Нэг үндсэн үзүүлэлт болгон бууруулсан. Үндэс үржүүлэх: үндсэн дүрмүүд

Үндэсn-р зэрэг ба түүний үндсэн шинж чанарууд

Зэрэгбодит тоо Абайгалийн үзүүлэлттэй nажил байна nхүчин зүйлүүд, тус бүр нь тэнцүү байна Х:

a1 = a; a2 =a·a; А n =

Жишээлбэл,

25 = 2 2 2 2 2 = 32,

5 удаа

(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = 81.

4 удаа

Бодит тоо Адуудсан зэрэг олгох үндэс,ба натурал тоо n байна илтгэгч.

Байгалийн илтгэгчтэй чадлын үндсэн шинж чанарууд нь тодорхойлолтоос шууд гардаг: эерэг тооны аль ч гэсэн хүч nд Нэерэг; Тэгш илтгэгчтэй сөрөг тооны хүч эерэг, сондгой илтгэгчтэй бол сөрөг байна.

Жишээлбэл,

(-5)4 = (-5) (-5) (-5) (-5) = 625; (-5)3 = (-5)-(-5)-(-5) = -125.

Зэрэг бүхий үйлдлийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ. дүрэм.

1. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхийн тулд илтгэгчийг нэмж, суурийг ижил хэвээр үлдээхэд хангалттай.

Жишээлбэл, p5∙ p3 = p5+3 =p8

2. Ижил суурьтай хүчийг хуваахын тулд ногдол ашгийн индексээс хуваагчийн илтгэгчийг хасч, суурийг хэвээр нь үлдээхэд хангалттай, өөрөөр хэлбэл

https://pandia.ru/text/78/410/images/image003_63.gif" өргөн "95" өндөр "44 src=">

2. Хүчин зэрэгт хүргэхийн тулд суурь нь хэвээр үлдэж, илтгэгчийг үржүүлэхэд хангалттай.

(ap)м = at·p.Жишээлбэл, (23)2 = 26.

4. Бүтээгдэхүүнийг хүчирхэг болгохын тулд хүчин зүйл бүрийг энэ зэрэгт өсгөж үр дүнг үржүүлэхэд хангалттай, өөрөөр хэлбэл

(А б)х= ap∙бn.

Жишээлбэл, (2у3)2= 4y6.

5. Бутархайг зэрэглэлд хүргэхийн тулд тоологч болон хуваагчийг тусад нь энэ зэрэгт өсгөж, эхний үр дүнг хоёр дахь хэсэгт хуваахад хангалттай.

https://pandia.ru/text/78/410/images/image005_37.gif" өргөн "87" өндөр "53 src=">

Эдгээр томъёог баруунаас зүүн тийш унших нь заримдаа ашигтай байдаг гэдгийг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд тэд дүрэм болно. Жишээлбэл, 4-р тохиолдолд, apvp= (av)хБид дараах дүрмийг авна. руу Ижил илтгэгчтэй хүчийг үржүүлэхийн тулд илтгэгчийг ижил хэвээр үлдээж, суурийг үржүүлэхэд хангалттай.

Энэ дүрмийг ашиглах нь жишээлбэл, дараах бүтээгдэхүүнийг тооцоолоход үр дүнтэй байдаг

(https://pandia.ru/text/78/410/images/image006_27.gif" width="25" height="23">+1)5=(( -1)( +1))5=( = 1.

Одоо язгуурын тодорхойлолтыг өгье.

бодит тооны n-р үндэс Абодит тоо гэж нэрлэдэг X, n-р зэрэг нь тэнцүү байна А.

Мэдээжийн хэрэг, байгалийн илтгэгчтэй чадлын үндсэн шинж чанаруудын дагуу аливаа эерэг тооноос тэгш түвшний язгуурын хоёр эсрэг утгатай байдаг, жишээлбэл, 4 ба -4 тоо нь 16-ийн квадрат язгуур юм. -4)2 = 42 = 16, (-3)4 = 34 = 81 тул 3 ба -3 тоо нь 81-ийн дөрөв дэх үндэс юм.

Түүнээс гадна сөрөг тооны тэгш язгуур байдаггүй аливаа бодит тооны тэгш хүч нь сөрөг биш юм. Сондгой язгуурын хувьд аливаа бодит тооны хувьд тэр тооны сондгой язгуур нь зөвхөн нэг байна. Жишээлбэл, 3 нь 27-ийн гурав дахь үндэс, 33 = 27, -2 нь -32-ын тав дахь үндэс, учир нь (-2)5 = 32.

Эерэг тооны тэгш градусын хоёр язгуур байдаг тул уг язгуурын энэ хоёрдмол байдлыг арилгахын тулд арифметик язгуур гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлж байна.

Сөрөг бус тооны n-р язгуурын сөрөг бус утгыг нэрлэнэ арифметик үндэс.

Жишээлбэл, https://pandia.ru/text/78/410/images/image008_21.gif" width="13" height="16 src="> 0.

