Матрицын зэрэглэлийн тухай ойлголттой ажиллахын тулд "Алгебрийн нэмэлтүүд ба багачууд. Бага ба алгебрийн нэмэлтүүдийн төрлүүд" сэдвээр мэдээлэл хэрэгтэй болно. Юуны өмнө энэ нь "минор матриц" гэсэн нэр томъёонд хамаатай, учир нь бид насанд хүрээгүй хүүхдүүдээр дамжуулан матрицын зэрэглэлийг нарийн тодорхойлох болно.
Матрицын зэрэглэлнь түүний насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд дараалал бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байна.
Эквивалент матрицууд- зэрэглэлүүд нь хоорондоо тэнцүү матрицууд.
Илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая. Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг нь тэгээс ялгаатай гэж бодъё. Хоёроос дээш дараалалтай бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Дүгнэлт: матрицын зэрэглэл нь 2 эсвэл жишээлбэл, арав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд 0-тэй тэнцүү биш нэг нь байдаг. Мөн дараалал нь 10-аас дээш насны бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Дүгнэлт: матрицын зэрэглэл нь 10 байна.
$A$ матрицын зэрэглэлийг дараах байдлаар тэмдэглэв: $\rang A$ эсвэл $r(A)$. $O$ тэг матрицын зэрэглэлийг тэг, $\rang O=0$ гэж үзнэ. Минор матриц үүсгэхийн тулд мөр, баганыг хасах хэрэгтэй, гэхдээ матрицад агуулагдахаас илүү мөр, баганыг таслах боломжгүй гэдгийг танд сануулъя. Жишээлбэл, $F$ матриц нь $5\ дахин 4$ хэмжээтэй (өөрөөр хэлбэл 5 мөр, 4 багана агуулсан) байвал түүний насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд дараалал дөрөв байна. Тав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бүрдүүлэх боломжгүй болно, учир нь тэдэнд 5 багана шаардлагатай болно (мөн бидэнд ердөө 4). Энэ нь $F$ матрицын зэрэглэл дөрвөөс илүү байж болохгүй гэсэн үг, өөрөөр хэлбэл. $\rang F≤4$.
Илүү ерөнхий хэлбэрээр, дээр дурдсан нь хэрэв матриц нь $m$ мөр, $n$ багана агуулсан байвал түүний зэрэглэл $m$ ба $n$-ын хамгийн багаас хэтэрч болохгүй, өөрөөр хэлбэл. $\rang A≤\min(m,n)$.
Зарчмын хувьд зэрэглэлийг тодорхойлохоос эхлээд түүнийг олох аргыг баримталдаг. Матрицын зэрэглэлийг олох үйл явцыг бүдүүвчээр дараах байдлаар дүрсэлж болно.
Энэ диаграммыг илүү дэлгэрэнгүй тайлбарлая. Анхнаасаа үндэслэлээ эхэлцгээе, өөрөөр хэлбэл. $A$ матрицын эхний эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсээс.
- Хэрэв бүх нэгдүгээр эрэмбийн багачууд (өөрөөр хэлбэл $A$ матрицын элементүүд) тэгтэй тэнцүү бол $\rang A=0$ байна. Хэрэв нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байвал $\rang A≥ 1$ болно. Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.
- Хоёрдугаар зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү бол $\rang A=1$ болно. Хэрэв хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байвал $\rang A≥ 2$ болно. Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.
- Гуравдугаар зэрэглэлийн бүх багачууд тэгтэй тэнцүү бол $\rang A=2$. Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд 0-тэй тэнцүү биш ядаж нэг байгаа бол $\rang A≥ 3$ байна. Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.
- Дөрөвдүгээр эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд бүгд тэгтэй тэнцүү бол $\rang A=3$. Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байвал $\rang A≥ 4$ байна. Бид тавдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах гэх мэтээр явж байна.
Энэ процедурын төгсгөлд биднийг юу хүлээж байна вэ? K-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд 0-ээс ялгаатай нь ядаж нэг байх ба бүх (k+1) зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байх боломжтой. Энэ нь k нь насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд дараалал гэсэн үг бөгөөд тэдгээрийн дотор дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш, өөрөөр хэлбэл. зэрэглэл нь k-тэй тэнцүү байх болно. Нөхцөл байдал өөр байж болно: k-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд 0-тэй тэнцүү биш дор хаяж нэг байх болно, гэхдээ (k+1) насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үүсгэх боломжгүй болно. Энэ тохиолдолд матрицын зэрэглэл нь k-тэй тэнцүү байна. Товчхондоо, Сүүлчийн бүрдүүлсэн тэгээс бусад минорын дараалал нь матрицын зэрэгтэй тэнцүү байна.
Тодорхойлолтоор матрицын зэрэглэлийг олох үйл явцыг тодорхой харуулсан жишээнүүд рүү шилжье. Энэ сэдвийн жишээн дээр бид зөвхөн зэрэглэлийн тодорхойлолтыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олох болно гэдгийг дахин нэг удаа онцолж хэлье. Бусад аргууд (насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг тооцоолох, элементар хувиргалтын аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг тооцоолох) дараах сэдвүүдэд авч үзнэ.
Дашрамд хэлэхэд, №1, 2-р жишээн дээр хийсэн шиг хамгийн бага зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдтэй зэрэглэл тогтоох журмыг эхлүүлэх шаардлагагүй. Та дээд зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд рүү нэн даруй шилжиж болно (3-р жишээг үзнэ үү).
Жишээ №1
$A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 матрицын зэрэглэлийг ол. & 0 & 1 \end(массив) \right)$.
Энэ матриц нь $3\ дахин 5$ хэмжээтэй, өөрөөр хэлбэл. гурван мөр, таван багана агуулсан. 3 ба 5 тоонуудын хамгийн бага нь 3, тиймээс $A$ матрицын зэрэглэл нь 3-аас ихгүй байна, өөрөөр хэлбэл. $\rang A≤ 3$. Энэ тэгш бус байдал нь ойлгомжтой, учир нь бид дөрөв дэх эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үүсгэх боломжгүй болно - тэдэнд 4 мөр шаардлагатай, бидэнд ердөө 3 байна. Өгөгдсөн матрицын зэрэглэлийг олох процесс руу шууд шилжье.
