Дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэх аргыг уран зохиолд бараг өгдөггүй тул эхлээд энэ нь яагаад ашигтай болохыг харуулах болно.

Ихэнхдээ интегралд та 2 фрагментийг харж болно, тэдгээрийн нэг нь деривативтай төстэйөөр. Жишээ нь,

a) интеграл дахь тоологч x-ийн дериватив шиг харагдаж байна :
;

б) интеграл
хэлбэрээр төлөөлж болно
, Хаана
;

в) функц
интегралд
- Энэ
.

Ихэнхдээ ийм интегралыг шинэ хувьсагчаар солих замаар олохыг санал болгодог дериватив нь функцилрүүлсэн. Тиймээс заасан интегралуудын хувьд

а) хэрэв
, Тэр
, Дараа нь
Тэгээд
, хаана

б) учир нь
, Тэр
, Дараа нь
Тэгээд
, Тийм учраас

Орлуулах аргыг 4-р хэсэгт илүү дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно.

Гэсэн хэдий ч орлуулах аргыг ашиглан 3-р интегралыг тооцоолох нь бэрхшээлтэй холбоотой. Үүнийг анзаараарай
, бид сольсон
.

Дараа нь
Тэгээд
. Экспресс
дамжуулан тТа үүнийг хийж чадна:

(
, Тийм учраас
). Орлуулж үзье:

Хүнд үйлдлүүдийн үр дүнд бараг бүх зүйл багасч, энгийн хүснэгтийн интегралыг олж авсан. Бараг илэрхийлэх шаардлагагүй байсан бол илүү хурдан хүрэх боломжтой байсан уу гэсэн асуулт гарч ирнэ.

Үнэн хэрэгтээ, илүү богино шийдэл байдаг:

дараа нь солих
, бид нэн даруй интегралыг олж авна

Үүнтэй адил интегралуудыг олох боломжтой

Энд үйлдлүүдийг нарийвчлан харуулсан бөгөөд тэдгээрийн талыг нь алгасаж болно. Дараах шийдэл нь шийдлийг ялангуяа богиносгох болно.

Үндсэн дифференциалуудын хүснэгт

Дифференциал тэмдгийг бүртгүүлэх жишээ

3) ;

PD1.Интегралуудыг ол

1) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

2) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

3) а)
; б)
; V)
; G)
; г)

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

4) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
;

5) а)
; б)
; V)
; G)
; г)
;

д)
; ба)
; h)
; Тэгээд)
; Хэнд)
.

§ 3. Квадрат илэрхийлэл агуулсан функцүүдийн интеграл

Илэрхийлэл агуулсан функцүүдийг нэгтгэх үед
, томъёо нь туслах болно
. Жишээ нь,

б)
;

Үүссэн хаалтыг шинэ үсгээр тэмдэглээд энэ хувьсагч дээрх интеграл руу шилжих нь тохиромжтой (шинэ болон хуучин хувьсагчдын ялгаа давхцах болно).

Коэффициентийг дөрвөлжингийн урд талд хаалтанд оруулах нь дээр.

,

тэгээд боломжтой бол интегралын тэмдгийн хувьд. Тэгэхээр,

Орлуулах зорилго нь шугаман гишүүнгүйгээр интеграл руу шилжих явдал юм
, зөвхөн агуулсан интеграл учраас
, илүү амархан олддог бөгөөд ихэвчлэн хүснэгтийг ашигладаг. Үүний зэрэгцээ үүнийг санах нь чухал юм
,
, гэх мэт.

Тухайлбал (§ 2-г үзнэ үү),

Хаана а- дурын тоо, тоо
. Үүнээс гадна, хэзээ

Хаана
.

Тайлбар 1.Орлуулсны дараа интегралууд ихэвчлэн гарч ирдэг
,
эсвэл
. Тэдгээрийг дараах байдлаар олж болно.

2 ба 3-р тохиолдолд мөн адил.

Гэсэн хэдий ч, хэлбэрийн интегралууд
нэлээд төвөгтэй. Бэлэн болсон томъёог ашиглана уу

(энэ нь үнэхээр тийм эсэхийг ялгах замаар шалгана уу).

