Асуудлыг дараах байдлаар томъёолсон: хүссэн тоо хэмжээг зөвшөөрнө үү zбусад хэмжигдэхүүнээр тодорхойлно a, b, c, ... шууд хэмжилтээр олж авсан

z = f (a, b, c,...) (1.11)

Функцийн дундаж утга ба түүний хэмжилтийн алдааг олох шаардлагатай, i.e. итгэлийн интервалыг ол

найдвартай байдал a ба харьцангуй алдаатай.

Харин (11)-ийн оронд баруун талд орлуулснаар олно a, b, c,... тэдгээрийн дундаж утгууд

3. Шууд бус хэмжилтийн үр дүнд итгэх интервалын хагас өргөнийг тооцоол

деривативуудыг ... тооцдог газар

4. Үр дүнгийн харьцангуй алдааг тодорхойлно

5. Хэрэв z-ийн хамаарал нь a, b, c,... хэлбэртэй байна , Хаана к, л, м‒ ямар ч бодит тоо, дараа нь та эхлээд олох хэрэгтэй хамаатан саданалдаа

тэгээд дараа нь үнэмлэхүй .

6. Эцсийн үр дүнг маягтанд бичнэ үү

z = ± Dz , ε = …% үед a = … .

Жич:

Шууд хэмжилтийн үр дүнг боловсруулахдаа та дараах дүрмийг баримтлах ёстой: бүх тооцоолсон хэмжигдэхүүний тоон утга нь анхны (туршилтаар тодорхойлсон) хэмжигдэхүүнээс нэг оронтой илүү байх ёстой.

Шууд бус хэмжилтийн хувьд тооцооллыг дагуу хийдэг ойролцоогоор тооцоолох дүрэм:

Дүрэм 1. Ойролцоогоор тоог нэмэх, хасахдаа дараахь зүйлийг хийх ёстой.

a) эргэлзээтэй цифр нь хамгийн өндөр цифртэй байх нэр томъёог сонгох;

б) бусад бүх нэр томъёог дараагийн орон руу дугуйлна (нэг орон тоо хадгалагдана);

в) нэмэх (хасах) хийх;

d) үр дүнд нь сүүлийн цифрийг дугуйлж хаяна (үр дүнгийн эргэлзээтэй цифрийн цифр нь нэр томъёоны эргэлзээтэй цифрүүдийн хамгийн өндөр цифртэй давхцаж байна).

Жишээ: 5.4382·10 5 – 2.918·10 3 + 35.8 + 0.064.

Эдгээр тоонуудын хувьд сүүлийн чухал цифрүүд эргэлзээтэй байна (буруу тоонуудыг аль хэдийн хаясан). Тэдгээрийг 543820 – 2918 + 35.8 + 0.064 хэлбэрээр бичье.

Эхний үед эргэлзээтэй тоо 2 нь хамгийн өндөр оронтой (арав) байгааг харж болно. Бусад бүх тоог дараагийн орон руу дугуйлж, нэмбэл бид олж авна

543820 – 2918 + 36 + 0 = 540940 = 5.4094 10 5.

Дүрэм 2. Ойролцоогоор тоог үржүүлэх (хуваах) үед та дараахь зүйлийг хийх ёстой.

a) хамгийн бага тооны чухал тоо бүхий тоог сонгох ( АНХААРУУЛГА – тэгээс бусад тоо ба тэдгээрийн хооронд тэг байна);

б) үлдсэн тоонуудыг бөөрөнхийлж, а алхамд хуваарилагдсан тооноос нэг илүү чухал оронтой (нэг оронтой цифр хадгалагдсан) байх;

в) үр дүнгийн тоог үржүүлэх (хуваах);

d) үр дүнд нь хамгийн бага тооны чухал тоонуудын тоонд байсан шиг олон тооны чухал тоог үлдээнэ.

Жишээ: .

Дүрэм 3. Үндэсийг задлахад үр дүн нь хүчин чадалтай байх үед анхны дугаарт байгаа олон тооны чухал цифрүүдийг хадгална.

Жишээ: .

Дүрэм 4. Тооны логарифмыг олохдоо логарифмын мантис нь анхны дугаарт байгаа олон чухал цифртэй байх ёстой.

Жишээ: .

Эцсийн бичлэг дээр үнэмлэхүйалдааг зөвхөн үлдээх ёстой нэг чухал тоо. (Хэрэв энэ цифр 1 болж хувирвал түүний ард өөр цифр хадгалагдана).

Дундаж утгыг үнэмлэхүй алдаатай ижил оронтой тоо болгон дугуйрсан байна.

Жишээ нь: В= (375.21 0.03) см 3 = (3.7521 0.0003) см 3.

I= (5.530 0.013) A, А = Ж.

Ажлын дараалал

Цилиндрийн диаметрийг тодорхойлох.

1. Калибр ашиглан цилиндрийн диаметрийг 7 удаа (өөр өөр газар, чиглэлд) хэмжинэ. Үр дүнг хүснэгтэд тэмдэглэ.

Үгүй

d би, мм

d би-

(d би- ) 2

h i, mmТэгээд

Холбогдох мэдээлэл:

Хэмжилт болон хүснэгтийн хэмжигдэхүүний алдаа нь шууд бусаар тодорхойлсон утгын DH av-ийн алдааг тодорхойлдог бөгөөд хамгийн их харьцангуй алдаатай хамгийн бага нарийвчлалтай утгууд нь DH av-д хамгийн их хувь нэмэр оруулдаг. г. Тиймээс шууд бус хэмжилтийн нарийвчлалыг нэмэгдүүлэхийн тулд шууд хэмжилтийн ижил нарийвчлалд хүрэх шаардлагатай.

(d A, d B, d C, ...).

Шууд бус хэмжилтийн алдааг олох дүрэм:

1. Өгөгдсөн функцийн натурал логарифмийг ол

ln(X = f(A,B,C,...));

2. Өгөгдсөн функцийн олсон натурал логарифмаас нийт дифференциал (бүх хувьсагчийн дээгүүр) олох;

3. Дифференциал d тэмдгийг үнэмлэхүй алдааны D тэмдгээр солих;

4. Үнэмлэхүй алдаатай тулгарсан бүх "хасах" зүйлсийг солих DA, DB, DC, ... "мэргэжилтнүүд" рүү.

Үр дүн нь хамгийн том харьцангуй алдааны томъёо юм d xшууд бусаар хэмжсэн утга X:

d x = = j (A дундаж, B дундаж, C дундаж, ..., DA дундаж, DB дундаж, DC дундаж, ...).(18)

Олдсон харьцангуй алдааны дагуу d xшууд бус хэмжилтийн үнэмлэхүй алдааг тодорхойлох:

DX av = d x. X дундаж . (19)

Шууд бус хэмжилтийн үр дүнг стандарт хэлбэрээр бичиж, тоон тэнхлэгт дүрсэлсэн болно.