Эхний эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд (өөрөөр хэлбэл $A$ матрицын элементүүд) тэгээс ялгаатай байдаг. Жишээлбэл, 5, -3, 2, 7. Ерөнхийдөө бид тэгээс бусад элементийн нийт тоог сонирхдоггүй. Наад зах нь нэг тэгээс өөр элемент байдаг - энэ нь хангалттай. Нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг тул бид $\rang A≥ 1$ гэж дүгнэж, хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгана.
Хоёрдахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг судалж эхэлцгээе. Жишээлбэл, 1, 2-р мөр ба 1, 4-р баганын огтлолцол дээр дараах минорын элементүүд байна: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(массив) \баруун|. Энэ тодорхойлогчийн хувьд хоёр дахь баганын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү тул тодорхойлогч өөрөө тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (тодорхойлогчдын шинж чанарын сэдвээр 3-р өмчийг үзнэ үү). Эсвэл хоёр ба гуравдугаар эрэмбийн тодорхойлогчийг тооцоолох хэсгийн 1-р томьёог ашиглан энэ тодорхойлогчийг зүгээр л тооцоолж болно.
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(массив) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$
Бидний туршсан эхний хоёрдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхэд тэгтэй тэнцсэн. Энэ юу гэсэн үг вэ? Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдийг цаашид шалгах шаардлагатай байгаа тухай. Тэд бүгд тэг болж хувирна (дараа нь зэрэглэл нь 1-тэй тэнцүү байх болно), эсвэл тэдний дунд тэгээс ялгаатай дор хаяж нэг насанд хүрээгүй хүүхэд байх болно. Элементүүд нь 1, 2-р мөр, 1, 5-р баганын огтлолцол дээр байрлах хоёр дахь эрэмбийн минорыг бичиж илүү сайн сонголт хийхийг хичээцгээе: $\left|\begin( массив)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(массив) \right|$. Энэ хоёр дахь эрэмбийн минорын утгыг олъё:
$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$
Энэ бага нь тэгтэй тэнцүү биш юм. Дүгнэлт: 2-р зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс ялгаатай байдаг. Тиймээс $\rang A≥ 2$. Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг судлахад шилжих хэрэгтэй.
Хэрэв бид гуравдахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бүрдүүлэхийн тулд 2-р багана эсвэл 4-р баганыг сонговол ийм насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байх болно (тэг багана агуулсан тул). Зөвхөн 1, 3, 5 дугаар багана, 1, 2, 3 дугаар эгнээний огтлолцол дээр байрлах элементүүд нь гуравдагч эрэмбийн нэг жижиг хэсгийг шалгахад л үлддэг. Энэ минорыг бичээд үнэ цэнийг нь олъё:
$$ \left|\begin(array)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(массив) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$
Тиймээс гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Бидний эмхэтгэсэн хамгийн сүүлчийн минор нь хоёрдугаар зэрэглэлийнх байв. Дүгнэлт: Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн дээд эрэмбэ нь 2. Тиймээс $\rang A=2$ байна.
Хариулах: $\rang A=2$.
Жишээ №2
$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 матрицын зэрэглэлийг ол. \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(массив) \баруун)$.
Бид дөрөв дэх эрэмбийн квадрат матрицтай. Энэ матрицын зэрэглэл 4-өөс хэтрэхгүй гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. $\rang A≤ 4$. Матрицын зэрэглэлийг хайж эхэлцгээе.
Нэгдүгээр эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийн дунд (өөрөөр хэлбэл $A$ матрицын элементүүдийн дунд) дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байдаг тул $\rang A≥ 1$ байна. Хоёрдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье. Жишээлбэл, 2, 3 дугаар мөр, 1, 2 дугаар баганын огтлолцол дээр бид дараах хоёр дахь эрэмбийн минорыг авна: $\left| \begin(массив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(массив) \right|$. Үүнийг тооцоод үзье:
$$\ зүүн| \begin(массив) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(массив) \right|=0-10=-10. $$
Хоёрдахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү биш байдаг тул $\rang A≥ 2$ байна.
Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд рүү шилжье. Жишээлбэл, элементүүд нь 1, 3, 4, 4, 1, 2, 4-р баганын огтлолцол дээр байрладаг минорыг олцгооё.
$$\ үлдсэн | \begin(массив) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(массив) \right|=105-105=0. $$
Энэ гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэд тэгтэй тэнцсэн тул өөр гуравдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхдийг шалгах шаардлагатай байна. Нэг бол бүгд тэгтэй тэнцүү байх болно (дараа нь зэрэглэл нь 2-той тэнцүү байх болно), эсвэл тэдний дунд дор хаяж нэг тэгтэй тэнцүү биш байх болно (дараа нь бид дөрөв дэх зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг судалж эхэлнэ). Гурав дахь эрэмбийн минорыг авч үзье, түүний элементүүд нь 2, 3, 4, 4, 2, 3, 4-р баганын огтлолцол дээр байрладаг.
$$\ зүүн| \begin(массив) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(массив) \right|=-28. $$
Гуравдугаар зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд дор хаяж нэг тэгээс өөр байдаг тул $\rang A≥ 3$ байна. Дөрөвдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг шалгах ажлыг үргэлжлүүлье.
Аливаа дөрөв дэх эрэмбийн минор нь $A$ матрицын дөрвөн мөр, дөрвөн баганын огтлолцол дээр байрлана. Өөрөөр хэлбэл, энэ матриц нь 4 мөр, 4 баганатай тул дөрөвдүгээр эрэмбийн минор нь $A$ матрицын тодорхойлогч юм. Энэ матрицын тодорхойлогчийг “Тодорхойлогчийн дарааллыг багасгах нь” сэдвийн 2-р жишээнд тооцсон тул эцсийн үр дүнг авч үзье.
$$\ зүүн| \эхлэх(массив) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \төгсгөл (массив)\баруун|=86. $$
Тэгэхээр дөрөв дэх эрэмбийн минор нь тэгтэй тэнцүү биш байна. Бид тав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бүрдүүлж чадахгүй. Дүгнэлт: Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн дээд эрэмбэ нь 4. Үр дүн: $\rang A=4$.
Хариулах: $\rang A=4$.