Иррационал тэгшитгэлийг шийдвэрлэхдээ тэдгээрийн үндэс нь үргэлж арифметик гэж тооцогддог гэдгийг санах нь зүйтэй.

n-р язгуурын үндсэн шинж чанарыг тэмдэглэе.

Хэрэв язгуурын үзүүлэлт ба радикал илэрхийллийн зэрэг нь ижил натурал тоогоор үржүүлж эсвэл хуваагдвал язгуурын утга өөрчлөгдөхгүй.

Жишээ 7. Нийтлэг хуваагч болон бууруулна

Сайн байцгаана уу, муурнууд! Хамгийн сүүлд бид үндэс гэж юу болохыг нарийвчлан авч үзсэн (хэрэв та санахгүй байгаа бол уншихыг зөвлөж байна). Энэ сургамжаас авсан гол зүйл: үндэс гэсэн бүх нийтийн нэг л тодорхойлолт байдаг бөгөөд энэ нь таны мэдэх ёстой зүйл юм. Үлдсэн нь дэмий хоосон, дэмий цаг үрсэн хэрэг.

Өнөөдөр бид цаашаа явж байна. Бид үндсийг үржүүлж сурах болно, үржүүлэхтэй холбоотой зарим асуудлыг судалж үзэх болно (хэрэв эдгээр асуудлыг шийдэхгүй бол шалгалтанд үхэлд хүргэж болзошгүй), бид зөв дадлага хийх болно. Тиймээс попкорн нөөцөлж, тав тухтай байдалд оруулаад эхэлцгээе. :)

Та ч бас тамхи татаагүй байгаа биз дээ?

Хичээл нэлээд урт болсон тул би үүнийг хоёр хэсэгт хуваасан.

1. Эхлээд бид үржүүлэх дүрмийг авч үзэх болно. Cap зааж байгаа юм шиг байна: энэ нь хоёр үндэс байх үед, тэдгээрийн хооронд "үржүүлэх" тэмдэг байдаг - бид үүнтэй ямар нэгэн зүйл хийхийг хүсч байна.
2. Дараа нь эсрэг нөхцөл байдлыг харцгаая: нэг том язгуур байдаг, гэхдээ бид үүнийг хоёр энгийн язгуурын үржвэр болгон төлөөлөхийг хүсч байсан. Энэ яагаад хэрэгтэй вэ, энэ бол тусдаа асуулт юм. Бид зөвхөн алгоритмд дүн шинжилгээ хийх болно.

Хоёрдахь хэсэгт нэн даруй шилжихийг тэсэн ядан хүлээж буй хүмүүст тавтай морилно уу. Үлдсэнийг нь дарааллаар нь эхэлцгээе.

Үржүүлэх үндсэн дүрэм

Хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе - сонгодог квадрат үндэс. $\sqrt(a)$ ба $\sqrt(b)$ гэж тэмдэглэгдсэн ижил хүмүүс. Тэдэнд бүх зүйл тодорхой байна:

Үржүүлэх дүрэм. Нэг квадрат язгуурыг нөгөө язгуураар үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлээд үр дүнг нийтлэг радикалын доор бичнэ.

\[\sqrt(a)\cdot \sqrt(b)=\sqrt(a\cdot b)\]

Баруун эсвэл зүүн талд байгаа тоонуудад нэмэлт хязгаарлалт тавьдаггүй: хэрэв үндсэн хүчин зүйлүүд байгаа бол бүтээгдэхүүн нь бас байдаг.

Жишээ. Тоотой дөрвөн жишээг нэг дор харцгаая.

\[\begin(align) & \sqrt(25)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(25\cdot 4)=\sqrt(100)=10; \\ & \sqrt(32)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(32\cdot 2)=\sqrt(64)=8; \\ & \sqrt(54)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(54\cdot 6)=\sqrt(324)=18; \\ & \sqrt(\frac(3)(17))\cdot \sqrt(\frac(17)(27))=\sqrt(\frac(3)(17)\cdot \frac(17)(27) ))=\sqrt(\frac(1)(9))=\frac(1)(3). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар энэ дүрмийн гол утга нь үндэслэлгүй илэрхийллийг хялбарчлах явдал юм. Хэрэв эхний жишээн дээр бид өөрсдөө 25 ба 4-ийн үндсийг ямар ч шинэ дүрэмгүйгээр задлах байсан бол бүх зүйл хэцүү болно: $\sqrt(32)$ ба $\sqrt(2)$-ыг өөрсдөө авч үзэхгүй, гэхдээ Тэдний үржвэр нь төгс дөрвөлжин болж хувирдаг тул түүний үндэс нь оновчтой тоотой тэнцүү байна.

Ялангуяа сүүлийн мөрийг онцлохыг хүсч байна. Тэнд радикал илэрхийлэл хоёулаа бутархай байна. Бүтээгдэхүүний ачаар олон хүчин зүйл цуцлагдаж, бүх илэрхийлэл нь хангалттай тоо болж хувирдаг.

