Гурвалжинг хурц гурвалжин гэж нэрлэдэг. Хөл ба гипотенуз гэж юу вэ? Гурвалжин гэж юу вэ?

Гурвалжин - тодорхойлолт ба ерөнхий ойлголт

Гурвалжин нь гурван талаас бүрдэх, ижил тооны өнцөгтэй энгийн олон өнцөгт юм. Түүний онгоцууд нь эдгээр цэгүүдийг хосоор нь холбосон 3 цэг, 3 сегментээр хязгаарлагддаг.

Аливаа гурвалжны бүх оройг төрлөөс нь үл хамааран латин том үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд түүний талуудыг зөвхөн том үсгээр биш, харин жижиг үсгээр, эсрэг талын оройнуудын харгалзах тэмдэглэгээгээр дүрсэлсэн байдаг. Жишээлбэл, A, B, C гэсэн оройтой гурвалжин нь a, b, c талуудтай.

Хэрэв бид гурвалжинг Евклидийн орон зайд авч үзвэл энэ нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэгийг холбосон гурван сегментийг ашиглан үүссэн геометрийн дүрс юм.

Дээр үзүүлсэн зургийг анхааралтай харна уу. Үүн дээр A, B, C цэгүүд нь энэ гурвалжны оройнууд бөгөөд түүний сегментүүдийг гурвалжны талууд гэж нэрлэдэг. Энэ олон өнцөгтийн орой бүр нь дотроо өнцөг үүсгэдэг.

Гурвалжны төрлүүд

Гурвалжны өнцгийн хэмжээнээс хамааран тэдгээрийг дараахь сортуудад хуваана: Тэгш өнцөгт;
Цочмог өнцөг;
Бүдүүн.

Тэгш өнцөгт гурвалжинд нэг тэгш өнцөгтэй, нөгөө хоёр нь хурц өнцөгтэй гурвалжингууд багтана.

Цочмог гурвалжин нь түүний бүх өнцөг нь хурц өнцөгтэй гурвалжин юм.

Хэрэв гурвалжин нэг мохоо өнцөгтэй, нөгөө хоёр хурц өнцөгтэй бол ийм гурвалжинг мохоо гэж ангилна.

Бүх гурвалжин тэгш талтай байдаггүй гэдгийг та бүгд маш сайн ойлгодог. Хажуугийн уртын дагуу гурвалжинг дараахь байдлаар хувааж болно.

Хоёр талт тал;
тэгш талт;
Олон талт.

Даалгавар: Төрөл бүрийн гурвалжин зур. Тэдгээрийг тодорхойл. Та тэдний хооронд ямар ялгааг харж байна вэ?

Гурвалжны үндсэн шинж чанарууд

Хэдийгээр эдгээр энгийн олон өнцөгтүүд нь өнцөг эсвэл талуудын хэмжээгээрээ ялгаатай байж болох ч гурвалжин бүр нь энэ зургийн онцлог шинж чанартай байдаг.

Аливаа гурвалжинд:

Түүний бүх өнцгийн нийлбэр нь 180º байна.
Хэрэв энэ нь тэгш талт хэсгүүдэд хамаарах бол түүний өнцөг бүр 60º байна.
Тэгш талт гурвалжин нь тэнцүү ба тэнцүү өнцөгтэй.
Олон өнцөгтийн тал нь бага байх тусам түүний эсрэг талын өнцөг бага байх ба эсрэгээр том өнцөг нь том талын эсрэг байна.
Хэрэв талууд тэнцүү бол тэдгээрийн эсрэг талд тэгш өнцөгтүүд байх ба эсрэгээр.
Хэрэв бид гурвалжинг аваад талыг нь сунгавал гаднах өнцөгтэй болно. Энэ нь дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Аль ч гурвалжинд түүний тал нь алийг нь ч сонгосон бай бусад 2 талын нийлбэрээс бага боловч тэдгээрийн ялгаанаас их байх болно.

1.а< b + c, a >b–c;
2. б< a + c, b >a–c;
3. в< a + b, c >a–b.

Дасгал хийх

Хүснэгтэд гурвалжны аль хэдийн мэдэгдэж байсан хоёр өнцгийг харуулав. Бүх өнцгүүдийн нийлбэрийг мэдээд гурвалжны гурав дахь өнцөг нь хэдтэй тэнцүү болохыг олж, хүснэгтэд оруулна уу.

1. Гурав дахь өнцөг хэдэн градустай вэ?
2. Ямар төрлийн гурвалжинд хамаарах вэ?

Гурвалжны эквивалент тест

Би гарын үсэг зурна

II тэмдэг

III тэмдэг

Гурвалжны өндөр, биссектриса ба медиан

Гурвалжны өндөр - зургийн оройгоос түүний эсрэг тал руу татсан перпендикулярыг гурвалжны өндөр гэнэ. Гурвалжны бүх өндөр нь нэг цэг дээр огтлолцдог. Гурвалжны бүх гурван өндрийн огтлолцох цэг нь түүний ортотөв юм.

Өгөгдсөн оройноос зурж, эсрэг талын голд холбосон сегмент нь медиан юм. Гурвалжны өндрөөс гадна медианууд нь гурвалжны хүндийн төв буюу төв гэж нэрлэгддэг огтлолцлын нэг нийтлэг цэгтэй байдаг.

Гурвалжны биссектриса нь өнцгийн орой ба эсрэг талын цэгийг холбосон сегмент бөгөөд мөн энэ өнцгийг хагасаар хуваадаг. Гурвалжны бүх биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд үүнийг гурвалжинд сийлсэн тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Гурвалжны хоёр талын дундыг холбосон хэрчмийг дунд шугам гэнэ.

