Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив.
Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Энэ нийтлэлд бид дээд математикийн тестүүдэд ихэвчлэн олддог өөр хоёр ердийн даалгаврыг авч үзэх болно. Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд дор хаяж дунд түвшний деривативуудыг олох чадвартай байх ёстой. Та үндсэн хоёр хичээлээр үүсмэл хэрэгслийг эхнээс нь олж сурах боломжтой Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив. Хэрэв таны ялгах чадвар сайн бол явцгаая.

Далд байдлаар тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Эсвэл товчхондоо далд функцийн дериватив. Далд функц гэж юу вэ? Эхлээд нэг хувьсагчийн функцийн тодорхойлолтыг санацгаая.

Нэг хувьсагч функцбие даасан хувьсагчийн утга тус бүр нь функцийн зөвхөн нэг утгатай тохирч байх дүрэм юм.

хувьсагч гэж нэрлэдэг бие даасан хувьсагчэсвэл маргаан.
хувьсагч гэж нэрлэдэг хамааралтай хувьсагчэсвэл функц .

Одоогоор бид дээр тодорхойлсон функцуудыг авч үзсэн тодорхойхэлбэр. Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Тодорхой жишээнүүдийг ашиглан товч танилцуулга хийцгээе.

Функцийг авч үзье

Бид зүүн талд ганц "тоглогч" байгааг харж байна, баруун талд - зөвхөн "X". Энэ нь функц юм тодорхойбие даасан хувьсагчаар илэрхийлнэ.

Өөр функцийг харцгаая:

Энд хувьсагчид холилдсон байдаг. Түүнээс гадна ямар ч аргаар боломжгүй"Y"-г зөвхөн "X"-ээр илэрхийлнэ. Эдгээр аргууд юу вэ? Тэмдгийг өөрчилснөөр нэр томьёог хэсгээс хэсэг рүү шилжүүлэх, хаалтнаас гаргах, пропорциональ дүрмийн дагуу хүчин зүйл шидэх гэх мэт.Тэгш байдлыг дахин бичиж, “y”-г тодорхой илэрхийлэхийг хичээ: . Та тэгшитгэлийг хэдэн цагийн турш эргүүлж, эргүүлж болно, гэхдээ та амжилтанд хүрэхгүй.

Би танд танилцуулъя: – жишээ далд функц.

Математик шинжилгээний явцад далд функц болох нь батлагдсан байдаг(гэхдээ үргэлж биш), энэ нь графиктай ("хэвийн" функцтэй адил). Далд функц нь яг адилхан байдагэхний дериватив, хоёрдугаар дериватив гэх мэт. Тэдний хэлснээр бэлгийн цөөнхийн бүх эрхийг хүндэтгэдэг.

Мөн энэ хичээлээр бид далд заасан функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурах болно. Энэ тийм ч хэцүү биш! Бүх ялгах дүрэм, үндсэн функцүүдийн деривативын хүснэгт хүчин төгөлдөр хэвээр байна. Ялгаа нь нэг өвөрмөц мөчид байгаа бөгөөд бид үүнийг яг одоо авч үзэх болно.

Тийм ээ, би танд сайн мэдээг хэлье - доор дурдсан ажлуудыг гурван замын урд чулуугүйгээр нэлээд хатуу, тодорхой алгоритмын дагуу гүйцэтгэдэг.

Жишээ 1

1) Эхний шатанд бид хоёр хэсэгт цус харвалт хавсаргана.

2) Бид деривативын шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг (хичээлийн эхний хоёр дүрэм Деривативыг хэрхэн олох вэ? Шийдлийн жишээ):

3) Шууд ялгах.
Яаж ялгах нь бүрэн ойлгомжтой. Цус харвалтын дор "тоглоом" байгаа газарт юу хийх вэ?

- зүгээр л гутамшигтай болтлоо, функцийн дериватив нь деривативтай тэнцүү байна: .

Яаж ялгах вэ
Энд байна нарийн төвөгтэй функц. Яагаад? Синусын дор ганцхан "Y" үсэг байдаг бололтой. Гэхдээ "y" гэсэн ганц үсэг байдаг нь үнэн юм. ӨӨРӨӨ ФУНКЦ ҮҮ(хичээлийн эхэнд байгаа тодорхойлолтыг үзнэ үү). Тиймээс синус нь гадаад функц бөгөөд дотоод функц юм. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгахдаа бид дүрмийг ашигладаг :

Бид бүтээгдэхүүнийг ердийн дүрмийн дагуу ялгадаг :

Энэ нь бас нарийн төвөгтэй функц гэдгийг анхаарна уу. Аливаа "хонх, шүгэлтэй тоглоом" нь нарийн төвөгтэй функц юм:

Шийдэл нь өөрөө иймэрхүү харагдах ёстой.


Хэрэв хаалт байгаа бол тэдгээрийг өргөжүүлнэ үү:

4) Зүүн талд бид "Y" үсэг агуулсан нэр томъёог анхны тоогоор цуглуулдаг. Бусад бүх зүйлийг баруун тийш шилжүүлнэ үү:

5) Зүүн талд бид деривативыг хаалтнаас гаргаж авдаг.

6) Пропорциональ дүрмийн дагуу бид эдгээр хаалтыг баруун талын хуваагч руу оруулна.