Жишээ №3
$A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 матрицын зэрэглэлийг ол. \end( массив) \right)$.
Энэ матриц нь 3 мөр, 4 баганатай тул $\rang A≤ 3$ гэдгийг нэн даруй тэмдэглэе. Өмнөх жишээнүүдэд бид хамгийн бага (эхний) эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзэх замаар зэрэглэлийг олох үйл явцыг эхлүүлсэн. Энд бид хамгийн дээд зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг нэн даруй шалгахыг хичээх болно. $A$ матрицын хувьд эдгээр нь гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд юм. Гурав дахь эрэмбийн минорыг авч үзье, түүний элементүүд нь 1, 2, 3, 3-р эгнээ, 2, 3, 4-р баганын огтлолцол дээр байрладаг.
$$\ зүүн| \begin(массив) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(массив) \right|=-8-60-20=-88. $$
Тиймээс, насанд хүрээгүй хүмүүсийн хамгийн дээд эрэмбэ нь 0-тэй тэнцүү биш дор хаяж нэг нь 3 байна. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь 3, өөрөөр хэлбэл. $\rang A=3$.
Хариулах: $\rang A=3$.
Ерөнхийдөө матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор нь олох нь ерөнхийдөө нэлээд хөдөлмөр их шаарддаг ажил юм. Жишээ нь: $5\times 4$ хэмжээтэй харьцангуй жижиг матрицад 60 хоёрдугаар эрэмбийн насанд хүрээгүй. Тэдний 59 нь тэгтэй тэнцүү байсан ч 60 дахь бага нь тэг биш болж хувирч магадгүй юм. Дараа нь та гуравдахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг судлах хэрэгтэй бөгөөд үүнээс энэ матриц нь 40 ширхэгтэй. Ихэнхдээ тэд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх, түүнтэй адилтгах арга гэх мэт чирэгдэл багатай аргуудыг ашиглахыг хичээдэг.
Өмнө нь квадрат матрицын хувьд 
р тушаал насанд хүрээгүй гэсэн ойлголтыг нэвтрүүлсэн 
элемент 
. Энэ нь эрэмбийн тодорхойлогчийг ингэж нэрлэсэн гэдгийг эргэн санацгаая 
, тодорхойлогчоос авсан 
хасах замаар 
р мөр ба 
р багана.
Одоо минорын ерөнхий ойлголтыг танилцуулъя. Заримыг нь авч үзье заавал дөрвөлжин бишматриц 
. Заримыг нь сонгоцгооё 
мөрийн дугаарууд 
Тэгээд 
баганын дугаар 
.
Тодорхойлолт.
Бага зэргийн захиалга 
матрицууд 
(сонгосон мөр, баганад харгалзах) -ийг эрэмбийн тодорхойлогч гэж нэрлэдэг 
, сонгосон мөр, баганын уулзвар дээрх элементүүдээр үүсгэгдсэн, i.e. тоо
.
Матриц бүр өгөгдсөн эрэмбийн олон тооны багасчуудыг агуулна 
, та мөрийн дугаарыг хэдэн аргаар сонгох боломжтой 
ба баганууд 
.
Тодорхойлолт. Матрицад 
хэмжээ 
жижиг захиалга 
дуудсан үндсэн, хэрэв энэ нь тэг биш бөгөөд бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд эмх цэгцтэй байвал 
тэг эсвэл бага зэрэгтэй тэнцүү 
матриц дээр 
огтхон ч биш.
Матриц нь хэд хэдэн өөр үндсэн насанд хүрээгүй хүмүүстэй байж болох нь ойлгомжтой боловч бүх суурь насанд хүрээгүй хүмүүс ижил дараалалтай байна. Үнэхээр насанд хүрээгүй бүх хүүхдүүд эмх цэгцтэй байвал 
тэгтэй тэнцүү бол дарааллын бүх багачууд тэгтэй тэнцүү байна 
, улмаар бүх дээд тушаалууд.
Тодорхойлолт. Матрицын зэрэглэлСуурийн минорын дарааллыг өөрөөр хэлбэл, тэгээс бусад насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн хамгийн том дарааллаар нэрлэдэг. Хэрэв матрицын бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол ийм матрицын зэрэглэлийг тодорхойлолтоор тэг гэж үзнэ.
Матрицын зэрэглэл 
бид тэмдгээр тэмдэглэх болно 
. Зэрэглэлийн тодорхойлолтоос харахад матрицын хувьд ийм байна 
хэмжээ 
харьцаа зөв байна.
Матрицын зэрэглэлийг тооцоолох хоёр арга
A) Бага зэрэг хиллэх арга
Матрицаас насанд хүрээгүй хүнийг олоорой 
-р дараалал, тэгээс ялгаатай. Зөвхөн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг л авч үзье 
-насанд хүрээгүй хүнийг (ирмэг) агуулсан th зэрэглэл 
: хэрэв тэдгээр нь бүгд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нь байна 
. Тэгэхгүй бол хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн дунд 0 биш насанд хүрээгүй хүүхэд байдаг 
-р дараалал, бүх процедур давтагдана.
Жишээ 9
. Матрицын зэрэглэлийг ол 
насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргаар.
Хоёрдахь эрэмбийг сонгоцгооё 
. Сонгогдсон насанд хүрээгүй хүүхэдтэй хиллэдэг гуравдагч зэрэглэлийн нэг л хүүхэд байдаг 
. Үүнийг тооцоод үзье.
Тэгэхээр энэ нь бага юм 
үндсэн ба матрицын зэрэглэл нь түүний дараалалтай тэнцүү, өөрөөр хэлбэл. 
Матрицын хэмжээ нь тийм ч бага биш бол үндэслэлийг хайж олохын тулд насанд хүрээгүй хүмүүсийг ингэж давтах нь том тооцоололтой холбоотой ажил болох нь тодорхой байна. Гэсэн хэдий ч матрицын зэрэглэлийг олох хялбар арга байдаг - энгийн хувиргалтуудыг ашиглан.
б) Анхан шатны хувиргах арга
Тодорхойлолт. Элементар матрицын хувиргалтДараахь өөрчлөлтүүдийг нэрлэдэг.
мөрийг тэгээс өөр тоогоор үржүүлэх;
нэг мөрөнд өөр мөр нэмэх;
шугамыг дахин зохион байгуулах;
ижил баганын хувиргалт.