Түүхэн суурь

Гурвалжин гэх мэт дүрсийг эрт дээр үед мэддэг байсан. Энэ тоо болон түүний шинж чанарыг дөрвөн мянган жилийн өмнө Египетийн папирус дээр дурдсан байдаг. Хэсэг хугацааны дараа Пифагорын теорем ба Хероны томъёоны ачаар гурвалжны шинж чанарыг судлах нь илүү өндөр түвшинд хүрсэн боловч энэ нь хоёр мянга гаруй жилийн өмнө болсон юм.

15-16-р зуунд гурвалжны шинж чанаруудын талаар маш их судалгаа хийж эхэлсэн бөгөөд үүний үр дүнд "Шинэ гурвалжны геометр" гэж нэрлэгддэг планиметр зэрэг шинжлэх ухаан үүсчээ.

Гурвалжны шинж чанарыг мэдэхэд Оросын эрдэмтэн Н.И.Лобачевский асар их хувь нэмэр оруулсан. Түүний бүтээлүүд хожим математик, физик, кибернетикт хэрэглэгдэх болсон.

Гурвалжны шинж чанарын талаархи мэдлэгийн ачаар тригонометр гэх мэт шинжлэх ухаан гарч ирэв. Газрын зураг зурах, талбайг хэмжих, тэр ч байтугай янз бүрийн механизмыг зохион бүтээхэд үүнийг ашиглах нь ердөө л шаардлагатай байдаг тул энэ нь хүний практик хэрэгцээнд шаардлагатай болсон.

Таны мэдэх хамгийн алдартай гурвалжин юу вэ? Энэ бол мэдээж Бермудын гурвалжин! Энэ нь одоо байгаа онолын дагуу үүнтэй холбоотой гажиг үүссэн цэгүүдийн газарзүйн байршлаас (гурвалжны орой) 50-аад онд ийм нэрийг авсан. Бермудын гурвалжны оройнууд нь Бермуд, Флорида, Пуэрто Рико юм.

Даалгавар: Та Бермудын гурвалжингийн талаар ямар онолыг сонссон бэ?

Лобачевскийн онолд гурвалжны өнцгийг нэмэхэд тэдгээрийн нийлбэр нь үргэлж 180º-аас бага үр дүнтэй байдаг гэдгийг та мэдэх үү. Риманы геометрт гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр нь 180º-аас их, Евклидийн бүтээлүүдэд 180 градустай тэнцүү байдаг.

Гэрийн даалгавар

Өгөгдсөн сэдвээр кроссворд таавар

Кроссвордод зориулсан асуултууд:

1. Гурвалжны оройгоос эсрэг талд байрлах шулуун шугам руу татсан перпендикулярыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
2. Гурвалжны талуудын уртын нийлбэрийг нэг үгээр яаж нэрлэх вэ?
3. Хоёр тал нь тэнцүү гурвалжинг нэрлэнэ үү?
4. 90°-тай тэнцүү өнцөгтэй гурвалжинг нэрлэнэ үү?
5. Гурвалжны хамгийн том талыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
6. Хоёр талт гурвалжны талыг юу гэж нэрлэдэг вэ?
7. Аль ч гурвалжинд дандаа гурав нь байдаг.
8. Аль нэг өнцөг нь 90°-аас хэтэрсэн гурвалжныг юу гэж нэрлэдэг вэ?
9. Манай дүрсний дээд хэсгийг эсрэг талын дунд хэсэгтэй холбосон сегментийн нэр?
10. Энгийн ABC олон өнцөгт А том үсэг нь...?
11. Гурвалжны өнцгийг хагасаар хуваах хэрчмийг юу гэж нэрлэдэг вэ?

Гурвалжингийн сэдэвтэй холбоотой асуултууд:

1. Тодорхойл.
2. Хэдэн өндөртэй вэ?
3. Гурвалжин хэдэн биссектрисатай вэ?
4. Түүний өнцгүүдийн нийлбэр хэд вэ?
5. Энэ энгийн олон өнцөгтийн ямар төрлийг та мэдэх вэ?
6. Гайхалтай гэж нэрлэгддэг гурвалжны цэгүүдийг нэрлэнэ үү.
7. Өнцгийг ямар төхөөрөмжөөр хэмжих вэ?
8. Цагийн зүү 21 цагийг харуулж байвал. Цагийн зүү ямар өнцөг үүсгэдэг вэ?
9. "Зүүн", "тойрог" гэсэн команд өгвөл хүн ямар өнцгөөр эргэх вэ?
10. Гурван өнцөг, гурван талтай дүрстэй холбоотой өөр ямар тодорхойлолтыг та мэдэх вэ?

Сэдвүүд > Математик > Математик 7-р анги

Гурвалжиннь гурван тал (эсвэл гурван өнцөг) бүхий олон өнцөгт юм. Гурвалжны талуудыг ихэвчлэн жижиг үсгээр (a, b, c) тэмдэглэдэг бөгөөд энэ нь эсрэг талын оройг (A, B, C) харуулсан том үсэгтэй тохирдог.

Хэрэв гурвалжны гурван өнцөг бүгд хурц байвал тийм байна хурц гурвалжин.

Гурвалжны аль нэг өнцөг нь зөв байвал зөв байна зөв гурвалжин. Тэгш өнцөг үүсгэсэн талуудыг дуудна хөл. Зөв өнцгийн эсрэг талын талыг дуудна гипотенуз.