Дериватив нь олдсон. Бэлэн.

Аливаа функцийг далд хэлбэрээр дахин бичиж болно гэдгийг тэмдэглэх нь сонирхолтой юм. Жишээлбэл, функц дараах байдлаар дахин бичиж болно: . Мөн саяхан хэлэлцсэн алгоритмыг ашиглан үүнийг ялгаж үзээрэй. Үнэн хэрэгтээ "далд функц" ба "далд функц" гэсэн хэллэгүүд нь нэг утга санаагаараа ялгаатай байдаг. "Далд заасан функц" гэсэн хэллэг нь илүү ерөнхий бөгөөд зөв юм. - энэ функцийг далд хэлбэрээр зааж өгсөн боловч энд та "тоглоом" -ыг илэрхийлж, функцийг тодорхой харуулах боломжтой. "У"-г илэрхийлэх боломжгүй үед "далд функц" гэсэн хэллэг нь "сонгодог" далд функцийг хэлнэ.

Хоёр дахь шийдэл

Анхаар!Хэрхэн итгэлтэйгээр олохоо мэддэг л бол та хоёрдахь аргатай танилцаж болно хэсэгчилсэн дериватив. Тооцооллын анхлан суралцагчид болон дамми нар уу битгий уншаад энэ цэгийг алгас, тэгэхгүй бол таны толгой бүрэн эмх замбараагүй болно.

Хоёрдахь аргыг ашиглан далд функцийн деривативыг олъё.

Бид бүх нөхцөлийг зүүн тал руу шилжүүлнэ:

Хоёр хувьсагчийн функцийг авч үзье:

Дараа нь томъёог ашиглан бидний деривативыг олж болно
Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё:

Тиймээс:

Хоёрдахь шийдэл нь танд шалгалт хийх боломжийг олгодог. Гэхдээ хэсэгчилсэн деривативыг хожим эзэмшдэг тул "Нэг хувьсагчийн функцийн дериватив" сэдвийг судалж буй оюутан хэсэгчилсэн деривативыг хараахан мэдэхгүй байх ёстой тул даалгаврын эцсийн хувилбарыг бичихийг зөвлөдөггүй.

Өөр хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээ 2

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хоёр хэсэгт зураас нэмнэ:

Бид шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг:

Дериватив олох:

Бүх хаалтуудыг нээх:

Бид бүх нэр томъёог зүүн тийш, үлдсэнийг нь баруун тийш шилжүүлнэ.

Эцсийн хариулт:

Жишээ 3

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, загвар дизайн.

Ялгаварласаны дараа фракц үүсэх нь ердийн зүйл биш юм. Ийм тохиолдолд та фракцаас салах хэрэгтэй. Өөр хоёр жишээг харцгаая.

Жишээ 4

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Бид хоёр хэсгийг зураасанд оруулаад шугаман байдлын дүрмийг ашигладаг.

Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашиглан ялгах ба хуваалтыг ялгах дүрэм :

Хаалтуудыг өргөжүүлэх:

Одоо бид фракцаас салах хэрэгтэй. Үүнийг дараа нь хийж болно, гэхдээ үүнийг шууд хийх нь илүү оновчтой юм. Бутархайн хуваагч нь . Үржүүлэх дээр. Нарийвчилсан байдлаар энэ нь дараах байдлаар харагдах болно.

Заримдаа ялгасны дараа 2-3 фракц гарч ирдэг. Жишээлбэл, бид өөр фракцтай байсан бол үйлдлийг давтах шаардлагатай болно - үржүүлэх хэсэг бүрийн нэр томъёо бүрдээр

Зүүн талд нь бид үүнийг хаалтнаас гаргаж авсан:

Эцсийн хариулт:

Жишээ 5

Далд өгөгдсөн функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Цорын ганц зүйл бол та фракцаас салахаасаа өмнө эхлээд гурван давхар бүтэцтэй фракцаас салах хэрэгтэй болно. Хичээлийн төгсгөлд бүрэн шийдэл, хариулт.

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дериватив

Стресс битгий хэл энэ догол мөр дэх бүх зүйл маш энгийн. Та параметрийн хувьд тодорхойлогдсон функцийн ерөнхий томъёог бичиж болно, гэхдээ үүнийг ойлгомжтой болгохын тулд би тодорхой жишээг даруй бичих болно. Параметрийн хэлбэрээр функцийг хоёр тэгшитгэлээр өгөгдөнө: . Ихэнхдээ тэгшитгэлийг буржгар хаалтанд биш, харин дарааллаар бичдэг: , .

Хувьсагчийг параметр гэж нэрлэдэгмөн "хасах хязгааргүй" -ээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэлх утгыг авч болно. Жишээлбэл, утгыг авч үзээд үүнийг хоёр тэгшитгэлд орлуулна уу: . Эсвэл хүний ​​хэллэгээр “х нь дөрөвтэй тэнцүү бол у нь нэгтэй тэнцүү” гэсэн үг. Та координатын хавтгай дээрх цэгийг тэмдэглэж болох бөгөөд энэ цэг нь параметрийн утгатай тохирно. Үүний нэгэн адил та "te" параметрийн аль ч утгын цэгийг олох боломжтой. "Ердийн" функцийн хувьд параметрийн хувьд тодорхойлогдсон функцтэй Америкийн индианчуудын хувьд бүх эрхийг хүндэтгэдэг: та график байгуулах, дериватив олох гэх мэт боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та параметрээр тодорхойлогдсон функцийн график зурах шаардлагатай бол миний програмыг ашиглаж болно.

