Пифагорын гурван ихэр ба тэдгээрийн тоо. Пифагорын гурвалсан тоо (Оюутны бүтээлч ажил) Пифагорын гурвалсан тоонууд Сурагчийн бүтээлч ажил

Бескровный I.M. 1

1 OAO Angstrem-M

Ажлын зорилго нь a2+b2=c2 хэлбэрийн Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолох арга, алгоритмыг боловсруулах явдал юм. Шинжилгээний үйл явц нь системийн хандлагын зарчмын дагуу явагдсан. Математик загваруудын зэрэгцээ Пифагорын гурвалсан гишүүн бүрийг нийлмэл квадрат хэлбэрээр харуулсан график загваруудыг ашигласан бөгөөд тэдгээр нь тус бүр нь нэгж квадратуудын багцаас бүрддэг. Пифагорын гурвалсан хязгааргүй олонлог нь b-c утгын зөрүүгээр ялгагддаг хязгааргүй олон дэд олонлогуудыг агуулж байгаа нь тогтоогдсон. Энэ зөрүүг урьдчилан тодорхойлсон ямар ч утга бүхий Пифагорын гурвалсан хэлбэрийг бий болгох алгоритмыг санал болгож байна. Ямар ч 3≤a утгын хувьд Пифагорын гурвалсан байдаг болохыг харуулсан

Пифагорын гурав дахин

системийн шинжилгээ

математик загвар

график загвар

1. Аносов Д.Н. Математик болон түүнээс ямар нэг зүйлийг харах. – М.: МЦНМО, 2003. – 24 х.: өвчтэй.

2. Эйерланд К., Розен М. Орчин үеийн тооны онолын сонгодог танилцуулга. - М.: Мир, 1987.

3. Бескровный И.М. Байгууллага дахь системийн шинжилгээ ба мэдээллийн технологи: Сурах бичиг. – М.: РУДН, 2012. – 392 х.

4. Саймон Сингх. Фермагийн сүүлчийн теорем.

5. Фермат П. Тооны онол ба диофантийн шинжилгээний судалгаа. - М.: Наука, 1992.

6. Яптро. Ucoz, эндээс авах боломжтой: http://yaptro.ucoz.org/news/pifagorovy_trojki_chisel/2012-05-07-5.

Пифагорын гурвалсан тоонууд нь Пифагорын x2 + y2 = z2 харьцааг хангадаг гурван бүхэл тооны когорт юм. Ерөнхийдөө энэ нь диофантийн тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол, тухайлбал үл мэдэгдэх тоо нь тэгшитгэлийн тооноос их байдаг тэгшитгэлийн систем юм. Тэд Вавилоны эрин үеэс, өөрөөр хэлбэл Пифагороос эрт дээр үеэс мэдэгдэж байсан. Пифагор тэдний үндсэн дээр алдартай теоремоо нотолсоны дараа тэд нэрээ авсан. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвалсан хүүхдийн асуудлыг аль нэг хэмжээгээр хөндсөн олон тооны эх сурвалжийн дүн шинжилгээнээс үзэхэд эдгээр гурвалсан хүүхдүүдийн одоо байгаа ангиуд, тэдгээрийн үүсэх боломжит арга замуудын талаархи асуулт хараахан бүрэн тайлагдаагүй байна.

Тиймээс Саймон Сингхийн номонд: - "Пифагорын шавь нар ба дагалдагчид ... Пифагорын гурван түлхүүр гэгдэх нууцыг дэлхийд хэлсэн" гэж бичсэн байдаг. Гэсэн хэдий ч үүнийг дагаж бид уншдаг: - "Пифагорчууд өөр Пифагор гурвалсан гурвалсан, гурав дахь том квадратыг нэмж болох өөр квадратуудыг олохыг мөрөөддөг байв. …Тоо өсөхийн хэрээр Пифагорын гурван ихэр ховор болж, олоход улам хэцүү болж байна. Пифагорчууд ийм гурван ихрийг олох аргыг зохион бүтээсэн бөгөөд үүнийг ашиглан Пифагорын гурван ихэр хязгааргүй олон байдгийг баталжээ."

Дээрх ишлэлд төөрөгдөл үүсгэж буй үгсийг онцлон тэмдэглэв. Яагаад “Пифагорчууд олохыг мөрөөддөг байсан юм бол...” хэрэв тэд “ийм гурвыг олох аргыг зохион бүтээсэн бол...”, яагаад олноор нь “тэднийг олох нь улам хэцүү болж байна...”.

Алдарт математикч Д.В. Аносов, шаардлагатай хариултыг өгсөн бололтой. - “Х, y, z натурал (өөрөөр хэлбэл эерэг бүхэл тоонууд) гурвалсан тоонууд байдаг.

x2 + y2 = z2. (1)

… x2+y2=z2 тэгшитгэлийн бүх шийдийг натурал тоогоор олох боломжтой юу? …Тиймээ. Хариулт нь: ийм шийдэл бүрийг хэлбэрээр илэрхийлж болно

x=l(m2-n2), y=2lmn, z=l(m2+n2), (2),

Энд l, m, n нь натурал тоонууд, m>n-тэй, эсвэл x ба y-г сольсон ижил төстэй хэлбэрээр. Бүх боломжит натурал l ба m > n нь (2)-ын x, y, z нь (1) -ийн x ба y-ийн сэлгэлт хүртэлх бүх боломжит шийдлүүд гэдгийг бид арай товчхон хэлж болно. Жишээлбэл, гурвалсан (3, 4, 5) -ийг l=1, m=2, n=1 гэж авна. ... Вавилончууд энэ хариултыг мэддэг байсан бололтой, гэхдээ тэд хэрхэн яаж ирсэн нь тодорхойгүй байна.”

Математикчид ерөнхийдөө томъёоллынхоо нарийн ширийн талаар маш хатуу байдаг. Гэхдээ энэ ишлэлд тийм ноцтой байдал байхгүй. Тэгэхээр яг юу вэ: олох уу, төсөөлөх үү? Эдгээр нь огт өөр зүйл болох нь ойлгомжтой. Доорх нь "шинэхэн шатаасан" гурвалсан (доор тайлбарласан аргаар олж авсан) мөр юм.

12, 35, 37; 20, 21, 29; 44, 117, 125; 103, 5304, 5305.

Эдгээр гурвалсан бүрийг (2) хамаарлын хэлбэрээр илэрхийлж, дараа нь l, m, n утгуудыг тооцоолж болно гэдэгт эргэлзэхгүй байна. Гэхдээ энэ нь гурвалсан бүх утгыг олсны дараа юм. Үүнээс өмнө юу хийх вэ?

Эдгээр асуултын хариулт аль эрт тодорхой байгааг үгүйсгэх аргагүй. Гэвч зарим нэг шалтгааны улмаас тэд хараахан олдоогүй байна. Тиймээс энэхүү ажлын зорилго нь Пифагорын гурвалсан жишээнүүдийн багцад системчилсэн дүн шинжилгээ хийх, гурвалсан янз бүрийн бүлгүүдийн систем үүсгэх харилцааг хайж олох, эдгээр бүлгүүдийн онцлог шинж чанарыг тодорхойлох, улмаар тэдгээрийг хөгжүүлэх явдал юм. урьдчилан тодорхойлсон тохиргоотой гурвалсан тоог тооцоолох энгийн үр дүнтэй алгоритмууд. Тохиргоогоор бид гурвалсанд багтсан хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын хамаарлыг ойлгодог.

Ашиглах хэрэгсэл нь ахлах сургуульд заадаг математикийн хүрээнээс хэтэрдэггүй түвшний математикийн аппаратууд, дээр дурдсан аргад суурилсан системийн шинжилгээ байх болно.

Загварын барилга

Системийн шинжилгээний үүднээс авч үзвэл аливаа Пифагорын гурвалсан систем нь гурван тоо ба тэдгээрийн шинж чанаруудаас бүрддэг объектууд юм. Объектуудыг тодорхой харилцаанд байрлуулж, бие даасан объектууд эсвэл тэдгээрийн бусад багцад хамаарахгүй шинэ шинж чанартай системийг бүрдүүлдэг тэдгээрийн цогц байдал, объектуудыг өөр өөр харилцаанд байрлуулдаг.

(1) тэгшитгэлд системийн объектууд нь энгийн алгебрийн харилцаагаар холбогдсон натурал тоонууд юм: тэгш байдлын тэмдгийн зүүн талд хоёр тооны нийлбэр нь 2-ын зэрэглэлд хүрсэн, баруун талд гурав дахь тоо, мөн өссөн байна. 2-ын хүч рүү. Хувь хүний ​​тоо, тэгш байдлын зүүн талд, 2-ын зэрэглэлд аваачиж, тэдгээрийн нийлбэрийн үйл ажиллагаанд ямар нэгэн хязгаарлалт тавьдаггүй - үр дүнд нь нийлбэр нь юу ч байж болно. Гэхдээ нийлбэрийн үйлдлийн дараа тавьсан тэнцүү тэмдэг нь энэ нийлбэрийн утгад системчилсэн хязгаарлалт тавьдаг: нийлбэр нь квадрат язгуурыг задлах үйлдлийн үр дүн нь натурал тоо байх тийм тоо байх ёстой. Гэхдээ тэгш байдлын зүүн талд орлуулсан тоонуудын хувьд энэ нөхцөл хангагдахгүй. Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр гишүүн ба гурав дахь гишүүний хооронд тэгш тэмдэг тавьсан нь гурван гишүүнийг систем болгон хувиргадаг. Энэхүү системийн шинэ онцлог нь анхны тоонуудын утгыг хязгаарлах явдал юм.

Тэмдэглэгээний хэлбэрт үндэслэн Пифагорын гурвалсан нь нийлбэр ба тэгш байдлын харьцаагаар холбогдсон гурван квадратаас бүрдэх геометрийн системийн математик загвар гэж үзэж болно. 1. Зураг. 1 нь авч үзэж буй системийн график загвар бөгөөд түүний аман загвар нь дараахь мэдэгдэл юм.

Хажуугийн урт c бүхий квадратын талбайг үлдэгдэлгүйгээр a ба b хажуугийн урттай хоёр квадрат болгон хувааж болох бөгөөд тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь анхны дөрвөлжингийн талбайтай, өөрөөр хэлбэл бүх талбайтай тэнцүү байна. a, b, c гэсэн гурван хэмжигдэхүүн нь хамаарлаар холбогдоно

Квадрат задралын график загвар

Системийн шинжилгээний хуулиудын хүрээнд хэрэв математик загвар нь тодорхой геометрийн системийн шинж чанарыг хангалттай тусгадаг бол энэ системийн шинж чанарын дүн шинжилгээ нь түүний математик загварын шинж чанарыг тодруулах боломжийг олгодог. тэдгээрийг илүү гүнзгий ойлгож, тодруулж, шаардлагатай бол сайжруулах. Энэ бол бидний дагаж мөрдөх зам юм.

