Дэвсгэрийн хүлээлтийг тооцоолох. Математикийн хүлээлт (Хүн амын дундаж) нь

Дискрет магадлалын орон зайд өгөгдсөн Х санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт (дундаж утга) нь цуваа үнэмлэхүй нийлдэг бол m =M[X]=∑x i p i тоо байна.

Үйлчилгээний зорилго. Онлайн үйлчилгээг ашиглах математикийн хүлээлт, дисперс болон стандарт хазайлтыг тооцдог(жишээг үзнэ үү). Үүнээс гадна F(X) тархалтын функцийн графикийг зурсан.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын математик хүлээлт нь өөртэй нь тэнцүү байна: M[C]=C, C – тогтмол;
2. M=C M[X]
3. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: M=M[X]+M[Y]
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: M=M[X] M[Y] , хэрэв X ба Y нь бие даасан байвал.

Тархалтын шинж чанарууд

1. Тогтмол утгын дисперс нь тэг: D(c)=0.
2. Тогтмол хүчин зүйлийг дисперсийн тэмдгийн доор квадрат болгож авч болно: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Хэрэв X ба Ү санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд бие даасан байвал нийлбэрийн дисперс нь дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү байна: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. X ба Y санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хамааралтай бол: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Дараах тооцооллын томъёо нь тархалтын хувьд хүчинтэй байна.
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Жишээ. X ба Y бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ба дисперсүүд мэдэгдэж байна: M(x)=8, M(Y)=7, D(X)=9, D(Y)=6. Z=9X-8Y+7 санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт ба дисперсийг ол.
Шийдэл. Математикийн хүлээлтийн шинж чанарт үндэслэн: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Дисперсийн шинж чанарт үндэслэн: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох алгоритм

1. Бид хосуудыг нэг нэгээр нь үржүүлдэг: x i-ээр p i .
2. Хос бүрийн үржвэрийг нэмнэ x i p i .
   Жишээлбэл, n = 4-ийн хувьд: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Жишээ №1.

Жишээ №2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь дараах тархалтын цуваатай байна.

Шийдэл. a-ийн утгыг Σp i = 1 гэсэн хамаарлаас олно
Σp i = a + 0.32 + 2 a + 0.41 + 0.03 = 0.76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 эсвэл 0.24=3 a , эндээс a = 0.08

Жишээ №3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний диссертаци нь мэдэгдэж байгаа бол түүний тархалтын хуулийг тодорхойл, x 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3
d(x)=12.96

Шийдэл.
Энд та d(x) дисперсийг олох томъёог үүсгэх хэрэгтэй:
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
Энд хүлээлт m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Бидний мэдээллийн хувьд
m(x)=6*0.3+9*0.3+x 3 *0.1+15*0.3=9+0.1x 3
12.96 = 6 2 0.3+9 2 0.3+x 3 2 0.1+15 2 0.3-(9+0.1x 3) 2
эсвэл -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Үүний дагуу бид тэгшитгэлийн үндсийг олох хэрэгтэй бөгөөд тэдгээрийн хоёр нь байх болно.
x 3 =8, x 3 =12
x 1 нөхцөлийг хангасаныг сонгоно уу x 3 =12

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0.3; p 2 =0.3; p 3 =0.1; p 4 =0.3

Санамсаргүй хувьсагчТуршилт бүрийн үр дүнд санамсаргүй шалтгаанаас хамааран урьд нь үл мэдэгдэх нэг утгыг авдаг хувьсагчийг хувьсагч гэж нэрлэдэг. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг латин том үсгээр тэмдэглэнэ: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Тэдний төрлөөс хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг дараах байдлаар тэмдэглэж болно. салангидТэгээд тасралтгүй.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн- энэ нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд түүний утга нь тоолж болох, өөрөөр хэлбэл төгсгөлтэй эсвэл тоолох боломжтой. Тооцооллын хувьд бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгыг дугаарлаж болно гэсэн үг юм.

Жишээ 1 . Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээ энд байна:

a) $n$ шидэлтээр байг онох тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

б) зоос шидэх үед буурсан бэлгэ тэмдгийн тоо, энд байж болох утгууд нь $0,\1,\\цэг,\n$ байна.

в) онгоцонд ирж буй хөлөг онгоцны тоо (тооцоох утгын багц).

d) PBX-д ирж буй дуудлагын тоо (тоолох утгуудын багц).

1. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль.

$X$ салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудыг $p\left(x_1\right),\\dots,\ p\left(x_n\right)$ магадлалтайгаар авч болно. Эдгээр утгууд ба тэдгээрийн магадлалын хоорондын уялдаа холбоог нэрлэдэг дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хууль. Дүрмээр бол энэ захидал харилцааг хүснэгт ашиглан зааж өгсөн бөгөөд эхний мөрөнд $x_1,\dots,\ x_n$ утгууд, хоёр дахь мөрөнд $p_1,\dots,\p_n$ магадлалыг зааж өгнө. Эдгээр утгуудад тохирохыг зааж өгсөн болно.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \цэгүүд & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \dots & p_n \\
\hline
\end(массив)$

Жишээ 2 . Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь үхрийг шидэх үед авсан онооны тоо гэж үзье. Ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ дараах утгуудыг авч болно: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Эдгээр бүх утгын магадлал 1/6 доллартай тэнцүү байна. Тэгвэл $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын хууль:

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline

\hline
\end(массив)$

Сэтгэгдэл. $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуульд $1,\ 2,\ \цэг,\ 6$ үйл явдлууд нь бүхэл бүтэн бүлэг үйл явдлуудыг бүрдүүлдэг тул магадлалын нийлбэр нь нэгтэй тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл $. \нийлбэр(p_i)=1$.

2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлттүүний "төв" утгыг тогтоодог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд математик хүлээлтийг $x_1,\dots,\ x_n$ утгуудын үржвэрийн нийлбэр ба $p_1,\dots,\ p_n$ магадлалын эдгээр утгуудад харгалзах байдлаар тооцно. : $ M \ зүүн (X \ баруун) = \ нийлбэр ^ n_ (i = 1) (p_ix_i) $. Англи хэл дээрх уран зохиолд $E\left(X\right)$ гэсэн өөр тэмдэглэгээг ашигладаг.

Математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд$M\зүүн(X\баруун)$:

1. $M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ба хамгийн том утгуудын хооронд оршдог.
2. Тогтмол хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь тогтмолтой тэнцүү, i.e. $M\зүүн(C\баруун)=C$.
3. Тогтмол хүчин зүйлийг математик хүлээлтийн тэмдгээс гаргаж авч болно: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь тэдний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний үржвэрийн математик хүлээлт нь тэдгээрийн математик хүлээлтийн үржвэртэй тэнцүү байна: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Жишээ 3 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг олъё.

$$M\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_ix_i)=1\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+2\cdot ((1)\(6) )+3\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+4\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+5\cdot ((1)\(6)-аас дээш)+6\cdot ((1) )\ дээш (6))=3.5.$$

$M\left(X\right)$ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага ($1$) ба хамгийн том ($6$) утгуудын хооронд байрлаж байгааг бид анзаарч болно.

Жишээ 4 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $3X+5$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\-г авна. cdot 2 +5=11$.

Жишээ 5 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт $M\left(X\right)=4$-тэй тэнцүү байгаа нь мэдэгдэж байна. $2X-9$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашигласнаар бид $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\-г авна. cdot 4 -9=-1$.

3. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс.

Математикийн ижил хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгууд нь дундаж утгуудын эргэн тойронд өөр өөрөөр тархаж болно. Жишээлбэл, хоёр оюутны бүлэгт магадлалын онолын шалгалтын дундаж оноо 4 байсан ч нэг бүлэгт бүгд сайн сурагчид, нөгөө бүлэгт зөвхөн С, онц сурлагатанууд байсан. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар нь түүний математик хүлээлтийн эргэн тойронд санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын тархалтыг харуулах шаардлагатай байна. Энэ шинж чанар нь тархалт юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт$X$ нь дараахтай тэнцүү:

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2).\ $$

Англи хэлний уран зохиолд $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ гэсэн тэмдэглэгээг ашигладаг. Ихэнхдээ $D\left(X\right)$ хэлбэлзлийг $D\left(X\right)=\sum^n_(i=1)(p_ix^2_i)-(\left(M\) томъёогоор тооцдог. зүүн(X \баруун)\баруун))^2$.

Тархалтын шинж чанарууд$D\зүүн(X\баруун)$:

1. Дисперс нь үргэлж тэгээс их буюу тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(X\баруун)\ge 0$.
2. Тогтмолын хэлбэлзэл нь тэг, өөрөөр хэлбэл. $D\зүүн(C\баруун)=0$.
3. Тогтмол хүчин зүйл нь квадрат хэлбэртэй байх тохиолдолд тархалтын тэмдгээс гаргаж болно, өөрөөр хэлбэл. $D \ зүүн (CX \ баруун) = C ^ 2D \ зүүн (X \ баруун) $.
4. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн дисперс нь тэдгээрийн дисперсийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X+Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.
5. Бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн ялгааны дисперс нь тэдгээрийн хэлбэлзлийн нийлбэртэй тэнцүү, i.e. $D\зүүн(X-Y\баруун)=D\зүүн(X\баруун)+D\зүүн(Y\баруун)$.

Жишээ 6 . $2$ жишээнээс $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг тооцоолъё.

$$D\зүүн(X\баруун)=\нийлбэр^n_(i=1)(p_i(\зүүн(x_i-M\зүүн(X\баруун)\баруун))^2)=((1)\ дээш (6))\cdot (\зүүн(1-3.5\баруун))^2+((1)\(6) дээр)\cdot (\зүүн(2-3.5\баруун))^2+ \цэг +( (1)\(6)-аас дээш)\cdot (\зүүн(6-3,5\баруун))^2=((35)\(12))\ойролцоогоор 2,92.$$

Жишээ 7 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=2$-тэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. $4X+1$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0=-г олно. 16D\ зүүн(X\баруун)=16\cdot 2=32$.

Жишээ 8 . $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперс нь $D\left(X\right)=3$-тай тэнцүү гэдгийг мэддэг. $3-2X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсийг ол.

Дээрх шинж чанаруудыг ашиглан бид $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)=-г олно. 4D\ зүүн(X\баруун)=4\cdot 3=12$.

4. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын функц.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тархалтын цуваа хэлбэрээр илэрхийлэх арга нь цорын ганц арга биш бөгөөд хамгийн чухал нь тархалтын цуваа ашиглан тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг тодорхойлох боломжгүй тул бүх нийтийнх биш юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг илэрхийлэх өөр нэг арга байдаг - түгээлтийн функц.