KI1.Тэгш байдлыг ашиглан ол
болон орлуулалт
:

Жишээ 1(богинохон
гэж тодорхойлсон
.

Хайж байхдаа
Тэгээд
гэдгийг харгалзан үзсэн
Тэгээд
Үүний дагуу бид хүснэгтийг нэгтгэх үндсэн дүрмийг ашигласан.

KI2.Интеграл тус бүрийг интегралын нийлбэр болгон задлах замаар олоорой, тэдгээрийн нэг нь хүснэгт, нөгөө нь KI1 даалгаварт олдсонтой төстэй байна.

Жишээ 2.Интегралыг олъё
, хоёрын нийлбэр болгон өргөжүүлэх:

Хариулт:(Модуль үргэлж байдаг тул шаардлагагүй
).

Жишээ 3.Интегралыг ижил аргаар авч үзье
:

Интегралыг олох хамгийн оновчтой арга бол:

чи үүнийг хаанаас сурсан юм
;

Тэгээд хаана
.

Хариулт: .

Тайлбар 2.Ирээдүйд та интегралыг 2 эсвэл 3 интеграл болгон хуваах шаардлагатай болдог бөгөөд тус бүрд нь тогтмол гарч ирдэг (
, гэх мэт). Товчхондоо бид тус тусад нь туслах интеграл бүрийн тогтмолуудыг зааж өгөх (гэхдээ заагаагүй) бөгөөд зөвхөн ерөнхий тогтмолыг бичих болно. Cхариултанд. Үүний зэрэгцээ, үргэлж C- зарим шугаман хослол.

KI3.Хугарагч дахь төгс квадратыг олж, орлуулалт хийсний дараа олоорой

Жишээ 4.
Үүнийг анзаарч байна

солих
, Дараа нь
Тэгээд.

Интегралд орлуулъя:

Жишээ 5.

Учир нь энэ нь солих боломжтой юм
, аль үед
Тэгээд
. Орлуулж үзье:

Жишээ 6.

Энд бид солино
, хаана
Тэгээд
. Орлуулж үзье:

Хаана
. Интегралыг хоёр хувааж үзье:

.

Өмнөх жишээнүүдийн нэгэн адил,

ба 2-р интеграл нь хүснэгт хэлбэртэй байна:
.

Тэгэхээр, хаана
. Тиймээс

Жишээ 7.

Одоо солих
, Тийм учраас
Тэгээд
.

Шинэ хувьсагчийн интеграл руу шилжье:

Хаана
.

Үүнийг тусад нь олъё

V)
(хүснэгтийн интеграл).

2-р үр дүнг 7, 3-ыг 10-аар үржүүлж, ижил төстэй нөхцөлүүдийг цуглуулж, хуучин хувьсагч руу буцъя:

KI4.Иррационал функцүүдийн интегралуудыг ол:

Жишээ 8.Олъё
. Үндэсгүй ижил төстэй интеграл дээр аль хэдийн олдсон (жишээ 6) бөгөөд зохих алхам дээр үндэс нэмэхэд хангалттай.

,

Хаана
. Бид үүнийг задалдаг

мөн бид олдог

б)
.

Тиймээс, хаана
.

Хариулт: .

Жишээ 9.
Бүрэн квадратыг дараах байдлаар авах нь тохиромжтой.

Хаана
. Дараа нь

.

Бид солих болно
. Үүний зэрэгцээ
Тэгээд
:

Бид 8-р жишээн дээрхтэй ижил аргаар явна:

Хариулт: .

Тайлбар 3.Та "-" тэмдэг эсвэл үндсэн дороос сөрөг нийтлэг хүчин зүйлийг арилгах боломжгүй.
;, гэх мэт. Жишээ 9 нь цорын ганц боломжтой зөв үйл ажиллагааны чиглэлийг харуулж байна.

Жишээ 10.Хэрэв бид 9-р жишээнд квадрат оруулбал юу өөрчлөгдөхийг харцгаая: бид олдог
. Одоо ижил сэлгээний дараа ийм болж байна

Ердийнх шигээ,

2 ба 3-р интегралууд нь жишээ 9-тэй ижил аргаар олддог.

;

.

