Тогтмол тоо Адуудсан хязгаар дараалал(x n ), хэрэв дурын жижиг эерэг тооны хувьдε > 0 бүх утгыг агуулсан N тоо байна x n, үүний хувьд n>N, тэгш бус байдлыг хангана
|x n - a|< ε. (6.1)
Үүнийг дараах байдлаар бичнэ үү: эсвэл x n →а.
Тэгш бус байдал (6.1) нь давхар тэгш бус байдалтай тэнцүү байна
a- ε< x n < a + ε, (6.2)
оноо гэсэн үг x n, зарим n>N тооноос эхлэн интервал дотор хэвт (a-ε, a+ ε ), i.e. ямар ч жижиг зүйлд унахε - нэг цэгийн хөрш А.
Хязгаарлалттай дарааллыг дуудна нэгдэх, эс бөгөөс - ялгаатай.
Функцийн хязгаарын тухай ойлголт нь дарааллын хязгаарыг бүхэл аргументийн x n = f(n) функцийн хязгаар гэж үзэж болох тул дарааллын хязгаарын тухай ойлголтын ерөнхий ойлголт юм. n.
f(x) функц өгөгдсөн байг а - хязгаар цэгэнэ функцийн тодорхойлолтын домэйн D(f), i.e. -аас өөр D(f) олонлогийн цэгүүдийг агуулсан аль ч хөрш ийм цэг а. Цэг а D(f) олонлогт хамаарахгүй байж болно.
Тодорхойлолт 1.Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→a, хэрэв аргументуудын утгуудын аль нэг дараалалд (x n ) чиглэнэ А, харгалзах дараалууд (f(x n)) ижил хязгаар А байна.
Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Гейний дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох замаар,эсвэл " дэс дарааллын хэлээр”.
Тодорхойлолт 2. Тогтмол А тоог дуудна хязгаар функцууд f(x) цагт x→a, хэрэв, дурын жижиг эерэг тоог ε зааж өгснөөр, ийм δ-г олж болно>0 (ε-ээс хамаарна), энэ нь хүн бүрт зориулагдсан x, хэвтэж байнаε-тооны хөршүүд А, өөрөөр хэлбэл Учир нь x, тэгш бус байдлыг хангаж байна
0 <
х-а< ε
, f(x) функцийн утгууд нь байх болноε-А тооны хөрш, i.e.|f(x)-A|<
ε.
Энэ тодорхойлолтыг нэрлэдэг Кошигийн дагуу функцийн хязгаарыг тодорхойлох замаар,эсвэл “ε - δ хэлээр “.
Тодорхойлолт 1 ба 2 нь тэнцүү байна. Хэрэв f(x) функц нь x →нь байна хязгаар, А-тай тэнцүү бол үүнийг маягтаар бичнэ
. (6.3)
(f(x n)) дараалал нь ямар ч ойртох аргын хязгаарлалтгүйгээр нэмэгдэх (эсвэл буурах) тохиолдолд xтаны хязгаарт А, тэгвэл бид f(x) функцтэй гэж хэлэх болно хязгааргүй хязгаар,мөн үүнийг дараах хэлбэрээр бичнэ үү.
Хязгаар нь 0 хувьсагчийг (жишээ нь дараалал эсвэл функц) дуудна хязгааргүй жижиг.
Хязгаар нь хязгааргүйтэй тэнцүү хувьсагчийг дуудна хязгааргүй том.
Практикт хязгаарыг олохын тулд дараах теоремуудыг ашиглана.
Теорем 1 . Хэрэв бүх хязгаарлалт байгаа бол
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Сэтгэгдэл. 0/0 гэх мэт илэрхийллүүд, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - жишээлбэл, хоёр хязгааргүй бага эсвэл хязгааргүй их хэмжээний харьцаа тодорхойгүй бөгөөд ийм төрлийн хязгаарыг олохыг "тодорхойгүй байдлыг илрүүлэх" гэж нэрлэдэг.
Теорем 2. (6.7)
тэдгээр. Тогтмол экспоненттай хүчин чадал дээр үндэслэн хязгаарт хүрч болно, ялангуяа, 
;
(6.8)
(6.9)
Теорем 3.
(6.10)
(6.11)
Хаана д » 2.7 - натурал логарифмын суурь. (6.10) ба (6.11) томъёог эхнийх гэж нэрлэдэг гайхалтай хязгаарба хоёр дахь гайхалтай хязгаар.
(6.11) томъёоны үр дагаврыг практикт мөн ашигладаг.
(6.12)
(6.13)
(6.14)
ялангуяа хязгаар,
Хэрэв x → a ба нэгэн зэрэг x > a, дараа нь x гэж бичнэ→a + 0. Ялангуяа a = 0 бол 0+0 тэмдгийн оронд +0 гэж бичнэ. Үүнтэй адилаар хэрэв x→a ба нэгэн зэрэг x 
мөн зохих ёсоор дуудагдана зөв хязгаарТэгээд зүүн хязгаар функцууд f(x) цэг дээр А. f(x) функцийн хязгаар x→ байхын тулдa шаардлагатай бөгөөд хангалттай учраас 
. f(x) функцийг дуудна тасралтгүй цэг дээрХэрэв хязгаар бол x 0
. (6.15)
Нөхцөл (6.15)-ыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.
,
өөрөөр хэлбэл, тухайн цэг дээр тасралтгүй байвал функцийн тэмдгийн дор хязгаарт шилжих боломжтой.
