Хэрэв x 1 ба x 2 хоёр цэгийн хамт тэдгээрийг холбосон хэрчмийг агуулж байвал AÌE олонлогийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. маягтын багц
[x 1 x 2 ]={xОE n | x=л x 1 +(1-л) x 2 , 0 £л £1).
Дээр авч үзсэн хагас орон зай нь гүдгэр олонлогууд юм. Жишээлбэл, хагас орон зай H + ab ( xОE n |
Эхнийх нь lÎ тоогоор, хоёр дахь нь 1-l-ээр үржүүлсний дараа эдгээр хоёр тэгш бус байдлыг нэмье. Үүний үр дүнд бид тэгш бус байдлыг олж авдаг
л
l нь дур зоргоороо байдаг тул сонгосон цэгүүдийг холбосон сегмент бүхэлдээ энэ хагас орон зайд хамаарна. Тиймээс хагас орон зай нь үнэхээр гүдгэр олонлог юм.
Зураг 2.10 гүдгэр (a), гүдгэр бус (б) багц.
3-р бүлэг: Онцлогын үндэс.
3.1 Функцийн тухай ойлголт.
X ба Y хоёр олонлог байг. Хэрэв X олонлогийн элемент бүр нь Y олонлогийн тодорхой элементтэй холбоотой байх дүрмийг зааж өгсөн бол функцийг тодорхойлсон гэж хэлдэг. е, X-ийг Y-ийн зураглал. Энэ баримтыг f: X®Y эсвэл гэж бичнэ y=f(x), энд x ОX, yОY. X олонлогийг өгөгдлийн домэйн буюу функцийн домэйн гэж нэрлэдэг ба Y олонлогийг утгуудын олонлог гэнэ. Чиг үүрэг f(x) x утга бүрийг нэг утгатай холбохыг зөвшөөрдөг дүрэм юм y=f(x). Энэ тохиолдолд x нь бие даасан хувьсагч, у нь хамааралтай хувьсагч юм. y=f(x)=f(x 1 +x 2 ,..,x n) функцууд, i.e. X Ì E n тодорхойлолтын домэйн болон Y Ì E утгын багц бүхий функцүүдийг YÌ E m, m>1 гэсэн вектор функцээс ялгаатай нь тоон функц гэж нэрлэдэг.
Олон төрлийн
((x,y)ОE n +1 ½ y=f(x) зарим xОX)
функцийн график гэж нэрлэдэг y=f(x).
Олон тооны физик процессуудыг тасралтгүй функцуудыг ашиглан дүрсэлж болно, i.e. Тэдний тодорхойлолтын мужид хамаарах x цэг бүрт тасралтгүй байх шинж чанартай функцууд.
Хэрэв ямар ч e>0 тооны хувьд d e >0 тоог зааж өгөх боломжтой бол f функцийг x 0 ОX цэг дээр тасралтгүй гэж нэрлэдэг бөгөөд ингэснээр бүх xОX О Ède ½x 0 ½ тэгш бус байдал ½f(x)-f(x 0) байх болно. )½ барина E n дээр тасралтгүй функцүүдийн жишээ болгон бид шугаман функцийг f 1 (x)= өгөв Энд Q нь n*m хэмжээтэй тоон тэгш хэмтэй матриц, c нь E n-ийн зарим вектор, b нь зарим тоо, Qx нь шугаман алгебрт батлагдсан матрицыг үржүүлэх дүрмийн дагуу вектороор матрицын үржвэрийг хэлнэ. 3.2 Функцийн ангилал. 3.2.1 Тасралтгүй ба салангид функцууд. тасалдсан функцууд. Жишээлбэл, тоо хэмжээг зарим системд дамжуулах зардал системийн янз бүрийн температурт халаахад бид хэсэгчилсэн тасралтгүй муруйг олж авдаг (Зураг 3.1). Хувьсагч нь салангид утгыг авах тохиолдол байж болно (Зураг 3.2). Судалж буй функц нь тасралтгүй эсвэл тасалдсан эсэхээс хамаарч өөр өөр судалгааны аргыг хэрэглэнэ. Үргэлжилсэн функцийг шинжлэхэд энэ арга нь үр дүнтэй байдаг боловч тасархай функцийг судлахад үр дүнгүй байж болох ч эсрэгээр нь үгүйсгэхгүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Функцуудыг мөн хэлбэрээр нь ангилж болох бөгөөд энэ нь авч үзэж буй интервал дахь функцүүдийн топологийн шинж чанарыг тодорхойлдог. 3.2.2 Монотон функцууд. Хэрэв x 1 ба x 2 дурын хоёр цэгийн хувьд x 1 байвал f(x) функц нь монотон (Зураг 3.3) нэмэгдэх ба буурах аль аль нь байна. Зураг 3.3. Монотон функцийн тухай ойлголт. Зураг 3.4-т x £ 0 болж монотон буурч, x³0 болж монотоноор өсөх функцийн графикийг үзүүлэв. Функц нь x=x * (эх 0) цэг дээр хамгийн багадаа хүрэх ба хамгийн бага цэгийн хоёр талд монотон байна. Ийм функцийг unimodal гэж нэрлэдэг. Unimodal функц нь огт жигд байх албагүй (Зураг 3.4, а), тэр ч байтугай тасралтгүй (Зураг 3.4, б), эвдэрсэн (ялгарах боломжгүй), тасалдалтай (Зураг 3.4, в), салангид (Зураг 3.4 d) ба зарим интервалаар тодорхойлогдоогүй ч байж болно (Зураг 3.4, г). Иймд f(x) функц нь тасралтгүй асаалттай бөгөөд a, b a£a£b£b тоонууд байвал интервал дээр unimodal гэж нэрлэдэг. 1) хэрэв a 2) хэрэв b
