Тодорхой интеграл, түүнийг тооцоолох арга. Тодорхой интеграл

Трапец хэлбэрийн арга

Үндсэн нийтлэл:Трапец хэлбэрийн арга

Хэсэгчилсэн сегмент тус бүрийн функцийг төгсгөлийн утгуудаар дамжин өнгөрөх шулуун шугамаар ойролцоолсон бол трапецын аргыг олж авна.

Сегмент тус бүрийн трапецын талбай:

Сегмент тус бүрийн ойролцоолсон алдаа:

Хаана

Интеграцийн бүх интервалыг ижил урттай сегментүүдэд хуваах тохиолдолд трапецын бүрэн томъёо:

Хаана

Трапец хэлбэрийн алдаа:

Хаана

Симпсоны арга.

Интеграл f(x)хоёрдугаар зэргийн интерполяцийн олон гишүүнтээр солигдоно P(x)– гурван зангилааг дайран өнгөрөх парабол, жишээлбэл, зурагт үзүүлсэн шиг ((1) – функц, (2) – олон гишүүнт).

Интеграцийн хоёр үе шатыг авч үзье ( h= const = x i+1 – x i), өөрөөр хэлбэл гурван зангилаа x 0 , x 1 , x 2, үүгээр бид Ньютоны тэгшитгэлийг ашиглан параболыг зурна:

Болъё z = x - x 0,
Дараа нь

Одоо олж авсан хамаарлыг ашиглан интегралыг энэ интервалаар тооцоолно.

.
Учир нь жигд торТэгээд тэгш тоо nСимпсоны томъёо дараах хэлбэртэй байна.

Энд , А интегралын дөрөв дэх деривативын тасралтгүй байдлын таамаглалын дагуу.

[засварлах] Нарийвчлал нэмэгдсэн

Бүх интегралын интервалд функцийг нэг олон гишүүнтээр ойртуулах нь дүрмээр бол интегралын утгыг тооцоолоход том алдаа гаргадаг.

Алдааг багасгахын тулд интеграцийн сегментийг хэсэг болгон хувааж, тус бүр дээр интегралыг үнэлэхийн тулд тоон аргыг ашигладаг.

Хуваалтын тоо хязгааргүй байх хандлагатай байдаг тул интегралын тооцоолол нь аливаа тоон аргын аналитик функцүүдийн жинхэнэ утга руу чиглэдэг.

Дээрх аргууд нь алхам бүрийг зөвхөн шинээр нэмэгдсэн зангилаануудад функцийн утгыг тооцоолохыг шаарддаг алхамыг хоёр дахин багасгах энгийн процедурыг зөвшөөрдөг. Тооцооллын алдааг тооцоолохын тулд Runge-ийн дүрмийг ашиглана.

Рунжийн дүрмийн хэрэглээ

засварлах]Тодорхой интегралыг тооцоолох үнэн зөвийг үнэлэх

Интегралыг сонгосон томьёо (тэгш өнцөгт, трапец, Симпсон парабол) ашиглан n-тэй тэнцүү алхмын тоо, дараа нь 2n-тэй тэнцүү алхмын тоогоор тооцоолно. 2n-тэй тэнцүү хэд хэдэн алхам бүхий интегралын утгыг тооцоолох алдааг Runge томъёогоор тодорхойлно.
, тэгш өнцөгт ба трапецын томьёо, Симпсоны томъёоны хувьд.
Тиймээс интегралыг алхамуудын дараалсан утгуудын хувьд тооцдог бөгөөд n 0 нь эхний алхамуудын тоо юм. Дараагийн N утгын нөхцөл хангагдсанаар тооцооны процесс дуусна, энд ε нь заасан нарийвчлал юм.

Алдааны зан үйлийн онцлог.