Хэрэв тэгш байдал (6.15) зөрчигдвөл бид үүнийг хэлнэ цагт x = xo функц f(x) байна цоорхой y = 1/x функцийг авч үзье. Энэ функцийн тодорхойлолтын домэйн нь олонлог юм Р, x = 0-ээс бусад. x = 0 цэг нь D(f) олонлогийн хязгаарын цэг бөгөөд учир нь түүний аль ч орчимд, i.e. 0 цэгийг агуулсан аливаа нээлттэй интервалд D(f) цэгүүд байдаг боловч энэ нь өөрөө энэ олонлогт хамаарахгүй. f(x o)= f(0) утга тодорхойлогдоогүй тул x o = 0 цэгт функц нь тасалдалтай байна.
f(x) функцийг дуудна цэг дээр баруун талд тасралтгүй x o бол хязгаар
,
Тэгээд цэг дээр зүүн талд тасралтгүй x o, хэрэв хязгаар
.
Нэг цэг дэх функцийн тасралтгүй байдал хоЭнэ нь баруун болон зүүн талд байгаа түүний тасралтгүй байдалтай тэнцүү байна.
Функц нь цэг дээр тасралтгүй байхын тулд хо, жишээлбэл, баруун талд, нэгдүгээрт, хязгаарлагдмал хязгаар байх шаардлагатай, хоёрдугаарт, энэ хязгаар нь f(x o) -тэй тэнцүү байх ёстой. Тиймээс, эдгээр хоёр нөхцлийн дор хаяж нэг нь хангагдаагүй тохиолдолд функц нь тасалдалтай болно.
1. Хэрэв хязгаар байгаа бөгөөд f(x o) -тай тэнцүү биш бол тэд ингэж хэлдэг функц f(x) цэг дээр x o байна Эхний төрлийн хагарал,эсвэл үсрэлт.
2. Хэрэв хязгаар нь байвал+∞ эсвэл -∞ эсвэл байхгүй, тэгвэл тэд дотор гэж хэлдэг цэгхо функц нь тасалдалтай байна хоёр дахь төрөл.
Жишээ нь, функц у = cot x at x→ +0 нь +∞-тэй тэнцүү хязгаартай, энэ нь x=0 цэг дээр хоёр дахь төрлийн тасалдалтай байна гэсэн үг. y = E(x) функц (бүхэл хэсэг x) бүхэл абсцисс бүхий цэгүүд нь эхний төрлийн тасалдалтай, эсвэл үсрэлттэй байдаг.
Интервалын цэг бүрт тасралтгүй байх функцийг дуудна тасралтгүй V . Тасралтгүй функцийг хатуу муруйгаар илэрхийлнэ.
Тодорхой хэмжээний тасралтгүй өсөлттэй холбоотой олон асуудал нь хоёр дахь гайхалтай хязгаарт хүргэдэг. Ийм ажлуудад жишээлбэл: нийлмэл хүүгийн хуулийн дагуу ордын өсөлт, улсын хүн амын өсөлт, цацраг идэвхт бодисын задрал, бактерийн тархалт гэх мэт.
Ингээд авч үзье Я I. Перелманы жишээ, тооны тайлбарыг өгч байна днийлмэл хүүгийн асуудалд. Тоо дхязгаар бий 
. Хадгаламжийн банкинд жил бүр хүүгийн мөнгийг үндсэн хөрөнгөд нэмж оруулдаг. Хэрэв нэгдэх нь илүү олон удаа хийгдвэл сонирхол үүсэхэд илүү их хэмжээний хөрөнгө оролцдог тул хөрөнгө илүү хурдан өсдөг. Цэвэр онолын, маш хялбаршуулсан жишээг авч үзье. 100 үгүйсгэгчийг банкинд хадгалуулъя. нэгж жилийн 100% дээр үндэслэсэн. Хэрэв хүүгийн мөнгийг жилийн дараа л үндсэн капиталд нэмбэл энэ хугацаанд 100 дэн болно. нэгж 200 мөнгөний нэгж болж хувирна. Одоо 100 далайчин юу болж хувирахыг харцгаая. нэгж, хэрэв хүүгийн мөнгийг зургаан сар тутамд үндсэн капиталд нэмбэл. Зургаан сарын дараа 100 ден. нэгж 100 болж өснө×
1.5 = 150, өөр зургаан сарын дараа - 150×
1.5 = 225 (денс. нэгж). Хэрэв элсэлтийг жилийн 1/3 тутамд хийдэг бол жилийн дараа 100 ден. нэгж 100 болж хувирна× (1 +1/3) 3 " 237 (дэн. нэгж). Хүүгийн мөнгийг 0.1 жил, 0.01 жил, 0.001 жил гэх мэтээр нэмэх нөхцөлийг нэмэгдүүлнэ. Дараа нь 100 дентээс. нэгж жилийн дараа энэ нь:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (нэгж),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (нэгж),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. нэгж).
Хүү нэмэх нөхцөлийг хязгааргүй бууруулснаар хуримтлагдсан хөрөнгө нь хязгааргүй өсөхгүй, харин ойролцоогоор 271-тэй тэнцэх тодорхой хязгаарт ойртоно. Жилийн 100% хадгалуулсан хөрөнгө нь хуримтлагдсан хүү байсан ч 2.71 дахин өсөх боломжгүй. хязгаар учир нийслэлд секунд тутамд нэмэгддэг байсан
Жишээ 3.1.Тооны дарааллын хязгаарын тодорхойлолтыг ашиглан x n =(n-1)/n дараалал нь 1-тэй тэнцүү хязгаартай болохыг батал.