Гурвалжны аль нэг өнцөг нь мохоо байвал тэр нь мөн мохоо гурвалжин.

Хоёр талт гурвалжин, хэрэв түүний хоёр тал тэнцүү бол; Эдгээр тэнцүү талуудыг хажуу тал гэж нэрлэдэг ба гурав дахь талыг гурвалжны суурь гэж нэрлэдэг.

Тэгш талт гурвалжин, хэрэв түүний бүх талууд тэнцүү бол.

Гурвалжны үндсэн шинж чанарууд

Аливаа гурвалжинд:

1. Том талын эсрэг талд том өнцөг байрладаг ба эсрэгээр.

2. Тэгш өнцөг нь тэнцүү талуудын эсрэг байрладаг ба эсрэгээр.
Ялангуяа тэгш талт гурвалжны бүх өнцөг тэнцүү байна.

3. Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180º.
Сүүлийн хоёр шинж чанараас харахад өнцөг бүр тэгш талт байна
гурвалжин нь 60º.

4. Гурвалжны нэг талыг үргэлжлүүлж, бид гадна талыг нь авдаг
булан. Гурвалжны гадаад өнцөг нь дотоод өнцгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү,
хажууд нь биш.

5. Гурвалжны аль ч тал нь нөгөө хоёр талын нийлбэрээс бага ба түүнээс их байна
тэдний ялгаа.

Гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг.

Гурвалжин нь тэнцүү байвал тэнцүү байна:

A) хоёр тал ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг;
б) хоёр булан ба тэдгээрийн зэргэлдээ тал;
в) гурван тал.

Тэгш өнцөгт гурвалжны тэгш байдлын шинж тэмдэг.

Дараах нөхцлүүдийн аль нэг нь үнэн бол хоёр тэгш өнцөгт гурвалжин тэнцүү байна.

1) хөл нь тэнцүү;
2) нэг гурвалжны хөл ба гипотенуз нь нөгөө гурвалжны хөл ба гипотенузтай тэнцүү;
3) нэг гурвалжны гипотенуз ба хурц өнцөг нь нөгөө гурвалжны гипотенуз ба хурц өнцөгтэй тэнцүү;
4) нэг гурвалжны хөл ба зэргэлдээх хурц өнцөг нь нөгөө гурвалжны хажуугийн хурц өнцөгтэй тэнцүү;
5) нэг гурвалжны хөл ба эсрэг талын хурц өнцөг нь нөгөө гурвалжны хөл ба эсрэг талын хурц өнцөгтэй тэнцүү байна.

Гурвалжингийн өндөрнь аль ч оройноос эсрэг тал руу (эсвэл түүний үргэлжлэл) унасан перпендикуляр юм. Энэ талыг гурвалжны суурь гэж нэрлэдэг. Гурвалжны гурван өндөр нь үргэлж нэг цэг дээр огтлолцдог гурвалжны ортотөв. Хурц гурвалжны ортот төв нь гурвалжны дотор, мохоо гурвалжны ортот төв нь гадна талд байрладаг; Тэгш өнцөгт гурвалжны орто төв нь зөв өнцгийн оройтой давхцдаг.

Медианнь гурвалжны аль ч оройг эсрэг талынх нь дунд хэсэгтэй холбосон хэрчим юм. Гурвалжны гурван медиан нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь үргэлж гурвалжны дотор оршдог ба түүний хэсэг юм. хүндийн төв. Энэ цэг нь голч бүрийг оройноос эхлэн тоолоход 2:1 харьцаагаар хуваана.

Хоёр талт гурвалжны медианы өмч.Тэгш өнцөгт гурвалжинд суурь руу татсан медиан нь биссектриса ба өндөр юм.

Биссектрис- энэ нь оройноос эсрэг талтай огтлолцох цэг хүртэлх өнцгийн биссектрисын сегмент юм. Гурвалжны гурван биссектриса нь нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь үргэлж гурвалжны дотор оршдог ба бичээстэй тойргийн төв. Бисектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваана.

Медиан перпендикулярнь сегментийн (хажуугийн) дунд цэгээс татсан перпендикуляр юм. Гурвалжны гурван перпендикуляр медиан нь нэг цэг дээр огтлолцдог хүрээлэгдсэн тойргийн төв.Цочмог гурвалжинд энэ цэг нь гурвалжин дотор байрладаг; мохоо өнцгөөр - гадна талд; тэгш өнцөгт хэлбэрээр - гипотенузын дунд. Ортоцентр, хүндийн төв, тойргийн төв, бичээстэй тойрог нь зөвхөн тэгш талт гурвалжинд давхцдаг.

Гурвалжны дунд шугамнь түүний хоёр талын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм.

Гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанар. Өгөгдсөн хоёр талын дундын цэгүүдийг холбосон гурвалжны дунд шугам нь гурав дахь талтай параллель бөгөөд түүний хагастай тэнцүү байна.

Пифагорын теорем.Тэгш өнцөгт гурвалжинд гипотенузын уртын квадрат нь хөлний уртын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. c 2 = a 2 + b 2 .

Пифагорын теоремын баталгаахарж болно Энд.

Синусын теорем. Гурвалжны талууд нь эсрэг талын өнцгүүдийн синусуудтай пропорциональ байна .

Косинусын теорем.Гурвалжны аль ч талын квадрат нь нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд эдгээр талуудын хоорондох өнцгийн косинусыг хоёр дахин үржвэрлэхгүй. .

Синусын теорем ба косинусын теоремын баталгаахарж болно Энд.

Гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэрийн тухай теорем.Гурвалжны дотоод өнцгийн нийлбэр нь 180° байна.