Хэрэв бид интеграцийн алхамын хэмжээг багасгах замаар өндөр нарийвчлалд хүрч чадвал яагаад интеграцийн янз бүрийн аргуудад дүн шинжилгээ хийх хэрэгтэй гэж бодож байна. Гэсэн хэдий ч арын алдааны зан үйлийн графикийг анхаарч үзээрэй Рхамааран тоон тооцооны үр дүн мөн дугаараас nинтервал хуваалтууд (өөрөөр хэлбэл алхам дээр . (1) хэсэгт h алхам багассанаас алдаа багасна. Харин (2) хэсэгт тооцооллын алдаа давамгайлж эхэлдэг бөгөөд олон тооны арифметик үйлдлүүдийн үр дүнд хуримтлагддаг. Тиймээс. , арга бүр өөрийн гэсэн байдаг Рмин, энэ нь олон хүчин зүйлээс хамаардаг боловч үндсэндээ аргын алдааны априори утгаас хамаарна Р.

Ромбергийн тодруулсан томъёо.

Ромбергийн арга нь хуваалтын тоог хэд хэдэн удаа нэмэгдүүлэх замаар интегралын утгыг дараалан сайжруулахаас бүрдэнэ. Нэг төрлийн алхам бүхий трапецын томъёог суурь болгон авч болно h.
Интегралыг хуваалтын тоогоор тэмдэглэе n= 1 зэрэг .
Алхам алхмыг хагасаар бууруулснаар бид олж авдаг .
Хэрэв бид алхамыг 2 n удаа дараалан бууруулбал тооцоолох давталтын хамаарлыг олж авна.

Хэрэглээний үнэ цэнэ дундаж утгын теоремууд Энэ нь тодорхой интегралын үнэ цэнийн чанарын үнэлгээг тооцоолохгүйгээр олж авах боломж юм. Томьёолъё : хэрэв функц интервал дээр тасралтгүй байвал энэ интервал дотор ийм цэг байна .

Энэ томъёо нь нарийн төвөгтэй эсвэл төвөгтэй функцийн интегралыг ойролцоогоор тооцоолоход тохиромжтой. Томьёог гаргадаг цорын ганц цэг ойролцоогоор , зайлшгүй шаардлагатай бие даасан сонголт цэгүүд Хэрэв бид хамгийн энгийн замыг сонговол - интеграцийн интервалын дунд (олон тооны сурах бичигт санал болгосон) алдаа нь нэлээд ач холбогдолтой байж болно. Илүү нарийвчлалтай үр дүнд хүрэхийн тулд санал болгож байна тооцоог дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ.

Интервал дээр функцийн график байгуулах;

Тэгш өнцөгтийн дээд хилийг функцийн графикийн таслагдсан хэсгүүдтэй байхаар зур талбайн хувьд ойролцоогоор тэнцүү байна (энэ нь дээрх зурагт яг юу харагдаж байна - хоёр муруй гурвалжин нь бараг адилхан);

Зураг дээр үндэслэн тодорхойлох;

Дундаж утгын теоремыг ашигла.

Жишээ болгон энгийн интегралыг тооцоолъё:

Тодорхой үнэ цэнэ;

Интервалын дунд үед бид мөн ойролцоо утгыг олж авдаг, өөрөөр хэлбэл. үр дүн нь тодорхой бус;

Зөвлөмжийн дагуу тэгш өнцөгтийн дээд талыг зурсан графикийг байгуулснаар бид ойролцоогоор утгыг олж авна. Бүрэн сэтгэл ханамжтай үр дүн, алдаа нь 0.75% байна.

Трапец хэлбэрийн томъёо

Дундаж утгын теоремыг ашиглан тооцооллын нарийвчлал нь дээр дурдсанчлан ихээхэн хамаарна харааны зорилго цэгийн хуваарийн дагуу. Үнэн хэрэгтээ, ижил жишээн дээр оноо эсвэл -г сонгосноор та интегралын бусад утгыг авах боломжтой бөгөөд алдаа нэмэгдэж магадгүй юм. Субъектив хүчин зүйлүүд, графикийн цар хүрээ, зургийн чанар нь үр дүнд ихээхэн нөлөөлдөг. Энэ хүлээн зөвшөөрөх боломжгүй чухал тооцоололд, тиймээс дундаж утгын теорем нь зөвхөн хурданд хамаарна чанар интеграл тооцоо.

Энэ хэсэгт бид ойролцоогоор нэгтгэх хамгийн алдартай аргуудын нэгийг авч үзэх болно. трапец хэлбэрийн томъёо . Энэхүү томьёог бүтээх гол санаа нь зурагт үзүүлсэн шиг муруйг ойролцоогоор тасархай шугамаар сольж болох явдал юм.

