Тогтмол олон өнцөгтийг гүдгэр олон талт гэж нэрлэдэг бөгөөд бүх нүүр нь ижил энгийн олон өнцөгт бөгөөд орой бүрт ижил тооны нүүр нийлдэг. Ийм олон өнцөгтийг Платоны хатуу биетүүд гэж бас нэрлэдэг.
Зөвхөн таван энгийн олон талт байдаг:
|
Зураг |
Ердийн олон өнцөгтийн төрөл |
Нүүрэн дээрх талуудын тоо |
Оройтой зэргэлдээх ирмэгүүдийн тоо |
Нийт оройн тоо |
Нийт ирмэгийн тоо |
Нүүрний нийт тоо |
|
Тетраэдр |
||||||
|
Хексадрон эсвэл шоо |
||||||
|
Додекаэдр |
||||||
|
Икосаэдр |
Полиэдрон бүрийн нэр нь түүний нүүрний тоо болон "нүүр" гэсэн үгийн Грек нэрнээс гаралтай.
Тетраэдр
Тетраэдр (Грекээр fefsbedspn - тетраэдрон) нь дөрвөн гурвалжин нүүртэй, орой бүр дээр 3 нүүр нь нийлдэг олон өнцөгт юм. Тетраэдр нь 4 нүүр, 4 орой, 6 ирмэгтэй.
Тетраэдрийн шинж чанарууд
Тетраэдрийн огтлолцсон хос ирмэгээр дамжин өнгөрч буй параллель онгоцууд нь тетраэдрийн эргэн тойронд дүрслэгдсэн параллелепипедийг тодорхойлдог.
Тетраэдрийн оройг эсрэг талын нүүрний медиануудын огтлолцлын цэгтэй холбосон сегментийг энэ оройноос хасагдсан медиан гэж нэрлэдэг.
Тетраэдрийн огтлолцох ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг холбосон сегментийг эдгээр ирмэгүүдийг холбосон түүний бимедиан гэж нэрлэдэг.
Оройг эсрэг талын цэгтэй холбосон хэрчмийг энэ нүүрэнд перпендикуляр, өгөгдсөн оройноос хасагдсан өндөр гэж нэрлэдэг.
Теорем.Тетраэдрийн бүх медиан ба бимедианууд нэг цэгт огтлолцдог. Энэ цэг нь оройноос эхлэн тоолоход 3:1 харьцаагаар медиануудыг хуваана. Энэ цэг нь бимедиануудыг хагасаар хуваадаг.
Онцлох:
- · бүх нүүр нь тэнцүү гурвалжин хэлбэртэй изоэдр тетраэдр;
- · оройгоос эсрэг талын нүүр рүү уруудаж буй бүх өндөр нь нэг цэгт огтлолцдог ортоцентрик тетраэдр;
- · нэг оройтой зэргэлдээх бүх ирмэгүүд нь хоорондоо перпендикуляр байрладаг тэгш өнцөгт тетраэдр;
- · бүх нүүр нь тэгш талт гурвалжин хэлбэртэй ердийн тетраэдр;
- · хүрээний тетраэдр - аль нэг нөхцөлийг хангасан тетраэдр:
- · Бүх ирмэгийг шүргэсэн бөмбөрцөг байдаг.
- · Хөндлөнгийн ирмэгүүдийн уртын нийлбэр тэнцүү байна.
- · Эсрэг талын ирмэг дээрх хоёр талт өнцгийн нийлбэр тэнцүү байна.
- · Нүүрэн дээр сийлсэн тойрог хосоороо хүрнэ.
- · Тетраэдр үүссэний үр дүнд үүссэн бүх дөрвөн өнцөгтийг дүрсэлсэн болно.
- · Дотор нь дүрсэлсэн тойргийн төвүүдээс нүүр рүү нь сэргээсэн перпендикулярууд нэг цэгт огтлолцдог.
- · бүх хоёр өндөр нь тэнцүү тэнцүү тетраэдр;
- · эсрэг талдаа сийлсэн тойргийн төвүүдтэй тетраэдрийн оройг холбосон хэрчмүүд нэг цэгт огтлолцдог төвтэй тетраэдр.
Шоо буюу ердийн зургаан өнцөгт нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд нүүр бүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Параллелепипед ба призмийн онцгой тохиолдол.
Кубын шинж чанарууд
- · Кубын дөрвөн хэсэг нь жирийн зургаан өнцөгт хэлбэртэй - эдгээр хэсгүүд нь кубын төвөөр түүний дөрвөн үндсэн диагональтай перпендикуляр дамждаг.
- · Та тетраэдрийг шоо болгон хоёр янзаар оруулж болно. Аль ч тохиолдолд тетраэдрийн дөрвөн орой нь шоогийн дөрвөн оройтой зэрэгцэж, тетраэдрийн бүх зургаан ирмэг нь кубын нүүрэнд хамаарах болно. Эхний тохиолдолд тетраэдрийн бүх орой нь гурвалсан өнцгийн нүүрэнд хамаарах бөгөөд орой нь кубын аль нэг оройтой давхцдаг. Хоёрдахь тохиолдолд тетраэдрийн хос огтлолцох ирмэгүүд нь шоо дөрвөлжингийн эсрэг талын хос хэсгүүдэд хамаарна. Энэ тетраэдр нь тогтмол юм.
- · Та октаэдрийг шоо болгон оруулж болох ба октаэдрийн бүх зургаан орой нь кубын зургаан нүүрний төвтэй зэрэгцэнэ.
- · Кубыг октаэдр дотор бичиж болох ба шоогийн бүх найман орой нь октаэдрийн найман нүүрний төвд байрлана.