X = (X дундаж ± DХ дундаж),нэгж (20)

Жишээ:

Физик хэмжигдэхүүний харьцангуй ба дундаж алдааны утгыг ол Л, томъёогоор шууд бусаар тодорхойлно:

, (21)

Хаана π, g, t, k, α, β- утгыг хэмжсэн эсвэл лавлагааны хүснэгтээс авсан хэмжигдэхүүний үр дүн, хүснэгтэн өгөгдлийн хүснэгтэд оруулсан хэмжигдэхүүнүүд (Хүснэгт 1-тэй төстэй).

1. Дундаж утгыг тооцоол L дундаж, хүснэгтийн дундаж утгыг (21) -д орлуулах - π дундаж, g дундаж, t дундаж, k дундаж, α дундаж, β дундаж.

2. Хамгийн том харьцангуй алдааг тодорхойл δЛ:

a). Логарифмын томъёо (21):

б). Үр дүнгийн илэрхийлэл (22) нь ялгаатай байна:

c) Дифференциал d-ийн тэмдгийг Δ, үнэмлэхүй алдааны өмнөх "хасах"-ыг "нэмэх"-ээр сольж, хамгийн том харьцангуй алдааны илэрхийлэлийг ол. δЛ:

d). Оролтын хэмжигдэхүүний дундаж утгууд ба тэдгээрийн алдааг хэмжлийн үр дүнгийн хүснэгтээс гарсан илэрхийлэлд орлуулж тооцоолно уу. δЛ.

3. Дараа нь үнэмлэхүй алдааг тооцоол ΔL дундаж:

Үр дүнг стандарт хэлбэрээр бичиж, тэнхлэг дээр графикаар дүрсэлсэн болно Л:

, нэгж өөрчлөх

ХЭМЖИЛГЭЭНИЙ АЛДААНЫ ТОГТООЛОО

Хэмжилт гэдэг нь тусгай техникийн хэрэгсэл - хэмжүүр, хэмжих хэрэгслийн тусламжтайгаар физик хэмжигдэхүүний утгыг туршилтаар олох явдал юм.

Хэмжилт гэдэг нь өгөгдсөн хэмжээний физик хэмжигдэхүүнийг - хэмжих нэгж, түүний олон буюу бутархай утгыг хуулбарлах хэмжих хэрэгсэл юм. Жишээлбэл, 1 кг, 5 кг, 10 кг жинтэй.

Хэмжих төхөөрөмж нь ажиглагчийн шууд хүртэх боломжтой хэлбэрээр хэмжих мэдээллийн дохиог үүсгэх зориулалттай хэмжих хэрэгсэл юм. Хэмжих төхөөрөмж нь хэмжсэн утгыг хэмжүүртэй шууд болон шууд бусаар харьцуулах боломжийг олгодог. Хэмжилтийг мөн шууд ба шууд бус гэж хуваадаг.

Шууд хэмжилтийн үед хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг үндсэн (туршилтын) өгөгдлөөс шууд олдог.

Шууд бус хэмжигдэхүүнээр хэмжигдэхүүний хүссэн утгыг энэ хэмжигдэхүүн ба шууд хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондох мэдэгдэж буй хамаарал дээр үндэслэн олно. Хэмжилтийн зарчим нь хэмжилтийг үндэслэсэн физик үзэгдлийн цогц юм.

Хэмжилтийн арга гэдэг нь хэмжүүр, хэмжих хэрэгслийг ашиглах арга техник юм. Тухайн объектын харгалзах шинж чанарыг чанарын болон тоон үзүүлэлтээр хамгийн сайн тусгасан физик хэмжигдэхүүний утга нь физик хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга юм. Физик хэмжигдэхүүнийг хэмжих замаар олж авсан утга нь хэмжилтийн үр дүн юм.

Хэмжилтийн үр дүнгийн хэмжсэн утгын жинхэнэ утгаас хазайх нь хэмжилтийн алдаа юм.

Хэмжилтийн үнэмлэхүй алдаа гэдэг нь хэмжсэн утгын нэгжээр илэрхийлэгдэж, үр дүн ба хэмжсэн утгын бодит утгын зөрүүтэй тэнцүү хэмжилтийн алдаа юм. Үнэмлэхүй алдааг хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утгад харьцуулсан харьцаа нь хэмжилтийн харьцангуй алдаа юм.

Хэмжилтийн алдааны нөлөөлөл нь хэмжих хэрэгслийн алдаа (хэрэгслийн эсвэл багажийн алдаа), хэмжилтийн аргын төгс бус байдал, хэмжих хэрэгслийн масштабын алдаа, хэмжилтийн хэрэгсэл, объектод үзүүлэх гадны нөлөөлөл, гэрэл, дуут дохионд хүний хариу үйлдэл үзүүлэх саатал зэрэг орно. .

Тэдний илрэлийн шинж чанараас хамааран алдааг системчилсэн ба санамсаргүй гэж хуваадаг. Санамсаргүй үйл явдал гэдэг нь өгөгдсөн хүчин зүйлсийн багцыг өгснөөр тохиолдож болох эсвэл тохиолдохгүй байж болох үйл явдал юм.

Санамсаргүй алдаа нь ижил хэмжигдэхүүнийг давтан хэмжихэд санамсаргүй байдлаар өөрчлөгддөг хэмжилтийн алдааны бүрэлдэхүүн хэсэг юм. Санамсаргүй алдааны онцлог шинж чанар нь тогтмол хэмжилтийн нөхцөлд алдааны хэмжээ, шинж тэмдгийн өөрчлөлт юм.

Системчилсэн алдаа нь хэмжигдэхүүний алдааны бүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд ижил хэмжигдэхүүнийг давтан хэмжихэд тогтмол хэвээр эсвэл байгалийн жамаар өөрчлөгддөг. Зарчмын хувьд системчилсэн алдааг залруулга, илүү нарийвчлалтай хэрэгсэл, аргыг ашиглах замаар арилгаж болно (хэдийгээр практик дээр системчилсэн алдааг илрүүлэх нь үргэлж хялбар байдаггүй). Санамсаргүй үзэгдлийн математик онол (магадлалын онол) нь бие даасан хэмжилтийн санамсаргүй алдааг үгүйсгэх боломжгүй юм.

Шууд хэмжилтийн алдаа

Системчилсэн алдааг хассан бөгөөд хэмжилтийн үр дүнд гарсан алдаа нь зөвхөн санамсаргүй байна гэж үзье. Жинхэнэ утга нь тэнцүү физик хэмжигдэхүүний хэмжилтийн үр дүнг үсгээр тэмдэглэе. . Хувь хүний хэмжилтийн үр дүнгийн үнэмлэхүй алдааг дараах байдлаар харуулав.

Тэгш байдлын зүүн ба баруун талыг нэгтгэн дүгнэж (1) бид дараахь зүйлийг олж авна.

(2)

Санамсаргүй алдааны онол нь туршлагаар батлагдсан таамаглал дээр суурилдаг.