Түгээлтийн функц$X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг $F\left(x\right)$ функц гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь $X$ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь $x$-аас бага утгыг авах магадлалыг тодорхойлдог, өөрөөр хэлбэл $F\ зүүн(x\баруун)=P\зүүн(X< x\right)$

Түгээлтийн функцийн шинж чанарууд:

1. $0\le F\left(x\баруун)\le 1$.
2. Санамсаргүй хэмжигдэхүүн $X$ нь $\left(\alpha;\ \beta \right)$ интервалаас утгыг авах магадлал нь түүний төгсгөлд байгаа түгээлтийн функцийн утгуудын зөрүүтэй тэнцүү байна. интервал: $P\left(\альфа< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $F\left(x\right)$ - буурахгүй.
4. $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) F\left(x\right)=0\ ),\ (\mathop(lim)_(x\to +\infty) F\left(x) \баруун)=1\ )$.

Жишээ 9 . $2$ жишээнээс $X$ дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийн $F\left(x\right)$ тархалтын функцийг олцгооё.

$\begin(массив)(|c|c|)
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\end(массив)$

Хэрэв $x\le 1$ бол мэдээж $F\left(x\right)=0$ (үүнд $x=1$ $F\left(1\right)=P\left(X)< 1\right)=0$).

Хэрэв 1 доллар< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Хэрэв 2 доллар< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Хэрэв 3 доллар< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Хэрэв 4 доллар< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Хэрэв 5 доллар< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Хэрэв $x > 6$ бол $F\left(x\right)=P\left(X=1\баруун)+P\left(X=2\баруун)+P\зүүн(X=3\баруун) +P\зүүн(X=4\баруун)+P\зүүн(X=5\баруун)+P\зүүн(X=6\баруун)=1/6+1/6+1/6+1/6+ 1/6+1/6=1$.

Тэгэхээр $F(x)=\left\(\эхлэх(матриц))
0,\ at\ x\le 1,\\
1/6, at\ 1< x\le 2,\\
1/3, \ at\ 2< x\le 3,\\
1/2, at\ 3< x\le 4,\\
2/3, \ at\ 4< x\le 5,\\
5/6,\ at\ 4< x\le 5,\\
1,\ for\ x > 6.
\төгсгөл(матриц)\баруун.$

Өмнө нь мэдэгдэж байгаачлан тархалтын хууль нь санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүрэн тодорхойлдог. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ түгээлтийн хууль тодорхойгүй байдаг тул хүн өөрийгөө бага мэдээллээр хязгаарлах шаардлагатай болдог. Заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг бүхэлд нь дүрсэлсэн тоонуудыг ашиглах нь бүр илүү ашигтай байдаг; ийм тоонуудыг дууддаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоон шинж чанар.Тоон шинж чанаруудын нэг нь математикийн хүлээлт юм.

Доор үзүүлсэн шиг математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгатай тэнцүү байна. Олон асуудлыг шийдэхийн тулд математикийн хүлээлтийг мэдэхэд хангалттай. Жишээлбэл, хэрэв эхний шидэгчийн авсан онооны тооны математикийн хүлээлт хоёр дахь онооноос их байгаа нь мэдэгдэж байгаа бол эхний шидэгч дунджаар хоёр дахь буудлаас илүү оноо авсан тул илүү сайн харвадаг. хоёрдохоосоо. Хэдийгээр математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай тархалтын хуулиас хамаагүй бага мэдээлэл өгдөг ч математик хүлээлтийн талаарх мэдлэг нь дээрх болон бусад олон асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай.

§ 2. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт

Математикийн хүлээлтДискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь түүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг үзье X зөвхөн утгыг авч болно X 1 , X 2 , ..., X n , магадлалууд нь тус тус тэнцүү байна r 1 , r 2 , . . ., r n . Дараа нь математикийн хүлээлт М(X) санамсаргүй хувьсагч X тэгш эрхээр тодорхойлогддог

М(X) = X 1 r 1 + X 2 r 2 + … + x n х n .

Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн X боломжит утгуудын тоолж болох багцыг авна, тэгвэл

М(X)=

Түүгээр ч барахгүй тэгш байдлын баруун талд байгаа цувралууд туйлын нийлбэл математикийн хүлээлт бий болно.

Сэтгэгдэл. Тодорхойлолтоос харахад салангид санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй (тогтмол) хэмжигдэхүүн юм. Дараа нь олон удаа хэрэглэгдэх тул энэ мэдэгдлийг санаж байхыг зөвлөж байна. Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь мөн тогтмол утга гэдгийг дараа харуулах болно.

Жишээ 1.Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийг ол X, түүний тархалтын хуулийг мэдэх нь:

Шийдэл. Шаардлагатай математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгууд ба тэдгээрийн магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэртэй тэнцүү байна.

М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.

Жишээ 2.Үйл явдал тохиолдох тооны математик хүлээлтийг ол Анэг шүүх хуралдаанд, хэрэв үйл явдлын магадлал Атэнцүү байна r.

Шийдэл. Санамсаргүй хувьсагч X - үйл явдлын тохиолдлын тоо Анэг туршилтанд - зөвхөн хоёр утгыг авч болно: X 1 = 1 (үйл явдал Атохиолдсон) магадлалаар rТэгээд X 2 = 0 (үйл явдал Атохиолдоогүй) магадлалаар q= 1 -r.Шаардлагатай математикийн хүлээлт

М(X)= 1* х+ 0* q= х

Тэгэхээр, Нэг туршилтанд тохиолдох үйл явдлын тооны математик хүлээлт нь энэ үйл явдлын магадлалтай тэнцүү байна.Энэ үр дүнг доор ашиглах болно.

§ 3. Математикийн хүлээлтийн магадлалын утга

Үүнийг үйлдвэрлэе nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн бүхий тестүүд X хүлээн зөвшөөрсөн Т 1 дахин үнэ цэнэ X 1 , Т 2 дахин үнэ цэнэ X 2 ,...,м к дахин үнэ цэнэ x к , болон Т 1 + Т 2 + …+т руу = х.Дараа нь авсан бүх утгуудын нийлбэр X, тэнцүү байна

X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу .

Арифметик дундажийг олъё Санамсаргүй хэмжигдэхүүнээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн бүх утгыг бид олсон нийлбэрийг тестийн нийт тоонд хуваана.

= (X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X руу Т руу)/p,

= X 1 (м 1 / n) + X 2 (м 2 / n) + ... + X руу (Т руу /н). (*)

хандлага байгааг анзаарсан м 1 / n- харьцангуй давтамж В 1 үнэт зүйлс X 1 , м 2 / n - харьцангуй давтамж В 2 үнэт зүйлс X 2 гэх мэт харьцааг (*) дараах байдлаар бичнэ.

=X 1 В 1 + x 2 В 2 + .. . + X руу В к . (**)

Туршилтын тоо нэлээд их байна гэж бодъё. Дараа нь харьцангуй давтамж нь тухайн үйл явдлын магадлалтай ойролцоогоор тэнцүү байна (үүнийг IX бүлгийн § 6-д нотлох болно):

В 1 х 1 , В 2 х 2 , …, В к х к .

Харьцангуй давтамжийг (**) хамааралтай магадлалаар сольж бид олж авна

x 1 х 1 + X 2 r 2 + … + X руу r руу .

Энэ ойролцоо тэгш байдлын баруун тал нь М(X). Тэгэхээр,

М(X).

Хүлээн авсан үр дүнгийн магадлалын утга нь дараах байдалтай байна. математикийн хүлээлт ойролцоогоор тэнцүү байна(илүү нарийвчлалтай байх тусам шинжилгээний тоо их болно) санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж.

Тайлбар 1. Математикийн хүлээлт хамгийн багаас их, боломжит хамгийн том утгаас бага гэдгийг ойлгоход хялбар байдаг. Өөрөөр хэлбэл, тоон мөрөнд боломжит утгууд нь математикийн хүлээлтийн зүүн ба баруун талд байрлана. Энэ утгаараа математикийн хүлээлт нь тархалтын байршлыг тодорхойлдог тул ихэвчлэн нэрлэдэг түгээлтийн төв.

Энэ нэр томъёо нь механикаас зээлсэн: хэрэв масс r 1 , х 2 , ..., r nабсцисса цэгүүдэд байрладаг x 1 , X 2 , ..., X n, ба
дараа нь хүндийн төвийн абсцисса

x в =
.

Үүнийг харгалзан үзвэл
= М (X) Тэгээд
бид авдаг М(X)= x -тай .

Тиймээс, математикийн хүлээлт нь материаллаг цэгүүдийн системийн хүндийн төвийн абсцисса бөгөөд тэдгээрийн абсцисса нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгатай, масс нь тэдний магадлалтай тэнцүү байна.

Тайлбар 2. "Математикийн хүлээлт" гэсэн нэр томъёоны гарал үүсэл нь магадлалын онол үүссэн эхний үетэй (XVI - XVII зуун) холбоотой бөгөөд түүний хэрэглээний хамрах хүрээ нь мөрийтэй тоглоомоор хязгаарлагддаг. Тоглогч нь хүлээгдэж буй ялалтын дундаж утгыг, эсвэл өөрөөр хэлбэл хожих математикийн хүлээлтийг сонирхож байв.

Даалгавар 1.Улаан буудайн үрийн соёололт 0.9 байна. Дөрвөн үрнээс гурваас доошгүй нь соёолох магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Үйл явдал болъё А– 4 үрнээс 3-аас доошгүй үр соёолно; үйл явдал IN- 4 үрээс 3 үр нахиалах; үйл явдал ХАМТ– 4 үрнээс 4 үр соёолно. Магадлалыг нэмэх теоремоор

Магадлал
Тэгээд
Дараах тохиолдолд хэрэглэсэн Бернуллигийн томъёогоор тодорхойлно. Цуврал явагдах болтугай nбие даасан туршилтууд, тэдгээрийн үед тохиолдох үйл явдлын магадлал тогтмол бөгөөд тэнцүү байна r, мөн энэ үйл явдал тохиолдохгүй байх магадлал нь тэнцүү байна
. Дараа нь үйл явдлын магадлал АВ nтестүүд яг харагдах болно удаа, Бернуллигийн томъёогоор тооцоолсон

,

Хаана
- хослолын тоо nэлементүүд . Дараа нь

Шаардлагатай магадлал

Даалгавар 2.Улаан буудайн үрийн соёололт 0.9 байна. Тарьсан 400 үрээс 350 үр соёолж гарах магадлалыг ол.

Шийдэл. Шаардлагатай магадлалыг тооцоол
Бернуллигийн томьёог ашиглах нь тооцооллын төвөгтэй байдлаас шалтгаалан хэцүү байдаг. Тиймээс бид Лапласын орон нутгийн теоремыг илэрхийлсэн ойролцоо томъёог ашиглана.

,

Хаана
Тэгээд
.

Асуудлын нөхцлөөс. Дараа нь

.

Хавсралтын 1-р хүснэгтээс бид олж мэдсэн. Шаардлагатай магадлал нь тэнцүү байна

Даалгавар 3.Улаан буудайн үр нь 0.02% хогийн ургамал агуулдаг. 10000 үрийг санамсаргүй түүврээр сонговол 6 хогийн ургамлын үр олдох магадлал хэд вэ?