- · Икосаэдрийг шоо болгон бичиж болох бөгөөд икосахэдрийн зургаан ирмэг нь шооны зургаан нүүрэн дээр, үлдсэн 24 ирмэг нь шоо дотор байрлана. Икосаэдрын бүх арван хоёр орой нь кубын зургаан нүүрэн дээр байх болно.
Кубын диагональ нь шоогийн төвтэй тэгш хэмтэй хоёр оройг холбосон сегмент юм. Кубын диагональыг томъёогоор олно
олон талт икосаэдр октаэдр хоёр талт
Энд d нь диагональ ба шоогийн ирмэг юм.
Октаэдр
Октаэдр (Грек pkfedspn, Грек хэлнээс pkfyu, "найман" ба Грекийн Edsb - "суурь") нь Платоны хатуу биетүүд гэж нэрлэгддэг таван гүдгэр энгийн олон талтуудын нэг юм.
Октаэдр нь 8 гурвалжин нүүртэй, 12 ирмэг, 6 орой, орой бүрт 4 ирмэг нийлдэг.
Хэрэв октаэдрийн ирмэгийн урт нь a-тай тэнцүү бол түүний нийт гадаргуугийн талбай (S) ба октаэдрийн эзэлхүүнийг (V) дараах томъёогоор тооцоолно.
Октаэдрийг тойрон хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн радиус нь дараахтай тэнцүү байна.
Октаэдрон дотор дүрслэгдсэн бөмбөрцгийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолж болно.
Энгийн октаэдр нь шоо тэгш хэмтэй давхцах Oh тэгш хэмтэй байдаг.
Октаэдр нь нэг од хэлбэртэй байдаг. Октаэдрийг Леонардо да Винчи нээсэн бөгөөд дараа нь бараг 100 жилийн дараа Иоганнес Кеплер дахин нээж, түүнийг Стелла найман өнцөгт од гэж нэрлэжээ. Тиймээс энэ хэлбэр нь "Kepler's stella octangula" гэсэн хоёр дахь нэртэй болсон.
Үндсэндээ энэ нь хоёр тетраэдрийн нэгдэл юм
Додекаэдр
Додекаэдр (Грек хэлнээс dudekb - арван хоёр ба edspn - нүүр), додекаэдрон - арван хоёр тогтмол таван өнцөгтөөс бүрдсэн ердийн олон өнцөгт. Додекаэдрын орой бүр нь гурван энгийн таван өнцөгтийн орой юм.
Тиймээс, додекаэдр нь 12 нүүртэй (таван өнцөгт), 30 ирмэг ба 20 оройтой (тус бүрдээ 3 ирмэг нийлдэг). 20 орой тус бүрийн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 324° байна.
Додекаэдр нь 3 одтой хэлбэртэй: жижиг одтой, том хоёр одтой, том одтой хоёр талт (одтой хоёр талт, эцсийн хэлбэр). Тэдний эхний хоёрыг Кеплер (1619), гурав дахь нь Пуинсот (1809) нээсэн. Октаэдрээс ялгаатай нь хоёр талт одны аль нэг хэлбэр нь Платоны хатуу биетүүдийн нэгдэл биш, харин шинэ олон өнцөгт үүсгэдэг.
Додекаэдрын бүх 3 одтой хэлбэр нь агуу икосахэдртэй хамт Кеплер-Пуинсотын хатуу биетүүдийн гэр бүлийг бүрдүүлдэг, өөрөөр хэлбэл ердийн гүдгэр бус (од) олон талт.
Додекаэдрүүдийн нүүр царай нь таван өнцөгт хэлбэртэй бөгөөд орой бүр дээр тавтай уулздаг. Жижиг одтой, том одтой додекаэдрүүд нь таван хошуут одны нүүртэй (пентаграмм) бөгөөд эхний тохиолдолд 5-д, хоёр дахь нь 3-т нийлдэг. Том одтой додекаэдрүүдийн оройнууд нь тайлбарласан додекаэдрүүдийн оройтой давхцдаг. Орой бүр нь холбогдсон гурван нүүртэй.
Үндсэн томъёо:
Хэрэв бид a-г ирмэгийн урт гэж авбал додекаэдрийн гадаргуугийн талбай нь:
Додекаэдрийн хэмжээ:
Тайлбарласан бөмбөрцгийн радиус:
Бичсэн бөмбөрцгийн радиус:
Додекаэдрийн тэгш хэмийн элементүүд:
· Додекаэдр нь тэгш хэмийн төв ба 15 тэгш хэмийн тэнхлэгтэй.
Тэнхлэг бүр нь эсрэг талын зэрэгцээ ирмэгүүдийн дунд цэгүүдийг дайран өнгөрдөг.
· Додекаэдр нь 15 тэгш хэмийн хавтгайтай. Тэгш хэмийн аль ч хавтгай нь нүүр бүрт эсрэг талын ирмэгийн дээд ба дунд хэсгээр дамждаг.
Икосаэдр
Икосаэдр (Грек хэлнээс ekpubt - хорин; -edspn - нүүр, нүүр, суурь) нь ердийн гүдгэр олон өнцөгт, хорин адрон, Платоны хатуу биетүүдийн нэг юм. 20 нүүр тус бүр нь тэгш талт гурвалжин юм. Ирмэгийн тоо 30, оройн тоо 12 байна.
Ирмэгийн урт a икосаэдрийн талбайн S, V эзэлхүүн, түүнчлэн бичээстэй ба хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн радиусыг дараах томъёогоор тооцоолно.
бичээстэй бөмбөрцгийн радиус:
хүрээлэгдсэн бөмбөрцгийн радиус:
Үл хөдлөх хөрөнгө
- · Икосаэдрийг шоо хэлбэрээр бичиж болно, энэ тохиолдолд икозаэдрийн зургаан харилцан перпендикуляр ирмэг нь кубын зургаан нүүрэн дээр, үлдсэн 24 ирмэг нь шоо дотор байрлах ба бүх арван хоёр орой нь зургаан гадаргуу дээр байрлана. кубын нүүр царай.
