Пифагорын гурван ихэр. Орчин үеийн өндөр технологийн Пифагорын гурвалсан тоо

Дараа нь бид Пифагорын гурвалсан үр дүнтэй үүсгэх алдартай аргуудыг авч үзэх болно. Пифагорын шавь нар анх удаа Пифагорын гурвалсан хэсгүүдийг төлөөлөх томьёог ашиглан Пифагорын гурвыг үүсгэх энгийн аргыг зохион бүтээжээ.

м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ((м 2 + 1)/2) 2 ,

Хаана м- хосгүй, м>2. Үнэхээр,

4м 2 + м 4 − 2м 2 + 1
м 2 + ((м 2 − 1)/2) 2 = ————————— = ((м 2 + 1)/2) 2 .
4

Үүнтэй төстэй томъёог эртний Грекийн гүн ухаантан Платон санал болгосон:

(2м) 2 + (м 2 − 1) 2 = (м 2 + 1) 2 ,

Хаана м- дурын тоо. Учир нь м= 2,3,4,5-д дараах гурвалсан тоо үүснэ.

(16,9,25), (36,64,100), (64,225,289), (100,576,676).

Бидний харж байгаагаар эдгээр томьёо нь бүх боломжит анхдагч гурвалсан тоог өгч чадахгүй.

Дараах олон гишүүнтийг авч үзье, үүнийг олон гишүүнтийн нийлбэр болгон өргөжүүлж болно.

(2м 2 + 2м + 1) 2 = 4м 4 + 8м 3 + 8м 2 + 4м + 1 =
=4м 4 + 8м 3 + 4м 2 + 4м 2 + 4м + 1 = (2м(м+1)) 2 + (2м +1) 2 .

Тиймээс анхдагч гурвыг олж авах дараах томъёонууд:

а = 2м +1 , б = 2м(м+1) = 2м 2 + 2м , в = 2м 2 + 2м + 1.

Эдгээр томьёо нь дундаж тоо нь хамгийн их тооноос яг нэгээр ялгаатай гурвалсан тоонуудыг үүсгэдэг, өөрөөр хэлбэл бүх боломжит гурвалсан тоо ч үүсдэггүй. Энд эхний гурвууд нь тэнцүү байна: (5,12,13), (7,24,25), (9,40,41), (11,60,61).

Бүх анхдагч гурвалсан төрлийг хэрхэн үүсгэхийг тодорхойлохын тулд тэдгээрийн шинж чанарыг судлах хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, хэрэв ( a,b,c) нь анхдагч гурвалсан, тэгвэл аТэгээд б, бТэгээд в, АТэгээд в- харьцангуй энгийн байх ёстой. Болъё аТэгээд бгэж хуваагддаг г. Дараа нь а 2 + б 2 - мөн хуваагдана г. тус тус, в 2 ба в-д хуваагдах ёстой г. Энэ бол анхдагч гурав биш юм.

Хоёрдугаарт, тоонуудын дунд а, бнэг нь хосолсон, нөгөө нь хосгүй байх ёстой. Үнэхээр, хэрэв аТэгээд б- тэгвэл хосолсон -тайхосолсон байх бөгөөд тоонуудыг дор хаяж 2-т хувааж болно. Хэрэв хоёулаа хосгүй бол 2-оор төлөөлж болно. к+1 би 2 л+1, хаана к,л- зарим тоо. Дараа нь а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+1+4л 2 +4л+1, өөрөөр хэлбэл, -тай 2, гэх мэт а 2 + б 2-ыг 4-т хуваахад 2-ын үлдэгдэл гарна.

Болъё -тай- дурын тоо, өөрөөр хэлбэл -тай = 4к+би (би=0,…,3). Дараа нь -тай 2 = (4к+би) 2 нь 0 эсвэл 1 үлдэгдэлтэй ба үлдэгдэл 2 байж болохгүй. аТэгээд бсалгах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл а 2 + б 2 = 4к 2 +4к+4л 2 +4л+1 ба хэсгийн үлдсэн хэсэг -тай 2-оос 4 нь 1 байх ёстой, энэ нь гэсэн үг -тайхосгүй байх ёстой.

Пифагорын гурвалсан элементүүдэд тавигдах ийм шаардлагыг дараах тоонууд хангаж байна.

а = 2mn, б = м 2 − n 2 , в = м 2 + n 2 , м > n, (2)

Хаана мТэгээд n- өөр өөр хослолтой харьцангуй гайгүй. Эдгээр хамаарал нь анх 2300 онд амьдарч байсан Евклидийн бүтээлүүдээс тодорхой болсон. буцаж.

(2) хамаарлын үнэн зөвийг баталцгаая. Болъё А- тэгвэл хосолсон бТэгээд в- хосгүй. Дараа нь в + бби в − б- хосолсон. Тэдгээрийг төлөөлж болно в + б = 2уТэгээд в − б = 2v, Хаана у,v- зарим бүхэл тоо. Тийм ч учраас

а 2 = -тай 2 − б 2 = (в + б)(в − б) = 2у·2 v = 4uv

Тиймээс ( а/2) 2 = uv.

Үүний эсрэгээр нотлогдож болно уТэгээд v- харилцан энгийн. Болъё уТэгээд v- хуваагдана г. Дараа нь ( в + б) ба ( в − б) гэж хуваагдана г. Гэх мэт вТэгээд б-д хуваагдах ёстой г, мөн энэ нь Пифагорын гурвалсан нөхцөлтэй зөрчилдөж байна.

Учир нь uv = (а/2) 2 ба уТэгээд vхарьцангуй өндөр түвшинд байгаа тул үүнийг батлахад хялбар байдаг уТэгээд vзарим тооны квадратууд байх ёстой.

Тиймээс эерэг бүхэл тоонууд байдаг мТэгээд n, ийм у = м 2 ба v = n 2. Дараа нь

А 2 = 4uv = 4м 2 n 2 тийм
А = 2mn; б = у − v = м 2 − n 2 ; в = у + v = м 2 + n 2 .

Учир нь б> 0, тэгвэл м > n.