Шийдэл. Магадлал багатай тул Лапласын орон нутгийн теоремыг хэрэглэх
магадлалын тодорхой утгаас ихээхэн хазайхад хүргэдэг
. Тиймээс бага үнээр rтооцоолох
асимптот Пуассон томъёог хэрэглэнэ

, Хаана.

Энэ томъёог хэзээ хэрэглэдэг
, ба бага rболон бусад n, үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно.

Асуудлын нөхцлийн дагуу
;
. Дараа нь

Даалгавар 4.Улаан буудайн үрийн соёололт 90% байна. Тариалсан 500 үрээс 400-440 үр соёолж гарах магадлалыг ол.

Шийдэл. Хэрэв ямар нэгэн үйл явдал болох магадлал Атус бүрт nТуршилтууд тогтмол бөгөөд тэнцүү байна r, дараа нь магадлал
тэр үйл явдал Аийм туршилтуудад багагүй байх болно нэг удаа, дахиад үгүй удаа Лапласын интеграл теоремоор дараах томъёогоор тодорхойлогдоно.

, Хаана

,
.

Чиг үүрэг
Лаплас функц гэж нэрлэдэг. Хавсралтууд (Хүснэгт 2) нь энэ функцийн утгыг өгдөг
. At
функц
. Сөрөг утгын хувьд XЛапласын функцийн сондгой байдлаас үүдэлтэй
. Лаплас функцийг ашигласнаар бид:

Даалгаврын нөхцлийн дагуу. Дээрх томъёог ашиглан бид олдог
Тэгээд :

Даалгавар 5.Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг өгөв X:

2. Олно: 1) математикийн хүлээлт; 2) тархалт; 3) стандарт хазайлт.

Шийдэл. 1) Хэрэв дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг хүснэгтээр өгвөл

2. Эхний мөрөнд х санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгууд, хоёр дахь мөрөнд эдгээр утгуудын магадлалыг агуулсан бол математикийн хүлээлтийг томъёогоор тооцоолно.

2) зөрүү
дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xсанамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтээс квадрат хазайлтыг математик хүлээлт гэж нэрлэдэг, өөрөөр хэлбэл.

Энэ утга нь квадрат хазайлтын хүлээгдэж буй дундаж утгыг тодорхойлдог X-аас
. Бидэнд байгаа сүүлчийн томъёоноос

Зөрчил
Дараах шинж чанарт үндэслэн өөр аргаар олж болно: тархалт
санамсаргүй хэмжигдэхүүний квадратын математик хүлээлтийн зөрүүтэй тэнцүү Xболон түүний математик хүлээлтийн квадрат
, тэр нь

Тооцоолохын тулд
хэмжигдэхүүнийг хуваарилах дараах хуулийг гаргая
:

3) Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын дундаж утгын ойролцоо тархалтыг тодорхойлохын тулд стандарт хазайлтыг нэвтрүүлсэн.
санамсаргүй хувьсагч X, дисперсийн квадрат язгууртай тэнцүү
, тэр нь

.

Энэ томъёоноос бид:

Даалгавар 6.Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхуримтлагдсан тархалтын функцээр өгөгдсөн

Олно: 1) дифференциал тархалтын функц
; 2) математикийн хүлээлт
; 3) зөрүү
.

Шийдэл. 1) Дифференциал тархалтын функц
тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхуримтлагдсан тархалтын функцийн дериватив гэж нэрлэдэг
, тэр нь

.

Хайж буй дифференциал функц нь дараах хэлбэртэй байна.

2) Хэрэв тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xфункцээр өгөгдсөн
, дараа нь түүний математик хүлээлтийг томъёогоор тодорхойлно

Функцээс хойш
цагт
болон цагт
тэгтэй тэнцүү, тэгвэл бидэнд байгаа сүүлчийн томъёоноос

.

3) зөрүү
Бид томъёогоор тодорхойлно

Даалгавар 7.Хэсгийн урт нь 40 мм-ийн математикийн хүлээлттэй, 3 мм-ийн стандарт хазайлттай хэвийн тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм. Олно: 1) дур мэдэн авсан хэсгийн урт нь 34 мм-ээс их, 43 мм-ээс бага байх магадлал; 2) тухайн хэсгийн урт нь математикийн хүлээлтээс 1.5 мм-ээс ихгүй хазайх магадлал.

Шийдэл. 1) Болъё X- хэсгийн урт. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xдифференциал функцээр өгөгдсөн
, тэгвэл магадлал Xсегментэд хамаарах утгыг авна
, томъёогоор тодорхойлогдоно

.

Хатуу тэгш бус байдлын магадлал
ижил томъёогоор тодорхойлогддог. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн Xхэвийн хуулийн дагуу хуваарилагддаг, тэгвэл

, (1)

Хаана
- Лаплас функц,
.

Даалгавар дотор. Дараа нь

2) Асуудлын нөхцлийн дагуу хаана
. (1)-д орлуулбал бидэнд байна

. (2)

Томъёо (2)-аас бид байна.

Хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалт юм

Дискрет ба тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт, тодорхойлолт, математик хүлээлт, түүвэр, нөхцөлт хүлээлт, тооцоо, шинж чанар, бодлого, хүлээлтийн тооцоо, дисперс, тархалтын функц, томъёо, тооцооны жишээ

Агуулгыг өргөжүүлэх

Контентыг буулгах

Математикийн хүлээлт бол тодорхойлолт юм

Математик статистик ба магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утга эсвэл магадлалын тархалтыг тодорхойлдог. Ихэвчлэн санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит параметрүүдийн жигнэсэн дундажаар илэрхийлэгддэг. Техникийн шинжилгээ, тооны цувааг судлах, тасралтгүй болон урт хугацааны процессыг судлахад өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нь санхүүгийн зах зээл дээр арилжаа хийх үед эрсдэлийг үнэлэх, үнийн үзүүлэлтийг урьдчилан таамаглахад чухал ач холбогдолтой бөгөөд мөрийтэй тоглоомын онолын хувьд тоглоомын тактикийн стратеги, аргыг боловсруулахад ашигладаг.

Математикийн хүлээлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга, санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг магадлалын онолд авч үздэг.

Математикийн хүлээлтмагадлалын онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утгын хэмжүүр. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт xгэж тэмдэглэсэн М(х).

Математикийн хүлээлт

Математикийн хүлээлтмагадлалын онолд санамсаргүй хэмжигдэхүүн авч болох бүх боломжит утгуудын жигнэсэн дундаж.

Математикийн хүлээлтсанамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүний нийлбэр ба эдгээр утгын магадлал.

Математикийн хүлээлтИйм шийдвэрийг олон тоо ба хол зайн онолын хүрээнд авч үзэх боломжтой тохиолдолд тодорхой шийдвэрийн дундаж ашиг.

Математикийн хүлээлтмөрийтэй тоглоомын онолын хувьд, бооцоо тус бүрээс дунджаар нэг тоглогч олох эсвэл алдах хожлын хэмжээ. Мөрийтэй тоглоомын хэллэгээр үүнийг заримдаа "тоглогчийн давуу тал" (хэрэв энэ нь тоглогчийн хувьд эерэг бол) эсвэл "байшингийн ирмэг" (хэрэв тоглогчийн хувьд сөрөг байвал) гэж нэрлэдэг.

Математикийн хүлээлтнэг ялалтын ашгийн хувийг дундаж ашигт үржүүлж, алдагдлын магадлалыг дундаж алдагдалд үржүүлснийг хасна.

Математикийн онол дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний чухал тоон шинж чанаруудын нэг бол түүний математик хүлээлт юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний системийн тухай ойлголтыг танилцуулъя. Ижил санамсаргүй туршилтын үр дүн болох санамсаргүй хэмжигдэхүүний багцыг авч үзье. Хэрэв энэ нь системийн боломжит утгуудын нэг бол тухайн үйл явдал Колмогоровын аксиомыг хангасан тодорхой магадлалтай тохирч байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний боломжит утгуудын хувьд тодорхойлогдсон функцийг хамтарсан тархалтын хууль гэж нэрлэдэг. Энэ функц нь аливаа үйл явдлын магадлалыг тооцоолох боломжийг танд олгоно. Ялангуяа олонлогоос утгыг авдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамтарсан тархалтын хуулийг магадлалаар өгдөг.

"Математикийн хүлээлт" гэсэн нэр томъёог Пьер Саймон Маркиз де Лаплас (1795) нэвтрүүлсэн бөгөөд 17-р зуунд мөрийтэй тоглоомын онолд Блез Паскал, Кристиан нарын бүтээлүүдэд анх гарч ирсэн "хожлын хүлээгдэж буй үнэ цэнэ" гэсэн ойлголтоос гаралтай. Гюйгенс. Гэсэн хэдий ч энэхүү үзэл баримтлалын талаархи анхны онолын бүрэн ойлголт, үнэлгээг Пафнуты Львович Чебышев (19-р зууны дунд үе) өгсөн.

Санамсаргүй тоон хэмжигдэхүүний тархалтын хууль (тархалтын функц ба тархалтын цуваа эсвэл магадлалын нягтрал) нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний зан төлөвийг бүрэн дүрсэлдэг. Гэхдээ хэд хэдэн асуудлын хувьд асуусан асуултанд хариулахын тулд судалж буй хэмжигдэхүүний зарим тоон шинж чанарыг (жишээлбэл, түүний дундаж утга ба түүнээс хазайх боломжтой) мэдэхэд хангалттай. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндсэн тоон шинж чанарууд нь математикийн хүлээлт, дисперс, горим ба медиан юм.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь түүний боломжит утгууд ба тэдгээрийн харгалзах магадлалын бүтээгдэхүүний нийлбэр юм. Заримдаа математикийн хүлээлтийг жигнэсэн дундаж гэж нэрлэдэг, учир нь энэ нь олон тооны туршилтанд санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажтай ойролцоогоор тэнцүү байдаг. Математикийн хүлээлтийн тодорхойлолтоос харахад түүний утга нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний хамгийн бага утгаас багагүй, хамгийн томоос ихгүй байна. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт нь санамсаргүй бус (тогтмол) хувьсагч юм.

Математикийн хүлээлт нь энгийн физик утгатай: хэрэв та нэгж массыг шулуун шугам дээр байрлуулж, тодорхой массыг зарим цэг дээр байрлуулах (дискрет тархалтын хувьд) эсвэл тодорхой нягтралтай "т рхэц" хийх (туйлын тасралтгүй тархалтын хувьд). , дараа нь математик хүлээлт харгалзах цэг координат байх болно "хүндийн төв" шулуун байна.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь түүний "төлөөлөгч" болох тодорхой тоо бөгөөд үүнийг ойролцоогоор тооцоололд орлуулдаг. Бид: "Дэнлүүний ажиллах дундаж хугацаа 100 цаг" эсвэл "нөлөөллийн дундаж цэг нь зорилтот түвшинд харьцангуй баруун тийш 2 м-ээр шилжсэн" гэж хэлэхэд бид түүний байршлыг тодорхойлдог санамсаргүй хэмжигдэхүүний тодорхой тоон шинж чанарыг харуулж байна. тоон тэнхлэг дээр, i.e. "албан тушаалын шинж чанар".