Шийдэл.Бид юу ч байсан үүнийг батлах хэрэгтэйε > 0, бид юу ч авсан бай, учир нь N натурал тоо байгаа тул бүх n N хувьд тэгш бус байдал биелнэ.|x n -1|< ε.
Дурын e > 0-г авъя. x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тэгвэл N-ийг олохын тулд 1/n тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.< д. Тиймээс n>1/ e Тиймээс N-ийг 1/-ийн бүхэл хэсэг болгон авч болно. e , N = E(1/ e ). Бид үүгээрээ хязгаар гэдгийг нотолсон.
Жишээ 3.2
. Нийтлэг гишүүнээр өгөгдсөн дарааллын хязгаарыг ол 
.
Шийдэл.Нийлбэр теоремын хязгаарыг хэрэглэж гишүүн бүрийн хязгаарыг олъё. Хэзээ n→ ∞ гишүүн бүрийн хүртэгч ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг ба бид хуваах хязгаарын теоремыг шууд хэрэглэх боломжгүй. Тиймээс бид эхлээд хувиргадаг x n, эхний гишүүний тоо болон хуваагчийг хуваах n 2, хоёр дахь нь дээр n. Дараа нь хуваалтын хязгаар ба нийлбэр теоремын хязгаарыг ашигласнаар бид дараахь зүйлийг олно.
.
Жишээ 3.3. 
. олох.
Шийдэл. 
.
Энд бид градусын теоремыг ашигласан: градусын хязгаар нь суурийн хязгаарын зэрэгтэй тэнцүү байна.
Жишээ 3.4
. олох ( 
).
Шийдэл.Бидэнд хэлбэрийн тодорхой бус байдал байгаа тул ялгааны теоремыг хэрэглэх боломжгүй ∞-∞ . Томъёоны ерөнхий нэр томъёог өөрчилье:
.
Жишээ 3.5 . f(x)=2 1/x функц өгөгдсөн. Хязгааргүй гэдгийг батал.
Шийдэл.Функцийн хязгаарын 1-р тодорхойлолтыг дараалалаар ашиглая. 0-д ойртох дарааллыг ( x n ) авч үзье, өөрөөр хэлбэл. f(x n)= утга нь өөр өөр дарааллын хувьд өөр өөрөөр ажилладаг болохыг харуулъя. x n = 1/n гэж үзье. Мэдээжийн хэрэг, дараа нь хязгаар 
Одоо сонголтоо хийцгээе x n x n = -1/n нийтлэг гишүүнтэй дараалал, мөн тэг рүү тэмүүлдэг. 
Тиймээс ямар ч хязгаарлалт байхгүй.
Жишээ 3.6 . Хязгааргүй гэдгийг батал.
Шийдэл.x 1 , x 2 ,..., x n ,... нь дараалал байг
. (f(x n)) = (sin x n) дараалал өөр x n → ∞-д хэрхэн ажиллах вэ?
Хэрэв x n = p n бол sin x n = sin p бүгдэд нь n = 0 nболон хязгаар Хэрэв
x n =2 p n+ p /2, тэгвэл sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = бүгдэд нь 1 nулмаар хязгаар. Тэгэхээр энэ байхгүй.
Хязгаарыг онлайнаар тооцоолох виджет
Дээд талын цонхонд sin(x)/x-ийн оронд хязгаарыг нь олохыг хүссэн функцээ оруулна уу. Доод цонхонд x-ийн хандлагатай тоог оруулаад Тооцооллын товчийг дарж, хүссэн хязгаараа аваарай. Хэрэв та үр дүнгийн цонхонд баруун дээд буланд байрлах Show алхамуудыг дарвал дэлгэрэнгүй шийдлийг авах болно.
Функц оруулах дүрэм: sqrt(x) - квадрат язгуур, cbrt(x) - шоо язгуур, exp(x) - экспонент, ln(x) - натурал логарифм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan (x) - шүргэгч, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - arcsine, arccos(x) - arccosine, arctan(x) - арктангенс. Тэмдгүүд: * үржүүлэх, / хуваах, ^ экспонентаци, оронд нь хязгааргүйХязгааргүй байдал. Жишээ нь: функцийг sqrt(tan(x/2)) гэж оруулсан.
Хязгаарын онол нь математик шинжилгээний нэг салбар юм. Янз бүрийн төрлийн хязгаарыг шийдэх олон арван арга байдаг тул хязгаарыг шийдвэрлэх асуудал нэлээд өргөн хүрээтэй байдаг. Энэ эсвэл тэр хязгаарыг шийдэх боломжийг танд олгодог олон арван нюанс, заль мэх байдаг. Гэсэн хэдий ч бид практикт ихэвчлэн тохиолддог хязгаарлалтын үндсэн төрлүүдийг ойлгохыг хичээх болно.