Үүнийг харуулах л үлдлээ мТэгээд nөөр өөр хослолтой. Хэрэв мТэгээд n- тэгвэл хосолсон уТэгээд vхосолсон байх ёстой, гэхдээ энэ нь боломжгүй, учир нь тэдгээр нь харьцангуй сайн байдаг. Хэрэв мТэгээд n- хосгүй, тэгвэл б = м 2 − n 2 ба в = м 2 + n 2-ыг хослуулах болно, энэ нь боломжгүй юм вТэгээд б- харилцан энгийн.

Тиймээс ямар ч анхдагч Пифагорын гурвалсан нөхцөл (2) хангагдсан байх ёстой. Үүний зэрэгцээ тоонууд мТэгээд nгэж нэрлэдэг тоо үүсгэханхдагч гурван ихэрүүд. Жишээлбэл, Пифагорын анхдагч гурвалсан (120,119,169) байцгаая. Энэ тохиолдолд

А= 120 = 2·12·5, б= 119 = 144 − 25, мөн в = 144+25=169,

Хаана м = 12, n= 5 - тоо үүсгэх, 12 > 5; 12 ба 5 нь харилцан анхны бөгөөд өөр хосууд юм.

Үүний эсрэгээр тоонууд нотлогдож болно м, n(2) томъёог ашиглан тэд анхдагч Пифагор гурвалсан (a,b,c) өгдөг. Үнэхээр,

А 2 + б 2 = (2mn) 2 + (м 2 − n 2) 2 = 4м 2 n 2 + (м 4 − 2м 2 n 2 + n 4) =
= (м 4 + 2м 2 n 2 + n 4) = (м 2 + n 2) 2 = в 2 ,

Энэ нь ( а,б,в) нь Пифагорын гурвалсан юм. Энэ тохиолдолд үүнийг нотолж үзье а,б,внь эсрэгээрээ анхны тоонууд юм. Эдгээр тоонууд хуваагддаг байг х> 1. Түүнээс хойш мТэгээд nтэгвэл өөр өөр хосууд байна бТэгээд в- хосгүй, өөрөөр хэлбэл х≠ 2. Түүнээс хойш rхуваадаг бТэгээд в, Тэр r 2 хуваах ёстой м 2 ба 2 n 2, гэхдээ энэ нь боломжгүй зүйл, учир нь х≠ 2. Тиймээс м, n- харилцан үндсэн ба а,б,в- бас харьцангуй энгийн.

Хүснэгт 1-д (2)-ын томъёог ашиглан үүсгэсэн бүх анхдагч Пифагор гурвыг харуулав м≤10.

Хүснэгт 1. Анхдагч Пифагорын гурвалсан м≤10

Энэ хүснэгтийн дүн шинжилгээ нь дараахь хэв маягийн цуврал байгааг харуулж байна.

• эсвэл а, эсвэл б 3-т хуваагдах;
• тоонуудын нэг а,б,в 5-д хуваагддаг;
• тоо А 4-т хуваагддаг;
• ажил а· б 12-т хуваагддаг.

1971 онд Америкийн математикч Тейган, Хедвин нар гурвалжинг үүсгэхийн тулд тэгш өнцөгт гурвалжны өндөр гэх мэт бага мэддэг параметрүүдийг санал болгосон. h = в− b ба илүүдэл (амжилт) д = а + б − в. 1-р зурагт. Эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжин дээр харуулав.

Зураг 1. Тэгш өнцөгт гурвалжин ба түүний өсөлт ба илүүдэл

"Илүүдэл" гэсэн нэр нь гурвалжны хөлийн дагуу нэг оройноос эсрэг тал хүртэл, хэрэв диагональ дагуу явахгүй бол нэмэлт зайг туулах ёстой гэсэн үгнээс гаралтай.

Пифагорын гурвалжны хажуугийн илүүдэл ба өсөлтийг дараахь байдлаар илэрхийлж болно.

д 2 д 2
а = h + д, б = д + ——, в = h + д + ——, (3)
2h 2h

Бүх хослол биш hТэгээд дПифагорын гурвалжинтай тохирч болно. Өгөгдсөний төлөө hболомжит утгууд дтодорхой тооны бүтээгдэхүүн юм г. Энэ тоо гөсөлтийн нэртэй бөгөөд хамааралтай hдараах байдлаар: гквадрат нь 2-т хуваагддаг хамгийн жижиг эерэг бүхэл тоо юм h. Учир нь долон г, дараа нь гэж бичнэ д = кд, Хаана кэерэг бүхэл тоо юм.

хос ашиглах ( к,h) та бүх Пифагор гурвалжныг, түүний дотор анхдагч бус болон ерөнхий гурвалжингуудыг дараах байдлаар үүсгэж болно.

(dk) 2 (dk) 2
а = h + dk, б = dk + ——, в = h + dk + ——, (4)
2h 2h

Түүнээс гадна хэрэв гурвалсан бол команд юм кТэгээд hхарьцангуй анхдагч ба хэрэв h =± q 2 цагт q- хосгүй.
Түүнээс гадна, хэрэв энэ нь яг Пифагорын гурвалсан байх болно к> √2· h/гТэгээд h > 0.

олохын тулд кТэгээд h-аас ( а,б,в), дараах үйлдлүүдийг гүйцэтгэнэ.

• h = в − б;
• бичих hЯаж h = pq 2 хаана х> 0 ба дөрвөлжин биш;
• г = 2pqХэрэв х- хосгүй ба г = pq, хэрэв p хосолсон бол;
• к = (а − h)/г.

Жишээлбэл, гурвалсан (8,15,17) бидэнд байна h= 17−15 = 2 1, тэгэхээр х= 2 ба q = 1, г= 2, ба к= (8 − 2)/2 = 3. Тэгэхээр энэ гурвалсан тоог ( к,h) = (3,2).

Гурвалсан (459,1260,1341) хувьд бидэнд байна h= 1341 − 1260 = 81, тэгэхээр х = 1, q= 9 ба г= 18, эндээс к= (459 − 81)/18 = 21 тул энэ гурвалсан код нь ( к,h) = (21, 81).