Мэдээжийн хэрэг, бүх зүйл үргэлж ийм сайхан байдаггүй. Заримдаа үндэс дор бүрэн эмх замбараагүй байдал үүсэх болно - үүнийг юу хийх, үржүүлсний дараа хэрхэн хувиргах нь тодорхойгүй байна. Хэсэг хугацааны дараа иррационал тэгшитгэл, тэгш бус байдлыг судалж эхлэхэд бүх төрлийн хувьсагч, функцүүд гарч ирнэ. Ихэнх тохиолдолд асуудал зохиогчид таныг цуцлах нөхцөл, хүчин зүйлийг олж мэдэх болно гэдэгт найдаж байгаа бөгөөд үүний дараа асуудал олон дахин хялбарчлах болно.

Үүнээс гадна, яг хоёр үндсийг үржүүлэх нь огт шаардлагагүй юм. Та нэг дор гурав, дөрөв, бүр арав үржүүлж болно! Энэ нь дүрмийг өөрчлөхгүй. Хараад үзээрэй:

\[\begin(align) & \sqrt(2)\cdot \sqrt(3)\cdot \sqrt(6)=\sqrt(2\cdot 3\cdot 6)=\sqrt(36)=6; \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(2)\cdot \sqrt(0.001)=\sqrt(5\cdot 2\cdot 0.001)= \\ & =\sqrt(10\cdot \frac(1) (1000))=\sqrt(\frac(1)(100))=\frac(1)(10). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Хоёр дахь жишээн дээр дахин жижиг тэмдэглэл. Таны харж байгаагаар гурав дахь хүчин зүйлд үндэс дор аравтын бутархай байдаг - тооцооллын явцад бид үүнийг ердийн нэгээр сольж, дараа нь бүх зүйл амархан буурдаг. Тиймээс: Би ямар ч иррационал илэрхийлэл дэх аравтын бутархайг арилгахыг зөвлөж байна (жишээ нь дор хаяж нэг радикал тэмдэг агуулсан). Энэ нь ирээдүйд маш их цаг хугацаа, мэдрэлийг хэмнэх болно.

Гэхдээ энэ бол уянгын ухралт байсан. Одоо илүү ерөнхий тохиолдлыг авч үзье - язгуур экспонент нь зөвхөн "сонгодог" хоёр биш, дурын тооны $n$ агуулсан байх үед.

Дурын индикаторын тохиолдол

Тиймээс бид квадрат язгуурыг ангилсан. Кубыг юу хийх вэ? Эсвэл бүр $n$ дурын зэрэгтэй үндэстэй ч юм уу? Тийм ээ, бүх зүйл адилхан. Дүрэм ижил хэвээр байна:

$n$ зэрэгтэй хоёр язгуурыг үржүүлэхийн тулд тэдгээрийн радикал илэрхийллүүдийг үржүүлээд үр дүнг нэг радикал дор бичихэд хангалттай.

Ерөнхийдөө ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Үүнээс бусад тохиолдолд тооцооллын хэмжээ илүү их байж болно. Хэд хэдэн жишээг харцгаая:

Жишээ. Бүтээгдэхүүнийг тооцоолох:

\[\begin(align) & \sqrt(20)\cdot \sqrt(\frac(125)(4))=\sqrt(20\cdot \frac(125)(4))=\sqrt(625)= 5; \\ & \sqrt(\frac(16)(625))\cdot \sqrt(0.16)=\sqrt(\frac(16)(625)\cdot \frac(16)(100))=\sqrt (\ frac(64)(((25)^(2))\cdot 25))= \\ & =\sqrt(\frac(((4)^(3)(((25)^(3 )) ))=\sqrt((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(3)))=\frac(4)(25). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Дахин хэлэхэд хоёр дахь илэрхийлэлд анхаарлаа хандуулаарай. Бид шоо үндсийг үржүүлж, аравтын бутархайн бутархайг арилгаж, хуваагч нь 625 ба 25 тоонуудын үржвэр болно. Энэ бол нэлээд том тоо - би хувьдаа энэ нь яг юутай тэнцэж байгааг олж мэдэхгүй байна. сарьсан багваахай.

Тиймээс бид яг кубыг тоологч ба хуваарьт тусгаарлаж, дараа нь $n$th язгуурын үндсэн шинж чанаруудын аль нэгийг (эсвэл та хүсвэл тодорхойлолтыг) ашигласан:

\[\begin(align) & \sqrt(((a)^(2n+1)))=a; \\ & \sqrt(((a)^(2n)))=\left| a\right|. \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Ийм "зохион байгуулалт" нь шалгалт эсвэл шалгалтанд маш их цаг хэмнэх боломжтой тул дараахь зүйлийг санаарай.