- · Икосаэдр дотор тетраэдр бичиж болно, үүнээс гадна тетраэдрийн дөрвөн орой нь икосаэдрийн дөрвөн оройтой нийлнэ.
- · Додекаэдр дотор икосахэдрийг сийлсэн байж болох ба икосаэдрийн оройг нь хоёр талт нүүрний төвүүдтэй зэрэгцүүлэн байрлуулж болно.
- · Додекаэдрыг икосаэдрийн орой болон икосаэдрийн нүүрний төвүүдийг нэгтгэн дүрсэлж болно.
- · Таслагдсан икосаэдроныг 12 оройг таслах замаар энгийн таван өнцөгт хэлбэртэй нүүрийг үүсгэж болно. Энэ тохиолдолд шинэ олон өнцөгтийн оройн тоо 5 дахин (12?5=60), 20 гурвалжин нүүр нь ердийн зургаан өнцөгт болж (нийт нүүрний тоо 20+12=32 болно), ирмэгийн тоо нэмэгдэнэ. 30+12?5=90 хүртэл.
Икосаэдр нь 59 од хэлбэртэй бөгөөд үүнээс 32 нь бүрэн, 27 нь бүрэн бус икосаэдр тэгш хэмтэй байдаг. Эдгээр оддын нэг нь (20-р, Веннингерийн мод. 41) агуу икосаэдр гэж нэрлэгддэг бөгөөд Кеплер-Пуинсотын дөрвөн тогтмол одны нэг юм. Түүний нүүр нь тогтмол гурвалжин бөгөөд орой бүрт таваар нийлдэг; Энэ шинж чанар нь икосаэдронтой агуу икосаэдрүүдэд нийтлэг байдаг.
Од хэлбэрийн хэлбэрүүдийн дунд бас байдаг: таван октаэдрийн холболт, таван тетраэдрийн холболт, арван тетраэдрийн холболт.
Үзүүлэнг урьдчилан үзэхийг ашиглахын тулд Google бүртгэл үүсгээд түүн рүү нэвтэрнэ үү: https://accounts.google.com
Слайдын тайлбар:
Олон талт. Олон өнцөгтийн орой, ирмэг, нүүр. АЙЛЕРИЙН ТЕОРЕМ. 10-р анги Гүйцэтгэсэн: Кайгородова С.В.
Олон өнцөгтийн бүх нүүр нь тогтмол олон өнцөгт, орой дээрх бүх олон өнцөгт өнцөг нь тэнцүү бол олон өнцөгтийг тогтмол гэж нэрлэдэг.
Эрт дээр үеэс хүн төрөлхтөнд таван гайхалтай олон өнцөгтийг мэддэг байсан.
Нүүрний тооноос хамааран тэдгээрийг ердийн тетраэдр гэж нэрлэдэг.
зургаан өнцөгт (зургаан өнцөгт) эсвэл шоо
октаэдр (октаэдр)
Додекаэдр (додекаэдр)
икосаэдрон (хорин хедрон)
Тогтмол олон талтуудын хөгжил
Түүхэн мэдээлэл Хүн төрөлхтөнд гал, ус, шороо, агаар гэсэн дөрвөн мөн чанарыг мэддэг байсан. Платоны хэлснээр тэдний атомууд 4-5-р зуунд амьдарч байсан эртний Грекийн агуу гүн ухаантан Платоны ердийн олон талт хэлбэртэй байв. МЭӨ эдгээр бие нь байгалийн мөн чанарыг илэрхийлдэг гэж үздэг.
галын атом нь тетраэдр, дэлхий - агаарын гексаэдр (шоо) - усны октаэдр - икосаэдр хэлбэртэй байв.
Гэхдээ өөр (тав дахь) биет байдаг гэж Платон санал болгосон ямар ч захидал харилцаагүй хоёр талтай байв. Тэр үүнийг дэлхийн эфир гэж нэрлэсэн. Энэхүү тав дахь мөн чанарын атомууд нь хоёр талт хэлбэртэй байв. Платон болон түүний шавь нар бүтээлдээ жагсаасан олон талтуудад ихээхэн анхаарал хандуулсан. Тиймээс эдгээр олон талтуудыг Платоны хатуу биетүүд гэж бас нэрлэдэг.
Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд дараах хамаарал үнэн байна: Г+В-Р=2, энд Г нь нүүрний тоо, В нь оройн тоо, Р нь өгөгдсөн олон өнцөгтийн ирмэгүүдийн тоо юм. Нүүр + Орой - Ирмэг = 2. Эйлерийн теорем
Ердийн олон өнцөгтийн шинж чанар Олон өнцөгт Нүүрний талуудын тоо Орой тус бүрд нийлсэн нүүрний тоо Нүүрний тоо (G) Ирмэгийн тоо (P) Оройн тоо (V) Тетраэдр 3 3 4 6 4 Гексаэдр 4 3 6 12 8 Октаэдр 3 4 8 12 6 Икосаэдр 3 5 20 30 12 Додекаэдр 5 3 12 30 20
Тогтмол олон талтуудын хос байдал Hexahedron (шоо) ба октаэдр нь хос хос олон өнцөгт үүсгэдэг. Нэг олон өнцөгтийн нүүрний тоо нь нөгөөгийн оройн тоотой тэнцүү ба эсрэгээр байна.
Дурын шоо авч, нүүрнийхээ төв хэсэгт оройтой олон өнцөгтийг авч үзье. Таны харж байгаагаар бид октаэдрон авдаг.