Системийн шинжилгээний зарчмуудын дагуу нэмэх, хасах үйлдлийг зөвхөн нийлмэл объектууд, өөрөөр хэлбэл энгийн объектуудын багцаас бүрдэх объектууд дээр гүйцэтгэх боломжтой гэдгийг тодруулцгаая. Тиймээс бид ямар ч квадратыг энгийн буюу нэгж квадратуудын цуглуулгаас бүрдсэн дүрс гэж үзэх болно. Тэгвэл натурал тоогоор шийдийг олж авах нөхцөл нь нэгж квадрат хуваагдахгүй байх нөхцөлийг хүлээн зөвшөөрсөнтэй тэнцэнэ.

Тал бүрийн урт нь нэгтэй тэнцүү квадратыг нэгж квадрат гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, нэгж квадратын талбайг дараах илэрхийллээр тодорхойлно.

Квадратын тоон параметр нь тухайн талбайд байрлуулж болох нэгж квадратуудын тоогоор тодорхойлогддог талбай юм. Дурын утга бүхий дөрвөлжингийн хувьд x2 илэрхийлэл нь урт x нэгжийн сегментүүдээс үүссэн квадратын талбайг тодорхойлно. Энэ квадратын талбай нь x2 нэгж квадратыг багтааж болно.

Дээрх тодорхойлолтууд нь өчүүхэн бөгөөд ойлгомжтой мэт санагдаж болох ч тийм биш юм. Д.Н. Аносов талбайн тухай ойлголтыг өөрөөр тодорхойлсон: - "... зургийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна. Бид яагаад ийм байгаа гэдэгт итгэлтэй байна вэ? ...Бид ямар нэгэн нэгэн төрлийн материалаар хийсэн дүрсийг төсөөлөөд үзээд талбай нь агуулагдах бодисын хэмжээ буюу масстай пропорциональ байна. Биеийг хэд хэдэн хэсэгт хуваахад тэдгээрийн массын нийлбэр нь анхны биеийн масстай тэнцүү байна гэдгийг цааш нь ойлгодог. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь бүх зүйл атом, молекулуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийн тоо өөрчлөгдөөгүй тул нийт масс нь ч өөрчлөгдөөгүй ... Эцсийн эцэст, нэг төрлийн материалын масс нь түүний эзэлхүүнтэй пропорциональ байна; Энэ нь өгөгдсөн дүрс хэлбэртэй "хуудас" -ын эзэлхүүн нь түүний талбайтай пропорциональ гэдгийг мэдэх хэрэгтэй гэсэн үг юм. Нэг үгээр хэлбэл, ... зургийн талбай нь түүний хэсгүүдийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү гэдгийг геометрээр батлах ёстой. ...Киселевын сурах бичигт бидний одоо хэлэлцэж байгаа өмчтэй газар нутаг байгаа нь нэг төрлийн таамаглал гэж үнэнээр нь дэвшүүлсэн бөгөөд энэ нь үнэн хэрэгтээ үнэн байсан гэж хэлсэн боловч бид үүнийг батлахгүй. Тиймээс Пифагорын теоремыг талбайнуудаар нотлох юм бол цэвэр логик утгаараа бүрэн батлагдаагүй хэвээр үлдэнэ."

Дээр дурдсан нэгж квадратын тодорхойлолтууд нь заасан D.N-ийг хассан мэт санагдаж байна. Аносовын тодорхойгүй байдал. Эцсийн эцэст, хэрэв дөрвөлжин ба тэгш өнцөгтийн талбайг тэдгээрийг дүүргэх нэгжийн квадратуудын нийлбэрээр тодорхойлдог бол тэгш өнцөгтийг бие биетэйгээ зэргэлдээх дурын хэсгүүдэд хуваах үед тэгш өнцөгтийн талбай нь байгалийн байна. түүний бүх хэсгүүдийн нийлбэртэй тэнцүү.

Нэмж дурдахад, танилцуулсан тодорхойлолтууд нь хийсвэр геометрийн дүрстэй холбоотой "хуваах", "нэмэх" гэсэн ойлголтыг ашиглах тодорхой бус байдлыг арилгадаг. Тэгш өнцөгт эсвэл бусад хавтгай дүрсийг хэсэг болгон хуваах нь юу гэсэн үг вэ? Хэрэв энэ нь цаасан хуудас бол хайчаар хайчилж болно. Хэрвээ газар бол хашаа тат. Өрөө - хуваалт тавих. Хэрэв энэ нь зурсан дөрвөлжин бол яах вэ? Хуваах шугам зурж, квадрат хуваагдсан гэж мэдэгдэнэ үү? Гэхдээ эцэст нь Д.И. Менделеев: “...Бүхнийг тунхаглаж болно, харин чи очоод жагсаа!

Санал болгож буй тодорхойлолтыг ашиглахдаа "Зураг хуваах" гэдэг нь энэ зургийг дүүргэх нэгж квадратуудын тоог хоёр (эсвэл түүнээс дээш) хэсэгт хуваахыг хэлнэ. Эдгээр хэсэг тус бүрийн нэгж квадратуудын тоо нь түүний талбайг тодорхойлно. Эдгээр хэсгүүдэд ямар ч тохиргоог өгч болно, гэхдээ тэдгээрийн талбайн нийлбэр нь үргэлж анхны зургийн талбайтай тэнцүү байх болно. Математикчид эдгээр аргументыг буруу гэж үзэж магадгүй, тэгвэл бид тэдгээрийг таамаглал болгон хүлээн зөвшөөрөх болно. Хэрэв Киселевын сурах бичигт ийм таамаглалыг хүлээн зөвшөөрвөл үүнтэй төстэй арга хэрэглэхгүй байх нь бидний хувьд нүгэл болно.

Системийн шинжилгээний эхний үе шат бол асуудлын нөхцөл байдлыг тодорхойлох явдал юм. Энэ үе шатны эхэнд янз бүрийн эх сурвалжаас олдсон хэдэн зуун Пифагор гурвыг хянаж үзсэн. Үүний зэрэгцээ, хэвлэлд дурдсан Пифагорын гурвалсан бүхэл бүтэн багцыг тохиргоондоо ялгаатай хэд хэдэн бүлэгт хувааж болох нь анхаарал татав. Тодорхой тохиргооны шинж тэмдэг болгон бид анхны болон хасагдсан квадратуудын талуудын уртын зөрүү, өөрөөр хэлбэл c-b утгыг авч үзэх болно. Жишээлбэл, хэвлэлд c-b=1 нөхцөлийг хангасан гурвалсан хүүхдүүдийг жишээ болгон харуулдаг. Ийм Пифагорын гурвалсан бүхэл бүтэн цуглуулга нь "Ангилал c-1" гэж нэрлэгдэх олонлогийг бүрдүүлдэг гэж бодъё, бид энэ ангийн шинж чанарыг шинжлэх болно.

Зурагт үзүүлсэн гурван квадратыг авч үзье, үүнд c нь багасгаж буй квадратын хажуугийн урт, b нь хасагдсан квадратын хажуугийн урт, а нь тэдгээрийн ялгаанаас үүссэн квадратын хажуугийн урт юм. Зураг дээр. 1-ээс харахад хасагдсан квадратын талбайг багасгасан квадратын талбайгаас хасах үед үлдсэн хэсэг нь нэгж квадратын хоёр тууз хэвээр үлдэнэ.

Энэ үлдэгдэлээс квадрат үүсэхийн тулд нөхцөлийг хангасан байх ёстой

Эдгээр харилцаа нь нэг өгөгдсөн c тоог ашиглан гурвалсан бүх гишүүдийн утгыг тодорхойлох боломжийг олгодог. (6) харьцааг хангадаг хамгийн бага c тоо нь c = 5. Тиймээс (1) харьцааг хангадаг квадратуудын гурван талын уртыг тодорхойлсон. Дундаж квадратын талын утгыг b гэдгийг санаарай

Бид анхны дөрвөлжингийн талыг нэгээр багасгаж дунд дөрвөлжин үүсгэхээр шийдсэн үед сонгосон. Дараа нь (5), (6) харилцаанаас. (7) бид дараах харьцааг олж авна.

Үүнээс үзэхэд c = 5 сонгосон утга нь b = 4, a = 3 утгуудыг өвөрмөц байдлаар тогтоодог.

Үүний үр дүнд "c - 1" ангиллын аль ч Пифагорын гурвалсан утгыг бүх гурван нэр томъёоны утгыг заасан нэг параметрээр - c-ийн утгаар тодорхойлдог хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг бидэнд олгодог харилцааг олж авав.

Дээрх жишээн дэх 5-ын тоо нь натурал тоон дээрх тэгшитгэл (6)-ийн шийдэлтэй c-ийн бүх боломжит утгуудын хамгийн бага нь байсан гэдгийг нэмж хэлье. Ижил шинж чанартай дараагийн тоо нь 13, дараа нь 25, дараа нь 41, 61, 85 гэх мэт. Энэ цуврал тоонуудад хөрш тоонуудын хоорондын зай маш хурдан нэмэгдэж байгааг харж болно. Жишээлбэл, хүчинтэй утгын дараа дараагийн хүчинтэй утга нь , дараа нь дараагийн хүчинтэй утга нь , өөрөөр хэлбэл хүчинтэй утга нь өмнөхөөсөө тавин саяас илүү зайтай байна!

Номонд энэ хэллэг хаанаас ирсэн нь тодорхой болсон: - "Тоо нэмэгдэх тусам Пифагорын гурвалсан хүүхдүүд бага ба ховор тохиолддог бөгөөд тэдгээрийг олоход улам бүр хэцүү болж байна ...". Гэсэн хэдий ч энэ мэдэгдэл үнэн биш юм. Зөвхөн c-ийн хөрш зэргэлдээх утгуудын дээрх хосуудад тохирох Пифагор гурвыг харах хэрэгтэй бөгөөд нэг онцлог шинж чанар нь нэн даруй анхаарлыг татдаг - хоёр хосын хувьд c-ийн утгууд нь ийм том интервалаар тусгаарлагдсан байдаг. эргэх утгууд нь хөрш сондгой тоонууд болно. Үнэхээр эхний хосын хувьд бидэнд байна

мөн хоёр дахь хосын хувьд

Тиймээс "улам ховор болж" байгаа нь гурвалсан хүүхэд биш, харин c-ийн зэргэлдээх утгуудын хоорондын зай нэмэгдэж байна. Доор үзүүлсэн шиг Пифагорын гурвалсан биетүүд аль ч натурал тооны хувьд байдаг.