Гурвалжны гадна өнцгийн теорем. Гурвалжны гаднах өнцөг нь түүнтэй зэргэлдээгүй хоёр дотоод өнцгийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

Сургуулийн өмнөх насны хүүхдүүд хүртэл гурвалжин ямар байдгийг мэддэг. Гэхдээ хүүхдүүд сургууль дээрээ ямар байдгийг аль хэдийн ойлгож эхэлж байна. Нэг төрөл нь мохоо гурвалжин юм. Энэ нь юу болохыг ойлгох хамгийн хялбар арга бол түүний зургийг харах явдал юм. Онолын хувьд үүнийг гурван тал ба оройтой "хамгийн энгийн олон өнцөгт" гэж нэрлэдэг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь

Үзэл баримтлалыг ойлгох

Геометрийн хувьд хурц, зөв, мохоо гурвалжин гэсэн гурван талтай ийм төрлийн дүрсүүд байдаг. Түүнээс гадна эдгээр хамгийн энгийн олон өнцөгтүүдийн шинж чанар нь бүгдэд ижил байдаг. Тиймээс жагсаасан бүх зүйлийн хувьд энэ тэгш бус байдал ажиглагдах болно. Аливаа хоёр талын уртын нийлбэр нь гурав дахь талын уртаас заавал их байх болно.

Гэхдээ бид бие даасан оройнуудын тухай биш харин бүрэн дүрсийн тухай ярьж байгаа гэдэгт итгэлтэй байхын тулд гол нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгах шаардлагатай: мохоо гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градустай тэнцүү байна. . Гурван талтай бусад төрлийн дүрсийн хувьд ч мөн адил. Үнэн, мохоо гурвалжинд нэг өнцөг нь бүр 90 ° -аас их байх бөгөөд үлдсэн хоёр нь хурц байх болно. Энэ тохиолдолд энэ нь хамгийн урт талын эсрэг байх хамгийн том өнцөг юм. Үнэн, эдгээр нь мохоо гурвалжны бүх шинж чанар биш юм. Гэхдээ зөвхөн эдгээр шинж чанаруудыг мэддэг байсан ч сургуулийн сурагчид геометрийн олон асуудлыг шийдэж чадна.

Гурван оройтой олон өнцөгт бүрийн хувьд аль нэг талыг нь үргэлжлүүлснээр хэмжээ нь зэргэлдээгүй хоёр дотоод оройн нийлбэртэй тэнцүү өнцөг олж авах нь бас үнэн юм. Мохоо гурвалжны периметрийг бусад хэлбэрийнхтэй адил тооцоолно. Энэ нь түүний бүх талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү юм. Үүнийг тодорхойлохын тулд математикчид анх ямар өгөгдөл байгааг харгалзан янз бүрийн томъёо боловсруулсан.

Зөв хэв маяг

Геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх хамгийн чухал нөхцлүүдийн нэг бол зөв зурах явдал юм. Математикийн багш нар энэ нь танд юу өгөгдсөн, юу шаардагдахыг төсөөлөхөд төдийгүй зөв хариулт руу 80% ойртоно гэж байнга хэлдэг. Ийм учраас мохоо гурвалжинг хэрхэн бүтээхийг мэдэх нь чухал юм. Хэрэв танд зөвхөн таамагласан дүрс хэрэгтэй бол аль нэг өнцөг нь 90 градусаас их байхаар гурван талтай олон өнцөгт зурж болно.

Хэрэв талуудын урт эсвэл өнцгийн градусын тодорхой утгыг өгсөн бол тэдгээрийн дагуу мохоо гурвалжин зурах шаардлагатай. Энэ тохиолдолд өнцгийг аль болох нарийвчлалтай дүрсэлж, протектор ашиглан тооцоолж, даалгаврын дагуу талуудыг харуулахыг хичээх шаардлагатай.

Үндсэн шугамууд

Ихэнхдээ сургуулийн сурагчид зөвхөн тодорхой тоонууд ямар байх ёстойг мэдэх нь хангалтгүй байдаг. Тэд зөвхөн аль гурвалжин нь мохоо, аль нь зөв болохыг мэдээллээр хязгаарлаж болохгүй. Математикийн хичээл нь дүрсийн үндсэн шинж чанаруудын талаархи мэдлэгийг илүү бүрэн дүүрэн байлгахыг шаарддаг.

Тиймээс сургуулийн хүүхэд бүр биссектриса, медиан, перпендикуляр биссектриса, өндрийн тодорхойлолтыг ойлгох ёстой. Үүнээс гадна тэрээр тэдний үндсэн шинж чанарыг мэддэг байх ёстой.

Тиймээс биссектриса нь өнцгийг хагасаар, эсрэг талыг нь зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэсгүүдэд хуваадаг.

Медиан нь дурын гурвалжинг талбайн хувьд тэнцүү хоёр хуваадаг. Тэдний огтлолцох цэг дээр гарч ирсэн оройгоос харахад тус бүр нь 2: 1 харьцаатай 2 сегментэд хуваагдана. Энэ тохиолдолд том медиан үргэлж хамгийн жижиг тал руугаа татагддаг.

Өндөрт бага анхаарал тавьдаггүй. Энэ нь булангийн эсрэг талд перпендикуляр байна. Мохоо гурвалжны өндөр нь өөрийн гэсэн шинж чанартай байдаг. Хэрэв энэ нь хурц оройноос зурсан бол энэ нь хамгийн энгийн олон өнцөгтийн тал дээр биш, харин түүний үргэлжлэл дээр дуусдаг.

