Технологи болон бидний эргэн тойрон дахь ертөнцөд бид ихэвчлэн тулгардаг үе үе(эсвэл бараг үе үе) тогтмол давтамжтайгаар давтагдах процессууд. Ийм үйл явц гэж нэрлэдэг хэлбэлзэлтэй.
Хэлбэлзэл нь байгаль, технологийн хамгийн түгээмэл процессуудын нэг юм. Нислэгт шавж, шувуудын далавч, салхины нөлөөгөөр өндөр барилга байгууламж, өндөр хүчдэлийн утас, жолоодох үед булаг дээр байгаа шарсан цаг, машины дүүжин, голын усны түвшин, жилийн турш агаарын температур өвчний үед хүний бие, дуу авиа нь агаарын нягт, даралтын хэлбэлзэл, радио долгион - цахилгаан ба соронзон орны хүч чадлын үе үе өөрчлөгдөх, үзэгдэх гэрэл нь мөн цахилгаан соронзон чичиргээ, зөвхөн бага зэрэг өөр долгионы урт, давтамжтай, газар хөдлөлт нь хөрсний чичиргээ, импульс юм. хүний зүрхний булчингийн үе үе агшилт гэх мэт.
Хэлбэлзэл нь механик, цахилгаан соронзон, химийн, термодинамик болон бусад янз бүрийн байж болно. Ийм олон янз байдлыг үл харгалзан тэд бүгд нийтлэг зүйлтэй байдаг.
Янз бүрийн физик шинж чанартай хэлбэлзлийн үзэгдлүүд нь ерөнхий хуулиудад захирагддаг. Жишээлбэл, цахилгаан хэлхээний гүйдлийн хэлбэлзэл болон математик дүүжингийн хэлбэлзлийг ижил тэгшитгэлээр тодорхойлж болно. Осцилляцийн хэв маягийн нийтлэг байдал нь янз бүрийн шинж чанартай хэлбэлзлийн процессыг нэг талаас авч үзэх боломжийг олгодог. Тербеллийн хөдөлгөөний шинж тэмдэг нь түүний үе үе.
Механик чичиргээ -Энэтодорхой давтамжтайгаар яг эсвэл ойролцоогоор давтагдах хөдөлгөөнүүд.
Энгийн хэлбэлзлийн системийн жишээ бол пүрш (пүршний дүүжин) эсвэл утсан дээрх бөмбөг (математик дүүжин) дээрх ачаалал юм.
Механик чичиргээний үед кинетик болон боломжит энерги үе үе өөрчлөгддөг.
At хамгийн их хазайлтбиеийг тэнцвэрийн байрлалаас нь, түүний хурд, тиймээс кинетик энерги тэг болно. Энэ байрлалд боломжит энергихэлбэлздэг бие хамгийн их утгад хүрнэ. Пүршний ачааллын хувьд потенциал энерги нь пүршний уян хатан хэв гажилтын энерги юм. Математикийн дүүжингийн хувьд энэ нь дэлхийн таталцлын талбайн энерги юм.
Хөдөлгөөний явцад бие нь дамжин өнгөрөх үед тэнцвэрийн байрлал, түүний хурд хамгийн их байна. Бие нь инерцийн хуулийн дагуу тэнцвэрийн байрлалыг давдаг. Яг одоо байгаа хамгийн их кинетик ба хамгийн бага потенциал энерги. Потенциал энергийн бууралтаас болж кинетик энерги нэмэгддэг.
Цаашдын хөдөлгөөнөөр кинетик энерги буурах гэх мэтээс шалтгаалан боломжит энерги нэмэгдэж эхэлдэг.
Тиймээс гармоник хэлбэлзлийн үед кинетик энерги нь боломжит энерги болон эсрэгээр үе үе хувирдаг.
Хэрэв хэлбэлзлийн системд үрэлт байхгүй бол механик чичиргээний үед нийт механик энерги өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна.
Хаврын ачааллын хувьд:
Хамгийн их хазайлтын байрлалд дүүжингийн нийт энерги нь хэв гажилттай пүршний боломжит энергитэй тэнцүү байна.
Тэнцвэрийн байрлалаар дамжин өнгөрөх үед нийт энерги нь ачааллын кинетик энергитэй тэнцүү байна.
Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн хувьд:
Хамгийн их хазайлтын байрлалд дүүжингийн нийт энерги нь h өндөрт өргөгдсөн биеийн боломжит энергитэй тэнцүү байна.
Тэнцвэрийн байрлалыг давах үед нийт энерги нь биеийн кинетик энергитэй тэнцүү байна.
Энд h m- дэлхийн таталцлын талбар дахь дүүжингийн хамгийн их өндөр; х мба υ м = ω 0 х м- дүүжингийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайх хамгийн их утга ба түүний хурд.
Гармоник хэлбэлзэл ба тэдгээрийн шинж чанар. Гармоник чичиргээний тэгшитгэл.
Осцилляцийн процессын хамгийн энгийн хэлбэр нь энгийн байдаг гармоник чичиргээ, тэгшитгэлээр тодорхойлогддог
x = х м cos(ω т + φ 0).