Гурвалсан хүүхдийг тохируулах hТэгээд кхэд хэдэн сонирхолтой шинж чанартай байдаг. Параметр ктэнцүү байна

к = 4С/(dP), (5)

Хаана С = ab/2 нь гурвалжны талбай, ба П = а + б + в- түүний периметр. Энэ нь тэгш байдлаас үүдэлтэй eP = 4С, энэ нь Пифагорын теоремоос үүдэлтэй.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд дгурвалжинд сийлсэн тойргийн диаметртэй тэнцүү байна. Энэ нь гипотенузаас үүдэлтэй -тай = (А − r)+(б − r) = а + б − 2r, Хаана r- тойргийн радиус. Эндээс h = в − б = А − 2rТэгээд д = а − h = 2r.

Учир нь h> 0 ба к > 0, кгурвалсаны дарааллын тоо юм а-б-внэмэгдэж байгаа Пифагор гурвалжны дарааллаар h. Хосоор үүсгэгдсэн гурвалсан хүүхдийн хэд хэдэн сонголтыг харуулсан Хүснэгт 2-оос h, к, нэмэгдэж байгаа нь тодорхой байна кгурвалжны талуудын хэмжээ нэмэгддэг. Тиймээс сонгодог дугаарлалтаас ялгаатай нь хосоор дугаарлах h, кгурвалсан дарааллаар илүү их дараалалтай байна.

Хүснэгт 2. h, k хосоор үүсгэгдсэн Пифагорын гурвалсан.

Учир нь h > 0, г 2√ тэгш бус байдлыг хангана h ≤ г ≤ 2h, доод хязгаарт хүрсэн байна х= 1, хамгийн дээд нь - at q= 1. Тиймээс утга г 2√-тай харьцуулахад hгэдэг нь хичнээн тооны тоог илэрхийлдэг хэмжүүр юм hтодорхой тооны квадратаас алслагдсан.

Үл хөдлөх хөрөнгө

Eq. x 2 + y 2 = z 2 нэгэн төрлийн, үржих үед x , yТэгээд zижил тооны хувьд та өөр Пифагор гурвалсан болно. Пифагорын гурвалсан гэж нэрлэдэг анхдагч, хэрэв үүнийг ийм аргаар олж авах боломжгүй бол, өөрөөр хэлбэл, анхны тоонууд.

Жишээ

Зарим Пифагор гурвалсан (хамгийн их тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлсэн, анхдагчуудыг тодруулсан):

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (14, 48, 50), (30, 40, 50)…

Фибоначчийн тоонуудын шинж чанарт үндэслэн тэдгээрээс жишээ нь дараах Пифагорын гурвалсан тоонуудыг зохиож болно.

Өгүүллэг

Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийг маш удаан хугацаанд мэддэг байсан. Эртний Месопотамийн булшны чулууны архитектурт 9, 12, 15 тохой талуудтай хоёр тэгш өнцөгт гурвалжнуудаас бүрдсэн ижил өнцөгт гурвалжин олддог. Фараон Снофругийн пирамидуудыг (МЭӨ XXVII зуун) 20, 21, 29 талтай гурвалжин, түүнчлэн 18, 24, 30 арван Египет тохой бүхий гурвалжин ашиглан барьсан.

Мөн үзнэ үү

Холбоосууд

• Е.А.ГоринПифагорын гурвалсан анхны тоонуудын зэрэглэл // Математикийн боловсрол. - 2008. - V. 12. - P. 105-125.

Викимедиа сан.

2010 он.

Бусад толь бичгүүдэд "Пифагорын тоо" гэж юу болохыг хараарай. Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5...

Том нэвтэрхий толь бичиг Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурав дахин, жишээ нь: 3, 4, 5 тоонуудын гурав дахин. тэр ......

Нэвтэрхий толь бичиг

Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Пифагорын теоремтой эсрэг тэсрэг теоремын дагуу (Пифагорын теоремыг үзнэ үү) үүнд хангалттай ... ... x2+y 2=z2 тэгшитгэлийг хангах x, y, z эерэг бүхэл тоонуудын гурвалсан тоо. Энэ тэгшитгэлийн бүх шийдлүүд, тиймээс бүх хэсэгчилсэн тоонууд нь x = a 2 b2, y = 2ab, z = a2 + b2 томъёогоор илэрхийлэгдэх ба энд a ба b нь дурын эерэг бүхэл тоо (a>b). P.h...

Математик нэвтэрхий толь бичиг Хажуугийн урт нь эдгээр тоонуудтай пропорциональ (эсвэл тэнцүү) гурвалжин нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байхаар натурал тоонуудын гурвалсан тоо. Гурвалсан тоо: 3, 4, 5...

Байгалийн шинжлэх ухаан. Нэвтэрхий толь бичиг

Математикийн хувьд Пифагорын тоонууд (Пифагорын гурвалсан) нь Пифагорын харьцааг хангадаг гурван бүхэл тоонуудын багц юм: x2 + y2 = z2. Агуулга 1 Properties 2 Жишээ ... Википедиа

Дүрслэгдсэн тоонууд нь тодорхой геометрийн дүрстэй холбоотой тоонуудын ерөнхий нэр юм. Энэхүү түүхэн үзэл баримтлал нь Пифагорчуудын үеэс эхтэй. "Дөрвөлжин эсвэл шоо" гэсэн илэрхийлэл нь дүрслэгдсэн тоонуудаас үүссэн байх магадлалтай. Агуулга... ...Википедиа

Дүрслэгдсэн тоонууд нь тодорхой геометрийн дүрстэй холбоотой тоонуудын ерөнхий нэр юм. Энэхүү түүхэн үзэл баримтлал нь Пифагорчуудын үеэс эхтэй. Дараах төрлийн дүрстэй тоонуудыг ялгадаг: Шугаман тоонууд нь үржвэрлэх боломжгүй тоонууд, өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн... ... Википедиа

- (Грек арифметика, arithmys тоо гэсэн үг) тооны шинжлэх ухаан, үндсэндээ натурал (эерэг бүхэл тоо) тоо ба (рационал) бутархай, тэдгээрийн үйлдлүүдийн тухай. Натурал тооны тухай хангалттай хөгжсөн ойлголт, чадвартай байх....... Зөвлөлтийн агуу нэвтэрхий толь бичиг