3) xО f(x)=f * =min f(x)-ийн хувьд; Зураг 3.4 Unimodal функцууд: a) гөлгөр, б) тасралтгүй, в) тасалдалтай, г) дискрет, д) дурын. , , сегментүүдийн нэг юмуу хоёр нь нэг цэг хүртэл доройтож болно (Зураг 3.5). Зураг 3.5. Нэг модаль функцийн нэг хэвийн байдал ба тогтмол байдлын сегментийн цэг хүртэл байрлал, доройтлын хувилбарууд. интервал дээр нэг модаль функцүүдийн багцыг Q-аар тэмдэглэнэ. Функцуудын нэг модаль байдал нь оновчлолын судалгаанд өргөн хэрэглэгддэг маш чухал шинж чанар юм. 3.2.3 Гүдгэр, псевдоконвекс, бараг гүдгэр функцууд. Оновчлолын онолд гүдгэр функцууд ба тэдгээрийн ерөнхий дүгнэлтүүд (псевдоконвекс ба хагас гүдгэр функцууд) чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Эдгээр функцийг ашигласнаар хангалттай оновчтой нөхцлийг бүрдүүлэх болно. X, XОE n гүдгэр олонлог дээр тодорхойлогдсон f тоон функцийг x 1 ,x 2 ОX хоёр цэг болон дурын тоо lо-ийн хувьд дараах тэгш бус байдал хангагдсан бол гүдгэр гэж нэрлэнэ. f(lx 1 +(1-l)x 2) £ lf(x 1)+(1-l)f(x 2). (3.1) Эсрэг утгатай тэгш бус байдал нь хотгор функцийг тодорхойлдог бөгөөд "доош гүдгэр (1)" ба "гүдгэр дээш (2)" гэсэн нэр томъёог ихэвчлэн ашигладаг (Зураг 3.6). Зураг 3.6. 1) Гүдгэр (доош гүдгэр) функц, 2) хотгор (дээш хотгор) функц. Геометрийн хувьд f функцийн гүдгэр гэдэг нь f графикийн дурын хөвч дээрх дурын цэг нь графын өөрийнх нь харгалзах цэгээс багагүй (түүний графикийн хоёр цэгийг холбосон хөвчний доор байрладаг) байрлана гэсэн үг юм (Зураг 3.6., муруй 1). Нэг хувьсагчийн гүдгэр функцүүдийн хамгийн энгийн жишээ бол y=x 2 парабол ба экспоненциал y=e x юм. y=-x 2 ба y=-e x функцууд нь хотгор байна. Хэрэв бүх x 1, x 2 ОX x 1 ¹x 2 ба lо тэгш бус байдал (3.1) нь хатуу (<), то f называется хатуу гүдгэр
X дээр (Зураг 3.7,a). Функцийг дууддаг (хатуу) муруй
, хэрэв - f нь (хатуу) гүдгэр (Зураг 3.7, b). Зураг 3.7. Хатуу гүдгэр (a) ба хатуу хотгор функцууд, тэдгээрийн уламжлал (тасархай шугам) ба шугаман огтлолтой функц Чиг үүрэг f(x), гүдгэр олонлог дээр тодорхойлогддог X, тогтмол хэмжигдэхүүнтэй хүчтэй гүдгэр гэж нэрлэдэг л> 0 бол Функцийг авч үзэн тодорхойлолтын (3.2) геометрийн тайлбарыг өгье y=f(x)нэг хувьсагч. Засаж байгаад x 1 ба x 2 функцын тодорхойлолтын домэйноос 2-ыг тэмдэглэж, бид l-ийг 0-ээс 1 болгон өөрчлөх болно. Дараа нь утга нь тодорхой байна. x(l), -аас өөр байх болно x 1руу x 2, ба цэг ( X, f(x)) функцийн графикийг дагаж мөрдөх болно y=f(x) B цэгээс = ( x 2 , f(x 2)) цэг хүртэл А= (x 1 , f(x 1))(Зураг 3.8). Зураг 3.8. Өндөр гүдгэр функцийн график. Тэгшитгэл xOy хавтгайд шулуун шугамыг дүрсэл Л(секант) холбох цэгүүд АТэгээд IN, ба тэгшитгэлүүд параболыг тодорхойлно Ртөрлийн · Теорем 3.1
Гүдгэр X олонлог дээрх тасралтгүй дифференциалагдах функц ехэрэв байгаа бол энэ багц дээр гүдгэр байна x 1 ,x 2 О Xтэгш бус байдал үнэн f(x 2) ³ f(x 1) +<Ñf(x 1 ,x 2 -x 1)>, (3.3) функцийг өргөжүүлэх замаар олж авсан f(x)цэг дээр Тейлорын цувралд x 1өргөтгөлийн хоёр дахь болон дээд эрэмбийн нөхцлүүдийг арилгах замаар F(x 1 +h) = f(x 1) + hf ¢(x 1) + h 2 /2*f¢¢(x 1) +..., (3.3) h нь хангалттай бага тоо, |h| Ñf(x 1) = (¶f/¶x 1 , ¶f/¶x 2 ,.., ¶f/¶x n) t, тэдгээр. нь х 1 цэгт тооцсон нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын вектор бөгөөд х 1 цэг дээрх f функцийн градиент гэнэ. · Теорем 3.2