Перпендикуляр биссектриса нь гурвалжны нүүрний төвөөс гарах шугамын хэсэг юм. Түүнээс гадна, энэ нь зөв өнцгөөр байрладаг.

Тойрогтой ажиллах

Геометрийг судалж эхлэхэд хүүхдүүдэд мохоо гурвалжинг хэрхэн зурахыг ойлгох, бусад төрлөөс ялгаж сурах, үндсэн шинж чанарыг нь санахад хангалттай. Гэхдээ ахлах ангийн сурагчдад энэ мэдлэг хангалтгүй болсон. Жишээлбэл, Улсын нэгдсэн шалгалтанд хязгаарлагдмал, бичээстэй тойргийн талаархи асуултууд ихэвчлэн гардаг. Тэдний эхнийх нь гурвалжны бүх гурван оройд хүрч, хоёр дахь нь бүх талуудтай нэг нийтлэг цэгтэй байдаг.

Бичсэн эсвэл хүрээлэгдсэн мохоо гурвалжинг бүтээх нь илүү хэцүү байдаг, учир нь үүнийг хийхийн тулд эхлээд тойргийн төв ба түүний радиус хаана байх ёстойг олж мэдэх хэрэгтэй. Дашрамд хэлэхэд, энэ тохиолдолд зөвхөн захирагчтай харандаа төдийгүй луужин нь зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл болно.

Гурван талтай бичээстэй олон өнцөгтийг барихад ижил хүндрэл гардаг. Математикчид өөрсдийн байршлыг аль болох нарийвчлалтай тодорхойлох боломжийг олгодог янз бүрийн томъёог боловсруулсан.

Бичсэн гурвалжингууд

Өмнө дурьдсанчлан, хэрэв тойрог бүх гурван оройг дайран өнгөрвөл түүнийг тойрог гэж нэрлэдэг. Үүний гол шинж чанар нь өвөрмөц байдал юм. Мохоо гурвалжны тойргийг хэрхэн байрлуулахыг олж мэдэхийн тулд түүний төв нь зургийн хажуу тал руу чиглэсэн гурван биссектор перпендикулярын огтлолцол дээр байгааг санах хэрэгтэй. Гурван оройтой хурц өнцөгт олон өнцөгт энэ цэг дотор байрлаж байвал мохоо өнцөгт олон өнцөгт түүний гадна талд байрлана.

Жишээлбэл, мохоо гурвалжны нэг тал нь түүний радиустай тэнцүү гэдгийг мэдвэл та мэдэгдэж буй нүүрний эсрэг байрлах өнцгийг олох боломжтой. Түүний синус нь мэдэгдэж буй талын уртыг 2R-д хуваасны үр дүнтэй тэнцүү байх болно (үүнд R нь тойргийн радиус юм). Өөрөөр хэлбэл, өнцгийн нүгэл нь ½-тэй тэнцүү байх болно. Энэ нь өнцөг нь 150 ° -тай тэнцүү байна гэсэн үг юм.

Хэрэв та мохоо гурвалжны тойргийн радиусыг олох шаардлагатай бол түүний талуудын урт (c, v, b) ба S талбайн тухай мэдээлэл хэрэгтэй болно. Эцсийн эцэст радиусыг дараах байдлаар тооцоолно: (c x v x b) : 4 x S. Дашрамд хэлэхэд, та ямар төрлийн дүрстэй байх нь хамаагүй: масштабтай мохоо гурвалжин, тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт эсвэл хурц өнцөгтэй. Ямар ч тохиолдолд дээрх томьёоны ачаар гурван талтай өгөгдсөн олон өнцөгтийн талбайг олж мэдэх боломжтой.

Хязгаарласан гурвалжингууд

Та мөн ихэвчлэн бичээстэй дугуйлантай ажиллах хэрэгтэй болдог. Нэг томьёоны дагуу ийм дүрсийн радиусыг периметрийн ½-ээр үржүүлбэл гурвалжны талбайтай тэнцүү байх болно. Үнэн, үүнийг ойлгохын тулд та мохоо гурвалжны талуудыг мэдэх хэрэгтэй. Эцсийн эцэст, периметрийн ½-ийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн уртыг нэмж, 2-т хуваах хэрэгтэй.

Мохоо гурвалжинд дүрслэгдсэн тойргийн төв хаана байх ёстойг ойлгохын тулд гурван биссектрис зурах шаардлагатай. Эдгээр нь булангуудыг хуваасан шугамууд юм. Тэдний уулзвар дээр тойргийн төв байрлана. Энэ тохиолдолд энэ нь тал бүрээс ижил зайд байх болно.

Мохоо гурвалжинд бичээстэй ийм тойргийн радиус нь (p-c) x (p-v) x (p-b): p-тэй тэнцүү байна. Энэ тохиолдолд p нь гурвалжны хагас периметр, c, v, b нь талууд юм.

Сургуульд сурдаг хамгийн энгийн олон өнцөгт бол гурвалжин юм. Энэ нь оюутнуудад илүү ойлгомжтой бөгөөд бэрхшээл багатай тулгардаг. Хэдийгээр онцгой шинж чанартай гурвалжингууд өөр өөр байдаг.

Ямар дүрсийг гурвалжин гэж нэрлэдэг вэ?

Гурван цэг, сегментээс бүрддэг. Эхнийх нь орой гэж нэрлэгддэг, хоёр дахь нь талууд гэж нэрлэгддэг. Түүнээс гадна эдгээр гурван сегментийг хооронд нь өнцөг үүсгэхийн тулд холбох ёстой. Тиймээс "гурвалжин" дүрсийн нэр гарч ирэв.