Магадлалын онол дахь байрлалын шинж чанаруудаас хамгийн чухал үүрэг нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт бөгөөд үүнийг заримдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга гэж нэрлэдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье X, боломжит утгуудтай байх x1, x2, …, xnмагадлал бүхий p1, p2, …, pn. Эдгээр утгууд өөр өөр магадлалтай байдгийг харгалзан бид x тэнхлэг дээрх санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байрлалыг тодорхой тоогоор тодорхойлох хэрэгтэй. Үүний тулд "жигнэсэн дундаж" гэж нэрлэгддэг утгыг ашиглах нь зүйн хэрэг юм xi, мөн дундажлах явцад xi утга бүрийг энэ утгын магадлалтай пропорциональ "жин"-ээр тооцох ёстой. Тиймээс бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундажийг тооцоолох болно X, үүнийг бид тэмдэглэж байна M |X|:

Энэхүү жигнэсэн дундажийг санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт гэж нэрлэдэг. Тиймээс бид магадлалын онолын хамгийн чухал ойлголтуудын нэг болох математикийн хүлээлтийн тухай ойлголтыг авч үзсэн. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний бүх боломжит утгуудын бүтээгдэхүүн ба эдгээр утгын магадлалын нийлбэр юм.

Үүнийг үйлдвэрлэе Нбие даасан туршилтууд, тус бүрдээ үнэ цэнэ Xтодорхой утгыг авдаг. үнэ цэнэ гэж бодъё x1гарч ирэв м1удаа, үнэ цэнэ x2гарч ирэв м2цаг хугацаа, ерөнхий утга xiхэдэн удаа гарч ирсэн. Математикийн хүлээлтээс ялгаатай нь X утгын ажиглагдсан утгуудын арифметик дундажийг тооцоолъё. M|X|бид тэмдэглэж байна M*|X|:

Туршилтын тоо нэмэгдэх тусам Ндавтамжууд пихаргалзах магадлалд ойртох (магадлалаар нийлэх) болно. Тиймээс санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж M|X|Туршилтын тоо нэмэгдэхийн хэрээр энэ нь математикийн хүлээлтэд ойртох болно (магадлалын хувьд нийлнэ). Дээр томъёолсон арифметик дундаж ба математикийн хүлээлтийн хоорондын холбоо нь их тооны хуулийн нэг хэлбэрийн агуулгыг бүрдүүлдэг.

Олон тооны туршилтын явцад зарим дундаж үзүүлэлтүүд тогтвортой байдгийг олон тооны хуулийн бүх хэлбэрүүд илэрхийлдэг гэдгийг бид аль хэдийн мэдсэн. Энд бид ижил хэмжигдэхүүний хэд хэдэн ажиглалтын арифметик дундажийн тогтвортой байдлын тухай ярьж байна. Цөөн тооны туршилтаар тэдгээрийн үр дүнгийн арифметик дундаж нь санамсаргүй байдаг; Туршилтын тоо хангалттай нэмэгдэх тусам энэ нь "бараг санамсаргүй" болж, тогтворжиж, тогтмол утга болох математикийн хүлээлт рүү ойртдог.

Олон тооны туршилтын дундаж үзүүлэлтүүдийн тогтвортой байдлыг туршилтаар хялбархан шалгаж болно. Жишээлбэл, биеийг лабораторид нарийн жингийн дагуу жинлэхдээ жинлэх бүрт бид шинэ утгыг олж авдаг; Ажиглалтын алдааг багасгахын тулд бид биеийг хэд хэдэн удаа жинлэж, олж авсан утгуудын арифметик дундажийг ашиглана. Туршилтын тоо (жинлэх) цаашид нэмэгдэх тусам арифметик дундаж нь энэ өсөлтөд бага багаар хариу үйлдэл үзүүлж, хангалттай олон тооны туршилт хийснээр бараг өөрчлөгдөхөө больсон гэдгийг харахад хялбар байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалын хамгийн чухал шинж чанар болох математикийн хүлээлт нь бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүнд байдаггүй гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Харгалзах нийлбэр эсвэл интеграл нь зөрүүтэй байдаг тул математикийн хүлээлт байхгүй ийм санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн жишээг зохиож болно. Гэсэн хэдий ч ийм тохиолдлууд практикт тийм ч сонирхолтой биш юм. Ерөнхийдөө бидний харьцдаг санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь боломжит утгын хязгаарлагдмал хүрээтэй бөгөөд мэдээжийн хэрэг математикийн хүлээлттэй байдаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний байрлалын хамгийн чухал шинж чанарууд болох математикийн хүлээлтээс гадна практикт тухайн байрлалын бусад шинж чанаруудыг, ялангуяа санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба медианыг заримдаа ашигладаг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим нь түүний хамгийн их магадлалтай утга юм. "Хамгийн их магадлалтай үнэ цэнэ" гэсэн нэр томъёо нь зөвхөн тасархай хэмжигдэхүүнүүдэд хамаарна; Тасралтгүй хэмжигдэхүүний хувьд горим нь магадлалын нягт хамгийн их байх утга юм. Зураг нь тасархай болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн горимыг тус тус харуулж байна.

Хэрэв тархалтын полигон (тархалтын муруй) нэгээс олон максимумтай бол тархалтыг "олон талт" гэж нэрлэдэг.

Заримдаа дээд тал нь биш харин дунд нь доод тал нь байдаг хуваарилалтууд байдаг. Ийм хуваарилалтыг "антимодаль" гэж нэрлэдэг.

Ерөнхий тохиолдолд санамсаргүй хэмжигдэхүүний горим ба математикийн хүлээлт давхцдаггүй. Тухайн тохиолдолд тархалт нь тэгш хэмтэй ба модаль (жишээ нь горимтой) бөгөөд математикийн хүлээлт байгаа тохиолдолд энэ нь тархалтын тэгш хэмийн горим ба төвтэй давхцдаг.

Өөр нэг байрлалын шинж чанарыг ихэвчлэн ашигладаг - санамсаргүй хэмжигдэхүүний медиан гэж нэрлэгддэг. Энэ шинж чанарыг зөвхөн тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнд ашигладаг боловч тасархай хувьсагчийн хувьд албан ёсоор тодорхойлж болно. Геометрийн хувьд медиан нь тархалтын муруйгаар хүрээлэгдсэн талбайг хагасаар хуваах цэгийн абсцисса юм.

Модаль тэгш хэмтэй тархалтын хувьд медиан нь математикийн хүлээлт ба горимтой давхцдаг.

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга - санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтын тоон шинж чанар юм. Хамгийн ерөнхий байдлаар санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлт X(w)магадлалын хэмжүүрийн хувьд Лебегийн интеграл гэж тодорхойлогддог Ранхны магадлалын орон зайд:

Математикийн хүлээлтийг Лебесгийн интеграл гэж бас тооцоолж болно Xмагадлалын тархалтаар pxтоо хэмжээ X:

Хязгааргүй математикийн хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний тухай ойлголтыг байгалийн жамаар тодорхойлж болно. Ердийн жишээ бол зарим санамсаргүй алхалтын буцах хугацаа юм.

Математикийн хүлээлтийг ашиглан тархалтын олон тооны болон функциональ шинж чанаруудыг (санамсаргүй хэмжигдэхүүний харгалзах функцүүдийн математик хүлээлт гэх мэт), жишээлбэл үүсгэх функц, шинж чанарын функц, аливаа дарааллын моментууд, ялангуяа дисперс, ковариац зэргийг тодорхойлдог. .

Математикийн хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгуудын байршлын шинж чанар (түүний тархалтын дундаж утга) юм. Энэ чадавхийн хувьд математикийн хүлээлт нь зарим "ердийн" тархалтын параметр болж үйлчилдэг бөгөөд түүний үүрэг нь механик дахь статик момент - массын тархалтын хүндийн төвийн координаттай төстэй юм. Байршлын бусад шинж чанаруудаас тэдгээрийн тусламжтайгаар тархалтыг ерөнхийд нь тайлбарласан - медианууд, горимууд, математикийн хүлээлт нь магадлалын онолын хязгаарын теоремуудад түүний болон харгалзах тархалтын шинж чанар - тархалтаас илүү их утгаараа ялгаатай байдаг. Математикийн хүлээлтийн утгыг их тооны хууль (Чебышевын тэгш бус байдал) болон олон тооны хүчирхэгжүүлсэн хуулиар хамгийн бүрэн илчилдэг.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Хэд хэдэн тоон утгуудын аль нэгийг авах боломжтой санамсаргүй хэмжигдэхүүн байгаарай (жишээлбэл, шоо шидэх үед онооны тоо 1, 2, 3, 4, 5 эсвэл 6 байж болно). Ихэнхдээ практик дээр ийм үнэ цэнийн хувьд асуулт гарч ирдэг: энэ нь олон тооны туршилтаар "дунджаар" ямар үнэ цэнийг авдаг вэ? Эрсдэлтэй гүйлгээ бүрээс бидний дундаж орлого (эсвэл алдагдал) хэд байх вэ?

Ямар нэгэн сугалаа байдаг гэж бодъё. Үүнд оролцох (эсвэл дахин дахин, тогтмол оролцох) ашигтай юу, үгүй ​​юу гэдгийг ойлгохыг хүсч байна. Дөрөв дэх тасалбар бүр ялагч, шагнал нь 300 рубль, тасалбарын үнэ 100 рубль байна гэж бодъё. Хязгааргүй олон тооны оролцоотойгоор ийм зүйл тохиолддог. Тохиолдлын дөрөвний гурвын хувьд бид алдах болно, гурван алдагдал бүр 300 рубль болно. Дөрөв дэх тохиолдол бүрт бид 200 рубль хожих болно. (шагналыг хасах зардал), өөрөөр хэлбэл дөрвөн оролцооны хувьд бид дунджаар 100 рубль, нэг нь дунджаар 25 рубль алддаг. Нийтдээ манай сүйрлийн дундаж үнэ тасалбар бүрт 25 рубль байх болно.

Бид шоо шиддэг. Хэрэв энэ нь хууран мэхлэхгүй бол (хүндийн төвийг шилжүүлэхгүйгээр гэх мэт) бид нэг удаад дунджаар хэдэн оноо авах вэ? Сонголт бүр ижил магадлалтай тул бид арифметик дундажийг аваад 3.5-ыг авна. Энэ нь ДУНДАД байгаа тул ямар ч тодорхой өнхрөх нь 3.5 оноо өгөхгүй гэж уурлах шаардлагагүй - энэ шоо ийм тоотой нүүртэй байдаггүй!