Радикал илэрхийлэл ашиглан тоог үржүүлэх гэж бүү яар. Нэгдүгээрт, шалгана уу: хэрэв ямар нэгэн илэрхийллийн яг зэрэг нь "шифрлэгдсэн" байвал яах вэ?

Энэ тайлбар тодорхой байгаа хэдий ч ихэнх бэлтгэлгүй оюутнууд тодорхой зэрэглэлийг хоосон зайд олж хардаггүй гэдгийг би хүлээн зөвшөөрөх ёстой. Үүний оронд тэд бүх зүйлийг шууд үржүүлж, дараа нь гайхдаг: яагаад ийм харгис хэрцгий тоо авсан бэ? :)

Гэсэн хэдий ч энэ бүхэн бидний одоо судлах зүйлтэй харьцуулахад хүүхдийн яриа юм.

Янз бүрийн илтгэгчтэй үндсийг үржүүлэх

За, одоо бид ижил үзүүлэлтээр үндсийг үржүүлж болно. Үзүүлэлтүүд өөр байвал яах вэ? Энгийн $\sqrt(2)$-г $\sqrt(23)$ гэх мэт тэнэглэлээр хэрхэн үржүүлэх вэ гэж бодъё? Бүр үүнийг хийх боломжтой юу?

Тийм ээ, мэдээжийн хэрэг та чадна. Бүх зүйл энэ томъёоны дагуу хийгддэг:

Үндэс үржүүлэх дүрэм. $\sqrt[n](a)$-г $\sqrt[p](b)$-оор үржүүлэхийн тулд дараах хувиргалтыг хийхэд хангалттай.

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэсэн хэдий ч, энэ томъёо нь зөвхөн тохиолдолд л ажилладаг радикал илэрхийлэл нь сөрөг биш юм. Энэ бол бид хэсэг хугацааны дараа эргэж ирэх маш чухал тэмдэглэл юм.

Одоохондоо хэд хэдэн жишээг харцгаая:

\[\begin(align) & \sqrt(3)\cdot \sqrt(2)=\sqrt(((3)^(4))\cdot ((2)^(3)))=\sqrt(81) \cdot 8)=\sqrt(648); \\ & \sqrt(2)\cdot \sqrt(7)=\sqrt(((2)^(5))\cdot ((7)^(2)))=\sqrt(32\cdot 49)= \sqrt(1568); \\ & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(625\cdot 9)= \sqrt(5625). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй. Одоо сөрөг бус шаардлага хаанаас ирсэн бэ, хэрэв бид үүнийг зөрчвөл юу болохыг олж мэдье.

Радикал илэрхийллүүд яагаад сөрөг биш байх ёстой вэ?

Мэдээжийн хэрэг, та сургуулийн багш нар шиг байж, сурах бичгийг ухаалаг харцаар иш татаж болно.

Сөрөг бус байдлын шаардлага нь тэгш ба сондгой зэрэглэлийн язгуурын янз бүрийн тодорхойлолттой холбоотой байдаг (үүний дагуу тэдгээрийн тодорхойлолтын хүрээ өөр өөр байдаг).

За, илүү тодорхой болсон уу? Би хувьдаа 8-р ангид байхдаа энэ утгагүй зүйлийг уншаад "Сөрөг биш байх шаардлага нь *#&^@(*#@^#)~% -тай холбоотой" - товчхондоо би ийм зүйлийг ойлгосон. тэр үед хараал идсэн юм ойлгосонгүй :)

Тиймээс одоо би бүх зүйлийг энгийн байдлаар тайлбарлах болно.

Эхлээд дээрх үржүүлэх томъёо хаанаас гарсныг олж мэдье. Үүнийг хийхийн тулд язгуурын нэг чухал шинж чанарыг танд сануулъя.

\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]

Өөрөөр хэлбэл, бид радикал илэрхийлэлийг байгалийн ямар ч хүчин чадалтай $k$-д найдвартай өсгөж чадна - энэ тохиолдолд язгуурын экспонентийг ижил хүчээр үржүүлэх шаардлагатай болно. Тиймээс бид аливаа үндэсийг энгийн илтгэгч болгон хялбархан багасгаж, дараа нь үржүүлж чадна. Үржүүлэх томъёо эндээс гардаг:

\[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p)))\cdot \sqrt(((b)^(n))))= \sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)^(n)))\]

Гэхдээ эдгээр бүх томъёоны хэрэглээг эрс хязгаарласан нэг асуудал бий. Энэ тоог анхаарч үзээрэй:

Сая өгсөн томъёоны дагуу бид ямар ч зэрэг нэмж болно. $k=2$-г нэмж үзье:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(((\зүүн(-5 \баруун))^(2)))=\sqrt(((5)^(2)))\]