1 ба 2-р өөрчлөлтийг элемент тус бүрээр гүйцэтгэдэг.
Эхний болон хоёр дахь төрлийн хувиргалтыг нэгтгэснээр бид үлдсэн мөрүүдийн шугаман хослолыг дурын мөрөнд нэмж болно.
Теорем. Элементар хувиргалт нь матрицын зэрэглэлийг өөрчилдөггүй.
(Нотлох баримт байхгүй)
Матрицын зэрэглэлийг тооцоолох практик аргын санаа
Энэ нь анхан шатны хувиргалтын тусламжтайгаар энэ матриц юм 
харагдахад хүргэдэг
,
(5)
Үүнд "диагональ" элементүүд байдаг 
тэгээс ялгаатай бөгөөд "диагональ"-ын доор байрлах элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байна. Матрицыг дуудахыг зөвшөөрье 
энэ төрлийн гурвалжин (өөрөөр хэлбэл диагональ, трапец эсвэл шат гэж нэрлэдэг). Матрицыг багасгасны дараа 
гурвалжин хэлбэрт бид шууд бичиж болно 
.
Үнэндээ, 
(анхны хувиргалт нь зэрэглэлийг өөрчилдөггүй тул). Гэхдээ матриц 
тэгээс өөр жижиг захиалга байдаг 
:
,
болон ямар ч жижиг захиалга 
null тэмдэгт мөрийг агуулсан тул тэгтэй тэнцүү байна.
Одоо практикийг томъёолъё зэрэглэл тооцох дүрэмматрицууд 
энгийн хувиргалтыг ашиглан: матрицын зэрэглэлийг олох 
энгийн хувиргалтыг ашиглан гурвалжин хэлбэрт оруулах хэрэгтэй 
. Дараа нь матрицын зэрэглэл 
нь үүссэн матрицын тэг биш мөрүүдийн тоотой тэнцүү байх болно 
.
Жишээ 10.
Матрицын зэрэглэлийг ол 
анхан шатны өөрчлөлтийн аргаар
Шийдэл.
Эхний болон хоёр дахь мөрийг сольж үзье (хоёр дахь мөрийн эхний элемент нь −1 тул хувиргахад тохиромжтой байх болно). Үүний үр дүнд бид үүнтэй тэнцэх матрицыг олж авдаг.
гэж тэмдэглэе 
- матрицын тэр эгнээ - 
. Бид анхны матрицыг гурвалжин хэлбэрт оруулах хэрэгтэй. Бид эхний мөрийг тэргүүлэх шугам гэж үзэх болно, энэ нь бүх өөрчлөлтөд оролцох боловч өөрөө өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Эхний шатанд бид эхний элементээс бусад эхний баганад тэг авах боломжийг олгодог хувиргалтыг хийх болно. Үүнийг хийхийн тулд эхний мөрийг хоёр дахь мөрөөс 2-оор үржүүлж хасна 
, эхний мөрийг гурав дахь мөрөнд нэмнэ 
, мөн гурав дахь хэсгээс бид эхнийхийг хасч, 3-аар үржүүлнэ 
Бид эрэмбэ нь энэ матрицын зэрэгтэй давхцах матрицыг олж авдаг. Үүнийг ижил үсгээр тэмдэглэе 
:
.
Бид матрицыг (5) үүсгэхийн тулд багасгах шаардлагатай тул дөрөв дэх эгнээнээс хоёр дахь хэсгийг хасна. Энэ тохиолдолд бидэнд байна:
.
Гурвалжин хэлбэрийн матрицыг олж авсан бөгөөд бид үүнийг дүгнэж болно 
, өөрөөр хэлбэл, тэг биш мөрүүдийн тоо. Товчхондоо асуудлын шийдлийг дараах байдлаар бичиж болно.
Матриц бүрт хоёр зэрэглэлийг холбож болно: мөрийн зэрэглэл (мөрийн системийн зэрэг) ба баганын зэрэглэл (баганын системийн зэрэг).
Теорем
Матрицын эгнээний зэрэглэл нь түүний баганын зэрэгтэй тэнцүү байна.
Матрицын зэрэглэл
Тодорхойлолт
Матрицын зэрэглэл$A$ нь түүний мөр эсвэл баганын системийн зэрэг юм.
$\operatorname(rang) A$ гэж тэмдэглэнэ
Практикт матрицын зэрэглэлийг олохын тулд дараах мэдэгдлийг ашигладаг: матрицын зэрэглэл нь матрицыг эшелон хэлбэрт оруулсны дараа тэгээс бусад эгнээний тоотой тэнцүү байна.
Матрицын мөр (багана) дээрх элементийн хувиргалт нь түүний зэрэглэлийг өөрчилдөггүй.
Алхам матрицын зэрэглэл нь түүний тэг биш мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна.
Жишээ
Дасгал хийх.$ A=\left(\begin(array)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & () матрицын зэрэглэлийг ол. 7) \ \ (10) & (18) & (40) & (17) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\төгсгөл(массив)\баруун) $
Шийдэл.Мөрүүд дээр энгийн хувиргалтуудыг ашиглан бид $A$ матрицыг эшелон хэлбэр болгон бууруулна. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд гурав дахь мөрөөс хоёр дахь хоёрыг хасна.
$$ A \sim \left(\begin(массив)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (4) & (8) & (18) & (7) \\ (2) & (2) & (4) & (3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\төгсгөл(массив)\баруун) $$
Хоёр дахь мөрөөс бид дөрөв дэх мөрийг хасч, 4-ээр үржүүлнэ; гурав дахь - дөрөвний хоёр:
$$ A \sim \left(\begin(массив)(rrrr)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (-20) & (-50) & (-5) ) \\ (0) & (-12) & (-30) & (-3) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\төгсгөл(массив)\баруун) $$
Бид эхний тавыг хоёр дахь мөрөнд, гурав дахь гурвыг гурав дахь мөрөнд нэмнэ.
