдэн жишээг авч үзье.

1. Тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ бол нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн сонгодог жишээ юм: мономиал бүрийн зэрэг нь нэгтэй тэнцүү, огтлолцох хугацаа нь тэгтэй тэнцүү байна.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг -д хуваахын өмнө тэгшитгэлийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Бид шалгадаг: if , дараа нь title="sin(x)0).">, следовательно их сумма не равна нулю.!}

Тэгшитгэлийн хоёр талыг -д хуваая.

Бид авах:

, Хаана

, Хаана

Хариулт: , Хаана

2. Тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ бол хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийн жишээ юм. Хэрэв бид тэгшитгэлийн зүүн талыг хүчин зүйл болгож чадвал үүнийг хийх нь зүйтэй гэдгийг бид санаж байна. Энэ тэгшитгэлд бид тавьж болно. Үүнийг хийцгээе:





Эхний тэгшитгэлийн шийдэл: , хаана

Хоёр дахь тэгшитгэл нь нэгдүгээр зэргийн нэгэн төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл юм. Үүнийг шийдэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваана. Бид авах:



Хариулт: , хаана,

3. Тэгшитгэлийг шийдье:

Энэ тэгшитгэлийг нэгэн төрлийн болгохын тулд бид үүнийг бүтээгдэхүүн болгон хувиргаж, 3-ын тоог синус ба косинусын квадратуудын нийлбэр болгон үзүүлэв.

Бүх нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж, хаалтуудыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя. Бид авах:



Зүүн талыг үржвэрлэж, хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүү болгоцгооё.



Хариулт: , хаана,

4. Тэгшитгэлийг шийдье:

Бид хаалтнаас юу гаргаж болохыг харж байна. Үүнийг хийцгээе:

Хүчин зүйл бүрийг тэгтэй тэнцүүлье:



Эхний тэгшитгэлийн шийдэл:

Хүн амын хоёр дахь тэгшитгэл нь хоёрдугаар зэргийн сонгодог нэгэн төрлийн тэгшитгэл юм. Тэгшитгэлийн үндэс нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш тул тэгшитгэлийн хоёр талыг дараахь байдлаар хуваана.





Эхний тэгшитгэлийн шийдэл:

Хоёр дахь тэгшитгэлийн шийдэл.