Квадрат нь хасахыг (бусад тэгш хэмтэй адил) шатаадаг тул бид хасахыг нарийн арилгасан. Одоо урвуу хувиргалтыг хийцгээе: экспонент ба хүч хоёрыг "багасгах". Эцсийн эцэст аливаа тэгш байдлыг зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш уншиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\Баруун сум \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n ](a); \\ & \sqrt(((a)^(k)))=\sqrt[n](a)\Баруун сум \sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(((5)^( 2)))=\sqrt(5). \\ \төгсгөл(зохицуулах)\]

Гэхдээ дараа нь энэ нь ямар нэгэн тэнэг зүйл болж хувирав:

\[\sqrt(-5)=\sqrt(5)\]

Энэ нь болохгүй, учир нь $\sqrt(-5) \lt 0$, болон $\sqrt(5) \gt 0$. Энэ нь тэгш ба сөрөг тоонуудын хувьд бидний томъёо ажиллахаа больсон гэсэн үг юм. Үүний дараа бидэнд хоёр сонголт байна:

1. Математик бол "зарим дүрмүүд байдаг, гэхдээ тэдгээр нь буруу" гэсэн тэнэг шинжлэх ухаан гэж хана мөргөх;
2. Томъёо 100% ажиллах боломжтой нэмэлт хязгаарлалтуудыг нэвтрүүлэх.

Эхний хувилбарт бид "ажиллахгүй" тохиолдлуудыг байнга барьж байх шаардлагатай болно - энэ нь хэцүү, цаг хугацаа их шаарддаг бөгөөд ерөнхийдөө хэцүү юм. Тиймээс математикчид хоёр дахь сонголтыг илүүд үздэг.

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй! Практикт энэ хязгаарлалт нь тооцоололд ямар ч байдлаар нөлөөлдөггүй, учир нь тайлбарласан бүх асуудал нь зөвхөн сондгой зэрэглэлийн үндэстэй холбоотой бөгөөд тэдгээрээс хасах зүйлийг авч болно.

Тиймээс, үндэстэй бүх үйлдэлд ерөнхийдөө хамаарах өөр нэг дүрмийг томъёолъё.

Үндэсийг үржүүлэхийн өмнө радикал илэрхийллүүд нь сөрөг биш эсэхийг шалгаарай.

Жишээ. $\sqrt(-5)$ тоон дээр та үндсэн тэмдгийн доор байгаа хасахыг хасаж болно - тэгвэл бүх зүйл хэвийн болно:

\[\begin(align) & \sqrt(-5)=-\sqrt(5) \lt 0\Баруун сум \\ & \sqrt(-5)=-\sqrt(((5)^(2))) =-\sqrt(25)=-\sqrt(((5)^(2))))=-\sqrt(5) \lt 0 \\ \end(зохицуулах)\]

Та ялгааг мэдэрч байна уу? Хэрэв та язгуурын доор хасах тэмдэг үлдээвэл радикал илэрхийлэл нь дөрвөлжин хэлбэртэй байвал энэ нь алга болж, новш эхэлнэ. Хэрэв та эхлээд хасахыг гаргавал нүүрээ хөхрөх хүртэл дөрвөлжин/ хасаж болно - тоо сөрөг хэвээр байх болно.

Тиймээс үндэс үржүүлэх хамгийн зөв бөгөөд найдвартай арга бол дараах байдалтай байна.

1. Радикалуудаас бүх сөрөг талыг арилгана. Хасах зүйл нь зөвхөн сондгой үржвэрийн үндэст байдаг - тэдгээрийг үндэсний урд байрлуулж, шаардлагатай бол багасгаж болно (жишээлбэл, эдгээр хасах хоёр нь байвал).
2. Өнөөдрийн хичээл дээр дээр дурдсан дүрмийн дагуу үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэнэ. Хэрэв үндэсийн үзүүлэлтүүд ижил байвал бид радикал илэрхийллийг үржүүлнэ. Хэрэв тэдгээр нь өөр бол бид \[\sqrt[n](a)\cdot \sqrt[p](b)=\sqrt(((a)^(p))\cdot ((b)) муу томьёог ашигладаг. ^(n) ))\].
3. 3. Үр дүн, сайн үнэлгээг сайхан өнгөрүүлээрэй. :)

За? Бид бэлтгэл хийх үү?

Жишээ 1: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(48)\cdot \sqrt(-\frac(4)(3))=\sqrt(48)\cdot \left(-\sqrt(\frac(4)(3) ) )) \баруун)=-\sqrt(48)\cdot \sqrt(\frac(4)(3))= \\ & =-\sqrt(48\cdot \frac(4)(3))=- \ sqrt(64)=-4; \төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол хамгийн энгийн сонголт юм: үндэс нь ижил, сондгой, цорын ганц асуудал бол хоёр дахь хүчин зүйл нь сөрөг байдаг. Бид энэ хасалтыг зургаас гаргаж аваад дараа нь бүх зүйлийг хялбархан тооцоолно.