Тодорхой байдлын хувьд (болон зургийн дагуу) интеграцийн интервалыг дараахь байдлаар хуваана гэж үзье. тэнцүү (энэ нь нэмэлт, гэхдээ маш тохиромжтой) хэсгүүд. Эдгээр хэсгүүдийн уртыг томъёогоор тооцоолж, дууддаг алхам . Хэрэв өгөгдсөн бол хуваах цэгүүдийн абсциссыг томъёогоор тодорхойлно, энд . Мэдэгдэж буй абсциссуудыг ашиглан ординатуудыг тооцоолоход хялбар байдаг. Тиймээс,

Энэ бол тухайн тохиолдолд трапец хэлбэрийн томъёо юм. Хаалтанд байгаа эхний гишүүн нь эхний болон эцсийн ординатуудын хагас нийлбэр бөгөөд үүнд бүх завсрын ординатууд нэмэгддэг болохыг анхаарна уу. Интеграцийн интервалын дурын тооны хуваалтуудын хувьд трапецын ерөнхий томъёо хэлбэртэй байна: квадрат томъёо: тэгш өнцөгт, Симпсон, Гаусс гэх мэт. Эдгээр нь муруй шугаман трапецийг янз бүрийн хэлбэрийн энгийн хэсгүүдээр илэрхийлэх ижил санаан дээр суурилдаг тул трапецын томъёог эзэмшсэний дараа ижил төстэй томъёог ойлгоход хэцүү байх болно. Олон томьёо нь трапец хэлбэрийн томъёо шиг энгийн биш боловч цөөн тооны хуваалттай өндөр нарийвчлалтай үр дүнг авах боломжийг олгодог.

Трапец хэлбэрийн томъёог (эсвэл үүнтэй төстэй) ашиглан та практикт шаардлагатай нарийвчлалтайгаар "гүйцэтгэдэггүй" интеграл ба нарийн төвөгтэй эсвэл төвөгтэй функцүүдийн интегралуудыг хоёуланг нь тооцоолж болно.

Тодорхой интегралаар тасралтгүй функцээс е(x) эцсийн сегмент дээр [ а, б] (энд ) нь энэ сегмент дээрх зарим эсрэг деривативуудын өсөлт юм. (Ерөнхийдөө тодорхойгүй интегралын сэдвийг давтвал ойлгоход мэдэгдэхүйц хялбар байх болно) Энэ тохиолдолд тэмдэглэгээг ашиглана.

Доорх графикуудаас харж болно (эсрэг дериватив функцийн өсөлтийг -ээр илэрхийлнэ), тодорхой интеграл нь эерэг эсвэл сөрөг тоо байж болно(Үүнийг дээд хязгаар дахь эсрэг деривативын утга ба доод хязгаар дахь утгын зөрүүгээр тооцно. Ф(б) - Ф(а)).

Тоонууд аТэгээд бинтеграцийн доод ба дээд хязгаар гэж нэрлэдэг ба сегмент [ а, б] – интеграцийн сегмент.

Тиймээс, хэрэв Ф(x) – зарим эсрэг дериватив функц е(x), дараа нь тодорхойлолтын дагуу,

(38)

Тэгш байдлыг (38) гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо . Ялгаа Ф(б) – Ф(а) дараах байдлаар товч бичигдсэн байна.

Тиймээс бид Ньютон-Лейбницийн томъёог дараах байдлаар бичнэ.

(39)

Тодорхой интеграл нь түүнийг тооцоолохдоо түүний эсрэг деривативыг авахаас хамаарахгүй гэдгийг баталъя. Болъё Ф(x) ба F( X) нь интегралын дурын эсрэг деривативууд юм. Эдгээр нь ижил функцийн эсрэг деривативууд тул тогтмол нэр томъёогоор ялгаатай: Ф( X) = Ф(x) + C. Тийм ч учраас

Энэ нь сегмент дээр [ а, б] функцийн бүх эсрэг деривативуудын өсөлт е(x) таарч байна.