Одоо жишээнүүдээ нэгтгэн хэлье:

Сая өгсөн зургийг харцгаая. Зүүн талд санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хүснэгт байна. X утга нь боломжит n утгын аль нэгийг авч болно (дээд мөрөнд өгөгдсөн). Өөр ямар ч утга байж болохгүй. Боломжит утга бүрийн доор түүний магадлалыг доор бичсэн болно. Баруун талд M(X)-ийг математикийн хүлээлт гэж нэрлэдэг томьёо байна. Энэ утгын утга нь олон тооны сорилттой (их түүвэртэй) дундаж утга нь ижил математикийн хүлээлттэй байх хандлагатай байдаг.

Дахин нэг тоглох шоо руугаа буцъя. Шидэх үед оноо авах математикийн хүлээлт 3.5 байна (хэрэв та надад итгэхгүй байгаа бол томъёог ашиглан өөрөө тооцоолоорой). Та хэд хэдэн удаа шидсэн гэж бодъё. Үр дүн нь 4 ба 6. Дунджаар 5 байсан нь 3.5-аас хол байна. Тэд дахиад нэг удаа шидсэн, тэд 3 авсан, өөрөөр хэлбэл дунджаар (4 + 6 + 3)/3 = 4.3333 ... Математикийн хүлээлтээс ямар нэгэн байдлаар хол байна. Одоо галзуу туршилт хий - шоо 1000 удаа эргэлдүүл! Тэгээд ч дундаж нь яг 3.5 биш ч гэсэн тэрэнд дөхнө.

Дээр дурдсан сугалааны математикийн хүлээлтийг тооцоолъё. Хавтан нь дараах байдлаар харагдах болно.

Дараа нь бидний дээр дурдсанчлан математикийн хүлээлт дараах байдалтай байна.

Өөр нэг зүйл бол хэрэв илүү олон сонголт байвал томъёогүйгээр "хуруунд" хийхэд хэцүү байх болно. За, тасалбарын 75% нь хожигдсон, 20% нь хожсон тасалбар, 5% нь ялангуяа хожсон тасалбар гэж бодъё.

Одоо математикийн хүлээлтийн зарим шинж чанарууд.

Үүнийг батлахад хялбар:

Тогтмол хүчин зүйлийг математикийн хүлээлтийн шинж тэмдэг болгон авч болно, өөрөөр хэлбэл:

Энэ бол математикийн хүлээлтийн шугаман шинж чанарын онцгой тохиолдол юм.

Математикийн хүлээлтийн шугаман байдлын өөр нэг үр дагавар:

өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хэмжигдэхүүний нийлбэрийн математик хүлээлт нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математик хүлээлтийн нийлбэртэй тэнцүү байна.

X,Y-г бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж үзье, Дараа нь:

Үүнийг батлахад бас амархан) Ажил XYөөрөө санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд хэрэв анхны утгууд нь авч болно nТэгээд мүүний дагуу үнэ цэнэ, дараа нь XY nm утгыг авч болно. Бие даасан үйл явдлын магадлалыг үржүүлсэнд үндэслэн утга тус бүрийн магадлалыг тооцоолно. Үүний үр дүнд бид дараахь зүйлийг олж авна.

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүний хүлээлт

Тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд нь тархалтын нягт (магадлалын нягт) зэрэг шинж чанартай байдаг. Энэ нь үндсэндээ санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь бодит тоонуудын багцаас зарим утгыг илүү олон удаа, заримыг нь бага авдаг нөхцөл байдлыг тодорхойлдог. Жишээлбэл, энэ графикийг авч үзье.

Энд X- бодит санамсаргүй хэмжигдэхүүн, f(x)- тархалтын нягт. Энэ графикаас харахад туршилтын явцад үнэ цэнэ Xихэвчлэн тэгтэй ойролцоо тоо байх болно. Боломжууд нь давсан 3 эсвэл жижиг байх -3 харин цэвэр онолынх.

Жишээлбэл, жигд хуваарилалт байцгаая:

Энэ нь зөн совингийн ойлголттой нэлээд нийцдэг. Хэрэв бид жигд тархалттай санамсаргүй олон бодит тоонуудыг олж авбал сегмент тус бүрийг хэлье |0; 1| , тэгвэл арифметик дундаж нь 0.5 орчим байх ёстой.

Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдэд хамаарах математикийн хүлээлтийн шинж чанарууд - шугаман байдал гэх мэтийг энд бас ашиглаж болно.

Математикийн хүлээлт болон бусад статистик үзүүлэлтүүдийн хоорондын хамаарал

Статистикийн шинжилгээнд математикийн хүлээлттэй хамт үзэгдлийн нэгэн төрлийн байдал, үйл явцын тогтвортой байдлыг тусгасан харилцан хамааралтай үзүүлэлтүүдийн систем байдаг. Хувилбарын үзүүлэлтүүд нь ихэвчлэн бие даасан утгатай байдаггүй бөгөөд цаашдын мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийхэд ашиглагддаг. Үл хамаарах зүйл бол үнэ цэнэтэй статистик шинж чанар болох өгөгдлийн нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлдог хэлбэлзлийн коэффициент юм.

Статистикийн шинжлэх ухаан дахь үйл явцын хувьсах буюу тогтвортой байдлын зэргийг хэд хэдэн үзүүлэлтээр хэмжиж болно.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьсах чадварыг тодорхойлдог хамгийн чухал үзүүлэлт Тархалт, энэ нь математикийн хүлээлттэй хамгийн нягт бөгөөд шууд холбоотой. Энэ параметрийг бусад төрлийн статистик шинжилгээнд идэвхтэй ашигладаг (таамаглалыг шалгах, шалтгаан-үр дагаврын хамаарлыг шинжлэх гэх мэт). Дундаж шугаман хазайлтын нэгэн адил дисперс нь дундаж утгын эргэн тойронд өгөгдлийн тархалтын цар хүрээг илэрхийлдэг.

Тэмдгийн хэлийг үгийн хэл рүү хөрвүүлэх нь ашигтай. Эндээс харахад тархалт нь хазайлтын дундаж квадрат юм. Өөрөөр хэлбэл, эхлээд дундаж утгыг тооцоолж, дараа нь анхны болон дундаж утга бүрийн ялгааг авч, квадрат болгож, нэмээд дараа нь хүн амын тоонд хуваана. Хувь хүний ​​утга ба дундажийн хоорондох зөрүү нь хазайлтын хэмжүүрийг илэрхийлдэг. Бүх хазайлт нь зөвхөн эерэг тоо болж, тэдгээрийг нэгтгэн дүгнэх үед эерэг ба сөрөг хазайлтыг харилцан устгахаас зайлсхийхийн тулд үүнийг квадратаар хуваана. Дараа нь квадрат хазайлтыг өгвөл бид зүгээр л арифметик дундажийг тооцоолно. Дундаж - квадрат - хазайлт. Хазайлтыг квадрат болгож, дундажийг тооцоолно. Тархалт гэдэг шидэт үгийн хариулт ердөө гурван үгэнд оршдог.

Гэсэн хэдий ч арифметик дундаж буюу индекс гэх мэт цэвэр хэлбэрээр дисперсийг ашигладаггүй. Энэ нь бусад төрлийн статистикийн шинжилгээнд ашиглагддаг туслах ба завсрын үзүүлэлт юм. Энгийн хэмжих нэгж ч байхгүй. Томъёогоор харахад энэ нь анхны өгөгдлийн хэмжих нэгжийн квадрат юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг хэмжье Нудаа, жишээлбэл, бид салхины хурдыг арав дахин хэмжиж, дундаж утгыг олохыг хүсдэг. Дундаж утга нь тархалтын функцтэй хэрхэн холбоотой вэ?

Эсвэл бид шоо олон удаа өнхрүүлэх болно. Шоо шидэлт бүр дээр гарч ирэх онооны тоо нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн бөгөөд 1-ээс 6 хүртэлх байгалийн утгыг авч болно. Бүх шоо шидэхэд тооцсон хасагдсан онооны арифметик дундаж нь мөн санамсаргүй хэмжигдэхүүн боловч их хэмжээний хувьд Нэнэ нь маш тодорхой тоо - математикийн хүлээлт рүү чиглэдэг Mx. Энэ тохиолдолд Mx = 3.5.

Та энэ үнэ цэнийг хэрхэн олж авсан бэ? Оруул Нтуршилтууд n1 1 оноо авсны дараа n2нэг удаа - 2 оноо гэх мэт. Дараа нь нэг оноо унасан үр дүнгийн тоо:

Үүнтэй адилаар 2, 3, 4, 5, 6 оноо авсан үр дүнгийн хувьд.

Одоо бид x санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулийг мэддэг гэж үзье, өөрөөр хэлбэл x санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь p1, p2, ... магадлал бүхий x1, x2, ..., xk утгуудыг авч чадна гэдгийг бид мэднэ гэж үзье. pk.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний Mx математикийн хүлээлт нь дараахтай тэнцүү байна.

Математикийн хүлээлт нь зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний үндэслэлтэй тооцоолол биш юм. Тиймээс дундаж цалинг тооцоолохын тулд дундаж, өөрөөр хэлбэл дундаж цалингаас бага цалин авч байгаа хүмүүсийн тоо, түүнээс дээш нь давхцах гэсэн ойлголтыг ашиглах нь илүү үндэслэлтэй юм.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн x x1/2-оос бага байх p1 магадлал, x санамсаргүй хэмжигдэхүүн x1/2-оос их байх p2 магадлал нь ижил ба 1/2-тэй тэнцүү байна. Медиан нь бүх тархалтын хувьд дангаар тодорхойлогддоггүй.

Стандарт эсвэл стандарт хазайлтстатистикийн хувьд ажиглалтын өгөгдөл эсвэл олонлогийн ДУНДАЖ утгаас хазайх зэрэг гэж нэрлэдэг. s эсвэл s үсгээр тэмдэглэнэ. Жижиг стандарт хазайлт нь өгөгдөл нь дундаж утгыг тойроод бөөгнөрөхийг илэрхийлдэг бол том стандарт хазайлт нь анхны өгөгдөл түүнээс хол байгааг илтгэнэ. Стандарт хазайлт нь дисперс гэж нэрлэгддэг хэмжигдэхүүний квадрат язгууртай тэнцүү байна. Энэ нь дундаж утгаас хазайсан анхны өгөгдлийн квадрат зөрүүний нийлбэрийн дундаж юм. Санамсаргүй хэмжигдэхүүний стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм:

Жишээ. Туршилтын нөхцөлд бай руу буудахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалт ба стандарт хазайлтыг тооцоол.

Хувилбар- хүн амын нэгж хоорондын шинж чанарын үнэ цэнийн хэлбэлзэл, өөрчлөгдөх чадвар. Судалгаанд хамрагдсан популяцид олдсон шинж чанарын бие даасан тоон утгыг утгын хувилбар гэж нэрлэдэг. Хүн амын тоог бүрэн тодорхойлоход дундаж утгын хангалтгүй байдал нь судалж буй шинж чанарын хэлбэлзэл (хувилбар) -ыг хэмжих замаар эдгээр дундаж үзүүлэлтүүдийн ердийн байдлыг үнэлэх боломжийг олгодог үзүүлэлтээр дундаж утгыг нөхөхөд хүргэдэг. Өөрчлөлтийн коэффициентийг дараахь томъёогоор тооцоолно.