Энд x- биеийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэх;
х м- хэлбэлзлийн далайц, өөрөөр хэлбэл тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их шилжилт хөдөлгөөн;
ω – мөчлөг эсвэл дугуй давтамжэргэлзээ,
т- цаг.
Тербеллийн хөдөлгөөний шинж чанар.
Офсет x -хэлбэлзэх цэгийн тэнцвэрийн байрлалаас хазайх. Хэмжилтийн нэгж нь 1 метр юм.
Хэлбэлзлийн далайц A -хэлбэлзэх цэгийн тэнцвэрийн байрлалаас хамгийн их хазайлт. Хэмжилтийн нэгж нь 1 метр юм.
Хэлбэлзлийн үеТ– нэг бүрэн хэлбэлзэл үүсэх хамгийн бага хугацааны интервалыг гэнэ. Хэмжилтийн нэгж нь 1 секунд.
T=t/N
Энд t - хэлбэлзлийн хугацаа, N - энэ хугацаанд гүйцэтгэсэн хэлбэлзлийн тоо.
Гармоник хэлбэлзлийн графикаас хэлбэлзлийн далайц ба үеийг тодорхойлж болно.
Хэлбэлзлийн давтамж ν -нэгж хугацааны хэлбэлзлийн тоотой тэнцүү физик хэмжигдэхүүн.
ν=Н/т
Давтамж нь хэлбэлзлийн хугацааны эсрэг байна:
Давтамжхэлбэлзэл ν нь давтамжийн нэгж нь 1 секундэд хэдэн хэлбэлзэлтэй болохыг харуулж байна герц(Гц).
Циклийн давтамж ω– 2π секундын хэлбэлзлийн тоо.
хэлбэлзлийн давтамж ν нь хамааралтай мөчлөгийн давтамж ωба хэлбэлзлийн үе Тхарьцаа:
Үе шатгармоник процесс - гармоник хэлбэлзлийн тэгшитгэл дэх синус эсвэл косинусын тэмдгийн доорх хэмжигдэхүүн φ = ω т + φ 0 . At т= 0 φ = φ 0, тиймээс φ 0 дуудсан эхний үе шат.
Гармоник графиксинус эсвэл косинусын долгионыг илэрхийлдэг.
Цэнхэр муруй φ 0 = 0 бүх гурван тохиолдолд:
зөвхөнилүү их далайц(x" м > x м);
улаан муруй нь цэнхэрээс ялгаатай зөвхөнутга учир үе(T" = T / 2);
улаан муруй нь цэнхэрээс ялгаатай зөвхөнутга учир эхний үе шат(баяртай).
Бие шулуун шугамын дагуу хэлбэлзэх үед (тэнхлэг ҮХЭР) хурдны вектор үргэлж энэ шулуун шугамын дагуу чиглэнэ. Биеийн хөдөлгөөний хурдыг илэрхийллээр тодорхойлно
Математикийн хувьд Δ дахь Δх/Δt харьцааны хязгаарыг олох журам. т→ 0-ийг функцийн деривативыг тооцоолох гэж нэрлэдэг x(т) цаг хугацаагаар тгэж тэмдэглэсэн байна x"(т).Хурд нь x( функцийн деривативтай тэнцүү байна. т) цаг хугацаагаар т.
Хөдөлгөөний гармоник хуулийн хувьд x = х м cos(ω т+ φ 0) деривативыг тооцоолох нь дараахь үр дүнд хүргэдэг.
υ X =x"(т)= ω х мнүгэл (ω т + φ 0)
Хурдасгалыг ижил төстэй аргаар тодорхойлно а хгармоник чичиргээний үед бие . Хурдатгал аυ( функцийн деривативтай тэнцүү байна. т) цаг хугацаагаар т, эсвэл функцийн хоёр дахь дериватив x(т). Тооцоолол нь:
ба x =υ x "(t) =x""(т)= -ω 2 х м cos(ω т+ φ 0)=-ω 2 x
Энэ илэрхийлэл дэх хасах тэмдэг нь хурдатгал гэсэн үг юм а(т) нүүлгэн шилжүүлэлтийн эсрэг тэмдэгтэй байна x(т), тиймээс Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу биеийг гармоник хэлбэлзэл хийхэд хүргэдэг хүч нь тэнцвэрийн байрлал руу үргэлж чиглэгддэг. x = 0).
Зураг дээр гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэж буй биеийн координат, хурд, хурдатгалын графикийг харуулав.
Гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх биеийн координат x(t), хурд υ(t) ба хурдатгалын a(t) графикууд.
Хаврын дүүжин.
Хаврын дүүжинхоёр дахь төгсгөл нь тогтмол бэхлэгдсэн k хатуулагтай пүрш дээр бэхлэгдсэн тодорхой хэмжээний m масстай ачаа юм..
Байгалийн давтамжПүрш дээрх ачааллын ω 0 чөлөөт хэлбэлзлийг дараах томъёогоор олно.