Тиймээс тодорхой интегралыг тооцоолохын тулд интегралын аливаа эсрэг деривативыг олох шаардлагатай, i.e. Эхлээд та тодорхойгүй интегралыг олох хэрэгтэй. Тогтмол ХАМТ дараагийн тооцооноос хассан. Дараа нь Ньютон-Лейбницийн томъёог хэрэглэнэ: дээд хязгаарын утгыг эсрэг дериватив функцээр орлуулна. б , цааш нь - доод хязгаарын утга а мөн ялгааг тооцно F(b) - F(a) . Үр дүнгийн тоо нь тодорхой интеграл байх болно..

At а = бтодорхойлолтоор хүлээн зөвшөөрсөн

Жишээ 1.

Шийдэл. Эхлээд тодорхойгүй интегралыг олъё:

Ньютон-Лейбницийн томъёог эсрэг деривативт хэрэглэх

(цагт ХАМТ= 0), бид олж авна

Гэхдээ тодорхой интегралыг тооцоолохдоо эсрэг деривативыг тусад нь олохгүй, харин интегралыг (39) хэлбэрээр нэн даруй бичих нь дээр.

Жишээ 2.Тодорхой интегралыг тооцоолох

Шийдэл. Томъёог ашиглах

Тодорхой интегралын шинж чанарууд

Теорем 2.Тодорхой интегралын утга нь интеграцийн хувьсагчийн тэмдэглэгээнээс хамаардаггүй, өөрөөр хэлбэл

(40)

Болъё Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Учир нь е(т) эсрэг дериватив нь ижил функцтэй Ф(т), бие даасан хувьсагчийг зөвхөн өөрөөр тэмдэглэдэг. Тиймээс,

Томъёо (39) дээр үндэслэн сүүлчийн тэгшитгэл нь интегралуудын тэгш байдлыг илэрхийлнэ

Теорем 3.Тогтмол хүчин зүйлийг тодорхой интегралын тэмдгээс гаргаж авч болно, өөрөөр хэлбэл

(41)

Теорем 4.Хязгаарлагдмал тооны функцын алгебрийн нийлбэрийн тодорхой интеграл нь эдгээр функцүүдийн тодорхой интегралуудын алгебрийн нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл

(42)

Теорем 5.Хэрэв интегралын сегментийг хэсгүүдэд хуваасан бол бүх сегмент дэх тодорхой интеграл нь түүний хэсгүүдийн тодорхой интегралуудын нийлбэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл Хэрэв

(43)

Теорем 6.Интегралын хязгаарыг өөрчлөх үед тодорхой интегралын үнэмлэхүй утга өөрчлөгдөхгүй, зөвхөн тэмдэг нь өөрчлөгддөг., өөрөөр хэлбэл

(44)

Теорем 7(дундаж утгын теорем). Тодорхой интеграл нь интеграцийн сегментийн урт ба түүний доторх хэсэг дэх интегралын утгын үржвэртэй тэнцүү байна., өөрөөр хэлбэл

(45)

Теорем 8.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хязгаараас их бөгөөд интеграл нь сөрөг биш (эерэг) байвал тодорхой интеграл нь мөн сөрөг биш (эерэг), өөрөөр хэлбэл. Хэрэв

Теорем 9.Хэрэв интегралын дээд хязгаар нь доод хэмжээ ба функцүүдээс их бөгөөд тасралтгүй байвал тэгш бус байдал

нэр томьёогоор нэгтгэж болно, өөрөөр хэлбэл

(46)

Тодорхой интегралын шинж чанарууд нь интегралын шууд тооцоог хялбарчлах боломжийг олгодог.

Жишээ 5.Тодорхой интегралыг тооцоолох

4 ба 3-р теоремуудыг ашиглан эсрэг деривативуудыг олохдоо (7) ба (6) хүснэгтийн интегралуудыг олж авна.

Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл

Болъё е(x) – сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функц, ба Ф(x) нь түүний эсрэг дериватив юм. Тодорхой интегралыг авч үзье

(47)

ба дамжуулан тИнтеграцийн хувьсагчийг дээд хязгаартай андуурахгүйн тулд тодорхойлсон. Өөрчлөх үед Xтодорхой интеграл (47) мөн өөрчлөгддөг, i.e. энэ нь интеграцийн дээд хязгаарын функц юм X, бид үүнийг тэмдэглэдэг Ф(X), i.e.