Доод тал нь нэг дотоод цэг агуулсан гүдгэр X олонлог дээр f функцийг хоёр удаа тасралтгүй дифференциал болох ба Ñ 2 f(x) нь түүний Гессиан байг. Дараа нь f нь X олонлог дээр гүдгэр байхын тулд Ñ 2 f(x) матриц нь бүх xÎX-д сөрөг бус тодорхойлогдсон байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай юм. тэгэхээр тэгш бус байдал <Ñ 2 f(x)h, h>³0 (3.4) xÎX, hÎE n бүх цэгүүдэд биелэгдсэн. Энд Ñ 2 f(x) тоон матрицыг Гессийн (эсвэл Гессийн матриц) гэнэ. Хэрэв f функц нь x 1 цэг дээр хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай (хоёр удаа тасралтгүй дифференциалагдах) бол x 1 цэг дээр хоёр дахин дифференциалагдах ба хэлбэрийн Гессийн матрицтай байна. Түүнээс гадна, энэ матриц нь тэгш хэмтэй, өөрөөр хэлбэл. Үүнтэй төстэй мэдэгдэл нь хонхор функцүүдэд хамаарна. Энэ тохиолдолд (3.2) ба (3.4) томъёонд тэгш бус байдлын ³ тэмдгийг £-ээр солино. Функцийг гүдгэр эсэхийг шалгаж байна. Бүх x 1 , x 2 ,.., x n утгуудын хувьд Гессийн матриц нь эерэг тодорхой (>0) эсвэл эерэг хагас тодорхойлогддог бол f функц нь гүдгэр байна. Функцийг товойсон эсэхийг шалгаж байна. Бүх x 1 , x 2 ,.., x n утгуудын хувьд Гессийн матриц нь сөрөг хагас тодорхой (£0) байвал f функц нь гүдгэр байна. Хатуу гүдгэр эсвэл хотгор функц нь нэг экстремумтай байдаг бөгөөд энэ нь дэлхийн хамгийн бага буюу дээд хэмжээ юм. Шугаман огтлолтой функц (Зураг 3.7, в) тэнцүү хэмжээтэй хязгааргүй тооны экстремумтай байна. Хязгаарлалт байгаа тохиолдолд нэг хэт туйлшралыг үнэлэхийн тулд зөвшөөрөгдөх багцын гүдгэр гэсэн ойлголтыг ашиглаж болно. Олонлогийн хилийн хоёр цэгийг холбосон шугамын хэсэг бүхэлдээ олонлог дотор орвол олонлог гүдгэр байна. Зорилгын функцийн гүдгэр эсвэл хонхор байдлыг түүний хэсэгчилсэн деривативуудын ¶f/¶x-ийн өөрчлөлтийн шинж чанараар мөн дүгнэж болно. Хатуу гүдгэр функцийн хувьд аргумент нэмэгдэх тусам энэ дериватив өсдөг (Зураг 3.7 а), хатуу гүдгэр функцийн хувьд энэ нь буурдаг (Зураг 3.7 б). Хэрэв зорилгын функцийн шугаман хэсэг байгаа бол энэ хэсэгт заасан дериватив нь тогтмол байна. Маягтын гүдгэр багц X=(xÎE n ) | Ax£b)=(xÎE n | £b i , i=1,..,m) Энд A нь a 1 ,..,a m , b=(b 1 ,..,b m) О E n (m=1,2,..) эгнээ бүхий m*n хэмжээтэй зарим матриц юм. Тэдгээрийг ихэвчлэн олон талт эсвэл зүгээр л олон талт гэж нэрлэдэг. Тиймээс, олон талт өнцөгт нь хязгаарлагдмал тооны шугаман тэгш бус байдлын зарим системийн шийдлүүдийн багц буюу мөн адил хязгаарлагдмал тооны хагас орон зайн огтлолцол юм (Зураг 3.9). Зураг 3.9. Олон талт багц (олон талт). Шугаман програмчлалын бодлого нь шугаман функцийн хамгийн бага утгыг олох явдал юм е: n > 1, зарим битүү гүдгэр олонлог дээр тодорхойлогдсон, шугаман тэгш бус байдлаар ялгагдана. Шугаман програмчлалын ерөнхий асуудалхэлбэртэй байна: n хувьсагчтай m шугаман тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын систем өгөгдсөн ба шугаман функц F = c 1 x 1 + c 2 x 2 +… + c n x n min (макс) (1) системийг хязгаарлалтын систем, F функцийг шугаман функц, шугаман хэлбэр, зорилгын функц, зорилгын функц гэж нэрлэдэг. Товчхондоо шугаман програмчлалын ерөнхий бодлогыг дараах байдлаар илэрхийлж болно. x=(x|Axb, A=, b=( Т )}