Хязгаарын тухай ойлголтоос эхэлье. Гэхдээ эхлээд түүхэн товч мэдээлэл. Тэнд 19-р зуунд Францын иргэн Августин Луи Коши амьдарч байсан бөгөөд тэрээр матан хэмээх олон ойлголтод хатуу тодорхойлолт өгч, түүний үндсийг тавьсан юм. Математикийн шинжилгээний асар олон теоремыг нотолсон, нэг теорем нь нөгөөгөөсөө илүү үхэлд хүргэдэг тул энэ хүндтэй математикч физик, математикийн тэнхимийн бүх оюутнуудын хар дарсан зүүд байсан, байгаа, байх болно гэдгийг хэлэх ёстой. Үүнтэй холбогдуулан бид одоохондоо авч үзэхгүй Коши хязгаарыг тодорхойлох, гэхдээ хоёр зүйлийг хийхийг оролдъё:
1. Хязгаар гэж юу болохыг ойлгох.
2. Хязгаарын үндсэн төрлүүдийг шийдэж сур.
Шинжлэх ухааны үндэслэлгүй тайлбар өгсөнд хүлцэл өчье, материал нь цайны аяганд хүртэл ойлгомжтой байх нь чухал бөгөөд энэ нь үнэндээ төслийн даалгавар юм.
Тэгэхээр хязгаар нь юу вэ?
Тэгээд яагаад сэгсгэр эмээгийн жишээ....
Аливаа хязгаарлалт нь гурван хэсгээс бүрдэнэ:
1) Алдартай хязгаарын дүрс.
2) Хязгаарлалтын дүрсийн доорх оруулгууд, энэ тохиолдолд . Бичлэгт "X tends to one" гэж бичсэн байна. Ихэнх тохиолдолд яг үнэндээ "X"-ийн оронд өөр хувьсагч байдаг. Практик даалгаврын хувьд нэгийн байр нь ямар ч тоо, мөн хязгааргүй () байж болно.
3) Хязгаарын тэмдгийн доорх функцууд, энэ тохиолдолд .
Бичлэг өөрөө 
"х функцийн хязгаар нь нэгдмэл байх хандлагатай байдаг."
Дараагийн чухал асуултыг харцгаая - "x" гэсэн илэрхийлэл нь юу гэсэн үг вэ? зүтгэдэгнэг рүү"? Мөн "хүчин чармайлт" гэдэг нь юу гэсэн үг вэ?
Хязгаарын тухай ойлголт бол ойлголт юм. динамик. Дараалал байгуулъя: эхлээд , дараа нь , , …, 
, ….
Энэ нь "х зүтгэдэгнэг рүү" гэж дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: "x" утгыг тогтмол авдаг эв нэгдэлд ойртох нь хязгааргүй ойр бөгөөд практикт үүнтэй давхцдаг.
Дээрх жишээг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Дээр дурдсан зүйлс дээр үндэслэн та хязгаарын тэмдгийн доорх функцэд нэгийг орлуулахад л хангалттай.
Тиймээс, эхний дүрэм: Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд бид дугаарыг функцэд залгахыг оролддог.
Бид хамгийн энгийн хязгаарыг авч үзсэн боловч эдгээр нь практикт тохиолддог бөгөөд тийм ч ховор биш юм!
Хязгааргүй жишээ:
Энэ юу болохыг олж мэдье? Энэ нь хязгааргүй өсөх үед тохиолддог, өөрөөр хэлбэл: эхлээд, дараа нь, дараа нь, дараа нь гэх мэт.
Энэ үед функцэд юу тохиолдох вэ?
, , 
, …
Тэгэхээр: хэрэв , тэгвэл функц нь хасах хязгааргүй байх хандлагатай байна:
Товчхондоо, бидний эхний дүрмийн дагуу бид "X"-ийн оронд функцэд хязгааргүйг орлуулж, хариултыг авна.
Хязгааргүй байдлын өөр нэг жишээ:
Дахин бид хязгааргүй хүртэл нэмэгдэж, функцын зан төлөвийг харна: 
Дүгнэлт: функц хязгааргүй нэмэгдэх үед:
Мөн өөр нэг цуврал жишээ:
Дараахь зүйлийг сэтгэцийн хувьд задлан шинжилж, хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг санаарай.
, , , , 
, , , , 
,
Хэрэв та хаана ч эргэлзэж байвал тооны машин аваад бага зэрэг дасгал хийж болно.
Ийм тохиолдолд , , , дарааллыг бий болгож үзээрэй. Хэрэв , тэгвэл , , .
! Анхаарна уу: Хатуухан хэлэхэд хэд хэдэн тооны дарааллыг бий болгох энэ арга нь буруу боловч хамгийн энгийн жишээг ойлгоход тохиромжтой.
Мөн дараах зүйлд анхаарлаа хандуулаарай. Хязгаарыг дээд талд нь олон тоогоор өгсөн ч, бүр саятай ч гэсэн: , тэгвэл бүгд адилхан. 
, эрт орой хэзээ нэгэн цагт "X" ийм асар том үнэ цэнийг авч эхлэх тул саяыг харьцуулбал жинхэнэ микроб болно.
Дээрхээс юу санаж, ойлгох хэрэгтэй вэ?
1) Ямар нэгэн хязгаарлалт өгөгдсөн бол эхлээд функцэд тоог орлуулахыг оролдоно.
2) Та хамгийн энгийн хязгаарлалтуудыг ойлгож, нэн даруй шийдвэрлэх ёстой 
гэх мэт.