Октаэдрийн нүүрний төвүүд нь шоогийн орой болж үйлчилдэг.
Сурьма натрийн сульфат нь тетраэдр юм. Байгаль, хими, биологийн олон өнцөгтүүд Бидэнд танил болсон зарим бодисын талстууд ердийн олон талт хэлбэртэй байдаг. Пирит болор нь байгалийн додекаэдр загвар юм. Хүснэгтийн давсны талстууд нь шоо хэлбэртэй байдаг. Хөнгөн цагаан-калийн хөнгөн цагааны нэг талст нь октаэдр хэлбэртэй байдаг. Кристал (призм) Икосаэдр нь вирусын хэлбэрийн талаарх маргаанд биологичдын анхаарлын төвд байдаг. Вирус нь урьд өмнө бодож байсанчлан төгс бөөрөнхий байж чадахгүй. Түүний хэлбэрийг тогтоохын тулд тэд янз бүрийн полиэдрүүдийг авч, вирусын атомын урсгалтай ижил өнцгөөр гэрлийг чиглүүлэв. Зөвхөн нэг олон өнцөгт нь яг ижил сүүдэр өгдөг - икосаэдр. Өндөг хуваагдах явцад эхлээд дөрвөн эсийн тетраэдр, дараа нь октаэдр, шоо, эцэст нь хоёр талт-икосаэдр гаструла бүтэц үүсдэг. Эцэст нь, магадгүй хамгийн чухал зүйл бол амьдралын генийн кодын ДНХ-ийн бүтэц нь эргэдэг додекаэдрийн дөрвөн хэмжээст хөгжил (цаг хугацааны тэнхлэгийн дагуу) юм! Метан молекул нь ердийн тетраэдр хэлбэртэй байдаг.
Урлагт олон өнцөгт "Монна Лизагийн хөрөг" Зургийн найрлага нь ердийн од хэлбэртэй таван өнцөгтийн хэсэг болох алтан гурвалжин дээр суурилдаг. сийлбэр "Меланхоли" Зургийн урд талд хоёр талт дүрс байна. "Сүүлчийн зоог" Христ болон түүний шавь нар асар том тунгалаг дудекаэдрийн дэвсгэр дээр дүрслэгдсэн байдаг.
Архитектур дахь олон өнцөгтүүд Яманаши жимсний музейг 3D загварчлал ашиглан бүтээсэн. Аврагчийн гараар бүтээгдээгүй дөрвөн давхар Спасская цамхаг нь Казань Кремлийн гол хаалга юм. Үүнийг 16-р зуунд Псковын архитекторууд Иван Ширяй, "Барма" хочит Постник Яковлев нар босгосон. Цамхагийн дөрвөн давхарга нь шоо, олон талт, пирамид юм. Кремлийн Спасская цамхаг. Александрийн гэрэлт цамхагийн пирамидуудын жимсний музей
Харамсалтай нь бөмбөрцөг геометр, Лобачевскийн геометрийг сургуулийн сургалтын хөтөлбөрт судлаагүй байна. Үүний зэрэгцээ тэдний Евклидийн геометрийн судалгаа нь объектуудад юу болж байгааг илүү сайн ойлгох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, ердийн олон өнцөгтийг бөмбөрцгийн хуваалт, Евклидийн хавтгайн хуваалт, Лобачевскийн хавтгайн хуваалтуудтай холбохыг ойлгоорой.
Тогтмол муруйлттай орон зайн геометрийн талаархи мэдлэг нь гурван хэмжээсээс дээш гарч, 4 ба түүнээс дээш хэмжээст орон зайд олон талтуудыг тодорхойлоход тусалдаг. Олон өнцөгтийг олох, тогтмол муруйлттай орон зайн хуваалтуудыг олох, n хэмжээст орон зайд ердийн олон өнцөгтийн хоёр талт өнцгийн томъёог гаргах зэрэг асуудлууд хоорондоо маш нягт уялдаатай тул энэ бүгдийг өгүүллийн гарчигт оруулах нь асуудалтай болсон. Хүн бүрт ойлгомжтой энгийн олон талт дээр анхаарлаа хандуулаарай, гэхдээ тэдгээр нь зөвхөн бүх дүгнэлтийн үр дүн биш, харин өндөр хэмжээст орон зай, жигд муруй орон зайг ойлгох хэрэгсэл юм.
Мэдэхгүй (мартсан) хүмүүст хэлэхэд, бидний дассан гурван хэмжээст Евклидийн орон зайд ердөө таван энгийн олон талт байдаг гэдгийг сануулъя:
| 1. Тетраэдр: | 2. Шоо: | 3. Октаэдр: | 4. Додекаэдр: | 5. Икосаэдр: |
 |
 |
 |
 |
Гурван хэмжээст орон зайд бүх орой нь хоорондоо тэнцүү, бүх ирмэгүүд нь хоорондоо тэнцүү, бүх нүүр нь хоорондоо тэнцүү, нүүр нь тогтмол олон өнцөгт хэлбэртэй гүдгэр олон өнцөгтийг ердийн олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Энгийн олон өнцөгт нь бүх тал нь тэнцүү, бүх өнцөг нь тэнцүү гүдгэр олон өнцөгт юм.
Оройнууд хоорондоо тэнцүү байна гэдэг нь орой тус бүрт ойртож буй ирмэгийн тоо болон нүүрний тоо ижил бөгөөд орой тус бүрт ижил өнцгөөр ойртож байна гэсэн үг юм.
Энэхүү тэмдэглэгээнд манай олон талтууд дараах тэмдэглэгээг хүлээн авна.