(48)

Функц гэдгийг баталцгаая Ф(X) нь эсрэг дериватив юм е(x) = е(т). Үнэхээр ялгаж салгаж байна Ф(X), бид авдаг

учир нь Ф(x) – эсрэг дериватив е(x), А Ф(а) нь тогтмол утга юм.

Чиг үүрэг Ф(X) – хязгааргүй тооны эсрэг деривативуудын нэг е(x), тухайлбал тэр x = атэг рүү очдог. Хэрэв бид (48) тэгш байдалд оруулбал энэ мэдэгдлийг олж авна x = амөн өмнөх догол мөрийн 1-р теоремыг ашигла.

Тодорхой интегралыг хэсгээр интегралчлах арга, хувьсагчийг өөрчлөх аргаар тооцоолох

хаана, тодорхойлолтоор, Ф(x) – эсрэг дериватив е(x). Хэрэв бид интеграл дахь хувьсагчийг өөрчилвөл

дараа нь (16) томъёоны дагуу бид бичиж болно

Энэ илэрхийлэлд

эсрэг дериватив функц

Үнэн хэрэгтээ, дагуу түүний дериватив нарийн төвөгтэй функцуудыг ялгах дүрэм, тэнцүү байна

α ба β нь хувьсагчийн утгууд байг т, үүнд зориулсан функц

дагуу утгыг авдаг аТэгээд б, өөрөөр хэлбэл

Гэхдээ Ньютон-Лейбницийн томъёоны дагуу ялгаа Ф(б) – Ф(а) Байна

Теорем. Хэрэв функц f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б], Хаана а< b , мөн хүн бүрт x ∈тэгш бус байдал бий

Теоремын тэгш бус байдлыг ашиглан тодорхой интегралыг тооцоолж болно, өөрөөр хэлбэл. түүний утга агуулагдаж буй хил хязгаарыг заана. Эдгээр тэгш бус байдал нь тодорхой интегралын тооцоог илэрхийлдэг.

Теорем [Дундаж теорем]. Хэрэв функц f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б] мөн хүн бүрт x ∈тэгш бус байдал хангагдсан байна m ≤ f(x) ≤ M, Тэр

Хаана m ≤ μ ≤ M.

Сэтгэгдэл. Хэрэв функц байгаа бол f(x)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б], теоремын тэгш байдал хэлбэрийг авна

Хаана c ∈. Тоо μ=f(c), энэ томъёогоор тодорхойлогддог, гэж нэрлэдэг дундаж утгафункцууд f(x)сегмент дээр [ а, б]. Энэ тэгш байдал нь дараах байдалтай байна геометрийн утга: тасралтгүй шугамаар хязгаарлагдсан муруй трапецын талбай y=f(x) (f(x) ≤ 0), ижил суурьтай тэгш өнцөгтийн талбай, энэ шулуун дээрх зарим цэгийн ординаттай тэнцүү өндөртэй тэнцүү байна.

Үргэлжилсэн функцийн эсрэг дериватив байгаа эсэх

Нэгдүгээрт, хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэсэн ойлголтыг бид танилцуулж байна.

Функцийг зөвшөөр f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б]. Дараа нь ямар ч тоо байсан x-аас [ а, б], функц f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б]. Тиймээс интервал дээр [ а, б] функцийг тодорхойлсон

хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэж нэрлэдэг.

Теорем. Хэрэв интеграл нь [ интервал дээр тасралтгүй байвал а, б], тэгвэл хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интегралын дериватив байгаа бөгөөд энэ хязгаарын интегралын утгатай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл

Үр дагавар. Хувьсах дээд хязгаартай тодорхой интеграл нь тасралтгүй интегралын эсрэг деривативуудын нэг юм. Өөрөөр хэлбэл интервал дээр үргэлжилсэн аливаа функцийн хувьд эсрэг дериватив байдаг.