Шугаман програмчлалын асуудлыг бусад хэлбэрээр бичдэг - каноник ба хэвийн. Каноник асуудлыг нэрлэе - Zk-ийн тэмдэглэгээ: x=(x|Axb, ?0, j=)) Энгийн даалгавар бол Zn гэсэн тэмдэглэгээ юм, үүнийг нэрлэе x=(x|Axb, ?0, j=)) Гүдгэр олонлогийн тодорхойлолт: Хэрэв олонлог нь дурын хоёр цэгийн хамт огторгуйн цэгийг холбох сегментийн бүх цэгүүдийг агуулж байвал олонлог нь гүдгэр байна. Дараах зурагт хавтгай дээрх хоёр багцыг харуулав: нэг нь гүдгэр, нөгөө нь биш. Цагаан будаа. 1
Жишээлбэл, дараах олонлогууд нь орон зайд гүдгэр байна: бүхэл бүтэн орон зай, түүний эерэг октант ба сөрөг бус октант, нээлттэй ба хаалттай аль ч бөмбөг, дурын гипер хавтгай (хэлбэрийн зарим тэгшитгэлээр өгөгдсөн, түүнчлэн нээлттэй ба хаалттай хагас) -зай, заасан, тус тус нөхцөлөөр And. Гүдгэр багцын цэгүүдийн дотроос дотоод, хил, булангийн цэгүүдийг ялгаж болно. Олонлогийн цэгийг дотоод гэж нэрлэдэг, хэрэв түүний хөршийн зарим хэсэг нь зөвхөн энэ олонлогийн цэгүүдийг агуулж байвал. Олонлогийн цэгийг хилийн цэг гэж нэрлэдэг, хэрэв түүний хөршүүдийн аль нэг нь тухайн олонлогт хамаарах цэгүүд болон түүнд хамаарахгүй цэгүүдийг агуулж байвал. Шугаман програмчлалын бодлогод хамгийн сонирхолтой нь булангийн цэгүүд юм. Багцын цэгийг дуудна өнцөг(эсвэл туйлын), хэрэв энэ нь тухайн багцад бүхэлд нь хамаарах ямар ч сегментийн дотоод биш бол. Зураг дээр. олон өнцөгтийн янз бүрийн цэгүүдийн жишээг өгөв: дотоод (цэг M), хил (цэг N) ба булан (A, B, C, D, E цэг). А цэг нь булангийн цэг юм, учир нь бүхэлдээ олон өнцөгт хамаарах аливаа сегментийн хувьд, жишээлбэл, AP сегментийн хувьд энэ нь дотоод биш юм; А цэг нь KL сегментийн дотоод хэсэг боловч энэ сегмент бүхэлдээ олон өнцөгт хамаарахгүй. Гүдгэр олонлогийн хувьд булангийн цэгүүд нь олон өнцөгтийн (олон өнцөгт) оройтой үргэлж давхцдаг бол гүдгэр бус олонлогийн хувьд энэ шаардлагагүй. Бүх хилийн цэгүүдийг багтаасан цэгүүдийн багцыг хаалттай гэж нэрлэдэг. Цэгүүдийн багцыг нэрлэдэг хязгаарлагдмал, хэрэв олонлогийн аль ч цэгт төвтэй, өгөгдсөн олонлогийг бүрэн агуулсан хязгаарлагдмал урттай радиустай бөмбөг (тойрог) байвал; өөрөөр хэлбэл олонлогийг хязгааргүй гэж хэлдэг. Хязгаарлагдмал тооны булангийн цэгүүдтэй хавтгайн гүдгэр битүү олонлогийг зааглагдсан бол гүдгэр олон өнцөгт, хязгааргүй бол гүдгэр олон өнцөгт муж гэнэ. f: функцийн эпиграф epi f= нь гүдгэр олонлог байвал гүдгэр гэж нэрлэнэ. Зурагт гүдгэр функцийг харуулсан бөгөөд түүний графикийг цэнхэр өнгөөр тодруулж, эпиграфыг ногоон өнгөтэй байна. f: функцийг эпиграф нь хаалттай олонлог бол хаалттай гэж нэрлэдэг. Тэгш бус байдал, тэгшитгэл, тэдгээрийн системийн шийдлийн геометрийн утга Тэгш бус байдлын шийдлүүдийг авч үзье. Тайлбар 1. a11x1+a12x2 хоёр хувьсагчтай тэгш бус байдлын шийдлийн багц<=b1 является одной из двух полуплоскостей, на которые вся плоскость делится прямой a11x1+a12x2=b1, включая и эту прямую, а другая полуплоскость с той же прямой есть множество решений неравенства a11x1+a12x2>=b1. Хүссэн хагас хавтгайг (дээд эсвэл доод) тодорхойлохын тулд түүний хил дээр оршдоггүй дур зоргоороо хяналтын цэг - баригдсан шулуун шугамыг тогтоохыг зөвлөж байна. Хэрэв тэгш бус байдал нь хяналтын цэг дээр байгаа бол энэ нь хяналтын цэгийг агуулсан хагас хавтгайн бүх цэгүүдэд хадгалагдах ба нөгөө хагас хавтгайн бүх цэгүүдэд тохирдоггүй. Үүний эсрэгээр, хэрэв хяналтын цэг дээр тэгш бус байдал хангагдаагүй бол хяналтын цэгийг агуулсан хагас хавтгайн бүх цэгүүдэд хангагдахгүй, нөгөө хагас хавтгайн бүх цэгүүдэд хангагдана. Хяналтын цэгийн хувьд баригдсан шулуун шугам дээр ороогүй координатын O (0; 0) гарал үүслийг авах нь тохиромжтой. Тэгш бус байдлын системийн шийдлүүдийн багцыг