Номууд

• Архимед Зун буюу Залуу математикчдын хамтын нөхөрлөлийн түүх. Хоёртын тооллын систем, Бобров Сергей Павлович. Хоёртын тооллын систем, Ханойн цамхаг, баатрын нүүдэл, шидэт квадратууд, арифметик гурвалжин, дүрст тоо, хослолууд, магадлалын тухай ойлголт, Мобиусын зурвас, Клейн сав.…

Пифагорын гурвалсан тоо

Бүтээлч ажил

оюутан 8 "А"анги

МАОУ "1-р биеийн тамирын заал"

Саратовын Октябрский дүүрэг

Панфилов Владимир

Дарга - дээд зэрэглэлийн математикийн багш

Гришина Ирина Владимировна

Агуулга

Танилцуулга…………………………………………………………………………………3

Ажлын онолын хэсэг

Пифагорын үндсэн гурвалжинг олох

(эртний Хиндучуудын томъёолол)………………………………………………………………4

Ажлын практик хэсэг

Пифагорын гурвалсан бүтээлийг янз бүрийн аргаар зохиох ……………………………………………………………………………………………….6

Пифагорын гурвалжны чухал шинж чанар………………………………………………………8

Дүгнэлт………………………………………………………………………………….9

Уран зохиол………………………………………………………………………………………………10

Танилцуулга

Энэ хичээлийн жилд бид математикийн хичээл дээр геометрийн хамгийн алдартай теоремуудын нэг болох Пифагорын теоремыг судалсан. Пифагорын теоремыг геометрт алхам тутамд ашигладаг бөгөөд энэ нь практик болон өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг. Гэхдээ бид теоремоос гадна Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг бас судалсан. Энэхүү теоремыг судлахтай холбогдуулан бид Пифагорын гурвалсан тоонуудтай танилцсан, өөрөөр хэлбэл. 3 натурал тооны олонлогтойа , б Тэгээдв , үүнд хамаарал хүчинтэй байна: = + . Ийм иж бүрдэлд жишээлбэл, дараах гурвалсанууд орно.

3,4,5; 5,12,13; 7,24,25; 8,15,17; 20,21,29; 9,40,41; 12,35,37

Надад тэр даруй асуулт гарч ирэв: та хэдэн Пифагор гурвыг гаргаж чадах вэ? Тэднийг хэрхэн зохиох вэ?

Манай геометрийн сурах бичигт Пифагорын теоремын эсрэг теоремыг танилцуулсны дараа нэгэн чухал тайлбарыг хийсэн: хөл нь хөл гэдгийг баталж болно.А Тэгээдб ба гипотенуз-тай Талуудын уртыг натурал тоогоор илэрхийлсэн тэгш өнцөгт гурвалжинг дараах томъёогоор олж болно.

А = 2км b = k( - ) c = k( + , (1)

Хаанак , м , n – дурын натурал тоо, бам > n .

Мэдээжийн хэрэг асуулт гарч ирнэ: эдгээр томъёог хэрхэн батлах вэ? Зөвхөн эдгээр томьёог ашиглан Пифагорын гурвалсан гурвыг зохиож болох уу?

Ажил дээрээ би өөрт үүсээд буй асуултуудад хариулахыг оролдсон.

Ажлын онолын хэсэг

Пифагорын үндсэн гурвалжныг олох (эртний Хинду томъёо)

Эхлээд бид томъёог (1) баталж байна:

Хөлийн уртыг дараах байдлаар тэмдэглэеX Тэгээдцагт , болон дамжин өнгөрөх гипотенузын уртz . Пифагорын теоремын дагуу бид тэгш эрхтэй байна:+ = .(2)

Энэ тэгшитгэлийг Пифагорын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Пифагорын гурвалжныг судлах нь тэгшитгэлийг (2) натурал тоогоор шийдвэрлэхэд хүргэдэг.

Хэрэв тодорхой Пифагор гурвалжны тал бүрийг ижил тоогоор нэмэгдүүлбэл бид үүнтэй ижил төстэй талуудыг натурал тоогоор илэрхийлсэн шинэ тэгш өнцөгт гурвалжинг олж авна. дахин Пифагорын гурвалжин.

Бүх ижил төстэй гурвалжнуудын дунд хамгийн жижиг нь байдаг бөгөөд энэ нь талууд нь гурвалжин болно гэдгийг таахад хялбар байдаг.X Тэгээдцагт харилцан анхны тоогоор илэрхийлнэ

(GCD (x,y )=1).

Үүнийг Пифагорын гурвалжин гэж нэрлэегол .

Пифагорын үндсэн гурвалжныг олох.

гурвалжин (x , y , z ) нь Пифагорын үндсэн гурвалжин юм. ТоонуудX Тэгээдцагт харьцангуй анхдагч тул хоёулаа тэгш байх боломжгүй. Тэд хоёулаа хачирхалтай байж болохгүй гэдгийг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд анхаарна ууСондгой тооны квадратыг 8-д хуваахад 1-ийн үлдэгдэл үлдэнэ. Үнэн хэрэгтээ ямар ч сондгой натурал тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно2 к -1 , Хаанак харьяалагддагН .

Эндээс: = -4 к +1 = 4 к ( к -1)+1.

Тоонууд( к -1) Тэгээдк – дараалсан, тэдгээрийн нэг нь заавал тэгш байх ёстой. Дараа нь илэрхийлэлк ( к -1) хуваасан2 , 4 к ( к -1) 8-д хуваагддаг бөгөөд энэ нь тоо гэсэн үг 8-д хуваагдвал үлдэгдэл нь 1 болно.

Хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь 8-д хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл гардаг тул хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь тэгш тоо боловч 4-ийн үржвэр биш тул энэ тоонатурал тооны квадрат байж болохгүй.

Тэгэхлээр (2) тэгш байдал үүсэх боломжгүйx Тэгээдцагт хоёулаа хачин.