Хугацаа Т пүрш дээрх ачааллын гармоник чичиргээ тэнцүү байна
Энэ нь пүршний дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь ачааны масс ба пүршний хөшүүн чанараас хамаарна гэсэн үг юм.
Тербеллийн системийн физик шинж чанарууд зөвхөн ω 0 хэлбэлзлийн байгалийн давтамж ба үеийг тодорхойлно Т . далайц зэрэг хэлбэлзлийн процессын параметрүүд х мба эхний үе шат φ 0 нь цаг хугацааны эхний мөчид системийг тэнцвэрт байдлаас гаргасан арга замаар тодорхойлогддог.
Математикийн дүүжин.
Математикийн дүүжинбиеийн масстай харьцуулахад жин нь үл тоомсорлодог нимгэн сунадаггүй утсан дээр дүүжлэгдсэн жижиг биеийг гэж нэрлэдэг.
Тэнцвэрийн байрлалд савлуур өлгөөтэй байх үед таталцлын хүчийг N утасны суналтын хүчээр тэнцвэржүүлнэ. Савлуур тэнцвэрийн байрлалаас тодорхой φ өнцгөөр хазайхад хүндийн хүчний шүргэгч бүрэлдэхүүн гарч ирнэ. Ф τ = – мггэм φ. Энэ томьёо дахь хасах тэмдэг нь шүргэгч бүрэлдэхүүн хэсэг нь савлуурын хазайлтаас эсрэг чиглэлд чиглэнэ гэсэн үг юм.
Математик дүүжин.φ – тэнцвэрийн байрлалаас дүүжингийн өнцгийн хазайлт,
x= lφ – нумын дагуу дүүжингийн шилжилт
Математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзлийн байгалийн давтамжийг дараах томъёогоор илэрхийлнэ.
Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа:
Энэ нь математикийн дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь утасны урт ба дүүжин суурилуулсан хэсгийн чөлөөт уналтын хурдатгалаас хамаарна гэсэн үг юм.
Чөлөөт ба албадан чичиргээ.
Механик чичиргээ нь бусад физик шинж чанартай хэлбэлзлийн процессууд байж болно үнэгүйТэгээд албадан.
Чөлөөт чичиргээ -Эдгээр нь системийг тогтвортой тэнцвэрийн байрлалаас гаргасны дараа дотоод хүчний нөлөөн дор системд үүсдэг хэлбэлзэл юм.
Пүрш дээрх жингийн хэлбэлзэл эсвэл дүүжингийн хэлбэлзэл нь чөлөөт хэлбэлзэл юм.
Гармоник хуулийн дагуу чөлөөт чичиргээ үүсэхийн тулд биеийг тэнцвэрийн байрлал руу буцаах хандлагатай хүч нь биеийг тэнцвэрийн байрлалаас нүүлгэн шилжүүлэхтэй пропорциональ бөгөөд шилжилтийн эсрэг чиглэлд чиглэсэн байх шаардлагатай.
Бодит нөхцөлд аливаа хэлбэлзлийн систем нь үрэлтийн хүчний (эсэргүүцлийн) нөлөөн дор байдаг. Энэ тохиолдолд механик энергийн нэг хэсэг нь атом ба молекулуудын дулааны хөдөлгөөний дотоод энерги болж хувирч, чичиргээ нь бүдгэрэх.
Бүдэг далайц нь цаг хугацааны явцад буурдаг хэлбэлзэл гэж нэрлэдэг.
Хэлбэлзэл арилахаас урьдчилан сэргийлэхийн тулд системийг нэмэлт эрчим хүчээр хангах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл. хэлбэлзлийн системд үечилсэн хүчээр нөлөөлөх (жишээлбэл, савлуурыг сэгсрэх).
Үе үе өөрчлөгддөг гадны хүчний нөлөөн дор үүсэх хэлбэлзлийг нэрлэдэгалбадан.
Гадны хүч эерэг ажил хийж, хэлбэлзлийн системд энергийн урсгалыг хангадаг. Энэ нь үрэлтийн хүчний үйлчлэлээс үл хамааран чичиргээг арилгахыг зөвшөөрдөггүй.
Тогтмол гадны хүчин цаг хугацааны явцад янз бүрийн хуулийн дагуу өөрчлөгдөж болно. ω давтамжтай гармоник хуулийн дагуу өөрчлөгддөг гадны хүч тодорхой ω 0 давтамжтайгаар өөрийн хэлбэлзлийг гүйцэтгэх чадвартай хэлбэлзлийн системд үйлчилдэг тохиолдол онцгой анхаарал татаж байна.
Хэрэв системийн параметрээр тодорхойлогддог ω 0 давтамж дээр чөлөөт хэлбэлзэл тохиолдвол үед тогтмол албадан хэлбэлзэл үргэлж тохиолддог давтамж ω гадаад хүч .
Байгалийн хэлбэлзлийн давтамж нь гадны хөдөлгөгч хүчний давтамжтай давхцах үед албадан хэлбэлзлийн далайц огцом нэмэгдэх үзэгдлийг гэнэ.резонанс.
Далайн хамаарал х мхөдөлгөгч хүчний ω давтамжаас албадан хэлбэлзэл гэж нэрлэдэг резонансын шинж чанарэсвэл резонансын муруй.