алдаа нь тасралтгүй цуврал утгыг авч болно;

олон тооны хэмжилтийн үед ижил хэмжээтэй, гэхдээ өөр өөр шинж тэмдэг бүхий санамсаргүй алдаа ижил давтамжтайгаар тохиолддог;

алдааны магадлал нь түүний хэмжээ нэмэгдэх тусам буурдаг. Мөн хэмжсэн утгатай харьцуулахад алдаа бага, бие даасан байх шаардлагатай.

(1) таамаглалын дагуу n   хэмжилтийн тоогоор бид олж авна

Гэсэн хэдий ч хэмжээсийн тоо үргэлж хязгаарлагдмал байдаг тодорхойгүй хэвээр байна. Гэвч практикийн хувьд бодит хэмжигдэхүүнтэй ойртсон физик хэмжигдэхүүний утгыг туршилтаар олоход хангалттай. Үнэний оронд хэрэглэж болно. Асуулт бол энэ ойролцоолсон түвшинг хэрхэн үнэлэх вэ?

Магадлалын онолын дагуу хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундаж бие даасан хэмжилтийн үр дүнгээс илүү найдвартай, учир нь өөр өөр чиглэлд жинхэнэ утгаас санамсаргүй хазайлт ижил магадлалтай. 2a i өргөнтэй интервалд a i утга гарч ирэх магадлал нь 2a i интервалд багтах a i утгуудын үүсэх харьцангуй давтамжийг a i-ийн харагдах бүх утгуудын тоотой харьцуулан ойлгодог. хязгааргүй хандлагатай туршилтуудын (хэмжилтийн) тоогоор. Мэдээжийн хэрэг, найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү, боломжгүй үйл явдлын магадлал тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. 0    100%.

Хүссэн утга (түүний жинхэнэ утга) интервалд (a - a, a + a) агуулагдах магадлалыг итгэлийн магадлал (найдвартай байдал) , харгалзах  интервал (a - a, a +) гэж нэрлэнэ. a) - итгэлцлийн интервал; a алдаа бага байх тусам хэмжсэн утга нь энэ алдаагаар тодорхойлсон интервалд агуулагдах магадлал бага байна. Үүний эсрэг заалт нь бас үнэн юм: үр дүн нь бага найдвартай байх тусам хүссэн утгын итгэх интервал нарийсдаг.

Том n-ийн хувьд (практикт n  100 хувьд) өгөгдсөн найдвартай байдлын  итгэлийн интервалын хагас өргөн нь тэнцүү байна.

, (3)

Энд  = 0.68 үед K() = 1;  = 0.95 үед K() = 2;  = 0.997 үед K() = 3 байна.

Оюутны лабораторийн практикт ихэвчлэн олддог цөөн тооны хэмжилтийн хувьд (3) дахь K() коэффициент нь зөвхөн -аас гадна хэмжилтийн тоо n-ээс хамаарна. Тиймээс, зөвхөн санамсаргүй алдаа байгаа тохиолдолд бид итгэлийн интервалын хагас өргөнийг томъёог ашиглан үргэлж олох болно.

(4)

(4)-д t  n коэффициентийг Оюутны коэффициент гэнэ. Оюутны практик ажилд батлагдсан  = 0.95-ийн хувьд t  n утгууд дараах байдалтай байна.

Уг утгыг хэд хэдэн хэмжилтийн арифметик дундажийн язгуур-дундаж квадратын алдаа гэж нэрлэдэг.

Багаж хэрэгсэл, хэмжүүрийн алдааг ихэвчлэн түүний паспорт дээр эсвэл багажийн масштабын тэмдэгээр тэмдэглэдэг. Ихэвчлэн багажийн алдаа  гэдэг нь хэмжилтийн алдаа нь зөвхөн багажийн алдаанаас шалтгаалсан тохиолдолд хэмжсэн утгыг хэмжилтийн магадлал 0.997-д багтааж болох интервалын хагас өргөнийг ойлгодог. Хэмжилтийн үр дүнгийн ерөнхий (нийт) алдааны хувьд бид  = 0.95 магадлалтайгаар хүлээн авна.

Үнэмлэхүй алдаа нь олж авсан үр дүнгийн аль шинж тэмдэгт алдаа байгааг тодорхойлох боломжийг олгодог. Харьцангуй алдаа нь хэмжсэн утгын хэдэн хувь (хувь) нь алдаа (итгэлийн интервалын хагас өргөн) болох тухай мэдээллийг өгдөг.

a 0 утгыг шууд хэмжсэн цувралын эцсийн үр дүнг бид хэлбэрээр бичнэ

Жишээ нь

(6)

Тиймээс туршилтаар олсон аливаа физик хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар илэрхийлэх ёстой.

Зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье ахэмжсэн nижил нөхцөлд дахин. Хэмжилтийн үр дүн нь багц өгсөн nөөр өөр тоо

Үнэмлэхүй алдаа- хэмжээст утга. дунд nҮнэмлэхүй алдааны утга нь эерэг ба сөрөг аль аль нь байх ёстой.

Хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утгын хувьд Аихэвчлэн авдаг арифметик дундажхэмжилтийн үр дүнгийн үнэ цэнэ

Хэмжилтийн тоо их байх тусам дундаж утга нь жинхэнэ утгад ойртоно.

Үнэмлэхүй алдааби

Харьцангуй алдааби-р хэмжигдэхүүнийг хэмжигдэхүүн гэнэ

Харьцангуй алдаа нь хэмжээсгүй хэмжигдэхүүн юм. Үүний тулд ихэвчлэн харьцангуй алдааг хувиар илэрхийлдэг e i 100% үржүүлнэ. Харьцангуй алдааны хэмжээ нь хэмжилтийн нарийвчлалыг тодорхойлдог.

Дундаж үнэмлэхүй алдаадараах байдлаар тодорхойлогддог.

D хэмжигдэхүүний үнэмлэхүй утгыг (модуль) нэгтгэх шаардлагатай байгааг бид онцолж байна мөн би.Үгүй бол үр дүн нь тэг байх болно.

Дундаж харьцангуй алдаатоо хэмжээ гэж нэрлэдэг

Олон тооны хэмжилттэй.

Харьцангуй алдааг хэмжсэн утгын нэгжийн алдааны утга гэж үзэж болно.