Өөрчлөлтийн хүрээ(R) нь судалж буй популяци дахь шинж чанарын хамгийн их ба хамгийн бага утгуудын хоорондох зөрүүг илэрхийлнэ. Энэ үзүүлэлт нь зөвхөн сонголтуудын хамгийн их утгуудын хоорондох ялгааг харуулдаг тул судалж буй шинж чанарын хувьсах байдлын талаархи хамгийн ерөнхий санааг өгдөг. Онцлогийн хэт утгуудаас хамаарах нь хэлбэлзлийн хүрээг тогтворгүй, санамсаргүй шинж чанартай болгодог.

Дундаж шугаман хазайлтШинжилсэн популяцийн бүх утгуудын дундаж утгуудын үнэмлэхүй (модуль) хазайлтын арифметик дундажийг илэрхийлнэ.

Мөрийтэй тоглоомын онол дахь математикийн хүлээлт

Математикийн хүлээлтМөрийтэй тоглогчийн өгөгдсөн бооцоонд хожих эсвэл алдах дундаж мөнгөний хэмжээ. Энэ нь тоглогчийн хувьд маш чухал ойлголт юм, учир нь энэ нь ихэнх тоглоомын нөхцөл байдлыг үнэлэхэд үндэс суурь болдог. Математикийн хүлээлт нь картын үндсэн загвар, тоглоомын нөхцөл байдалд дүн шинжилгээ хийх хамгийн оновчтой хэрэгсэл юм.

Та найзтайгаа зоосны тоглоом тоглож, юу гарч ирэхээс үл хамааран 1 доллартай тэнцэх бооцоо тавилаа гэж бодъё. Сүүл нь ялна гэсэн үг, толгой гэдэг нь ялагдана гэсэн үг. Магадлал нь нэгээс нэгээр өндөр байх тул та 1 доллараас 1 доллар хүртэл бооцоо тавина. Тиймээс таны математикийн хүлээлт тэг байна, учир нь Математик талаас нь харвал хоёр шидэлтийн дараа эсвэл 200-ын дараа тэргүүлэх үү, хожигдох уу гэдгээ мэдэхгүй.

Таны цагийн ашиг 0 байна. Цагийн ялалт гэдэг нь нэг цагийн дотор хожихыг хүлээж буй мөнгөний хэмжээ юм. Та нэг цагийн дотор 500 удаа зоос шидэж болох ч хожихгүй, хожигдохгүй, учир нь... таны боломж эерэг ч биш, сөрөг ч биш. Хэрэв та үүнийг харвал ноцтой тоглогчийн үүднээс энэ бооцооны систем муу биш юм. Гэхдээ энэ бол зүгээр л цаг гарз.

Гэхдээ хэн нэгэн ижил тоглоом дээр таны 1 доллартай 2 доллар бооцоо тавихыг хүсч байна гэж бодъё. Дараа нь та бооцоо бүрээс 50 центийн эерэг хүлээлттэй болно. Яагаад 50 цент гэж? Дунджаар та нэг бооцоо хожиж, хоёр дахь нь хожигддог. Эхний доллараар бооцоо тавьбал 1 доллар, хоёрт бооцоо тавиад 2 доллар хожих болно. Та 1 доллараар хоёр удаа бооцоо тавиад 1 доллараар илүү байна. Тэгэхээр таны нэг долларын бооцоо тус бүр 50 цент өгсөн.

Нэг цагийн дотор зоос 500 удаа гарч ирвэл таны нэг цагийн хожлын хэмжээ 250 доллар болно, учир нь... Дунджаар та нэг долларыг 250 удаа алдаж, хоёр долларыг 250 удаа хожсон. 500 доллараас 250 долларыг хасвал 250 доллартай тэнцэх бөгөөд энэ нь нийт ялалт юм. Бооцоо бүрт хожсон дундаж дүн болох хүлээгдэж буй үнэ цэнэ нь 50 цент гэдгийг анхаарна уу. Та нэг доллараар 500 удаа бооцоо тавьснаар 250 доллар хожсон нь мөрий бүрт 50 центтэй тэнцэнэ.

Математикийн хүлээлт нь богино хугацааны үр дүнтэй ямар ч холбоогүй юм. Таны эсрэг 2 доллараар бооцоо тавихаар шийдсэн өрсөлдөгч тань эхний арван удаа дараалан ялж магадгүй ч та 2-оос 1-ийн давуу талтай, бусад бүх зүйл тэнцүү байх тул 1 долларын бооцоо бүрээс 50 цент авах болно. нөхцөл байдал. Зардлаа эвтэйхэн нөхөх хэмжээний бэлэн мөнгөтэй л бол нэг бооцоо эсвэл хэд хэдэн бооцоо тавихдаа хожих, алдах эсэх нь хамаагүй. Хэрэв та ижил аргаар бооцоо тавьсаар байвал удаан хугацааны туршид таны ялалт ганцаарчилсан шидэлтийн хүлээлтийн нийлбэрт ойртох болно.

Та хамгийн сайн бооцоо тавих болгондоо (урт хугацаанд ашигтай байх бооцоо) магадлал таны талд гарсан үед та алдсан ч бай, үгүй ​​ч бай үүн дээр заавал ямар нэгэн зүйл хожих болно. гараа өгсөн. Эсрэгээр, хэрэв та магадлал таны эсрэг байх үед underdog бооцоо (урт хугацаанд ашиггүй мөрий) хийвэл та хожих эсвэл гараа алдахаас үл хамааран ямар нэгэн зүйл алдах болно.

Хэрэв таны хүлээлт эерэг байвал та хамгийн сайн үр дүнтэй бооцоо тавих бөгөөд магадлал таны талд байвал эерэг байна. Та хамгийн муу үр дүн бүхий бооцоо тавихдаа сөрөг хүлээлттэй байдаг бөгөөд энэ нь таны эсрэг байх үед тохиолддог. Ноцтой тоглогчид хамгийн муу зүйл тохиолдвол зөвхөн хамгийн сайн үр дүнд бооцоо тавьдаг; Магадлал таны талд юу гэсэн үг вэ? Эцсийн эцэст та бодит магадлалаас илүү ялалт байгуулж магадгүй юм. Буух толгойн бодит магадлал 1-ээс 1 байна, гэхдээ магадлалын харьцаанаас болж та 2-1-ийг авна. Энэ тохиолдолд магадлал таны талд байна. Бооцоо бүрт 50 цент эерэг хүлээлттэй байвал та хамгийн сайн үр дүнг авах нь гарцаагүй.

Математикийн хүлээлтийн илүү төвөгтэй жишээ энд байна. Найз нь нэгээс тав хүртэлх тоонуудыг бичээд, таны 1 доллартай 5 доллараар бооцоо тавьсан бөгөөд та энэ тоог таахгүй байх болно. Та ийм бооцоо тавихыг зөвшөөрөх ёстой юу? Энд ямар хүлээлт байна вэ?

Дунджаар та дөрвөн удаа буруудах болно. Үүн дээр үндэслэн та энэ тоог таамаглах магадлал 4: 1 байна. Нэг оролдлогоор нэг доллар алдах магадлал. Гэсэн хэдий ч та 5-1-ийн харьцаатай хожиж, 4-ээс 1-ээр хожигдох магадлалтай. Тиймээс магадлал таны талд байгаа тул та бооцоо тавьж, хамгийн сайн үр дүнд найдаж болно. Хэрэв та энэ бооцоог таван удаа хийвэл дунджаар дөрвөн удаа 1 доллар алдаж, нэг удаа 5 доллар хожих болно. Үүний үндсэн дээр та таван оролдлого хийхдээ нэг бооцооны 20 центийн эерэг математикийн хүлээлттэй 1 доллар олох болно.

Дээрх жишээн дээрх шиг мөрий тавихаасаа илүү хожно гэж бодож байгаа тоглогч азаа үзэж байна. Харин ч бооцоо тавихаасаа бага хожно гэж бодож байхдаа боломжоо үгүй ​​хийдэг. Бооцоо тавигч нь эерэг эсвэл сөрөг хүлээлттэй байж болох бөгөөд энэ нь хожсон эсэхээс хамаарна.

Хэрэв та 4-1 хожих магадлал бүхий 10 доллар хожихын тулд 50 доллар бооцоо тавьсан бол 2 долларын сөрөг хүлээлттэй болно. Дунджаар та дөрвөн удаа 10 доллар хожиж, нэг удаа 50 доллар алдах бөгөөд энэ нь нэг бооцооны алдагдал 10 доллар болно гэдгийг харуулж байна. Гэхдээ хэрэв та 10 доллар хожихын тулд 30 доллар бооцоо тавьсан бол 4: 1 хожих магадлал ижил байвал энэ тохиолдолд та 2 доллар эерэг хүлээлттэй байна. Та дахин дөрвөн удаа 10 доллар хожиж, нэг удаа 30 доллар алдаж, 10 долларын ашиг олох болно. Эдгээр жишээнүүд нь эхний бооцоо муу, хоёр дахь нь сайн гэдгийг харуулж байна.

Математикийн хүлээлт бол аливаа тоглоомын нөхцөл байдлын төв юм. Бооцооны газар хөлбөмбөг сонирхогчдыг 10 доллар хожихын тулд 11 доллараар бооцоо тавихыг уриалахад тэрээр 10 доллар тутамд 50 цент авна гэсэн эерэг хүлээлттэй байдаг. казино craps-д нэвтрүүлэх шугамаас ч мөнгө төлдөг бол, Дараа нь казино эерэг хүлээлт ойролцоогоор байх болно $1,40 тутамд $100, учир нь Энэ тоглоомыг энэ мөрөнд бооцоо тавьсан хүн дунджаар 50,7% алдаж, нийт хугацааны 49,3% хожихоор зохион байгуулагдсан. Дэлхий даяарх казиногийн эздэд асар их ашиг авчирдаг нь эргэлзээгүй энэ эерэг хүлээлт юм. Vegas World казиногийн эзэн Боб Ступак "хангалттай хол зайд нэг хувийн сөрөг магадлалын мянганы нэг нь дэлхийн хамгийн баян хүнийг сүйрүүлнэ" гэж тэмдэглэжээ.

Покер тоглохдоо хүлээлт

Покер тоглоом бол математикийн хүлээлтийн онол, шинж чанарыг ашиглах үүднээс хамгийн тод, тод жишээ юм.

Покер дахь хүлээгдэж буй үнэ цэнэ гэдэг нь ийм шийдвэрийг олон тоо, хол зайн онолын хүрээнд авч үзэх боломжтой тохиолдолд тодорхой шийдвэрийн дундаж ашиг юм. Амжилттай покер тоглоом бол эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнэ бүхий нүүдлийг үргэлж хүлээн авах явдал юм.