Хамгийн энгийн тохиолдолд функцийг тодорхой илэрхийлэх боломжтой. Эхний тэгшитгэлийн параметрийг илэрхийлье. – ба үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу: . Үр дүн нь ердийн куб функц юм.

Илүү "хүнд" тохиолдолд энэ заль мэх ажиллахгүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь параметрийн функцийн деривативыг олох томъёо байдаг.

Бид "te хувьсагчтай холбоотой тоглоом"-ын деривативыг олдог.

Бүх ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгт нь мэдээжийн хэрэг үсгийн хувьд хүчинтэй байдаг. дериватив олох үйл явцад шинэлэг зүйл байхгүй. Хүснэгтийн бүх "X"-ийг "Тэ" үсгээр солих хэрэгтэй.

Бид "te" хувьсагчтай холбоотой x-ийн деривативыг олно.

Одоо олсон деривативуудыг томъёонд орлуулах л үлдлээ.

Бэлэн. Дериватив нь функцын нэгэн адил параметрээс хамаарна.

Тэмдэглэгээний хувьд үүнийг томьёонд бичихийн оронд "Х"-ийн хувьд "ердийн" дериватив тул үүнийг доод тэмдэггүйгээр бичиж болно. Гэхдээ уран зохиолд үргэлж сонголт байдаг, тиймээс би стандартаас хазайхгүй.

Жишээ 6

Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Тиймээс:

Параметр функцийн деривативыг олох онцгой шинж чанар нь алхам бүрт үр дүнг аль болох хялбарчлах нь ашигтай байдаг. Тиймээс, авч үзсэн жишээн дээр би үүнийг олохдоо язгуур дор хаалт нээв (хэдийгээр би үүнийг хийгээгүй байж магадгүй). Томъёонд орлуулахад олон зүйл сайн буурах магадлал өндөр байна. Мэдээжийн хэрэг, болхи хариулттай жишээнүүд байдаг.

Жишээ 7

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Нийтлэлд Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн ердийн асуудлуудБид функцийн хоёр дахь деривативыг олох шаардлагатай жишээнүүдийг харлаа. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн хувьд та хоёр дахь деривативыг олох боломжтой бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно: . Хоёрдахь деривативыг олохын тулд эхлээд эхний деривативыг олох хэрэгтэй гэдэг нь ойлгомжтой.

Жишээ 8

Параметрээр өгөгдсөн функцийн эхний ба хоёрдугаар деривативыг ол

Эхлээд анхны деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Бид олсон деривативуудыг томъёонд орлуулна. Хялбаршуулахын тулд бид тригонометрийн томъёог ашигладаг:

Стресс битгий хэл энэ догол мөр дэх бүх зүйл маш энгийн. Та параметрийн хувьд тодорхойлогдсон функцийн ерөнхий томъёог бичиж болно, гэхдээ үүнийг ойлгомжтой болгохын тулд би тодорхой жишээг даруй бичих болно. Параметрийн хэлбэрээр функцийг хоёр тэгшитгэлээр өгөгдөнө: . Ихэнхдээ тэгшитгэлийг буржгар хаалтанд биш, харин дарааллаар бичдэг: , .

Хувьсагчийг параметр гэж нэрлэдэг бөгөөд "хасах хязгааргүй" -ээс "нэмэх хязгааргүй" хүртэл утгыг авч болно. Жишээлбэл, утгыг авч үзээд үүнийг хоёр тэгшитгэлд орлуулна уу: . Эсвэл хүний ​​хэллэгээр “х нь дөрөвтэй тэнцүү бол у нь нэгтэй тэнцүү” гэсэн үг. Та координатын хавтгай дээрх цэгийг тэмдэглэж болох бөгөөд энэ цэг нь параметрийн утгатай тохирно. Үүний нэгэн адил та "te" параметрийн аль ч утгын цэгийг олох боломжтой. "Ердийн" функцийн хувьд параметрийн хувьд тодорхойлогдсон функцтэй Америкийн индианчуудын хувьд бүх эрхийг хүндэтгэдэг: та график байгуулах, дериватив олох гэх мэт боломжтой. Дашрамд хэлэхэд, хэрэв та параметрийн дагуу тодорхойлсон функцийн график зурах шаардлагатай бол миний геометрийн програмыг хуудаснаас татаж аваарай. Математикийн томъёо, хүснэгт.

Хамгийн энгийн тохиолдолд функцийг тодорхой илэрхийлэх боломжтой. Эхний тэгшитгэлийн параметрийг илэрхийлье. – ба үүнийг хоёр дахь тэгшитгэлд орлуулна уу: . Үр дүн нь ердийн куб функц юм.

Илүү "хүнд" тохиолдолд энэ заль мэх ажиллахгүй. Гэхдээ энэ нь хамаагүй, учир нь параметрийн функцийн деривативыг олох томъёо байдаг.

Бид "te хувьсагчтай холбоотой тоглоом"-ын деривативыг олдог.