Төрөл бүрийн бууралтын түвшний резонансын муруй:
1 - үрэлтгүй хэлбэлзлийн систем; резонансын үед албадан хэлбэлзлийн далайц х м хязгааргүй нэмэгддэг;
2, 3, 4 - өөр өөр үрэлт бүхий тербеллийн системүүдийн бодит резонансын муруй.
Үрэлт байхгүй тохиолдолд резонансын үед албадан хэлбэлзлийн далайц хязгааргүй нэмэгдэх ёстой. Бодит нөхцөлд тогтвортой байдлын албадан хэлбэлзлийн далайцыг нөхцөлөөр тодорхойлно: хэлбэлзлийн үеийн гадаад хүчний ажил нь үрэлтийн улмаас ижил хугацаанд механик энергийн алдагдалтай тэнцүү байх ёстой. Үрэлт бага байх тусам резонансын үед албадан хэлбэлзлийн далайц их болно.
Резонансын үзэгдэл нь гүүр, барилга байгууламж болон бусад байгууламжийг сүйрүүлэхэд хүргэдэг, хэрэв тэдгээрийн хэлбэлзлийн байгалийн давтамж нь үе үе ажилладаг хүчний давтамжтай давхцаж байвал, жишээлбэл, тэнцвэргүй хөдөлгүүрийн эргэлтээс болж үүсдэг.
Физик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь олон нөхцөл байдлаас шалтгаална: биеийн хэмжээ, хэлбэр, хүндийн төв ба түдгэлзүүлэх цэгийн хоорондох зай, энэ цэгтэй харьцуулахад биеийн жингийн тархалт; Тиймээс түдгэлзүүлсэн биеийн хугацааг тооцоолох нь нэлээд хэцүү ажил юм. Математикийн дүүжингийн хувьд нөхцөл байдал илүү хялбар байдаг. Ийм дүүжингийн ажиглалтаас дараах энгийн хуулиудыг тогтоож болно.
1. Дүүжингийн уртыг ижил байлгахын зэрэгцээ (ачааны түдгэлзүүлсэн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зай) өөр өөр ачаа өлгөх юм бол савлуурын масс нь хэдийгээр хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно. ачаалал их ялгаатай. Математик дүүжингийн хугацаа нь ачааны массаас хамаардаггүй.
2. Хэрэв савлуурыг эхлүүлэхдээ бид өөр өөр (гэхдээ тийм ч том биш) өнцгөөр хазайвал энэ нь өөр өөр далайцтай боловч ижил хугацаанд хэлбэлзэх болно. Далайц нь тийм ч том биш л бол хэлбэлзэл нь гармоник (§ 5) хэлбэрээр нэлээд ойрхон бөгөөд математик дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй. Энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг (Грек үгнээс "isos" - тэнцүү, "chronos" - цаг хугацаа).
Энэ баримтыг анх 1655 онд Галилео дараах нөхцөл байдлын дор тогтоожээ. Галилео Пизагийн сүмд асаахад түлхэгдсэн урт гинж дээр лааны суурь савлуур байгааг ажиглав. Үйлчилгээний явцад савлуур аажмаар бүдгэрч (§ 11), өөрөөр хэлбэл чичиргээний далайц багассан боловч хугацаа нь ижил хэвээр байв. Галилео өөрийн импульсийг цаг хугацааны үзүүлэлт болгон ашигласан.
Одоо математик дүүжингийн хэлбэлзлийн үеийн томъёог гаргая.
Цагаан будаа. 16. Хавтгай дахь дүүжингийн хэлбэлзэл (a) ба конусын дагуух хөдөлгөөн (b)
Савлуурыг савлах үед ачаалал нь хөдөлгөөний үед өөрчлөгддөг сэргээн босгох хүчний нөлөөн дор нумын дагуу хурдасгаж хөдөлдөг (Зураг 16, а). Хувьсах хүчний үйлчлэл дор биеийн хөдөлгөөнийг тооцоолох нь нэлээд төвөгтэй байдаг. Тиймээс, хялбар болгох үүднээс бид дараах байдлаар ажиллах болно.
Савлуурыг нэг хавтгайд хэлбэлздэггүй, харин ачаа нь тойрог хэлбэрээр хөдөлдөг конусыг дүрсэлцгээе (Зураг 16, b). Энэ хөдөлгөөнийг хоёр бие даасан чичиргээ нэмсний үр дүнд олж авч болно: нэг нь зургийн хавтгайд, нөгөө нь перпендикуляр хавтгайд байна. Мэдээжийн хэрэг, хэлбэлзлийн аль ч хавтгай нь бусадтай адилгүй тул эдгээр хавтгай хэлбэлзлийн үеүүд ижил байна. Үүний үр дүнд нарийн төвөгтэй хөдөлгөөний хугацаа - конусын дагуу дүүжин эргэх хугацаа нь усны онгоцны савлууртай ижил байх болно. Энэ дүгнэлтийг хоёр ижил дүүжин авч, нэгийг нь хавтгайд, нөгөөг нь конусын дагуу эргүүлэх замаар шууд туршлагаар хялбархан дүрсэлж болно.