Түүнээс гадна хязгаар нь маш сайн геометрийн утгатай. Энэ сэдвийг илүү сайн ойлгохын тулд сургалтын материалыг уншихыг зөвлөж байна График ба энгийн функцүүдийн шинж чанарууд. Энэ өгүүллийг уншсаны дараа та хязгаар гэж юу болохыг эцэст нь ойлгохоос гадна функцийн хязгаарыг ерөнхийд нь илэрхийлэх сонирхолтой тохиолдлуудтай танилцах болно. байхгүй!
Бодит байдал дээр харамсалтай нь бэлэг цөөхөн байдаг. Тиймээс бид илүү төвөгтэй хязгаарлалтуудыг авч үзэх болно. Дашрамд хэлэхэд, энэ сэдвээр байна эрчимжүүлсэн курс pdf форматтай, энэ нь танд бэлтгэх цаг маш бага байгаа тохиолдолд хэрэг болно. Гэхдээ сайтын материал нь мэдээжийн хэрэг үүнээс муу зүйл биш юм:
Одоо бид тоо болон хуваагч нь олон гишүүнт агуулсан бутархай байх үед хязгаарын бүлгийг авч үзэх болно.
Жишээ:
Хязгаарыг тооцоолох 
Манай дүрмийн дагуу бид функцэд хязгааргүйг орлуулахыг хичээх болно. Бид дээд талд юу авах вэ? Хязгааргүй байдал. Тэгээд доор юу болох вэ? Мөн хязгааргүй. Тиймээс бидэнд зүйлийн тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйл бий. Хариулт нь бэлэн байна гэж бодож магадгүй, гэхдээ ерөнхийдөө энэ нь огт тийм биш бөгөөд бид одоо авч үзэх болно.
Энэ төрлийн хязгаарлалтыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ?
Эхлээд бид тоологчийг хараад хамгийн их хүчийг олно. 
Тоолуур дахь тэргүүлэх хүч нь хоёр байна.
Одоо бид хуваагчийг хараад хамгийн дээд хүчийг олно. 
Хуваарийн дээд зэрэг нь хоёр байна.
Дараа нь бид тоологч ба хуваагчийн хамгийн дээд хүчийг сонгоно: энэ жишээнд тэдгээр нь ижил бөгөөд хоёртой тэнцүү байна.
Тиймээс, шийдлийн арга нь дараах байдалтай байна: тодорхойгүй байдлыг илрүүлэхийн тулд тоологч ба хуваагчийг хамгийн дээд хүчээр хуваах шаардлагатай.
Хариулт нь энд байгаа бөгөөд энэ нь хязгааргүй биш юм.
Шийдвэр гаргахад юу чухал вэ?
Нэгдүгээрт, хэрэв байгаа бол бид тодорхойгүй байдлыг илэрхийлнэ.
Хоёрдугаарт, завсрын тайлбар хийх шийдлийг тасалдуулах нь зүйтэй. Би ихэвчлэн тэмдгийг ашигладаг, энэ нь математикийн ямар ч утгагүй, гэхдээ завсрын тайлбарын хувьд шийдэл нь тасалдсан гэсэн үг юм.
Гуравдугаарт, хязгаарт юу хаашаа явж байгааг тэмдэглэхийг зөвлөж байна. Ажлыг гараар зурсан тохиолдолд дараах байдлаар хийх нь илүү тохиромжтой. 
Тэмдэглэл бичихдээ энгийн харандаа ашиглах нь дээр.
Мэдээжийн хэрэг, та эдгээрийн аль нэгийг нь хийх шаардлагагүй, гэхдээ дараа нь багш шийдлийн дутагдлыг зааж өгөх эсвэл даалгаврын талаар нэмэлт асуулт асууж эхлэх болно. Танд хэрэгтэй юу?
Жишээ 2
Хязгаарыг ол 
Дахин тоологч ба хуваагчаас бид хамгийн өндөр зэрэгтэй байна: 
Тоолуур дахь дээд зэрэг: 3
Хуваагчийн дээд зэрэг: 4
Сонго хамгийн агууүнэ цэнэ, энэ тохиолдолд дөрөв.
Бидний алгоритмын дагуу тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд бид тоологч ба хуваагчийг хуваадаг.
Бүрэн даалгавар дараах байдлаар харагдаж болно.
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа
Жишээ 3
Хязгаарыг ол 
Тоолуур дахь "X"-ийн хамгийн их зэрэг: 2
Хуваагч дахь "X"-ийн дээд зэрэг: 1 (ингэж бичиж болно)
Тодорхой бус байдлыг илрүүлэхийн тулд тоологч ба хуваагчийг -д хуваах шаардлагатай. Эцсийн шийдэл нь дараах байдлаар харагдаж болно.
Тоолуур ба хуваагчийг хуваа
Тэмдэглэгээ нь тэгээр хуваагдах гэсэн үг биш (та тэгээр хувааж болохгүй), харин хязгааргүй цөөн тоогоор хуваагдана.
Тиймээс, төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдлыг илрүүлснээр бид үүнийг хийж чадна эцсийн тоо, тэг эсвэл хязгааргүй.
Төрөл, тэдгээрийг шийдвэрлэх аргын тодорхойгүй хязгаарлалтууд
Дараагийн бүлэг хязгаар нь саяхан авч үзсэн хязгаартай зарим талаараа төстэй: тоологч ба хуваагч нь олон гишүүнтүүдийг агуулдаг боловч "x" нь хязгааргүйд хандахаа больсон, харин хязгаарлагдмал тоо.
