Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үед гадны үндэс гарч ирэх шалтгаанууд. Хичээл “Тэгшитгэлийн эквивалент Үндэс шалгах

Гадны үндэс гэж нэрлэгддэг зүйл гарч ирэхэд хүргэж болзошгүй. Энэ нийтлэлд бид эхлээд юу болохыг нарийвчлан шинжлэх болно гадны үндэс. Хоёрдугаарт, тэдгээрийн үүсэх шалтгаануудын талаар ярилцъя. Гуравдугаарт, жишээнүүдийг ашиглан бид гадны үндсийг шүүх үндсэн аргуудыг авч үзэх болно, өөрөөр хэлбэл хариултаас хасахын тулд тэдгээрийн дунд гадны үндэс байгаа эсэхийг шалгах болно.

Тэгшитгэлийн гадаад үндэс, тодорхойлолт, жишээ

Сургуулийн алгебрийн сурах бичигт гадны язгуурын тодорхойлолт байдаггүй. Дараах нөхцөл байдлыг тайлбарлах замаар гаднах язгуурын санааг бий болгодог: тэгшитгэлийн зарим хувиргалтын тусламжтайгаар анхны тэгшитгэлээс үр дүнд хүрсэн тэгшитгэл рүү шилжих шилжилтийг хийж, үр дүнгийн тэгшитгэлийн язгуурыг олно. , мөн олсон язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар шалгадаг бөгөөд энэ нь олдсон язгууруудын зарим нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш болохыг харуулж байгаа бөгөөд эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур гэж нэрлэдэг.

Энэ үндэслэлээс эхлэн та гадны үндэсийн дараах тодорхойлолтыг өөртөө хүлээн зөвшөөрч болно.

Тодорхойлолт

Гадны үндэс- эдгээр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш, хувиргалтын үр дүнд олж авсан тэгшитгэлийн үндэс юм.

Нэг жишээ хэлье. Илэрхийллийг ижил тэнцүү x·(x−1) илэрхийллээр сольж олж авсан x·(x−1)=0 тэгшитгэлийн үр дагавар болон тэгшитгэлийг авч үзье. Анхны тэгшитгэл нь 1 язгууртай. Өөрчлөлтийн үр дүнд олж авсан тэгшитгэл нь 0 ба 1 гэсэн хоёр үндэстэй. Энэ нь 0 нь анхны тэгшитгэлийн гаднах үндэс гэсэн үг юм.

Гадаад үндэс гарч ирэх шалтгаанууд

Хэрэв үр дүнгийн тэгшитгэлийг олж авахын тулд та ямар ч "хачирхалтай" хувиргалт ашигладаггүй, зөвхөн тэгшитгэлийн үндсэн хувиргалтыг ашигладаг бол гаднах үндэс нь зөвхөн хоёр шалтгааны улмаас үүсч болно.

• ОДЗ-ын өргөтгөлийн улмаас болон
• тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш чадалтай болгосонтой холбоотой.

Тэгшитгэлийг хувиргасны үр дүнд ODZ-ийн тэлэлт голчлон тохиолддог гэдгийг энд санах нь зүйтэй.

• Бутархай хэсгүүдийг багасгах үед;
• Нэг буюу хэд хэдэн тэг хүчин зүйлтэй бүтээгдэхүүнийг тэгээр солих үед;
• Бутархайг тэг тоологчийг тэгээр солих үед;
• Хүчин чадал, үндэс, логарифмын зарим шинж чанарыг ашиглах үед;
• Зарим тригонометрийн томъёог ашиглах үед;
• Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэхэд тухайн тэгшитгэлийн ODZ-ээр алга болно;
• Шийдлийн процесст логарифмын тэмдгээс ангижрах үед.

Өгүүллийн өмнөх догол мөрийн жишээ нь тэгшитгэлээс x·(x−1)=0 үр дагавар тэгшитгэл рүү шилжих үед үүсдэг ODZ-ийн тэлэлтээс үүдэлтэй гадны язгуур гарч ирснийг харуулж байна. Анхны тэгшитгэлийн ODZ нь тэгээс бусад бүх бодит тоонуудын багц бөгөөд үүссэн тэгшитгэлийн ODZ нь R олонлог, өөрөөр хэлбэл ODZ нь тэг тоогоор томорсон байна. Энэ тоо нь эцэстээ гадны үндэс болж хувирдаг.

Бид тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэнцүү хэмжээнд өсгөснөөр гадны үндэс гарч ирэх жишээг өгөх болно. Иррационал тэгшитгэл нь нэг язгуур 4-тэй бөгөөд энэ тэгшитгэлийн үр дагавар нь тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох замаар олж авсан тэгшитгэл юм. , 1 ба 4 гэсэн хоёр үндэстэй. Эндээс тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох нь анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур гарч ирэхэд хүргэсэн нь тодорхой байна.

ODZ-ийг өргөжүүлж, тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүч чадалд өсгөх нь гадны үндэс гарч ирэхэд үргэлж хүргэдэггүй гэдгийг анхаарна уу. Жишээлбэл, тэгшитгэлээс x=2 үр дагавар тэгшитгэл рүү шилжих үед ODZ нь бүх сөрөг бус тооны олонлогоос бүх бодит тоонуудын олонлог руу тэлэх боловч гаднах үндэс гарч ирэхгүй. 2 нь эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс юм. Мөн тэгшитгэлээс үр дагавар тэгшитгэл рүү шилжихэд гадны үндэс гарахгүй. Эхний болон хоёр дахь тэгшитгэлийн цорын ганц үндэс нь x=16. Тийм ч учраас бид гадны үндэс гарч ирэх шалтгаануудын талаар биш, харин гадны үндэс гарч ирэх шалтгаануудын талаар ярьж байна.

Гадны үндсийг илрүүлэх гэж юу вэ?

"Гадны үндсийг шигших" гэсэн нэр томъёог зөвхөн суналт гэж нэрлэж болно, энэ нь бүх алгебрийн сурах бичигт байдаггүй, гэхдээ энэ нь зөн совингийн хувьд ихэвчлэн хэрэглэгддэг. Гадны үндсийг шигших гэдэг нь юу гэсэн үг вэ гэвэл "... баталгаажуулах нь тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай алхам бөгөөд хэрэв байгаа бол гадны үндсийг илрүүлж, устгахад туслах болно (ихэвчлэн "хогийн ургамал" гэж хэлдэг. ”).”

Тиймээс,

Тодорхойлолт

Гадны үндсийг илрүүлэх- энэ бол гадны үндэсийг илрүүлэх, устгах явдал юм.

Одоо та гадны үндэсийг илрүүлэх аргууд руу шилжиж болно.

Гадны үндэсийг илрүүлэх арга

Орлуулах шалгалт

Гадны үндсийг шүүх гол арга бол орлуулах тест юм. Энэ нь ODZ-ийн тэлэлт болон тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил хүч чадалд өсгөх зэргээс шалтгаалан үүсч болох гадны үндсийг арилгах боломжийг танд олгоно.

Орлуулах тест нь дараах байдалтай байна: олсон тэгшитгэлийн язгууруудыг анхны тэгшитгэлд эсвэл түүнтэй адилтгах аливаа тэгшитгэлд ээлжлэн орлуулах, зөв ​​тоон тэгшитгэлийг өгөх нь анхны тэгшитгэлийн үндэс, буруу тоон тэгшитгэл буюу илэрхийлэл нь анхны тэгшитгэлийн үндэс нь утгагүй, анхны тэгшитгэлийн гаднах үндэс юм.

Анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар гадны язгуурыг хэрхэн шүүж болохыг жишээгээр үзүүлье.

Зарим тохиолдолд бусад аргыг ашиглан гадны үндсийг шүүх нь илүү тохиромжтой байдаг. Энэ нь голчлон орлуулах замаар шалгах нь тооцоолоход ихээхэн бэрхшээлтэй холбоотой эсвэл тодорхой төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх стандарт арга нь өөр шалгалт шаарддаг (жишээлбэл, бутархай рационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ гаднах үндсийг шалгах) тохиолдолд хамаарна. бутархайн хуваагч тэгтэй тэнцүү биш байх нөхцөл ). Гадны үндсийг устгах өөр аргуудыг авч үзье.

DL-ийн хэлснээр

Орлуулах туршилтаас ялгаатай нь ODZ ашиглан гадны үндсийг шүүх нь үргэлж тохиромжтой байдаггүй. Үнэн хэрэгтээ энэ арга нь зөвхөн ODZ-ийн өргөжилтийн улмаас үүссэн гадны үндсийг шүүж авах боломжийг олгодог бөгөөд бусад шалтгааны улмаас, жишээлбэл, хоёр талыг өргөснөөс болж үүсч болох гадны үндсийг шүүж авах баталгаа болохгүй. тэгшитгэлийн ижил тэгш чадлын . Түүнээс гадна, шийдэж буй тэгшитгэлийн OD-ийг олох нь үргэлж хялбар байдаггүй. Гэсэн хэдий ч ODZ ашиглан гадны үндсийг шүүж авах аргыг ашиглах нь зүйтэй бөгөөд учир нь түүнийг ашиглах нь бусад аргыг ашиглахаас бага тооцоолол шаарддаг.

ODZ ашиглан гаднах үндсийг скринингийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: олсон тэгшитгэлийн бүх үндэс нь анхны тэгшитгэлийн хувьсагчийн зөвшөөрөгдөх утгын мужид хамаарах эсэхийг шалгана ОДЗ-д хамаарах нь анхны тэгшитгэлийн язгуур, ОДЗ-д хамаарах нь анхны тэгшитгэлийн язгуур, ОДЗ-д хамаарахгүй нь анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур байна.

Өгөгдсөн мэдээллийн дүн шинжилгээ нь дараахь тохиолдолд ODZ ашиглан гадны үндэсийг шүүж авах нь зүйтэй гэсэн дүгнэлтэд хүргэж байна.

• анхны тэгшитгэлийн ODZ-ийг олоход хялбар,
• Гадны үндэс нь зөвхөн ODZ-ийн өргөтгөлийн улмаас үүсч болно;
• Орлуулах туршилт нь тооцоолоход ихээхэн бэрхшээлтэй холбоотой байдаг.

Гадны үндсийг хэрхэн яаж устгахыг практикт харуулах болно.

DL-ийн нөхцлийн дагуу

Өмнөх догол мөрөнд дурдсанчлан, хэрэв гадны үндэс нь зөвхөн ODZ-ийн өргөтгөлийн улмаас үүсч болох юм бол тэдгээрийг анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ ашиглан арилгаж болно. Гэхдээ ODZ-ийг тоон багц хэлбэрээр олох нь тийм ч хялбар биш юм. Ийм тохиолдолд ODZ-ийн дагуу бус, харин ODZ-ийг тодорхойлсон нөхцлийн дагуу гадны үндсийг шүүж авах боломжтой. ODZ-ийн нөхцөлд гадны үндсийг хэрхэн яаж устгах талаар тайлбарлая.