Одоо дараагийн ангийн гурван ихэр болох "С-2" ангиудыг харцгаая. Зураг дээрээс харж болно. 1, c талтай квадратаас талтай квадратыг (c - 2) хасах үед хоёр нэгж судлын нийлбэр хэлбэрээр үлдэгдэл үүсдэг. Энэ дүнгийн утгыг тэгшитгэлээр тодорхойлно.

(10) тэгшитгэлээс бид "c-2" ангиллын гурвалсан хязгааргүй багцын аль нэгийг тодорхойлох харилцааг олж авна.

(11) тэгшитгэлийн шийдэл натурал тоонд байх нөхцөл нь а нь натурал тоо болох c-ийн дурын утга юм. Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 5. Дараа нь энэ гурвалсан ангиллын "эхлэх" гурвалсан нь a = 4, b = 3, c = 5 олонлогоор тодорхойлогддог. Өөрөөр хэлбэл, сонгодог Гурвалсан 3, 4, 5 үүссэн, зөвхөн одоо хасагдсан квадратын талбай нь үлдсэн хэсгийн талбайгаас бага байна.

Эцэст нь бид "s-8" ангийн гурвалсан хүүхдүүдэд дүн шинжилгээ хийх болно. Гурвалсан энэ ангиллын хувьд квадратын талбайг анхны квадратын c2 талбайгаас хасахдаа бид дараахь зүйлийг олж авна.

Дараа нь (12) тэгшитгэлээс дараах байдалтай байна.

Шийдэл байгаа c-ийн хамгийн бага утга нь c = 13 байна. Энэ утга дахь Пифагорын гурвалсан нь 12, 5, 13 хэлбэрийг авна. Энэ тохиолдолд дахин хасагдсан квадратын талбай нь ​-ийн талбайгаас бага байна. үлдэгдэл. Тэмдэглэгээг дахин цэгцэлснээр бид "c - 1" ангилалд багтдаг гурвалсан 5, 12, 13-ыг авдаг. Бусад боломжит тохиргоонуудын цаашдын дүн шинжилгээ нь цоо шинэ зүйлийг илрүүлэхгүй байх шиг байна.

Тооцоолсон харьцааны гаралт

Өмнөх хэсэгт шинжилгээний логикийг системийн шинжилгээний шаардлагын дагуу түүний таван үндсэн үе шатын дөрөвт нь боловсруулсан: асуудлын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх, зорилгоо бүрдүүлэх, чиг үүргийг бүрдүүлэх, бүтцийг бий болгох. Одоо эцсийн, тав дахь шат руу шилжих цаг болжээ - ТЭЗҮ-ийг шалгах, өөрөөр хэлбэл зорилгодоо хэр хүрсэн эсэхийг шалгах. .

Хүснэгтийг доор үзүүлэв. "c - 1" ангилалд хамаарах Пифагорын гурвалсан утгыг харуулсан 1. Ихэнх гурвыг янз бүрийн хэвлэлд олдог боловч 999, 1001-тэй тэнцэх утгыг гурав дахин олдоггүй.

Хүснэгт 1

"c-1" зэрэглэлийн Пифагорын гурвалсан

Бүх гурвалсанууд (3) хамаарлыг хангаж байгаа эсэхийг шалгаж болно. Ийнхүү өмнөө тавьсан зорилтуудын нэг нь биеллээ. Өмнөх хэсэгт олж авсан (9), (11), (13) харьцаанууд нь нэг параметр c - багасгаж буй квадратын талыг зааж өгснөөр хязгааргүй гурвалсан багц үүсгэх боломжтой болгодог. Энэ нь мэдээжийн хэрэг (2) харьцаанаас илүү бүтээмжтэй хувилбар бөгөөд аль нэгийг нь дур мэдэн дурын утгатай l, m, n гэсэн гурван тоог зааж өгөөд эцэст нь Пифагорын гурвалсан гэдгийг мэдэж байж шийдлийг хайх хэрэгтэй. гарцаагүй олж авах болно, аль нь урьдчилж тодорхойгүй байна. Манай тохиолдолд үүсэж буй гурвалсан тохиргоог урьдчилан мэддэг бөгөөд зөвхөн нэг параметрийг зааж өгөх шаардлагатай. Гэвч харамсалтай нь энэ параметрийн утга бүрийн шийдэл байдаггүй. Мөн та түүний зөвшөөрөгдөх утгыг урьдчилан мэдэх хэрэгтэй. Тиймээс олж авсан үр дүн нь сайн, гэхдээ хамгийн тохиромжтой зүйлээс хол байна. Дурын өгөгдсөн натурал тоогоор Пифагорын гурвалсан тоог тооцоолж болохуйц шийдлийг олж авах нь зүйтэй юм. Энэ зорилгоор бид дөрөв дэх үе шат руу буцаж очих болно - олж авсан математик харилцааны бүтцийг бий болгох.

Гурвалын үлдсэн гишүүдийг тодорхойлох үндсэн параметр болох c-г сонгох нь тохиромжгүй болсон тул өөр хувилбарыг туршиж үзэх хэрэгтэй. Хүснэгтээс харж болно. 1-д энэ параметрийн утгууд нь сондгой натурал тоонуудын цувралд дараалсан байдаг тул a параметрийг суурь болгон сонгох нь зүйтэй юм. Энгийн өөрчлөлтүүдийн дараа бид харилцааг (9) илүү бүтээлч хэлбэрт оруулдаг.

Харилцаа (14) нь a-ийн өгөгдсөн сондгой утгын хувьд Пифагорын гурвалсан тоог олох боломжийг бидэнд олгодог. Түүнчлэн b-ийн илэрхийллийн энгийн байдал нь тооцоолуургүйгээр ч тооцоолох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, 13-ын тоог сонгосноор бид дараахь зүйлийг олж авна.

Мөн 99 дугаарын хувьд бид дараахь зүйлийг авна.

Харилцаа (15) нь n=1-ээс эхлэн өгөгдсөн n-ийн хувьд Пифагорын мөрийн бүх гурван гишүүний утгыг олж авах боломжийг олгодог.

Одоо "c - 2" ангийн Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг авч үзье. Хүснэгтэнд 2-т жишээ болгон ийм арван гурвыг харуулав. Түүгээр ч барахгүй, мэдэгдэж буй хэвлэлд зөвхөн гурван хос гурвалсан хүүхэд олдсон - 8, 15, 23; 12, 35, 36; ба 16, 63, 65. Энэ нь тэдгээрийн үүссэн хэв маягийг тодорхойлоход хангалттай байсан. Үлдсэн долоо нь өмнө нь үүссэн харилцаанаас олдсон (11). Тооцоолоход хялбар болгох үүднээс эдгээр харьцааг бүх параметрүүдийг a утгаар илэрхийлэхийн тулд өөрчилсөн. (11)-ээс харахад "c - 2" ангиллын бүх гурвалсан хүүхдүүд дараахь харьцааг хангаж байна.

Хүснэгт 2

Пифагорын гурвалсан "с-2"

Хүснэгтээс харж болно. 2, "c - 2" ангиллын хязгааргүй гурвалсан багцыг хоёр дэд ангилалд хувааж болно. a утга нь үлдэгдэлгүйгээр 4-т хуваагддаг гурвалсан хүмүүсийн хувьд b ба c утгууд сондгой байна. GCD = 1 байх ийм гурвалуудыг команд гэж нэрлэдэг. a утгууд нь бүхэл тоонд 4-т хуваагддаггүй гурвалсан тоонуудын хувьд a, b, c гурвалсан гурван гишүүн бүгд тэгш байна.

Одоо тодорхойлсон ангиудын гурав дахь нь "c - 8" ангиллын шинжилгээний үр дүнг авч үзье. (13)-аас авсан энэ ангийн тооцоолсон хамаарал нь дараах хэлбэртэй байна.

Харилцаа (20), (21) нь үндсэндээ ижил байна. Цорын ганц ялгаа нь үйлдлийн дарааллыг сонгох явдал юм. Эсвэл (20) дагуу a-ийн хүссэн утгыг сонгоно (энэ тохиолдолд энэ утгыг 4-т хуваах шаардлагатай), дараа нь b ба c утгуудыг тодорхойлно. Эсвэл дурын тоог сонгоод дараа нь (21) харьцаанаас Пифагорын гурвалсан гурван гишүүнийг тодорхойлно. Хүснэгтэнд Зураг 3-т ийм аргаар тооцоолсон хэд хэдэн Пифагорын гурвыг харуулав. Гэсэн хэдий ч Пифагорын гурвалсан утгыг тооцоолох нь бүр ч хялбар байж болно. Хэрэв дор хаяж нэг утгыг мэддэг бол дараагийн бүх утгыг дараах хамаарлаар маш энгийнээр тодорхойлно.

Хүснэгт 3

Хүснэгтийн гурвалсан тоог ашиглан хүн бүрийн хувьд (22) хамаарлын үнэн зөвийг шалгаж болно. 2, бусад эх сурвалжийн дагуу. Жишээлбэл, хүснэгтэд үзүүлэв. Налуу үсгээр бичсэн 4 нь (2) хамаарлыг ашиглан компьютерийн программ дээр үндэслэн тооцоолсон Пифагорын гурвалсан гурвалсан (10,000 гурвалсан) өргөн хүснэгтийн гурвалсан тоог, тодоор бичсэн (20) хамаарлыг ашиглан тооцсон гурвалсан тоог бичнэ. Эдгээр утгууд нь заасан хүснэгтэд байхгүй байсан.

Хүснэгт 4

"c-8" ангийн Пифагорын гурвалсан

Үүний дагуу гурвалсан хэлбэрийн хувьд дараахь харилцааг ашиглаж болно.