авч үзье. Мэдэгдэл 2. Хоёр хувьсагчийн шугаман тэгш бус байдлын хамтарсан системийн шийдлийн багц нь гүдгэр олон өнцөгт (эсвэл гүдгэр олон өнцөгт муж) юм. 1-р мэдэгдэлд заасны дагуу тэгш бус байдал бүр нь гүдгэр цэгийн багц болох хагас хавтгайн аль нэгийг тодорхойлно. Шугаман тэгш бус байдлын хамтарсан системийн шийдлүүдийн багц нь бүх тэгш бус байдлын шийдүүдийн хагас хавтгайд хамаарах цэгүүд юм. тэдгээрийн уулзварт хамаарна. Гүдгэр олонлогуудын огтлолцлын тухай мэдэгдлийн дагуу энэ олонлог нь гүдгэр бөгөөд хязгаарлагдмал тооны булангийн цэгүүдийг агуулдаг. нь гүдгэр олон өнцөгт (гүдгэр олон өнцөгт талбай) юм. Булангийн цэгүүдийн координатууд - олон өнцөгтийн оройнууд нь харгалзах шугамуудын огтлолцлын цэгүүдийн координатууд юм. Тэгш бус байдлын системийн шийдлийн талбайг барих үед бусад тохиолдлууд тохиолдож болно: шийдлийн багц нь гүдгэр олон өнцөгт талбай (зураг a); нэг цэг (Зураг b); тэгш бус байдлын систем нийцэхгүй байх үед хоосон олонлог (Зураг в). f: гэж үзье. f*(x*)==(x*) тэгшитгэлээр тодорхойлогддог f* функцийг f-ийн коньюгат функц, f** функцийг f**(x*)==( дүрмээр тодорхойлогддог. x*)-ийг f-ийн хоёр дахь коньюгат функц гэж нэрлэдэг. f* (x*) = харуулах< x*, x>? f(x)-ийг Лежендрийн хувиргалт гэж нэрлэдэг. Хос бодлого барих ердийн техник нь дараах байдалтай байна. Багасгах асуудал X нь шугаман орон зай бөгөөд параметрээс хамааран үүнтэй төстэй бодлогын ангилалд багтана. Энд Y нь өөр шугаман орон зай, F (x, 0)=f(x) (F функцийг f-ийн цочрол гэж нэрлэдэг). Ихэвчлэн F-г гүдгэр гэж үздэг. Өгөгдсөн цочромтгой байдлын талаархи асуудлын хоёрдмол утга гэж нэрлэдэг. даалгавар Энд F* нь Legendre-Young-Fennel утгаараа F-ийн хос (коньюгат) функц юм. Энэхүү хоёрдмол байдал нь гүдгэр функц бүртэй холбогдох боломжийг бидэнд олгодог: X-> R хос объект - X* коньюгат орон зайд тодорхойлогдсон коньюгат функц ба томъёогоор тодорхойлогддог. гэх мэт хамгийн энгийн гүдгэр програмчлалын асуудлуудын хувьд Энд X нь шугаман орон зай, X дээр гүдгэр функцууд, X-д B-гүдгэр багц (тусгай тохиолдлууд (3) шугаман програмчлалын бодлого) y=(y 1 ,…,) параметрээс хамааран дараах стандарт цочролыг ихэвчлэн ашигладаг. y m), m , Гүдгэр програмчлалын ерөнхий ангиудын хоёрдмол байдлын теоремууд нь F-ийн түгшүүртэй холбоотой тодорхой таамаглалаар бодлогын (2) ба (2*)-ын утгууд давхцаж, үүнээс гадна шийдлийг тодорхойлдог. ,бодлуудын аль нэг нь нөгөөгийнх нь Лагранжийн үржүүлэгч юм. Хэрвээ түүний аль нэг A,B ∈ X цэгийн хувьд хэрчмийн бүх цэгүүд нь мөн X олонлогт харьяалагддаг, өөрөөр хэлбэл түүний аль нэг A,B ∈ X цэгүүд болон дурын α утгын хувьд X олонлогийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. M = αA + (1 − α)B цэгт мөн X олонлогт хамаарна: M ∈ X. X1, ...Xn өгөгдсөн - гүдгэр олонлогууд. Y =Xi - гүдгэр олонлогуудын огтлолцлыг тэмдэглэе. Y нь гүдгэр олонлог гэдгийг харуулъя. Үүний тулд бид ямар ч A,B ∈ Y цэгүүд болон M = αA + (1 − α)B цэгийн α-ийн дурын утгын хувьд Y олонлогт мөн хамаарагдана: M ∈ Y . Y нь X1, ...Xn гүдгэр олонлогуудын огтлолцол тул дур мэдэн сонгосон A,B цэгүүд нь эдгээр Xi, i = 1..n олонлог тус бүрт хамаарна. Xi олонлог тус бүрийн гүдгэр байдлаас шалтгаалан дур мэдэн сонгосон α ∈ утгын хувьд M = αA+(1−α)B цэг нь олонлог тус бүрт хамаарагдана (тэдгээр нь бүгд гүдгэр бөгөөд А, B). Бүх Си олонлог М цэгийг агуулж байгаа тул Эдгээр олонлогуудын огтлолцол нь мөн M цэгийг агуулна: M ∈ Y. Сүүлийн оруулгаас харахад A,B ∈ Y-ийн дур зоргоороо болон α ∈ параметрийн дурын байдлаас шалтгаалан Y олонлогийг харуулах шаардлагатай гүдгэр байна. 