Олдсон язгуурууд нь эргээд анхны тэгшитгэлийн ODZ эсвэл түүнтэй тэнцэх аливаа тэгшитгэлийг тодорхойлох нөхцлөөр орлуулдаг. Бүх нөхцлийг хангаж байгаа нь тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэдгээрийн дор хаяж нэг нөхцөлийг хангаагүй эсвэл утгагүй илэрхийлэл өгөх нь анхны тэгшитгэлийн гаднах үндэс юм.

ODZ-ийн нөхцлийн дагуу гадны үндсийг ялгах жишээг өгье.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгш хэмжээнд өсгөснөөр үүссэн гадны үндэсийг шүүж байна

Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш чадалтай болгоход үүссэн гадны үндсийг арилгах нь түүнийг анхны тэгшитгэлд эсвэл түүнтэй адилтгах тэгшитгэлд орлуулах замаар хийж болох нь ойлгомжтой. Гэхдээ ийм шалгалт нь тооцоолоход ихээхэн бэрхшээл учруулж болзошгүй юм. Энэ тохиолдолд гадны үндсийг шигших өөр аргыг мэдэх нь зүйтэй бөгөөд энэ талаар бид одоо ярих болно.

Маягтын иррационал тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш хэмжээнд өсгөхөд үүсч болох гадны үндэсийг ялгах , n нь зарим тэгш тоо, g(x)≥0 нөхцлийн дагуу гүйцэтгэж болно. Тэгш зэрэгтэй язгуурын тодорхойлолтоос энэ нь гарч ирдэг: тэгш градусын үндэс нь сөрөг бус тоо, n-р зэрэг нь радикал тоотой тэнцүү, эндээс . Ийнхүү хэлсэн хандлага нь тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил зэрэглэлд хүргэх арга, язгуурыг тодорхойлох замаар иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргын нэг төрлийн симбиоз юм. Энэ нь тэгшитгэл юм , n нь тэгш тоо бөгөөд тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэгш зэрэглэлд өсгөх замаар шийдэж, гадна язгуурыг арилгахыг иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх аргаас авсан g(x)≥0 нөхцөлийн дагуу гүйцэтгэнэ. үндсийг тодорхойлох.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд

Тэгшитгэлийн шийдэл юу вэ?

Ижил хувиргалт. Үндсэн

таниулах өөрчлөлтийн төрлүүд.

Гадаад үндэс. Үндэс алдагдал.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэх Энэ нь өгөгдсөн тэгшитгэлийг өөр тэгшитгэлтэй тэнцэх өөр тэгшитгэлээр солих үйл явц юм. . Үүнийг солих гэж нэрлэдэгижил хувиргалт . Үндсэн таних өөрчлөлтүүд нь дараах байдалтай байна.

1.

Нэг илэрхийлэлийг өөртэй нь ижил тэнцүү илэрхийллээр солих. Жишээлбэл, тэгшитгэл (3 x+ 2 ) 2 = 15 x+ 10-ыг дараахь тэнцүү тоогоор сольж болно.9 x 2 + 12 x+ 4 = 15 x+ 10 .

2.

Тэгшитгэлийн гишүүдийг урвуу тэмдгээр нэг талаас нөгөө рүү шилжүүлэх. Тиймээс, өмнөх тэгшитгэлд бид түүний бүх нөхцөлийг баруун талаас зүүн тийш "-" тэмдгээр шилжүүлж болно. 9 x 2 + 12 x+ 4 – 15 x - 10 = 0, үүний дараа бид дараахь зүйлийг авна.9 x 2 – 3 x - 6 = 0 .

3.

Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс бусад ижил илэрхийллээр (тоо) үржүүлэх буюу хуваах. Энэ нь маш чухал учир ньХэрэв бидний үржүүлж эсвэл хувааж байгаа илэрхийлэл тэгтэй тэнцүү байвал шинэ тэгшитгэл өмнөхтэй тэнцэхгүй байж болно.

ЖИШЭЭ Тэгшитгэлx - 1 = 0 нь нэг үндэстэйx = 1.

Хоёр талыг үржүүлэхx - 3 , бид тэгшитгэлийг авна

( x - 1)( x - 3) = 0, хоёр үндэстэй:x = 1 баx = 3.

Сүүлийн утга нь өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндэс биш юм

x - 1 = 0. Энэ нь гэж нэрлэгддэг зүйл юмгадны үндэс .

Үүний эсрэгээр хуваагдал нь хүргэж болноүндэс алдагдал . Тэгэхээр

бидний тохиолдолд, хэрэв (x - 1 )( x - 3 ) = 0 нь эх хувь юм

тэгшитгэл, дараа нь үндэсx = 3 хэсэгт хуваагдана

тэгшитгэлийн хоёр тал дээрx - 3 .

Сүүлчийн тэгшитгэлд (2-р зүйл) бид түүний бүх нөхцлийг 3-т (тэг биш!) хувааж, эцэст нь дараахь зүйлийг олж авна.

3 x 2 – x – 2 = 0 .

Энэ тэгшитгэл нь анхныхтай тэнцүү байна:

(3 x+ 2) 2 = 15 x+ 10 .

4.

Чадахтэгшитгэлийн хоёр талыг сондгой хэмжээнд өсгө эсвэлтэгшитгэлийн хоёр талаас сондгой үндсийг гаргаж авна . Үүнийг санаж байх ёстой:

а) барилгажигд зэрэгтэй хүргэж болногадаад үндсийг олж авах ;

б)буруу олборлолтбүр үндэс хүргэж болзошгүйүндэс алдагдах .

ЖИШЭЭ. Тэгшитгэл 7x = 35 нэг үндэстэйx = 5 .

Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгосноор бид олж авна

тэгшитгэл:

49 x 2 = 1225 .

хоёр үндэстэй:x = 5 Тэгээдx = – 5. Сүүлийн утга

гадны үндэс юм.

Буруу хоёулангийнх нь квадрат язгуурыг авна

49-р тэгшитгэлийн хэсгүүдx 2 = 1225 үр дүн нь 7x = 35,

мөн бид үндсээ алдаж байнаx = – 5.

Зөв язгуурыг авбал үр дүн гарч ирнэ

тэгшитгэл: | 7x | = 35, А Тиймээс хоёр тохиолдолд:

1) 7 x = 35, Дараа ньx = 5 ; 2) – 7 x = 35, Дараа ньx = – 5 .

Тиймээс, хэзээзөв дөрвөлжин олборлох

үндэс нь бид тэгшитгэлийн үндсийг алддаггүй.

Юу гэсэн үг вэЗөв үндсийг нь гаргаж авах уу? Энд бид уулздаг

маш чухал ойлголттойарифметик үндэс

(см. ).

Тригонометрийн тэгшитгэлийн сэдэв нь эвристик харилцан яриа хэлбэрээр зохион байгуулагдсан сургуулийн лекцээс эхэлдэг. Лекц нь онолын материал, төлөвлөгөөний дагуу бүх ердийн асуудлыг шийдвэрлэх жишээг авч үздэг.

• Хамгийн энгийн тригонометрийн тэгшитгэлүүд.
• Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд.
• Нэг төрлийн тэгшитгэл.

Дараах хичээлүүдэд багш, сурагчийн хамтарсан үйл ажиллагааны зарчмыг баримталсны үндсэн дээр бие даасан ур чадварыг хөгжүүлэх ажил эхэлдэг. Нэгдүгээрт, оюутнуудад зориулсан зорилтуудыг тавьдаг, өөрөөр хэлбэл. улсын стандартад заасан зүйлээс илүүг мэдэхийг хэн хүсэх вэ, хэн илүүг хийхэд бэлэн байна вэ гэдэг нь тодорхойлогддог.

Эцсийн оношийг түвшний ялгааг харгалзан хийдэг бөгөөд энэ нь оюутнуудад "3" үнэлгээ авахад шаардагдах хамгийн бага мэдлэгийг ухамсартайгаар тодорхойлох боломжийг олгодог. Үүний үндсэн дээр оюутнуудын мэдлэгийг оношлох олон түвшний материалыг сонгодог. Ийм ажил нь оюутнуудад хувь хүн хандах, тэр дундаа хүн бүрийг ухамсартай суралцах үйл ажиллагаанд оролцуулах, өөрийгөө зохион байгуулах, бие даан суралцах чадварыг хөгжүүлэх, идэвхтэй, бие даасан сэтгэлгээнд шилжих боломжийг олгодог.

Семинарыг тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн ур чадварт дадлага хийсний дараа явуулдаг. Семинарын өмнө хэд хэдэн хичээлийн үеэр оюутнуудад семинарын үеэр хэлэлцэх асуултуудыг өгдөг.

Семинар гурван хэсгээс бүрдэнэ.

1. Удиртгал хэсэгт онолын бүх материалыг багтаасан бөгөөд нийлмэл тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гарах асуудлуудын танилцуулгыг багтаасан болно.

2. Хоёр дахь хэсэгт дараах хэлбэрийн тэгшитгэлийн шийдлийг авч үзнэ.

• ба cosx + bsinx = c.
• a (sinx + cosx) + bsin2x + c = 0.
• градусыг багасгах замаар шийдвэрлэх тэгшитгэл.

Эдгээр тэгшитгэлд бүх нийтийн орлуулалт, зэрэг бууруулах томъёо, туслах аргументийн аргыг ашигладаг.

3. Гурав дахь хэсэгт үндэс алдагдах, гадны үндэс олж авах асуудлыг авч үзнэ. Үндэсийг хэрхэн сонгохыг харуулав.

Сурагчид бүлгээрээ ажилладаг. Жишээнүүдийг шийдвэрлэхийн тулд материалыг үзүүлж, тайлбарлаж чадах сайн бэлтгэгдсэн залуусыг дууддаг.

Семинар нь сайн бэлтгэгдсэн оюутанд зориулагдсан тул... энэ нь хөтөлбөрийн материалын хамрах хүрээнээс арай хэтэрсэн асуудлыг хөнддөг. Энэ нь илүү төвөгтэй хэлбэрийн тэгшитгэлүүдийг багтаасан бөгөөд ялангуяа нарийн төвөгтэй тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд тулгардаг асуудлуудыг авч үздэг.

Семинарыг 10-11-р ангийн сурагчдад зориулан зохион байгууллаа. Оюутан бүр энэ сэдвээр мэдлэгээ өргөжүүлэх, гүнзгийрүүлэх, мэдлэгийнхээ түвшинг зөвхөн сургууль төгсөгчдөд тавигдах шаардлага төдийгүй V.U.Z-д элсэгчдэд тавигдах шаардлагатай харьцуулах боломжтой болсон.

СЕМИНАР

Сэдэв:"Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх"

Зорилтууд:

• Бүх төрлийн тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх талаархи мэдлэгийг нэгтгэх.
• Асуудал дээр анхаарлаа төвлөрүүл: үндэс алдагдах;

гадны үндэс; үндэс сонголт.

ХИЧЭЭЛИЙН ЯВЦ.

I. Оршил хэсэг

• 1. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргууд
• Факторжуулалт.
• Шинэ хувьсагчийн танилцуулга.

Функциональ график арга.

• 2. Зарим төрлийн тригонометрийн тэгшитгэл.

cos x = t, sin x = t-ийн квадрат тэгшитгэл болгон бууруулсан тэгшитгэлүүд.