Тиймээс хэрэв Пифагорын гурвалжин (x, y, z ) - үндсэн, дараа нь тоонуудын дундX Тэгээдцагт нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх ёстой. y тоог тэгш байг. ТоонуудX Тэгээдz сондгой (сонинz тэгшитгэлээс (2) үүснэ).

Eq-аас.+ = бид үүнийг ойлгодог= ( z + x )( z - x ) (3).

Тоонуудz + x Тэгээдz - x хоёр сондгой тооны нийлбэр ба зөрүү нь тэгш тоо тул (4):

z + x = 2 а , z - x = 2 б , ХаанаА Тэгээдб харьяалагддагН .

z + x =2 а , z - x = 2 б ,

z = a+b , x = а - б. (5)

Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь зүйл гарч ирнэа Тэгээдб харилцан анхны тоонууд юм.

Зөрчилдөөнөөр маргаж үүнийгээ баталъя.

GCD (а , б )= г , Хаанаг >1 .

Дараа ньг z Тэгээдx , улмаар тоонуудz + x Тэгээдz - x . Дараа нь тэгш байдал дээр үндэслэн (3) тоо хуваагч болно . Энэ тохиолдолдг тоонуудын нийтлэг хуваагч байх болноцагт ТэгээдX , гэхдээ тоонуудцагт ТэгээдX харьцангуй анхдагч байх ёстой.

Тооцагт , мэдэгдэж байгаагаар, тэгш байна, тиймээсy = 2c , Хаана-тай - натурал тоо. Тэгш байдал (4) дээр суурилсан тэгш байдал (3) нь дараах хэлбэртэй байна. =2а*2 б , эсвэл =ab.

Арифметикээс үүнийг мэддэгхэрэв харьцангуй анхны хоёр тооны үржвэр нь натурал тооны квадрат бол эдгээр тоо бүр нь натурал тооны квадрат болно.

гэсэн үг,a = Тэгээдб = , Хаанам Тэгээдn харьцангуй анхны тоонууд учир нь тэдгээр нь анхны тоон хуваагч юмА Тэгээдб .

Тэгш байдал (5) дээр үндэслэн бид:

z = + , x = - , = ab = * = ; c = mn

Дараа ньy = 2 mn .

Тоонуудм Тэгээдn , учир нь харьцангуй анхдагч бөгөөд нэгэн зэрэг байж болохгүй. Гэхдээ тэд нэгэн зэрэг хачин байж чадахгүй, учир нь энэ тохиолдолдx = - жигд байх болно, энэ нь боломжгүй юм. Тэгэхээр тоонуудын нэгм эсвэлn тэгш, нөгөө нь сондгой. Мэдээжийн хэрэг,y = 2 mn 4-т хуваагддаг. Иймээс үндсэн Пифагор гурвалжин бүрт ядаж нэг хөл нь 4-т хуваагддаг. Үүнээс үзэхэд бүх тал нь анхны тоо байх Пифагор гурвалжин байдаггүй.

Хүлээн авсан үр дүнг дараах теорем хэлбэрээр илэрхийлж болно.

Бүх үндсэн гурвалжингуудцагт тэгш тоо, томъёоноос олж авсан

x = - , y =2 mn , z = + ( м > n ), Хаанам Тэгээдn – нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх бүх хос хос тоо (аль нь хамаагүй). Пифагорын үндсэн гурвалсан бүр (x, y, z ), Хаанацагт – тэр ч байтугай, ийм байдлаар өвөрмөц байдлаар тодорхойлогддог.

Тоонуудм Тэгээдn хоёулаа тэгш эсвэл хоёулаа сондгой байж болохгүй, учир нь эдгээр тохиолдолд

x = жигд байх болно, энэ нь боломжгүй юм. Тэгэхээр тоонуудын нэгм эсвэлn тэгш, нөгөө нь сондгой (y = 2 mn 4-т хуваагддаг).

Ажлын практик хэсэг

Пифагорын гурван ихэрийг янз бүрийн аргаар зохиох

Хиндучуудын томъёололдм Тэгээдn – нь харьцангуй энгийн боловч дурын паритын тоо байж болох ба тэдгээрийг ашиглан Пифагорын гурвалсан дүрс үүсгэх нь нэлээд хэцүү байдаг. Тиймээс, Пифагорын гурвалсан бүтээлийг зохиох өөр арга замыг олохыг хичээцгээе.

= - = ( z - y )( z + y ), ХаанаX - хачин,y - тэгш,z - хачин

v = z - y , у = z + y

= uv , Хаанау - хачин,v - сондгой (хоёр тоо)

Учир нь хоёр сондгой анхны тооны үржвэр нь натурал тооны квадрат юму = , v = , Хаанак Тэгээдл – харьцангуй энгийн, сондгой тоо.

z - y = z + y = к 2 , Эндээс тэгшитгэлийг нэмж, нэгээс нөгөөг нь хасвал бид дараахь зүйлийг олж авна.

2 z = + 2 y = - тэр нь

z = у= x = kl

к

л

x

y

z

37

9

1

9

40

41 (стэг)*(100…0 (стэг) +1)+1 =200…0 (с-1тэг) 200…0 (с-1тэг) 1

Пифагорын гурвалжны чухал шинж чанар

Теорем

Пифагорын үндсэн гурвалжинд нэг хөл нь 4-т хуваагдах ёстой, нэг хөл нь 3-т хуваагдах ёстой бөгөөд Пифагорын гурвалжны талбай нь 6-д үржвэр байх ёстой.

Баталгаа

Бидний мэдэж байгаагаар Пифагорын гурвалжин бүрт дор хаяж нэг хөл нь 4-т хуваагддаг.

Нэг хөл нь 3-т хуваагддаг болохыг баталцгаая.

Үүнийг батлахын тулд Пифагорын гурвалжинд (x , y , z x эсвэлy 3-ын олон.

Одоо бид Пифагор гурвалжны талбай 6-д хуваагддаг болохыг баталж байна.

Пифагорын гурвалжин бүр 6-д хуваагдах натурал тоогоор илэрхийлэгдсэн талбайтай байдаг. Энэ нь хамгийн багадаа нэг хөл нь 3-т хуваагдаж, хамгийн багадаа нэг хөл нь 4-т хуваагддаг гэсэн үг юм. Гурвалжны талбай , хөлний хагас үржвэрээр тодорхойлогддог, 6-д хуваагдах тоогоор илэрхийлэгдэх ёстой.