Булан дээрх нэрсийн ялгаа

Тэдгээр нь хурц, мохоо, шулуун байж болох тул гурвалжны төрлийг эдгээр нэрээр тодорхойлно. Үүний дагуу гурван бүлэг ийм тоо байдаг.

Эхлээд. Хэрэв гурвалжны бүх өнцөг хурц байвал түүнийг хурц гэж нэрлэнэ. Бүх зүйл логиктой.

Хоёрдугаарт. Нэг өнцөг нь мохоо, гурвалжин нь мохоо гэсэн үг. Энэ нь илүү энгийн байж болохгүй.

Гуравдугаарт. 90 градустай тэнцэх өнцөг байдаг бөгөөд үүнийг зөв өнцөг гэж нэрлэдэг. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй болно.

Хажуу талын нэрсийн ялгаа

Хажуугийн шинж чанараас хамааран гурвалжны дараах төрлүүд ялгагдана.

ерөнхий тохиолдол нь скален бөгөөд бүх талууд нь дурын урттай байдаг;

хоёр тал нь ижил тоон утгатай ижил хажуу тал;

тэгш талт, түүний бүх талуудын урт ижил байна.

Хэрэв асуудал нь гурвалжны тодорхой төрлийг заагаагүй бол дурын нэгийг зурах хэрэгтэй. Бүх булангууд нь хурц, талууд нь өөр өөр урттай байдаг.

Бүх гурвалжинд нийтлэг шинж чанарууд

Хэрэв та гурвалжны бүх өнцгийг нийлүүлбэл 180º-тай тэнцэх тоо гарна. Мөн ямар төрлийн байх нь хамаагүй. Энэ дүрэм үргэлж хэрэгждэг.
Гурвалжны аль ч талын тоон утга нь нөгөө хоёрыг нийлүүлснээс бага байна. Түүнээс гадна энэ нь тэдний ялгаанаас илүү юм.
Гаднах өнцөг бүр өөрт нь зэргэлдээгүй хоёр дотоод өнцгийг нэмснээр олж авсан утгатай байна. Түүнээс гадна энэ нь зэргэлдээх дотоод хэсгээс үргэлж том байдаг.
Хамгийн жижиг өнцөг нь гурвалжны жижиг талын эсрэг үргэлж байдаг. Мөн эсрэгээр, хэрэв тал нь том бол өнцөг нь хамгийн том байх болно.

Бодлогод ямар төрлийн гурвалжинг авч үзсэнээс үл хамааран эдгээр шинж чанарууд үргэлж хүчинтэй байдаг. Үлдсэн бүх зүйл нь тодорхой шинж чанаруудаас хамаарна.

Хоёр талт гурвалжны шинж чанарууд

Суурийн зэргэлдээх өнцөг нь тэнцүү байна.
Суурь руу татсан өндөр нь мөн медиан ба биссектрис юм.
Гурвалжны хажуу талуудад баригдсан өндөр, медиан ба биссектриса нь хоорондоо тэнцүү байна.

Тэгш талт гурвалжны шинж чанарууд

Хэрэв ийм тоо байгаа бол дээр дурдсан бүх шинж чанарууд үнэн байх болно. Учир нь тэгш тал нь үргэлж ижил өнцөгт байх болно. Гэхдээ эсрэгээр биш, ижил өнцөгт гурвалжин нь тэгш талт байх албагүй.

Түүний бүх өнцөг нь хоорондоо тэнцүү бөгөөд 60º утгатай байна.
Тэгш талт гурвалжны аль ч медиан нь түүний өндөр ба биссектриса юм. Түүнээс гадна тэд бүгд бие биентэйгээ адил тэгш байдаг. Тэдний утгыг тодорхойлохын тулд тал ба 3-ын квадрат язгуурыг 2-т хуваасан томъёо байдаг.

Тэгш өнцөгт гурвалжны шинж чанарууд

Хоёр хурц өнцөг нийлбэрээр 90º болно.
Гипотенузын урт нь хөлнийхөөс үргэлж их байдаг.
Гипотенуз руу татсан медианы тоон утга нь түүний хагастай тэнцүү байна.
Хөл нь 30º өнцгийн эсрэг байвал ижил утгатай тэнцүү байна.
Оройноос 90º утгатай зурсан өндөр нь хөлөөс тодорхой математик хамааралтай байдаг: 1/n 2 = 1/a 2 + 1/b 2. Энд: a, b - хөл, n - өндөр.

Төрөл бүрийн гурвалжинтай холбоотой асуудлууд

№1. Хоёр талт гурвалжин өгөгдсөн. Түүний периметр нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд 90 см-тэй тэнцүү байна. Нэмэлт нөхцөл болгон: хажуу тал нь суурийнхаас 1.2 дахин бага байна.

Периметрийн утга нь олох шаардлагатай хэмжигдэхүүнээс шууд хамаарна. Гурван талын нийлбэр нь 90 см-ийг өгнө. Энэ нь хоёр тал тэнцүү гэсэн үг юм. Та хоёр үл мэдэгдэх тэгшитгэлийг үүсгэж болно: 2a + b = 90. Энд a нь тал, b нь суурь юм.

Одоо нэмэлт нөхцөл хийх цаг болжээ. Үүний дараа хоёр дахь тэгшитгэлийг олж авна: b = 1.2a. Та энэ илэрхийллийг эхнийх нь орлуулж болно. Эндээс харахад: 2a + 1.2a = 90. Өөрчлөлтийн дараа: 3.2a = 90. Тиймээс a = 28.125 (см). Одоо үндсийг нь олоход хялбар боллоо. Үүнийг хоёр дахь нөхцлөөс хамгийн сайн хийдэг: b = 1.2 * 28.125 = 33.75 (см).