95. Нөхцөлийг хангаж буй цэгүүдийн багц нь гүдгэр үү? Хариултаа зөвтгөөрэй. Тийм ээ, энэ тэгш байдал нь R4 дэх шугаман хагас хавтгайг тодорхойлох нь ойлгомжтой. Үүнийг тодорхойлолтоор зөвтгөж үзье: A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X, Дээрх тэгш бус байдлыг хангаж байна. M = αA + (1 − α)B дурын цэгийг авч үзье, энд α ∈ нь параметрийн дурын утга юм. Дараа ньM(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B m1 = αa1 + (1 − αb1) m2 = αa2 + (1 − αb2) m3 = αa3 + (1 − αb3) m4 = αa4 + (1 − αb4) Өгөгдсөн тэгш бус байдлын боломжит байдал: 5 + 2м1 + 3м2 − м3 + 5м4 ≥ 0 5 + 2(αa1 + (1 − αb1)) + 3(αa2 + (1 − αb2)) − (αa3 + (1 − αb3)) + 5(αa4 + (1 − αb4)) ≥ 0 5 = α5+(1−α)5 гэж төсөөлж, ai, bi-ийн нэр томъёог өргөжүүлэн бүлэглэе. Бид авах: α(5 + 2a1 + 3a2 − a3 + 5a4) + (1 − α)(5 + 2b1 + 3b2 − b3 + 5b4) ≥ 0 A, B цэгүүд X олонлогт оршдог тул тэдгээрийн координатууд тэгш бус байдлыг хангана багцыг тавьсан хүнд. Энэ нь хоёр нэр томъёо нь сөрөг биш учраас сөрөг биш гэсэн үг юм α ба 1 − α. Тиймээс сүүлийн тэгш бус байдал нь ямар ч A, B болон ямар ч утгад хамаарна параметр α ∈ . Тодорхойлолтоор бид өгөгдсөн X олонлог болохыг харуулсан гүдгэр. 96. Нөхцөлийг хангах цэгүүдийн олонлог гүдгэр үү? Хариултаа зөвтгөөрэй. Тийм ээ, энэ тэгш байдал нь R4 дэх шугаман гипер хавтгайг тодорхойлох нь ойлгомжтой. Үүнийг тодорхойлолтоор зөвтгөж үзье: Энэ зайны аль ч хоёр цэгийг авч үзье A = (a1, a2, a3, a4), B= (b1, b2, b3, b4) ∈ X дээрх тэгш байдлыг хангаж байна. M = αA + (1 − α)B дурын цэгийг авч үзье, энд α ∈ нь параметрийн дурын утга юм. Дараа нь M(m1,m2,m3,m4) = αA + (1 − α)B m1 = αa1 + (1 − αb1) m2 = αa2 + (1 − αb2) m3 = αa3 + (1 − αb3) m4 = αa4 + (1 − αb4) X олонлогийн M(m1,m2,m3,m4) цэгийн гишүүнчлэлийг ашиглан шалгацгаая Өгөгдсөн тэгш байдлын боломжит байдал: м1 + 2м2 − 3м3 + 4м4 = 55 (αa1 + (1 − αb1)) + 2(αa2 + (1 − αb2)) − 3(αa3 + (1 − αb3)) + 4(αa4 + (1 − αb4)) = 55 Хаалт нээж, ai, bi гэсэн нэр томьёог бүлэглэе. Бид авах: α(a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) + (1 − α)(b1 + 2b2 − 3b3 + 4b4) = 55 A, B цэгүүд X олонлогт оршдог тул тэдгээрийн координатууд нь тэгш байдлыг хангана олонлогийг тодорхойлох, өөрөөр хэлбэл (a1 + 2a2 − 3a3 + 4a4) = 55 ба (b1 + 2b2 - 3b3 + 4b4) = 55. Эдгээр тэгшитгэлийг сүүлчийн илэрхийлэлд орлуулснаар бид дараахь зүйлийг олж авна. α55 + (1 − α)55 = 55 Сүүлчийн тэгш байдал нь ямар ч A,B болон α ∈ параметрийн аль ч утгын хувьд тохирно. Тодорхойлолтоор бид энэ X олонлог гүдгэр болохыг харуулсан. 97. Гүдгэр олонлогийн жишээг өг: a) булангийн цэгтэй; б) булангийн цэггүй. Хязгааргүй гүдгэр олонлогт булангийн цэг байж болох уу? Жишээ хэлье. a) квадрат нь 4 булангийн цэгтэй б) тойрогт булангийн цэг байхгүй в) хязгааргүй багц нь булангийн цэгүүдтэй байж болно: нэг булангийн цэгтэй (0;0) 98. Цэгийн системийн гүдгэр их биеийг тодорхойл. , , , , цэгүүдийн гүдгэр их бие гэж үзье. Үүнд: , ? Хариултаа зөвтгөөрэй. Үүнд бүх оноо сегмент, дурын хоёроор үүсгэгдсэн цэгүүдөгөгдсөн олонлог нь мөн энэ олонлогт хамаарна. Цэргээс Москвад буцаж ирэхэд Николай Ростовыг гэр бүлийнхэн нь хамгийн сайн хүү, баатар, хайрт Николушка гэж хүлээн зөвшөөрсөн; хамаатан садан - эелдэг, тааламжтай, хүндэтгэлтэй залуу хүний хувьд; танилууд - царайлаг хусар дэслэгч, авъяаслаг бүжигчин, Москвагийн шилдэг хүргэнүүдийн нэг шиг. 