Мөн гурван ихэр хүүхдэд зориулсан<>, бид дараах харьцаатай байна:

Дээр дурдсан "c - 1", "c - 2", "c - 8" гурвалсан ангиуд нь өгөгдсөн хүснэгтээс эхний мянган гурвын 90 гаруй хувийг эзэлдэг гэдгийг онцлон тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь эдгээр ангиудыг үндсэн гэж үзэх үндэслэл болж байна. (22), (23), (24) харилцааг гаргахдаа бид тооны онолд судлагдсан тооны тусгай шинж чанарыг (анхны, хоёрдогч тоо гэх мэт) ашиглаагүй гэдгийг нэмж хэлье. Пифагорын гурвалсан үүсэх илэрсэн хэв маягийг зөвхөн эдгээр гурвалсан гурвалсан геометрийн дүрсүүдийн системийн шинж чанараар тодорхойлдог - нэгж квадратуудын багцаас бүрдсэн квадратууд.

Дүгнэлт

Эндрю Уайлс 1993 онд хэлэхдээ: "Би энд зогсох ёстой гэж бодож байна." Зорилго бүрэн биеллээ. Шинжилгээний явцад цэвэр математик тооцооллын зэрэгцээ судалж буй загваруудын геометрийн шинж чанарыг харгалзан үзэх юм бол бүтэц нь геометрийн дүрстэй холбоотой математик загваруудын шинж чанаруудын шинжилгээг ихээхэн хялбаршуулдаг болохыг харуулж байна. харгалзан үзсэн. Судлаач математикийн хувиргалт хийхгүйгээр хүссэн үр дүнгээ "хардаг" тул хялбарчлах боломжтой болсон.

Жишээлбэл, тэгш байдал

зүүн талд ямар ч өөрчлөлтгүйгээр тодорхой болно, зүгээр л Зураг руу хар. 1, энэ тэгш байдлын график загварыг харуулсан.

Үүний үр дүнд дүн шинжилгээнд үндэслэн аль ч талтай квадратын хувьд b ба c талтай квадратуудыг олж, тэгш байдлыг хангаж, хамгийн бага тооцооллын үр дүнд хүрэх харьцааг олж авах боломжтой болохыг харуулж байна.

a-ийн сондгой утгуудын хувьд,

ба - тэгш утгын хувьд.

Ном зүйн холбоос

Дараа нь бид Пифагорын гурвалсан үр дүнтэй үүсгэх алдартай аргуудыг авч үзэх болно. Пифагорын шавь нар анх удаа Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг төлөөлөх томьёог ашиглан Пифагорын гурвыг үүсгэх энгийн аргыг зохион бүтээжээ.

м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,

Хаана м- хосгүй, м>2. Үнэхээр,

4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4

Үүнтэй төстэй томъёог эртний Грекийн гүн ухаантан Платон санал болгосон:

(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,

Хаана м- дурын тоо. Учир нь м= 2,3,4,5-д дараах гурвалсан тоо үүснэ.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Бидний харж байгаагаар эдгээр томьёо нь бүх боломжит анхдагч гурвалсан тоог өгч чадахгүй.

Дараах олон гишүүнтийг авч үзье, үүнийг олон гишүүнтийн нийлбэр болгон өргөжүүлж болно.

(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .

Тиймээс анхдагч гурвыг олж авах дараах томъёонууд:

а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , в = 2м 2 + 2м + 1.

Эдгээр томьёо нь дундаж тоо нь хамгийн их тооноос яг нэгээр ялгаатай гурвалсан тоонуудыг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл бүх боломжит гурвалсан тоо ч үүсдэггүй. Энд эхний гурвууд нь тэнцүү байна: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Бүх анхдагч гурвалсан төрлийг хэрхэн үүсгэхийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, хэрэв ( a,b,c) нь анхдагч гурвалсан, тэгвэл аТэгээд б, бТэгээд в, АТэгээд в- харьцангуй анхдагч байх ёстой. Болъё аТэгээд бгэж хуваагддаг г. Дараа нь а 2 + б 2 - мөн хуваагдана г. тус тус, в 2 ба в-д хуваагдах ёстой г. Энэ бол анхдагч гурав биш юм.

Хоёрдугаарт, тоонуудын дунд а, бнэг нь хосолсон, нөгөө нь хосгүй байх ёстой. Үнэхээр, хэрэв аТэгээд б- тэгвэл хосолсон -тайхосолсон байх бөгөөд тоонуудыг дор хаяж 2-т хувааж болно. Хэрэв хоёулаа хосгүй бол 2-оор төлөөлж болно. к+1 би 2 л+1, хаана к,л- зарим тоо. Дараа нь а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, өөрөөр хэлбэл, -тай 2, гэх мэт а 2 + б 2-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл гарна.

Болъё -тай- дурын тоо, өөрөөр хэлбэл -тай = 4к+би (би=0,…,3). Дараа нь -тай 2 = (4к+би) 2 нь 0 эсвэл 1 үлдэгдэлтэй ба үлдэгдэл 2 байж болохгүй. аТэгээд бсалгах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 ба хэсгийн үлдсэн хэсэг -тай 2-оос 4 нь 1 байх ёстой, энэ нь гэсэн үг -тайхосгүй байх ёстой.

Пифагорын гурвалсан элементүүдэд тавигдах ийм шаардлагыг дараах тоонууд хангаж байна.

а = 2mn, б = м 2 − n 2 , в = м 2 + n 2 , м > n, (2)

Хаана мТэгээд n- өөр өөр хослолтой харьцангуй гайгүй. Эдгээр хамаарлыг анх 2300 онд амьдарч байсан Евклидийн бүтээлүүдээс олж мэдсэн. буцаж.

(2) хамаарлын үнэн зөвийг баталцгаая. Болъё А- тэгвэл хосолсон бТэгээд в- хосгүй. Дараа нь в + бби в − б- хосолсон. Тэдгээрийг төлөөлж болно в + б = 2уТэгээд в − б = 2v, Хаана у,v- зарим бүхэл тоо. Тийм ч учраас

а 2 = -тай 2 − б 2 = (в + б)(в − б) = 2у·2 v = 4uv

Тиймээс ( а/2) 2 = uv.

Үүний эсрэгээр нотлогдож болно уТэгээд v- харилцан энгийн. Болъё уТэгээд v- хуваагдана г. Дараа нь ( в + б) ба ( в − б) гэж хуваагдана г. Гэх мэт вТэгээд б-д хуваагдах ёстой г, мөн энэ нь Пифагорын гурвалсан нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.

Учир нь uv = (а/2) 2 ба уТэгээд vхарьцангуй өндөр түвшинд байгаа тул үүнийг батлахад хялбар байдаг уТэгээд vзарим тооны квадратууд байх ёстой.

Тиймээс эерэг бүхэл тоонууд байдаг мТэгээд n, ийм у = м 2 ба v = n 2. Дараа нь

А 2 = 4uv = 4м 2 n 2 тийм
А = 2mn; б = у − v = м 2 − n 2 ; в = у + v = м 2 + n 2 .

Учир нь б> 0, тэгвэл м > n.

Үүнийг харуулах л үлдлээ мТэгээд nөөр өөр хослолтой. Хэрэв мТэгээд n- тэгвэл хосолсон уТэгээд vхосолсон байх ёстой, гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь тэдгээр нь харьцангуй сайн байдаг. Хэрэв мТэгээд n- хосгүй, тэгвэл б = м 2 − n 2 ба в = м 2 + n 2-ыг хослуулах болно, энэ нь боломжгүй юм вТэгээд б- харилцан энгийн.

Тиймээс ямар ч анхдагч Пифагорын гурвалсан нөхцөл (2) хангагдсан байх ёстой. Үүний зэрэгцээ тоонууд мТэгээд nгэж нэрлэдэг тоо үүсгэханхдагч гурван ихэрүүд. Жишээлбэл, Пифагорын анхдагч гурвалсан (120,119,169) байцгаая. Энэ тохиолдолд

А= 120 = 2·12·5, б= 119 = 144 − 25, мөн в = 144+25=169,

Хаана м = 12, n= 5 - тоо үүсгэх, 12 > 5; 12 ба 5 нь харилцан анхны бөгөөд өөр хосууд юм.

Үүний эсрэгээр тоонууд нотлогдож болно м, n(2) томъёог ашиглан тэд анхдагч Пифагор гурвалсан (a,b,c) өгдөг. Үнэхээр,

А 2 + б 2 = (2mn) 2 + (м 2 − n 2) 2 = 4м 2 n 2 + (м 4 − 2м 2 n 2 + n 4) =
= (м 4 + 2м 2 n 2 + n 4) = (м 2 + n 2) 2 = в 2 ,

Энэ нь ( а,б,в) нь Пифагорын гурвалсан юм. Энэ тохиолдолд үүнийг нотолж үзье а,б,внь эсрэгээрээ анхны тоонууд юм. Эдгээр тоонууд нь хуваагддаг байг х> 1. Түүнээс хойш мТэгээд nтэгвэл өөр өөр хосууд байна бТэгээд в- хосгүй, өөрөөр хэлбэл х≠ 2. Түүнээс хойш rхуваадаг бТэгээд в, Тэр r 2 хуваах ёстой м 2 ба 2 n 2, гэхдээ энэ боломжгүй, учир нь х≠ 2. Тиймээс м, n- харилцан үндсэн ба а,б,в- бас харьцангуй энгийн.

Хүснэгт 1-д (2)-ын томъёог ашиглан үүсгэсэн бүх анхдагч Пифагор гурвыг харуулав м≤10.

Хүснэгт 1. Анхдагч Пифагорын гурвалсан м≤10

Энэ хүснэгтийн дүн шинжилгээ нь дараахь цуврал хэв маяг байгааг харуулж байна.

• эсвэл а, эсвэл б 3-т хуваагдах;
• тоонуудын нэг а,б,в 5-д хуваагддаг;
• тоо А 4-т хуваагддаг;
• ажил а· б 12-т хуваагддаг.

1971 онд Америкийн математикч Тейган, Хедвин нар гурвалжинг үүсгэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр гэх мэт бага мэддэг параметрүүдийг санал болгосон. h = в− b ба илүүдэл (амжилт) д = а + б − в. Зураг 1-д. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжин дээр харуулав.

Зураг 1. Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний өсөлт ба илүүдэл

"Илүүдэл" гэсэн нэр нь гурвалжны хөлийн дагуу нэг оройноос эсрэг тал хүртэл, хэрэв диагональ дагуу явахгүй бол нэмэлт зайг туулах ёстой гэсэн үгнээс гаралтай.

Пифагорын гурвалжны хажуугийн илүүдэл ба өсөлтийг дараахь байдлаар илэрхийлж болно.