Покер тоглохдоо математикийн хүлээлтийн математик утга нь бид шийдвэр гаргахдаа санамсаргүй хэмжигдэхүүнтэй байнга тулгардаг (өрсөлдөгч нь түүний гарт ямар карт байгаа, дараагийн үе шатанд ямар картууд гарч ирэхийг бид мэдэхгүй). Хангалттай том түүврийн хувьд санамсаргүй хэмжигдэхүүний дундаж утга нь түүний математик хүлээлтэд чиглэнэ гэсэн том тооны онолын үүднээс бид шийдэл бүрийг авч үзэх ёстой.

Математикийн хүлээлтийг тооцоолох тодорхой томьёо дотроос покерт дараахь зүйл хамгийн тохиромжтой.

Покер тоглохдоо бооцоо болон дуудлагын аль алинд нь хүлээгдэж буй утгыг тооцоолж болно. Эхний тохиолдолд дахин өмчийг, хоёрдугаарт, банкны өөрийн магадлалыг харгалзан үзэх шаардлагатай. Тодорхой нүүдлийн математик хүлээлтийг үнэлэхдээ нугалахад үргэлж тэг хүлээлт байдгийг санах хэрэгтэй. Тиймээс картыг хаях нь аливаа сөрөг алхамаас илүү ашигтай шийдвэр байх болно.

Хүлээлт нь таны эрсдэлд орсон доллар бүрт юу хүлээж болохыг (ашиг, алдагдал) хэлж өгдөг. Казино мөнгө олдог, учир нь тэдгээрт тоглож буй бүх тоглоомын математикийн хүлээлт нь казиногийн талд байдаг. Хангалттай урт цуврал тоглоомуудын тусламжтайгаар та үйлчлүүлэгч мөнгөө алдах болно гэж найдаж болно, учир нь "боломж" нь казиногийн талд байна. Гэсэн хэдий ч мэргэжлийн казино тоглогчид тоглоомоо богино хугацаанд хязгаарладаг бөгөөд ингэснээр тэдний магадлалыг нэмэгдүүлдэг. Хөрөнгө оруулалтын хувьд ч мөн адил. Хэрэв таны хүлээлт эерэг байвал богино хугацаанд олон арилжаа хийснээр илүү их мөнгө олох боломжтой. Хүлээлт гэдэг нь таны хожилд ногдох ашгийн хувийг дундаж ашигт үржүүлж, алдах магадлалыг дундаж алдагдалд үржүүлсэнийг хассан дүн юм.

Покерыг мөн математикийн хүлээлтийн үүднээс авч үзэж болно. Та тодорхой нүүдэл нь ашигтай гэж таамаглаж болох ч зарим тохиолдолд өөр нэг алхам илүү ашигтай байдаг тул энэ нь хамгийн сайн биш байж болно. Та таван картын сугалаатай покерт бүтэн байр эзэлсэн гэж бодъё. Өрсөлдөгч чинь бооцоо тавьдаг. Хэрэв та бооцоо нэмбэл тэр хариулах болно гэдгийг та мэднэ. Тиймээс өсгөх нь хамгийн зөв тактик юм шиг санагддаг. Гэхдээ хэрэв та бооцоогоо өсгөх юм бол үлдсэн хоёр тоглогч заавал нугалах болно. Харин залгавал ард байгаа хоёр тоглогч ч мөн адил хийнэ гэдэгт бүрэн итгэлтэй байна. Бооцоогоо өсгөхөд нэг нэгж, зүгээр л залгахад хоёр оноо авна. Тиймээс дуудлага нь танд илүү өндөр эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг өгөх бөгөөд хамгийн сайн тактик байх болно.

Математикийн хүлээлт нь покерын аль тактик нь ашиг багатай, аль нь илүү ашигтай болохыг ойлгох боломжийг олгодог. Жишээлбэл, хэрэв та тодорхой гар тоглоод таны алдагдал дунджаар 75 цент болно гэж бодож байгаа бол энэ гарыг тоглох хэрэгтэй. Энэ нь $1 байх үед нугалахаас илүү дээр юм.

Хүлээгдэж буй үнэ цэнийн тухай ойлголтыг ойлгох бас нэг чухал шалтгаан нь энэ нь танд бооцоо хожсон эсэхээс үл хамааран сэтгэлийн амар амгаланг өгдөг: хэрэв та сайн бооцоо тавьсан эсвэл зөв цагтаа бооцоо тавьсан бол та хожсон эсвэл хожсон гэдгээ мэдэх болно. сул тоглогч хэмнэж чадаагүй тодорхой хэмжээний мөнгийг хэмнэсэн. Өрсөлдөгч тань илүү хүчтэй гар татсан учраас сэтгэл дундуур байвал нугалахад хамаагүй хэцүү. Энэ бүхний хажуугаар бооцоо тавихын оронд тоглохгүй хэмнэсэн мөнгө таны хонжвор эсвэл сарын хожлын дээр нэмэгддэг.

Хэрэв та гараа сольсон бол өрсөлдөгч тань таныг дуудах байсан гэдгийг санаарай, энэ нь Покерын үндсэн теоремын өгүүллээс үзэх болно, энэ нь таны давуу талуудын нэг юм. Ийм зүйл тохиолдоход та баяртай байх ёстой. Таны байрлалд байгаа бусад тоглогчид илүү их зүйл алдах байсан гэдгийг мэдэж байгаа тул та гараа алдахаас таашаал авч сурах боломжтой.

Зоосны тоглоомын жишээн дээр дурдсанчлан, цагийн ашгийн хэмжээ нь математикийн хүлээлттэй харилцан хамааралтай бөгөөд энэ ойлголт нь мэргэжлийн тоглогчдод онцгой ач холбогдолтой юм. Та покер тоглохоор явахдаа нэг цаг тоглоход хэр их хожих боломжтойг оюун ухаанаараа тооцоолох хэрэгтэй. Ихэнх тохиолдолд та зөн совин, туршлагадаа найдах хэрэгтэй болно, гэхдээ та зарим математикийг ашиглаж болно. Жишээлбэл, та Draw Lowball тоглож байгаа бөгөөд гурван тоглогч 10 доллараар бооцоо тавьж, дараа нь хоёр хөзрөө солилцохыг харсан бөгөөд энэ нь маш муу тактик юм. Тэд 10 доллар бооцоо тавих бүрт ойролцоогоор 2 доллар алддаг болохыг та ойлгож болно. Тэд тус бүр үүнийг цагт найман удаа хийдэг бөгөөд энэ нь гурвуулаа цагт ойролцоогоор 48 доллар алддаг гэсэн үг юм. Та үлдсэн дөрвөн тоглогчийн нэг нь ойролцоогоор тэнцүү байгаа тул эдгээр дөрвөн тоглогч (мөн та тэдний дунд) 48 долларыг хуваах ёстой бөгөөд тус бүр цагт 12 долларын ашиг олдог. Энэ тохиолдолд таны нэг цагийн магадлал нь нэг цагийн дотор гурван муу тоглогчийн алдсан мөнгөний хэмжээтэй тэнцүү байна.

Удаан хугацааны туршид тоглогчийн нийт ялалт нь хувь хүний ​​гарт байгаа математикийн хүлээлтийн нийлбэр юм. Хэдий чинээ эерэг хүлээлттэй гар тоглоно төдий чинээ хожно, харин эсрэгээрээ сөрөг хүлээлттэй тоглох тусам алдах болно. Үүний үр дүнд та эерэг хүлээлтийг нэмэгдүүлэх эсвэл сөрөг хүлээлтийг үгүйсгэх тоглоомыг сонгох хэрэгтэй бөгөөд ингэснээр та цагийн хожлыг нэмэгдүүлэх боломжтой болно.

Тоглоомын стратеги дахь эерэг математикийн хүлээлт

Хэрэв та карт тоолохыг мэддэг бол тэд анзаарч, чамайг хаяхгүй бол та казинод давуу талтай байж болно. Казино нь согтуу тоглогчдод дуртай бөгөөд тоглогчдыг картаар тоолохыг тэвчихгүй. Давуу тал нь цаг хугацааны явцад хожигдсоноосоо олон удаа хожих боломжийг танд олгоно. Хүлээгдэж буй үнэ цэнийн тооцоог ашиглан мөнгөний сайн менежмент нь таны зах зээлээс илүү их ашиг олж, алдагдлаа бууруулахад тусална. Давуу тал байхгүй бол та буяны ажилд мөнгө өгсөн нь дээр. Хөрөнгийн бирж дээрх тоглоомонд давуу тал нь тоглоомын системээр өгөгддөг бөгөөд энэ нь алдагдал, үнийн зөрүү, шимтгэлээс илүү их ашиг бий болгодог. Ямар ч мөнгөний менежмент муу тоглоомын системийг аварч чадахгүй.

Эерэг хүлээлт нь тэгээс их утгаар тодорхойлогддог. Энэ тоо их байх тусам статистикийн хүлээлт илүү хүчтэй болно. Хэрэв утга нь тэгээс бага бол математикийн хүлээлт мөн сөрөг байх болно. Сөрөг утгын модуль том байх тусам нөхцөл байдал улам дордох болно. Хэрэв үр дүн нь тэг бол хүлээлт нь алдагдал хүлээдэг. Та математикийн эерэг хүлээлт, боломжийн тоглоомын системтэй байж л ялах боломжтой. Зөн совингоор тоглох нь сүйрэлд хүргэдэг.

Математикийн хүлээлт ба хувьцааны арилжаа

Математик хүлээлт нь санхүүгийн зах зээл дээр биржийн арилжаа хийх үед нэлээд өргөн хэрэглэгддэг, түгээмэл статистик үзүүлэлт юм. Юуны өмнө энэ параметрийг арилжааны амжилтыг шинжлэхэд ашигладаг. Энэ үнэ цэнэ өндөр байх тусам судалж буй худалдаа амжилттай болсон гэж үзэх шалтгаан олон байгааг таахад хэцүү биш юм. Мэдээжийн хэрэг, худалдаачны ажилд дүн шинжилгээ хийх нь зөвхөн энэ параметрийг ашиглан хийх боломжгүй юм. Гэсэн хэдий ч тооцоолсон үнэ цэнэ нь ажлын чанарыг үнэлэх бусад аргуудтай хослуулан шинжилгээний нарийвчлалыг ихээхэн нэмэгдүүлэх боломжтой.

Математикийн хүлээлтийг ихэвчлэн арилжааны дансны мониторингийн үйлчилгээнд тооцдог бөгөөд энэ нь хадгаламж дээр хийгдсэн ажлыг хурдан үнэлэх боломжийг олгодог. Үл хамаарах зүйлд ашиггүй арилжааг "сууж" ашигладаг стратеги орно. Худалдаачин хэсэг хугацаанд азтай байж магадгүй тул түүний ажилд ямар ч алдагдал гарахгүй байж магадгүй юм. Энэ тохиолдолд зөвхөн математикийн хүлээлтийг удирдан чиглүүлэх боломжгүй, учир нь ажилд ашигласан эрсдлийг тооцохгүй.