Жишээ 4
Хязгаарыг шийдэх 
Эхлээд бутархайд -1-ийг орлуулахыг оролдъё. 
Энэ тохиолдолд тодорхойгүй байдал гэж нэрлэгддэг зүйлийг олж авдаг.
Ерөнхий дүрэм: хэрэв тоологч ба хуваагч олон гишүүнт агуулж байгаа бөгөөд хэлбэр нь тодорхойгүй байвал түүнийг задлах та тоо болон хуваагчийг үржүүлэх хэрэгтэй.
Үүнийг хийхийн тулд ихэвчлэн квадрат тэгшитгэлийг шийдэх ба/эсвэл үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглах шаардлагатай болдог. Хэрэв эдгээр зүйлсийг мартсан бол хуудас руу зочилно уу Математикийн томъёо, хүснэгтмөн сургалтын материалыг уншина уу Сургуулийн математикийн хичээлийн халуун томъёо. Дашрамд хэлэхэд үүнийг хэвлэх нь хамгийн сайн арга юм, энэ нь маш олон удаа шаардлагатай бөгөөд мэдээллийг цааснаас илүү сайн шингээдэг.
Ингээд хязгаараа шийдье 
Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлээрэй
Тоолуурыг хүчин зүйл болгохын тулд квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй. 
Эхлээд бид ялгагчийг олно:
Мөн үүний квадрат язгуур: .
Хэрэв дискриминант нь том бол, жишээ нь 361, бид тооцоолуур ашиглан квадрат язгуурыг задлах функц нь хамгийн энгийн тооцоолуур дээр байдаг.
! Хэрэв үндсийг бүхэлд нь задлаагүй бол (таслалтай бутархай тоог гаргавал) ялгаварлагчийг буруу тооцоолсон эсвэл даалгаварт үсгийн алдаа гарсан байх магадлалтай.
Дараа нь бид үндсийг нь олно: 
Тиймээс:
Бүгд. Тоолуурыг хүчин зүйлчилсэн.
Хуваагч. Хуваагч нь аль хэдийн хамгийн энгийн хүчин зүйл бөгөөд үүнийг хялбарчлах арга байхгүй.
Үүнийг дараах байдлаар богиносгож болох нь ойлгомжтой.
Одоо бид хязгаарын тэмдгийн доор үлдсэн илэрхийлэлд -1-ийг орлуулна.
Мэдээжийн хэрэг, шалгалт, шалгалт эсвэл шалгалтын шийдэл нь хэзээ ч ийм нарийн бичигдсэн байдаг. Эцсийн хувилбарт загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.
Тоолуурыг үржвэр болгоё. 
Жишээ 5
Хязгаарыг тооцоолох 
Нэгдүгээрт, шийдлийн "дуусгах" хувилбар
Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлье.
Тоологч:
Хуваагч: 
, 
Энэ жишээнд юу чухал вэ?
Нэгдүгээрт, та тоологч хэрхэн илрэх талаар сайн ойлголттой байх ёстой, эхлээд хаалтнаас 2-ыг аваад дараа нь квадратуудын зөрүүний томъёог ашигласан. Энэ бол таны мэдэж, үзэх ёстой томъёо юм.
Зөвлөмж: Хэрэв хязгаарт (бараг ямар ч төрлийн) хаалтнаас хэд хэдэн тоог гаргаж авах боломжтой бол бид үүнийг үргэлж хийдэг.
Түүнээс гадна ийм тоонуудыг хязгаарын дүрсээс хэтрүүлэхийг зөвлөж байна. Юуны төлөө? Тийм ээ, тэд саад болохгүйн тулд. Хамгийн гол нь шийдлийн явцад эдгээр тоог хожим алдахгүй байх явдал юм.
Шийдлийн эцсийн шатанд би хоёрыг хязгаарын дүрсээс, дараа нь хасахыг хассан гэдгийг анхаарна уу.
! Чухал
Уусмалын явцад төрлийн фрагмент маш олон удаа тохиолддог. Энэ хэсгийг багасгаэнэ нь хориотой
. Эхлээд та тоологч эсвэл хуваагчийн тэмдгийг өөрчлөх хэрэгтэй (хаалтанд -1-ийг тавь).
, өөрөөр хэлбэл хасах тэмдэг гарч ирэх бөгөөд энэ нь хязгаарыг тооцоолохдоо харгалзан үздэг бөгөөд үүнийг алдах шаардлагагүй болно.
Ерөнхийдөө энэ төрлийн хязгаарыг олохын тулд та хоёр квадрат тэгшитгэлийг шийдэх хэрэгтэй гэдгийг би анзаарсан, өөрөөр хэлбэл тоологч ба хуваагч хоёулаа квадрат гурвалсан тоог агуулдаг.
Тоолуур ба хуваагчийг нэгтгэсэн илэрхийллээр үржүүлэх арга
Бид маягтын тодорхой бус байдлыг үргэлжлүүлэн авч үзэх болно
Дараагийн төрлийн хязгаарлалт нь өмнөх төрлийнхтэй төстэй. Цорын ганц зүйл бол олон гишүүнтээс гадна бид үндэс нэмэх болно.
Жишээ 6
Хязгаарыг ол 
Шийдвэрлэж эхэлцгээе.