Тайлбар 1. Хэрэв функц байвал анхаарна уу f(x)интервал дээр интегралдах [ а, б], тэгвэл хувьсах дээд хязгаартай интеграл нь дээд хязгаарын функц бөгөөд энэ сегмент дээр тасралтгүй байна. Үнэн хэрэгтээ, St.2-аас болон дундаж утгын теорем бидэнд байна

Тайлбар 2. Интеграцийн хувьсах дээд хязгаартай интегралыг олон шинэ функцийг тодорхойлоход ашигладаг, жишээлбэл, . Эдгээр функцууд нь үндсэн биш юм; Өмнө дурьдсанчлан, заасан интегралуудын эсрэг деривативуудыг энгийн функцээр илэрхийлдэггүй.

Интеграцийн үндсэн дүрмүүд

Ньютон-Лейбницийн томъёо

Аливаа хоёр эсрэг дериватив функцээс хойш f(x)тогтмолоор ялгаатай бол өмнөх теоремын дагуу аливаа эсрэг дериватив гэж үзэж болно. Φ(x)сегмент дээр тасралтгүй [ а, б] функцууд f(x)шиг харагдаж байна

Хаана C- зарим тогтмол.

Энэ томъёогоор тооцвол x=aТэгээд x=b, st.1 тодорхой интегралуудыг ашиглан бид олдог

Эдгээр тэгш байдал нь харилцааг илэрхийлдэг

гэж нэрлэдэг Ньютон-Лейбницийн томъёо.

Тиймээс бид дараах теоремыг нотолсон.

Теорем. Тасралтгүй функцийн тодорхой интеграл нь интегралын дээд ба доод хязгаарын эсрэг деривативуудын утгын зөрүүтэй тэнцүү байна.

Ньютон-Лейбницийн томъёог дахин бичиж болно

Тодорхой интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх

Теорем. Хэрэв

• функц f(x)интервал дээр тасралтгүй байна [ а, б];
• сегмент [ а, б] нь функцийн утгуудын багц юм φ(t), сегмент дээр тодорхойлогдсон α ≤ t ≤ βмөн үүн дээр тасралтгүй дериватив байх;
• φ(α)=a, φ(β)=b

тэгвэл томъёо зөв байна

Хэсэгээр нь нэгтгэх томъёо

Теорем. Хэрэв функцууд u=u(x), v=v(x)интервал дээр тасралтгүй деривативтай байна [ а, б] байвал томъёо хүчинтэй байна

Өмнө нь бид тодорхой интегралыг интегралын эсрэг деривативын утгын зөрүү гэж үздэг байсан. Интеграл нь интеграцийн интервал дээр эсрэг деривативтай байна гэж үзсэн.

Эсрэг дериватив нь үндсэн функцээр илэрхийлэгдэх тохиолдолд түүний оршин байгаа гэдэгт итгэлтэй байж болно. Гэхдээ хэрэв ийм илэрхийлэл байхгүй бол эсрэг дериватив байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байгаа бөгөөд харгалзах тодорхой интеграл байгаа эсэхийг бид мэдэхгүй.

Геометрийн үүднээс авч үзвэл, жишээлбэл, y=e^(-x^2) функцийн хувьд эсрэг деривативыг үндсэн функцээр илэрхийлэх боломжгүй ч интеграл \textstyle(\int\limits_(a)^(b)e^(-x^2)\,dx)байгаа ба x тэнхлэг, y=e^(-x^2) функцын график ба x=a,~ x=b шулуун шугамаар хязгаарлагдсан зургийн талбайтай тэнцүү байна (Зураг 6). ). Гэхдээ илүү нарийвчилсан дүн шинжилгээ хийснээр талбайн тухай ойлголт нь өөрөө үндэслэлтэй байх шаардлагатай тул эсрэг дериватив ба тодорхой интеграл байгаа эсэх асуудлыг шийдвэрлэхдээ үүнд найдах боломжгүй юм.

Үүнийг баталцгаая интервал дээр үргэлжилсэн аливаа функц нь энэ интервал дээр эсрэг деривативтай байдаг, тиймээс энэ сегмент дээр түүний хувьд тодорхой интеграл бий. Үүний тулд тодорхой интеграл гэдэг ойлголтод эсрэг дериватив байдаг гэсэн таамаглалд тулгуурладаггүй өөр хандлага хэрэгтэй.

Эхлээд заримыг нь тогтооцгооё тодорхой интегралын шинж чанарууд, эсрэг деривативын утгын зөрүү гэж ойлгогддог.