д 2 д 2
а = h + д, б = д + ——, в = h + д + ——, (3)
2h 2h

Бүх хослол биш hТэгээд дПифагорын гурвалжинтай тохирч болно. Өгөгдсөний төлөө hболомжит утгууд дтодорхой тооны бүтээгдэхүүн юм г. Энэ тоо гөсөлтийн нэртэй бөгөөд хамааралтай hдараах байдлаар: гквадрат нь 2-т хуваагддаг хамгийн жижиг эерэг бүхэл тоо юм h. Учир нь долон г, дараа нь гэж бичнэ д = кд, Хаана кэерэг бүхэл тоо юм.

хос ашиглах ( к,h) та бүх Пифагор гурвалжныг, түүний дотор анхдагч бус болон ерөнхий гурвалжингуудыг дараах байдлаар үүсгэж болно.

(dk) 2 (dk) 2
а = h + dk, б = dk + ——, в = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Түүнээс гадна хэрэв гурвалсан бол команд юм кТэгээд hхарьцангуй анхдагч ба хэрэв h =± q 2 цагт q- хосгүй.
Түүнээс гадна, хэрэв энэ нь яг Пифагорын гурвалсан байх болно к> √2· h/гТэгээд h > 0.

олохын тулд кТэгээд h-аас ( а,б,в), дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.

• h = в − б;
• бичих hЯаж h = pq 2 хаана х> 0 ба дөрвөлжин биш;
• г = 2pqХэрэв х- хосгүй ба г = pq, хэрэв p хосолсон бол;
• к = (а − h)/г.

Жишээлбэл, гурвалсан (8,15,17) хувьд бидэнд байна h= 17−15 = 2 1, тэгэхээр х= 2 ба q = 1, г= 2, ба к= (8 − 2)/2 = 3. Тэгэхээр энэ гурвалсан тоог ( к,h) = (3,2).

Гурвалсан (459,1260,1341) бидэнд байна h= 1341 − 1260 = 81, тэгэхээр х = 1, q= 9 ба г= 18, эндээс к= (459 − 81)/18 = 21 тул энэ гурвалсан код нь ( к,h) = (21, 81).

Гурвалсан хүүхдийг тохируулах hТэгээд кхэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Параметр ктэнцүү байна

к = 4С/(dP), (5)

Хаана С = ab/2 нь гурвалжны талбай, ба П = а + б + в- түүний периметр. Энэ нь тэгш байдлаас үүдэлтэй eP = 4С, энэ нь Пифагорын теоремоос үүдэлтэй.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дгурвалжинд сийлсэн тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь гипотенузаас үүдэлтэй -тай = (А − r)+(б − r) = а + б − 2r, Хаана r- тойргийн радиус. Эндээс h = в − б = А − 2rТэгээд д = а − h = 2r.

Учир нь h> 0 ба к > 0, кгурвалсаны дарааллын тоо юм а-б-внэмэгдэж байгаа Пифагор гурвалжны дарааллаар h. Хосоор үүсгэгдсэн гурвалсан хүүхдийн хэд хэдэн сонголтыг харуулсан Хүснэгт 2-оос h, к, нэмэгдэж байгаа нь тодорхой байна кгурвалжны талуудын хэмжээ нэмэгддэг. Тиймээс сонгодог дугаарлалтаас ялгаатай нь хосоор дугаарлах h, кгурвалсан дарааллаар илүү их дараалалтай байна.

Хүснэгт 2. h, k хосоор үүсгэгдсэн Пифагорын гурвалсан.

Учир нь h > 0, г 2√ тэгш бус байдлыг хангана h ≤ г ≤ 2h, доод хязгаарт хүрсэн байна х= 1, хамгийн дээд нь - at q= 1. Тиймээс утга г 2√-тай харьцуулахад hгэдэг нь хичнээн тооны тоог илэрхийлдэг хэмжүүр юм hтодорхой тооны квадратаас алслагдсан.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Eq. x 2 + y 2 = z 2 нэгэн төрлийн, үржүүлэхэд x , yТэгээд zижил тооны хувьд та өөр Пифагор гурвалсан болно. Пифагорын гурвалсан гэж нэрлэдэг анхдагч, хэрэв үүнийг ийм аргаар олж авах боломжгүй бол, өөрөөр хэлбэл, анхны тоонууд.

Жишээ

Зарим Пифагор гурвалсан (хамгийн их тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлсэн, анхдагчуудыг тодруулсан):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Фибоначчийн тоонуудын шинж чанарт үндэслэн, жишээлбэл, дараах Пифагорын гурвалсан тоонуудыг зохиож болно.

Өгүүллэг

Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийг маш удаан хугацаанд мэддэг байсан. Эртний Месопотамийн булшны чулууны архитектурт 9, 12, 15 тохой талуудтай хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас бүрдсэн ижил өнцөгт гурвалжин олддог. Фараон Снофругийн пирамидуудыг (МЭӨ XXVII зуун) 20, 21, 29 талтай гурвалжин, түүнчлэн 18, 24, 30 арван Египет тохой бүхий гурвалжин ашиглан барьсан.

Мөн үзнэ үү

Холбоосууд

• Е.А.ГоринПифагорын гурвалсан анхны тоонуудын зэрэглэл // Математикийн боловсрол. - 2008. - V. 12. - P. 105-125.

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичгүүдэд "Пифагорын тоо" гэж юу болохыг хараарай. Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5...

Том нэвтэрхий толь бичиг Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурав дахин, жишээ нь: 3, 4, 5 тоонуудын гурав дахин. тэр ......

Нэвтэрхий толь бичиг

Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Пифагорын теоремтой эсрэг тэсрэг теоремын дагуу (Пифагорын теоремыг үзнэ үү) үүнд хангалттай ... ... x2+y 2=z2 тэгшитгэлийг хангах x, y, z эерэг бүхэл тоонуудын гурвалсан тоо. Энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд, тиймээс бүх хэсэгчилсэн тоонууд нь x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 томъёогоор илэрхийлэгдэх ба энд a ба b нь дурын эерэг бүхэл тоо (a>b). P.h...

Математик нэвтэрхий толь бичиг Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5...

Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн хувьд Пифагорын тоонууд (Пифагорын гурвалсан) нь Пифагорын харьцааг хангадаг гурван бүхэл тоонуудын багц юм: x2 + y2 = z2. Агуулга 1 Properties 2 Жишээ ... Википедиа

Дүрслэгдсэн тоонууд нь тодорхой геометрийн дүрстэй холбоотой тоонуудын ерөнхий нэр юм. Энэхүү түүхэн үзэл баримтлал нь Пифагорчуудын үеэс эхтэй. Дараах төрлийн дүрстэй тоонуудыг ялгадаг: Шугаман тоонууд нь үржвэрлэх боломжгүй тоонууд, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн... ... Википедиа

- "Пи парадокс" бол 80-аад он хүртэл оюутнуудын дунд эргэлдэж байсан (үнэндээ микро тооцоолуурын массын тархалтаас өмнө) математикийн сэдвээр онигоо бөгөөд тригонометрийн функц, ..-ийн тооцооллын нарийвчлал хязгаарлагдмал холбоотой байв. . ... Википедиа

- (Грек арифметика, arithmys тоо гэсэн үг) тооны шинжлэх ухаан, үндсэндээ натурал (эерэг бүхэл тоо) тоо ба (рационал) бутархай, тэдгээрийн үйлдлүүдийн тухай. Натурал тооны тухай хангалттай хөгжсөн ойлголт, чадвартай байх....... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Архимед Зун буюу Залуу математикчдын хамтын нөхөрлөлийн түүх. Хоёртын тооллын систем, Бобров Сергей Павлович. Хоёртын тооллын систем, Ханойн цамхаг, баатар нүүдэл, шидэт квадратууд, арифметик гурвалжин, дүрст тоо, хослолууд, магадлалын тухай ойлголт, Мобиусын зурвас, Клейн сав.…

Диофантины тэгшитгэлийн чухал жишээг Пифагорын теоремоор өгсөн бөгөөд энэ нь тэгш өнцөгт гурвалжны хөлүүдийн x ба y уртыг түүний гипотенузын z урттай холбодог.

Мэдээжийн хэрэг та натурал тоон дээрх тэгшитгэлийн гайхалтай шийдлүүдийн нэг болох Пифагорын тооны гурвалсан тоог олж мэдсэн. x = 3, y = 4, z = 5.Өөр ийм гурван ихэр бий юу?

Эндээс харахад Пифагорын гурвалсан тоо хязгааргүй олон байдаг бөгөөд тэдгээр нь бүгд эрт дээр үеэс олдсон байдаг. Тэдгээрийг сайн мэддэг томъёог ашиглан олж авах боломжтой бөгөөд та энэ догол мөрөөс олж мэдэх болно.

Хэрэв эхний ба хоёрдугаар зэргийн диофантийн тэгшитгэлүүд аль хэдийн шийдэгдсэн бол хамгийн том математикчдын хүчин чармайлтыг үл харгалзан дээд зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх асуудал нээлттэй хэвээр байна. Одоогийн байдлаар, жишээлбэл, Фермагийн алдартай таамаглал нь бүхэл тоон утгын хувьд хараахан батлагдаагүй эсвэл үгүйсгэгдээгүй байна. n2тэгшитгэл

бүхэл тоонд шийдэл байхгүй.

Зарим төрлийн диофантийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зориулагдсан нийлмэл тоо.Энэ юу вэ? Нөхцөлийг хангасан тодорхой объектыг i үсэг гэж тэмдэглэе i 2 = -1(энэ нөхцөлийг нэг ч бодит тоо хангахгүй нь тодорхой байна). Маягтын илэрхийлэлийг анхаарч үзээрэй α + iβ,Энд α ба β нь бодит тоо юм. Бид ийм илэрхийлэлийг цогцолбор тоо гэж нэрлэх бөгөөд тэдгээрт нэмэх, үржүүлэх үйлдлүүд, түүнчлэн хоёр тоот тоонууд дээр тодорхойлогддог, гэхдээ илэрхийлэл нь цорын ганц ялгаа нь юм. би 2Бид хаа сайгүй -1 тоог орлуулах болно.

7.1. Нэг гурав хэтэрхий их байна

Үүнийг нотлох x 0 , y 0 , z 0- Пифагорын гурвалсан, дараа нь гурав дахин нэмэгддэг y 0 , x 0 , z 0Тэгээд x 0 k, y 0 k, z 0 kбайгалийн параметрийн аль ч утгын хувьд k нь мөн Пифагор байна.