1. Тетраэдр (3, 3),
2. Шоо (4, 3),
3. Октаэдр (3, 4),
4. Додекаэдр (5, 3),
5. Икосаэдр (3, 5)
Жишээлбэл, (4, 3) - шоо нь 4 булангийн нүүртэй бөгөөд орой бүр дээр 3 ийм нүүр нийлдэг.
Октаэдр (3, 4) нь эсрэгээрээ 3 нүүрстөрөгчийн нүүртэй бөгөөд тэдгээрийн 4 нь орой дээр нийлдэг.
Тиймээс Schläfli тэмдэг нь олон өнцөгтийн хослолын бүтцийг бүрэн тодорхойлдог.
Яагаад ердийн олон талт 5 л байдаг вэ? Магадгүй тэднээс олон байгаа болов уу?
Энэ асуултад бүрэн хариулахын тулд та эхлээд бөмбөрцөг болон Лобачевскийн хавтгай дээрх геометрийн талаархи ойлголтыг олж авах хэрэгтэй. Ийм санаа хараахан гараагүй байгаа хүмүүст би шаардлагатай тайлбарыг өгөхийг хичээх болно.
Бөмбөрцөг
1. Бөмбөрцөг дээрх цэг гэж юу вэ? Энэ нь хүн бүрт ойлгомжтой гэж би бодож байна. Бөмбөрцөг дээрх цэгийг оюун ухаанаар төсөөлөхөд хэцүү биш юм.
2. Бөмбөрцөг дээрх сегмент гэж юу вэ? Бид хоёр цэгийг авч, тэдгээрийг бөмбөрцөг дээр хамгийн богино зайд холбоно, хэрэв бид бөмбөрцөгийг хажуу талаас нь харвал нум авна.
3. Хэрэв та энэ сегментийг хоёр чиглэлд үргэлжлүүлбэл энэ нь хаагдах бөгөөд та тойрог авах болно. Энэ тохиолдолд тойргийн хавтгай нь бөмбөрцгийн төвийг агуулдаг бөгөөд энэ нь бид хоёр эхлэлийн цэгийг дур зоргоороо биш, хамгийн богино зайгаар холбосон гэсэн үг юм. Хажуу талаас нь харахад энэ нь тойрог мэт боловч бөмбөрцөг геометрийн хувьд энэ нь шулуун шугам юм, учир нь үүнийг хоёр чиглэлд хязгааргүй хүртэл сунгасан сегментээс авсан.
4. Эцэст нь бөмбөрцөг дээрх гурвалжин гэж юу вэ? Бид бөмбөрцөг дээрх гурван цэгийг авч, сегментүүдтэй холбодог.
Гурвалжинтай зүйрлэвэл бөмбөрцөг дээр дурын олон өнцөгт зурж болно. Бидний хувьд бөмбөрцөг гурвалжны өмч нь үндсэндээ чухал, тухайлбал ийм гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь Евклидийн гурвалжинд бидний дассан 180 градусаас их байх явдал юм. Түүнээс гадна хоёр өөр бөмбөрцөг гурвалжны өнцгийн нийлбэр өөр байна. Гурвалжин том байх тусам түүний өнцгийн нийлбэр ӨНДӨР байна.
Үүний дагуу бөмбөрцөг дээрх гурвалжнуудын тэгш байдлын 4-р тэмдэг гурван өнцөгт гарч ирнэ: хоёр бөмбөрцөг гурвалжин нь харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол хоорондоо тэнцүү байна.
Энгийн байхын тулд бөмбөрцгийг өөрөө зурахгүй байх нь илүү хялбар байдаг, тэгвэл гурвалжин нь бага зэрэг хавдсан харагдах болно.
Бөмбөрцгийг мөн тогтмол эерэг муруйлттай орон зай гэж нэрлэдэг. Орон зайн муруйлт нь бидний дассан шулуун шугамын сегмент биш харин хамгийн богино зай нь нуман хэлбэртэй болоход хүргэдэг. Сегмент нь нугалж байх шиг байна.
Лобачевский
Одоо бид бөмбөрцөг дээрх геометртэй танилцсан тул Оросын агуу эрдэмтэн Николай Иванович Лобачевскийн нээсэн гиперболын хавтгай дээрх геометрийг ойлгоход хэцүү биш байх болно, учир нь энд бүх зүйл бөмбөрцөгтэй ижил аргаар явагддаг, зөвхөн "дотор талд", "урвуу". Хэрэв бид бөмбөрцөг дээр төв нь бөмбөрцөг дотор байгаа тойрог хэлбэрээр нуман зурсан бол одоо бөмбөрцгийн гадна төвтэй тойрог хэлбэрээр нум зурах ёстой.Эхэлцгээе. Бид Пуанкаре II-ийн тайлбарт Лобачевскийн онгоцыг төлөөлөх болно (Францын агуу эрдэмтэн Жюль Анри Пуанкаре), Лобачевскийн геометрийн энэхүү тайлбарыг Пуанкаре диск гэж нэрлэдэг.
1. Лобачевскийн хавтгай дахь цэг. Хугацаа - энэ нь Африкт ч гэсэн цэг юм.
2. Лобачевскийн хавтгай дээрх сегмент. Бид хоёр цэгийг Лобачевскийн хавтгай гэсэн утгаараа хамгийн богино зайн дагуу шугамаар холбодог.
Хамгийн богино зайг дараах байдлаар байгуулна.
Өгөгдсөн хоёр цэгээр дамжуулан Пуанкаре диск рүү ортогональ тойрог зурах шаардлагатай (зураг дээрх Z ба V). Энэ тойргийн төв нь үргэлж дискний гадна байх болно. Анхны хоёр цэгийг холбосон нум нь Лобачевскийн онгоцны утгаараа хамгийн богино зай байх болно.