Asin 2 x + Bcosx + C = 0; Acos 2 x + Bsinx + C = 0.

• Тэдгээрийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийддэг.

Нэг ба хоёрдугаар зэргийн нэгэн төрлийн тэгшитгэл Нэгдүгээр зэргийн тэгшитгэл:

Asinx + Bcosx = 0 cos x-д хуваагдвал Atg x + B = 0 болно Хоёрдугаар зэргийн тэгшитгэл:

Asin 2 x + Bsinx cosx + Сcos 2 x = 0-ийг cos 2 x-т хуваавал Atg 2 x + Btgx + C = 0 болно.

Тэдгээрийг хүчин зүйлчлэлээр болон шинэ хувьсагч нэвтрүүлэх замаар шийддэг.

• Бүх аргыг хэрэглэнэ.

Бууруулах:

1). Аcos2x + Вcos 2 x = C; Acos2x + Bsin 2 x = C.

Хүчин зүйлчлэлийн аргаар шийддэг.

• 2). Asin2x + Bsin 2 x = C; Asin2x + Bcos 2 x = C. Маягтын тэгшитгэл:

A(sinx + cosx) + Bsin2x + C = 0.

t = sinx + cosx -тэй харьцуулахад квадрат болгон бууруулсан;

sin2x = t 2 – 1.

• 3. Томъёо.
• x + 2n; Шалгах шаардлагатай!

Буурах хүч: cos 2 x = (1 + cos2x): 2; sin 2 x = (1 – cos 2x): 2

Туслах аргумент арга.

Acosx + Bsinx-ийг Csin (x + ) -ээр орлуулъя, энд sin = a/C; cos=v/c;

• - туслах аргумент.
• 4. Дүрэм.
• Хэрэв та дөрвөлжин харвал градусыг бууруулна уу.

Хэрэв та хэсэг харвал хэмжээг нь гарга.

• Үндэс алдагдах: g(x)-д хуваах; аюултай томьёо (бүх нийтийн орлуулах). Эдгээр үйлдлүүдийн тусламжтайгаар бид тодорхойлолтын хамрах хүрээг нарийсгаж байна.

• Илүүдэл үндэс: жигд хүч хүртэл өсгөсөн; g(x)-аар үржүүлнэ (хүлээгчийг арилгана).

Эдгээр үйлдлүүдийн тусламжтайгаар бид тодорхойлолтын хүрээг өргөжүүлдэг.

II. Тригонометрийн тэгшитгэлийн жишээ

1) 1. Asinx + Bcosx = C хэлбэрийн тэгшитгэлүүд

Бүх нийтийн орлуулалт.O.D.Z. x - дурын.

3 sin 2x + cos 2x + 1= 0.

tgx = u. x/2 + n;

u = – 1/3.

tan x = –1/3, x = arctan (–1/3) + k, k Z.Шалгалт:

3sin( + 2n) + cos( + 2n) + 1= 3 sin + cos + 1 = 0 – 1 + 1 = 0.

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс.Хариулт:

2) x = arctan(–1/3) + k, k Z. x = /2 + n, n Z.

Функциональ график арга. О.Д.З. x - дурын.
Синкс - cosx = 1

Sinx = cosx + 1.

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс. y = sinx, y = cosx + 1 гэсэн функцүүдийн графикийг зуръя.

3) x = /2 + 2 n, Z; x = + 2k, k Z.

Туслах аргументийн танилцуулга. O.D.Z.: x – дурын.

8cosx + 15 sinx = 17.

8/17 cosx + 15/17 sinx = 1, учир нь (8/17) 2 + (15/17) 2 = 1, тэгвэл нүгэл = 8/17,

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс. cos = 15/17, энэ нь sin cosx + sinx cos = 1 гэсэн үг; = arcsin 8/17.

x = /2 + 2n – , x = /2 + 2n – arcsin 8/17, n Z.

2. Дарааллыг багасгах: Acos2x + Bsin2x = C. Acos2x + Bcos2x = C.

1). нүгэл 2 3х + нүгэл 2 4х + гэм 2 6х + гэм 2 7х = 2. О.Д.З.: х – дурын.
1 – cos 6x + 1 – cos 8x + 1 – cos 12x + 1 – cos 14x = 4
cos 6x + cos 8x + cos 12x + cos 14x = 0
2cos10x cos 4x + 2cos 10x cos 2x = 0
2cos 10x(cos 4x + cos 2x) = 0
2cos10x 2cos3x cosx = 0

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс. cos10x = 0, cos3x = 0, cosx = 0.

цувралууд нь адилхан.

3. Нэг төрлийн байдлыг багасгах. Asin2x + Bsin 2 x = C, Asin2x + Bcos 2 x = C.
1) 5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6 cos 2 x = 5. ODZ: x – дурын.
5 sin 2 x + 3 sinx cosx + 6cos 2 x – 5 sin 2 x – 5 cos 2 x = 0
3 sinxcosx + cos 2 x = 0 (1) -ийг cos 2 x-т хувааж болохгүй, учир нь бид үндсээ алддаг.
cos 2 x = 0 нь тэгшитгэлийг хангана.
cosx (3 sinx + cosx) = 0
cosx = 0. 3 sinx + cosx = 0.

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс. x = /2 + k, k Z. tgx = –1/3, x = –/6 + n, n Z.

x = /2 + k, k Z. , x = –/6 + n, n Z

4. Хэлбэрийн тэгшитгэл: A(sinx + cosx) + B sin2x + C = 0.
1). 4 + 2sin2x – 5(sinx + cosx) = 0. O.D.Z.: x – дурын.
sinx + cosx = t, sin2x = t 2 – 1. < 2
4 + 2т 2 – 2 – 5т = 0, | t |
2 t 2 – 5t + 2 = 0. t 1 = 2, t 2 = S.
sinx + cosx = S. cosx = нүгэл (x + /2),
sinx +sin(x + /2) = 1/2,
2sin(x + /4) cos(–/4) = 1/2
sin(x + /4) = 1/22;

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс. x +/4 = (–1) k arcsin(1/2 O 2) + k, k Z.

x = (–1) k arcsin(1/22) – /4 + k, k Z.

5. Factorization.
cosx(cosx – 2) = 2 sinx (2 – cosx),
(cosx – 2)(cosx + 2 sinx) = 0.

1) cosx = 2, үндэс байхгүй.
2) cosx + 2 sinx = 0
2tgx + 1 = 0

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс. x = arctan(1/2) + n, n Z.

III. Тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд гарах асуудлууд

1. Үндэс алдагдах: g(x)-д хуваах; Бид аюултай томъёог ашигладаг.

1) Алдааг ол.

1 – cosx = sinx *sinx/2,
1 – cosx = 2sin 2 x/2 томьёо.
2 sin 2 x/2 = 2 sinx/2* сosx/2* sinx/2-ыг 2 sinx-д хуваана 2 x/2,
1 = cosx/2
x/2 = 2n, x = 4n, n" Z.
Алдагдсан үндэс sinx/2 = 0, x = 2k, k Z.

Зөв шийдэл: 2sin 2 x/2(1 – cosx/2) = 0.

2. Гадны үндэс: бид хуваагчаас салах; жигд хүч чадалд хүргэх.

1). (sin4x – sin2x – сos3x + 2sinx – 1) : (2sin2x – 3) = 0. О.Д.З.: sin2x 3 / 2.

2сos3х sinx – сos3x + 2sinx – 1 = 0
(cos3x + 1)(2sinx – 1) = 0

x = /2 + n, n e Z. Тэгшитгэлийн үндэс. x = + 2k, x = 5/3 + 2k, x = 5/6 + 2k, k Z. t = 5 sin3x = 0

§ 1. ТЭГШИГЧИЛГИЙГ ШИЙДЭХ ҮЕД АЛДАГДСАН, СУУРСАН ҮНДЭС (ЖИШЭЭ)

ЛАВЛАГААНЫ МАТЕРИАЛ

1. VII бүлгийн § 3 дахь хоёр теорем нь тэгшитгэл дээр ямар үйлдлүүд нь тэдгээрийн эквивалентыг зөрчдөггүй талаар өгүүлсэн.

2. Анхны тэгшитгэлтэй тэнцүү бус шинэ тэгшитгэлд хүргэж болох тэгшитгэлүүд дээрх ийм үйлдлүүдийг одоо авч үзье. Ерөнхий дүгнэлтийн оронд бид зөвхөн тодорхой жишээнүүдийг авч үзэхээр хязгаарлагдах болно.

3. Жишээ 1. Энэ тэгшитгэлийн хаалтуудыг нээж, бүх гишүүнийг зүүн тал руу шилжүүлж, квадрат тэгшитгэлийг шийдье. Үүний үндэс нь

Хэрэв та тэгшитгэлийн хоёр талыг нийтлэг хүчин зүйлээр бууруулбал энэ нь зөвхөн нэг язгууртай тул анхныхтай тэнцүү биш тэгшитгэл авна.

Тиймээс тэгшитгэлийн хоёр талыг үл мэдэгдэхийг агуулсан хүчин зүйлээр багасгах нь тэгшитгэлийн үндэс алдагдахад хүргэж болзошгүй юм.

4. Жишээ 2. Энэ тэгшитгэл нь нэг язгууртай бөгөөд энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид хоёр язгуурыг олно.

Шинэ тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлтэй тэнцүү биш гэдгийг бид харж байна. Үндэс нь тэгшитгэлийн язгуур бөгөөд хоёр талыг квадрат болгосны дараа тэгшитгэлд хүргэдэг

5. Тэгшитгэлийн хоёр талыг үл мэдэгдэх хүчин зүйлээр үржүүлбэл энэ хүчин зүйл x-ийн бодит утгуудад алга болвол гаднах үндэс гарч ирж болно.

Жишээ 3. Хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлбэл шинэ тэгшитгэл гарч ирэх бөгөөд энэ нь гишүүнийг баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, хүчин зүйл ангилсны дараа аль нэгээс нь тэгшитгэл гарна.

Үндэс нь зөвхөн нэг язгууртай тэгшитгэлийг хангахгүй

Эндээс бид дүгнэж байна: тэгшитгэлийн хоёр талыг квадрат болгох (ерөнхийдөө тэгш зэрэглэлд хүргэх), мөн үл мэдэгдэх хүчин зүйлийг агуулсан хүчин зүйлээр үржүүлж, үл мэдэгдэх бодит утгад алга болох үед гадны үндэс гарч ирж болно.

Тэгшитгэлийн гаднах язгуур алдагдах, харагдах байдлын талаар энд дурдсан бүх бодол нь аливаа тэгшитгэлд (алгебр, тригонометр гэх мэт) адил хамаарна.

6. Хэрэв үл мэдэгдэх зүйл дээр зөвхөн алгебрийн үйлдлүүд - нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах, нэмэгдүүлэх, байгалийн илтгэгчээр үндсийг задлах үйлдлүүд хийгдсэн бол тэгшитгэлийг алгебр гэж нэрлэдэг (мөн ийм үйлдлүүдийн тоо хязгаартай).