Шалгахын тулд та гурван утгыг нэмж болно: 28.125 * 2 + 33.75 = 90 (см). Энэ нь зөв.

Хариулт: Гурвалжны талууд 28.125 см, 28.125 см, 33.75 см.

№2. Тэнцүү талт гурвалжны тал нь 12 см бөгөөд та түүний өндрийг тооцоолох хэрэгтэй.

Шийдэл. Хариултыг олохын тулд гурвалжны шинж чанарыг тодорхойлсон мөч рүү буцах нь хангалттай юм. Энэ бол тэгш талт гурвалжны өндөр, медиан ба биссектрисын олох томьёо юм.

n = a * √3 / 2, энд n нь өндөр, a нь тал юм.

Орлуулалт ба тооцоолол нь дараах үр дүнг өгнө: n = 6 √3 (см).

Энэ томъёог цээжлэх шаардлагагүй. Өндөр нь гурвалжинг хоёр тэгш өнцөгт болгон хуваадаг гэдгийг санах нь хангалттай юм. Түүнээс гадна энэ нь хөл болж хувирдаг бөгөөд түүний доторх гипотенуз нь анхны талын тал, хоёр дахь хөл нь мэдэгдэж буй талын тал юм. Одоо та Пифагорын теоремыг бичиж, өндрийн томъёог гаргах хэрэгтэй.

Хариулт: өндөр нь 6 √3 см.

№3. Өгөгдсөн MKR нь гурвалжин бөгөөд K өнцөг нь MR ба KR нь мэдэгдэж байгаа тул тэдгээр нь 30 ба 15 см-тэй тэнцүү байна, бид P өнцгийн утгыг олох хэрэгтэй.

Шийдэл. Хэрэв та зураг зурвал MR нь гипотенуз болох нь тодорхой болно. Түүгээр ч барахгүй энэ нь КР-ын талаас хоёр дахин том юм. Дахин та үл хөдлөх хөрөнгө рүү хандах хэрэгтэй. Тэдний нэг нь өнцөгтэй холбоотой байдаг. Үүнээс KMR өнцөг нь 30º байх нь тодорхой байна. Энэ нь хүссэн өнцөг P нь 60º-тай тэнцүү байна гэсэн үг юм. Энэ нь хоёр хурц өнцгийн нийлбэр нь 90º-тэй тэнцүү байх ёстой гэсэн өөр шинж чанараас үүдэлтэй.

Хариулт: P өнцөг нь 60º.

№4. Бид ижил өнцөгт гурвалжны бүх өнцгийг олох хэрэгтэй. Суурийн өнцөгөөс гаднах өнцөг нь 110º гэдгийг мэддэг.

Шийдэл. Зөвхөн гадаад өнцгийг өгөгдсөн тул үүнийг ашиглах хэрэгтэй. Энэ нь дотоод хэсэгтэй эвхээгүй өнцөг үүсгэдэг. Энэ нь нийтдээ 180º өгнө гэсэн үг юм. Өөрөөр хэлбэл гурвалжны суурь дахь өнцөг нь 70º-тай тэнцүү байх болно. Энэ нь ижил өнцөгт тул хоёр дахь өнцөг нь ижил утгатай байна. Гурав дахь өнцгийг тооцоолоход л үлддэг. Бүх гурвалжны нийтлэг шинж чанарын дагуу өнцгийн нийлбэр нь 180º байна. Энэ нь гурав дахь нь 180º - 70º - 70º = 40º гэж тодорхойлогдоно гэсэн үг юм.

Хариулт: өнцөг нь 70º, 70º, 40º.

№5. Адил өнцөгт гурвалжинд суурийн эсрэг талын өнцөг нь 90º байдаг нь мэдэгдэж байна. Суурь дээр тэмдэглэгдсэн цэг байдаг. Үүнийг тэгш өнцөгт холбосон сегмент нь 1-ээс 4-ийн харьцаагаар хуваагдана. Та жижиг гурвалжны бүх өнцгийг олох хэрэгтэй.

Шийдэл. Нэг өнцгийг нэн даруй тодорхойлж болно. Гурвалжин нь тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт тул түүний суурь дээр байрлах нь тус бүр нь 45º, өөрөөр хэлбэл 90º/2 байх болно.

Хоёр дахь нь нөхцөл байдалд мэдэгдэж буй хамаарлыг олоход тусална. Энэ нь 1-ээс 4-тэй тэнцүү тул хуваагдах хэсгүүд нь ердөө 5 байна. Энэ нь гурвалжны жижиг өнцгийг олохын тулд 90º/5 = 18º хэрэгтэй гэсэн үг юм. Гурав дахь нь олоход л үлдлээ. Үүнийг хийхийн тулд 180º-аас (гурвалжны бүх өнцгийн нийлбэр) 45º ба 18º-ийг хасах хэрэгтэй. Тооцоолол нь энгийн бөгөөд та 117º болно.

Өнөөдөр бид геометрийн орон руу явж, янз бүрийн төрлийн гурвалжинтай танилцах болно.

Геометрийн дүрсүүдийг анхаарч үзээд тэдгээрийн дундаас "нэмэлт" хэлбэрийг олоорой (Зураг 1).

