Олон талт трапец ... Энэ нь дурын, тэгш өнцөгт эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй байж болно. Аль ч тохиолдолд та трапецын талбайг хэрхэн олохоо мэдэх хэрэгтэй. Мэдээжийн хэрэг, хамгийн хялбар арга бол үндсэн томъёог санах явдал юм. Гэхдээ заримдаа тодорхой геометрийн дүрсийн бүх шинж чанарыг харгалзан гаргаж авсан нэгийг ашиглах нь илүү хялбар байдаг.
Трапец ба түүний элементүүдийн талаар хэдэн үг хэлье
Хоёр тал нь параллель байдаг аливаа дөрвөн өнцөгтийг трапец гэж нэрлэж болно. Ерөнхийдөө тэдгээр нь тэнцүү биш бөгөөд суурь гэж нэрлэгддэг. Том нь доод, нөгөө нь дээд байна.
Нөгөө хоёр тал нь хажуу тал нь болж хувирдаг. Дурын трапецын хувьд тэдгээр нь өөр өөр урттай байдаг. Хэрэв тэдгээр нь тэнцүү бол зураг нь тэгш өнцөгт болно.
Хэрэв гэнэт аль нэг тал ба суурийн хоорондох өнцөг 90 градустай тэнцүү болвол трапец тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
Эдгээр бүх шинж чанарууд нь трапецын талбайг хэрхэн олох асуудлыг шийдвэрлэхэд тусална.
Асуудлыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай байж болох зургийн элементүүдийн дунд бид дараахь зүйлийг тодруулж болно.
- өндөр, өөрөөр хэлбэл хоёр сууринд перпендикуляр сегмент;
- дунд шугам, түүний төгсгөлд хажуугийн талуудын дунд цэгүүд байдаг.
Суурь ба өндөр нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг ямар томъёогоор тооцоолох вэ?
Ихэнхдээ эдгээр хэмжигдэхүүнийг тодорхой өгөөгүй байсан ч таних боломжтой байдаг тул энэ илэрхийллийг үндсэн илэрхийлэл болгон өгсөн болно. Тиймээс трапецын талбайг хэрхэн олохыг ойлгохын тулд та хоёр суурийг нэмж, хоёр хуваах хэрэгтэй болно. Дараа нь үүссэн утгыг өндрийн утгаар үржүүлнэ.
Хэрэв бид суурийг 1 ба 2 гэж, өндрийг n гэж тэмдэглэвэл талбайн томъёо дараах байдалтай байна.
S = ((a 1 + a 2)/2)*n.
Талбайн өндөр ба төвийн шугамыг өгөгдсөн бол тооцоолох томъёо
Хэрэв та өмнөх томъёог анхааралтай ажиглавал дунд шугамын утгыг тодорхой агуулж байгааг анзаарахад хялбар байдаг. Тухайлбал, суурийн нийлбэрийг хоёроор хуваана. Дунд шугамыг l үсгээр тэмдэглэвэл талбайн томъёо дараах болно.
S = l * n.
Диагональ ашиглан талбайг олох чадвар
Хэрэв тэдгээрийн үүсгэсэн өнцөг нь мэдэгдэж байвал энэ арга нь туслах болно. Диагональуудыг d 1 ба d 2 үсгээр тэмдэглэсэн бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь α ба β байна гэж бодъё. Дараа нь трапецын талбайг хэрхэн олох томъёог дараах байдлаар бичнэ.
S = ((d 1 * d 2)/2) * нүгэл α.
Та энэ илэрхийлэлд α-г β-ээр хялбархан сольж болно. Үр дүн нь өөрчлөгдөхгүй.
Зургийн бүх талыг мэддэг бол талбайг хэрхэн олох вэ?
Энэ зургийн талууд яг тодорхой болсон нөхцөл байдал бас байдаг. Энэ томъёо нь төвөгтэй бөгөөд санахад хэцүү байдаг. Гэхдээ боломжтой. Талуудыг тэмдэглэгээтэй болго: a 1 ба 2, суурь a 1 нь 2-оос их байна. Дараа нь талбайн томъёо дараах хэлбэрийг авна.
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2-д - [(a 1 - a 2) 2 + 1 2-д - 2 2-д) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).
Хоёр талт трапецын талбайг тооцоолох арга
Эхнийх нь дотор нь тойрог бичиж болохтой холбоотой юм. Мөн түүний радиусыг (үүнийг r үсгээр тэмдэглэсэн), мөн суурийн өнцөг - γ-ийг мэдэхийн тулд та дараах томъёог ашиглаж болно.
S = (4 * r 2) / нүгэл γ.