3. Туслах нумыг зайлуулснаар бид Лобачевскийн хавтгайд E1 - H1 шулуун шугамыг авна.
E1, H1 цэгүүд нь Лобачевскийн хавтгайн төгсгөлгүй дээр "худлаа" ерөнхийдөө, Пуанкаре дискний ирмэг нь Лобачевскийн хавтгайгаас хязгааргүй алслагдсан цэгүүд юм.
4. Эцэст нь Лобачевскийн хавтгайд гурвалжин гэж юу вэ? Бид гурван цэгийг аваад сегментүүдтэй холбоно.
Гурвалжинтай зүйрлэснээр та Лобачевскийн хавтгай дээр дурын олон өнцөгт зурж болно. Бидний хувьд гипербол гурвалжны шинж чанар нь үндсэндээ чухал, тухайлбал ийм гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь Евклидийн гурвалжинд бидний дассан 180 градусаас бага байдаг. Түүнээс гадна хоёр өөр гипербол гурвалжны өнцгийн нийлбэр өөр байна. Гурвалжны талбайн хэмжээ их байх тусам өнцгийн нийлбэр бага байх болно.
Үүний дагуу энд гурван өнцгийн дагуу гипербол гурвалжны тэгш байдлын 4-р тэмдэг гарч ирдэг: харгалзах өнцөг нь тэнцүү бол хоёр гипербол гурвалжин нь хоорондоо тэнцүү байна.
Энгийн байхын тулд Пуанкаре дискийг заримдаа зурж болохгүй, тэгвэл гурвалжин нь бага зэрэг "хумигдаж", "унасан" харагдах болно.
Лобачевскийн хавтгайг (мөн ерөнхийдөө ямар ч хэмжээсийн Лобачевскийн орон зайг) мөн тогтмол СӨРГӨГ муруйлттай орон зай гэж нэрлэдэг. Орон зайн муруйлт нь бидний дассан шулуун шугамын сегмент биш харин хамгийн богино зай нь нуман хэлбэртэй болоход хүргэдэг. Сегмент нь нугалж байх шиг байна.
Хоёр хэмжээст бөмбөрцөг ба ердийн гурван хэмжээст олон талтуудын ердийн хуваалтууд
Бөмбөрцөг ба Лобачевскийн онгоцны талаар хэлсэн бүх зүйл нь хоёр хэмжээстийг хэлдэг, өөрөөр хэлбэл. Бөмбөрцгийн гадаргуу нь хоёр хэмжээст юм. Энэ нь нийтлэлийн гарчигт заасан гурван хэмжээсттэй ямар холбоотой вэ? Гурван хэмжээст ердийн Евклидийн олон өнцөгт бүр нь хоёр хэмжээст бөмбөрцгийн өөрийн гэсэн хуваалттай нэгийг харьцах харьцаатай байдаг. Үүнийг зураг дээр хамгийн сайн харж болно:
Ердийн олон өнцөгтөөс бөмбөрцгийн хуваалтыг авахын тулд та олон өнцөгтийг тойрсон бөмбөрцгийг дүрслэх хэрэгтэй. Бөмбөрцгийн гадаргуу дээр олон өнцөгтийн оройнууд гарч ирэх бөгөөд эдгээр цэгүүдийг бөмбөрцөг дээрх сегментүүдтэй (нумууд) холбосноор бид хоёр хэмжээст бөмбөрцөгийг ердийн бөмбөрцөг олон өнцөгт болгон хуваах болно. Үүний жишээ болгон бөмбөрцөг бөмбөрцөг гурвалжинд хуваагдах ба эсрэгээр нь бөмбөрцөг гурвалжинд хуваагдах нь икосаэдронтой хэрхэн тохирч байгааг видеогоор үзүүлэв.
Бөмбөрцгийн хуваалтаас олон өнцөгтийг бүтээхийн тулд нумуудад харгалзах хуваалтын оройг энгийн, шулуун, Евклидийн сегментүүдээр холбох ёстой.
Үүний дагуу икосаэдрийн Schläfli тэмдэг (3, 5) - орой дээрээ тавыг нэгтгэж буй гурвалжнууд нь зөвхөн энэ олон өнцөгтийн бүтцийг төдийгүй хоёр хэмжээст бөмбөрцгийн хуваагдлын бүтцийг тодорхойлдог. Бусад политопуудын нэгэн адил тэдгээрийн Schläfli тэмдэг нь харгалзах хуваалтын бүтцийг тодорхойлдог. Түүнээс гадна Евклидийн хавтгай ба Лобачевскийн хавтгайг ердийн олон өнцөгт болгон хуваахыг Schläfli тэмдгээр тодорхойлж болно. Жишээлбэл, (4, 4) - дөрвөн өнцөгт нийлдэг дөрвөлжин - энэ бол бидний мэддэг дөрвөлжин дэвтэр юм, i.e. Энэ бол Евклидийн хавтгайг квадрат болгон хуваах явдал юм. Евклидийн хавтгайд өөр хуваагдал бий юу? Цааш нь харах болно.
Хоёр хэмжээст бөмбөрцөг, Евклидийн хавтгай ба Лобачевскийн хавтгайн хуваалтыг барих
Тогтмол муруйлттай хоёр хэмжээст орон зайн хуваалтыг (энэ нь эдгээр гурван орон зайн ерөнхий нэр) барихын тулд бага сургуулийн геометр, бөмбөрцөг гурвалжны өнцгийн нийлбэр нь 180 градусаас их (Pi-ээс их) гэсэн мэдлэг хэрэгтэй. , гипербол гурвалжны өнцгүүдийн нийлбэр нь 180 градусаас бага (Pi-ээс бага) ба Schläfli тэмдэг гэж юу вэ? Энэ бүгдийг дээр аль хэдийн хэлсэн.Тиймээс дурын Schläfli тэмдэглэгээг (p1, p2) авъя, энэ нь тогтмол муруйлттай гурван орон зайн аль нэгнийх нь хуваалтыг зааж өгдөг (хавтгайн хувьд энэ нь үнэн, өндөр хэмжээст орон зайн хувьд нөхцөл байдал илүү төвөгтэй боловч юу ч бидэнд саад болохгүй. тэмдгийн бүх хослолыг судлах).