Тодорхой интегралын тооцоо

Теорем 1. y=f(x) функц нь интервал дээр хязгаарлагдмал байг, ба m=\min_(x\in)f(x)Тэгээд M=\max_(x\in)f(x), тус тус y=f(x) функцийн хамгийн бага ба хамгийн том утгууд нь дээр байх ба энэ сегмент дээр y=f(x) функц нь эсрэг деривативтай байна. Дараа нь

m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a).

Баталгаа. Хэсэг дээрх y=f(x) функцийн эсрэг деривативуудын нэг нь F(x) байг. Дараа нь

\int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=\Bigl.(F(x))\Bigr|_(a)^(b)=F(b)-F(a).

Лагранжийн теоремын дагуу F(b)-F(a)=F"(c)(b-a), хаана a \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx=f(c)(b-a).

Нөхцөлөөр сегмент дэх x-ийн бүх утгуудын хувьд дараахь тэгш бус байдал байна. m\leqslant f(x)\leqslant М, Тийм учраас m\leqslant f(c)\leqslant Мтиймээс

m(b-a)\leqslant f(c)(b-a)\leqslant M(b-a), тэр нь m(b-a)\leqslant \int\limits_(a)^(b)f(x)\,dx\leqslant M(b-a),

Q.E.D.

Давхар тэгш бус байдал (1) нь тодорхой интегралын утгын маш бүдүүлэг тооцоог л өгдөг. Жишээлбэл, сегмент дээр y=x^2 функцийн утгууд 1-ээс 25-ын хооронд байдаг тул тэгш бус байдал үүсдэг.

4=1\cdot(5-1)\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 25\cdot(5-1)=100.

Илүү нарийвчлалтай тооцоолохын тулд сегментийг хэд хэдэн хэсэгт хуваана a=x_0 ба тэгш бус байдлыг (1) хэсэг бүрт хэрэглэнэ. Хэрэв тэгш бус байдал сегмент дээр байгаа бол

m_k\cdot\Delta x_k\leqslant \int\limits_(x_k)^(x_(k+1)) f(x)\,dx\leqslant M_k\cdot \Delta x_k\,

Энд \Дельта x_k нь ялгааг (x_(k+1)-x_k), өөрөөр хэлбэл сегментийн уртыг илэрхийлнэ. 0-ээс n-1 хүртэлх k-ийн бүх утгуудын хувьд эдгээр тэгш бус байдлыг бичиж, тэдгээрийг нэмбэл бид дараахь зүйлийг олж авна.

\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1) ))f(x)\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k),

Гэхдээ тодорхой интегралын нэмэлт шинж чанарын дагуу сегментийн бүх хэсгүүдийн интегралын нийлбэр нь энэ сегмент дээрх интегралтай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.

\sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(x_k)^(x_(k+1))f(x)\,dx= \int\limits_a)^(b)f(x) \,dx\,.

гэсэн үг,

\sum_(k=0)^(n-1)(m_k\cdot\Delta x_k) \leqslant \sum_(k=0)^(n-1) \int\limits_(a)^(b)f(x) )\,dx\leqslant \sum_(k=0)^(n-1) (M_k\cdot \Delta x_k)

Жишээлбэл, хэрэв та сегментийг тус бүр нь 0.4 урттай 10 тэнцүү хэсэгт хуваавал хэсэгчилсэн сегмент дээр тэгш бус байдал бий

(1+0,\!4k)^2\leqslant x^2\leqslant \bigl(1+0,\!4(k+1)\bigr)^2

Тиймээс бидэнд байна:

0,\!4\sum_(k=0)^(9)(1+0,\!4k)^2\leqslant \int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant 0, \!4\нийлбэр_(k=0)^(9)\бигл(1+0,\!4(к+1)\бигр)^2.

Тооцоолохдоо бид дараахь зүйлийг авна. 36,\!64\leqslant \int\limits_(1)^(5) x^2\,dx\leqslant 46,\!24. Энэ тооцоо нь өмнө нь олж мэдсэнээс хамаагүй үнэн зөв юм 4\leqslant\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx\leqslant100.