Гэхдээ "конус" дүүжингийн эргэлтийн хугацаа нь ачааллын дагуу тодорхойлсон тойргийн уртыг хурдаар хуваасантай тэнцүү байна.
Хэрэв босоо тэнхлэгээс хазайх өнцөг бага (жижиг далайц) байвал сэргээх хүч нь тойргийн радиусын дагуу чиглэнэ, өөрөөр хэлбэл төв рүү чиглэсэн хүчтэй тэнцүү байна гэж үзэж болно.
Нөгөө талаас гурвалжны ижил төстэй байдлаас үзэхэд . Түүнээс хойш эндээс
Хоёр илэрхийлэлийг бие биентэйгээ адилтгаснаар бид эргэлтийн хурдыг олж авна
Эцэст нь үүнийг хугацааны илэрхийлэлд орлуулснаар бид олдог
Тиймээс, математикийн дүүжингийн хугацаа нь зөвхөн таталцлын хурдатгал ба дүүжингийн уртаас, өөрөөр хэлбэл дүүжлүүрийн цэгээс ачааны хүндийн төв хүртэлх зайгаас хамаарна. Үүссэн томъёоноос харахад дүүжингийн хугацаа нь түүний масс ба далайцаас хамаардаггүй (энэ нь хангалттай бага байх тохиолдолд). Өөрөөр хэлбэл, бид ажиглалтаар өмнө нь тогтоогдсон үндсэн хуулиудыг тооцоолж гаргаж авсан.
Гэхдээ бидний онолын дүгнэлт бидэнд илүү их зүйлийг өгдөг: энэ нь савлуурын хугацаа, түүний урт ба таталцлын хурдатгалын хоорондох тоон хамаарлыг тогтоох боломжийг олгодог. Математик дүүжингийн хугацаа нь дүүжингийн уртыг таталцлын хурдатгалд харьцуулсан квадрат язгууртай пропорциональ байна. Пропорциональ коэффициент нь .
Энэ хурдатгалыг тодорхойлох маш үнэн зөв арга нь таталцлын хурдатгалаас дүүжин үеийн хамаарал дээр суурилдаг. Савлуурын уртыг хэмжиж, олон тооны хэлбэлзлээс үеийг тодорхойлсны дараа бид үүссэн томъёог ашиглан тооцоолж болно. Энэ аргыг практикт өргөн ашигладаг.
Таталцлын хурдатгал нь тухайн газрын газарзүйн өргөрөгөөс (туйл ба экваторт) хамаардаг нь мэдэгдэж байна (I боть, §53-ыг үзнэ үү). Тодорхой стандарт савлуурын савлуурын үеийн ажиглалт нь таталцлын хурдатгалын өргөргийн дагуу тархалтыг судлах боломжтой болгодог. Энэ арга нь маш нарийвчлалтай тул дэлхийн гадаргуу дээрх үнэ цэнийн илүү нарийн ялгааг илрүүлэхэд ашиглаж болно. Нэг параллель байсан ч дэлхийн гадаргын өөр өөр цэгүүдийн утгууд өөр байдаг нь харагдаж байна. Таталцлын хурдатгалын тархалтын эдгээр гажиг нь дэлхийн царцдасын жигд бус нягттай холбоотой юм. Эдгээр нь нягтын тархалтыг судлах, ялангуяа дэлхийн царцдас дахь аливаа ашигт малтмалын илрэлийг илрүүлэхэд ашиглагддаг. ЗСБНХУ-д Курскийн соронзон аномали гэж нэрлэгддэг хэсэгт (II боть, § 130-ыг үзнэ үү) нягт масс үүсэхийг шүүх боломжтой болсон гравиметрийн өргөн хүрээний өөрчлөлтийг 1999-2013-01-01 11:00 PM-ийн удирдлаган дор хийсэн. Зөвлөлтийн физикч Петр Петрович Лазарев. Дэлхийн соронзон орны аномалийн талаархи мэдээлэлтэй хослуулан эдгээр гравиметрийн өгөгдөл нь Курскийн соронзон ба таталцлын аномалийг тодорхойлдог төмрийн массын илрэлийн тархалтыг тогтоох боломжтой болсон.
Математикийн дүүжин гэж юу вэ?
Өмнөх хичээлүүдээс та дүүжин гэдэг нь дүрмээр бол таталцлын харилцан үйлчлэлийн нөлөөн дор хэлбэлздэг биеийг хэлнэ гэдгийг та аль хэдийн мэдэж байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, физикийн хувьд энэ ойлголтыг ерөнхийдөө таталцлын нөлөөн дор тогтсон цэг эсвэл тэнхлэгийн эргэн тойронд үүсдэг хэлбэлзлийн хөдөлгөөнийг гүйцэтгэдэг хатуу биет гэж бид хэлж чадна.
Математик дүүжингийн ажиллах зарчим
Одоо математикийн дүүжингийн ажиллах зарчмыг харж, энэ нь юу болохыг олж мэдье.