Ердийн p1 квадратыг авч үзээд түүний төв ба оройг холбосон хэрчмүүдийг зурцгаая. Бид ижил өнцөгт гурвалжны p1 хэсгийг авдаг (зөвхөн нэг ийм гурвалжинг зурагт үзүүлэв). Бид эдгээр гурвалжин бүрийн өнцгийн нийлбэрийг t гэж тэмдэглэж, t-ийг pi ба ламбда коэффициентээр илэрхийлнэ.
Дараа нь lambda = 1 бол Евклидийн гурвалжин, өөрөөр хэлбэл. нь Евклидийн хавтгайд байгаа бол хэрэв ламбда (1, 3) интервалд байвал энэ нь өнцгийн нийлбэр нь pi-ээс их байна гэсэн үг бөгөөд энэ нь гурвалжин нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байна гэсэн үг юм (хэрэв томрох үед энэ нь бөмбөрцөг хэлбэртэй байна гэж төсөөлөхөд хэцүү биш юм. хязгаарт бөмбөрцөг гурвалжин, дээр нь гурван цэг бүхий тойрог гарч ирдэг, цэг бүрт гурвалжны өнцөг нь pi-тэй тэнцүү бөгөөд нийт нь 3*pi байна. Энэ нь интервалын дээд хязгаарыг тайлбарлаж байна = 3). Хэрэв ламбда (0, 1) интервалд байвал гурвалжин нь гипербол болно, учир нь түүний өнцгийн нийлбэр нь pi-ээс бага (жишээ нь 180 градусаас бага). Товчхондоо дараах байдлаар бичиж болно.
Нөгөөтэйгүүр, ижил олон өнцөгтүүдийн p2 хэсгүүдийн (өөрөөр хэлбэл бүхэл тоо) орой дээр нийлэхийн тулд дараахь зүйлийг хийх шаардлагатай.
Нэгдэх нөхцөл ба олон өнцөгтөөс олдсон 2*беттагийн илэрхийллүүдийг тэнцүүлэх:
Гурван зайны аль нь Schläfli тэмдэгтээр (p1, p2) өгөгдсөн зурагт хуваагдахыг харуулсан тэгшитгэлийг олж авлаа. Энэ тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд бид p1, p2 нь 3-аас их буюу тэнцүү бүхэл тоо гэдгийг санах хэрэгтэй. Энэ нь р2 хэсгүүдийн дагуу нийлдэг p1 өнцөг (хамгийн багадаа 3 өнцөг) тул тэдгээрийн физик утгаас үүдэлтэй юм. орой (мөн 3-аас багагүй, тэгэхгүй бол орой болохгүй).
Энэ тэгшитгэлийн шийдэл нь p1, p2-ийн 3-аас их буюу тэнцүү бүх боломжит утгыг тоолж, lambda утгыг тооцоолох явдал юм. Хэрэв энэ нь 1-тэй тэнцүү бол (p1, p2) Евклидийн хавтгайг хуваана, хэрэв 1-ээс их боловч 3-аас бага бол энэ нь бөмбөрцгийн хуваалт, хэрэв 0-ээс 1 хүртэл байвал энэ нь Лобачевскийн онгоцны хуваалт. Эдгээр бүх тооцоог хүснэгтэд нэгтгэн дүгнэхэд тохиромжтой.
Үүнийг хаанаас харж болох вэ:
1. Ламда нь 1-ээс их, 3-аас бага бол бөмбөрцөг нь зөвхөн 5 шийдэлтэй тохирч байвал тэдгээрийг хүснэгтэд ногоон өнгөөр тодруулсан болно. Үүнд: (3, 3) - тетраэдр, (3, 4) - октаэдр, (3, 5) - икосаэдр, (4, 3) - шоо, (5, 3) - дудекаэдр. Өгүүллийн эхэнд тэдний зургийг толилуулсан.
2. Евклидийн хавтгайн хуваалтууд нь зөвхөн 3 шийдэлтэй тохирч, lambda = 1 үед тэдгээрийг хүснэгтэд цэнхэр өнгөөр тодруулсан болно. Эдгээр хуваагдалууд хэрхэн харагдахыг энд харуулав.
3. Эцэст нь бусад бүх хослолууд (p1, p2) нь Лобачевскийн хавтгайн хуваалтуудтай тохирч, ийм хуваалтууд нь хязгааргүй (тоологдох) байдаг; Жишээлбэл, тэдгээрийн заримыг нь харуулахад л үлддэг.
Үр дүн
Иймээс ердөө 5 энгийн олон талт хэлбэртэй, тэдгээр нь хоёр хэмжээст бөмбөрцгийн таван хуваалттай тохирч, Евклидийн хавтгайд ердөө 3 хуваалт, Лобачевскийн хавтгайд тоолж болохуйц тооны хуваалтууд байдаг.Энэ мэдлэгийн хэрэглээ юу вэ?
Бөмбөрцгийн хуваалтыг шууд сонирхдог хүмүүс байдаг.
Ердийн олон өнцөгт Олон өнцөгтийг бүх нүүр нь тэнцүү, тэгш олон өнцөгт гэж нэрлэдэг бөгөөд бүх ирмэг ба бүх орой нь бие биетэйгээ тэнцүү байна. Хэд хэдэн энгийн олон өнцөгтүүд байдаг ч цөөн тооны энгийн олон өнцөгтүүд байдаг.