Хэмжилтийн үр дүнгийн алдааг харьцуулах замаар хэмжилтийн нарийвчлалыг үнэлдэг. Тиймээс хэмжилтийн алдааг ийм хэлбэрээр илэрхийлсэн бөгөөд нарийвчлалыг үнэлэхийн тулд хэмжиж буй объектын хэмжээг харьцуулахгүйгээр эсвэл эдгээр хэмжээг маш сайн мэдэхгүйгээр зөвхөн үр дүнгийн алдааг харьцуулах нь хангалттай юм. Практикаас харахад өнцгийг хэмжих абсолют алдаа нь өнцгийн утгаас хамаарахгүй, уртыг хэмжих үнэмлэхүй алдаа нь уртын утгаас хамаардаг гэдгийг практикт мэддэг. Урт нь том байх тусам тухайн арга, хэмжилтийн нөхцөлд үнэмлэхүй алдаа их байх болно. Иймээс үр дүнгийн үнэмлэхүй алдааг өнцгийн хэмжилтийн нарийвчлалыг үнэлэхэд ашиглаж болох боловч уртын хэмжилтийн нарийвчлалыг үнэлэх боломжгүй юм. Алдааг харьцангуй хэлбэрээр илэрхийлэх нь мэдэгдэж буй тохиолдлуудад өнцгийн болон шугаман хэмжилтийн нарийвчлалыг харьцуулах боломжийг олгодог.

Магадлалын онолын үндсэн ойлголтууд. Санамсаргүй алдаа.

Санамсаргүй алдаа ижил хэмжигдэхүүнийг давтан хэмжих явцад санамсаргүй байдлаар өөрчлөгддөг хэмжилтийн алдааны бүрэлдэхүүн хэсэг гэж нэрлэдэг.

Ижил тогтмол, өөрчлөгддөггүй хэмжигдэхүүнийг давтан хэмжилтийг ижил болгоомжтой, ижил нөхцөлд хийх үед хэмжилтийн үр дүнг олж авдаг - тэдгээрийн зарим нь бие биенээсээ ялгаатай, зарим нь давхцдаг. Хэмжилтийн үр дүнгийн ийм зөрүү нь тэдгээрт санамсаргүй алдааны бүрэлдэхүүн хэсгүүд байгааг харуулж байна.

Санамсаргүй алдаа нь олон эх сурвалжийн нэгэн зэрэг нөлөөллөөс үүсдэг бөгөөд тус бүр нь хэмжилтийн үр дүнд үл үзэгдэх нөлөө үзүүлдэг боловч бүх эх сурвалжийн нийт нөлөөлөл нэлээд хүчтэй байж болно.

Санамсаргүй алдаа нь аливаа хэмжилтийн зайлшгүй үр дагавар бөгөөд дараах шалтгааны улмаас үүсдэг.

а) багаж хэрэгсэл, багаж хэрэгслийн масштабын уншилтын алдаа;

б) давтан хэмжилт хийх нөхцөлийг тодорхойлохгүй байх;

в) хянах боломжгүй гадаад нөхцөл байдлын санамсаргүй өөрчлөлт (температур, даралт, хүчний талбар гэх мэт);

г) шалтгаан нь бидэнд тодорхойгүй байгаа хэмжилтийн бусад бүх нөлөө. Туршилтыг олон удаа давтаж, олж авсан үр дүнгийн математик боловсруулалтыг хийснээр санамсаргүй алдааны хэмжээг багасгаж болно.

Санамсаргүй алдаа нь өгөгдсөн хэмжилтийн үйлдлийг урьдчилан таамаглах боломжгүй өөр өөр үнэмлэхүй утгуудыг авч болно. Энэ алдаа нь адил эерэг эсвэл сөрөг байж болно. Туршилтанд санамсаргүй алдаа байнга гардаг. Системчилсэн алдаа байхгүй тохиолдолд тэдгээр нь бодит утгатай харьцуулахад давтан хэмжилтийн тархалтыг үүсгэдэг.

Савлуурын хэлбэлзлийн хугацааг секундомер ашиглан хэмжиж хэмжилтийг олон удаа давтана гэж үзье. Секундомерыг асаах, зогсооход гарсан алдаа, унших утгын алдаа, дүүжин хөдөлгөөний бага зэрэг жигд бус байдал - энэ бүхэн давтан хэмжилтийн үр дүнг тараахад хүргэдэг тул санамсаргүй алдаа гэж ангилж болно.

Хэрэв өөр алдаа байхгүй бол зарим үр дүнг арай хэтрүүлж, заримыг нь бага зэрэг дутуу үнэлнэ. Гэхдээ үүнээс гадна цаг хоцорч байвал бүх үр дүнг дутуу үнэлнэ. Энэ бол аль хэдийн системчилсэн алдаа юм.

Зарим хүчин зүйл нь системчилсэн болон санамсаргүй алдааг нэгэн зэрэг үүсгэж болно. Тиймээс бид секунд хэмжигчийг асааж, унтрааснаар дүүжингийн хөдөлгөөнтэй харьцуулахад цагийн эхлэх болон зогсох цагуудад жижиг жигд бус тархалтыг үүсгэж, улмаар санамсаргүй алдаа гаргаж чадна. Гэхдээ хэрэв бид секунд хэмжигчийг байнга асаах гэж яарч, унтраахаас хоцордог бол энэ нь системчилсэн алдаа гаргахад хүргэнэ.

Санамсаргүй алдаа нь багажийн хуваалтыг тоолох үед параллакс алдаа, барилгын суурийн сэгсрэх, бага зэрэг агаарын хөдөлгөөний нөлөөлөл гэх мэтээс үүсдэг.

Хэдийгээр бие даасан хэмжилтийн санамсаргүй алдааг арилгах боломжгүй ч санамсаргүй үзэгдлийн математик онол нь хэмжилтийн эцсийн үр дүнд эдгээр алдааны нөлөөллийг багасгах боломжийг олгодог. Үүний тулд нэг биш, хэд хэдэн хэмжилт хийх шаардлагатай бөгөөд бидний олж авахыг хүсч буй алдааны утга бага байх тусам илүү их хэмжилт хийх шаардлагатай байгааг доор харуулав.

Санамсаргүй алдаа гарах нь зайлшгүй бөгөөд зайлсхийх боломжгүй тул аливаа хэмжилтийн үйл явцын гол ажил бол алдааг хамгийн бага хэмжээнд хүртэл бууруулах явдал юм.

Алдааны онол нь туршлагаар батлагдсан хоёр үндсэн таамаглал дээр суурилдаг.

1. Олон тооны хэмжилтийн үед ижил хэмжээтэй, гэхдээ өөр өөр шинж тэмдэг бүхий санамсаргүй алдаа, өөрөөр хэлбэл үр дүнг нэмэгдүүлэх, бууруулах чиглэлд алдаа гарах нь элбэг байдаг.

2. Үнэмлэхүй утгаараа том алдаа нь жижиг алдаанаас бага байдаг тул түүний хэмжээ нэмэгдэх тусам алдаа гарах магадлал буурдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн зан төлөвийг магадлалын онолын сэдэв болох статистикийн хэв маягаар тодорхойлдог. Магадлалын статистик тодорхойлолт w iүйл явдал бихарилцаа юм

Хаана n- туршилтын нийт тоо, n i- үйл явдал болсон туршилтуудын тоо биболсон. Энэ тохиолдолд туршилтын нийт тоо маш их байх ёстой ( n®¥). Олон тооны хэмжилтийн үед санамсаргүй алдаа нь хэвийн тархалтыг (Гаусын тархалт) дагаж мөрддөг бөгөөд тэдгээрийн гол шинж чанарууд нь дараах байдалтай байна.