Эхлээд бид хязгаарын тэмдгийн доорх илэрхийлэлд 3-ыг орлуулахыг оролддог
Би дахин нэг удаа давтан хэлье - энэ бол ямар ч хязгаарлалтын хувьд таны хийх ёстой хамгийн эхний зүйл юм. Энэ үйлдэл нь ихэвчлэн оюун ухаан эсвэл ноорог хэлбэрээр хийгддэг.
Маягтын тодорхойгүй байдлыг арилгах шаардлагатай болсон. 
Та анзаарсан байх, манай тоологч язгуурын ялгааг агуулдаг. Математикийн хувьд боломжтой бол үндсийг нь арилгах нь заншилтай байдаг. Юуны төлөө? Мөн тэдэнгүйгээр амьдрал илүү хялбар байдаг.
Төрөл ба зүйлийн тодорхойгүй байдал нь хязгаарыг шийдвэрлэх үед илчлэх шаардлагатай хамгийн түгээмэл тодорхойгүй байдал юм.
Оюутнуудад тулгардаг ихэнх хязгаарлалтын асуудлууд яг ийм тодорхой бус байдлыг агуулдаг. Тэдгээрийг илчлэх, эсвэл тодорхой бус байдлаас зайлсхийхийн тулд хязгаарын тэмдгийн дор илэрхийллийн төрлийг хувиргах хэд хэдэн хиймэл аргууд байдаг. Эдгээр аргууд нь дараах байдалтай байна: хувьсагчийн хамгийн дээд хүчинд хуваагч ба хуваагчийг гишүүнээр хуваах, хосолсон илэрхийллээр үржүүлэх, квадрат тэгшитгэлийн шийдэл, үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан дараагийн бууруулах зорилгоор үржүүлэх.
Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал
Жишээ 1.
n 2-той тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана.
.
Илэрхийллийн баруун талд тайлбар бичнэ үү. Сум ба тоонууд нь орлуулалтын дараа бутархай хэсгүүд хаана байгааг заадаг nхязгааргүй гэсэн утгатай. Энд жишээ 2-ын адил зэрэг nХуваагч нь тоологчоос илүү их байдаг бөгөөд үүний үр дүнд бүхэл бутархай нь хязгааргүй жижиг буюу "хэт жижиг" байх хандлагатай байдаг.
Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь -тэй тэнцүү байна.
Жишээ 2. .
Шийдэл. Энд хувьсагчийн хамгийн их чадал байна x 1-тэй тэнцүү.Тиймээс бид тоологч ба хуваагч гишүүнийг гишүүнээр хуваана x:
Шийдвэрийн явцын талаарх тайлбар. Тоолуур дээр бид "x"-ийг гуравдугаар зэргийн язгуур дор хөтлөх ба анхны зэрэг (1) өөрчлөгдөхгүй байхын тулд бид үүнийг үндэстэй ижил зэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл 3-аар онооно. Сум эсвэл нэмэлт тоо байхгүй байна. Энэ оруулгад оюун ухаанаараа оролдоод үзээрэй, гэхдээ өмнөх жишээтэй адилтгаж "x"-ийн оронд хязгааргүйг орлуулсны дараа тоо болон хуваагч дахь илэрхийллүүд ямар хандлагатай байгааг тодорхойл.
Хязгааргүй хандлагатай хувьсагчтай энэ функцийн хязгаар нь тэгтэй тэнцүү гэсэн хариултыг авсан.
Төрөл зүйлийн тодорхойгүй байдал
Жишээ 3.Тодорхой бус байдлыг илрүүлж, хязгаарыг ол.
Шийдэл. Тоолуур нь кубын зөрүү юм. Сургуулийн математикийн хичээлийн товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан үүнийг хүчин зүйлээр ангилъя.
Хуваагч нь квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх замаар үржвэрлэх болно (квадрат тэгшитгэлийг шийдвэрлэх холбоос):
Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан илэрхийлэлийг бичиж, функцийн хязгаарыг олъё.
Жишээ 4.Тодорхойгүй байдлын түгжээг тайлж, хязгаарыг олоорой
Шийдэл. Хэмжилтийн хязгаарын теорем энд хамаарахгүй, учир нь
Тиймээс бид бутархайг ижил байдлаар хувиргадаг: тоологч ба хуваагчийг хоёрын нэгдэлээр хуваагч руу үржүүлж, хуваах замаар бууруулна. x+1. Теорем 1-ийн үр дүнд үндэслэн бид илэрхийлэлийг олж, үүнийг шийдэж, хүссэн хязгаараа олно.
Жишээ 5.Тодорхойгүй байдлын түгжээг тайлж, хязгаарыг олоорой
Шийдэл. Шууд утгыг орлуулах xӨгөгдсөн функцийн = 0 нь 0/0 хэлбэрийн тодорхойгүй байдалд хүргэдэг. Үүнийг илрүүлэхийн тулд бид ижил өөрчлөлтүүдийг хийж, эцэст нь хүссэн хязгаарыг олж авдаг. 
Жишээ 6.Тооцоол 
Шийдэл:Хязгаарын талаархи теоремуудыг ашиглая
Хариулт: 11
Жишээ 7.Тооцоол 
Шийдэл:Энэ жишээнд тоо ба хуваагчийн хязгаар 0-тэй тэнцүү байна:
; 
. Тиймээс бид хуваалтын хязгаарын теоремыг хэрэглэх боломжгүй гэж хүлээн авсан.