$$ A \sim \left(\begin(массив)(cccc)(0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\төгсгөл(массив)\баруун) $$
Эхний болон хоёр дахь мөрийг солино уу:
$$ A \sim \left(\begin(массив)(cccc)(0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (1) & (7) & (17) & (3)\төгсгөл(массив)\баруун) $$
$$ A \sim \left(\begin(массив)(cccc)(1) & (7) & (17) & (3) \\ (0) & (4) & (10) & (1) \\ (0) & (0) & (0) & (0) \\ (0) & (0) & (0) & (0)\төгсгөл(массив)\баруун) \Баруун сум \операторын нэр(дууга) A=2 $$
Хариулах.$ \operatorname(rang) A=2 $
Насанд хүрээгүй хүүхдийг хиллэх арга
Матрицын зэрэглэлийг олох өөр нэг арга нь энэ теорем дээр суурилдаг. жижиг ирмэгийн арга. Энэ аргын мөн чанар нь насанд хүрээгүй хүмүүсийг доод тушаалаас эхлээд дээд тушаал руу шилжүүлэх явдал юм. Хэрэв $n$-р эрэмбийн минор нь 0-тэй тэнцүү биш, харин $n+1$-р эрэмбийн бүх минорууд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл $n$-тэй тэнцүү байна.
Жишээ
Дасгал хийх.$ A=\left(\begin(array)(rrrr)(1) & (2) & (-1) & (-2) \\ (2) & (4) & (3) матрицын зэрэглэлийг ол. & (0 ) \\ (-1) & (-2) & (6) & (6)\end(массив)\баруун) $ жижиг ирмэгийн аргыг ашиглан.
Шийдэл.Бага эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс нь $A$ матрицын элементүүдтэй тэнцүү нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүд юм. Жишээ нь, бага $ M_(1)=1 \neq 0 $ гэж үзье. эхний мөр ба эхний баганад байрладаг. Бид үүнийг хоёр дахь мөр ба хоёр дахь баганын тусламжтайгаар хиллэдэг бөгөөд бид бага $ M_(2)^(1)=\left| \begin(array)(ll)(1) & (2) \\ (2) & (4)\end(массив)\right|=0 $ ; Хоёрдахь эрэмбийн өөр нэг минорыг авч үзье, үүний тулд бид хоёр дахь эгнээ болон гурав дахь баганын тусламжтайгаар бага $M_1$-г хиллэдэг, тэгвэл бид минор $ M_(2)^(2)=\left| \begin(array)(rr)(1) & (-1) \\ (2) & (3)\end(array)\right|=5 \neq 0 $, өөрөөр хэлбэл матрицын зэрэглэл нь хоёроос багагүй. Дараа нь бид насанд хүрээгүй $ M_(2)^(2) $-тай хиллэдэг гуравдагч зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье. Ийм насанд хүрээгүй хоёр хүүхэд байдаг: гурав дахь эгнээ хоёр дахь багана эсвэл дөрөв дэх баганатай хослуулсан. Эдгээр насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тооцоолъё.
Аливаа матриц Азахиалга m×nцуглуулга гэж үзэж болно ммөр векторууд эсвэл nбаганын векторууд.
Зэрэглэлматрицууд Азахиалга m×nнь шугаман бие даасан баганын вектор эсвэл мөрийн векторуудын хамгийн их тоо юм.
Хэрэв матрицын зэрэглэл байвал Атэнцүү байна r, дараа нь бичсэн байна:
Матрицын зэрэглэлийг олох
Болъё Адурын захиалгын матриц м× n. Матрицын зэрэглэлийг олох АҮүнд бид Гауссын арилгах аргыг ашигладаг.
Хэрэв устгах зарим үе шатанд тэргүүлэх элемент нь тэгтэй тэнцүү байвал бид энэ мөрийг тэргүүлэх элемент нь тэгээс ялгаатай шугамаар сольж байгааг анхаарна уу. Хэрэв ийм мөр байхгүй бол дараагийн багана руу шилжинэ үү.
Гауссын шууд арилгах процессын дараа бид үндсэн диагональ доорхи элементүүд нь тэгтэй тэнцүү байх матрицыг олж авдаг. Үүнээс гадна тэг эгнээний векторууд байж болно.
Тэг биш мөрийн векторуудын тоо нь матрицын зэрэг болно А.
Энэ бүхнийг энгийн жишээгээр харцгаая.
Жишээ 1.
Эхний мөрийг 4-өөр үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд нэмж, эхний мөрийг 2-оор үржүүлж, гурав дахь мөрөнд нэмэхэд бид дараах байдалтай байна.
Хоёр дахь мөрийг -1-ээр үржүүлээд гурав дахь мөрөнд нэмнэ.
Бид тэгээс өөр хоёр мөр хүлээн авсан тул матрицын зэрэглэл 2 байна.
Жишээ 2.
Дараах матрицын зэрэглэлийг олъё.
Эхний мөрийг -2-оор үржүүлж, хоёр дахь мөрөнд нэмнэ. Үүний нэгэн адил бид эхний баганын гурав, дөрөв дэх эгнээний элементүүдийг дахин тохируулна.
Хоёрдахь баганын гурав, дөрөв дэх эгнээний элементүүдийг хоёр дахь мөрөнд -1 тоогоор үржүүлсэн харгалзах мөрүүдийг нэмж тохируулъя.
Матрицын зэрэглэл нь чухал тоон шинж чанар юм. Матрицын зэрэглэлийг олохыг шаарддаг хамгийн нийтлэг асуудал бол шугаман алгебрийн тэгшитгэлийн системийн тууштай байдлыг шалгах явдал юм. Энэ нийтлэлд бид матрицын зэрэглэлийн тухай ойлголтыг өгч, түүнийг олох аргуудыг авч үзэх болно. Материалыг илүү сайн ойлгохын тулд бид хэд хэдэн жишээнүүдийн шийдлүүдийг нарийвчлан шинжлэх болно.
Хуудасны навигаци.
Матрицын зэрэглэл, шаардлагатай нэмэлт ойлголтуудыг тодорхойлох.
Матрицын зэрэглэлийн тодорхойлолтыг хэлэхээсээ өмнө та бага насны ойлголтын талаар сайн ойлголттой байх ёстой бөгөөд матрицын багачуудыг олох нь тодорхойлогчийг тооцоолох чадвартай гэсэн үг юм. Тиймээс, шаардлагатай бол өгүүллийн онол, матрицын тодорхойлогчийг олох аргууд, тодорхойлогчийн шинж чанаруудыг эргэн санахыг зөвлөж байна.