Зургийн бүх талын мэдлэг дээр үндэслэсэн сүүлчийн ерөнхий томъёо нь талууд ижил утгатай тул нэлээд хялбаршуулсан болно.
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (2-д - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).
Тэгш өнцөгт трапецын талбайг тооцоолох арга
Дээрх зүйлсийн аль нэг нь ямар ч дүрд тохирсон байх нь ойлгомжтой. Гэхдээ заримдаа ийм трапецын нэг онцлог шинж чанарыг мэдэх нь ашигтай байдаг. Энэ нь диагональуудын уртын квадратуудын ялгаа нь суурийн квадратуудаас бүрдэх зөрүүтэй тэнцүү байдагт оршино.
Ихэнхдээ трапецын томъёог мартдаг бол тэгш өнцөгт ба гурвалжны талбайн илэрхийлэлүүдийг санаж байдаг. Дараа нь та энгийн аргыг ашиглаж болно. Трапецийг тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол хоёр, эсвэл гурван хэлбэрээр хуваа. Нэг нь тэгш өнцөгт байх нь гарцаагүй, хоёр дахь нь буюу үлдсэн хоёр нь гурвалжин байх болно. Эдгээр тоонуудын талбайг тооцоолсны дараа тэдгээрийг нэмэхэд л үлддэг.
Энэ бол тэгш өнцөгт трапецын талбайг олох маш энгийн арга юм.
Трапецын оройн координатууд мэдэгдэж байвал яах вэ?
Энэ тохиолдолд та цэгийн хоорондох зайг тодорхойлох боломжийг олгодог илэрхийлэл ашиглах шаардлагатай болно. Үүнийг гурван удаа хэрэглэж болно: суурь ба нэг өндрийг олохын тулд. Тэгээд дараа нь арай дээр тайлбарласан эхний томъёог л хэрэглээрэй.
Энэ аргыг тайлбарлахын тулд дараах жишээг өгч болно. A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1) координаттай өгөгдсөн оройнууд. Та зургийн талбайг олж мэдэх хэрэгтэй.
Трапецын талбайг олохын өмнө координатаас суурийн уртыг тооцоолох хэрэгтэй. Танд дараах томъёо хэрэгтэй болно.
сегментийн урт = √((цэгүүдийн эхний координатын зөрүү) 2 + (цэгүүдийн хоёр дахь координатын зөрүү) 2 ).
Дээд суурийг AB гэж тодорхойлсон бөгөөд энэ нь түүний урт нь √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3-тай тэнцүү байх болно. Доод тал нь CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Одоо та өндрийг дээрээс нь суурь хүртэл зурах хэрэгтэй. Түүний эхлэл нь А цэг дээр байг. Хэсгийн төгсгөл нь (5; 1) координаттай цэгийн доод суурь дээр байх бөгөөд үүнийг H цэг гэж үзье. AN сегментийн урт нь √((5)-тай тэнцүү байна. -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Үлдсэн зүйл бол үр дүнгийн утгыг трапецын талбайн томъёонд орлуулах явдал юм.
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Координатын торны масштабыг заагаагүй тул асуудлыг хэмжих нэгжгүйгээр шийдсэн. Энэ нь миллиметр эсвэл метр байж болно.
Жишээ асуудлууд
№ 1. Нөхцөл байдал.Дурын трапецын диагональуудын хоорондох өнцөг нь 30 градустай тэнцүү байна. Жижиг диагональ нь 3 дм-ийн утгатай, хоёр дахь нь 2 дахин их байна. Трапецын талбайг тооцоолох шаардлагатай.
Шийдэл.Эхлээд та хоёр дахь диагоналын уртыг олж мэдэх хэрэгтэй, учир нь үүнгүйгээр хариултыг тооцоолох боломжгүй болно. Тооцоолоход хэцүү биш, 3 * 2 = 6 (дм).
Одоо та талбайд тохирох томъёог ашиглах хэрэгтэй:
S = ((3 * 6) / 2) * нүгэл 30º = 18/2 * ½ = 4.5 (дм 2). Асуудал шийдэгдсэн.
Хариулт:Трапецын талбай нь 4.5 дм2 юм.
№ 2. Нөхцөл байдал. ABCD трапецын суурь нь AD ба BC сегментүүд юм. E цэг нь SD талын дунд хэсэг юм. Үүнээс AB шулуун шугам руу перпендикуляр зурсан бөгөөд энэ сегментийн төгсгөлийг H үсгээр тэмдэглэв. AB ба EH урт нь тус тус 5 ба 4 см-тэй тэнцүү байх тул талбайг тооцоолох шаардлагатай трапецын.
Шийдэл.Эхлээд та зураг зурах хэрэгтэй. Перпендикулярын утга нь түүний зурсан талаас бага байх тул трапецийг дээшээ бага зэрэг сунгана. Тиймээс EH зураг дотор байх болно.