Жишээлбэл, тэгшитгэлүүд

алгебр, тэгшитгэлүүд

Дараах хувиргалтыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ихэвчлэн ашигладаг.

Бусад өөрчлөлтүүд

Өмнөх догол мөрөнд дурдсан жагсаалтад бид тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил байгалийн хүчин чадал, логарифм, тэгшитгэлийн хоёр талыг потенциалжуулах, тэгшитгэлийн хоёр талаас нэг градусын үндсийг гаргаж авах зэрэг хувиргалтыг санаатайгаар оруулаагүй болно. , гадаад функцээс ангижрах, бусад. Баримт нь эдгээр хувиргалт нь тийм ч ерөнхий биш юм: дээрх жагсаалтаас гарсан хувиргалтыг бүх төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаг бөгөөд дээр дурдсан хувиргалтыг тодорхой төрлийн тэгшитгэлийг (иррациональ, экспоненциал, логарифм гэх мэт) шийдвэрлэхэд ашигладаг. Тэдгээрийг тохирох төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэх холбогдох аргуудын хүрээнд нарийвчлан авч үзсэн болно. Тэдний дэлгэрэнгүй тайлбарын холбоосууд энд байна:

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил байгалийн хүчинд өсгөх.
• Тэгшитгэлийн хоёр талын логарифмуудыг авах.
• Тэгшитгэлийн хоёр талыг потенциалжуулах.
• Тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил чадлын үндсийг гаргаж авах.
• Анхны тэгшитгэлийн аль нэг хэсэгт тохирох илэрхийллийг эх тэгшитгэлийн өөр хэсгийн илэрхийллээр солих.

Өгөгдсөн холбоосууд нь жагсаасан өөрчлөлтүүдийн талаархи дэлгэрэнгүй мэдээллийг агуулдаг. Тиймээс бид энэ нийтлэлд тэдгээрийг цаашид авч үзэхгүй. Дараагийн бүх мэдээлэл нь үндсэн өөрчлөлтүүдийн жагсаалтаас хувиргахад хамаарна.

Тэгшитгэлийг хувиргаснаар ямар үр дүн гарах вэ?

Дээрх бүх хувиргалтыг хийснээр анхны тэгшитгэлтэй ижил язгууртай тэгшитгэл, эсвэл язгуур нь анхны тэгшитгэлийн бүх язгуурыг агуулсан тэгшитгэл, эсвэл өөр үндэстэй байж болох тэгшитгэл, эсвэл язгуур нь үл хамаарах тэгшитгэлийг гаргаж болно. хувиргасан тэгшитгэлийн бүх язгуурыг оруулна. Дараах догол мөрүүдэд бид эдгээр хувиргалтын аль нь, ямар нөхцөлд ямар тэгшитгэлд хүргэж байгааг шинжлэх болно. Энэ нь тэгшитгэлийг амжилттай шийдвэрлэхэд маш чухал юм.

Тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт

Анхны тэгшитгэлтэй ижил язгууртай тэгшитгэлийн үр дүнд эквивалент тэгшитгэлийг бий болгох тэгшитгэлийн хувиргалт нь онцгой анхаарал татаж байна. Ийм хувиргалтыг гэж нэрлэдэг эквивалент хувиргалт. Сургуулийн сурах бичигт холбогдох тодорхойлолтыг тодорхой заагаагүй боловч контекстээс уншихад хялбар байдаг.

Тодорхойлолт

Тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтэквивалент тэгшитгэл өгөх хувиргалтууд юм.

Тэгэхээр ижил төстэй хувиргалт яагаад сонирхолтой байдаг вэ? Баримт нь хэрэв тэдний тусламжтайгаар шийдэж буй тэгшитгэлээс нэлээд энгийн эквивалент тэгшитгэл рүү шилжих боломжтой бол энэ тэгшитгэлийг шийдэх нь анхны тэгшитгэлийн хүссэн шийдлийг өгөх болно.

Өмнөх догол мөрөнд жагсаасан өөрчлөлтүүдээс бүгд ижил тэнцүү байдаггүй. Зарим өөрчлөлтүүд нь зөвхөн тодорхой нөхцөлд л тэнцүү байдаг. Ямар хувиргалт, ямар нөхцөлд тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалтыг тодорхойлох мэдэгдлүүдийн жагсаалтыг гаргацгаая. Үүнийг хийхийн тулд бид дээрх жагсаалтыг үндэс болгон авч, үргэлж тэнцүү байдаггүй хувиргалтуудад бид тэдгээрийг тэнцүүлэх нөхцөлүүдийг нэмнэ. Энд жагсаалт байна:

• Тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийллийг тухайн тэгшитгэлийн хувьсагчийг өөрчлөхгүй илэрхийллээр солих нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт болно.

Яагаад ийм байдгийг тайлбарлая. Үүнийг хийхийн тулд бид A(x)=B(x) хэлбэрийн нэг хувьсагчтай тэгшитгэлийг (хэд хэдэн хувьсагчтай тэгшитгэлийн хувьд ижил төстэй үндэслэлийг гаргаж болно) авч, түүний зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллийг A( гэж тэмдэглэв. x) болон B(x) тус тус . C(x) илэрхийлэл нь A(x) илэрхийлэлтэй ижил тэнцүү байх ба C(x)=B(x) тэгшитгэлийн x хувьсагчийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн x хувьсагчийн ODZ-тай давхцаж байна. A(x)=B(x) тэгшитгэлийг C(x)=B(x) тэгшитгэлд хувиргах нь эквивалент хувирал гэдгийг баталъя, өөрөөр хэлбэл A(x)=B тэгшитгэлүүд болохыг баталъя. (x) ба C(x) =B(x) нь тэнцүү байна.

Үүний тулд анхны тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур, харин C(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь язгуур болохыг харуулахад хангалттай. анхны тэгшитгэлийн.

Эхний хэсгээс эхэлцгээе. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байг, тэгвэл бид үүнийг x-ээр орлуулахад A(q)=B(q) зөв тоон тэгшитгэлийг авна. A(x) ба C(x) илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү бөгөөд C(q) илэрхийлэл нь утга учиртай (энэ нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн OD нь OD-тай давхцах нөхцөлөөс үүдэлтэй. анхны тэгшитгэл) , тэгвэл A(q)=C(q) тоон тэгшитгэл үнэн болно. Дараа нь бид тоон тэгш байдлын шинж чанарыг ашигладаг. Тэгш хэмийн шинж чанараас шалтгаалан A(q)=C(q) тэгшитгэлийг C(q)=A(q) гэж дахин бичиж болно. Тэгвэл шилжилтийн шинж чанараас шалтгаалан C(q)=A(q) ба A(q)=B(q) тэгшитгэлүүд нь C(q)=B(q) тэгш байдлыг илэрхийлнэ. Энэ нь q нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болохыг баталж байна.

Хоёрдахь хэсэг, түүнтэй хамт бүхэл бүтэн мэдэгдэл нь туйлын ижил төстэй байдлаар нотлогддог.

Шинжилгээнд хамрагдсан эквивалент хувиргалтын мөн чанар нь дараах байдалтай байна: энэ нь тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллүүдтэй тусад нь ажиллах боломжийг олгодог бөгөөд тэдгээрийг хувьсагчийн анхны ODZ дээр ижил тэнцүү илэрхийллүүдээр сольж өгдөг.

Хамгийн түгээмэл жишээ: бид x=2+1 тэгшитгэлийн баруун талд байгаа тоонуудын нийлбэрийг түүний утгаар сольж болох бөгөөд ингэснээр x=3 хэлбэрийн эквивалент тэгшитгэл гарч ирнэ. Үнэхээр бид 2+1 илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийлэл 3-аар сольсон бөгөөд тэгшитгэлийн ODZ өөрчлөгдөөгүй. Өөр нэг жишээ: тэгшитгэлийн зүүн талд 3·(x+2)=7·x−2·x+4−1, баруун талд – 3·x+ тэнцэтгэл рүү хөтөлнө. 6=5·x+ 3. Бид илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр сольж, анхны тэгшитгэлийн OD-той давхцах OD-тай тэгшитгэлийг олж авсан тул үүссэн тэгшитгэл нь үнэхээр тэнцүү юм.

• Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт юм.

A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талд ижил c тоог нэмбэл A(x)+c=B(x)+c тэнцүү тэгшитгэл гарах ба тэгшитгэлийн хоёр талаас хасах нь баталъя. Ижил тооны c A(x) =B(x) нь A(x)−c=B(x)−c эквивалент тэгшитгэлийг өгнө.

A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)=B(q) тэгшитгэл үнэн болно. Тоон тэгш байдлын шинж чанарууд нь жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талд нэмэх эсвэл түүний хэсгүүдээс ижил тоог хасах боломжийг олгодог. Энэ тоог c гэж тэмдэглэвэл A(q)+c=B(q)+c ба A(q)−c=B(q)−c тэгшитгэлүүд хүчинтэй байна. Эдгээр тэгшитгэлээс q нь A(x)+c=B(x)+c тэгшитгэлийн үндэс ба A(x)−c=B(x)−c тэгшитгэлийн үндэс болно.

Одоо буцаж. A(x)+c=B(x)+c тэгшитгэл ба A(x)−c=B(x)−c тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)+c=B(q) болно. +c ба A (q)−c=B(q)−c . Жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талаас ижил тоог хасах нь жинхэнэ тоон тэгш байдлыг бий болгодог гэдгийг бид мэднэ. Хоёр талдаа зөв тоон тэгшитгэлийг нэмэх нь зөв тоон тэгш байдлыг өгдөг гэдгийг бид бас мэднэ. Зөв тоон тэгшитгэлийн A(q)+c=B(q)+c хоёр талаас c тоог хасаад A(x)−c=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талд c тоог нэмье. −c. Энэ нь A(q)+c−c=B(q)+c−c ба A(q)−c+c=B(q)+c−c зөв тоон тэгшитгэлүүдийг өгөх бөгөөд үүнээс бид А гэсэн дүгнэлтэд хүрнэ. (q) =B(q) . Сүүлийн тэгшитгэлээс харахад q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур юм.

Энэ нь анхны мэдэгдлийг бүхэлд нь нотолж байна.

Тэгшитгэлийг ийм хувиргах жишээг өгье. x−3=1 тэгшитгэлийг авч, 2 талдаа 3-ын тоог нэмж хувиргасны дараа анхныхтай тэнцэх x−3+3=1+3 тэгшитгэл гарна. Үүссэн тэгшитгэлд та тоонуудтай үйлдлүүдийг хийж болох нь тодорхой байна, бид жагсаалтын өмнөх догол мөрөнд авч үзсэний үр дүнд бид x=4 тэгшитгэлтэй болно. Тиймээс, эквивалент хувиргалтыг хийснээр бид санамсаргүйгээр x−3=1 тэгшитгэлийг шийдсэн бөгөөд түүний үндэс нь 4 тоо юм. Тэгшитгэлийн янз бүрийн хэсэгт байрлах ижил тоон нэр томъёоноос салахын тулд авч үзсэн эквивалент хувиргалтыг ихэвчлэн ашигладаг. Жишээлбэл, x 2 +1=x+1 тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд хоёуланд нь ижил гишүүн 1 байгаа бөгөөд тэгшитгэлийн хоёр талаас 1-ийн тоог хасвал x 2 + тэнцүү тэгшитгэл рүү шилжих боломжтой болно. 1−1=x+1−1, цаашлаад x 2 =x тэнцэтгэлд шилжүүлж, эдгээр ижил нэр томъёоноос сална.

• ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн биш илэрхийллийг тэгшитгэлийн хоёр талд нэмэх эсвэл хоёр талаас нь хасах нь тэнцүү хувиргалт болно.

Энэ мэдэгдлийг баталъя. Өөрөөр хэлбэл, C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) ба A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлүүд тэнцүү болохыг баталж байна. ) нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хувьд ODZ-ээс аль хэдийн биш байна.

Эхлээд бид нэг туслах цэгийг нотолж байна. Тодорхойлсон нөхцөлд хувиргалтаас өмнөх ба дараах OD тэгшитгэлүүд ижил байдгийг баталцгаая. Үнэн хэрэгтээ A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ ба ODZ-ийн огтлолцол гэж үзэж болно. C(x) илэрхийллийн хувьд. Үүнээс болон C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нөхцлөөр нарийсдаггүйгээс A(x)= B(x) ба A (x)+C(x)=B(x)+C(x) ижил байна.

Одоо бид A(x)=B(x) ба A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлүүдийн тэгшитгэлийг батлах болно. тэгшитгэлүүд ижил байна. А(x)=B(x) ба A(x)−C(x)=B(x)−C(x) тэгшитгэлүүд нь ижил төстэй тул заасан нөхцлийн дагуу тэнцүү байх баталгааг бид өгөхгүй. .

A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)=B(q) тоон тэгшитгэл үнэн болно. A(x)=B(x) ба A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн ODZ ижил тул C(x) илэрхийлэл нь x дээр утга учиртай болно. =q, энэ нь C(q) нь ямар нэгэн тоо гэсэн үг. Хэрэв бид A(q)=B(q) зөв тоон тэгшитгэлийн хоёр талд C(q)-ийг нэмбэл A(q)+C(q)=B(q)+C(q) зөв тоон тэгш бус байдал гарна. ) , үүнээс q нь A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.

Буцах. A(x)+C(x)=B(x)+C(x) тэгшитгэлийн язгуур нь q байвал A(q)+C(q)=B(q)+C(q) нь жинхэнэ тоон тэгш байдал. Жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талаас ижил тоог хасах нь жинхэнэ тоон тэгш байдлыг бий болгодог гэдгийг бид мэднэ. A(q)+C(q)=B(q)+C(q) тэгшитгэлийн хоёр талаас C(q) хасвал энэ нь гарна. A(q)+C(q)−C(q)=B(q)+C(q)−C(q)цаашлаад A(q)=B(q) . Иймд q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.

Тиймээс энэ мэдэгдэл бүрэн нотлогдсон.

Энэ өөрчлөлтийн жишээг өгье. 2 x+1=5 x+2 тэгшитгэлийг авч үзье. Бид хоёр талд нэмж болно, жишээ нь −x−1 илэрхийлэл. Энэ илэрхийлэлийг нэмснээр ODZ өөрчлөгдөхгүй бөгөөд энэ нь ийм хувиргалт нь тэнцүү байна гэсэн үг юм. Үүний үр дүнд бид ижил тэгшитгэлийг олж авна 2 x+1+(−x−1)=5 x+2+(−x−1). Энэ тэгшитгэлийг цаашид өөрчилж болно: хаалтуудыг нээж, зүүн ба баруун талд ижил төстэй нэр томъёог багасга (жагсаалтын эхний зүйлийг үзнэ үү). Эдгээр үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа бид x=4·x+1 тэнцүү тэгшитгэлийг олж авна. Ихэнхдээ авч үздэг тэгшитгэлийн хувиргалтыг тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд нэгэн зэрэг байгаа ижил нэр томъёоноос салгахад ашигладаг.

• Хэрэв та тэгшитгэлийн гишүүнийг нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлж, энэ гишүүний тэмдгийг эсрэгээр нь сольж байвал өгөгдсөнтэй тэнцэх тэгшитгэл гарч ирнэ.

Энэ мэдэгдэл нь өмнөх мэдэгдлүүдийн үр дагавар юм.

Тэгшитгэлийн энэхүү эквивалент хувиргалт хэрхэн явагддагийг харцгаая. 3·x−1=2·x+3 тэгшитгэлийг авч үзье. Нэр томьёог, жишээлбэл, 2 х-г баруун талаас зүүн тийш шилжүүлж, тэмдгийг нь өөрчилье. Энэ тохиолдолд бид 3·x−1−2·x=3 эквивалент тэгшитгэлийг олж авна. Мөн та тэгшитгэлийн зүүн талаас хасах нэгийг баруун тийш шилжүүлж, тэмдгийг нэмэх болгон өөрчилж болно: 3 x−2 x=3+1. Эцэст нь ижил төстэй нөхцлүүдийг авчрах нь биднийг x=4 тэнцүү тэгшитгэл рүү хөтөлнө.

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тэг биш тоогоор үржүүлэх буюу хуваах нь тэнцүү хувиргалт юм.

Нотлох баримтаа өгье.

A(x)=B(x) нь ямар нэг тэгшитгэл, в нь тэгээс ялгаатай тоо байг. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талыг c тоогоор үржүүлэх буюу хуваах нь тэгшитгэлийн эквивалент хувирал гэдгийг баталъя. Үүний тулд бид A(x)=B(x) ба A(x) c=B(x) c тэгшитгэл, мөн A(x)=B(x) ба A(x) тэгшитгэлүүд болохыг нотолж байна. :c= B(x):c - тэнцүү. Үүнийг дараах байдлаар хийж болно: A(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь A(x) c=B(x) c тэгшитгэлийн язгуур, A(x) тэгшитгэлийн язгуур болохыг батал. :c=B(x) :c , тэгээд A(x) c=B(x) c тэгшитгэлийн дурын язгуур нь A(x):c=B(x):c тэгшитгэлийн язгууртай адил болохыг батал. , нь A(x) =B(x) тэгшитгэлийн үндэс юм. Үүнийг хийцгээе.

A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) тоон тэгшитгэл үнэн болно. Тоон тэгш байдлын шинж чанарыг судалсны дараа бид жинхэнэ тоон тэгш байдлын хоёр талыг тэгээс өөр ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах нь жинхэнэ тоон тэгшитгэлд хүргэдэг болохыг олж мэдсэн. A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг c-ээр үржүүлснээр A(q) c=B(q) c зөв тоон тэгшитгэлийг олж авах ба үүнээс q нь A( тэгшитгэлийн үндэс болно. x) c= B(x)·c . Мөн A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг c-д хуваахад бид зөв тоон тэгшитгэл A(q):c=B(q):c гарах бөгөөд үүнээс q нь язгуур юм. тэгшитгэл A(x):c =B(x):c .

Одоо нөгөө чиглэлд. A(x) c=B(x) c тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)·c=B(q)·c нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. Үүний хоёр хэсгийг тэгээс өөр c тоонд хуваахад бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна A(q)·c:c:c=B(q)·c:c, цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно. Хэрэв q нь A(x):c=B(x):c тэгшитгэлийн үндэс бол. Тэгвэл A(q):c=B(q):c нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. Үүний хоёр хэсгийг 0 биш c тоогоор үржүүлснээр бид зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна A(q):c·c=B(q):c·c ба цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Энэ өөрчлөлтийн жишээг өгье. Үүний тусламжтайгаар та жишээ нь тэгшитгэл дэх бутархай хэсгүүдээс салж болно. Үүнийг хийхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг 12-оор үржүүлж болно. Үр дүн нь маягтын эквивалент тэгшитгэл юм , дараа нь тэмдэглэгээнд бутархайг агуулаагүй 7 x−3=10 эквивалент тэгшитгэл болгон хувиргаж болно.

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх буюу хуваах нь OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийсдаггүй бөгөөд анхны тэгшитгэлийн хувьд OD-оор арилдаггүй бол тэнцүү хувиргалт болно.

Энэ мэдэгдлийг баталъя. Үүнийг хийхийн тулд C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийсахгүй, C(x) тэгшитгэлийн ODZ дээр алга болохгүй гэдгийг бид баталж байна. A(x)=B( x) , дараа нь A(x)=B(x) ба A(x) C(x)=B(x) C(x), түүнчлэн A(x) тэгшитгэлүүд болно. =B(x) ба A( x):C(x)=B(x):C(x) - тэнцүү.

A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-тэй ижил биш байгаагаас үзэхэд C(x) илэрхийлэл нь x=q үед утга учиртай болно. Энэ нь C(q) нь ямар нэгэн тоо гэсэн үг. Цаашилбал, C(q) нь тэг биш бөгөөд энэ нь C(x) илэрхийлэл алга болохгүй гэсэн нөхцлөөс үүдэлтэй. A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоогоор үржүүлбэл A(q)·C(q)=B(q)· тооны зөв тэгшитгэл гарна. C(q) , үүнээс q нь A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн үндэс болно. Хэрэв бид A(q)=B(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоонд хуваавал A(q):C(q)=B(q) зөв тоон тэгшитгэл гарна: C(q) , үүнээс q нь A(x):C(x)=B(x):C(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.

Буцах. A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)·C(q)=B(q)·C(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. A(x) C(x)=B(x) C(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-тай ижил болохыг анхаарна уу (бид үүнийг дараах аль нэгээр зөвтгөсөн. өмнөх догол мөрүүдийн одоогийн жагсаалт). A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хувьд нөхцөлөөр C(x) нь ODZ дээр арилдаггүй тул C(q) нь тэгээс өөр тоо болно. A(q) C(q)=B(q) C(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоонд хуваах нь зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна. A(q)·C(q):C(q)=B(q)·C(q):C(q)цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно. Хэрэв q нь тэгшитгэлийн үндэс бол A(x):C(x)=B(x):C(x) . Тэгвэл A(q):C(q)=B(q):C(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. A(q):C(q)=B(q):C(q) тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр C(q) тоогоор үржүүлбэл зөв тоон тэгшитгэлийг олж авна. A(q):C(q)·C(q)=B(q):C(q)·C(q)цаашлаад A(q)=B(q) . Эндээс q нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болно.

Энэ мэдэгдэл нь нотлогдсон.

Тодорхой болгохын тулд бид задалсан хувиргалтыг хийх жишээг өгдөг. x 3 ·(x 2 +1)=8·(x 2 +1) тэгшитгэлийн хоёр талыг х 2 +1 илэрхийллээр хуваая. Анхны тэгшитгэлийн OD дээр x 2+1 илэрхийлэл алга болохгүй бөгөөд энэ илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийсдаггүй тул энэхүү хувиргалт нь тэнцүү байна. Энэ хувиргалтын үр дүнд бид эквивалент тэгшитгэлийг олж авна x 3 ·(x 2 +1):(x 2 +1)=8·(x 2 +1):(x 2 +1), цаашид x 3 =8 эквивалент тэгшитгэлд хувиргаж болно.