7.2. Тусгай томъёо

Байгалийн үнэт зүйл байгаа эсэхийг шалгаарай m>nгурвалсан төрөл

Пифагор хүн юм. Аливаа Пифагорын гурвалсан x, y, zХэрэв бид гурвалсан дахь x ба y тоонуудыг солихыг зөвшөөрвөл үүнийг энэ хэлбэрээр дүрсэлж чадах уу?

7.3. Буурах боломжгүй гурвалсан

Нийтийн хуваагч нь 1-ээс ихгүй Пифагорын гурвалсан тоог бууруулж болохгүй гэж нэрлэнэ. Пифагорын гурвалсан тоонуудын аль нэг хоёр нь давхар анхны тоо байвал л бууруулж болохгүй гэдгийг батал.

7.4. Буурах боломжгүй гурвалсан шинж чанар

Ямар ч бууруулж болохгүй Пифагор гурвалсан x, y, z-д z тоо ба x, y тоонуудын яг нэг нь сондгой байдгийг батал.

7.5. Бүх бууруулж болохгүй гурвалсан

Эхний хоёр тооны дараалал хүртэлх гурвалсантай давхцаж байгаа тохиолдолд x, y, z тоонуудын гурвалсан нь үл буурах Пифагорын гурвалсан гэдгийг батал. 2mn, м 2 - n 2, м 2 + n 2,Хаана m>n- өөр өөр паритеттай харилцан анхны натурал тоонууд.

7.6. Ерөнхий томъёо

Тэгшитгэлийн бүх шийдэл гэдгийг батал

натурал тоонуудын хувьд үл мэдэгдэх х ба у-ын дарааллаар томъёогоор өгөгдсөн

Энд m>n ба k нь байгалийн параметрүүд (ямар нэг гурвалсан давхардлыг арилгахын тулд coprime төрлийн тоонуудыг сонгоход хангалттай бөгөөд үүнээс гадна өөр өөр паритет).

7.7. Эхний 10 гурвалсан

Пифагорын бүх гурвыг олоорой x, y, z,нөхцөлийг хангаж байна x

7.8. Пифагорын гурвалсан шинж чанарууд

Үүнийг ямар ч Пифагор гурвалсанд нотол x, y, zдараах мэдэгдэл үнэн байна:

a) x эсвэл y тоонуудын ядаж нэг нь 3-ын үржвэр;

б) x эсвэл y тоонуудын ядаж нэг нь 4-ийн үржвэр;

в) x, y эсвэл z тоонуудын ядаж нэг нь 5-ын үржвэр юм.

7.9. Комплекс тоонуудын хэрэглээ

Комплекс тооны модуль α + iβсөрөг бус тоо гэж нэрлэдэг

Ямар нэг комплекс тоо байгаа эсэхийг шалгана уу α + iβТэгээд γ + iδэд хөрөнгө сэтгэл хангалуун байна

Комплекс тоонуудын шинж чанар ба тэдгээрийн модулиудыг ашиглан дурын хоёр бүхэл тоо m ба n тэгш байдлыг хангадаг болохыг батал.

өөрөөр хэлбэл тэд тэгшитгэлийн шийдлийг зааж өгдөг

бүхэл тоо (7.5-р бодлоготой харьцуулах).

7.10. Пифагорын бус гурвалсан

Комплекс тоо болон тэдгээрийн модулиудын шинж чанарыг ашиглан (Бодлого 7.9-ийг үз) тэгшитгэлийн бүхэл тоон шийдүүдийн томъёог ол.

a) x 2 + y 2 = z 3; b) x 2 + y 2 = z 4.

Шийдэл

7.1. Хэрэв x 0 2 + y 0 2 = z 0 2,Тэр y 0 2 + x 0 2 = z 0 2,мөн k-ийн аливаа байгалийн утгын хувьд бидэнд байна

Q.E.D.

7.2. Тэнцүү байдлаас

асуудалд заасан гурвалсан нь тэгшитгэлийг хангаж байна гэж бид дүгнэж байна x 2 + y 2 = z 2натурал тоогоор. Гэсэн хэдий ч, Пифагорын гурвалсан бүр биш x, y, zэнэ хэлбэрээр төлөөлж болно; жишээлбэл, 9, 12, 15 гурвалсан нь Пифагорынх боловч 15-ын тоог аль ч хоёр натурал m ба n тооны квадратуудын нийлбэрээр илэрхийлж болохгүй.

7.3. Хэрэв Пифагорын гурвалсан тооноос хоёр тоо гарвал x, y, zнийтлэг хуваагч d байвал энэ нь гурав дахь тооны хуваагч байх болно (тийм тохиолдолд x = x 1 d, y = y 1 dбидэнд байгаа z 2 = x 2 + y 2 = (x 1 2 + y 1 2)d 2 ,эндээс z 2 нь d 2-т, z нь d-д хуваагддаг). Иймд Пифагорын гурвалсан тоог бууруулж болохгүй байхын тулд гурвалсан гурвалсан тоонуудын аль нэг нь давхар анхны байх шаардлагатай.

7.4. Пифагор гурвалсан тоонуудын нэг нь x эсвэл y, тухайлбал x гэж хэлье. x, y, zТэгэхгүй бол x ба y тоонууд харьцангуй анхны биш байх байсан тул сондгой байна (Бодлого 7.3-ыг үз). Хэрэв нөгөө y тоо мөн сондгой байвал хоёулаа тоо

4-т хуваахад 1-ийн үлдэгдэл үлдээдэг ба тоо z 2 = x 2 + y 2 4-т хуваагдах үед 2-ын үлдэгдлийг өгдөг, өөрөөр хэлбэл 2-т хуваагддаг, гэхдээ 4-т хуваагддаггүй, энэ нь байж болохгүй. Тиймээс y тоо тэгш байх ёстой бөгөөд z тоо сондгой байх ёстой.

7.5. Пифагорыг гурав дахин нэмэгдүүлээрэй x, y, zнь бууруулж болохгүй бөгөөд тодорхой байхын тулд x тоо тэгш, y, z тоонууд сондгой (Бодлого 7.4-ийг үз). Дараа нь

тоонууд хаана байна бүтэн байна. a ба b тоонууд хос анхны тоо гэдгийг баталцгаая. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв тэдгээр нь 1-ээс их нийтлэг хуваагчтай байсан бол тоонууд ижил хуваагчтай байх болно. z = a + b, y = a - b,өөрөөр хэлбэл, гурвалсан нь үл буурахгүй байх болно (Бодлого 7.3-ыг үзнэ үү). Одоо a ба b тоог анхны хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүн болгон өргөжүүлбэл аливаа анхны хүчин зүйлийг бүтээгдэхүүнд оруулах ёстойг бид анзаарч байна. 4ab = x 2зөвхөн тэгш хэмтэй байх ба хэрэв энэ нь а тооны тэлэлтэнд орсон бол b тооны тэлэлтэнд орохгүй ба эсрэгээр. Иймээс аливаа анхны хүчин зүйл нь a эсвэл b тоог зөвхөн тэгш хэмжээнд хүртэл тэлэхэд ордог бөгөөд энэ нь эдгээр тоо нь өөрөө бүхэл тоонуудын квадрат гэсэн үг юм. тавья Дараа нь бид тэгш байдлыг олж авна

цаашилбал m>n натурал параметрүүд нь хоёрдогч (a ба b тоонуудын нэгдмэл байдлаас шалтгаалж), өөр өөр паритеттай (тооны сондгой байдлаас шалтгаална). z = m 2 + n 2).

Одоо өөр өөр паритетийн m>n натурал тоонуудыг давхар анхны тоо болгоё. Дараа нь гурав x = 2mn, y = m 2 - n 2, z = m 2 + n 2, Асуудлын 7.2-ын мэдэгдлийн дагуу Пифагорынх юм. Үүнийг бууруулж боломгүй гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд y ба z тоонууд нийтлэг хуваагчгүй эсэхийг шалгахад хангалттай (Бодлого 7.3-ыг үз). Үнэн хэрэгтээ, эдгээр тоо хоёулаа сондгой, учир нь төрлийн тоонууд өөр өөр париттай байдаг. Хэрэв y ба z тоонууд нь энгийн нийтлэг хуваагчтай бол (тэгвэл энэ нь сондгой байх ёстой) тоо тус бүр, тэдгээрийн хамт m ба n тоо тус бүр ижил хуваагчтай байх нь тэдний харилцан энгийн байдалтай зөрчилддөг.

7.6. Бодлого 7.1, 7.2-т томъёологдсон мэдэгдлүүдийн ачаар эдгээр томьёо нь зөвхөн Пифагорын гурвалсан утгыг тодорхойлдог. Нөгөө талаас, ямар ч Пифагорын гурвалсан x, y, zХамгийн их нийтлэг хуваагч k-ээр бууруулсны дараа x ба y тоон хосууд үл буурах (Бодлого 7.3-ыг үзнэ үү) ба иймээс x ба y тоонуудын дараалал хүртэл Бодлого 7.5-д заасан хэлбэрээр дүрсэлж болно. . Тиймээс ямар ч Пифагорын гурвалсан үзүүлэлтүүдийг тодорхой утгын хувьд заасан томъёогоор өгдөг.

7.7. Тэгш бус байдлаас z ба Бодлого 7.6-ийн томьёогоор бид тооцооллыг олж авна м 2 өөрөөр хэлбэл. m≤5. Итгэж байна m = 2, n = 1Тэгээд k = 1, 2, 3, 4, 5,Бид гурвыг авдаг 3, 4, 5; 6, 8, 10; 9, 12, 15; 12,16,20; 15, 20, 25. Итгэж байна m = 3, n = 2Тэгээд k = 1, 2,Бид гурвыг авдаг 5, 12, 13; 10, 24, 26. Итгэж байна m = 4, n = 1, 3Тэгээд k = 1,Бид гурвыг авдаг 8, 15, 17; 7, 24, 25. Эцэст нь итгэх m = 5, n = 2Тэгээд k = 1,Бид гурав авдаг 20, 21, 29.

» Уорвикийн их сургуулийн математикийн гавьяат профессор, шинжлэх ухааныг алдаршуулагч Иан Стюарт хүн төрөлхтний түүхэн дэх тоонуудын гүйцэтгэх үүрэг, бидний цаг үед тэдгээрийг судлах ач холбогдлын талаар бичсэн.