Дүгнэлт

Ажиллаж байна

- Эртний Хиндучуудын томъёолол батлагдсан

- Пифагорын гурван ихэрүүдийн тоог судалсан (тэдгээрийн тоо хязгааргүй олон байдаг)

- Пифагорын гурвалсан тоог олох аргуудыг зааж өгсөн болно

- Пифагорын гурвалжны зарим шинж чанарыг судалсан

Энэ бол миний хувьд маш сонирхолтой сэдэв байсан бөгөөд асуултууддаа хариулт олох нь маш сонирхолтой үйл ажиллагаа болсон. Ирээдүйд би Пифагорын гурвалжны Фибоначчийн дараалал, Фермагийн теоремтой холбох талаар авч үзэх, Пифагорын гурвалжны олон шинж чанарыг судлахаар төлөвлөж байна.

Уран зохиол

Л.С. Атанасян "Геометр 7-9-р анги" М.: Боловсрол, 2012.

В.Сиерпинский “Пифагорын гурвалжингууд” М.: Учпедгиз, 1959.

Саратов

2014

Хичээлийн явц

I. Зохион байгуулалтын мөч

II. Шинэ материалын тайлбар

Багш: Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийн дур булаам хүчний нууц нь хүн төрөлхтний санааг зовоож ирсэн. Пифагорын гурвалсан хүүхдүүдийн өвөрмөц шинж чанарууд нь тэдний байгаль, хөгжим, математикт онцгой үүрэг гүйцэтгэдэг болохыг тайлбарладаг. Пифагорын шившлэг, Пифагорын теорем нь олон сая хүний ​​тархинд, эсвэл хэдэн тэрбум хүний ​​тархинд үлджээ. Энэ бол сургуулийн сурагч бүр цээжлэхээс өөр аргагүй болсон үндсэн теорем юм. Хэдийгээр Пифагорын теоремыг арван жилийн хүүхдүүд ойлгож болох ч математикийн түүхэн дэх хамгийн агуу ухаантнууд Фермагийн теоремыг шийдэж чадаагүй асуудлын эхлэл болсон юм. Самос арлын Пифагор (үзнэ үү. Хавсралт 1 , слайд 4) математикийн хамгийн нөлөө бүхий боловч нууцлаг хүмүүсийн нэг байсан. Түүний амьдрал, уран бүтээлийн талаар ямар ч найдвартай мэдээлэл хадгалагдаагүй тул түүний амьдрал домог, домогт бүрхэгдсэн бөгөөд түүхчдэд баримтыг уран зохиолоос салгахад хэцүү байж магадгүй юм. Гэсэн хэдий ч Пифагор тооны логикийн санааг хөгжүүлсэн бөгөөд бид математикийн анхны алтан үеийг түүнд өртэй гэдэгт эргэлзэх зүйл алга. Түүний суут ухааны ачаар тоо зөвхөн тоолох, тооцоолоход ашиглагдахаа больж, анх удаа үнэлэгдсэн. Пифагор тодорхой ангиллын тоонуудын шинж чанар, тэдгээрийн хоорондын хамаарал, тоог бүрдүүлдэг дүрсүүдийг судалжээ. Пифагор тоо нь материаллаг ертөнцөөс үл хамааран оршдог тул бидний мэдрэхүйн алдаа тоонуудын судалгаанд нөлөөлдөггүй гэдгийг ойлгосон. Энэ нь Пифагор хэн нэгний үзэл бодол, өрөөсгөл үзлээс үл хамааран үнэнийг олж мэдэх чадварыг олж авсан гэсэн үг юм. Үнэн бол өмнөх мэдлэгээс илүү үнэмлэхүй. Пифагорын гурвалсан байдлын талаар судалсан уран зохиолд үндэслэн бид тригонометрийн асуудлыг шийдвэрлэхэд Пифагорын гурвалсан тоог ашиглах боломжийг сонирхох болно. Тиймээс бид Пифагорын хэд хэдэн гурвалсан гурвыг судалж, ашиглах алгоритмыг боловсруулж, тэдгээрийн ашиглалтын тухай санамж бичгийг эмхэтгэж, янз бүрийн нөхцөл байдалд ашиглах талаар судалгаа хийх болно.

Гурвалжин ( слайд 14), талууд нь Пифагорын тоотой тэнцүү бол тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Түүнээс гадна аливаа ийм гурвалжин нь герониан, i.e. бүх тал ба талбай нь бүхэл тоо байдаг нэг. Тэдгээрийн хамгийн энгийн нь талуудтай (3, 4, 5) Египетийн гурвалжин юм.

Тоонуудыг (3, 4, 5) 2, 3, 4-өөр үржүүлээд Пифагорын гурвалсан цуваа үүсгэцгээе. Бид Пифагорын гурвалсан цувааг олж аваад хамгийн их тоогоор өсөх дарааллаар эрэмбэлж, анхдагчуудыг сонгоно. .

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50).

III. Хичээлийн явц

1. Даалгавруудыг тойрон эргэцүүлье:

1) Ижил аргументийн тригонометрийн функцүүдийн хоорондын хамаарлыг ашиглан хэрэв бол болохыг ол

гэдэг нь мэдэгдэж байна.

2) Өнцгийн тригонометрийн функцүүдийн утгыг олоорой, хэрэв энэ нь мэдэгдэж байвал:

3) "Нэмэх томъёо" сэдвээр сургалтын даалгаврын систем

sin = 8/17, cos = 4/5, эхний улирлын өнцөг гэдгийг мэдэж байгаа тул илэрхийллийн утгыг ол.

гэдгийг мэдэж байгаа ба хоёрдугаар улирлын өнцөг, sin = 4/5, cos = – 15/17, ол: .

4) "Давхар өнцгийн томъёо" сэдвээр сургалтын даалгаврын систем.

a) Хоёрдугаар улирлын өнцөг нь sin = 5/13 байна. sin2, cos2, tg2, ctg2-ыг ол.