Бутархайг тэг рүү чиглэсэн нийтлэг хүчин зүйлээр багасгахын тулд тоологч ба хуваагчийг үржвэр болгон хувацгаая, тэгэхээр теорем 3-ыг ашиглах боломжтой болгоё.
Х 1 ба x 2 нь гурвалсан гишүүний үндэс болох томьёог ашиглан тоологч дахь квадрат гурвалжийг өргөжүүлье. Үржүүлэгчид болон хуваагчийг гаргасны дараа бутархайг (x-2) бууруулж, теорем 3-ыг хэрэгжүүлнэ.
Хариулт:
Жишээ 8.Тооцоол
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй байх хандлагатай байгаа тул теорем 3-ыг шууд хэрэглэх үед бид тодорхойгүй байдлыг илэрхийлдэг илэрхийлэлийг олж авна. Энэ төрлийн тодорхойгүй байдлаас ангижрахын тулд тоологч ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваах хэрэгтэй. Энэ жишээнд та хуваах хэрэгтэй X:
Хариулт:
Жишээ 9.Тооцоол 
Шийдэл: x 3:
Хариулт: 2
Жишээ 10.Тооцоол 
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй хандлагатай байх үед. Тоолуур ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваая, өөрөөр хэлбэл. x 5:
= 
Бутархайн хуваагч нь 1, хуваагч нь 0 гэсэн хандлагатай байдаг тул бутархай нь хязгааргүй байх хандлагатай байдаг.
Хариулт:
Жишээ 11.Тооцоол
Шийдэл:Тоолуур ба хуваагч нь хязгааргүй хандлагатай байх үед. Тоолуур ба хуваагчийг аргументийн хамгийн дээд хүчээр хуваая, өөрөөр хэлбэл. x 7:
Хариулт: 0
Дериватив.
y = f(x) функцийн x аргументтай холбоотой деривативаргументийн өсөлт тэг болох хандлагатай байх үед y-ийн өсөлтийн х аргументийн x-ийн харьцааны хязгаар гэнэ: . Хэрэв энэ хязгаар хязгаарлагдмал бол функц у = f(x) x цэг дээр дифференциалагдах боломжтой гэж хэлдэг. Хэрэв энэ хязгаар байгаа бол тэд функц гэж хэлдэг у = f(x)х цэг дээр хязгааргүй дериватив байна.
Үндсэн үндсэн функцүүдийн деривативууд:
1. (const)=0 9.
3. 11. 
4. 
12. 
5. 13. 
6. 
14. 
Ялгах дүрэм:
а) 
V) 
Жишээ 1.Функцийн деривативыг ол 
Шийдэл:Хэрэв хоёр дахь гишүүний деривативыг бутархайг ялгах дүрмийг ашиглан олвол эхний гишүүн нь нарийн төвөгтэй функц бөгөөд деривативыг дараах томъёогоор олно.
Тэгвэл хаана
Шийдвэрлэхдээ дараах томъёог ашигласан: 1,2,10,a,c,d.
Хариулт:
Жишээ 21.Функцийн деривативыг ол 
Шийдэл:Хоёр нэр томьёо нь нийлмэл функцууд бөгөөд эхнийх нь , , хоёр дахь нь , дараа нь
Хариулт: 
Дериватив програмууд.
1. Хурд ба хурдатгал
s(t) функцийг тайлбарлая байр суурь t цаг хугацааны зарим координатын систем дэх объект. Тэгвэл s(t) функцийн эхний дериватив агшин зуур байна хурдобъект:
v=s′=f′(t)
s(t) функцийн хоёр дахь дериватив нь агшин зуурыг илэрхийлнэ хурдатгалобъект:
w=v′=s′′=f′′(t)
2. Тангенсийн тэгшитгэл
y−y0=f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) шүргэгч цэгийн координат, f′(x0) нь шүргэгч цэг дээрх f(x) функцийн деривативын утга.
3. Хэвийн тэгшитгэл
y−y0=−1f′(x0)(x−x0),
Энд (x0,y0) нь нормаль зурсан цэгийн координат, f′(x0) нь энэ цэг дэх f(x) функцийн деривативын утга юм.
4. Өсөх, буурах функц
Хэрэв f′(x0)>0 бол функц x0 цэг дээр нэмэгдэнэ. Доорх зурагт функц нь x-ээр нэмэгдэж байна
Хэрэв f'(x0)<0, то функция убывает в точке x0 (интервал x1
5. Функцийн локал экстремум
f(x) функц байна орон нутгийн дээд хэмжээ x1 цэг дээр хэрэв x1 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x1)≥f(x) тэгш бус байдал биелнэ.
Үүнтэй адилаар f(x) функц байна орон нутгийн доод хэмжээ x2 цэг дээр хэрэв x2 цэгийн хөрш байгаа бол энэ хөршөөс бүх x-ийн хувьд f(x2)≤f(x) тэгш бус байдал биелнэ.
6. Чухал цэгүүд
x0 цэг байна чухал цэг f(x) функц, хэрэв түүн дэх f′(x0) дериватив тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй бол.
7. Экстремум байгаагийн эхний хангалттай шинж тэмдэг
Хэрэв f(x) функц нь зарим нэг интервалд (a,x1] бүх x-ийн хувьд (f′(x)>0) нэмэгдэж (f′(x)) буурвал (f′(x))<0) для всех x в интервале и возрастает (f′(x)>0) интервалаас бүх x-ийн хувьд)