Бүх ялгах дүрэм ба деривативын хүснэгт нь мэдээжийн хэрэг үсгийн хувьд хүчинтэй байдаг. дериватив олох үйл явцад шинэлэг зүйл байхгүй. Хүснэгтийн бүх "X"-ийг "Тэ" үсгээр солих хэрэгтэй.

Бид "te" хувьсагчтай холбоотой x-ийн деривативыг олно.

Одоо олсон деривативуудыг томъёонд орлуулах л үлдлээ.

Бэлэн. Дериватив нь функцын нэгэн адил параметрээс хамаарна.

Тэмдэглэгээний хувьд үүнийг томьёонд бичихийн оронд "Х"-ийн хувьд "ердийн" дериватив тул үүнийг доод тэмдэггүйгээр бичиж болно. Гэхдээ уран зохиолд үргэлж сонголт байдаг, тиймээс би стандартаас хазайхгүй.

Жишээ 6

Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Тиймээс:

Параметр функцийн деривативыг олох онцгой шинж чанар нь алхам бүрт үр дүнг аль болох хялбарчлах нь ашигтай байдаг. Тиймээс, авч үзсэн жишээн дээр би үүнийг олохдоо язгуур дор хаалт нээв (хэдийгээр би үүнийг хийгээгүй байж магадгүй). Томъёонд орлуулахад олон зүйл сайн буурах магадлал өндөр байна. Мэдээжийн хэрэг, болхи хариулттай жишээнүүд байдаг.

Жишээ 7

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативыг ол

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм.

Нийтлэлд Деривативтай холбоотой хамгийн энгийн ердийн асуудлууд Бид функцийн хоёр дахь деривативыг олох шаардлагатай жишээнүүдийг харлаа. Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн хувьд та хоёр дахь деривативыг олох боломжтой бөгөөд үүнийг дараах томъёогоор олно: . Хоёрдахь деривативыг олохын тулд эхлээд эхний деривативыг олох хэрэгтэй гэдэг нь ойлгомжтой.

Жишээ 8

Параметрээр өгөгдсөн функцийн эхний ба хоёрдугаар деривативыг ол

Эхлээд анхны деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг

Энэ тохиолдолд:

Олдсон деривативуудыг томъёонд орлуулна. Хялбарчлах зорилгоор бид тригонометрийн томъёог ашигладаг.

Параметр функцийн деривативыг олох асуудалд хялбарчлах зорилгоор ихэвчлэн ашиглах шаардлагатай байгааг би анзаарсан. тригонометрийн томъёо . Тэдгээрийг санаж эсвэл гартаа байлгаж, завсрын үр дүн, хариулт бүрийг хялбарчлах боломжийг бүү алдаарай. Юуны төлөө? Одоо бид -ийн деривативыг авах ёстой бөгөөд энэ нь -ийн деривативыг олохоос хамаагүй дээр.

Хоёрдахь деривативыг олъё.
Бид томъёог ашигладаг: .

Өөрийнхөө томъёог харцгаая. Өмнөх алхамд хуваагч аль хэдийн олдсон. "te" хувьсагчтай холбоотой анхны деривативын дериватив болох тоологчийг олоход л үлдлээ.

Дараахь томъёог ашиглахад л үлддэг.

Материалыг бататгахын тулд би танд өөрөө шийдэх хэд хэдэн жишээг санал болгож байна.

Жишээ 9

Жишээ 10

Параметрээр тодорхойлсон функцийг олох

Танд амжилт хүсье!

Энэ хичээл хэрэг болсон гэж найдаж байна, та одоо далд хэлбэрээр болон параметрийн функцээс тодорхойлсон функцүүдийн деривативуудыг хялбархан олох боломжтой боллоо.

Шийдэл ба хариултууд:

Жишээ 3: Шийдэл:






Тиймээс:

Функцийг хэд хэдэн аргаар тодорхойлж болно. Энэ нь үүнийг тодорхойлоход ашигладаг дүрмээс хамаарна. Функцийг тодорхойлох тодорхой хэлбэр нь y = f (x) юм. Түүний тайлбар боломжгүй эсвэл тохиромжгүй үе байдаг. Хэрэв (a; b) интервалаар t параметрийг тооцоолох шаардлагатай олон хос (x; y) байвал. x = 3 cos t y = 3 sin t системийг 0 ≤ t-тэй шийдэхийн тулд< 2 π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3 .

Параметр функцийн тодорхойлолт

Эндээс бид t ∈ (a; b) утгын хувьд x = φ (t), y = ψ (t) нь тодорхойлогдсон бөгөөд x = φ (t) -ийн хувьд урвуу функц t = Θ (x) байна. бид y = ψ (Θ (x)) хэлбэрийн функцийн параметрийн тэгшитгэлийг зааж өгөх тухай ярьж байна.

Функцийг судлахын тулд x-ийн деривативыг хайх шаардлагатай тохиолдол байдаг. y x " = ψ " (t) φ " (t) хэлбэрийн параметрийн тодорхойлогдсон функцийн деривативын томъёог авч үзье, 2 ба n-р эрэмбийн деривативын талаар ярилцъя.

Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативын томъёоны гарал үүсэл

Бидэнд x = φ (t), y = ψ (t), t ∈ a-ийн хувьд тодорхойлогдсон, ялгагдах боломжтой; b, энд x t " = φ " (t) ≠ 0 ба x = φ (t) бол t = Θ (x) хэлбэрийн урвуу функц байна.

Эхлээд та параметрийн даалгавараас тодорхой даалгавар руу шилжих хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд та x аргумент байгаа y = ψ (t) = ψ (Θ (x)) хэлбэрийн цогц функцийг авах хэрэгтэй.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох дүрэмд үндэслэн бид y " x = ψ Θ (x) = ψ " Θ x · Θ " x болохыг олж авна.

Эндээс харахад t = Θ (x) ба x = φ (t) нь урвуу функцийн томьёо Θ " (х) = 1 φ " (t), дараа нь y " x = ψ " Θ (x) Θ " гэсэн урвуу функцууд болохыг харуулж байна. (x) = ψ " (t) φ " (t) .

Ялгаварлах дүрмийн дагуу деривативын хүснэгтийг ашиглан хэд хэдэн жишээг шийдвэрлэх талаар ярилцъя.

Жишээ 1

x = t 2 + 1 y = t функцийн деривативыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид φ (t) = t 2 + 1, ψ (t) = t, эндээс φ " (t) = t 2 + 1 ", ψ " (t) = t " = 1 гэсэн утгыг олж авна. Та үүсмэл томъёог ашиглаж, хариултыг дараах хэлбэрээр бичих ёстой.

y " x = ψ " (t) φ " (t) = 1 2 т

Хариулт: y x " = 1 2 t x = t 2 + 1.

h функцийн деривативтай ажиллах үед t параметр нь деривативын утгууд болон параметрийн тодорхойлсон функцийн аргументтай холболтыг алдагдуулахгүйн тулд ижил параметрээр х аргументийн илэрхийлэлийг зааж өгдөг. Эдгээр үнэ цэнэ нь аль нь таарч байна.

Параметрээр өгөгдсөн функцийн хоёр дахь эрэмбийн деривативыг тодорхойлохын тулд та үүссэн функц дээр нэгдүгээр эрэмбийн деривативын томъёог ашиглах хэрэгтэй бөгөөд дараа нь бид үүнийг олж авна.

y "" x = ψ " (t) φ " (t) " φ " (t) = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " ( t) 2 φ " (t) = ψ "" (t) · φ " (t) - ψ " (t) · φ "" (t) φ " (t) 3 .

Жишээ 2

Өгөгдсөн x = cos (2 t) y = t 2 функцийн 2 ба 2-р эрэмбийн деривативуудыг ол.

Шийдэл

Нөхцөлөөр бид φ (t) = cos (2 t) , ψ (t) = t 2 болохыг олж авна.

Дараа нь өөрчлөлтийн дараа

φ " (t) = cos (2 т) " = - нүгэл (2 т) 2 т " = - 2 син (2 т) ψ (t) = t 2 " = 2 т

Үүнээс үзэхэд y x " = ψ " (t) φ " (t) = 2 t - 2 sin 2 t = - t sin (2 t) .

1-р эрэмбийн деривативын хэлбэр нь x = cos (2 t) y x " = - t sin (2 t) болохыг олж авлаа.

Шийдвэрлэхийн тулд та хоёрдугаар эрэмбийн дериватив томъёог ашиглах хэрэгтэй. Бид хэлбэрийн илэрхийлэлийг олж авдаг

y x "" = - t нүгэл (2 т) φ " t = - t " нүгэл (2 т) - т (нүгэл (2 т)) " нүгэл 2 (2 т) - 2 нүгэл (2 т) = = 1 нүгэл (2 т) - t cos (2 т) (2 т) " 2 син 3 (2 т) = нүгэл (2 т) - 2 т cos (2 т) 2 син 3 (2 т)

Дараа нь параметрийн функцийг ашиглан 2-р эрэмбийн деривативыг зааж өгнө

x = cos (2 t) y x "" = sin (2 t) - 2 t cos (2 t) 2 sin 3 (2 t)

Үүнтэй төстэй шийдлийг өөр аргыг ашиглан шийдэж болно. Дараа нь

φ " t = (cos (2 т)) " = - нүгэл (2 т) 2 т " = - 2 нүгэл (2 т) ⇒ φ "" t = - 2 нүгэл (2 т) " = - 2 нүгэл (2 t) " = - 2 cos (2 t) · (2 ​​t) " = - 4 cos (2 t) ψ " (t) = (t 2) " = 2 t ⇒ ψ "" (t) = ( 2 т) " = 2

Эндээс бид үүнийг олж авдаг

y "" x = ψ "" (t) φ " (t) - ψ " (t) φ "" (t) φ " (t) 3 = 2 - 2 син (2 т) - 2 т (- 4 cos) (2 т)) - 2 син 2 т 3 = = нүгэл (2 т) - 2 т cos (2 т) 2 с i n 3 (2 т)

Хариулт: y "" x = нүгэл (2 т) - 2 т cos (2 т) 2 с i n 3 (2 т)

Параметрээр тодорхойлогдсон функц бүхий дээд эрэмбийн деривативууд ижил төстэй байдлаар олддог.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу

Функцийг параметрийн аргаар зааж өгье:
(1)
параметр гэж нэрлэгддэг хувьсагч хаана байна. Мөн хувьсагчийн тодорхой утгад функцүүд деривативтай байг.
(2)

Түүнээс гадна, функц нь тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт урвуу функцтэй байдаг.
;
.