б) Энэ нь мэдэгдэж байна tg? = 3/4, – гуравдугаар улирлын өнцөг. sin2, cos2, tg2, ctg2-ыг ол.

в) , 0 гэдгийг мэддэг< < . Найдите sin, cos, tg, ctg.

г) Энэ нь мэдэгдэж байна , < < 2. Найдите sin, cos, tg.

e) cos = 3/5, cos = 7/25 гэдгийг мэдэж байвал tan( + )-ийг ол, энд ба нь эхний улирлын өнцөг юм.

е) олох , – гуравдугаар улирлын өнцөг.

Бид асуудлыг уламжлалт аргаар үндсэн тригонометрийн адилтгалуудыг ашиглан шийдэж, дараа нь ижил асуудлыг илүү оновчтой байдлаар шийддэг. Үүнийг хийхийн тулд бид Пифагорын гурвалсан тоог ашиглан асуудлыг шийдэх алгоритмыг ашигладаг. Пифагорын гурвалсан аргыг ашиглан асуудлыг шийдэх гарын авлагыг бүтээцгээе. Үүнийг хийхийн тулд бид синус, косинус, тангенс ба котангенсийн тодорхойлолт, тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн тодорхойлолтыг санаж, асуудлын нөхцлөөс хамааран зурж, зөв ​​гурвалжны талууд дээр Пифагорын гурвалжинг зөв байрлуулна ( будаа. 1). Бид харьцааг бичиж, тэмдгүүдийг байрлуулна. Алгоритмыг боловсруулсан.

Зураг 1

Асуудлыг шийдвэрлэх алгоритм

Онолын материалыг хянан үзэх (судлах).

Пифагорын анхдагч гурвыг цээжээр мэдэж, шаардлагатай бол шинээр бүтээх боломжтой.

Рационал координаттай цэгүүдэд Пифагорын теоремыг хэрэглээрэй.

Тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг мэдэж, тэгш өнцөгт гурвалжинг зурж, асуудлын нөхцлөөс хамааран Пифагорын гурвалжинг гурвалжны талууд дээр зөв байрлуулах чадвартай байх.

Координатын хавтгайд байрлалаас хамааран синус, косинус, тангенс, котангенсийн тэмдгүүдийг мэдэх.

Шаардлагатай шаардлага:

1. координатын хавтгайн дөрөвний нэг бүрд синус, косинус, тангенс, котангенс ямар тэмдэг байгааг мэдэх;
2. тэгш өнцөгт гурвалжны хурц өнцгийн синус, косинус, тангенс, котангенсийн тодорхойлолтыг мэдэх;
3. Пифагорын теоремыг мэддэг, хэрэглэж чаддаг байх;
4. үндсэн тригонометрийн адилтгал, нэмэх томъёо, давхар өнцгийн томъёо, хагас аргументын томъёог мэддэг байх;
5. бууруулах томъёог мэддэг.

Дээрх зүйлийг харгалзан хүснэгтийг бөглөцгөөе ( хүснэгт 1). Үүнийг синус, косинус, тангенс, котангенсын тодорхойлолтыг дагаж эсвэл оновчтой координаттай цэгүүдэд Пифагорын теоремыг ашиглан дуусгах ёстой. Энэ тохиолдолд координатын хавтгай дахь байршлаас хамааран синус, косинус, тангенс, котангенсын тэмдгүүдийг үргэлж санаж байх шаардлагатай.

Хүснэгт 1

		Гурвалсан тоо		нүгэл	cos	тг	ctg
		(3, 4, 5)	Би цаг
		(6, 8, 10)	II хэсэг			-	-
		(5, 12, 13)	III хэсэг	-	-
		(8, 15, 17)	IV хэсэг	-		-	-
		(9, 40, 41)	Би цаг

Амжилттай ажиллахын тулд та Пифагорын гурвыг ашиглах зааврыг ашиглаж болно.

Хүснэгт 2

(3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13) , (9, 12, 13), (8, 15, 17) , (12, 16, 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25) , (10, 24, 26), (20, 21, 29) , (18, 24, 30), (16, 30, 34), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41) , (14, 48, 50), (30, 40, 50), …

2. Хамтдаа шийдье.

1) Бодлого: cos, tg, ctg, хэрэв sin = 5/13 бол, хэрэв - хоёрдугаар улирлын өнцгийг ол.

Газар дээр перпендикуляр шугам зурахад маркшейдерүүдийн ашигладаг тохиромжтой бөгөөд маш нарийн арга бол дараах байдалтай байна. MN шулуун шугам руу А цэгээр дамжуулан перпендикуляр зурах шаардлагатай байг (Зураг 13). AM чиглэлд А-аас тодорхой хэмжээний a зайг гурван удаа хойшлуул. Дараа нь утсан дээр гурван зангилаа уяж, тэдгээрийн хоорондох зай нь 4а ба 5а байна. Хэт зангилаануудыг A ба B цэгүүдэд залгасны дараа утсыг дунд зангилаагаар татна. Утас нь гурвалжин хэлбэртэй байх бөгөөд үүнд А өнцөг нь тэгш өнцөгт байна.

Хэдэн мянган жилийн өмнө Египетийн пирамидуудыг барьсан хүмүүсийн хэрэглэж байсан эртний энэ арга нь Пифагорын алдартай теоремын дагуу талууд нь 3:4:5 харьцаатай гурвалжин бүр тэгш өнцөгт хэлбэртэй байдагт үндэслэсэн байдаг. оноос хойш

3 2 + 4 2 = 5 2 .

Мэдэгдэж байгаагаар 3, 4, 5 тоонуудаас гадна харилцааг хангадаг эерэг бүхэл тоон a, b, c хязгааргүй олонлог байдаг.

A 2 + b 2 = c 2.

Тэдгээрийг Пифагорын тоо гэж нэрлэдэг. Пифагорын теоремын дагуу ийм тоонууд нь тодорхой тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын урт болж чаддаг; тиймээс a, b-г “хөл”, в-ийг “гипотенуз” гэж нэрлэдэг.