19-р хуудасны зааврын дагуу 1-р интегралыг дараах байдлаар хувиргаж болно.

дахиад хаана
, А

Шинэ интегралыг тригонометрийн орлуулалтаар олно
, эсвэл хэсэг хэсгээр нь давтан нэгтгэх замаар, авах
Тэгээд
. Бэлэн болсон томъёог ашиглацгаая
(хуудас 19):

Бүх интегралуудыг харгалзах коэффициентээр нь үржүүлж, нэгтгэж үзье.

Хариултанд бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна.

§ 5. Интеграл ба тэдгээрийн хэрэглээ

.

5.1. Үндсэн тодорхойлолт ба томьёо.Чиг үүрэг Ф(x) байна эсрэг дериватив функц е(x), хэрэв зарим багц дээр байвал Xтэгш байдал хадгалагдана Ф (x)= е(x). Бүх эсрэг деривативуудын багц е(x) дуудсан тодорхойгүй интегралболон томилогдсон. Үүний зэрэгцээ, хэрэв Ф(x) - аль ч анхдагч е(x), Тэр
, тогтмол Cбодит тоонуудын бүхэл бүтэн багцаар дамждаг. Хүснэгт 2-т үндсэн томъёог харуулав у= у(x).

Хүснэгт 2

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) , 9)

10) 11) 12) 13) 14) 15) 16)

Хэрэв е(x) – сегмент дээр тасралтгүй функц [ а; б], тэгээд байна тодорхой интегралтооцоолж болох энэ функцээс Ньютон-Лейбницийн томъёо:

, (5.1)

Хаана Ф(x) - аливаа эсрэг дериватив е(x). Тодорхой бус интегралаас (энэ нь функцүүдийн багц) ялгаатай нь тодорхой интеграл нь тодорхой тоо юм.

Тодорхойгүй ба тодорхой интеграл хоёулаа өмчтэй байдаг шугаман байдал(функцийн нийлбэрийн интеграл нь интегралын нийлбэртэй тэнцүү бөгөөд тогтмол хүчин зүйлийг интегралын тэмдгээс хасаж болно):

.

Жишээ 5.1. олох: a)
; б)
.

Шийдэл.Ажил дээрээ A)Бид эхлээд интегралыг хялбаршуулж, гишүүн гишүүн бүрийг тоологчоос хуваагчаар хувааж, дараа нь өмчийг ашиглана. шугаман байдалболон "хүснэгт" томъёо 1)-3):

Ажил дээрээ б),гадна шугаман байдалболон "хүснэгт" томъёо 3), 9), 1), Бид Ньютон-Лейбницийн томъёог ашигладаг (5.1):

5.2. Дифференциал тэмдгийн доор оруулах, хувьсагчийг орлуулах.Заримдаа интегралын нэг хэсэг нь зарим илэрхийллийн дифференциал үүсгэдэг бөгөөд энэ нь хүснэгтийн томъёог ашиглах боломжийг олгодог.

Жишээ 5.2олох: a)
; б)
.

Шийдэл.Жишээн дээр A)та үүнийг анзаарч болно
, дараа нь томъёог ашиглана уу 5) цагт у=ln x:

тохиолдолд б)
, иймээс үүдэн 11) цагт
бид авах:

Тайлбар 1.Дифференциал тэмдгийг оруулахдаа дээр дурдсантай хамт дараах хамаарлыг харгалзан үзэх нь зүйтэй.

;
;
; ; ;

;
;
;
.

Тайлбар 2.-аас интеграл жишээ 5.2.мөн хувьсагчийн өөрчлөлтийг ашиглан олж болно. Энэ тохиолдолд тодорхой интегралд интеграцийн хязгаарыг мөн өөрчлөх шаардлагатай. Хөрвүүлэлтүүд 5.2.б)жишээ нь иймэрхүү харагдах болно:

Ерөнхий тохиолдолд орлуулах сонголтыг интегралын төрлөөр тодорхойлно. Зарим тохиолдолд тусгай солихыг зөвлөж байна. Жишээлбэл, хэрэв илэрхийлэл нь хэлбэрийн иррационал байдлыг агуулж байвал
, дараа нь бид тавьж болно
эсвэл
.