Асуудлыг шийдвэрлэх явцыг тодорхой харахын тулд та нэмэлт барилгын ажил хийх шаардлагатай болно. Тухайлбал, AB талтай параллель шулуун шугам зур. Энэ шугамын AD-тай огтлолцох цэгүүд нь P ба BC-ийн үргэлжлэл X байна. Үүссэн VHRA зураг нь параллелограмм байна. Түүнээс гадна түүний талбай нь шаардлагатай хэмжээтэй тэнцүү байна. Энэ нь нэмэлт барилгын явцад олж авсан гурвалжин нь тэнцүү байгаатай холбоотой юм. Энэ нь хажуу ба түүнтэй зэргэлдээх хоёр өнцгийн тэгш байдал, нэг нь босоо, нөгөө нь хөндлөн хэвтсэнээс үүсдэг.
Та параллелограммын талбайг хажуугийн бүтээгдэхүүн ба түүн дээр буулгасан өндрийг агуулсан томъёог ашиглан олж болно.
Тиймээс трапецын талбай нь 5 * 4 = 20 см 2 байна.
Хариулт: S = 20 см 2.
№ 3. Нөхцөл байдал.Хоёр талт трапецын элементүүд нь дараах утгатай байна: доод суурь - 14 см, дээд - 4 см, хурц өнцөг - 45º. Та түүний талбайг тооцоолох хэрэгтэй.
Шийдэл.Жижиг суурийг МЭӨ гэж тэмдэглэе. В цэгээс зурсан өндрийг VH гэж нэрлэнэ. Өнцөг нь 45º тул ABH гурвалжин тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна. Тэгэхээр AN=VN. Түүнээс гадна, AN олоход маш хялбар байдаг. Энэ нь суурийн зөрүүний хагастай тэнцүү байна. Энэ нь (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (см).
Суурь нь мэдэгдэж, өндрийг нь тооцдог. Та дурын трапецын хувьд энд хэлэлцсэн эхний томъёог ашиглаж болно.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (см 2).
Хариулт:Шаардлагатай талбай нь 45 см 2 байна.
№ 4. Нөхцөл байдал. ABCD дурын трапец байна. O ба E цэгүүдийг түүний хажуу тал дээр авсан тул OE нь AD-ийн суурьтай параллель байна. AOED трапецын талбай нь OVSE-ээс тав дахин том байна. Суурийн урт нь мэдэгдэж байгаа бол OE утгыг тооцоол.
Шийдэл.Та AB хоёр зэрэгцээ шугамыг зурах хэрэгтэй: эхнийх нь C цэгээр, түүний OE-тэй огтлолцох цэг - T цэг; хоёр дахь нь Е ба AD-тай огтлолцох цэг нь M болно.
Үл мэдэгдэх OE=x байг. Жижиг OVSE трапецын өндөр нь n 1, том AOED нь n 2 байна.
Эдгээр хоёр трапецын талбайнууд 1-ээс 5-тай холбоотой тул бид дараах тэгшитгэлийг бичиж болно.
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Гурвалжны өндөр ба талууд нь барилгын хувьд пропорциональ байна. Тиймээс бид өөр нэг тэгш байдлыг бичиж болно:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
Зүүн талд байгаа сүүлийн хоёр оруулгад тэнцүү утгууд байгаа бөгөөд энэ нь бид (x + a 1) / (5(x + a 2)) нь (x - a 2) / (a) -тай тэнцүү гэж бичиж болно гэсэн үг юм. 1 - x).
Энд хэд хэдэн өөрчлөлт хийх шаардлагатай байна. Эхлээд хөндлөн чиглэлд үржүүлнэ. Квадратуудын ялгааг харуулсан хаалтууд гарч ирэх бөгөөд энэ томьёог хэрэглэсний дараа та богино тэгшитгэл авах болно.
Үүний дотор та хаалтуудыг нээж, үл мэдэгдэх "x" бүхий бүх нэр томъёог зүүн тийш шилжүүлж, дараа нь квадрат язгуурыг гаргаж авах хэрэгтэй.
Хариулт: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
Трапец бол эсрэг талын хоёр тал нь хоорондоо параллель байдаг, нөгөө хоёр нь тийм биш байдаг дөрвөлжингийн тусгай төрөл юм. Төрөл бүрийн бодит объектууд нь трапец хэлбэртэй байдаг тул өдөр тутмын болон сургуулийн асуудлыг шийдэхийн тулд ийм геометрийн дүрсийн периметрийг тооцоолох шаардлагатай байж магадгүй юм.