Жишээ 2: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(32)\cdot \sqrt(4)=\sqrt(((2)^(5)))\cdot \sqrt(((2)^(2)))) \sqrt(((\left(((2)^(5)) \баруун))^(3))\cdot ((\left(((2)^(2)) \баруун))^(4) ))= \\ & =\sqrt(((2)^(15))\cdot ((2)^(8)))=\sqrt(((2)^(23))) \\ \end( тэгшлэх)\]

Энд гаралт нь иррационал тоо болж хувирсан тул олон хүн төөрөлдөх болно. Тийм ээ, ийм зүйл тохиолддог: бид үндсийг нь бүрмөсөн арилгаж чадаагүй ч ядаж илэрхийлэлийг ихээхэн хялбаршуулсан.

Жишээ 3: Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

\[\begin(align) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((\left((() a)^(4)) \баруун))^(6)))=\sqrt(((a)^(3))\cdot ((a)^(24)))= \\ & =\sqrt( ((a)^(27)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 9)))=\sqrt(((a)^(3))) \end(align)\]

Би энэ даалгаварт анхаарлаа хандуулахыг хүсч байна. Энд хоёр цэг байна:

1. Үндэс нь тодорхой тоо эсвэл хүч биш, харин $a$ хувьсагч юм. Өнгөц харахад энэ нь бага зэрэг ер бусын боловч бодит байдал дээр математикийн асуудлыг шийдвэрлэхдээ хувьсагчтай ажиллах шаардлагатай болдог.
2. Эцэст нь бид радикал үзүүлэлт болон радикал илэрхийллийн зэрэглэлийг "бууруулж" чадсан. Энэ нь нэлээд олон удаа тохиолддог. Хэрэв та үндсэн томъёог ашиглаагүй бол тооцооллыг ихээхэн хялбарчлах боломжтой байсан гэсэн үг юм.

Жишээлбэл, та үүнийг хийж болно:

\[\begin(a) & \sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(4)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((\left(((a)^() 4)) \баруун))^(2)))=\sqrt(a)\cdot \sqrt(((a)^(8))) \\ & =\sqrt(a\cdot ((a)^( 8)))=\sqrt(((a)^(9)))=\sqrt(((a)^(3\cdot 3)))=\sqrt(((a)^(3))) \ \\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэн хэрэгтээ бүх өөрчлөлтийг зөвхөн хоёр дахь радикалаар хийсэн. Хэрэв та бүх завсрын алхамуудыг нарийвчлан тайлбарлаагүй бол эцэст нь тооцооллын хэмжээ мэдэгдэхүйц буурах болно.

Үнэн хэрэгтээ, бид $\sqrt(5)\cdot \sqrt(3)$ жишээг шийдэхдээ дээрхтэй ижил төстэй даалгавартай тулгарсан. Одоо үүнийг илүү хялбар бичиж болно:

\[\begin(align) & \sqrt(5)\cdot \sqrt(3)=\sqrt(((5)^(4))\cdot ((3)^(2)))=\sqrt(( (\left(((5)^(2))\cdot 3 \баруун))^(2)))= \\ & =\sqrt(((\left(75 \баруун))^(2))) =\sqrt(75). \төгсгөл(зохицуулах)\]

За, бид язгуурын үржүүлгийг цэгцлэв. Одоо урвуу үйлдлийг авч үзье: үндэс дор бүтээгдэхүүн байгаа тохиолдолд юу хийх вэ?

Энэ нийтлэл дэх материалыг сэдвийн нэг хэсэг гэж үзэх нь зүйтэй иррационал илэрхийллийг хувиргах. Үндэсний шинж чанарт үндэслэн хувиргалтыг хийх үед гарч ирдэг бүх нарийн мэдрэмж, нюансуудыг (түүн дотроос олон байдаг) шинжлэхийн тулд бид жишээнүүдийг ашиглах болно.

Хуудасны навигаци.

Үндэсний шинж чанарыг эргэн санацгаая

Үндэсний шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэлийг хувиргах асуудлыг шийдэх гэж байгаа тул голыг нь санаж, бүр илүү сайн цаасан дээр бичиж, таны өмнө байрлуулах нь гэмтээхгүй.

Эхлээд квадрат язгуур болон тэдгээрийн дараах шинж чанаруудыг судална (a, b, a 1, a 2, ..., a k нь бодит тоо):

Дараа нь язгуурын санааг өргөжүүлж, n-р зэргийн язгуурын тодорхойлолтыг танилцуулж, дараах шинж чанаруудыг авч үзсэн (a, b, a 1, a 2, ..., a k нь бодит тоо, m, n, n 1, n 2, ... , n k - натурал тоо):

Радикал тэмдгийн доорх тоо бүхий илэрхийллийг хөрвүүлэх

Тэд ердийнхөөрөө эхлээд тоон илэрхийлэлтэй ажиллаж сурдаг бөгөөд үүний дараа л хувьсагчтай илэрхийллүүд рүү шилждэг. Бид үүнтэй ижил зүйлийг хийх бөгөөд эхлээд язгуурын тэмдгийн дор зөвхөн тоон илэрхийлэл агуулсан иррационал илэрхийлэлүүдийг хувиргах асуудлыг авч үзэх болно, дараа нь дараагийн догол мөрөнд язгуурын тэмдгийн дор хувьсагчдыг танилцуулах болно.