Жишээ 5.3олох: a)
; б)
.

Шийдэл.тохиолдолд A)бидэнд байгаа

(орлуулсны дараа бид хүснэгтийн томъёог ашигласан 11 )).

Шийдвэр гаргахдаа б)Бид интеграцийн хязгаарыг солих ёстой.

5.3. Хэсэг хэсгүүдээр нэгтгэх.Зарим тохиолдолд "хэсгийн томъёогоор нэгтгэх" нь тусалдаг. Тодорхой бус интегралын хувьд энэ нь хэлбэртэй байна

, (5.2)

тодорхой хувьд

, (5.3)

Дараахь зүйлийг анхаарч үзэх нь чухал юм.

1) Хэрэв интеграл нь олон гишүүнтийн үржвэрийг агуулж байвал xфункцууд дээр
, дараа нь уолон гишүүнт сонгогдсон бөгөөд интеграл тэмдгийн доор үлдсэн илэрхийлэл нь хамаарна dv.

2) Хэрэв интеграл нь урвуу тригонометрийг агуулж байвал ( ) эсвэл логарифм (
) функцууд, дараа нь зэрэг у нэгийг нь сонгосон.

Жишээ 5.4.олох: a)
; б)
.

Шийдэл.тохиолдолд A)томъёог хэрэглэнэ (5.2) Тэгээд хоёр дахь дүрэм. Яг л бид итгэж байна
. Дараа нь
. Дараа нь,
, тиймээс
. Тиймээс, . Үүссэн интегралд бид интегралын бүхэл хэсгийг сонгоно (энэ нь тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас багагүй байх үед хийгддэг):

.

Эцсийн шийдэл нь дараах байдалтай байна.

Жишээн дээр б)бид ашигладаг (5.3) Тэгээд дүрмийн эхнийх нь.

5.4. Квадрат гурвалсан илэрхийлэлүүдийг нэгтгэх. Гол санаанууд нь квадрат гурвалжинд бүтэн квадратыг тусгаарлах, шугаман орлуулалт хийх бөгөөд энэ нь анхны интегралыг хүснэгт хэлбэрт оруулах боломжтой болгодог. 10 )-16 ).

Жишээ 5.5.олох: a)
; б)
; V)
.

Шийдэл.тохиолдолд A)дараах байдлаар үргэлжлүүлнэ:

тиймээс (харгалзаж 13) )

Жишээг шийдвэрлэх үед б)интегралын тоонд хувьсагч байгаатай холбоотой нэмэлт хувиргалт хийх шаардлагатай болно. Төгс квадратыг хуваагч () дээр сонгосноор бид дараахь зүйлийг авна.

Интегралын хоёр дахь хувьд, улмаас 11) (Хүснэгт 2) бидэнд байна:
. Эхний интегралд бид дифференциал тэмдгийн доор оруулна.

Тиймээс, бүх зүйлийг нэгтгэж, хувьсагч руу буцах x, бид авах:

Жишээн дээр V)Бид эхлээд бүрэн квадратыг сонгоно:

5.5. Энгийн тригонометрийн функцүүдийн интеграл.Маягтын илэрхийллийг нэгтгэх үед
(Хаана мТэгээд n– натурал тоо), дараах дүрмийг анхаарч үзэхийг зөвлөж байна.

1) Хэрэв хоёр зэрэг нь тэгш байвал "зэрэг бууруулах" томъёог хэрэглэнэ: ; .

2) Аль нэг тоо гэж бодъё м Тэгээд n- хачин. Жишээ нь, n=2 к+1. Энэ тохиолдолд функцын зэрэглэлүүдийн нэг cosx Дифференциал тэмдгийн доор оруулахын тулд "хуваах" (. оноос хойш). Үлдсэн илэрхийлэлд
үндсэн тригонометрийн таних тэмдэг ашиглан
дамжуулан илэрхийлсэн
(). Интегралыг хувиргасны дараа (мөн шугаман шинж чанарыг харгалзан) бид маягтын интегралын алгебрийн нийлбэрийг олж авна.
, тус бүрийг томъёог ашиглан олж болно 2) 2-р хүснэгтээс:
.