Трапец хэлбэрийн геометр
Трапец (Грек хэлнээс "трапец" - хүснэгт) нь дөрвөн сегментээр хязгаарлагдсан хавтгай дээрх дүрс бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь зэрэгцээ, хоёр нь биш юм. Зэрэгцээ хэрчмүүдийг трапецын суурь, параллель бус сегментийг зургийн талууд гэж нэрлэдэг. Хажуу тал ба тэдгээрийн налуу өнцөг нь трапецын төрлийг тодорхойлдог бөгөөд энэ нь масштабтай, тэгш өнцөгт эсвэл тэгш өнцөгт хэлбэртэй байж болно. Суурь ба хажуугаас гадна трапец нь өөр хоёр элементтэй.
- өндөр - зургийн зэрэгцээ суурийн хоорондох зай;
- дунд шугам - талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент.
Энэхүү геометрийн дүрс нь бодит амьдрал дээр өргөн тархсан байдаг.
Бодит байдал дээр трапец
Өдөр тутмын амьдралд олон бодит объектууд трапец хэлбэртэй байдаг. Хүний үйл ажиллагааны дараахь чиглэлээр трапецийг хялбархан олох боломжтой.
- интерьер дизайн, чимэглэл - буйдан, ширээний тавцан, хана, хивс, дүүжин тааз;
- ландшафтын дизайн - зүлэг, хиймэл усан сангийн хил хязгаар, гоёл чимэглэлийн элементийн хэлбэрүүд;
- загвар - хувцас, гутал, дагалдах хэрэгслийн хэлбэр;
- архитектур - цонх, хана, барилгын суурь;
- үйлдвэрлэл - төрөл бүрийн бүтээгдэхүүн, эд анги.
Трапецийг ийм өргөнөөр ашигласнаар мэргэжилтнүүд геометрийн дүрсийн периметрийг тооцоолох шаардлагатай болдог.
Трапецын периметр
Зургийн периметр нь n-gon-ийн бүх талын уртын нийлбэрээр тооцогдох тоон шинж чанар юм. Трапец бол дөрвөлжин бөгөөд ерөнхийдөө түүний бүх талууд өөр өөр урттай тул периметрийг дараах томъёогоор тооцоолно.
P = a + b + c + d,
a ба c нь зургийн суурь, b ба d нь түүний талууд юм.
Хэдийгээр бид трапецын периметрийг тооцоолохдоо өндрийг мэдэх шаардлагагүй ч тооны машины код нь энэ хувьсагчийг оруулахыг шаарддаг. Өндөр нь тооцоололд ямар ч нөлөө үзүүлэхгүй тул манай онлайн тооцоолуурыг ашиглахдаа та 0-ээс их өндрийн утгыг оруулах боломжтой. Хэд хэдэн жишээг авч үзье.
Бодит амьдралын жишээнүүд
Алчуур
Та трапец хэлбэрийн ороолттой байсан бөгөөд та үүнийг захаар засахыг хүсч байна гэж бодъё. Та нэмэлт материал худалдаж авахгүй, дэлгүүрт хоёр удаа очихгүйн тулд ороолтны периметрийг мэдэх хэрэгтэй. Таны ижил өнцөгт ороолтыг дараах параметртэй болго: a = 120 см, b = 60 см, c = 100 см, d = 60 см Бид эдгээр өгөгдлийг онлайн маягт руу оруулаад хариултыг маягтаар авна.
Тиймээс ороолтны периметр нь 340 см бөгөөд үүнийг дуусгахын тулд захын сүлжсэн урт нь яг энэ юм.
Налуу
Жишээлбэл, та трапец хэлбэрийн стандарт бус металл-хуванцар цонхны налууг хийхээр шийдсэн. Ийм цонхыг барилгын дизайнд өргөн ашигладаг бөгөөд хэд хэдэн салаа бүрээсийг бүрдүүлдэг. Ихэнхдээ ийм цонхыг тэгш өнцөгт трапец хэлбэрээр хийдэг. Ийм цонхны налууг хийхэд хэр их материал шаардагдахыг олж мэдье. Стандарт цонх нь дараах параметртэй байна a = 140 см, b = 20 см, c = 180 см, d = 50 см Бид эдгээр өгөгдлийг ашиглаж, үр дүнг хэлбэрээр авна
Тиймээс трапец хэлбэрийн цонхны периметр нь 390 см бөгөөд налууг үүсгэхийн тулд яг хэдэн хуванцар хавтанг худалдаж авах шаардлагатай болно.