Пифагорын гипотенуз

Пифагорын гурвалжин нь тэгш өнцөгт, бүхэл талтай. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь хамгийн урт тал нь 5, бусад нь - 3 ба 4. Нийтдээ 5 энгийн полиэдр байдаг. Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлийг тав дахь үндэс эсвэл бусад язгуур ашиглан шийдвэрлэх боломжгүй. Хавтгай болон гурван хэмжээст орон зай дахь тор нь таван дэлбээнтэй эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй тул талстуудад ийм тэгш хэм байдаггүй. Гэсэн хэдий ч тэдгээрийг дөрвөн хэмжээст торонд, квазикристал гэж нэрлэгддэг сонирхолтой бүтцүүдээс олж болно.

Пифагорын хамгийн жижиг гурвалсан гипотенуз

Пифагорын теорем нь тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал (муу нэртэй гипотенуз) нь энэ гурвалжны бусад хоёр талтай маш энгийн бөгөөд үзэсгэлэнтэй холбоотой байдаг: гипотенузын квадрат нь гурвалжны квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна. бусад хоёр тал.

Уламжлал ёсоор бид энэ теоремыг Пифагорын нэрээр нэрлэдэг боловч үнэн хэрэгтээ түүний түүх нэлээд бүрхэг байдаг. Шавар шахмалууд нь эртний Вавилончууд Пифагорын теоремыг Пифагороос хамаагүй өмнө мэддэг байсан гэж үздэг; Илчлэгчийн алдар нэрийг түүнд Пифагорчуудын математикийн шүтлэг авчирсан бөгөөд тэдний дэмжигчид орчлон ертөнц тоон хуулиуд дээр суурилдаг гэж үздэг байв. Эртний зохиолчид янз бүрийн математикийн теоремуудыг Пифагорчуудад, тиймээс Пифагортой холбодог байсан боловч үнэндээ Пифагор өөрөө ямар математикийн чиглэлээр ажилладаг байсныг бид мэдэхгүй. Пифагорчууд Пифагорын теоремыг баталж чадсан уу, эсвэл зүгээр л үнэн гэж итгэсэн үү гэдгийг бид мэдэхгүй. Эсвэл тэдний үнэнийг батлах нотолгоо байсан ч өнөөдрийн бидний үзэж байгаа нотлох баримтад хангалтгүй байх магадлалтай.

Пифагорын нотолгоо

Пифагорын теоремын мэдэгдэж буй анхны нотолгоог Евклидийн элементүүдээс олж болно. Энэ бол Викторийн сургуулийн сурагчид "Пифагорын өмд" гэж шууд таних зургийг ашиглах нэлээд төвөгтэй нотолгоо юм; Энэ зураг үнэхээр шугаман дээр хатаж буй дотуур өмдтэй төстэй юм. Өөр олон зуун нотлох баримтууд байдаг бөгөөд тэдгээрийн ихэнх нь нотолгоог илүү тодорхой болгодог.

// будаа. 33. Пифагорын өмд

Хамгийн энгийн нотолгооны нэг бол нэг төрлийн математикийн оньсого юм. Ямар ч тэгш өнцөгт гурвалжинг аваад дөрвөн хуулбарыг хийж, дөрвөлжин дотор угсарна. Нэг зохион байгуулалтанд бид гипотенуз дээрх квадратыг харж байна; нөгөөтэй нь - гурвалжны нөгөө хоёр тал дээрх квадратууд. Хоёр тохиолдолд талбайнууд тэнцүү байх нь тодорхой байна.

// будаа. 34. Зүүн талд: гипотенуз дээрх дөрвөлжин (нэмэх дөрвөн гурвалжин). Баруун талд: нөгөө хоёр талын квадратуудын нийлбэр (ижил дөрвөн гурвалжинг нэмсэн). Одоо гурвалжинг арилга

Перигалийн задрал нь бас нэг оньсого нотолгоо юм.

// будаа. 35. Перигалийн задрал

Хавтгай дээрх квадратуудыг цэгцлэх теоремийн баталгаа бас бий. Пифагорчууд эсвэл тэдний үл мэдэгдэх өмнөх хүмүүс энэ теоремыг ингэж нээсэн байх. Хэрэв та хазайсан дөрвөлжин нь бусад хоёр квадраттай хэрхэн давхцаж байгааг харвал том дөрвөлжин хэсгийг хэсэг болгон хувааж, дараа нь хоёр жижиг дөрвөлжин болгон нэгтгэхийг харж болно. Та мөн тэгш өнцөгт гурвалжинг харж болно, тэдгээрийн талууд нь оролцсон гурван квадратын хэмжээсийг өгдөг.

// будаа. 36. Хучилтаар нотлох

Тригонометрт ижил төстэй гурвалжинг ашигласан сонирхолтой нотолгоонууд байдаг. Наад зах нь тавин өөр нотолгоо мэдэгдэж байна.

Пифагорын гурав дахин

Тооны онолын хувьд Пифагорын теорем нь алгебрийн тэгшитгэлийн бүхэл тооны шийдлийг олох гэсэн үр дүнтэй санааны эх сурвалж болсон. Пифагорын гурвалсан нь a, b, c бүхэл тоонуудын багц юм

Геометрийн хувьд ийм гурвалж нь бүхэл талтай тэгш өнцөгт гурвалжинг тодорхойлдог.

Пифагор гурвын хамгийн бага гипотенуз нь 5 байна.

Энэ гурвалжны нөгөө хоёр тал нь 3 ба 4. Энд

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.

Дараагийн хамгийн том гипотенуз нь 10, учир нь

62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.

Гэсэн хэдий ч энэ нь үндсэндээ хоёр талтай ижил гурвалжин юм. Дараагийн хамгийн том бөгөөд үнэхээр ялгаатай гипотенуз бол 13 бөгөөд үүний төлөө

52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.

Евклид Пифагорын гурван ихэрүүдийн хязгааргүй олон янзын хувилбар байдгийг мэдэж байсан бөгөөд тэр бүгдийг олох томьёог өгсөн. Хожим нь Александрийн Диофант Евклидийнхтэй ижил төстэй энгийн жор санал болгов.

Дурын хоёр натурал тоог аваад тооцоол:

тэдгээрийн давхар бүтээгдэхүүн;

тэдгээрийн квадратуудын ялгаа;

тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр.

Гарсан гурван тоо нь Пифагорын гурвалжны талууд болно.

Жишээ нь 2 ба 1 тоонуудыг авч үзье. Тооцоолъё:

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 2 × 1 = 4;

квадратуудын ялгаа: 22 - 12 = 3;

квадратуудын нийлбэр: 22 + 12 = 5,

Тэгээд бид алдартай 3-4-5 гурвалжинг авсан. Хэрэв бид 3 ба 2-ын тоог авбал бид дараахь зүйлийг авна.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 3 × 2 = 12;

квадратуудын ялгаа: 32 - 22 = 5;

квадратуудын нийлбэр: 32 + 22 = 13,

Тэгээд бид дараагийн хамгийн алдартай гурвалжин болох 5 - 12 - 13-ыг авна. 42 ба 23 тоонуудыг авч үзье.

давхар бүтээгдэхүүн: 2 × 42 × 23 = 1932;

квадратуудын ялгаа: 422 - 232 = 1235;

квадратуудын нийлбэр: 422 + 232 = 2293,

1235-1932-2293 гурвалжингийн талаар хэн ч сонсож байгаагүй.

Гэхдээ эдгээр тоонууд бас ажилладаг:

12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.

Диофантийн дүрмийн өөр нэг шинж чанар нь аль хэдийн дурдсан байдаг: гурван тоог хүлээн авсны дараа бид өөр дурын тоог авч, бүгдийг нь үржүүлж болно. Тиймээс 3-4-5 гурвалжинг бүх талыг 2-оор үржүүлбэл 6-8-10 гурвалжин, бүгдийг нь 5-аар үржүүлбэл 15-20-25 гурвалжин болгож болно.

Хэрэв бид алгебрийн хэл рүү шилжвэл дүрэм дараах хэлбэрийг авна: u, v, k натурал тоонууд байг. Дараа нь талуудтай тэгш өнцөгт гурвалжин

2kuv ба k (u2 - v2) нь гипотенузтай

Үндсэн санааг илэрхийлэх өөр аргууд байдаг боловч бүгд дээр дурдсан нэгдлүүдийг нэгтгэдэг. Энэ арга нь бүх Пифагорын гурвыг олж авах боломжийг олгодог.

Ердийн олон талт

Яг таван ердийн олон өнцөгт байдаг. Ердийн олон өнцөгт (эсвэл полиэдрон) нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай нүүртэй гурван хэмжээст дүрс юм. Нүүр нь ирмэг гэж нэрлэгддэг шугамууд дээр бие биентэйгээ уулздаг; ирмэгүүд нь орой гэж нэрлэгддэг цэгүүдэд нийлдэг.

Евклидийн Принсипийн оргил нь зөвхөн таван энгийн олон талт, өөрөөр хэлбэл нүүр бүр нь ердийн олон өнцөгт (тэнцүү талууд, тэгш өнцөгтүүд), бүх нүүр нь ижил, бүх оройнууд нь тэгш өнцөгтүүдээр хүрээлэгдсэн олон өнцөгтүүд байж болдгийн баталгаа юм. ижил зайтай нүүрний тоо. Энд таван энгийн олон өнцөгтүүд байна:

дөрвөн гурвалжин нүүр, дөрвөн орой, зургаан ирмэг бүхий тетраэдр;

шоо, эсвэл зургаан өнцөгт, 6 дөрвөлжин нүүр, 8 орой, 12 ирмэг;

8 гурвалжин нүүр, 6 орой, 12 ирмэг бүхий октаэдр;

12 таван өнцөгт нүүр, 20 орой, 30 ирмэг бүхий додекаэдр;

20 гурвалжин нүүр, 12 орой, 30 ирмэг бүхий икосаэдр.

// будаа. 37. Таван ердийн олон талт

Ердийн олон талтуудыг байгальд ч олж болно. 1904 онд Эрнст Геккель радиоляр гэж нэрлэгддэг жижиг биетүүдийн зургийг нийтэлсэн; Тэдний олонх нь ижил таван энгийн олон талт хэлбэртэй байдаг. Гэсэн хэдий ч тэрээр байгалийг бага зэрэг засч залруулсан байж магадгүй бөгөөд зураг нь тодорхой амьд биетүүдийн хэлбэрийг бүрэн тусгадаггүй. Эхний гурван бүтэц нь талстуудад бас ажиглагддаг. Талстуудаас та додекаэдр ба икосаэдрүүдийг олохгүй, гэхдээ заримдаа жигд бус додекаэдр болон икосахэдрүүд байдаг. Жинхэнэ додекаэдрүүд нь бараг талст хэлбэртэй байж болох бөгөөд тэдгээр нь атомууд нь үечилсэн тор үүсгэдэггүйг эс тооцвол талстуудтай бүх талаараа төстэй байдаг.