Үүнээс гадна зарим тохиолдолд томъёонууд нь бас ашигтай байдаг

Жишээ 5.6.олох: a)
; б)
; V)
.

Шийдэл. A)Интегралд сондгой (5-р) зэрэг орно синкс, Тиймээс бид үйл ажиллагаагаа явуулдаг хоёр дахь дүрэмҮүнийг харгалзан үзвэл .

Жишээн дээр б)томъёог ашиглацгаая (5.4 ), шугаман байдалтодорхойгүй интеграл, тэгш байдал
ба хүснэгтийн томъёо 4):

тохиолдолд V)дараалсан зэргийг бууруулна, бид шугаман байдал, дифференциал тэмдгийн дор тогтмолыг оруулах боломж, шаардлагатай хүснэгтийн томъёог харгалзан үздэг.

5.6. Тодорхой интегралын хэрэглээ.Мэдэгдэж байгаагаар, муруйн трапец нь сөрөг бус, сегмент дээр тасралтгүй хамааралтай байдаг [ а; б] функцууд е(x), функцийн графикаар хязгаарлагдах талбайг гэнэ y= е(x), тэнхлэг ҮХЭРба хоёр босоо шугам x= а, x= б. Товчхондоо дараах байдлаар бичиж болно: (үзнэ үү. Зураг 3). мөн хаана

Энэ хичээлээр бид тодорхойгүй интегралыг шийдвэрлэхэд ашигладаг хамгийн чухал бөгөөд хамгийн түгээмэл аргуудын нэг болох хувьсагчийн аргыг өөрчлөхтэй танилцах болно. Материалыг амжилттай эзэмшихийн тулд анхны мэдлэг, нэгтгэх чадварыг шаарддаг. Хэрэв интегралын тооцоололд хоосон данх хоосон байгаа бол та эхлээд материалтай танилцах хэрэгтэй бөгөөд би интеграл гэж юу болохыг ойлгомжтой хэлбэрээр тайлбарлаж, эхлэгчдэд зориулсан үндсэн жишээнүүдийг нарийвчлан шинжлэх хэрэгтэй.

Техникийн хувьд тодорхойгүй интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх аргыг хоёр аргаар хэрэгжүүлдэг.

– Функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах;
– Үнэн хэрэгтээ хувьсагчийг орлуулж байна.

Үндсэндээ эдгээр нь ижил зүйл боловч шийдлийн загвар нь өөр өөр харагдаж байна.

Илүү энгийн тохиолдлоор эхэлцгээе.

Дифференциал тэмдгийн дор функцийг нэгтгэх

Ангид Тодорхой бус интеграл. Шийдлийн жишээБид дифференциалыг хэрхэн нээхийг сурсан, би өгсөн жишээгээ танд сануулж байна:

Өөрөөр хэлбэл, дифференциалыг илрүүлэх нь дериватив олохтой албан ёсоор бараг ижил юм.

Жишээ 1

Шалгалт хийх.

Бид интегралын хүснэгтийг хараад ижил төстэй томъёог олно. . Гэхдээ асуудал бол синусын дор зөвхөн "X" үсэг биш, харин нарийн төвөгтэй илэрхийлэл байдаг. Юу хийх вэ?

Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг:

Дифференциалыг нээснээр дараахь зүйлийг шалгахад хялбар болно.

Үнэндээ ба ижил зүйлийн бичлэг юм.

Гэсэн хэдий ч эхний алхамд бид интегралыг яг ингэж бичих хэрэгтэй гэсэн санааг хэрхэн олж авсан бэ гэсэн асуулт хэвээр үлдэв. ? Яагаад ийм байна вэ, өөрөөр биш үү?

Томъёо (болон бусад бүх хүснэгтийн томъѐо) нь зөвхөн хувьсагчийн хувьд биш, мөн аливаа нарийн төвөгтэй илэрхийлэлд ЗӨВХӨН ФУНКЦИЙН АРГУМЕНТ БОЛОХ хүчинтэй бөгөөд хэрэгжих боломжтой.(- бидний жишээнд) БА ДИФФЕРЕНЦИАЛ ТЭМДЭГДЭХ ИЛЭРХИЙЛЭЛТ БАЙСАН ТЭГЭЭД БАЙНА .