Дүгнэлт
Трапец бол өдөр тутмын амьдралд түгээмэл хэрэглэгддэг дүрс бөгөөд хамгийн гэнэтийн нөхцөл байдалд хэний параметрүүдийг тодорхойлох шаардлагатай болдог. Трапецын периметрийг тооцоолох нь инженер, архитектороос эхлээд дизайнер, механикч хүртэл олон мэргэжилтнүүдэд шаардлагатай байдаг. Манай онлайн тооны машинуудын каталог нь аливаа геометрийн хэлбэр, биетийн тооцоолол хийх боломжийг танд олгоно.
Трапецдөрвөн өнцөгт гэж нэрлэдэг бөгөөд түүний ердөө хоёрталууд хоорондоо параллель байна.
Тэдгээрийг зургийн суурь гэж нэрлэдэг, үлдсэнийг нь талууд гэж нэрлэдэг. Параллелограммыг зургийн онцгой тохиолдол гэж үздэг. Мөн функцийн графикийг багтаасан муруй трапец байна. Трапецын талбайн томъёо нь түүний бараг бүх элементүүдийг агуулдаг бөгөөд өгөгдсөн утгуудаас хамааран хамгийн сайн шийдлийг сонгоно.
Трапецын гол үүргийг өндөр ба дунд шугамд хуваарилдаг. Дунд шугам- Энэ бол талуудын дунд цэгүүдийг холбосон шугам юм. ӨндөрТрапецийг дээд булангаас суурь хүртэл зөв өнцгөөр зурдаг.
Трапецын талбайн өндрөөр дамжин өнгөрөх талбай нь суурийн уртын нийлбэрийн хагасыг өндрөөр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.
Хэрэв дундаж шугам нь нөхцлийн дагуу мэдэгдэж байгаа бол энэ томъёо нь суурийн уртын нийлбэрийн хагастай тэнцүү тул ихээхэн хялбаршуулсан болно.
Хэрэв нөхцлийн дагуу бүх талуудын уртыг өгсөн бол эдгээр өгөгдлийг ашиглан трапецын талбайг тооцоолох жишээг авч үзэж болно. 
Бидэнд суурь a = 3 см, b = 7 см, талууд c = 5 см, d = 4 см хэмжээтэй трапец өгөгдсөн гэж бодъё. 
Хоёр талт трапецын талбай
Хоёр талт трапец, эсвэл үүнийг мөн адил тэгш өнцөгт трапец гэж нэрлэдэг нь тусдаа тохиолдол гэж үздэг.
Онцгой тохиолдол бол ижил талт трапецын талбайг олох явдал юм. Томьёог янз бүрийн аргаар гаргаж авдаг - диагональууд, суурьтай зэргэлдээх өнцгүүд болон бичээстэй тойргийн радиусаар дамжуулан.
Хэрэв диагональуудын уртыг нөхцлийн дагуу зааж өгсөн бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байвал та дараах томъёог ашиглаж болно.
Хоёр талт трапецын диагональууд хоорондоо тэнцүү гэдгийг санаарай!
Өөрөөр хэлбэл, тэдгээрийн суурь, тал, өнцгийн аль нэгийг нь мэдсэнээр та талбайг хялбархан тооцоолж болно.
Муруй трапецын талбай
Онцгой тохиолдол муруй трапец. Энэ нь координатын тэнхлэг дээр байрладаг бөгөөд тасралтгүй эерэг функцийн графикаар хязгаарлагддаг.
Түүний суурь нь X тэнхлэгт байрладаг бөгөөд хоёр цэгээр хязгаарлагддаг.
Интеграл нь муруй трапецын талбайг тооцоолоход тусалдаг.
Томьёог дараах байдлаар бичнэ.
Муруй трапецын талбайг тооцоолох жишээг авч үзье. Томъёо нь тодорхой интегралтай ажиллахын тулд тодорхой мэдлэг шаарддаг. Эхлээд тодорхой интегралын утгыг харцгаая: 
Энд F(a) нь a цэг дэх f(x) эсрэг дериватив функцийн утга, F(b) нь b цэг дээрх ижил f(x) функцийн утга юм. 
Одоо асуудлаа шийдье. Зурагт функцээр хязгаарлагдсан муруй трапецийг харуулав. Чиг үүрэг 
Бид сонгосон зургийн талбайг олох хэрэгтэй бөгөөд энэ нь дээрээс графикаар, баруун талд нь x =(-8) шулуун шугамаар, зүүн талд нь x =(-) шулуун шугамаар хязгаарлагдсан муруйн трапец байна. 10) ба доор байгаа OX тэнхлэг.
Бид энэ зургийн талбайг томъёогоор тооцоолно. 
Асуудлын нөхцөл нь бидэнд функцийг өгдөг. Үүнийг ашигласнаар бид цэг бүрт эсрэг деривативын утгыг олох болно.
Одоо
Хариулт:Өгөгдсөн муруй трапецын талбай нь 4 байна.