Үүнийг илэрхийллийг хувиргахад хэрхэн ашиглаж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: жишээ нь, бид утгагүй илэрхийллийг илэрхийллээр эсвэл эсрэгээр сольж болно. Өөрөөр хэлбэл, хөрвүүлж буй илэрхийлэл нь язгуур шинж чанаруудын аль нэгний зүүн (баруун) хэсгийн илэрхийлэлтэй тохирох илэрхийлэл агуулж байвал баруун (зүүн) хэсгийн харгалзах илэрхийллээр сольж болно. Энэ бол язгуур шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийн хувиргалт юм.

Өөр хэдэн жишээ хэлье.

Илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье . 3, 5, 7 тоонууд эерэг тул бид үндэсийн шинж чанарыг аюулгүйгээр хэрэглэж болно. Энд та янз бүрийн аргаар ажиллаж болно. Жишээлбэл, шинж чанарт үндэслэсэн язгуурыг -аар, харин k=3 - as гэсэн шинж чанарыг ашиглаж байгаа язгуурыг энэ хандлагын тусламжтайгаар дараах байдлаар илэрхийлж болно.

-аар, дараа нь -аар солих замаар үүнийг өөрөөр хийж болох бөгөөд энэ тохиолдолд шийдэл нь дараах байдалтай байна:

Бусад шийдлүүд боломжтой, жишээлбэл:

Өөр нэг жишээний шийдлийг авч үзье. Илэрхийлэлийг өөрчилье. Үндэстний шинж чанаруудын жагсаалтыг харахад бид жишээг шийдвэрлэхэд шаардлагатай шинж чанаруудыг сонгон авч үзвэл тэдгээрийн хоёр нь энд ашигтай бөгөөд аль нь ч хүчинтэй байх болно. Бидэнд:

Өөрөөр хэлбэл, эхлээд радикал илэрхийллийг ашиглан хувиргаж болно

дараа нь үндэсийн шинж чанарыг хэрэглэнэ

Энэ хүртэл бид зөвхөн квадрат язгуур агуулсан илэрхийллүүдийг хөрвүүлсэн. Янз бүрийн үзүүлэлттэй үндэстэй ажиллах цаг болжээ.

Жишээ.

Иррационал илэрхийллийг хөрвүүлэх .

Шийдэл.

Өмчөөр Тухайн бүтээгдэхүүний эхний хүчин зүйлийг −2 тоогоор сольж болно:

Үргэлжлүүлье. Үл хөдлөх хөрөнгийн хувьд хоёрдахь хүчин зүйлийг дараах байдлаар илэрхийлж болох бөгөөд 81-ийг гурвын дөрвөлжин хүчээр солих нь гэмтээхгүй, учир нь үлдсэн хүчин зүйлүүдэд 3-ын тоо нь язгуур тэмдгүүдийн дор гарч ирдэг.

Бутархайн үндсийг язгуурын харьцаагаар солихыг зөвлөж байна , цаашид хувиргаж болно: . Бидэнд байна

Хоёрын үйлдлийг гүйцэтгэсний дараа үүссэн илэрхийлэл нь хэлбэрийг авч, үндэсийн үржвэрийг хувиргахад л үлддэг.

Үндэсний бүтээгдэхүүнийг хувиргахын тулд тэдгээрийг ихэвчлэн нэг үзүүлэлт болгон бууруулдаг бөгөөд үүний тулд бүх үндэсийн үзүүлэлтүүдийг авахыг зөвлөж байна. Манай тохиолдолд LCM(12, 6, 12) = 12 байх ба бусад хоёр үндэс нь аль хэдийн ийм үзүүлэлттэй байгаа тул зөвхөн үндсийг энэ үзүүлэлт рүү бууруулах шаардлагатай болно. Баруунаас зүүн тийш чиглэсэн тэгш байдал нь энэ ажлыг даван туулах боломжийг бидэнд олгодог. Тэгэхээр . Энэ үр дүнг харгалзан үзэхэд бид байна

Одоо үндэсийн бүтээгдэхүүнийг бүтээгдэхүүний үндэсээр сольж, үлдсэн, аль хэдийн тодорхой болсон өөрчлөлтүүдийг хийж болно.

Шийдлийн богино хувилбарыг бичье:

Хариулт:

.