Инженерийн хэрэглээнд ашиглах шаардлагатай тохиолдол ихэвчлэн гардаг
f(x 1)³ (x 2) (монотоник буурах функц)
, цэгүүдээр дамжин өнгөрдөг АТэгээд IN. Энэ тохиолдолд тэгш бус байдал (3.2) нь функцийн графикийг хэлнэ у = f(x) xOy хавтгай дээр зөвхөн цэгүүдийг холбосон секантын доор байрладаг АТэгээд IN, гэхдээ мөн парабол P, түүний хазайлт нь параметрээр тодорхойлогддог лмөн хүссэн хэмжээгээрээ бага хэмжээгээр сонгож болно. Өөрөөр хэлбэл функцийн секант ба графикаар хязгаарлагдсан талбайд цэгүүдийг холбосон параболыг байгуулж болно. АТэгээд IN.
Гүдгэр олонлогууд ба функцууд
Лежендре хувиргалтыг ашиглан хоёрдмол байдлын тухай ойлголтыг тодорхойлох
өөрөөр хэлбэл, энэ нь гүдгэр шугаман хослол байх нөхцөл хангагдсан бөгөөд энэ нь X нь гүдгэр их биений нэг хэсэг гэсэн үг юм. Y нь гүдгэр хослолд багтсан гэж бодъё, тэгвэл сегментийн бүх цэгүүдийг шугаман хослолд оруулах ёстой, гэхдээ эхний цэгүүдээс харахад тодорхой байна (тэдгээр нь бүгд шулуун шугамын баруун талд байрладаг x = -1) гүдгэр хослол бүхэлдээ шулуун шугамын баруун талд байрлах x = -1, Y цэг зүүн талд байгаа нь бүх сегмент болон Ү цэгийн аль нь ч гүдгэр их биет хамаарахгүй гэдгийг баталж байна.Тодорхойлолт
Жишээ
Үл хөдлөх хөрөнгө
харьяалагддаг .
Хувилбар ба ерөнхий дүгнэлт
Мөн үзнэ үү
"Гүдгэр багц" нийтлэлийн талаар сэтгэгдэл бичээрэй
Уран зохиол
Холбоосууд
Гүдгэр багцыг тодорхойлсон ишлэл
Наташа хөлийнхөө үзүүр дээр зогсоод бүжигчид шиг өрөөнөөс гарав, гэхдээ 15 настай аз жаргалтай охид л инээмсэглэдэг. Зочны өрөөнд Сонятай уулзсаны дараа Ростов улайв. Тэр түүнтэй хэрхэн харьцахаа мэдэхгүй байв. Өчигдөр тэд болзооныхоо баяр баясгалангийн эхний минутанд үнсэлцэж байсан бол өнөөдөр тэд үүнийг хийх боломжгүй гэдгийг мэдэрсэн; Ээж, эгч нар нь бүгд түүн рүү асуусан харцаар харж, өөртэй нь хэрхэн харьцахыг харахыг хүлээж байгааг тэр мэдэрсэн. Тэр түүний гарыг үнсээд түүнийг Соня гэж дуудлаа. Гэвч тэдний харц тулгараад бие биедээ "та" гэж хэлээд энхрийлэн үнсэв. Наташагийн элчин сайдын яаманд амлалтаа сануулж, хайранд нь талархаж зүрхэлсэнд нь тэр харцаараа түүнээс уучлал гуйв. Түүний харцаар тэр түүнд эрх чөлөөг санал болгосонд талархаж, ямар ч байсан түүнийг хайрлахаа хэзээ ч зогсоохгүй, учир нь түүнийг хайрлахгүй байх боломжгүй гэж хэлэв.
"Соня, Николенка хоёр одоо танихгүй хүмүүс шиг уулзсан нь ямар хачирхалтай вэ" гэж Вера чимээгүй байхыг сонгов. - Верагийн хэлсэн үг түүний бүх тайлбар шиг шударга байсан; гэвч түүний ихэнх хэлсэн үгийн адил бүгд эвгүй санагдаж, Соня, Николай, Наташа нар төдийгүй энэ хүүгийн Сонягийн хайраас айж, түүнийг гайхалтай үдэшлэгээс холдуулж мэдэх хөгшин гүнж ч охин шиг улайв. . Денисов Ростовыг гайхшруулав, шинэ дүрэмт хувцастай, нухаштай, анхилуун үнэртэй, зочны өрөөнд яг тулалдаанд оролцож байсан шигээ дэгжин, ноёд хатагтай нартай Ростов хэзээ ч уулзана гэж төсөөлж байгаагүй шиг эелдэг байв.