Энэ утгыг тооцоолоход төвөгтэй зүйл байхгүй. Хамгийн чухал зүйл бол тооцоололд маш болгоомжтой хандах явдал юм.
Математикийн хувьд хэд хэдэн төрлийн дөрвөн өнцөгтийг мэддэг: дөрвөлжин, тэгш өнцөгт, ромб, параллелограмм. Тэдгээрийн дотроос трапец хэлбэрийн гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй бөгөөд хоёр тал нь параллель, нөгөө хоёр нь огт байдаггүй. Зэрэгцээ эсрэг талын талуудыг суурь, нөгөө хоёрыг нь трапецын хажуу тал гэж нэрлэдэг. Хажуугийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг дунд шугам гэж нэрлэдэг. Трапецын хэд хэдэн төрөл байдаг: тэгш өнцөгт, тэгш өнцөгт, муруй. Трапецын төрөл бүрийн хувьд талбайг олох томъёо байдаг.
Трапецын талбай
Трапецын талбайг олохын тулд та түүний суурийн урт, өндрийг мэдэх хэрэгтэй. Трапецын өндөр нь суурийн перпендикуляр сегмент юм. Дээд суурь нь a, доод суурь нь b, өндөр нь h байна. Дараа нь та S талбайг томъёогоор тооцоолж болно.
S = ½ * (a+b) * h
тэдгээр. суурийн нийлбэрийг өндрөөр үржүүлсэн хагасыг авна.
Өндөр ба төвийн шугамыг мэддэг бол трапецын талбайг тооцоолох боломжтой болно. Дунд шугамыг тэмдэглэе - m. Дараа нь
Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдье: трапецын дөрвөн талын урт нь мэдэгдэж байна - a, b, c, d. Дараа нь тухайн талбайг дараах томъёогоор олно.
Хэрэв диагональуудын урт ба тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг дараах байдлаар хайна.
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Энд 1 ба 2 индекстэй d нь диагональ юм. Энэ томъёонд өнцгийн синусыг тооцоололд өгсөн болно.
a ба b суурийн мэдэгдэж буй урт, доод суурийн хоёр өнцгийг өгснөөр талбайг дараах байдлаар тооцоолно.
S = ½ * (b2 - a2) * (нүгэл α * нүгэл β / нүгэл(α + β))
Хоёр талт трапецын талбай
Трапецын онцгой тохиолдол нь ижил өнцөгт трапец юм. Үүний ялгаа нь ийм трапец нь эсрэг талын хоёр талын дунд цэгээр дамждаг тэгш хэмийн тэнхлэг бүхий гүдгэр дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Түүний талууд тэнцүү байна.
Хоёр талт трапецын талбайг олох хэд хэдэн арга байдаг.
- Гурван талын уртаар. Энэ тохиолдолд талуудын урт нь давхцах тул тэдгээрийг нэг утгаар - c, a ба b - суурийн уртаар тодорхойлно.
- Хэрэв дээд суурийн урт, хажуу ба доод суурийн өнцөг тодорхой байвал талбайг дараах байдлаар тооцоолно.
S = c * sin α * (a + c * cos α)
a нь дээд суурь, c нь тал юм.
- Хэрэв дээд суурийн оронд доод талын урт нь мэдэгдэж байгаа бол - b бол талбайг дараах томъёогоор тооцоолно.
S = c * sin α * (b – c * cos α)
- Хэрэв хоёр суурь ба доод суурийн өнцөг нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг өнцгийн шүргэгчээр тооцоолно.
S = ½ * (b2 – a2) * бор α
- Талбайг мөн диагональ болон тэдгээрийн хоорондох өнцгөөр тооцдог. Энэ тохиолдолд диагональ нь ижил урттай тул бид тус бүрийг дэд тэмдэггүйгээр d үсгээр тэмдэглэнэ.
S = ½ * d2 * sin α
- Хажуугийн урт, төвийн шугам, доод суурийн өнцгийг мэдэхийн тулд трапецын талбайг тооцоолъё.
Хажуу тал нь c, дунд шугам нь m, өнцөг нь a байвал:
S = m * c * sin α
Заримдаа та радиус нь r байх ижил талт трапецын тойрогт тойрог бичиж болно.
Суурийн уртын нийлбэр нь түүний талуудын уртын нийлбэртэй тэнцүү бол тойрогыг дурын трапец хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг мэддэг. Дараа нь талбайг бичээстэй тойргийн радиус ба доод суурийн өнцгөөр олж болно.
S = 4r2 / sinα
Үүнтэй ижил тооцоог бичээстэй тойргийн D диаметрийг ашиглан хийдэг (дашрамд хэлэхэд энэ нь трапецын өндөртэй давхцаж байна):
Суурь ба өнцгийг мэдэхийн тулд ижил өнцөгт трапецын талбайг дараах байдлаар тооцоолно.