Үр дагаврын тэгшитгэлд хүргэдэг өөрчлөлтүүд

Өмнөх догол мөрөнд бид үндсэн хувиргалтын жагсаалтаас ямар өөрчлөлтүүд, ямар нөхцөлд тэнцүү болохыг судалж үзсэн. Одоо эдгээр хувиргалтуудын аль нь, ямар нөхцөлд үр дүнд хүрсэн тэгшитгэл, өөрөөр хэлбэл хувирсан тэгшитгэлийн бүх язгуурыг агуулсан тэгшитгэлд хүргэж байгааг харцгаая, гэхдээ тэдгээрээс гадна анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуурууд бас байж болно.

Үр дүнгийн тэгшитгэлд хүргэдэг өөрчлөлтүүд нь ижил төстэй хувиргалтаас багагүй эрэлт хэрэгцээтэй байдаг. Хэрэв тэдгээрийн тусламжтайгаар шийдлийн хувьд маш энгийн тэгшитгэлийг олж авах боломжтой бол түүний шийдэл, дараа нь гадны үндэсийг арилгах нь анхны тэгшитгэлийн шийдлийг өгөх болно.

Бүх эквивалент хувиргалтыг үр дагавар тэгшитгэлд хүргэдэг хувиргалтын онцгой тохиолдол гэж үзэж болохыг анхаарна уу. Энэ нь ойлгомжтой, учир нь эквивалент тэгшитгэл нь хавсарсан тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол юм. Гэхдээ практик талаас нь авч үзвэл, авч үзэж буй хувиргалт нь яг ижил тэнцүү бөгөөд үр дагаварт хүргэх тэгшитгэлд хүргэхгүй гэдгийг мэдэх нь илүү ашигтай юм. Яагаад ийм байдгийг тайлбарлая. Хэрэв бид хувиргалт нь эквивалент гэдгийг мэдэж байвал үүссэн тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлээс гадуурх үндэсгүй байх нь гарцаагүй. Үүний үр дүнд үүссэн тэгшитгэлд хүргэдэг хувиргалт нь гадны үндэс үүсэх шалтгаан байж болох бөгөөд энэ нь биднийг ирээдүйд нэмэлт арга хэмжээ авахыг шаарддаг - гадны үндсийг шигших. Тиймээс, нийтлэлийн энэ хэсэгт бид хувиргалтуудад анхаарлаа хандуулах болно, үүний үр дүнд анхны тэгшитгэлд гадны үндэс гарч ирж магадгүй юм. Гадны үндсийг шүүж, шаардлагагүй үед нь тодорхой ойлгохын тулд ийм өөрчлөлтийг ижил төстэй хувиргуудаас ялгах чадвартай байх нь үнэхээр чухал юм.

Энэ зүйлийн хоёр дахь догол мөрөнд өгөгдсөн тэгшитгэлийн үндсэн хувиргалтын жагсаалтыг бүхэлд нь задлан шинжилж үзье, үүний үр дүнд гадны үндэс гарч ирж болзошгүй хувиргалтыг хайж үзье.

• Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих.

Хэрэв түүний хэрэгжилт нь ОД-ыг өөрчлөхгүй бол энэ хувиргалт нь тэнцүү гэдгийг бид нотолсон. Хэрэв DL өөрчлөгдвөл юу болох вэ? ODZ-ийн нарийсал нь үндсийг алдахад хүргэдэг; Мөн ODZ-ийн тэлэлттэй хамт гадны үндэс гарч ирж магадгүй юм. Үүнийг зөвтгөх нь тийм ч хэцүү биш юм. Холбогдох үндэслэлийг танилцуулъя.

C(x) илэрхийлэл нь A(x) илэрхийлэлтэй ижил тэнцүү байх ба C(x)=B(x) тэгшитгэлийн OD нь A(x)=B тэгшитгэлийн OD-ээс өргөн байхаар илэрхийлье. (x). C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар бөгөөд C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгууруудын дунд байж болохыг баталцгаая. A( x)=B(x) тэгшитгэлд харийн үндэс байх.

A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. C(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс өргөн байх тул C(x) илэрхийлэл нь x=q дээр тодорхойлогдоно. Дараа нь C(x) ба A(x) илэрхийллүүдийн ижил тэгш байдлыг харгалзан C(q)=A(q) гэж дүгнэнэ. С(q)=A(q) ба A(q)=B(q) тэгшитгэлүүдээс шилжилтийн шинж чанараас шалтгаалан C(q)=B(q) тэгшитгэл гарч ирнэ. Энэ тэгшитгэлээс харахад q нь C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур юм. Энэ нь заасан нөхцөлд C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар болохыг баталж байна.

C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуураас өөр язгууртай болохыг батлах л үлдлээ. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ОДЗ-аас C(x)=B(x) тэгшитгэлийн дурын язгуур нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур болохыг баталъя. P зам нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах C(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэгвэл C(p)=B(p) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хувьд p нь ODZ-д хамаарах тул x=p-д A(x) илэрхийлэл тодорхойлогдоно. Үүнээс болон A(x) ба C(x) илэрхийллүүдийн ижил тэгш байдлаас A(p)=C(p) гарна. A(p)=C(p) ба C(p)=B(p) тэгшитгэлээс шилжилтийн шинж чанараас шалтгаалан A(p)=B(p) гэсэн үг гарч ирнэ, энэ нь p нь язгуур юм. тэгшитгэл A(x)= B(x) . Энэ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс C(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль нэг язгуур нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс болохыг баталж байна. Өөрөөр хэлбэл, A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ дээр C(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур байж болохгүй, тэдгээр нь A(x)=B( тэгшитгэлийн гаднах язгуурууд болно. x). Харин нөхцөлийн дагуу C(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс өргөн байна. Мөн энэ нь язгуур болох C(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарах, A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарахгүй r тоо байхыг зөвшөөрнө. тэгшитгэлийн C(x)=B(x). Өөрөөр хэлбэл, C(x)=B(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлд харь үндэстэй байж болох ба тэдгээр нь бүгд A тэгшитгэлийн ODZ олонлогт хамаарах болно. (x)=B нь үүн доторх A(x) илэрхийллийг ижил тэнцүү C(x) илэрхийллээр солих үед (x) өргөтгөгдөнө.

Тиймээс, тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийлэлүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр сольж, үүний үр дүнд ODZ-ийг өргөжүүлэх нь ерөнхий тохиолдолд үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлд хүргэдэг (өөрөөр хэлбэл энэ нь гадны шинж тэмдгүүд гарч ирэхэд хүргэдэг. үндэс) ба зөвхөн тодорхой тохиолдолд эквивалент тэгшитгэлд хүргэдэг (үр дүнд үүссэн тэгшитгэл нь анхны тэгшитгэлээс харь үндэсгүй тохиолдолд).

Шинжилсэн хувиргалт хийх жишээг өгье. Тэгшитгэлийн зүүн талын илэрхийлэлийг орлуулах x·(x−1) илэрхийллээр үүнтэй ижил тэнцүү байх нь x·(x−1)=0 тэгшитгэлд хүргэдэг бөгөөд энэ тохиолдолд ODZ-ийн тэлэлт үүснэ - түүнд 0 тоог нэмнэ. Үүссэн тэгшитгэл нь 0 ба 1 гэсэн хоёр язгууртай бөгөөд эдгээр язгуурыг анхны тэгшитгэлд орлуулах нь 0 нь анхны тэгшитгэлийн гаднах язгуур, 1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс болохыг харуулж байна. Үнэн хэрэгтээ анхны тэгшитгэлд тэгийг орлуулах нь утгагүй илэрхийлэл болно , учир нь энэ нь тэг хуваахыг агуулдаг бөгөөд нэгийг орлуулах нь зөв тоон тэгшитгэлийг өгдөг , энэ нь 0=0-тэй ижил байна.

Ижил төстэй тэгшитгэлийн ижил төстэй хувиргалт гэдгийг анхаарна уу (x−1)·(x−2)=0 тэгшитгэлд оруулах ба үүний үр дүнд ODZ нь бас тэлэх нь гадны үндэс үүсэхэд хүргэдэггүй. Үнэн хэрэгтээ үүссэн тэгшитгэлийн (x−1)·(x−2)=0 - 1 ба 2-ын язгуур хоёр нь анхны тэгшитгэлийн үндэс бөгөөд үүнийг орлуулах замаар шалгахад хялбар байдаг. Эдгээр жишээнүүдийн тусламжтайгаар бид тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийлэлийг ODZ-ийг өргөжүүлдэг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь гадны үндэс гарч ирэхэд хүргэдэггүй гэдгийг дахин онцлон тэмдэглэхийг хүссэн. Гэхдээ энэ нь тэдний гадаад төрх байдалд хүргэж болно. Тиймээс, тэгшитгэлийг шийдвэрлэх явцад ийм хувиргалт хийгдсэн бол гадны үндсийг тодорхойлж, шүүж шалгахын тулд шалгалт хийх шаардлагатай болно.

Ихэнх тохиолдолд тэгшитгэлийн ODZ нь нэг буюу хэд хэдэн тэг хүчин зүйлтэй бүтээгдэхүүнийг тэгээр сольсны улмаас ижил илэрхийллийн зөрүү эсвэл эсрэг тэмдэгт бүхий илэрхийллийн нийлбэрийг тэгээр сольсны улмаас тэгшитгэлийн ODZ өргөжиж, гаднах үндэс гарч ирдэг. , бутархайг багасгаж, язгуур, хүч, логарифм гэх мэт шинж чанаруудыг ашигласны улмаас.

• Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах.

Энэ хувиргалт нь үргэлж эквивалент, өөрөөр хэлбэл эквивалент тэгшитгэлд хүргэдэг гэдгийг бид дээр харуулсан. Үргэлжлүүлье.

• Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил илэрхийллийг нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил илэрхийллийг хасах.

Өмнөх догол мөрөнд бид нэмж, хасаж буй илэрхийллийн ODZ нь хувиргаж буй тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн байх ёсгүй гэсэн нөхцөлийг нэмсэн. Энэ нөхцөл нь тухайн өөрчлөлтийг тэнцүү болгосон. Эквивалент тэгшитгэл нь дагалдах тэгшитгэлийн онцгой тохиолдол бөгөөд хувиргалтын эквивалентийн талаарх мэдлэг нь ижил зүйлийн талаархи мэдлэгээс илүү ашигтай байдаг гэсэн өгүүллийн энэ хэсгийн эхэнд өгсөнтэй төстэй аргументууд энд байна. хувиргалт, гэхдээ энэ нь үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлд хүргэдэг гэсэн үүднээс авч үзвэл.

Тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил илэрхийллийг нэмж эсвэл ижил илэрхийллийг хассаны үр дүнд анхны тэгшитгэлийн бүх язгуураас гадна өөр язгууртай тэгшитгэлийг олж авах боломжтой юу? Үгүй ээ, чадахгүй. Хэрэв нэмж, хасаж буй илэрхийллийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн биш бол нэмэх, хасах үйл ажиллагааны үр дүнд ижил тэгшитгэл гарна. Хэрэв нэмж эсвэл хасаж буй илэрхийллийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан бол энэ нь гадны үндэс гарч ирэхгүй харин үндэс алдагдахад хүргэдэг. Энэ талаар бид дараагийн догол мөрөнд дэлгэрэнгүй ярих болно.

• Тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилсөн нэр томъёог тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлэх.

Тэгшитгэлийн энэ хувиргалт нь үргэлж тэнцүү байдаг. Тиймээс дээр дурдсан шалтгааны улмаас үүнийг тэгшитгэл-үр дагаварт хүргэдэг хувиргалт гэж үзэх нь утгагүй юм.

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах.

Өмнөх догол мөрөнд бид тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх эсвэл хуваах нь тэгээс өөр тоогоор хийгдсэн бол энэ нь тэгшитгэлийн эквивалент хувиргалт гэдгийг нотолсон. Иймээс үүнийг дагалдах тэгшитгэлд хүргэх хувирал гэж ярих нь утгагүй юм.

Гэхдээ энд тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх эсвэл хуваах тоон тэгээс ялгаатай байдлын талаархи тайлбарт анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй. Хуваалтын хувьд энэ тайлбар нь ойлгомжтой юм - бид үүнийг бага сургуулиасаа ойлгосон Та тэгээр хувааж болохгүй. Яагаад энэ үржүүлэх заалт байдаг вэ? Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлбэл юу гарахыг бодоцгооё. Тодорхой болгохын тулд тодорхой тэгшитгэлийг авч үзье, жишээлбэл, 2 x+1=x+5. Энэ бол нэг язгууртай шугаман тэгшитгэл бөгөөд энэ нь 4 гэсэн тоо юм. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлээд гарах тэгшитгэлийг бичье: (2 x+1) 0=(x+5) 0. Энэ тэгшитгэлийн язгуур нь дурын тоо байх нь ойлгомжтой, учир нь энэ тэгшитгэлд x хувьсагчийн оронд дурын тоог орлуулахад 0=0 зөв тоон тэгшитгэл гарч ирнэ. Өөрөөр хэлбэл, бидний жишээн дээр тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлснээр анхны тэгшитгэлийн хязгааргүй тооны гаднах язгуур гарч ирэх үр дагавартай тэгшитгэлийг бий болгосон. Түүнээс гадна, энэ тохиолдолд гадны үндсийг илрүүлэх ердийн аргууд нь тэдний даалгаврыг даван туулж чадахгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ нь хийсэн хувиргалт нь анхны тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиггүй гэсэн үг юм. Мөн энэ нь хэлэлцэж буй өөрчлөлтийн ердийн нөхцөл байдал юм. Ийм учраас тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээр үржүүлэх гэх мэт хувиргалтыг тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашигладаггүй. Сүүлийн догол мөрөнд тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд ашиглах ёсгүй энэ хувиргалт болон бусад хувиргалтыг бид харах ёстой хэвээр байна.

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх буюу хуваах.

Өмнөх догол мөрөнд бид хоёр нөхцөл хангагдсан тохиолдолд энэ хувиргалт нь тэнцүү гэдгийг нотолсон. Тэдэнд сануулъя. Эхний нөхцөл: Энэ илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийн байх ёсгүй. Хоёрдахь нөхцөл: үржүүлэх эсвэл хуваах илэрхийлэл нь анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ дээр алга болохгүй.

Эхний нөхцөлийг өөрчилье, өөрөөр хэлбэл, тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх эсвэл хуваахаар төлөвлөж буй илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийхан байна гэж үзье. Ийм хувирлын үр дүнд ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан байх тэгшитгэлийг олж авна. Ийм өөрчлөлтүүд нь үндэс алдагдахад хүргэж болзошгүй тул бид дараагийн догол мөрөнд ярих болно.

Хэрэв бид тэгшитгэлийн хоёр талыг анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээр үржүүлж эсвэл хуваах илэрхийллийн тэг биш утгуудын хоёр дахь нөхцөлийг хасвал юу болох вэ?

Анхны тэгшитгэлийн хувьд OD-оор алга болох ижил илэрхийлэлд тэгшитгэлийн хоёр талыг хуваахад OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-аас нарийхан тэгшитгэл үүснэ. Үнэн хэрэгтээ үүнээс тоо гарч, хуваагдлыг хийсэн илэрхийлэлийг тэг болгон хувиргах болно. Энэ нь үндэс алдагдахад хүргэдэг.

Анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ дээр алга болох ижил илэрхийллээр тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлэх талаар юу хэлэх вэ? A(x)=B(x) тэгшитгэлийн хоёр талыг C(x) илэрхийллээр үржүүлэхэд ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан биш, аль нь алга болдог болохыг харуулж болно. Анхны тэгшитгэлийн ODZ нь тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн бүх язгуураас гадна өөр язгууртай байж болох үр дагавар юм. Үүнийг хийцгээе, ялангуяа өгүүллийн энэ догол мөр нь үндсэн тэгшитгэлд хүргэдэг хувиргалтанд зориулагдсан болно.

C(x) илэрхийлэл нь түүний ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийсахгүй, A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ дээр алга болно. ). Энэ тохиолдолд A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэл нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар болохыг баталъя.

A(x)=B(x) тэгшитгэлийн язгуур q байг. Тэгвэл A(q)=B(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. C(x) илэрхийллийн ODZ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан биш тул C(x) илэрхийлэл нь x=q дээр тодорхойлогддог бөгөөд энэ нь C(q) гэсэн үг юм. тодорхой тоо юм. Жинхэнэ тоон тэгшитгэлийн хоёр талыг дурын тоогоор үржүүлэхэд жинхэнэ тоон тэгш байдал гарах тул A(q)·C(q)=B(q)·C(q) нь жинхэнэ тоон тэгшитгэл болно. Энэ нь q нь A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн үндэс гэсэн үг. Энэ нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн аль ч язгуур нь A(x) C(x)=B(x) C(x) тэгшитгэлийн үндэс болохыг баталж байгаа нь A(x) тэгшитгэлийн язгуур юм. C (x)=B(x)·C(x) нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үр дагавар юм.

Заасан нөхцөлд A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэл нь анхны A(x)=B(x) тэгшитгэлд харь үндэстэй байж болохыг анхаарна уу. Эдгээр нь C(x) илэрхийллийг тэг болгон хувиргадаг анхны тэгшитгэлийн ODZ-ийн бүх тоонууд юм (C(x) илэрхийллийг тэг болгон хувиргасан бүх тоо нь A(x) C(x)= тэгшитгэлийн үндэс юм. B(x) C(x) , учир нь тэдгээрийг заасан тэгшитгэлд орлуулснаар A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс биш 0=0 ) зөв тоон тэгшитгэл гарч ирнэ. A(x)=B(x) ба A(x)·C(x)=B(x)·C(x) тэгшитгэлийн хувьд A(x) тэгшитгэлийн ODZ-ийн бүх тоо тэнцүү байх болно. C(x) илэрхийллийг алга болгодог )=B (x) нь A(x)=B(x) тэгшитгэлийн үндэс юм.

Тэгэхээр тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлбэл ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийсдаггүй, мөн анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ-ээр алга болдог нь ерөнхий тохиолдолд үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлд хүргэдэг. нь, энэ нь гадаад үндэс харагдах хүргэж болно.

Тодорхой болгохын тулд жишээ татъя. x+3=4 тэгшитгэлийг авч үзье. Үүний цорын ганц үндэс нь 1 тоо юм. Энэ тэгшитгэлийн хоёр талыг анхны тэгшитгэлийн ODZ-аар алга болох ижил илэрхийллээр, жишээлбэл, x·(x−1) -ээр үржүүлье. Энэ илэрхийлэл x=0 ба x=1 үед алга болно. Энэ илэрхийлэлээр тэгшитгэлийн хоёр талыг үржүүлбэл тэгшитгэл гарч ирнэ (x+3) x (x−1)=4 x (x−1). Үүссэн тэгшитгэл нь 1 ба 0 гэсэн хоёр үндэстэй. 0 тоо нь өөрчлөлтийн үр дүнд үүссэн анхны тэгшитгэлийн гаднах үндэс юм.

Үндэс алдагдахад хүргэж болзошгүй өөрчлөлтүүд

Тодорхой нөхцлөөс зарим хөрвүүлэлт нь үндэс алдагдахад хүргэдэг. Жишээ нь: x·(x−2)=x−2 тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил x−2 илэрхийллээр хуваахад үндэс алдагдана. Үнэн хэрэгтээ ийм хувирлын үр дүнд x=1 тэгшитгэл нь 1-ийн тоо болох нэг язгууртай бөгөөд анхны тэгшитгэл нь 1 ба 2 гэсэн хоёр язгууртай болно.

Тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ үндсээ алдахгүйн тулд хувиргалтын үр дүнд үндэс алдагдахыг тодорхой ойлгох шаардлагатай. Үүнийг олж мэдье.

Эдгээр хувиргалтын үр дүнд хувирсан тэгшитгэлийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан тохиолдолд л үндэс алдагдах боломжтой.

Энэ мэдэгдлийг батлахын тулд хоёр зүйлийг нотлох шаардлагатай. Нэгдүгээрт, хэрэв тэгшитгэлийн заасан хувиргалтын үр дүнд ODZ нарийссан бол үндэс алдагдах боломжтой гэдгийг батлах шаардлагатай. Хоёрдугаарт, хэрэв эдгээр хувиргалтын үр дүнд үндэс алдагдах юм бол үүссэн тэгшитгэлийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийхан байна гэдгийг зөвтгөх шаардлагатай.

Хэрэв хувиргалтын үр дүнд олж авсан тэгшитгэлийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан бол үүссэн тэгшитгэлийн ODZ-ийн гадна байрлах анхны тэгшитгэлийн нэг ч язгуур нь тэгшитгэлийн үндэс болж чадахгүй. хувиргасны үр дүнд олж авсан. Энэ нь анхны тэгшитгэлээс ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан тэгшитгэлд шилжих явцад эдгээр бүх үндэс алдагдана гэсэн үг юм.

Одоо буцаж. Хэрэв эдгээр хувиргалтын үр дүнд үндэс алдагдах юм бол үүссэн тэгшитгэлийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-аас нарийссан болохыг баталцгаая. Үүнийг эсрэг аргаар хийж болно. Эдгээр өөрчлөлтүүдийн үр дүнд үндэс нь алдагдах боловч ODZ нарийсаагүй гэсэн таамаглал нь өмнөх догол мөрөнд нотлогдсон мэдэгдлүүдтэй зөрчилдөж байна. Үнэн хэрэгтээ эдгээр мэдэгдлээс харахад хэрэв заасан хувиргалтыг хийхдээ ODZ-ийг нарийсгахгүй бол эквивалент тэгшитгэл эсвэл үр дагавар тэгшитгэлийг олж авдаг бөгөөд энэ нь үндэс алдагдах боломжгүй гэсэн үг юм.