Дараа нь функц (1) нь параметрийн хэлбэрээр дараах томъёогоор тодорхойлогддог цэг дээр деривативтай байна.

Энд ба хувьсагчийн (параметр) хамаарах функцүүдийн деривативууд байна.

Тэдгээрийг ихэвчлэн дараах байдлаар бичдэг.
.
Дараа нь (2) системийг дараах байдлаар бичиж болно.
.
Баталгаа
.

Нөхцөлөөр бол функц нь урвуу функцтэй байна. гэж тэмдэглэе

Дараа нь анхны функцийг цогц функцээр илэрхийлж болно:

Нарийн төвөгтэй ба урвуу функцийг ялгах дүрмийг ашиглан түүний деривативыг олцгооё.
.
Дүрэм нь батлагдсан.
.
Хоёр дахь аргаар нотлох
.

Тухайн цэг дээрх функцийн деривативын тодорхойлолтод үндэслэн деривативыг хоёр дахь аргаар олъё.
Тэмдэглэгээг танилцуулъя:
; ;
; .
Дараа нь өмнөх томъёо нь дараах хэлбэртэй байна.
.
Уг функц нь цэгийн ойролцоо урвуу функцтэй байдгийг ашиглацгаая.
.

Нөхцөлөөр бол функц нь урвуу функцтэй байна. гэж тэмдэглэе

Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.

Бутархайн тоо ба хуваагчийг дараах байдлаар хуваа.
(1)

(2) томъёог ашиглан бид эхний деривативыг олох бөгөөд үүнийг параметрийн дагуу тодорхойлно.
(2)

Эхний деривативыг хувьсагчаар тэмдэглэе.
.
Дараа нь хувьсагчтай холбоотой функцийн хоёр дахь деривативыг олохын тулд хувьсагчтай холбоотой функцийн эхний деривативыг олох хэрэгтэй.
(3)
Хувьсагчийн хувьсагчийн хамаарлыг мөн параметрийн аргаар тодорхойлно.

(3) томъёог (1) ба (2) томъёотой харьцуулж үзвэл бид дараахь зүйлийг олно.
.
Одоо үр дүнг ба функцээр илэрхийлье.
.

Үүнийг хийхийн тулд дериватив бутархай томъёог орлуулж хэрэглэцгээе.

Дараа нь
.

Эндээс бид хувьсагчийн хувьд функцийн хоёр дахь деривативыг олж авна.

Үүнийг мөн параметрийн хэлбэрээр өгдөг. Эхний мөрийг дараах байдлаар бичиж болно гэдгийг анхаарна уу.
;
.

Процессыг үргэлжлүүлснээр та гуравдагч ба түүнээс дээш эрэмбийн хувьсагчаас функцүүдийн деривативыг олж авах боломжтой.

Бид деривативын тэмдэглэгээг оруулах шаардлагагүй гэдгийг анхаарна уу.

Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Жишээ 1
Параметрээр тодорхойлогдсон функцийн деривативыг ол:
;
.
Шийдэл

.
-тай холбоотой деривативуудыг бид олдог.

.
-тай холбоотой деривативуудыг бид олдог.

Деривативын хүснэгтээс бид дараахь зүйлийг олно.
.

Бид өргөдөл гаргана:

Энд.

Шаардлагатай дериватив:

Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Хариулах
.

Жишээ 2

.

Параметрээр илэрхийлсэн функцийн деривативыг ол.

.

Хүчин чадлын функц ба үндэсийн томъёог ашиглан хаалтуудыг өргөжүүлье.
.

Бид өргөдөл гаргана:

Деривативыг олох нь:

Деривативыг олох.

Та үүнийг дараах байдлаар бичиж болно.

Үүнийг хийхийн тулд бид хувьсагчийг нэвтрүүлж, нийлмэл функцийн деривативын томъёог хэрэглэнэ.

Бид хүссэн деривативыг олдог:

Жишээ 3

Жишээ 1-д параметрийн аргаар тодорхойлсон функцийн хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн деривативуудыг ол.
.
Жишээ 1-д бид эхний эрэмбийн деривативыг олсон:
.
Тодорхойлолтыг танилцуулъя.
.

Дараа нь функц нь -тэй холбоотой дериватив байна.

Энэ нь параметрийн дагуу тодорхойлогддог:

-тэй холбоотой 2 дахь деривативыг олохын тулд -тэй холбоотой эхний деривативыг олох хэрэгтэй.
.
-ээр ялгаж үзье.
.

Бид жишээ 1-ээс деривативыг олсон:
.

Хоёрдахь эрэмбийн дериватив нь дараахтай харьцуулахад нэгдүгээр эрэмбийн деривативтай тэнцүү байна.

Тиймээс бид параметрийн хэлбэрийн хувьд хоёр дахь эрэмбийн деривативыг олсон:
;
;
;
;
;
;
;
;
.

Бид өргөдөл гаргана:

Одоо бид гурав дахь эрэмбийн деривативыг оллоо. Тодорхойлолтыг танилцуулъя.