1. Хэмжилтийн утга жинхэнэ утгаас их байх тусам ийм үр дүн гарах магадлал бага байна.

2. Бодит утгаас хоёр чиглэлд хазайх нь адил магадлалтай.

Дээрх таамаглалаас харахад санамсаргүй алдааны нөлөөллийг багасгахын тулд энэ утгыг хэд хэдэн удаа хэмжих шаардлагатай байна. Бид ямар нэг x хэмжигдэхүүнийг хэмжиж байна гэж бодъё. Үүнийг үйлдвэрлэе nхэмжилт: x 1 , x 2 , ... x n- ижил аргаар, ижил болгоомжтой ашиглах. Энэ тоо гэж найдаж болно dn-аас нэлээд нарийн интервалд оршдог үр дүнгүүд xруу x + dx, пропорциональ байх ёстой:

Авсан интервалын хэмжээ dx;

Хэмжилтийн нийт тоо n.

Магадлал dw(x) ямар нэг үнэ цэнэ xхүртэлх зайд оршдог xруу x + dx,дараах байдлаар тодорхойлогддог :

(хэмжилтийн тоогоор n ®¥).

Чиг үүрэг е(X) тархалтын функц буюу магадлалын нягт гэж нэрлэдэг.

Алдааны онолын постулатын хувьд шууд хэмжилтийн үр дүн ба тэдгээрийн санамсаргүй алдаа нь олон тооны үед хэвийн тархалтын хуульд захирагддаг болохыг хүлээн зөвшөөрдөг.

Гауссын олсон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц xдараах хэлбэртэй байна:

, хаана байна - түгээлтийн параметрүүд .

Хэвийн тархалтын параметр m нь дундаж утгатай b-тэй тэнцүү байна xñ санамсаргүй хэмжигдэхүүн, дурын мэдэгдэж буй тархалтын функцийн хувьд интегралаар тодорхойлогддог.

Тиймээс, m утга нь хэмжсэн хэмжигдэхүүний хамгийн их магадлалтай утга юм x, i.e. түүний хамгийн сайн тооцоо.

Хэвийн тархалтын параметр s 2 нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний D дисперстэй тэнцүү бөгөөд энэ нь ерөнхий тохиолдолд дараах интегралаар тодорхойлогддог.

Дисперсийн квадрат язгуурыг санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт гэнэ.

ásñ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж хазайлтыг (алдаа) хуваарилалтын функцийг ашиглан дараах байдлаар тодорхойлно.

Гауссын тархалтын функцээр тооцоолсон хэмжилтийн дундаж алдаа ásñ нь стандарт хазайлтын s утгатай дараах байдлаар хамааралтай байна.

< с > = 0.8 сек.

s ба m параметрүүд хоорондоо дараах байдлаар хамааралтай.

Энэ илэрхийлэл нь хэвийн тархалтын муруй байвал стандарт хазайлтыг олох боломжийг олгодог.

Гауссын функцийн графикийг зурагт үзүүлэв. Чиг үүрэг е(x) цэг дээр зурсан ординатын хувьд тэгш хэмтэй байна x =м; цэг дээр дээд тал нь дамждаг x = m ба m ±s цэгүүдэд гулзайлттай байна. Тиймээс дисперс нь тархалтын функцийн өргөнийг тодорхойлдог эсвэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд нь түүний жинхэнэ утгатай харьцуулахад хэр өргөн тархаж байгааг харуулдаг. Хэмжилтийг илүү нарийвчлалтай хийх тусам бие даасан хэмжилтийн үр дүн нь жинхэнэ утгад ойртох болно. s утга бага байна. Зураг А функцийг харуулав е(x) s-ийн гурван утгын хувьд .

Муруйгаар хүрээлэгдсэн дүрсийн талбай е(x) ба цэгүүдээс татсан босоо шугамууд x 1 ба x 2 (Зураг B) , хэмжилтийн үр дүн D интервалд орох магадлалтай тоон хувьд тэнцүү байна x = x 1 -х 2, үүнийг итгэлийн магадлал гэж нэрлэдэг. Бүх муруй доорх талбай е(x) нь 0-ээс ¥ хүртэлх интервалд санамсаргүй хэмжигдэхүүн орох магадлалтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл.

найдвартай үйл явдлын магадлал нэгтэй тэнцүү учраас.

Хэвийн тархалтыг ашиглан алдааны онол нь хоёр үндсэн асуудлыг гаргаж, шийддэг. Эхнийх нь авсан хэмжилтийн нарийвчлалын үнэлгээ юм. Хоёр дахь нь хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундаж утгын үнэн зөв байдлын үнэлгээ.5. Итгэлийн интервал. Оюутны коэффициент.

Магадлалын онол нь мэдэгдэж буй магадлал бүхий интервалын хэмжээг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодог wбие даасан хэмжилтийн үр дүнг олно. Энэ магадлалыг гэж нэрлэдэг итгэх магадлал, болон харгалзах интервал (<x>±D x)wдуудсан итгэлийн интервал.Итгэх магадлал нь итгэлийн интервалд багтах үр дүнгийн харьцангуй хувьтай тэнцүү байна.

Хэрэв хэмжилтийн тоо nхангалттай том бол итгэлийн магадлал нь нийт тооны эзлэх хувийг илэрхийлнэ nхэмжсэн утга нь итгэлцлийн интервал дотор байсан хэмжилтүүд. Итгэх магадлал бүр wтүүний итгэлийн интервалтай тохирч байна w 2 80%. Итгэлийн интервал өргөн байх тусам тухайн интервалд үр дүнд хүрэх магадлал өндөр болно. Магадлалын онолд итгэлийн интервалын утга, итгэлийн магадлал, хэмжилтийн тоо хоёрын хооронд тоон хамаарлыг тогтоодог.

Хэрэв бид итгэлийн интервалаар дундаж алдаатай тохирох интервалыг сонговол, өөрөөр хэлбэл D a =áD Аñ, тэгвэл хангалттай олон тооны хэмжилтийн хувьд энэ нь итгэх магадлалд тохирно w 60%. Хэмжилтийн тоо буурах тусам ийм итгэлийн интервалд тохирох итгэлийн магадлал (á) Аñ ± áD Аñ), буурна.

Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний итгэлийн интервалыг тооцоолохын тулд дундаж алдааны утгыг ашиглаж болно áD Аñ .

Санамсаргүй алдааны хэмжээг тодорхойлохын тулд хоёр тоо, тухайлбал, итгэлийн интервалын утга ба итгэлийн магадлалын утгыг зааж өгөх шаардлагатай. . Харгалзах итгэлийн магадлалгүйгээр зөвхөн алдааны хэмжээг зааж өгөх нь үндсэндээ утгагүй болно.