Интегралыг илүү нарийвчлалтай тооцоолохын тулд сегментийг 10 биш, харин 100 эсвэл 1000 хэсэгт хувааж, харгалзах нийлбэрийг тооцоолох хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, энэ интегралыг эсрэг дериватив ашиглан тооцоолоход хялбар байдаг.

\int\limits_(1)^(5)x^2\,dx= \left.(\frac(x^3)(3))\right|_(1)^(5)= \frac(1) (3)(125-1)= \frac(124)(3)\,.

Харин эсрэг деривативын илэрхийлэл нь бидэнд мэдэгдэхгүй байгаа бол тэгш бус байдал (2) нь интегралын утгыг доороос болон дээрээс нь тооцоолох боломжтой болгодог.

Тодорхой интегралыг хуваах тоо

Тэгш бус байдал (2)-д багтсан m_k ба M_k тоог сегмент тус бүр дээр тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд дур зоргоороо сонгож болно. m_k\leqslant f(x)\leqslant M_k. Хэрэв бид M_k-г хамгийн бага, m_k-ийг бүх боломжит утгуудаас хамгийн том гэж үзвэл сегментийн өгөгдсөн хуваалтын интегралын хамгийн үнэн зөв тооцоог гаргана. Энэ нь m_k-ийн хувьд бид сегмент дээрх y=f(x) функцийн утгуудын яг доод хязгаарыг, M_k гэж ижил сегмент дээрх эдгээр утгуудын яг дээд хязгаарыг авах ёстой гэсэн үг юм.

m_k=\inf_(x\in)f(x),\qquad M_k=\sup_(x\in)f(x).

Хэрэв y=f(x) нь сегмент дээрх хязгаарлагдмал функц бол энэ нь мөн сегмент тус бүр дээр хязгаарлагдах тул түүний хувьд m_k ба тоонууд байна. M_k,~ 0\leqslant k\leqslant n-1. m_k ба M_k тоонуудын энэ сонголтоор нийлбэрүүд \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)m_k\Delta x_k)Тэгээд \textstyle(\sum\limits_(k=0)^(n-1)M_k\Delta x_k)Өгөгдсөн P хуваалтын y=-f(x) функцийн доод ба дээд Darboux интеграл нийлбэрийг тус тус дуудна:

a=x_0

сегмент Бид эдгээр нийлбэрийг s_(fP) ба S_(fP) гэж тус тус тэмдэглэх бөгөөд хэрэв y=f(x) функц тогтмол байвал s_P ба S_P гэсэн үг.

Тэгш бус байдал (2) гэсэн үг Хэрэв интервал дээр хязгаарлагдсан y=f(x) функц нь энэ интервал дээр эсрэг деривативтай байвал тодорхой интеграл нь \(s_p\) ба \(S_P\) тоон олонлогуудыг тус тусад нь салгаж, бүх доод ба дээд Darboux нийлбэрүүдээс бүрддэг. интервалын бүх боломжит P хуваалтууд. Ерөнхийдөө энэ хоёр багцыг тусгаарлах тоо нь өвөрмөц биш байж магадгүй юм. Гэхдээ доороос бид функцүүдийн хамгийн чухал ангиллын хувьд (ялангуяа тасралтгүй функцүүдийн хувьд) өвөрмөц болохыг олж харах болно.

Энэ нь бидэнд шинэ тодорхойлолтыг нэвтрүүлэх боломжийг олгодог \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx), энэ нь эсрэг деривативын үзэл баримтлалд үндэслээгүй, зөвхөн Darboux нийлбэрийг ашигладаг.

Тодорхойлолт.Интервалд зааглагдсан y=f(x) функцийг интервалын бүх боломжит хуваалтуудад үүссэн доод ба дээд Darboux нийлбэрүүдийн олонлогийг тусгаарлах нэг тоо \ell байгаа бол энэ интервал дээр интегралдах боломжтой гэж нэрлэдэг. Хэрэв y=f(x) функц нь интервал дээр интегралдах боломжтой бол эдгээр олонлогуудыг тусгаарлах цорын ганц тоог энэ функцийн интервал ба утгаараа тодорхой интеграл гэнэ.

Бид интегралыг тодорхойлсон \textstyle(\int\limits_(a)^(b) f(x)\,dx)тохиолдолд a b , дараа нь бид тавьдаг