Ердийн олон өнцөгт гурвалжингаас эхэлдэг шиг ердийн олон өнцөгтүүд нь түүний аналогоос эхэлдэг. тетраэдр (өөрөөр хэлбэл Грек хэлээр тетраэдр). Энэ нь хамгийн бага боломжит тооны орой ба нүүртэй - тус бүр нь дөрөв, зургаан ирмэг (гурван орой нь үргэлж нэг хавтгайд байрладаг; эзэлхүүний биеийн хувьд дор хаяж дөрвөн орой шаардлагатай; орон зай дахь хязгаарлагдмал эзэлхүүнийг хязгаарлаж болохгүй. гурван хавтгай нүүрээр). Орой бүр дээр гурван гурвалжин нүүр, үүний дагуу гурван ирмэг нийлдэг. Тетраэдр бол пирамид бөгөөд хамгийн энгийн нь гурван өнцөгт хэлбэртэй (ямар ч пирамид нь суурь ба хажуугийн нүүрээс бүрдэнэ; пирамид нь n талтай бол түүнийг n нүүртэй гэж нэрлэдэг; n талт пирамидын хувьд n нүүртэй болохыг харахад хялбар байдаг. суурь нь зайлшгүй n-gon хэлбэртэй байх ёстой). Бидний одоог хүртэл тетраэдрийн талаар хэлсэн бүхэн ердийн нэгэн биш, аль ч тетраэдронд хамаатай; ердийн тетраэдрийн нүүрнүүд нь ердийн гурвалжин юм.
Та дараах ердийн олон өнцөгтийг маш сайн мэддэг - энэ бол шоо. Хэрэв тетраэдр нь тодорхой утгаараа гурвалжинтай төстэй бол шоо нь дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Шоо бол бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед юм. Зургийг харалгүйгээр нэг шоо (мөн ямар ч тэгш өнцөгт параллелепипед) хэдэн нүүртэй, хэдэн оройтой, хэдэн ирмэгтэй, орой бүрт хэдэн нүүр, ирмэг нийлж байгааг олж мэдэхийг хичээгээрэй.
Өөр нэг ердийн полиэдрон байдаг октаэдрон (жишээ нь октаэдр) - хавтгай ертөнцөд ижил төстэй зүйл байдаггүй, учир нь энэ нь бага зэрэг гурвалжин, дөрвөлжин хэлбэртэй байдаг. Хоёр тетраэдр пирамидын суурийг нааж октаэдр хийж болно. Ердийн октаэдрийн нүүр нь ердийн гурвалжин юм. Түүний орой бүр дээр тетраэдр ба шоо шиг гурав биш, харин дөрвөн нүүр тулгардаг. Жишээлбэл, байгалийн алмааз талстууд нь октаэдр хэлбэртэй байдаг.
Октаэдр нь куб гэж нэрлэгддэг зүйлтэй нягт холбоотой харилцан үйлчлэх өмч : кубын нүүрний төвүүд нь ердийн октаэдрийн оройнууд, ердийн октаэдрүүдийн нүүрний төвүүд нь шоогийн оройнууд юм. Хэрэв та кубын зэргэлдээх нүүрний төвүүдийг сегментүүдээр холбовол эдгээр сегментүүд нь октаэдрийн ирмэг болно; Хэрэв та октаэдронтой ижил үйлдлийг хийвэл шоо үүснэ. Дашрамд хэлэхэд, үүн дээр үндэслэн октаэдрийн оройн тоо нь кубын нүүрний тоотой тэнцүү байх нь тодорхой байна, мөн эсрэгээр; Түүнээс гадна тэдгээрийн ирмэгийн тоо давхцдаг.
Тетраэдр нь харилцан үйлчлэх шинж чанараараа өөртэйгөө холбоотой байдаг
Ердийн олон өнцөгтүүдийн харилцан хамаарлын шинж чанарын зарим аналогийг томъёолох боломжтой юу?
Дашрамд хэлэхэд тетраэдр нь кубтай холбоотой байдаг. Тухайлбал, хэрэв та хоёр зэргэлдээгүй кубын дөрвөн оройг сонгоод тэдгээрийг сегментүүдтэй холбовол эдгээр сегментүүд нь тетраэдр үүсгэдэг!
 |
|
Цагаан будаа. 3. Шоо ба тетраэдр |
Анхаарал татахуйц ердийн олон талтуудын хамгийн чухал шинж чанар бол тэдний өндөр тэгш хэм юм. Янз бүрийн хавтгайн эргэн тойронд тодорхой тооны тусгал, түүнчлэн өөр өөр тэнхлэгийн эргэн тойронд хэд хэдэн эргэлт нь олон талт бүрийг өөрчилдөг. Тэд тус бүр нь тэгш хэм ба тэнхлэгийн бүх хавтгай дамждаг төвтэй; оройнууд нь энэ төвөөс ижил зайтай, нүүр ба ирмэгийн хувьд мөн адил байна. Тиймээс ердийн олон өнцөгт бүрт бөмбөрцөг дүрсэлж болох бөгөөд тэдгээрийн эргэн тойронд бөмбөрцгийг дүрсэлж болно. (Гэхдээ энэ тал дээр тэд ердийн олон өнцөгтүүдтэй нэлээд төстэй бөгөөд тэдгээрийн дотор тойрог бичиж, тойргийг дүрсэлж болно).
Куб, тетраэдр, октаэдр нь хэдэн тэгш хэмийн хавтгайтай вэ? Тэд тус бүр нь олон өнцөгтийг өөрчилдөг хэдэн эргэлтийн тэнхлэгтэй вэ?