Математикийн дүүжин ажиллах зарчим нь материаллаг цэг тэнцвэрийн байрлалаас жижиг а өнцгөөр, өөрөөр хэлбэл sina=a нөхцөл хангагдах өнцгөөр хазайвал F = -mgsina = - хүч үүсэх явдал юм. mga нь биед үйлчилнэ.
F хүч нь сөрөг экспоненттай болохыг бид харж байгаа бөгөөд хасах тэмдэг нь энэ хүч нь шилжилтийн эсрэг чиглэлд чиглэгдэж байгааг харуулж байна. F хүч нь S шилжилттэй пропорциональ байдаг тул ийм хүчний нөлөөн дор материаллаг цэг гармоник хэлбэлзлийг гүйцэтгэх болно.
Савлуурын шинж чанарууд
Хэрэв бид өөр дүүжин авбал түүний хэлбэлзлийн хугацаа олон хүчин зүйлээс хамаарна. Эдгээр хүчин зүйлүүд орно:
Нэгдүгээрт, биеийн хэмжээ, хэлбэр;
Хоёрдугаарт, түдгэлзүүлэх цэг ба хүндийн төвийн хоорондох зай;
Гуравдугаарт, мөн тухайн цэгтэй харьцуулахад биеийн жингийн хуваарилалт.
Савлууруудын эдгээр янз бүрийн нөхцөл байдлаас шалтгаалан дүүжлэгдсэн биеийн хугацааг тодорхойлох нь нэлээд хэцүү байдаг.
Хэрэв бид математикийн дүүжин авбал энэ нь мэдэгдэж буй физикийн хуулиудыг ашиглан нотлогдож болох бүх шинж чанартай бөгөөд түүний хугацааг томъёогоор хялбархан тооцоолж болно.
Ийм механик систем дээр олон янзын ажиглалт хийсний дараа физикчид дараахь хэв маягийг тодорхойлж чадсан.
Нэгдүгээрт, дүүжингийн хугацаа нь ачааны массаас хамаардаггүй. Өөрөөр хэлбэл, савлуурын ижил урттай, бид өөр өөр масстай туухайг түдгэлзүүлбэл тэдгээрийн масс нь нэлээд гайхалтай ялгаатай байсан ч тэдгээрийн хэлбэлзлийн хугацаа ижил хэвээр байх болно.
Хоёрдугаарт, хэрэв бид системийг эхлүүлэхдээ савлуурыг жижиг боловч өөр өнцгөөр хазайлгах юм бол түүний хэлбэлзэл нь ижил хугацаатай байх боловч далайц нь өөр байх болно. Тэнцвэрийн төвөөс бага зэрэг хазайсан тохиолдолд тэдгээрийн хэлбэрийн чичиргээ нь бараг гармоник шинж чанартай байх болно. Өөрөөр хэлбэл, ийм дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй гэж бид хэлж чадна. Грек хэлнээс орчуулбал энэхүү механик системийн энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг бөгөөд "isos" нь тэнцүү, "chronos" нь цаг хугацаа гэсэн үг юм.
Савлуурын хэлбэлзлийн практик хэрэглээ
Математикийн савлуурыг физикч, одон орон судлаач, геодезист болон бусад эрдэмтдийн янз бүрийн судалгаанд ашигладаг. Ийм савлуурын тусламжтайгаар тэд ашигт малтмалын эрэл хайгуул хийдэг. Математик дүүжингийн хурдатгалыг ажиглаж, түүний хэлбэлзлийн тоог тоолох замаар манай дэлхийн гүн дэх нүүрс, хүдрийн ордуудыг олж болно.
Францын нэрт одон орон судлаач, байгаль судлаач К.Фламмарион математикийн дүүжингийн тусламжтайгаар Тунгусын солир гарч ирсэн, шинэ гариг нээсэн зэрэг олон чухал нээлт хийж чадсан гэж мэдэгджээ.
Өнөө үед олон зөн билэгч, ид шидтэнгүүд ийм механик системийг ашиглан сураггүй алга болсон хүмүүсийг хайж, зөгнөлийн таамаглал дэвшүүлдэг.
Математикийн дүүжин
Танилцуулга
Хэлбэлзлийн үе
Дүгнэлт
Уран зохиол
Танилцуулга
Галилео сүмд залбирч байхдаа хүрэл лааны суурь хэрхэн дүүжлэхийг анхааралтай ажиглаж байсан тухай домгийг одоо батлах боломжгүй болжээ. Би лааны суурь нааш цааш хөдөлж байх хугацааг ажиглаж, тодорхойлсон. Энэ хугацааг хожим хэлбэлзлийн үе гэж нэрлэсэн. Галилейд цаг байхгүй байсан бөгөөд янз бүрийн урттай гинж дээр дүүжлэгдсэн лааны суурьуудын хэлбэлзлийн үеийг харьцуулахын тулд тэрээр импульсийн давтамжийг ашигласан.