S = a * b / sin α
(энэ болон дараагийн томьёо нь зөвхөн тойрог бүхий трапецын хувьд хүчинтэй).
Тойргийн суурь ба радиусыг ашиглан талбайг дараах байдлаар олно.
Хэрэв зөвхөн суурь нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг дараах томъёогоор тооцоолно.
Суурь ба хажуугийн шугамаар трапецын талбайг бичээстэй тойрог, суурь ба дунд шугамаар - м-ийг дараах байдлаар тооцоолно.
Тэгш өнцөгт трапецын талбай
Нэг тал нь сууринд перпендикуляр байвал трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд хажуугийн урт нь трапецын өндөртэй давхцдаг.
Тэгш өнцөгт трапец нь дөрвөлжин ба гурвалжингаас бүрдэнэ. Зураг тус бүрийн талбайг олсны дараа үр дүнг нэмж, зургийн нийт талбайг олоорой.
Мөн трапецын талбайг тооцоолох ерөнхий томъёо нь тэгш өнцөгт трапецын талбайг тооцоолоход тохиромжтой.
- Хэрэв суурийн урт ба өндөр (эсвэл перпендикуляр хажуу тал) нь мэдэгдэж байгаа бол талбайг дараах томъёогоор тооцоолно.
S = (a + b) * h / 2
Хажуу талын c нь h (өндөр) үүрэг гүйцэтгэж болно. Дараа нь томъёо дараах байдлаар харагдана.
S = (a + b) * c / 2
- Талбайг тооцоолох өөр нэг арга бол төв шугамын уртыг өндрөөр үржүүлэх явдал юм.
эсвэл хажуугийн перпендикуляр талын уртаар:
- Тооцоолох дараагийн арга бол диагональуудын хагас үржвэр ба тэдгээрийн хоорондох өнцгийн синусыг тооцоолох явдал юм.
S = ½ * d1 * d2 * sin α
Хэрэв диагональууд перпендикуляр байвал томъёог дараах байдлаар хялбаршуулна.
S = ½ * d1 * d2
- Тооцоолох өөр нэг арга бол хагас периметр (эсрэг хоёр талын уртын нийлбэр) ба тойргийн радиусыг тооцоолох явдал юм.
Энэ томъёо нь суурийн хувьд хүчинтэй. Хэрэв бид талуудын уртыг авбал тэдгээрийн аль нэг нь радиусаас хоёр дахин их байх болно. Томъёо нь дараах байдлаар харагдах болно.
S = (2r + c) * r
- Хэрэв тойрог нь трапец хэлбэрээр бичигдсэн бол талбайг ижил аргаар тооцоолно.
энд m нь төв шугамын урт юм.
Муруй трапецын талбай
Муруйн трапец гэдэг нь хэрчим, абсцисса тэнхлэг ба x = a, x = b шулуун шугамууд дээр тодорхойлогдсон сөрөг бус тасралтгүй функц y = f(x) графикаар хязгаарлагдсан хавтгай дүрс юм. Үндсэндээ түүний хоёр тал нь хоорондоо параллель (суурь), гурав дахь тал нь суурийн перпендикуляр, дөрөв дэх тал нь функцийн графикт тохирсон муруй юм.
Муруй шугаман трапецын талбайг Ньютон-Лейбницийн томъёог ашиглан интегралаар хайж олно.
Төрөл бүрийн трапецын талбайг ингэж тооцдог. Гэхдээ талуудын шинж чанараас гадна трапецууд нь өнцгийн ижил шинж чанартай байдаг. Одоо байгаа бүх дөрвөн өнцөгтийн нэгэн адил трапецын дотоод өнцгийн нийлбэр нь 360 градус байна. Мөн хажуугийн хажуугийн өнцгийн нийлбэр нь 180 градус байна.
Трапецын талбай. Сайн байцгаана уу! Энэ нийтлэлд бид энэ томъёог авч үзэх болно. Тэр яагаад яг ийм байгаа юм бэ, түүнийг яаж ойлгох вэ? Хэрэв ойлголт байгаа бол та үүнийг заах шаардлагагүй болно. Хэрэв та энэ томьёог яаралтай харахыг хүсч байвал тэр даруй хуудсыг доош гүйлгэж болно))
Одоо дэлгэрэнгүй, дарааллаар нь.
Трапец бол дөрвөлжин, энэ дөрвөлжингийн хоёр тал нь зэрэгцээ, нөгөө хоёр нь параллель биш юм. Зэрэгцээ биш байгаа нь трапецын суурь юм. Нөгөө хоёрыг тал гэж нэрлэдэг.