Хэрэв хэмжилтийн дундаж алдаа нь мэдэгдэж байгаа бол итгэлцлийн интервалыг дараах байдлаар бичнэ.<x>±asñ) w, итгэлтэй магадлалаар тодорхойлно w= 0,57.

Хэрэв стандарт хазайлт s мэдэгдэж байвал хэмжилтийн үр дүнгийн хуваарилалт, заасан интервал нь хэлбэртэй байна (<x>± t wс) w, Хаана t w- итгэлцлийн магадлалын утгаас хамаарах коэффициент ба Гауссын тархалтыг ашиглан тооцоолно.

Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг хэмжигдэхүүнүүд D xхүснэгт 1-д өгсөн болно.

Амьдралд бид ихэвчлэн янз бүрийн ойролцоогоор хэмжигдэхүүнтэй тулгардаг. Ойролцоогоор тооцоолол нь үргэлж алдаатай тооцоолол юм.

Үнэмлэхүй алдааны тухай ойлголт

Ойролцоо утгын үнэмлэхүй алдаа нь яг тодорхой утга ба ойролцоо утгын зөрүүний хэмжээ юм.
Өөрөөр хэлбэл, та яг тодорхой утгаас ойролцоо утгыг хасч, үр дүнгийн модулийг авах хэрэгтэй. Тиймээс үнэмлэхүй алдаа үргэлж эерэг байдаг.

Үнэмлэхүй алдааг хэрхэн тооцоолох вэ

Энэ нь практик дээр ямар байж болохыг харцгаая. Жишээлбэл, бид тодорхой утгын графиктай, энэ нь парабол байг: y=x^2.

Графикаас бид зарим цэгийн ойролцоо утгыг тодорхойлж болно. Жишээлбэл, x=1.5 үед y-ийн утга нь ойролцоогоор 2.2 (y≈2.2)-тай тэнцүү байна.

y=x^2 томьёог ашиглан x=1.5 y= 2.25 цэг дээрх яг утгыг олно.

Одоо хэмжилтийнхээ үнэмлэхүй алдааг тооцоолъё. |2.25-2.2|=|0.05| = 0.05.

Үнэмлэхүй алдаа нь 0.05 байна. Ийм тохиолдолд тэд мөн утгыг 0.05 нарийвчлалтайгаар тооцдог гэж хэлдэг.

Тодорхой утгыг үргэлж олох боломжгүй байдаг тул үнэмлэхүй алдааг олох нь үргэлж боломжгүй байдаг.

Жишээлбэл, бид хоёр цэгийн хоорондох зайг захирагчаар эсвэл хоёр шулуун шугамын хоорондох өнцгийн утгыг протектор ашиглан тооцоолвол ойролцоо утгыг авна. Гэхдээ яг үнэ цэнийг нь тооцоолох боломжгүй юм. Энэ тохиолдолд бид үнэмлэхүй алдааны утга түүнээс их байж болохгүй тоог зааж өгч болно.

Захирагчтай жишээн дээр энэ нь 0.1 см байх болно, учир нь захирагч дээрх хуваах утга нь 1 миллиметр байна. Протекторын жишээн дээр 1 градус, учир нь хэмжилтийн хэмжүүр нь градус бүрээр төгссөн байдаг. Тиймээс эхний тохиолдолд үнэмлэхүй алдааны утга нь 0.1, хоёр дахь тохиолдолд 1 байна.

Хичээлдээ тусламж хэрэгтэй байна уу?

Өмнөх сэдэв:

1. Танилцуулга

Химич, физикч, байгалийн шинжлэх ухааны бусад мэргэжлийн төлөөлөгчдийн ажил нь ихэвчлэн янз бүрийн хэмжигдэхүүнүүдийн тоон хэмжилтийг хийдэг. Энэ тохиолдолд олж авсан утгуудын найдвартай байдалд дүн шинжилгээ хийх, шууд хэмжилтийн үр дүнг боловсруулах, шууд хэмжсэн шинж чанарын утгыг ашигладаг тооцооллын алдааг үнэлэх (сүүлийн процессыг үр дүнг боловсруулах гэж нэрлэдэг) гэсэн асуулт гарч ирдэг. шууд бусхэмжилт). Олон тооны объектив шалтгааны улмаас Москвагийн Улсын Их Сургуулийн Химийн факультетийн төгсөгчдийн алдааг тооцоолох мэдлэг нь хүлээн авсан өгөгдлийг зөв боловсруулахад үргэлж хангалтгүй байдаг. Эдгээр шалтгаануудын нэг нь багш нарын сургалтын хөтөлбөрт хэмжилтийн үр дүнг статистик боловсруулах хичээл байхгүй байгаа явдал юм.

Энэ үед алдааг тооцох асуудлыг мэдээж сайтар судалсан. Олон тооны арга зүйн боловсруулалт, сурах бичиг гэх мэт алдааг тооцоолох талаархи мэдээллийг олж авах боломжтой. Харамсалтай нь эдгээр ажлын ихэнх нь нэмэлт, үргэлж шаардлагатай биш мэдээллээр хэт ачаалалтай байдаг. Ялангуяа оюутны семинарын ихэнх ажил нь дээжийг харьцуулах, нэгдмэл байдлыг үнэлэх гэх мэт үйлдлүүдийг шаарддаггүй. Тиймээс хамгийн их хэрэглэгддэг тооцооллын алгоритмуудыг тоймлон харуулсан товч боловсруулалтыг бий болгох нь зүйтэй юм шиг санагдаж байна. зориулдаг.

2. Энэ ажилд батлагдсан тэмдэглэгээ

Хэмжилтийн утга, - хэмжсэн утгын дундаж утга, - хэмжсэн утгын дундаж утгын үнэмлэхүй алдаа, - хэмжсэн утгын дундаж утгын харьцангуй алдаа.

3. Шууд хэмжилтийн алдааны тооцоо

Тиймээс тэдгээрийг гүйцэтгэсэн гэж үзье n ижил нөхцөлд ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих. Энэ тохиолдолд та авсан хэмжилт дэх энэ утгын дундаж утгыг тооцоолж болно.

(1)

Алдааг хэрхэн тооцоолох вэ? Дараахь томъёоны дагуу:

(2)

Энэ томъёонд Оюутны коэффициентийг ашигладаг. Түүний өөр өөр итгэл үнэмшил, үнэ цэнийн утгыг өгсөн болно.

3.1. Шууд хэмжилтийн алдааг тооцоолох жишээ:

Даалгавар.

Металл баарны уртыг хэмжсэн. 10 хэмжилт хийж, дараах утгыг авсан: 10 мм, 11 мм, 12 мм, 13 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм, 10 мм, 10 мм, 11 мм. Хэмжсэн утгын дундаж утгыг (барын урт) болон түүний алдааг олох шаардлагатай.

Шийдэл.

Томъёо (1)-ийг ашиглан бид дараахь зүйлийг олно.