А эрэмбийн матрицыг авъя. k нь m ба n тоонуудын хамгийн багааас хэтрэхгүй натурал тоо байг, өөрөөр хэлбэл, 
.
Тодорхойлолт.
Бага 1-р захиалгаА матриц нь урьдчилан сонгосон k мөр, k баганад байрлах А матрицын элементүүдээс бүрдэх, А матрицын элементүүдийн зохион байгуулалтыг хадгалсан дарааллын квадрат матрицын тодорхойлогч юм.
Өөрөөр хэлбэл, А матрицаас (p–k) мөр, (n–k) баганыг устгаж, үлдсэн элементүүдээс А матрицын элементүүдийн зохион байгуулалтыг хадгалан матриц үүсгэдэг бол тодорхойлогч нь үүссэн матриц нь А матрицын k эрэмбийн бага байна.
Минор матрицын тодорхойлолтыг жишээгээр авч үзье.
Матрицыг авч үзье 
.
Энэ матрицын хэд хэдэн нэгдүгээр эрэмбийн багачуудыг бичье. Жишээлбэл, хэрэв бид А матрицын гурав дахь мөр, хоёр дахь баганыг сонговол бидний сонголт нэгдүгээр зэрэглэлийн минортой тохирно. 
. Өөрөөр хэлбэл, энэ минорыг авахын тулд бид А матрицаас эхний ба хоёр дахь мөр, мөн нэг, гурав, дөрөв дэх баганыг зурж, үлдсэн элементээс тодорхойлогчийг хийсэн. Хэрэв бид А матрицын эхний мөр ба гурав дахь баганыг сонговол бид минорыг авна 
.
Нэгдүгээр зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг олж авах журмыг жишээгээр үзүүлье 
Тэгээд 
.
Тиймээс матрицын эхний эрэмбийн минорууд нь матрицын элементүүд нь өөрсдөө юм.
Хоёрдугаар зэрэглэлийн хэд хэдэн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үзүүлье. Хоёр мөр, хоёр багана сонгоно уу. Жишээлбэл, эхний ба хоёр дахь мөр, гурав, дөрөв дэх баганыг ав. Энэ сонголтоор бид хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхэдтэй болсон 
. А матрицаас гурав дахь мөр, эхний ба хоёрдугаар баганыг устгаснаар энэ жижиг хэсгийг үүсгэж болно.
А матрицын өөр нэг хоёрдугаар эрэмбийн минор нь .
Эдгээр хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн бүтээн байгуулалтыг дүрслэн үзүүлье 
Тэгээд 
.
Үүний нэгэн адил А матрицын гурав дахь эрэмбийн миноруудыг олж болно. А матрицад зөвхөн гурван мөр байгаа тул бид бүгдийг нь сонгоно. Хэрэв бид эдгээр мөрүүдийн эхний гурван баганыг сонговол гурав дахь эрэмбийн минорыг авна 
Үүнийг мөн А матрицын сүүлчийн баганыг таслах замаар байгуулж болно.
Өөр нэг гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүн 
А матрицын гурав дахь баганыг устгаснаар олж авсан.
Эдгээр гурав дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийн бүтээн байгуулалтыг харуулсан зураг энд байна 
Тэгээд 
.
Өгөгдсөн А матрицын хувьд 3-аас дээш эрэмбийн багачууд байхгүй, учир нь .
А эрэмбийн матрицад k-р зэрэглэлийн хэдэн багачууд байна вэ?
k зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдийн тоог , хаана гэж тооцож болно 
Тэгээд 
- p-ээс k, n-ээс k хүртэлх хослолын тоо.
Бид p эрэмбийн А матрицын k зэрэглэлийн бүх миноруудыг n-ээр яаж байгуулах вэ?
Бидэнд олон матрицын мөрийн дугаар, олон баганын дугаар хэрэгтэй болно. Бид бүгдийг бичдэг p элементийн хослолууд k(тэдгээр нь k эрэмбийн минорыг барихад А матрицын сонгосон мөрүүдтэй тохирно). Мөрийн дугааруудын хослол бүрт k баганын дугаарын n элементийн бүх хослолыг дараалан нэмнэ. Эдгээр А матрицын мөр болон баганын дугааруудын хослолууд нь k эрэмбийн бүх жижиг хэсгүүдийг бүрдүүлэхэд тусална.
Үүнийг жишээгээр харцгаая.
Жишээ.
Матрицын бүх хоёр дахь эрэмбийн багануудыг ол.
Шийдэл.
Анхны матрицын дараалал нь 3-аас 3 байх тул хоёр дахь эрэмбийн нийт насанд хүрээгүй хүмүүс байх болно 
.
А матрицын 3-2 эгнээний бүх хослолыг бичье: 1, 2; 1, 3 ба 2, 3. 3-аас 2 баганын дугаар бүхий бүх хослолууд нь 1, 2; 1, 3 ба 2, 3.
А матрицын эхний ба хоёр дахь эгнээг авъя. Эдгээр мөрүүдийн эхний ба хоёр дахь багана, эхний ба гурав дахь багана, хоёр ба гурав дахь баганыг сонгосноор бид насанд хүрээгүй хүмүүсийг тус тус авна. 
Эхний болон гурав дахь эгнээний хувьд ижил төстэй сонголт бүхий багана бидэнд байна 
Хоёр, гурав дахь эгнээнд эхний болон хоёр дахь, нэг ба гурав дахь, хоёр, гурав дахь баганыг нэмэх хэвээр байна. 
Тиймээс А матрицын хоёр дахь эрэмбийн есөн минор бүгд олдсон.
Одоо бид матрицын зэрэглэлийг тодорхойлох ажлыг үргэлжлүүлж болно.
Тодорхойлолт.
Матрицын зэрэглэлнь матрицын 0 биш минорын хамгийн дээд эрэмбэ юм.
А матрицын зэрэглэлийг Rank(A) гэж тэмдэглэнэ. Та мөн Rg(A) эсвэл Rang(A) гэсэн тэмдэглэгээг олж болно.