Тиймээс шийдвэрлэх үед сэтгэцийн үндэслэл нь иймэрхүү байх ёстой: "Би интегралыг шийдэх хэрэгтэй. Би хүснэгтийг хараад ижил төстэй томъёог олсон . Гэхдээ надад төвөгтэй аргумент байгаа бөгөөд би тэр даруй томъёог ашиглаж чадахгүй. Гэсэн хэдий ч, хэрэв би үүнийг дифференциал тэмдгийн дор авч чадвал бүх зүйл сайхан болно. Хэрэв би үүнийг бичвэл. Гэхдээ анхны интегралд гурав дахь хүчин зүйл байхгүй тул интеграл функц өөрчлөгдөхгүйн тулд би үүнийг "-ээр үржүүлэх хэрэгтэй. Ойролцоогоор ийм сэтгэцийн үндэслэлийн явцад дараахь оруулга үүсдэг.

Одоо та хүснэгтийн томъёог ашиглаж болно :

Бэлэн

Ганц ялгаа нь бидэнд "Х" үсэг байхгүй, харин нарийн төвөгтэй илэрхийлэл юм.

Шалгацгаая. Деривативын хүснэгтийг нээж хариултыг ялгана уу.

Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.

Шалгалтын явцад бид нарийн төвөгтэй функцийг ялгах дүрмийг ашигласан болохыг анхаарна уу . Үндсэндээ функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах ба - эдгээр нь хоорондоо урвуу хоёр дүрэм юм.

Жишээ 2

Интеграл функцэд дүн шинжилгээ хийцгээе. Энд бид бутархай бөгөөд хуваагч нь шугаман функц юм ("x"-ээс эхний зэрэгтэй). Бид интегралын хүснэгтийг хараад хамгийн төстэй зүйлийг олно. .

Бид функцийг дифференциал тэмдгийн дор авчирдаг:

Аль бутархайг үржүүлэхээ шууд олоход хэцүү байгаа хүмүүс ноорог дээрх дифференциалыг хурдан илрүүлж чадна: . Тийм ээ, энэ нь юу ч өөрчлөгдөхгүйн тулд интегралыг -ээр үржүүлэх хэрэгтэй гэсэн үг юм.
Дараа нь бид хүснэгтийн томъёог ашиглана :

Шалгалт:


Анхны интеграл функцийг авсан нь интеграл зөв олдсон гэсэн үг.

Жишээ 3

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Жишээ 4

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Интегралыг шийдвэрлэх зарим туршлагатай бол ийм жишээнүүд хялбар мэт санагдаж, самар шиг товшино.

Энэ хэсгийн төгсгөлд би шугаман функцэд хувьсагч нэгжийн коэффициенттэй орж ирэх "чөлөөт" тохиолдлын талаар ярихыг хүсч байна, жишээлбэл:

Хатуухан хэлэхэд шийдэл нь иймэрхүү харагдах ёстой.

Таны харж байгаагаар функцийг дифференциал тэмдгийн дор оруулах нь ямар ч үржүүлэггүйгээр "өвдөлтгүй" байсан. Тиймээс практик дээр ийм урт шийдлийг ихэвчлэн үл тоомсорлож, тэр даруйд нь бичдэг . Гэхдээ шаардлагатай бол багшид үүнийг хэрхэн шийдсэнээ тайлбарлахад бэлэн байгаарай! Учир нь хүснэгтэд үнэндээ интеграл байхгүй.

Тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчийг өөрчлөх арга

Ерөнхий тохиолдлыг авч үзье - тодорхой бус интеграл дахь хувьсагчдыг өөрчлөх арга.

Жишээ 5

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Жишээ болгон би хичээлийн эхэнд үзсэн интегралыг авсан. Өмнө дурьдсанчлан интегралыг шийдэхийн тулд хүснэгтийн томъёо таалагдсан , мөн би түүнд энэ асуудлыг бүхэлд нь багасгахыг хүсч байна.