Үндэсний шинж чанарыг ашиглахын тулд язгуурын шинж тэмдгүүдийн (a≥0 гэх мэт) тоонуудад тавигдах хязгаарлалтыг харгалзан үзэх шаардлагатай гэдгийг бид тусад нь онцолж байна. Тэдгээрийг үл тоомсорлох нь буруу үр дүнд хүргэж болзошгүй юм. Жишээлбэл, үл хөдлөх хөрөнгө нь сөрөг биш a-г эзэмшдэг гэдгийг бид мэднэ. Үүн дээр үндэслэн бид жишээлбэл, 8 нь эерэг тоо тул, жишээлбэл, аас руу хялбархан шилжиж болно. Гэхдээ хэрэв бид сөрөг тооны утга учиртай язгуурыг авч, дээр дурдсан шинж чанарт үндэслэн түүнийг орлуулбал −2-г 2-оор солино. Нээрээ, аа. Өөрөөр хэлбэл, сөрөг а-ийн хувьд тэгшитгэл нь буруу байж болох бөгөөд язгуурын бусад шинж чанарууд нь тэдэнд заасан нөхцөлийг харгалзахгүйгээр буруу байж болно.

Гэхдээ өмнөх догол мөрөнд хэлсэн зүйл нь язгуур шинж тэмдгүүдийн дор сөрөг тоо бүхий илэрхийлэлүүдийг язгуур шинж чанарыг ашиглан өөрчлөх боломжгүй гэсэн үг биш юм. Тэдгээрийг эхлээд тоонуудтай ажиллах дүрмийг хэрэглэх эсвэл сөрөг тооны сондгой язгуурын тодорхойлолтыг ашиглан "бэлтгэх" хэрэгтэй бөгөөд энэ нь тэгшитгэлд нийцэх бөгөөд −a нь сөрөг тоо (а нь эерэг байдаг). Жишээлбэл, −2 ба −3 нь сөрөг тоо тул үүнийг шууд орлуулах боломжгүй, гэхдээ энэ нь язгуураас - руу шилжиж, дараа нь бүтээгдэхүүний язгуур шинж чанарыг ашиглах боломжийг олгодог. . Мөн өмнөх жишээнүүдийн нэгэнд арван найм дахь хүчний үндсээс үндэс рүү шилжих шаардлагагүй байв , гэх мэт .

Тиймээс, язгуур шинж чанарыг ашиглан илэрхийлэлийг хувиргахын тулд танд хэрэгтэй

• жагсаалтаас тохирох өмчийг сонгох,
• Үндэс дор байгаа тоонууд нь сонгосон үл хөдлөх хөрөнгийн нөхцөлийг хангаж байгаа эсэхийг шалгаарай (эсвэл та урьдчилсан хувиргалт хийх шаардлагатай болно),
• болон төлөвлөсөн өөрчлөлтийг хийх.

Радикал тэмдгийн дор хувьсагчтай илэрхийллийг хөрвүүлэх

Зөвхөн тоо төдийгүй язгуур тэмдгийн дор хувьсах хэмжигдэхүүн агуулсан иррационал илэрхийлэлийг хувиргахын тулд энэ зүйлийн эхний догол мөрөнд жагсаасан язгуурын шинж чанарыг сайтар ашиглах хэрэгтэй. Энэ нь гол төлөв томъёонд орсон тоонуудын хангасан байх ёстой нөхцлөөс шалтгаална. Жишээлбэл, томъёонд үндэслэн илэрхийллийг зөвхөн x≥0 ба x+1≥0 нөхцлийг хангасан x утгуудын илэрхийллээр сольж болно, учир нь заасан томьёог a≥0 ба b-д заасан болно. ≥0.

Эдгээр нөхцлийг үл тоомсорлох нь ямар аюултай вэ? Энэ асуултын хариултыг дараах жишээгээр тодорхой харуулж байна. Бид x=−2 гэсэн илэрхийллийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэж бодъё. Хэрэв бид x хувьсагчийн оронд −2 тоог нэн даруй орлуулах юм бол бид шаардлагатай утгыг авна . Одоо бид зарим нэг бодол дээр үндэслэн өгөгдсөн илэрхийллийг хэлбэрт шилжүүлж, зөвхөн үүний дараа л утгыг тооцоолохоор шийдсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид x-ийн оронд −2 тоог орлуулж, илэрхийлэлд хүрнэ , энэ нь утгагүй юм.

Юу болсныг харцгаая зөвшөөрөгдөх утгын хүрээ (APV)илэрхийллээс илэрхийлэл рүү шилжих үед x хувьсагч. Бид ODZ-ийн тухай дурьдсан нь санамсаргүй хэрэг биш юм, учир нь энэ нь хийсэн өөрчлөлтийг зөвшөөрөх эсэхийг хянах ноцтой хэрэгсэл бөгөөд илэрхийлэлийг хувиргасны дараа ODZ-д өөрчлөлт оруулах нь хамгийн багадаа улаан тугуудыг өргөх ёстой. Эдгээр илэрхийллийн ODZ-ийг олох нь тийм ч хэцүү биш юм. ODZ илэрхийллийн хувьд x·(x+1)≥0 тэгш бус байдлаас тодорхойлогддог тул түүний шийдэл нь тоон олонлогийг (−∞, −1]∪∪∪) өгнө.