Матрицын зэрэглэл ба матрицын минорын тодорхойлолтоос бид тэг матрицын зэрэглэл нь тэгтэй тэнцүү, тэгээс өөр матрицын зэрэглэл нэгээс багагүй байна гэж дүгнэж болно.
Тодорхойлолтоор матрицын зэрэглэлийг олох.
Тиймээс матрицын зэрэглэлийг олох эхний арга бол насанд хүрээгүй хүүхдийг тоолох арга. Энэ арга нь матрицын зэрэглэлийг тодорхойлоход суурилдаг.
А эрэмбийн матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй.
Товчхон тайлбарлая алгоритмнасанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тоолох замаар энэ асуудлыг шийдвэрлэх.
Хэрэв матрицын дор хаяж нэг элемент тэгээс ялгаатай байвал матрицын зэрэглэл дор хаяж нэгтэй тэнцүү байна (учир нь тэгтэй тэнцүү биш эхний эрэмбийн минор байдаг).
Дараа нь бид хоёр дахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзье. Хэрэв бүх хоёр дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүс тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв хоёрдахь эрэмбийн дор хаяж нэг тэгээс өөр минор байгаа бол бид гурав дахь эрэмбийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг тоолж, матрицын зэрэглэл дор хаяж хоёртой тэнцүү байна.
Үүний нэгэн адил, хэрэв гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэг байвал матрицын зэрэглэл хоёр байна. Хэрэв тэгээс өөр дор хаяж нэг гуравдагч эрэмбийн минор байгаа бол матрицын зэрэглэл дор хаяж гурваас доошгүй байх ба бид дөрөв дэх зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүмүүсийг тоолоход шилжинэ.
Матрицын зэрэглэл нь p ба n тоонуудын хамгийн багаас хэтэрч болохгүй гэдгийг анхаарна уу.
Жишээ.
Матрицын зэрэглэлийг ол 
.
Шийдэл.
Матриц нь тэг биш тул түүний зэрэглэл нэгээс багагүй байна.
Хоёр дахь зэрэглэлийн бага 
тэгээс ялгаатай тул А матрицын зэрэглэл дор хаяж хоёр байна. Бид гуравдахь зэрэглэлийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тоолоход шилждэг. Тэдний нийт 
зүйлс. 
Гурав дахь зэрэглэлийн бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү байна. Тиймээс матрицын зэрэглэл нь хоёр байна.
Хариулт:
Зэрэг(A) = 2.
Насанд хүрээгүй хүүхдийг хиллэх аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олох.
Матрицын зэрэглэлийг олох өөр аргууд байдаг бөгөөд энэ нь танд бага тооцооллын үр дүнд хүрэх боломжийг олгодог.
Ийм аргуудын нэг жижиг захын арга.
Харьцъя жижиг захын тухай ойлголт.
А матрицын (k+1)-р эрэмбийн минор M ok нь А матрицын k эрэмбийн минор М-тэй хиллэдэг, хэрэв минор M ok-д харгалзах матриц нь бага матрицад харгалзах матрицыг "агуулбал" байна. М .
Өөрөөр хэлбэл, нэг мөр, нэг баганын элементүүдийг устгаснаар зааглах минор М ok-д харгалзах матрицаас хилийн минор М-д тохирох матриц гарна.
Жишээлбэл, матрицыг авч үзье 
болон насанд хүрээгүй хоёр дахь захиалга авна. Бүх хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг бичье. 
Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг дараах теоремоор зөвтгөдөг (бид түүний томъёоллыг нотлох баримтгүйгээр толилуулж байна).
Теорем.
Хэрэв p зэрэглэлийн А матрицын n-р зэрэглэлийн минортой хиллэдэг бүх минорууд тэгтэй тэнцүү бол А матрицын бүх минорууд (k+1) тэгтэй тэнцүү байна.
Тиймээс матрицын зэрэглэлийг олохын тулд хангалттай хиллэдэг бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг үзэх шаардлагагүй. А эрэмбийн матрицын k-р зэрэглэлийн минортой хиллэх насанд хүрээгүй хүмүүсийн тоог томъёогоор олно. 
. А матрицын (k + 1) эрэмбийн миноруудаас илүү А матрицын k-р зэрэглэлийн минортой хиллэдэг багачууд байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Тиймээс ихэнх тохиолдолд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэдэг аргыг ашиглах нь бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг тоолохоос илүү ашигтай байдаг.
Насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олохын тулд үргэлжлүүлье. Товчхон тайлбарлая алгоритмэнэ арга.
Хэрэв А матриц тэгээс ялгаатай бол нэгдүгээр эрэмбийн минор гэж бид А матрицын тэгээс ялгаатай аль ч элементийг авна. Түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг харцгаая. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэгтэй тэнцүү бол матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байна. Хэрэв дор хаяж нэг тэгээс өөр хүрээтэй насанд хүрээгүй (түүний дараалал нь хоёр) байвал бид түүний хилийн насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзэх болно. Хэрэв тэдгээр нь бүгд тэг байвал Rank(A) = 2 байна. Хэрэв наад зах нь нэг хилийн насанд хүрээгүй хүүхэд тэгээс ялгаатай бол (түүний дараалал нь гурав) байвал бид түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг авч үзнэ. гэх мэт. Үүний үр дүнд, хэрэв А матрицын (k + 1)-р зэрэглэлийн бүх хил залгаа багачууд тэгтэй тэнцүү бол Rank(A) = k, хэрэв бус байвал Rank(A) = min(p, n) болно. 0 минор нь бага зэрэгтэй хиллэдэг (min( p, n) – 1) .
Жишээ ашиглан матрицын зэрэглэлийг олохын тулд насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргыг авч үзье.
Жишээ.
Матрицын зэрэглэлийг ол 
насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг хиллэх аргаар.
Шийдэл.
А матрицын 1 1 элемент нь тэгээс ялгаатай тул бид үүнийг нэгдүгээр эрэмбийн минор гэж авна. Тэгээс ялгаатай хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдийг хайж эхэлцгээе: 
Тэгээс ялгаатай хоёр дахь эрэмбийн минор ирмэг олдлоо. Түүний хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг харцгаая (тэдний 
зүйлс): 
Хоёрдугаар эрэмбийн минортой хиллэдэг бүх насанд хүрээгүй хүүхдүүд тэгтэй тэнцүү тул А матрицын зэрэглэл хоёртой тэнцүү байна.