мм

Одоо (2) томъёог ашиглан дундаж утгын үнэмлэхүй алдааг итгэлтэй магадлал ба эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог олно (бид утгыг ашигладаг = 2.262, дараахаас авсан):

Үр дүнг бичье:

10.8±0.7 0.95 мм

4. Шууд бус хэмжилтийн алдааны тооцоо

Туршилтын явцад хэмжигдэхүүнүүдийг хэмждэг гэж үзье тэгээд дараа ньв Хүлээн авсан утгыг ашиглан утгыг томъёогоор тооцоолно .

Энэ тохиолдолд шууд хэмжсэн хэмжигдэхүүний алдааг 3-р зүйлд заасны дагуу тооцоолно.

Аргументуудын дундаж утгыг ашиглан хамаарлын дагуу хэмжигдэхүүний дундаж утгыг тооцоолно.

,(3)

Алдааны утгыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Энд аргументуудын тоо, аргументтай холбоотой функцийн хэсэгчилсэн дериватив, аргументийн дундаж утгын үнэмлэхүй алдаа.

Шууд хэмжилтийн нэгэн адил үнэмлэхүй алдааг томъёогоор тооцоолно.

Даалгавар.

4.1. Шууд хэмжилтийн алдааг тооцоолох жишээ:

5 шууд хэмжилт хийсэн ба . Дараах утгыг авсан: 50, 51, 52, 50, 47; хэмжигдэхүүнээр дараах утгыг авсан: 500, 510, 476, 354, 520. Томъёогоор тодорхойлсон хэмжигдэхүүний утгыг тооцоолж, олж авсан утгын алдааг олох шаардлагатай.

Тооцооллын үнэмлэхүй алдааг дараах томъёогоор олно. Модулийн тэмдэг нь бидэнд аль утга их, аль нь бага байх нь хамаагүй гэдгийг харуулж байна. Чухал,хэр хол

ойролцоогоор үр дүн нь тодорхой утгаасаа нэг чиглэлд эсвэл өөр чиглэлд хазайсан.
Тооцооллын харьцангуй алдааг дараах томъёогоор олно.

, эсвэл ижил зүйл: Харьцангуй алдааг харуулж байнахэдэн хувиар

ойролцоо үр дүн нь тодорхой утгаас хазайсан. Томъёоны 100% үржүүлээгүй хувилбар байдаг ч практик дээр би дээрх хувилбарыг бараг үргэлж хувьтай хардаг. Богино лавлагааны дараа функцийн ойролцоо утгыг тооцоолсон асуудал руугаа буцъя

дифференциал ашиглан.
Микро тооцоолуур ашиглан функцийн яг утгыг тооцоолъё.

, хатуухан хэлэхэд үнэ цэнэ нь ойролцоо хэвээр байгаа ч бид үүнийг үнэн зөв гэж үзэх болно. Ийм асуудал гардаг.:

Үнэмлэхүй алдааг тооцоолъё
Харьцангуй алдааг тооцоолъё:

, мянган хувийг авсан тул дифференциал нь маш сайн ойролцооллыг өгсөн.: Хариулт

, үнэмлэхүй тооцооны алдаа, харьцангуй тооцооны алдаа

Бие даасан шийдлийн дараах жишээ:

Жишээ 4

цэг дээр. Өгөгдсөн цэг дэх функцын илүү нарийвчлалтай утгыг тооцоолох, тооцооллын үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг тооцоолох.

Төгсгөлийн дизайны ойролцоо жишээ ба хичээлийн төгсгөлд хариулт.

Үзсэн бүх жишээн дээр үндэс гарч ирдэг гэдгийг олон хүмүүс анзаарсан. Энэ нь санамсаргүй биш, ихэнх тохиолдолд авч үзэж буй асуудал нь үндэстэй функцуудыг санал болгодог.

Гэхдээ зовж шаналж буй уншигчдад зориулж би arcsine-ийн жижиг жишээг ухаж авав:

Дифференциал ашиглан функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоол цэг дээр

Богинохон боловч мэдээлэл сайтай энэ жишээ танд бас бие даан шийдвэрлэхэд зориулагдсан болно. Би бага зэрэг амарсан тул шинэ эрч хүчээр онцгой даалгаврыг авч үзэх болно.

Жишээ 6

Дифференциал ашиглан ойролцоогоор тооцоолж, үр дүнг хоёр аравтын бутархай болгон дугуйруулна уу.

Шийдэл:Даалгаврын шинэ зүйл юу вэ? Нөхцөл нь үр дүнг хоёр аравтын бутархай болгон дугуйлахыг шаарддаг. Гэхдээ энэ бол гол асуудал биш, би сургуулийн дугуйлах асуудал танд хэцүү биш гэж бодож байна. Баримт нь бидэнд градусаар илэрхийлэгддэг аргументтай шүргэгчийг өгдөг. Тригонометрийн функцийг градусаар шийдэхийг хүсэхэд та юу хийх ёстой вэ? Жишээ нь , гэх мэт.

Шийдлийн алгоритм нь үндсэндээ ижил, өөрөөр хэлбэл өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил томъёог ашиглах шаардлагатай байна.

Тодорхой функц бичье

Утгыг маягтаар харуулах ёстой. Ноцтой тусламж үзүүлнэ тригонометрийн функцүүдийн утгын хүснэгт . Дашрамд хэлэхэд, үүнийг хэвлэж амжаагүй хүмүүст би үүнийг хийхийг зөвлөж байна, учир нь та дээд математикийн хичээлийн туршид тэндээс хайх хэрэгтэй болно.

Хүснэгтэд дүн шинжилгээ хийхдээ бид "сайн" шүргэгч утгыг анзаарч, 47 градустай ойролцоо байна.

Тиймээс:

Урьдчилсан шинжилгээ хийсний дараа градусыг радиан болгон хувиргах ёстой. Тийм ээ, зөвхөн энэ замаар!

Энэ жишээн дээр та тригонометрийн хүснэгтээс шууд олж мэдэж болно. градусыг радиан болгон хувиргах томъёог ашиглан: (томъёог ижил хүснэгтээс олж болно).

Дараах нь томъёолол юм:

Тиймээс: (бид тооцоололд утгыг ашигладаг). Нөхцөлийн дагуу үр дүнг аравтын хоёр орон хүртэл дугуйруулна.

Хариулт:

Жишээ 7

Дифференциал ашиглан ойролцоогоор тооцоолж, үр дүнг аравтын бутархайн гурван орон хүртэл дугуйруулна уу.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй, бид градусыг радиан болгон хувиргаж, ердийн шийдлийн алгоритмыг дагаж мөрддөг.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг ашиглан ойролцоогоор тооцоолол

Бүх зүйл маш төстэй байх болно, тиймээс хэрэв та энэ хуудсанд тусгайлан энэ даалгавар өгөхөөр ирсэн бол эхлээд өмнөх догол мөрийн дор хаяж хоёр жишээг үзэхийг зөвлөж байна.