Дараа нь бид параметрийн аргаар тодорхойлсон функцийн нэгдүгээр эрэмбийн деривативыг олох хэрэгтэй.

Хавтгай дээрх x, y хувьсагч нь гуравдагч хувьсагчийн t (параметр гэж нэрлэдэг) функц болох шугамыг тодорхойлох талаар бодож үзээрэй.

Утга тус бүрийн хувьд ттодорхой утгууд нь тодорхой интервалаас тодорхой утгуудтай тохирч байна xТэгээд у, а, тиймээс хавтгайн тодорхой М (х, у) цэг. Хэзээ төгөгдсөн интервалаас бүх утгууд, дараа нь цэгээр дамждаг М (x, y) зарим мөрийг дүрсэлдэг Л. (2.2) тэгшитгэлийг параметрийн шугамын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг Л.

Хэрэв x = φ(t) функц нь урвуу t = Ф(x) байвал энэ илэрхийллийг y = g(t) тэгшитгэлд орлуулснаар бид y = g(Ф(х))-ийг олж авна. yфункцээр x. Энэ тохиолдолд (2.2) тэгшитгэл нь функцийг тодорхойлдог гэж бид хэлдэг yпараметрийн хувьд.

Жишээ 1.Болъё М(х,у)– радиустай тойрог дээрх дурын цэг Рба гарал үүсэл дээр төвлөрсөн. Болъё т- тэнхлэг хоорондын өнцөг Үхэрба радиус ОМ(2.3-р зургийг үз). Дараа нь x, yдамжуулан илэрхийлдэг т:

Тэгшитгэл (2.3) нь тойргийн параметрийн тэгшитгэл юм. (2.3) тэгшитгэлээс t параметрийг хасъя. Үүнийг хийхийн тулд бид тэгшитгэл бүрийг квадрат болгож, нэмбэл: x 2 + y 2 = R 2 (cos 2 t + sin 2 t) эсвэл x 2 + y 2 = R 2 - декарт дахь тойргийн тэгшитгэлийг авна. координатын систем. Энэ нь хоёр функцийг тодорхойлдог: Эдгээр функц тус бүрийг параметрийн тэгшитгэлээр (2.3) өгөгдсөн боловч эхний функцийн хувьд , хоёр дахь функцийн хувьд .

Жишээ 2. Параметрийн тэгшитгэл

хагас тэнхлэг бүхий эллипсийг тодорхойлно а, б(Зураг 2.4). Тэгшитгэлээс параметрийг оруулаагүй болно т, бид эллипсийн каноник тэгшитгэлийг олж авна.

Жишээ 3. Хэрэв энэ тойрог шулуун шугамд гулсахгүй эргэлдэж байвал тойрог дээр хэвтэж буй цэгээр дүрслэгдсэн шугамыг циклоид гэнэ (Зураг 2.5). Циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг танилцуулъя. Өнхрөх тойргийн радиусыг тэнцүү болго а, цэг М, циклоидыг дүрсэлсэн, хөдөлгөөний эхэнд координатын гарал үүсэлтэй давхцсан.

Координатуудыг тодорхойлъё x, y оноо Мтойрог өнцгөөр эргэлдсэний дараа т
(Зураг 2.5), t = ÐMCB. Нуман урт М.Б.сегментийн урттай тэнцүү байна О.Б.тойрог гулсахгүйгээр эргэлддэг тул

OB = at, AB = MD = asint, CD = acost, x = OB – AB = at – asint = a(t – sint),

y = AM = CB – CD = a – acost = a(1 – зардал).

Тиймээс циклоидын параметрийн тэгшитгэлийг олж авна.

Параметрийг өөрчлөх үед т 0-ээс 2πтойрог нэг эргэлтийг эргүүлж, цэг Мциклоидын нэг нумыг дүрсэлдэг. Тэгшитгэл (2.5) өгнө yфункцээр x. Хэдийгээр функц x = a(t – sint)урвуу функцтэй боловч энгийн функцээр илэрхийлэгдээгүй тул функц у = f(x)энгийн функцээр илэрхийлэгдэхгүй.

(2.2) тэгшитгэлээр параметрээр тодорхойлогдсон функцийн дифференциалыг авч үзье. t өөрчлөлтийн тодорхой интервал дахь x = φ(t) функц нь урвуу функцтэй байна t = Ф(x), Дараа нь y = g(Ф(x)). Болъё x = φ(t), у = г(т)деривативтай, ба x"t≠0. Нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийн дагуу y"x=y"t×t"x.Урвуу функцийг ялгах дүрэмд үндэслэн:

Үүссэн томъёо (2.6) нь параметрийн дагуу тодорхойлсон функцийн деривативыг олох боломжийг олгодог.