Хариулт:
Зэрэг(A) = 2.
Жишээ.
Матрицын зэрэглэлийг ол 
хил залгаа насанд хүрээгүй хүүхдүүдийг ашиглах.
Шийдэл.
Эхний эрэмбийн тэг биш минорын хувьд бид А матрицын a 1 1 = 1 элементийг авна. Хоёр дахь зэрэглэлийн эргэн тойрон дахь насанд хүрээгүй 
тэгтэй тэнцүү биш. Энэ насанд хүрээгүй хүүхэд гуравдугаар зэргийн насанд хүрээгүй хүүхэдтэй хиллэдэг 
. Энэ нь 0-тэй тэнцүү биш бөгөөд түүнд зааглах нэг ч минор байхгүй тул А матрицын зэрэглэл нь гуравтай тэнцүү байна.
Хариулт:
Зэрэг(A) = 3.
Анхан шатны матрицын хувиргалтыг ашиглан зэрэглэлийг олох (Гаусын арга).
Матрицын зэрэглэлийг олох өөр аргыг авч үзье.
Дараахь матрицын хувиргалтыг энгийн гэж нэрлэдэг.
- матрицын мөрүүдийг (эсвэл багануудыг) дахин зохион байгуулах;
- матрицын аль ч мөрний (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс ялгаатай дурын k тоогоор үржүүлэх;
- мөрийн (баганын) элементүүдэд матрицын өөр мөрийн (баганын) харгалзах элементүүдийг дурын k тоогоор үржүүлж нэмнэ.
В матрицыг А матрицтай эквивалент гэж нэрлэдэг, хэрэв В-г А-аас хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтыг ашиглан авсан бол. Матрицуудын эквивалентыг "~" тэмдгээр тэмдэглэсэн, өөрөөр хэлбэл A ~ B гэж бичнэ.
Элементар матрицын хувиргалтыг ашиглан матрицын зэрэглэлийг олох нь: Хэрэв В матрицыг А матрицаас хязгаарлагдмал тооны элементар хувиргалтыг ашиглан авсан бол Rank(A) = Rank(B) .
Энэхүү мэдэгдлийн хүчинтэй байдал нь матрицын тодорхойлогчийн шинж чанараас хамаарна.
- Матрицын мөрүүдийг (эсвэл багануудыг) дахин зохион байгуулах үед түүний тодорхойлогч тэмдэг өөрчлөгддөг. Хэрэв энэ нь тэгтэй тэнцүү бол мөрүүдийг (багана) дахин байрлуулах үед энэ нь тэгтэй тэнцүү хэвээр байна.
- Матрицын аль нэг мөрийн (баганын) бүх элементүүдийг тэгээс өөр k тоогоор үржүүлэхэд үүссэн матрицын тодорхойлогч нь анхны матрицын тодорхойлогчийг k-ээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Хэрэв анхны матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү бол аливаа мөр, баганын бүх элементүүдийг k тоогоор үржүүлсний дараа үүссэн матрицын тодорхойлогч нь тэгтэй тэнцүү байх болно.
- Матрицын тодорхой эгнээний (баганын) элементүүдэд матрицын өөр эгнээний (баганын) харгалзах элементүүдийг тодорхой k тоогоор үржүүлсэнээр нэмэх нь тодорхойлогчийг өөрчлөхгүй.
Анхан шатны хувиргалтын аргын мөн чанарЭнэ нь энгийн хувиргалтуудыг ашиглан эрэмбийг нь трапец хэлбэрт (тодорхой тохиолдолд дээд гурвалжин болгон) олох шаардлагатай матрицыг бууруулахаас бүрдэнэ.
Яагаад үүнийг хийж байна вэ? Энэ төрлийн матрицын зэрэглэлийг олоход маш хялбар байдаг. Энэ нь дор хаяж нэг тэгээс өөр элемент агуулсан мөрүүдийн тоотой тэнцүү байна. Мөн анхан шатны хувиргалт хийх үед матрицын зэрэглэл өөрчлөгдөхгүй тул үүссэн утга нь анхны матрицын зэрэг болно.
Бид матрицуудын дүрслэлийг өгдөг бөгөөд тэдгээрийн аль нэгийг нь хувиргасны дараа авах ёстой. Тэдний харагдах байдал нь матрицын дарааллаас хамаарна.
Эдгээр зургууд нь бид А матрицыг хувиргах загварууд юм.
Тодорхойлъё аргын алгоритм.
Тэг биш А эрэмбийн матрицын зэрэглэлийг олох хэрэгтэй (p нь n-тэй тэнцүү байж болно).
Тиймээс, . А матрицын эхний эгнээний бүх элементүүдийг үржүүлье. Энэ тохиолдолд бид A (1) гэж тэмдэглэсэн эквивалент матрицыг авна. 
Үүссэн матрицын хоёр дахь эгнээний элементүүдэд (1) эхний эгнээний харгалзах элементүүдийг нэмээд үржүүлнэ. Гурав дахь мөрийн элементүүдэд бид эхний мөрний харгалзах элементүүдийг нэмж, үржүүлсэн байна. Гэх мэтээр p-р мөр хүртэл үргэлжилнэ. Эквивалент матрицыг авъя, үүнийг A (2) гэж тэмдэглэнэ үү: 
Хэрэв үүссэн матрицын хоёр дахь хэсгээс p-р хүртэлх эгнээнд байрлах бүх элементүүд тэгтэй тэнцүү бол энэ матрицын зэрэглэл нэгтэй тэнцүү байх ба улмаар анхны матрицын зэрэглэл тэнцүү байна. нэг рүү.
Хэрэв хоёр дахь хэсгээс p-th хүртэлх мөрөнд дор хаяж нэг тэг биш элемент байвал бид хувиргалтыг үргэлжлүүлнэ. Түүнээс гадна, бид яг ижил аргаар ажилладаг, гэхдээ зөвхөн зураг дээр тэмдэглэгдсэн A (2) матрицын хэсгийг л хийдэг. 
Хэрэв байвал бид А (2) матрицын мөр ба (эсвэл) багануудыг "шинэ" элемент нь тэг биш байхаар өөрчлөнө.