Догол мөрийг судлахын тулд та олох чадвартай байх ёстой хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив , тэдэнгүйгээр бид хаана байх байсан бэ? Дээрх хичээл дээр би хоёр хувьсагчийн функцийг үсгээр тэмдэглэсэн. Харж байгаа ажилтай холбоотойгоор ижил төстэй тэмдэглэгээг ашиглах нь илүү тохиромжтой.

Нэг хувьсагчийн функцийн нэгэн адил асуудлын нөхцөлийг янз бүрийн аргаар томъёолж болох бөгөөд би тулгарсан бүх томъёоллыг авч үзэхийг хичээх болно.

Жишээ 8

Шийдэл:Нөхцөл хэрхэн бичигдсэнээс үл хамааран шийдлийн өөрөө функцийг илэрхийлэхийн тулд би давтан хэлье, "zet" үсгийг биш харин ашиглах нь дээр. .

Мөн ажлын томъёо энд байна:

Бидний өмнө байгаа зүйл бол өмнөх догол мөрийн томъёоны эгч юм. Хувьсагч зөвхөн нэмэгдсэн. Би өөрөө юу гэж хэлэх вэ шийдлийн алгоритм нь үндсэндээ ижил байх болно!

Нөхцөлийн дагуу тухайн цэг дээрх функцийн ойролцоо утгыг олох шаардлагатай.

3.04 тоог . Боов нь өөрөө идэхийг хүсдэг:
,

3.95 гэсэн тоог . Колобокийн хоёрдугаар хагаст ээлж ирлээ.
,

Үнэгний бүх заль мэхийг бүү хар, Колобок байдаг - та үүнийг идэх хэрэгтэй.

Тухайн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Нэг цэг дээрх функцийн дифференциалыг бид дараах томъёогоор олно.

Томъёоноос харахад бид олох хэрэгтэй хэсэгчилсэн дериватив Эхний дарааллаар тэдгээрийн утгыг цэг дээр тооцоол.

Эхний дарааллын хэсэгчилсэн деривативуудыг цэг дээр тооцоолъё.

Цэг дэх нийт дифференциал:

Тиймээс, томъёоны дагуу тухайн цэг дээрх функцийн ойролцоо утга:

Тухайн цэг дээрх функцийн яг утгыг тооцоолъё.

Энэ утга нь туйлын үнэн зөв юм.

Алдааг энэ нийтлэлд аль хэдийн авч үзсэн стандарт томъёогоор тооцдог.

Үнэмлэхүй алдаа:

Харьцангуй алдаа:

Хариулт: , үнэмлэхүй алдаа: , харьцангуй алдаа:

Жишээ 9

Функцийн ойролцоо утгыг тооцоол нэг цэгт нийт дифференциал ашиглан үнэмлэхүй ба харьцангуй алдааг тооцоол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Энэ жишээн дээр илүү дэлгэрэнгүй ярих хүн тооцооллын алдаа маш их мэдэгдэхүйц байгааг анзаарах болно. Энэ нь дараах шалтгааны улмаас болсон: санал болгож буй асуудалд аргументуудын өсөлт нэлээд их байна: .

Ерөнхий загвар нь ийм байна a - үнэмлэхүй утгын эдгээр өсөлтүүд их байх тусам тооцооллын нарийвчлал бага байх болно. Тиймээс, жишээлбэл, ижил төстэй цэгийн хувьд өсөлт нь бага байх болно: , мөн ойролцоо тооцооллын нарийвчлал нь маш өндөр байх болно.

Энэ онцлог нь нэг хувьсагчийн функцийн хувьд ч мөн адил (хичээлийн эхний хэсэг).

Жишээ 10

Шийдэл:Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг ашиглан энэ илэрхийллийг ойролцоогоор тооцоолъё.

Жишээ 8-9-ээс ялгаатай нь бид эхлээд хоёр хувьсагчийн функцийг бүтээх хэрэгтэй. . Функц хэрхэн бүрдсэнийг хүн бүр зөн совингоор ойлгодог гэж би бодож байна.

4.9973 утга нь "тав"-тай ойролцоо байгаа тул: , .
0.9919 утга нь "нэг"-тэй ойролцоо байгаа тул бид: , .

Тухайн цэг дээрх функцийн утгыг тооцоолъё.

Бид цэг дээрх дифференциалыг дараах томъёогоор олно.

Үүнийг хийхийн тулд бид цэг дээр эхний эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тооцоолно.

Энд байгаа деривативууд нь хамгийн энгийн зүйл биш бөгөөд та болгоомжтой байх хэрэгтэй.

;

Цэг дэх нийт дифференциал:

Тиймээс энэ илэрхийллийн ойролцоо утга нь:

Илүү нарийвчлалтай утгыг бичил тооцоолуур ашиглан тооцоолъё: 2.998899527

Харьцангуй тооцооллын алдааг олъё:

Хариулт: ,

Зөвхөн дээрх жишээг дурдахад, авч үзсэн асуудалд аргументуудын өсөлт нь маш бага бөгөөд алдаа нь гайхалтай жижиг болсон.

Жишээ 11

Хоёр хувьсагчийн функцийн бүрэн дифференциалыг ашиглан энэ илэрхийллийн утгыг ойролцоогоор тооцоол. Микро тооцоолуур ашиглан ижил илэрхийллийг тооцоол. Тооцооллын харьцангуй алдааг хувиар тооц.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хичээлийн төгсгөлд эцсийн дизайны ойролцоо жишээ.

Өмнө дурьдсанчлан, энэ төрлийн ажлын хамгийн түгээмэл зочин бол зарим төрлийн үндэс юм. Гэхдээ үе үе өөр функцууд байдаг. Амрах эцсийн энгийн жишээ:

Жишээ 12

Хоёр хувьсагчийн функцийн нийт дифференциалыг ашиглан хэрэв функцийн утгыг ойролцоогоор тооцоол

Шийдэл нь хуудасны доод хэсэгт ойрхон байна. Практикт байгаа өөр өөр жишээн дэх хичээлийн даалгаврын үг хэллэгт анхаарлаа хандуулаарай, гэхдээ энэ нь шийдлийн мөн чанар, алгоритмыг үндсээр нь өөрчилдөггүй.

Үнэнийг хэлэхэд, материал нь жаахан уйтгартай байсан тул би бага зэрэг ядарсан. Өгүүллийн эхэнд ингэж хэлэх нь сурган хүмүүжүүлэх биш байсан, гэхдээ одоо аль хэдийн боломжтой болсон =) Үнэн хэрэгтээ тооцооллын математикийн асуудлууд ихэвчлэн тийм ч төвөгтэй биш, тийм ч сонирхолтой биш, хамгийн чухал зүйл бол алдаа гаргахгүй байх явдал юм. ердийн тооцоонд.

Таны тооны машины түлхүүр арилахгүй байх болтугай!