Ростовчууд бүх Москваг мэддэг байсан; Энэ жил хуучин граф хангалттай мөнгөтэй байсан, учир нь түүний бүх үл хөдлөх хөрөнгө барьцаалагдсан байсан тул Николушка өөрийн гэсэн троттер, хамгийн загварлаг леггинс, Москвад хэнд ч байхгүй тусгай гутал, хамгийн загварлаг гуталтай болжээ. , хамгийн үзүүртэй оймс, жижиг мөнгөн салаатай, маш их хөгжилтэй байсан. Ростов гэртээ буцаж ирэхдээ хэсэг хугацааны дараа хуучин амьдралынхаа нөхцөл байдлыг туршиж үзсэний дараа тааламжтай мэдрэмжийг мэдэрсэн. Түүнд маш их төлөвшиж, том болсон юм шиг санагдсан. Бурханы хуулийн дагуу шалгалт өгч чадаагүйдээ цөхрөнгөө барж, Гаврилагаас таксины жолоочоор мөнгө зээлж, Сонятай нууцаар үнсэлцэж, энэ бүхнийг тэрээр одоо хэмжээлшгүй хол байгаа хүүхэд шиг санав. Одоо тэр мөнгөлөг хувцастай гусар дэслэгч, цэргийн Жоржтой, алдартай анчид, өндөр настан, нэр хүндтэй анчидтай хамт гүйхэд троттерээ бэлдэж байна. Тэрээр орой явахаар өргөн чөлөөний нэгэн хатагтайг таньдаг. Тэрээр Архаровын бөмбөгөнд мазурка тоглож, фельдмаршал Каменскийтэй дайны тухай ярьж, Английн клубт зочилж, Денисов түүнд танилцуулсан дөчин настай хурандаатай найрсаг харилцаатай байв.
Энэ хугацаанд түүнийг хараагүй тул тусгаар тогтнолын төлөөх хүсэл эрмэлзэл нь Москвад бага зэрэг суларчээ. Гэвч тэрээр бүрэн эрхтний тухай, түүнийг хайрлах хайрынхаа тухай байнга ярьдаг байсан нь түүнд одоохондоо бүх зүйлийг хэлээгүй байгаа юм шиг мэдрэмж төрүүлж, тусгаар тогтнолоо хайрлах сэтгэлд хүн болгонд ойлгогдохооргүй өөр зүйл байгааг мэдрүүлдэг байв; Тэр үед Москвад тэр үед махан биетэй сахиусан тэнгэрийн нэрийг өгсөн эзэн хаан Александр Павловичийг Москвад биширч байсан ерөнхий мэдрэмжийг бүх зүрх сэтгэлээрээ хуваалцсан.
Ростовыг Москвад богино хугацаанд байх хугацаандаа цэрэгт явахаасаа өмнө тэр ойртож чадаагүй, харин эсрэгээрээ Сонятай салсан. Тэр маш хөөрхөн, эгдүүтэй, түүнд дурласан нь илт; Гэхдээ тэр залуу насандаа хийх зүйл маш их байгаа мэт санагдаж, үүнийг хийх цаг байхгүй, залуу оролцохоос айдаг - тэр олон хүнд хэрэгтэй эрх чөлөөгөө эрхэмлэдэг. бусад зүйлс. Тэрээр Москвад шинэхэн байх хугацаандаа Сонягийн тухай бодохдоо өөртөө: Өө! Хаа нэгтээ надад мэдэгдэхгүй олон, үүнээс ч олон байх болно. Би хүссэн үедээ үерхэх завтай хэвээр байх болно, гэхдээ одоо цаг алга. Нэмж дурдахад, эмэгтэй нийгэмд түүний эр зоригийг доромжлох зүйл байгаа мэт түүнд санагдсан. Тэрээр өөрийн хүсэл зоригийн эсрэг үүнийг хийж байгаа мэт дүр эсгэж, бөмбөг, сорорит руу явсан. Гүйх, англи клубт тоглох, Денисовтой зугаалах, тийшээ аялах - энэ бол өөр асуудал байсан: энэ нь сайн гусарт тохирсон байв.
Гуравдугаар сарын эхээр хөгшин гүн Илья Андреич Ростов хунтайж Багратионыг хүлээн авахын тулд Английн клубт оройн зоог барихаар завгүй байв.
Халат өмссөн гүн танхимыг тойрон алхаж, клубын гэрийн үйлчлэгч болон Английн клубын ахлах тогооч алдарт Теоктистост ханхүү Багратионын оройн зоогонд аспарагус, шинэ өргөст хэмх, гүзээлзгэнэ, тугалын мах, загасны тухай тушаал өгөв. Гүн клуб байгуулагдсан цагаасаа эхлэн түүний гишүүн, ахлагч байсан. Багратионы баярыг зохион байгуулахыг клуб түүнд даалгасан, учир нь найрыг хэрхэн ийм сүр жавхлантай, зочломтгой байдлаар зохион байгуулахыг мэддэг хүн ховор байсан, ялангуяа зохион байгуулах шаардлагатай бол мөнгөө хэрхэн хандивлахыг мэддэг, хүсдэг хүн ховор байсан. найр. Клубын тогооч, гэрийн үйлчлэгч нар өөр хэний ч дор хэдэн мянганы үнэтэй оройн зоогноос илүү ашиг олж чадахгүй гэдгээ мэдэж байсан тул графын тушаалыг хөгжилтэй царайгаар сонсов.