Тиймээс тэгшитгэлийн үндсэн хувиргалтыг хийхдээ үндэс алдаж болзошгүй шалтгаан нь ODZ-ийн нарийсалт юм. Тэгшитгэлийг шийдэхдээ бид үндсээ алдах ёсгүй нь ойлгомжтой. Эндээс "Тэгшитгэлийг хувиргахдаа үндсээ алдахгүйн тулд юу хийх хэрэгтэй вэ" гэсэн асуулт гарч ирнэ. Бид дараагийн догол мөрөнд хариулах болно. Одоо тэгшитгэлийн үндсэн хувиргалтуудын жагсаалтыг авч үзье, ямар хувиргалт нь үндсээ алдахад хүргэж болохыг илүү нарийвчлан харцгаая.

• Тэгшитгэлийн зүүн ба баруун талд байгаа илэрхийллүүдийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих.

Хэрэв та тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийлэлийг ижил тэнцүү илэрхийллээр сольсон бол ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан бол энэ нь ODZ-ийн нарийсалт, үүнээс болж үндэс болно. алдаж магадгүй. Ихэнхдээ тэгшитгэлийн зүүн эсвэл баруун талд байгаа илэрхийллийг үндэс, хүч, логарифм, зарим тригонометрийн томъёоны зарим шинж чанарт үндэслэн ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь ODZ-ийг нарийсгахад хүргэдэг. , үндсээ алдах магадлалтай. Жишээлбэл, тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солих нь ODZ-ийг нарийсгаж, язгуур −16 алдагдахад хүргэдэг. Үүний нэгэн адил тэгшитгэлийн зүүн талд байгаа илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр орлуулснаар ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан тэгшитгэлд хүргэдэг бөгөөд энэ нь язгуур -3 алдагдахад хүргэдэг.

• Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил тоог нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил тоог хасах.

Энэ хувиргалт нь тэнцүү тул түүнийг хэрэгжүүлэх явцад үндсийг нь алдаж болохгүй.

• Тэгшитгэлийн хоёр талд ижил илэрхийллийг нэмэх эсвэл тэгшитгэлийн хоёр талаас ижил илэрхийллийг хасах.

Хэрэв та ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийссан илэрхийлэлийг нэмэх буюу хасах юм бол энэ нь ODZ-ийн нарийсалт, үр дүнд нь үндэс алдагдахад хүргэнэ. Үүнийг санаж байх нь зүйтэй. Гэхдээ энд практик дээр ихэвчлэн анхны тэгшитгэлийн бичлэгт байгаа илэрхийлэлүүдийг нэмэх, хасах шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ODZ-ийн өөрчлөлтөд хүргэдэггүй бөгөөд үндсийг нь алдахад хүргэдэггүй гэдгийг энд тэмдэглэх нь зүйтэй.

• Тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилсөн нэр томъёог тэгшитгэлийн нэг хэсгээс нөгөө рүү шилжүүлэх.

Тэгшитгэлийн энэхүү хувиргалт нь тэнцүү тул түүнийг хэрэгжүүлсний үр дүнд үндэс нь алдагдахгүй.

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг тэгээс өөр ижил тоогоор үржүүлэх буюу хуваах.

Энэ хувиргалт нь мөн адил тэнцүү бөгөөд үүнээс болж үндэс алдагдахгүй.

• Тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр үржүүлэх буюу хуваах.

Энэ хувиргалт нь хоёр тохиолдолд OD-ийг нарийсгахад хүргэж болно: үржүүлэх эсвэл хуваах илэрхийллийн OD нь анхны тэгшитгэлийн OD-ээс нарийссан үед, мөн хуваагдах илэрхийллээр хуваагдах үед. Анхны тэгшитгэлийн OD дээр тэг. Практикт тэгшитгэлийн хоёр талыг нарийн VA-тай илэрхийллээр үржүүлэх, хуваах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу. Гэхдээ та анхны тэгшитгэлийн хувьд тэг болж хувирах илэрхийлэлд хуваах хэрэгтэй. Ийм хуваагдлын үед үндсээ алдахыг даван туулах нэг арга байдаг бөгөөд бид энэ зүйлийн дараагийн догол мөрөнд энэ тухай ярих болно.

Үндэс алдагдахаас хэрхэн сэргийлэх вэ?

Хэрэв та тэгшитгэлийг хувиргахдаа зөвхөн хувиргалтыг ашигладаг бөгөөд ODZ-ийг нарийсгах боломжийг олгодоггүй бол үндэс алдагдахгүй.

Энэ нь тэгшитгэлийн өөр хувиргалтыг хийх боломжгүй гэсэн үг үү? Үгүй ээ, тийм гэсэн үг биш. Хэрэв та тэгшитгэлийн өөр өөрчлөлтийг гаргаж ирэн, түүнийг бүрэн тайлбарлавал, өөрөөр хэлбэл энэ нь хэзээ эквивалент тэгшитгэлд хүргэж байгааг, хэзээ үр дүнд хүрсэн тэгшитгэлд хүргэж болохыг, хэзээ үндсээ алдахад хүргэж болохыг зааж өгвөл үүнийг батлах боломжтой.

АН-ыг хумих шинэчлэлийг бид бүрмөсөн орхих ёстой юу? Та үүнийг хийх ёсгүй. Анхны тэгшитгэлийн хувьд ODZ-ээс хязгаарлагдмал тооны тоо хасагдсан хувиргалтыг өөрийн зэвсэглэлд хадгалахад гэмгүй. Яагаад ийм өөрчлөлтийг орхиж болохгүй гэж? Учир нь ийм тохиолдолд үндэс алдахгүй байх арга байдаг. Энэ нь тэдний дунд анхны тэгшитгэлийн үндэс байгаа эсэхийг шалгахын тулд ODZ-ээс унасан тоонуудыг тусад нь шалгахаас бүрдэнэ. Та эдгээр тоог анхны тэгшитгэлд орлуулах замаар үүнийг шалгаж болно. Тэдгээрийг орлуулахдаа зөв тоон тэгшитгэлийг өгдөг нь анхны тэгшитгэлийн үндэс юм. Тэднийг хариултанд оруулах шаардлагатай. Ийм шалгалтын дараа та үндсээ алдахаас айхгүйгээр төлөвлөсөн өөрчлөлтийг аюулгүй хийж чадна.

Тэгшитгэлийн ODZ-ийг хэд хэдэн тоо болгон нарийсгах ердийн хувиргалт нь тэгшитгэлийн хоёр талыг ижил илэрхийллээр хуваах бөгөөд энэ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс хэд хэдэн цэгт тэг болно. Энэхүү хувиргалт нь шийдлийн аргын үндэс юм харилцан тэгшитгэл. Гэхдээ энэ нь бусад төрлийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд хэрэглэгддэг. Нэг жишээ хэлье.

Тэгшитгэлийг шинэ хувьсагч оруулах замаар шийдэж болно. Шинэ хувьсагчийг нэвтрүүлэхийн тулд тэгшитгэлийн хоёр талыг 1+x-д хуваах хэрэгтэй. Гэхдээ ийм хуваагдлаар үндэс алдагдаж болзошгүй, учир нь 1+x илэрхийллийн ODZ нь анхны тэгшитгэлийн ODZ-ээс нарийн биш боловч 1+x илэрхийлэл x=−1 үед тэг болж, энэ тоо анхны тэгшитгэлийн ODZ-д хамаарна. Энэ нь язгуур −1 алдаж болзошгүй гэсэн үг юм. Үндэс алдагдлыг арилгахын тулд −1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс мөн эсэхийг тусад нь шалгах хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та анхны тэгшитгэлд −1-ийг орлуулж, ямар тэгшитгэлтэй болохыг харж болно. Манай тохиолдолд орлуулалт нь тэгш байдлыг өгдөг бөгөөд энэ нь 4=0-тэй ижил байна. Энэ тэгшитгэл нь худал бөгөөд −1 нь анхны тэгшитгэлийн үндэс биш гэсэн үг. Ийм шалгалтын дараа та тэгшитгэлийн хоёр талыг 1 + x-ээр хуваах боломжтой бөгөөд үндэс алдагдах вий гэж айхгүйгээр хийж болно.

Энэ догол мөрний төгсгөлд өмнөх догол мөрийн тэгшитгэл рүү дахин нэг удаа хандъя. Эдгээр тэгшитгэлийг таних тэмдэг дээр үндэслэн хувиргах ба ODZ-ийн нарийсалт хүргэдэг бөгөөд энэ нь үндэс алдагдахад хүргэдэг. Энэ үед бид язгуураа алдахгүйн тулд ШШГ-ыг нарийсгасан шинэчлэлээс татгалзах хэрэгтэй гэж хэлсэн. Энэ нь эдгээр өөрчлөлтийг орхих ёстой гэсэн үг юм. Гэхдээ бид яах ёстой вэ? Баримтлал дээр тулгуурлаагүй өөрчлөлтийг хийх боломжтой , үүнээс болж ODZ нарийсч, мөн үндсэн дээр таних болон . Анхны тэгшитгэлээс болон тэгшитгэлд шилжсэний үр дүнд ба ODZ-ийн нарийсалт байхгүй, энэ нь үндэс нь алдагдахгүй гэсэн үг юм.

Энд бид илэрхийллийг ижил тэнцүү илэрхийллээр солихдоо илэрхийллүүд нь яг ижил тэнцүү байх ёстойг анхаарна уу. Жишээлбэл, Eq. зүүн талын харагдах байдлыг хялбарчлахын тулд x+3 илэрхийллийг илэрхийллээр солих боломжгүй , учир нь x+3 илэрхийллүүд нь ижил тэнцүү биш, учир нь тэдгээрийн утга нь x+3 дээр давхцдаггүй.<0 . В нашем примере такое преобразование приводит к потере корня. А в общем случае замена выражения не тождественно равным выражением приводит к уравнению, которое не позволяет получить решение исходного уравнения.

Ашиглах ёсгүй тэгшитгэлийн хувиргалтууд

Энэ нийтлэлд дурдсан өөрчлөлтүүд нь ихэвчлэн практик хэрэгцээнд хангалттай байдаг. Өөрөөр хэлбэл, та өөр ямар нэгэн өөрчлөлт хийхдээ санаа зовох хэрэггүй, аль хэдийн батлагдсан хувилбаруудыг зөв ашиглахад анхаарлаа төвлөрүүлэх нь дээр.

Уран зохиол

1. Мордкович А.Г.Алгебр ба математик анализын эхлэл. 11-р анги. 2 хэсэгтэй. 1-р хэсэг. Ерөнхий боловсролын сургуулийн оюутнуудад зориулсан сурах бичиг (профайлын түвшин) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2-р хэвлэл, устгасан. - М.: Mnemosyne, 2008. - 287 х.: өвчтэй. ISBN 978-5-346-01027-2.
2. Алгебрболон математик анализын эхлэл. 10-р анги: сурах бичиг. ерөнхий боловсролын хувьд байгууллагууд: үндсэн ба профиль. түвшин / [Ю. М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин]; засварласан A. B. Жижченко. - 3 дахь хэвлэл. - М.: Боловсрол, 2010.- 368 х.: ill.-ISBN 978-5-09-022771-1.