Аливаа савлуур нь маш тодорхой хэлбэлзэлтэй байдаг тул цагны хурдыг тохируулахад дүүжин ашигладаг. Мөн дүүжин нь геологийн хайгуулын чухал хэрэглээг олдог. Дэлхий даяар өөр өөр газар үнэт зүйл байдгийг мэддэг gялгаатай. Дэлхий бүрэн ердийн бөмбөрцөг биш учраас тэдгээр нь ялгаатай. Түүнчлэн зарим металлын хүдэр зэрэг шигүү чулуулгийн газар нутагт үнэ цэнэ gхэвийн бус өндөр. Нарийвчлалтай хэмжилтүүд gматематикийн дүүжин тусламжтайгаар заримдаа ийм ордуудыг илрүүлэх боломжтой байдаг.
Математик дүүжингийн хөдөлгөөний тэгшитгэл
Математик дүүжин нь босоо тойрог (хавтгай математик дүүжин) эсвэл бөмбөрцөг (бөмбөрцөг дүүжин) дагуу хөдөлдөг хүнд материаллаг цэг юм. Эхний ойролцоо тооцоогоор математикийн дүүжин нь сунадаггүй уян утас дээр дүүжлэгдсэн жижиг ачаалал гэж үзэж болно.
Математикийн хавтгай дүүжингийн радиустай тойргийн дагуух хөдөлгөөнийг авч үзье лцэг дээр төвлөрсөн ТУХАЙ(Зураг 1). Бид цэгийн байрлалыг тодорхойлох болно М(дүүжин) хазайлтын өнцөг j радиус ОМбосоо талаас. Тангенсыг чиглүүлэх М t эерэг j өнцөг рүү чиглүүлбэл бид хөдөлгөөний байгалийн тэгшитгэлийг байгуулна. Энэ тэгшитгэл нь хөдөлгөөний тэгшитгэлээс үүсдэг
мВт=Ф+Н, (1)
Хаана Фцэг дээр ажиллаж байгаа идэвхтэй хүч, ба Н- харилцааны хариу үйлдэл.
Зураг 1
Динамикийн үндсэн хууль болох Ньютоны хоёр дахь хуулийн дагуу бид (1) тэгшитгэлийг олж авсан бөгөөд энэ нь материаллаг цэгийн импульсийн цаг хугацааны дериватив нь түүнд нөлөөлж буй хүчтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл.
Масс тогтмол гэж үзвэл өмнөх тэгшитгэлийг хэлбэрээр илэрхийлж болно
Хаана Вцэгийн хурдатгал юм.
Тиймээс t тэнхлэгт проекцын (1) тэгшитгэл нь өгөгдсөн тогтмол гөлгөр муруй дагуу цэгийн хөдөлгөөний байгалийн тэгшитгэлийн аль нэгийг өгөх болно.
Манай тохиолдолд бид t тэнхлэгийн проекцоор олж авдаг
,
Хаана мсавлуурын масс байна.
оноос хойш буюу , эндээс бид олдог
.
-аар багасгах ммөн итгэх
, (3)
Бид эцэст нь:
,
,
,
. (4)
Эхлээд жижиг хэлбэлзлийн тохиолдлыг авч үзье. Эхний мөчид савлуурыг босоо тэнхлэгээс өнцгөөр хазайлгана jба анхны хурдгүйгээр буулгасан. Дараа нь эхний нөхцөлүүд:
цагт т= 0, 
. (5)
Эрчим хүчний интегралаас:
, (6)
Хаана В- боломжит энерги, ба hнь интегралын тогтмол бөгөөд эдгээр нөхцөлд ямар ч үед jЈj 0 өнцөг гарч ирнэ. Тогтмол үнэ цэнэ hанхны өгөгдлөөр тодорхойлогддог. j 0 өнцгийг жижиг (j 0 Ј1) гэж үзье; тэгвэл j өнцөг мөн бага байх ба бид ойролцоогоор sinj»j тохируулж болно. Энэ тохиолдолд тэгшитгэл (4) хэлбэрийг авна
. (7)
Тэгшитгэл (7) нь энгийн гармоник хэлбэлзлийн дифференциал тэгшитгэл юм. Энэ тэгшитгэлийн ерөнхий шийдэл нь
, (8)
Хаана АТэгээд Бэсвэл аба e нь интегралын тогтмолууд юм.
Эндээс бид тэр даруй үеийг олдог ( Т) математик дүүжингийн жижиг хэлбэлзэл (хугацаа - цэг өмнөх байрлалдаа ижил хурдтайгаар буцаж ирэх хугацаа)
Тэгээд 
,
учир нь нүгэл нь 2p-тэй тэнцүү үетэй, дараа нь w Т=2х Ю
(9)
Анхны нөхцөлд (5) хөдөлгөөний хуулийг олохын тулд бид дараахь зүйлийг тооцоолно.
. (10)
(5) утгыг (8) ба (10) тэгшитгэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
j 0 = А, 0 = w Б,
тэдгээр. Б=0. Иймээс (5) нөхцөл дэх жижиг хэлбэлзлийн хөдөлгөөний хууль нь:
j = j 0 cos wt. (11)
Хавтгай математик дүүжинтэй холбоотой асуудлын яг шийдлийг олцгооё. Эхлээд хөдөлгөөний тэгшитгэлийн эхний интегралыг тодорхойлъё (4). Учир нь
,
дараа нь (4) -ийг төлөөлж болно
.
Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлнэ г j ба нэгтгэснээр бид дараахыг олж авна.
. (12)
Дүүжингийн хамгийн их хазайлтын өнцгийг энд j 0 гэж тэмдэглэе; дараа нь j = j 0-ийн хувьд бид хаанаас байх болно C= w 2 cosj 0 . Үүний үр дүнд интеграл (12) нь:
, (13)
w нь тэгш байдал (3) -аар тодорхойлогддог.
Энэ интеграл нь энергийн интеграл бөгөөд тэгшитгэлээс шууд олж авч болно
, (14)
нүүх ажил хаана байна М 0 Мидэвхтэй хүч Ф, хэрэв бид үүнийг анхаарч үзвэл манай тохиолдолд v 0 =0, ба (зураг харна уу).
(13) тэгшитгэлээс харахад дүүжин хөдөлж байх үед j өнцөг +j 0 ба -j 0 (|j|Јj 0, оноос хойш) утгуудын хооронд өөрчлөгдөх нь тодорхой байна. дүүжин нь хэлбэлзэлтэй хөдөлгөөн хийх болно. Цагийг тоолохыг зөвшөөрье тсавлуур босоо тэнхлэгээр дамжин өнгөрөх мөчөөс эхлэн О.А.баруун тийш шилжих үед (зураг харна уу). Дараа нь бид анхны нөхцөлтэй болно:
цагт т=0, j=0. (15)
Үүнээс гадна, цэгээс шилжих үед Аболно ; тэгш байдлын хоёр талаас (13) квадрат язгуурыг авснаар бид дараахь зүйлийг олж авна.
.
Энд байгаа хувьсагчдыг салгавал бид:
. (16)
, 
,
Тэр
.
Энэ үр дүнг (16) тэгшитгэлд орлуулснаар бид олж авна.
Математик дүүжингийн хэлбэлзлийн хугацаа нь утасны уртаас хамаарна: утасны урт багасах тусам хэлбэлзлийн хугацаа багасна.
Математикийн дүүжингийн хувьд зарим хуулиуд хангагдсан байдаг:
1 хууль. Хэрэв савлуурын ижил уртыг хадгалахын зэрэгцээ бид өөр өөр ачааг (жишээлбэл, 5 кг ба 100 кг) өлгөх юм бол ачааллын масс нь маш өөр боловч хэлбэлзлийн хугацаа ижил байх болно. Математик дүүжингийн хугацаа нь ачааны массаас хамаардаггүй.
2-р хууль. Хэрэв дүүжин өөр өөр боловч жижиг өнцгөөр хазайсан бол өөр далайцтай ч гэсэн ижил хугацаанд хэлбэлзэх болно. Дүүжингийн далайц бага байх тусам тэдгээрийн хэлбэрийн хэлбэлзэл нь гармониктай төстэй байх ба дараа нь математик дүүжингийн хугацаа нь хэлбэлзлийн далайцаас хамаардаггүй. Энэ шинж чанарыг изохронизм гэж нэрлэдэг.
Математикийн дүүжингийн хугацааны томъёог гаргая.
Математикийн дүүжингийн ачаалал m нь таталцлын хүч mg ба утас Fynp уян харимхай хүчээр үйлчилдэг. Шүргэгчийн дагуу 0X тэнхлэгийг дээш чиглэсэн хөдөлгөөний траектор руу чиглүүлье. Энэ тохиолдолд Ньютоны хоёр дахь хуулийг бичье.
Бид бүх зүйлийг OX тэнхлэгт тусгадаг:
Жижиг өнцгөөр
Орлуулалт болон жижиг хувиргалтуудыг хийсний дараа тэгшитгэл дараах байдалтай байна.
Үүссэн илэрхийлэлийг гармоник чичиргээний тэгшитгэлтэй харьцуулбал бид дараахь зүйлийг олж авна.
Тэгшитгэлээс харахад хаврын дүүжингийн мөчлөгийн давтамж дараах хэлбэртэй байна.
Дараа нь математик дүүжингийн хугацаа дараахтай тэнцүү болно.
Математикийн дүүжингийн хугацаа нь зөвхөн таталцлын хурдатгал g ба дүүжингийн урт l-ээс хамаарна. Үүссэн томъёоноос харахад дүүжингийн хугацаа нь түүний масс ба далайцаас хамаардаггүй (энэ нь хангалттай бага байх тохиолдолд). Мөн бид савлуурын хугацаа, түүний урт ба таталцлын хурдатгалын тоон хамаарлыг тогтоосон. Математик дүүжингийн хугацаа нь дүүжингийн уртыг таталцлын хурдатгалд харьцуулсан квадрат язгууртай пропорциональ байна. Пропорциональ коэффициент нь 2p байна
Мөн байдаг:
Хаврын дүүжингийн үе
Физик дүүжингийн үе 
Эргэлтийн дүүжингийн үе