// будаа. 38. Геккелийн зургууд: ердийн олон талт хэлбэртэй радиолярчууд

// будаа. 39. Тогтмол олон талтуудын хөгжил

Эхлээд хоорондоо холбогдсон нүүрний багцыг хайчилж аваад цаасан дээрээс ердийн олон өнцөгтийн загварыг хийх нь сонирхолтой байж болох юм - үүнийг олон өнцөгт хөгжүүлэх гэж нэрлэдэг; хөгжил нь ирмэгийн дагуу нугалж, холбогдох ирмэгийг наасан байна. Зурагт үзүүлсэн шиг ийм хос бүрийн хавирга дээр нэмэлт цавуу нэмэх нь ашигтай байдаг. 39. Хэрэв тийм газар байхгүй бол та наалдамхай туузыг ашиглаж болно.

Тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл

5-р зэргийн тэгшитгэлийг шийдэх алгебрийн томъёо байхгүй.

Ерөнхийдөө тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.

ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f = 0.

Асуудал нь ийм тэгшитгэлийн шийдлийн томъёог олох явдал юм (энэ нь тав хүртэлх шийдэлтэй байж болно). Квадрат ба куб тэгшитгэл, дөрөв дэх зэрэглэлийн тэгшитгэлийн туршлагаас харахад тав дахь зэрэглэлийн тэгшитгэлд ийм томъёо байх ёстой бөгөөд онолын хувьд тав, гурав, хоёрдугаар зэргийн үндэс гарч ирэх ёстой. Дахин хэлэхэд, хэрэв ийм томьёо байгаа бол маш нарийн төвөгтэй байх болно гэж бид итгэлтэйгээр хэлж чадна.

Энэ таамаг нь эцэстээ буруу болж хувирав. Үнэндээ ийм томъёо байхгүй; наад зах нь нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, үндсийг авах замаар хийсэн a, b, c, d, e, f коэффициентуудаас бүрдэх томьёо байхгүй. Тиймээс 5-ын тоонд маш онцгой зүйл бий. Таван хүний ​​энэ ер бусын зан үйлийн шалтгаан нь маш гүн бөгөөд тэдгээрийг ойлгоход маш их цаг зарцуулсан.

Математикчид ийм томьёог олох гэж хичнээн хичээсэн ч, хичнээн ухаантай байсан ч ямагт бүтэлгүйтдэг нь асуудлын эхний шинж тэмдэг байв. Хэсэг хугацааны турш хүн бүр шалтгаан нь томъёоны гайхалтай нарийн төвөгтэй байдалд оршдог гэдэгт итгэдэг байв. Энэ алгебрийг хэн ч зөв ойлгож чадахгүй гэж үздэг байсан. Гэсэн хэдий ч цаг хугацаа өнгөрөхөд зарим математикчид ийм томьёо байдаг гэдэгт эргэлзэж эхэлсэн бөгөөд 1823 онд Нилс Хендрик Абел эсрэгээр нь баталж чадсан юм. Ийм томъёо байхгүй. Үүнээс хойш удалгүй Эваристе Галуа нэг буюу өөр зэрэглэлийн тэгшитгэлийг (5, 6, 7, аль ч төрлийн) ийм томьёо ашиглан шийдвэрлэх боломжтой эсэхийг тодорхойлох аргыг олсон.

Энэ бүхнээс дүгнэлт нь энгийн: 5-ын тоо онцгой юм. Та 1, 2, 3, 4-р зэрэглэлийн хувьд алгебрийн тэгшитгэлийг (n-ийн өөр утгуудын хувьд n-р үндэс ашиглан) шийдэж болно, харин 5-р зэрэглэлийн хувьд биш. Эндээс илэрхий загвар дуусна.

5-аас дээш зэрэгтэй тэгшитгэлүүд бүр ч муу ажиллаж байгаад хэн ч гайхдаггүй; ялангуяа ижил хүндрэл нь тэдэнтэй холбоотой байдаг: тэдгээрийг шийдвэрлэх ерөнхий томъёо байдаггүй. Энэ нь тэгшитгэлд шийдэл байхгүй гэсэн үг биш юм; Энэ нь эдгээр шийдлүүдийн хувьд маш нарийн тоон утгыг олох боломжгүй гэсэн үг биш юм. Энэ нь уламжлалт алгебрийн хэрэгслүүдийн хязгаарлалтын тухай юм. Энэ нь захирагч, луужин ашиглан өнцгийг гурвалсан огтлох боломжгүйг санагдуулдаг. Хариулт байгаа боловч жагсаасан аргууд нь хангалтгүй бөгөөд энэ нь юу болохыг тодорхойлох боломжийг бидэнд олгодоггүй.

Кристаллографийн хязгаарлалт

Хоёр ба гурван хэмжээст талстууд нь 5 цацрагийн эргэлтийн тэгш хэмтэй байдаггүй.

Кристал дахь атомууд нь тор үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл бие даасан хэд хэдэн чиглэлд үе үе давтагддаг бүтэц юм. Жишээлбэл, ханын цаасны хэв маяг нь өнхрөх уртын дагуу давтагддаг; Үүнээс гадна, энэ нь ихэвчлэн хэвтээ чиглэлд давтагддаг, заримдаа ханын цаасны нэг хэсгээс нөгөө рүү шилждэг. Үндсэндээ ханын цаас нь хоёр хэмжээст болор юм.

Онгоцонд 17 төрлийн ханын цаасны загвар байдаг (17-р бүлгийг үзнэ үү). Тэдгээр нь тэгш хэмийн төрлөөр ялгаатай байдаг, өөрөөр хэлбэл хэв маягийг анхны байрлалдаа яг өөр дээрээ байрлуулахаар хатуу хөдөлгөх арга замаар ялгаатай байдаг. Тэгш хэмийн төрлүүд нь, ялангуяа эргэлтийн тэгш хэмийн янз бүрийн хувилбаруудыг агуулдаг бөгөөд хэв маягийг тодорхой цэгийн эргэн тойронд тодорхой өнцгөөр эргүүлэх ёстой - тэгш хэмийн төв.

Эргэлтийн тэгш хэмийн дараалал нь хэв маягийн бүх нарийн ширийн зүйлс анхны байрлалдаа буцаж очихын тулд биеийг бүтэн тойрог хэлбэрээр хэдэн удаа эргүүлж болохыг хэлнэ. Жишээлбэл, 90° эргүүлэх нь 4-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм юм*. Кристал тор дахь эргэлтийн тэгш хэмийн боломжит төрлүүдийн жагсаалт нь 5-ын тооны ер бусын байдлыг дахин харуулж байна: тэнд байхгүй. 2, 3, 4, 6-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэмтэй сонголтууд байдаг боловч ямар ч ханын цаасны 5-р эрэмбийн тэгш хэмтэй байдаггүй. 6-аас дээш эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм нь талстуудад байдаггүй, гэхдээ дарааллын эхний зөрчил 5-р тоонд тохиолддог.

Гурван хэмжээст орон зай дахь талстографийн системд ижил зүйл тохиолддог. Энд тор нь бие даасан гурван чиглэлд давтагдана. 219 өөр төрлийн тэгш хэм байдаг, эсвэл дизайны толин тусгал дүрсийг тусдаа хувилбар гэж үзвэл 230 байдаг - энэ тохиолдолд толин тусгал тэгш хэм байхгүй ч гэсэн. Дахин хэлэхэд 2, 3, 4, 6-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм ажиглагдаж байгаа боловч 5 биш. Энэ баримтыг кристаллографийн хязгаарлалт гэж нэрлэдэг.

Дөрвөн хэмжээст орон зайд 5-р дарааллын тэгш хэмтэй торууд байдаг; Ерөнхийдөө хангалттай өндөр хэмжээтэй торны хувьд эргэлтийн тэгш хэмийн урьдчилан тодорхойлсон дарааллыг хийх боломжтой.

// будаа. 40. Хоолны давсны болор тор. Харанхуй бөмбөлөг нь натрийн атомыг, цайвар бөмбөг нь хлорын атомыг илэрхийлдэг

Квази талстууд

Хэдийгээр 5-р эрэмбийн эргэлтийн тэгш хэм нь 2 хэмжээст эсвэл 3 хэмжээст торонд боломжгүй ч энэ нь бараг талст гэж нэрлэгддэг арай бага тогтмол бүтэцтэй байж болно. Кеплерийн тойм зургуудыг ашиглан Рожер Пенроуз илүү ерөнхий хэлбэрийн тав дахин тэгш хэмтэй хавтгай системийг нээсэн. Тэдгээрийг квазикристал гэж нэрлэдэг.

Квазикристалууд байгальд байдаг. 1984 онд Даниел Шехтман хөнгөн цагаан ба манганы хайлш нь хагас талст үүсгэж болохыг олж мэдсэн; Эхэндээ кристаллографчид түүний илтгэлийг бага зэрэг эргэлзсэн байдалтай угтаж байсан ч хожим нээлт нь батлагдаж, 2011 онд Шехтман химийн салбарт Нобелийн шагнал хүртжээ. 2009 онд Лука Бинди тэргүүтэй эрдэмтдийн баг Оросын Коряк уулын уулсаас хөнгөн цагаан, зэс, төмрийн нэгдэл болох эрдэст хагас талстыг илрүүлжээ. Өнөөдөр энэ эрдэсийг икосаэдрит гэж нэрлэдэг. Эрдэмтэд масс-спектрометр ашиглан эрдэс дэх янз бүрийн хүчилтөрөгчийн изотопуудын агуулгыг хэмжсэнээр энэ эрдэс дэлхий дээр үүсээгүй болохыг тогтоожээ. Энэ нь ойролцоогоор 4.5 тэрбум жилийн өмнө буюу нарны аймаг дөнгөж эхэлж байх үед үүссэн бөгөөд зарим нэг эвдрэлийн улмаас тойрог замаа өөрчилж, эцэст нь дэлхий рүү авчрах хүртэл бага гаригийн бүсэд, нарны эргэн тойронд ихэнх цагаа өнгөрөөсөн.

// будаа. 41. Зүүн талд: яг тав дахин тэгш хэмтэй хоёр талст торны нэг. Баруун талд: Икосаэдр хөнгөн цагаан-палладий-манганы квазикристалын атомын загвар