Хэрэв талууд тэнцүү бол трапецийг isosceles гэж нэрлэдэг. Хэрэв талуудын аль нэг нь сууринд перпендикуляр байвал ийм трапецийг тэгш өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Сонгодог хэлбэрээр трапецийг дараах байдлаар дүрсэлсэн байдаг - том суурь нь доод талд, жижиг нь дээд талд байна. Гэхдээ хэн ч түүнийг болон эсрэгээр нь дүрслэхийг хориглодоггүй. Энд ноорог зургууд байна:
Дараагийн чухал ойлголт.
Трапецын дунд шугам нь талуудын дунд цэгүүдийг холбосон сегмент юм. Дунд шугам нь трапецын суурьтай параллель бөгөөд тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү байна.
Одоо илүү гүнзгийрүүлье. Яагаад ийм байна вэ?
Суурьтай трапецийг авч үзье а ба бмөн дунд шугамтай л, мөн зарим нэмэлт барилга байгууламжийг гүйцэтгэнэ: суурийн дундуур шулуун шугам, суурьтай огтлолцох хүртэл дунд шугамын төгсгөлөөр перпендикуляр зурна:
*Орой болон бусад цэгүүдийн үсгийн тэмдэглэгээг шаардлагагүй тэмдэглэгээнээс зайлсхийхийн тулд санаатайгаар оруулаагүй болно.
Хараач, 1 ба 2 гурвалжин гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь тэмдгийн дагуу тэнцүү, 3 ба 4 гурвалжин ижил байна. Гурвалжингийн тэгшитгэлээс элементүүдийн тэгш байдал, тухайлбал хөл (тэдгээрийг хөх, улаан өнгөөр тус тус тэмдэглэсэн) дагаж мөрддөг.
Одоо анхаарлаа хандуулаарай! Хэрэв бид цэнхэр, улаан сегментийг доод ёроолоос оюун ухаанаараа "тасалж" авбал бид дунд шугамтай тэнцүү сегменттэй (энэ нь тэгш өнцөгтийн тал) үлдэх болно. Дараа нь, хэрвээ бид зүссэн цэнхэр, улаан сегментүүдийг трапецын дээд ёроолд "наавал" трапецын дунд шугамтай тэнцэх сегментийг (энэ нь мөн тэгш өнцөгтийн тал) авах болно.
Ойлгосон уу? Суурийн нийлбэр нь трапецын хоёр дунд шугамтай тэнцүү байх болно.
Өөр тайлбарыг үзнэ үү
Дараах үйлдлийг хийцгээе - трапецын доод суурийг дайран өнгөрөх шулуун ба А ба В цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамыг байгуул.
Бид 1 ба 2 гурвалжныг авдаг, тэдгээр нь хажуу ба зэргэлдээ өнцгүүдийн дагуу тэнцүү байна (гурвалжны тэгш байдлын хоёр дахь тэмдэг). Энэ нь үүссэн сегмент нь (ноорог дээр үүнийг цэнхэр өнгөөр тэмдэглэсэн) трапецын дээд суурьтай тэнцүү байна гэсэн үг юм.
Одоо гурвалжинг авч үзье:
*Энэ трапецын дунд шугам ба гурвалжны дунд шугам давхцаж байна.
Гурвалжин нь түүнтэй параллель суурийн талтай тэнцүү гэдгийг мэддэг, өөрөөр хэлбэл:
За, бид үүнийг ойлголоо. Одоо трапецын талбайн тухай.
Трапецын талбайн томъёо:
Тэд хэлэхдээ: трапецын талбай нь түүний суурь ба өндрийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
Өөрөөр хэлбэл, энэ нь төв шугам ба өндрийн бүтээгдэхүүнтэй тэнцүү байна.
Энэ нь ойлгомжтой гэдгийг та аль хэдийн анзаарсан байх. Геометрийн хувьд үүнийг ингэж илэрхийлж болно: хэрэв бид 2 ба 4-р гурвалжныг трапецаас тасдаж, 1 ба 3-р гурвалжин дээр байрлуулбал:
Дараа нь бид трапецын талбайтай тэнцэх талбайтай тэгш өнцөгтийг авах болно. Энэ тэгш өнцөгтийн талбай нь төв шугам ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү байх болно, өөрөөр хэлбэл бид дараахь зүйлийг бичиж болно.
Гэхдээ энд гол зүйл бол мэдээж бичихдээ биш, харин ойлгоход л байгаа юм.
Нийтлэлийн материалыг *pdf форматаар татаж авах (үзэх).
Ингээд л болоо. Танд амжилт хүсье!
Хүндэтгэсэн, Александр.