Жишээ 4. Функцийг үзье y, хамаарна x, параметрээр тодорхойлогддог:

Шийдэл. .
Жишээ 5.Налууг ол кпараметрийн утгад тохирох M 0 цэгийн циклоид руу шүргэгч.
Шийдэл.Циклоид тэгшитгэлээс: y" t = asint, x" t = a(1 – зардал),Тийм ч учраас

Нэг цэг дэх шүргэгч налуу М0-ийн утгатай тэнцүү байна t 0 = π/4:

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИЯ

Функцийг цэг дээр тавь x 0деривативтай. Тодорхойлолтоор:
иймээс хязгаарын шинж чанарын дагуу (1.8-р хэсэг), хаана а– хязгааргүй жижиг үед Δx → 0. Эндээс

Δy = f "(x0)Δx + α×Δx. (2.7)

Δx → 0 байх тул тэгш байдлын хоёр дахь гишүүн (2.7) нь илүү өндөр эрэмбийн хязгааргүй жижиг юм. , тиймээс Δy ба f " (x 0)×Δx нь тэнцүү, хязгааргүй бага (f "(x 0) ≠ 0-ийн хувьд).

Тиймээс Δy функцийн өсөлт нь хоёр гишүүнээс бүрдэх бөгөөд эхний f "(x 0)×Δx нь үндсэн хэсэг өсөлт Δy, Δx-тэй харьцуулахад шугаман (f "(x 0)≠ 0-ийн хувьд).

Дифференциал x 0 цэг дэх f(x) функцийг функцийн өсөлтийн үндсэн хэсэг гэж нэрлэх ба дараах байдлаар тэмдэглэнэ. dyэсвэл df(x0). Тиймээс,

df (x0) =f "(x0)×Δx. (2.8)

Жишээ 1.Функцийн дифференциалыг ол dy y = x 2 функцийн хувьд Δy функцийн өсөлт:
1) дур зоргоороо xболон Δ x; 2) x 0 = 20, Δx = 0.1.

Шийдэл

1) Δy = (x + Δx) 2 – x 2 = x 2 + 2xΔx + (Δx) 2 – x 2 = 2xΔx + (Δx) 2, dy = 2xΔx.

2) Хэрэв x 0 = 20, Δx = 0.1 бол Δy = 40×0.1 + (0.1) 2 = 4.01; dy = 40×0.1= 4.

Тэгш байдлыг (2.7) дараах хэлбэрээр бичье.

Δy = dy + a×Δx. (2.9)

Өсөлт Δy нь дифференциалаас ялгаатай dyΔx-тай харьцуулахад дээд эрэмбийн хязгааргүй жижиг тоонд, тиймээс ойролцоогоор тооцоололд Δx хангалттай бага бол ойролцоогоор Δy ≈ dy тэгшитгэлийг ашиглана.

Δy = f(x 0 + Δx) – f(x 0) гэдгийг харгалзан үзвэл бид ойролцоогоор томъёог олж авна.

f(x 0 + Δx) ≈ f(x 0) + dy. (2.10)

Жишээ 2. Ойролцоогоор тооцоол.

Шийдэл.Үүнд:

(2.10) томъёог ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тэгэхээр ≈ 2.025.

Дифференциалын геометрийн утгыг авч үзье df(x 0)(Зураг 2.6).

M 0 (x0, f(x 0)) цэг дээр y = f(x) функцийн график руу шүргэгч зуръя, φ нь шүргэгч KM0 ба Ox тэнхлэгийн хоорондох өнцөг, тэгвэл f"( x 0) = tanφ ΔM0NP-ээс:
PN = tgφ×Δx = f "(x 0)×Δx = df(x 0). Харин PN нь x нь x 0-ээс x 0 + Δx болж өөрчлөгдөхөд шүргэгч ординатын өсөлт юм.

Улмаар x 0 цэг дэх f(x) функцийн дифференциал нь шүргэгчийн ординатын өсөлттэй тэнцүү байна.

Функцийн дифференциалыг олъё
у = x. (x)" = 1 тул dx = 1×Δx = Δx байна. Бид x бие даасан хувьсагчийн дифференциал нь түүний өсөлттэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл dx = Δx байна гэж үзнэ.

Хэрэв x нь дурын тоо бол (2.8) тэгшитгэлээс бид df(x) = f "(x)dx, эндээс авна. .
Тиймээс y = f(x) функцийн дериватив нь түүний дифференциалыг аргументийн дифференциалтай харьцуулсан харьцаатай тэнцүү байна.

Функцийн дифференциалын шинж чанарыг авч үзье.

Хэрэв u(x), v(x) нь дифференциалагдах функц байвал дараах томъёонууд хүчинтэй байна.

Эдгээр томьёог батлахын тулд функцийн нийлбэр, үржвэр, хэсгийн үүсмэл томъёог ашигладаг. Жишээлбэл (2.12) томъёог баталцгаая.

d(u×v) = (u×v)"Δx = (u×v" + u"×v)Δx = u×v"Δx + u"Δx×v = u×dv + v×du.

Комплекс функцийн дифференциалыг авч үзье: y = f(x), x = φ(t), i.e. y = f(φ(t)).

Дараа нь dy = y" t dt, харин y" t = y" x ×x" t, тэгэхээр dy =y" x x" t dt. харгалзан үзвэл,

гэсэн x" t = dx, бид dy = y" x dx =f "(x)dx авна.

Иймд y = f(x) нийлмэл функцийн дифференциал нь x =φ(t) нь dy = f "(x)dx хэлбэртэй байна. Энэ нь x нь бие даасан хувьсагч байх үеийнхтэй адил байна. Энэ шинж чанар гэж нэрлэдэг дифференциал хэлбэрийн инвариант байдал А.