Зах зээлийн арилжаанд математикийн хүлээлтийг аливаа арилжааны стратегийн ашиг орлогыг урьдчилан таамаглах эсвэл өмнөх арилжааны статистик мэдээлэлд үндэслэн арилжаачны орлогыг урьдчилан таамаглахад ихэвчлэн ашигладаг.

Мөнгөний менежментийн хувьд сөрөг хүлээлттэй арилжаа хийхдээ өндөр ашиг авчрах мөнгөний менежментийн схем байдаггүй гэдгийг ойлгох нь маш чухал юм. Хэрэв та эдгээр нөхцлөөр хөрөнгийн зах зээл дээр үргэлжлүүлэн тоглох юм бол та мөнгөө хэрхэн удирдаж байгаагаас үл хамааран эхлээд хичнээн том байсан ч дансаа бүхэлд нь алдах болно.

Энэ аксиом нь зөвхөн сөрөг хүлээлттэй тоглоом эсвэл арилжааны хувьд ч мөн адил боломж бүхий тоглоомуудын хувьд ч үнэн юм. Тиймээс, та эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнтэй арилжаа хийвэл урт хугацаанд ашиг олох боломжтой болно.

Сөрөг хүлээлт, эерэг хүлээлт хоёрын ялгаа нь амьдрал ба үхлийн ялгаа юм. Хүлээлт хэр эерэг эсвэл сөрөг байх нь хамаагүй; Энэ нь эерэг эсвэл сөрөг байх нь чухал. Тиймээс, мөнгөний менежментийг авч үзэхээсээ өмнө эерэг хүлээлттэй тоглоом олох хэрэгтэй.

Хэрэв танд ийм тоглоом байхгүй бол дэлхийн бүх мөнгөний менежмент таныг аврахгүй. Нөгөөтэйгүүр, хэрэв танд эерэг хүлээлт байгаа бол та мөнгөний зөв менежментээр үүнийг экспоненциал өсөлтийн функц болгон хувиргаж чадна. Эерэг хүлээлт хэр бага байх нь хамаагүй! Өөрөөр хэлбэл, нэг гэрээнд суурилсан арилжааны систем хэр ашигтай байх нь хамаагүй. Хэрэв та нэг арилжаанаас 10 доллар хождог системтэй бол (комисс болон гулсалтын дараа) нэг арилжаанд дунджаар 1000 доллар авдаг системээс (комисс болон гулсалтын дараа) илүү ашигтай болгохын тулд мөнгөний менежментийн арга техникийг ашиглаж болно.

Гол нь тухайн систем хэр ашигтай байсан нь чухал биш, харин систем нь ирээдүйд хамгийн бага ашиг үзүүлэх эсэх нь чухал юм. Тиймээс худалдаачин хүний ​​хийж чадах хамгийн чухал бэлтгэл бол систем ирээдүйд эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг харуулах явдал юм.

Ирээдүйд хүлээгдэж буй эерэг утгатай байхын тулд системийн эрх чөлөөний зэрэглэлийг хязгаарлахгүй байх нь маш чухал юм. Энэ нь зөвхөн оновчтой болгох параметрүүдийн тоог хасах эсвэл багасгах замаар төдийгүй системийн дүрмийг аль болох багасгах замаар хийгддэг. Таны нэмсэн параметр бүр, хийсэн дүрэм бүр, системд хийсэн жижиг өөрчлөлтүүд эрх чөлөөний зэрэглэлийн тоог бууруулдаг. Хамгийн тохиромжтой нь та бараг бүх зах зээл дээр бага хэмжээний ашиг олох боломжтой энгийн бөгөөд энгийн системийг бий болгох хэрэгтэй. Дахин хэлэхэд, систем нь ашигтай л бол хичнээн ашигтай байх нь хамаагүй гэдгийг ойлгох нь чухал юм. Арилжаагаар олсон мөнгийг үр дүнтэй мөнгөний менежментээр дамжуулан олох болно.

Арилжааны систем нь зүгээр л танд эерэг хүлээгдэж буй үнэ цэнийг өгдөг хэрэгсэл бөгөөд ингэснээр та мөнгөний менежментийг ашиглах боломжтой болно. Зөвхөн нэг юм уу хэд хэдэн зах зээл дээр ажилладаг (хамгийн бага ашгийг харуулдаг) эсвэл өөр өөр зах зээлд өөр өөр дүрэм, параметртэй системүүд бодит цаг хугацаанд ажиллахгүй байх магадлалтай. Техникийн чиг баримжаатай ихэнх худалдаачдын асуудал бол арилжааны системийн янз бүрийн дүрэм, параметрийн утгыг оновчтой болгохын тулд хэт их цаг хугацаа, хүчин чармайлт гаргадаг явдал юм. Энэ нь огт эсрэг үр дүнг өгдөг. Арилжааны системийн ашгийг нэмэгдүүлэхийн тулд эрчим хүч, компьютерийн цагийг дэмий үрэхийн оронд хамгийн бага ашиг олох найдвартай байдлын түвшинг нэмэгдүүлэхэд эрч хүчээ чиглүүл.

Мөнгөний менежмент бол эерэг хүлээлтийг ашиглахыг шаарддаг зүгээр л тооны тоглоом гэдгийг мэдээд худалдаачин хувьцааны арилжааны "ариун буржгар" хайхаа зогсоож чадна. Үүний оронд тэрээр арилжааны аргаа туршиж эхэлж, энэ арга нь хэр логиктой, эерэг хүлээлт үүсгэж байгаа эсэхийг олж мэдэх боломжтой. Аливаа, тэр ч байтугай маш дунд зэргийн арилжааны аргуудад хэрэглэгддэг мөнгөний менежментийн зөв аргууд нь бусад ажлыг өөрсдөө хийх болно.

Аливаа худалдаачин ажилдаа амжилтанд хүрэхийн тулд хамгийн чухал гурван ажлыг шийдэх хэрэгтэй: . Амжилттай хийгдсэн гүйлгээний тоо зайлшгүй алдаа, буруу тооцооллоос давсан эсэхийг баталгаажуулах; Та аль болох олон удаа мөнгө олох боломжтой байхаар арилжааны системээ тохируулаарай; Үйл ажиллагаанаасаа тогтвортой эерэг үр дүнд хүр.

Энд ажиллаж буй худалдаачдын хувьд математикийн хүлээлт маш их тус болж чадна. Энэ нэр томъёо нь магадлалын онолын гол нэр томъёоны нэг юм. Түүний тусламжтайгаар та санамсаргүй утгын дундаж тооцоог өгч болно. Хэрэв та бүх боломжит магадлалыг өөр өөр масстай цэгүүд гэж төсөөлвөл санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт хүндийн төвтэй төстэй байна.

Арилжааны стратегитай холбоотойгоор түүний үр ашгийг үнэлэхийн тулд ашиг (эсвэл алдагдал) -ын математик хүлээлтийг ихэвчлэн ашигладаг. Энэ параметр нь ашиг, алдагдлын өгөгдсөн түвшний бүтээгдэхүүний нийлбэр ба тэдгээрийн үүсэх магадлалаар тодорхойлогддог. Жишээлбэл, боловсруулсан худалдааны стратеги нь бүх гүйлгээний 37% нь ашиг авчрах бөгөөд үлдсэн хэсэг нь буюу 63% нь ашиггүй байх болно гэж үздэг. Үүний зэрэгцээ амжилттай гүйлгээний дундаж орлого 7 доллар, алдагдал нь 1.4 доллар байх болно. Энэхүү системийг ашиглан арилжаа хийх математикийн хүлээлтийг тооцоолъё.

Энэ тоо юу гэсэн үг вэ? Энэ системийн дүрмийн дагуу бид хаагдсан гүйлгээ бүрээс дунджаар 1708 доллар авна гэж хэлсэн. Үр ашгийн үнэлгээ нь тэгээс их байдаг тул ийм системийг бодит ажилд ашиглаж болно. Хэрэв тооцооллын үр дүнд математикийн хүлээлт сөрөг болж хувирвал энэ нь аль хэдийн дундаж алдагдлыг илтгэж байгаа бөгөөд ийм арилжаа нь сүйрэлд хүргэнэ.

Гүйлгээнд ногдох ашгийн хэмжээг мөн % хэлбэрээр харьцангуй утгаар илэрхийлж болно. Жишээ нь:

– 1 гүйлгээнд ногдох орлогын хувь - 5%;

– амжилттай арилжааны үйл ажиллагааны хувь - 62%;

– 1 гүйлгээнд ногдох алдагдлын хувь - 3%;

– амжилтгүй болсон гүйлгээний хувь - 38%;

Энэ нь дундаж арилжаа 1.96% авчрах болно.

Ашиггүй арилжаа давамгайлж байгаа ч MO>0 байх тул эерэг үр дүнд хүрэх тогтолцоог хөгжүүлэх боломжтой.

Гэсэн хэдий ч ганцаараа хүлээх нь хангалтгүй юм. Хэрэв систем маш цөөн арилжааны дохио өгдөг бол мөнгө олоход хэцүү байдаг. Энэ тохиолдолд түүний ашиг нь банкны хүүтэй харьцуулах болно. Үйл ажиллагаа бүр дунджаар ердөө 0.5 долларын ашиг гаргая, гэхдээ системд жилд 1000 үйл ажиллагаа хамрагдвал яах вэ? Энэ нь харьцангуй богино хугацаанд маш их хэмжээний мөнгө байх болно. Эндээс логикийн хувьд сайн арилжааны системийн өөр нэг онцлог шинж чанар нь албан тушаал хаших богино хугацаа гэж үзэж болно.

Эх сурвалж ба холбоосууд

dic.academic.ru – академик онлайн толь бичиг

mathematics.ru - математикийн боловсролын вэбсайт

nsu.ru - Новосибирскийн улсын их сургуулийн боловсролын вэбсайт

webmath.ru бол оюутнууд, өргөдөл гаргагч, сургуулийн сурагчдад зориулсан боловсролын портал юм.

exponenta.ru боловсролын математикийн вэбсайт

ru.tradimo.com - үнэгүй онлайн худалдааны сургууль

crypto.hut2.ru - олон талт мэдээллийн нөөц

poker-wiki.ru - покерын үнэгүй нэвтэрхий толь бичиг

sernam.ru - Байгалийн шинжлэх ухааны сонгомол нийтлэлүүдийн шинжлэх ухааны номын сан

reshim.su – вэб сайт БИД тестийн хичээлийн асуудлыг ШИЙДНЭ

unfx.ru – UNFX дээрх Forex: сургалт, арилжааны дохио, итгэлцлийн менежмент

slovopedia.com - Том нэвтэрхий толь бичиг Slovopedia

pokermansion.3dn.ru - Покерын ертөнц дэх таны хөтөч

statanaliz.info - "Статистикийн мэдээллийн дүн шинжилгээ" мэдээллийн блог

forex-trader.rf – Forex-Trader портал

megafx.ru - одоогийн Forex аналитик

fx-by.com - худалдаачинд зориулсан бүх зүйл