Цагаан будаа. 1. Жишээ нь зураглал

1, 2, 3, 5 тоонууд нь дөрвөлжин хэлбэртэй болохыг бид харж байна. Тэд тус бүр өөрийн гэсэн нэртэй байдаг (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2. Дөрвөн өнцөгт

Энэ нь "нэмэлт" дүрс нь гурвалжин гэсэн үг юм (Зураг 3).

Цагаан будаа. 3. Жишээ нь зураглал

Гурвалжин гэдэг нь нэг шулуун дээр оршдоггүй гурван цэг ба эдгээр цэгүүдийг хосоор холбосон гурван сегментээс бүрдсэн дүрс юм.

Цэгүүдийг дууддаг гурвалжны оройнууд, сегментүүд - түүний намууд. Гурвалжны талууд үүсдэг Гурвалжны орой дээр гурван өнцөг байдаг.

Гурвалжны үндсэн шинж чанарууд нь гурван тал, гурван булан.Өнцгийн хэмжээнээс хамааран гурвалжингууд байдаг хурц, тэгш өнцөгт, мохоо.

Гурвалжин гурвалжны гурвалжны өнцөг нь бүгд хурц буюу 90°-аас бага байвал түүнийг хурц өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 4).

Цагаан будаа. 4. Хурц гурвалжин

Гурвалжны аль нэг өнцөг нь 90° байвал тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг (Зураг 5).

Цагаан будаа. 5. Зөв гурвалжин

Гурвалжингийн аль нэг өнцөг нь мохоо, өөрөөр хэлбэл 90°-аас дээш байвал гурвалжинг мохоо гэнэ (Зураг 6).

Цагаан будаа. 6. Мохоо гурвалжин

Тэнцүү талуудын тоонд үндэслэн гурвалжин нь тэгш талт, тэгш өнцөгт, масштабтай байдаг.

Хоёр тал нь тэнцүү байх гурвалжныг ижил өнцөгт гурвалжин гэнэ (Зураг 7).

Цагаан будаа. 7. Хоёр талт гурвалжин

Эдгээр талуудыг нэрлэдэг хажуу, гуравдагч этгээд - суурь. Хоёр талт гурвалжинд суурийн өнцөг нь тэнцүү байна.

Хоёр талт гурвалжин байдаг хурц ба мохоо(Зураг 8) .

Цагаан будаа. 8. Хурц ба мохоо тэгш өнцөгт гурвалжин

Гурван тал нь тэнцүү байх тэгш талт гурвалжин юм (Зураг 9).

Цагаан будаа. 9. Тэгш талт гурвалжин

Тэгш талт гурвалжинд бүх өнцөг тэнцүү байна. Тэгш талт гурвалжинҮргэлж хурц өнцөгт.

Гурван тал нь өөр өөр урттай гурвалжин гурвалжин юм (Зураг 10).

Цагаан будаа. 10. Скален гурвалжин

Даалгавраа гүйцээнэ үү. Эдгээр гурвалжингуудыг гурван бүлэгт хуваа (Зураг 11).

Цагаан будаа. 11. Даалгаврын зураг

Эхлээд өнцгүүдийн хэмжээгээр хуваарилъя.

Цочмог гурвалжин: No1, No3.

Тэгш өнцөгт гурвалжин: No2, No6.

Мохоо гурвалжин: No4, No5.

Бид ижил гурвалжингуудыг тэнцүү талуудын тоогоор бүлэг болгон хуваана.

Скален гурвалжин: No4, No6.

Хоёр талт гурвалжин: No2, No3, No5.

Тэгш талт гурвалжин: No1.

Зургуудыг хар.

Гурвалжин бүрийг ямар утаснаас хийсэн талаар бодоорой (Зураг 12).

Цагаан будаа. 12. Даалгаврын зураг

Та ингэж бодож болно.

Эхний утас нь гурван тэнцүү хэсэгт хуваагдсан тул та түүнээс тэгш талт гурвалжин хийж болно. Тэр зураг дээр гуравдугаарт харагдаж байна.

Хоёр дахь утас нь гурван өөр хэсэгт хуваагддаг тул та үүнийг ашиглан масштабтай гурвалжин хийж болно. Энэ нь зураг дээр хамгийн түрүүнд харагдаж байна.

Гурав дахь утас нь гурван хэсэгт хуваагддаг бөгөөд хоёр хэсэг нь ижил урттай байдаг бөгөөд үүнээс тэгш өнцөгт гурвалжинг хийж болно гэсэн үг юм. Зураг дээр түүнийг хоёрдугаарт харуулав.

Өнөөдөр бид ангид гурвалжны янз бүрийн төрлүүдийн талаар олж мэдсэн.

Лавлагаа

М.И. Моро, М.А. Бантова ба бусад: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 1-р хэсэг. - М.: “Гэгээрэл”, 2012 он.
М.И. Моро, М.А. Бантова ба бусад: Сурах бичиг. 3-р анги: 2 хэсэг, 2-р хэсэг. - М.: "Гэгээрэл", 2012.
М.И. Моро. Математикийн хичээл: Багш нарт зориулсан арга зүйн зөвлөмж. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
Зохицуулалтын баримт бичиг. Сургалтын үр дүнгийн хяналт-шинжилгээ, үнэлгээ. - М.: "Гэгээрэл", 2011 он.
"Оросын сургууль": Бага сургуульд зориулсан хөтөлбөрүүд. - М.: "Гэгээрэл", 2011 он.
С.И. Волкова. Математик: Туршилтын ажил. 3-р анги. - М.: Боловсрол, 2012.
В.Н. Рудницкая. Туршилтууд. - М .: "Шалгалт", 2012 он.