Хэрэв a, b, c нь Пифагорын тоонуудын гурвалсан бол p нь бүхэл тооны хүчин зүйл болох pa, pb, pc нь Пифагорын тоонууд болох нь тодорхой байна. Үүний эсрэгээр, хэрэв Пифагорын тоонууд нийтлэг хүчин зүйлтэй бол тэдгээрийг бүгдийг нь энэ нийтлэг хүчин зүйлээр багасгаж, дахин Пифагорын тоог гурав дахин авах болно. Тиймээс бид эхлээд Пифагорын тооны гурвалсан хэсгийг л судлах болно (Үлдсэнийг нь бүхэл тооны хүчин зүйл p-ээр үржүүлэх замаар олж авна).

Ийм a, b, c гурвалсан бүрд "хөл" -ийн нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байх ёстой гэдгийг харуулъя. Зөрчилдөөнөөр маргъя. Хэрэв "хөл" a ба b хоёулаа тэгш байвал a 2 + b 2 тоо тэгш байх ба ингэснээр "гипотенуз" болно. Гэхдээ энэ нь гурван тэгш тоо нь 2-ын нийтлэг хүчин зүйлтэй тул a, b, c тоонууд нийтлэг хүчин зүйлгүй байдагтай зөрчилдөж байна. Иймээс a, b “хөл”-ийн ядаж нэг нь сондгой байна.

Өөр нэг боломж хэвээр байна: "хөл" хоёулаа сондгой, "гипотенуз" нь тэгш байна. Ийм байж болохгүй гэдгийг батлахад хэцүү биш. Үнэхээр: хэрэв "хөл" нь хэлбэртэй байвал

2x + 1 ба 2y + 1,

тэгвэл тэдгээрийн квадратуудын нийлбэр тэнцүү байна

4x 2 + 4x + 1 + 4y 2 + 4y + 1 = 4(x 2 + x + y 2 + y) + 2,

өөрөөр хэлбэл, энэ нь 4-т хуваагдахад 2-ын үлдэгдэл үлдэх тоо юм. Үүний зэрэгцээ, дурын тэгш тооны квадрат нь 4-т үлдэгдэлгүй хуваагдах ёстой. Энэ нь хоёр сондгой тооны квадратуудын нийлбэр нь тэгш тооны квадрат байж болохгүй гэсэн үг юм; өөрөөр хэлбэл, бидний гурван тоо Пифагор биш юм.

Тиймээс, "хөл" -ийн a, b, нэг нь тэгш, нөгөө нь сондгой байна. Тиймээс a 2 + b 2 тоо сондгой, энэ нь "гипотенуз" c нь бас сондгой гэсэн үг юм.

Тодорхой байхын тулд "тал" a сондгой, b бол тэгш байна гэж үзье. Тэгш эрхээс

a 2 + b 2 = c 2

Бид амархан авдаг:

A 2 = c 2 - b 2 = (c + b) (c - b).

Баруун талын c + b ба c - b хүчин зүйлүүд нь хоёрдогч юм. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв эдгээр тоонууд нэгээс өөр нийтлэг анхны хүчин зүйлтэй байсан бол нийлбэрийг энэ хүчин зүйлд хуваана.

(c + b) + (c - b) = 2c,

ба ялгаа

(c + b) - (c - b) = 2b,

мөн ажил

(c + b)(c - b) = a 2,

өөрөөр хэлбэл 2c, 2b, a гэсэн тоонууд нийтлэг хүчин зүйлтэй байх болно. a нь сондгой тул энэ хүчин зүйл нь хоёроос ялгаатай тул a, b, c тоонууд нь ижил нийтлэг хүчин зүйлтэй байдаг, гэхдээ энэ нь байж болохгүй. Үүссэн зөрчилдөөн нь c + b ба c - b тоонууд нь хос анхны тоо болохыг харуулж байна.

Гэхдээ харьцангуй анхны тоонуудын үржвэр нь яг дөрвөлжин байвал тэдгээр нь тус бүр нь квадрат, өөрөөр хэлбэл.

Энэ системийг шийдсэний дараа бид дараахь зүйлийг олж мэдэв.

C = (m 2 + n 2)/2, b = (m 2 - n 2)/2, a 2 = (c + b) (c - b) = m 2 n 2, a = mn.

Тиймээс авч үзэж буй Пифагорын тоонууд нь хэлбэртэй байна

A = mn, b = (m 2 - n 2)/2, c = (m 2 + n 2)/2.

Энд m ба n нь харьцангуй энгийн сондгой тоонууд юм. Уншигч үүний эсрэг зүйлийг хялбархан баталж чадна: ямар ч сондгой төрлийн хувьд бичсэн томъёонууд нь гурван Пифагорын a, b, c тоог өгдөг.

Энд янз бүрийн төрлөөр олж авсан Пифагорын тооны гурвалсан хэд хэдэн байна.

m = 3-ийн хувьд m = 5 бол n = 1 3 2 + 4 2 = 5 2, m = 7 бол n = 1 5 2 + 12 2 = 13 2, m-ийн хувьд n = 1 7 2 + 24 2 = 25 2 байна. = 9, n = 1 9 2 + 40 2 = 41 2 m = 11, n = 1 11 2 + 60 2 = 61 2 бол m = 13, n = 1 13 2 + 84 2 = 85 2 бол m = 5 , m = 7 бол n = 3 15 2 + 8 2 = 17 2, m = 11 бол n = 3 21 2 + 20 2 = 29 2, m = 13 бол n = 3 33 2 + 56 2 = 65 2, n = 3 39 2 + 80 2 = 89 2 m = 7, n = 5 35 2 + 12 2 = 37 2 m = 9, n = 5 45 2 + 28 2 = 53 2 бол m = 11, n = 5 m = 13-тай 55 2 + 48 2 = 73 2, m = 9-тэй n = 5 65 2 + 72 2 = 97 2, m = 11-тэй n = 7 63 2 + 16 2 = 65 2, n = 7 77 2 + 36 2 = 85 2

(Пифагорын бусад бүх гурвалсан тоонууд нь нийтлэг хүчин зүйлүүдтэй эсвэл зуугаас их тоог агуулдаг.)