Орлуулах аргын цаад санаа нь нарийн төвөгтэй илэрхийллийг (эсвэл зарим функцийг) нэг үсгээр солих.
Энэ тохиолдолд гуйж байна:
Хоёр дахь хамгийн алдартай орлуулах захидал бол захидал юм.
Зарчмын хувьд та бусад үсгийг ашиглаж болно, гэхдээ бид уламжлалаа баримтлах болно.

Тэгэхээр:
Гэхдээ бид үүнийг солих үед бидэнд үлдэх болно! Хэрэв шинэ хувьсагч руу шилжсэн бол шинэ интегралд бүх зүйл үсгээр илэрхийлэгдэх ёстой гэж олон хүн таамаглаж байсан бөгөөд энд дифференциал хийх газар огт байхгүй.
Энэ нь зайлшгүй шаардлагатай гэсэн логик дүгнэлт юм зөвхөн хамаарах зарим илэрхийлэл болж хувирна.

Үйлдэл нь дараах байдалтай байна. Орлуулахыг сонгосны дараа энэ жишээнд бид дифференциалыг олох хэрэгтэй. Дифференциалаар хүн бүр аль хэдийн нөхөрлөлийг бий болгосон гэж бодож байна.

Түүнээс хойш

Дифференциалыг задалсны дараа би эцсийн үр дүнг аль болох богино хугацаанд дахин бичихийг зөвлөж байна.
Одоо пропорциональ дүрмийн дагуу бид юу хэрэгтэйг илэрхийлж байна.

Үүний үр дүнд:
Тиймээс:

Мөн энэ нь аль хэдийн хамгийн хүснэгтийн интеграл юм (Мэдээж интегралын хүснэгт нь хувьсагчийн хувьд бас хүчинтэй).

Эцэст нь урвуу орлуулалтыг хийх л үлдлээ. Үүнийг санацгаая.

Бэлэн.

Үзэж буй жишээний эцсийн загвар нь иймэрхүү харагдах ёстой.

“

Орлуулъя:

“

Дүрс нь математикийн ямар ч утгагүй бөгөөд энэ нь бид завсрын тайлбарын шийдлийг тасалдуулсан гэсэн үг юм.

Тэмдэглэлийн дэвтэрт жишээ бэлтгэхдээ урвуу орлуулалтыг энгийн харандаагаар тэмдэглэх нь дээр.

Анхаар!Дараах жишээнүүдэд дифференциалыг олох талаар дэлгэрэнгүй тайлбарлахгүй.

Одоо эхний шийдлийг санах цаг болжээ:

Ялгаа нь юу вэ? Үндсэн ялгаа байхгүй. Энэ нь үнэндээ ижил зүйл юм. Гэхдээ даалгаврыг төлөвлөх үүднээс функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах арга нь хамаагүй богино байдаг..

гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хэрэв эхний арга нь богино бол яагаад солих аргыг ашиглах хэрэгтэй вэ? Баримт нь хэд хэдэн интегралын хувьд функцийг дифференциалын тэмдэгт "тохируулах" нь тийм ч хялбар биш юм.

Жишээ 6

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Сэлгээ хийцгээе: (энд өөр солих гэж бодоход хэцүү байна)

Таны харж байгаагаар орлуулалтын үр дүнд анхны интеграл нь мэдэгдэхүйц хялбаршуулсан - ердийн чадлын функц болгон бууруулсан. Энэ бол орлуулах зорилго юм - интегралыг хялбарчлах.

Залхуу дэвшилтэт хүмүүс функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулснаар энэ интегралыг хялбархан шийдэж чадна.

Өөр нэг зүйл бол ийм шийдэл нь бүх оюутнуудад тохирохгүй нь ойлгомжтой. Нэмж дурдахад, энэ жишээнд функцийг дифференциал тэмдгийн доор оруулах аргыг ашигласан болно шийдвэр гаргахдаа төөрөлдөх эрсдэлийг ихээхэн нэмэгдүүлдэг.

Жишээ 7

Тодорхойгүй интегралыг ол. Шалгалт хийх.

Жишээ 8

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Солих:
Энэ нь юу болж хувирахыг харах л үлдлээ

За, бид үүнийг илэрхийлсэн, гэхдээ тоологч дээр "X" үлдсэн тохиолдолд яах вэ?!
Үе үе интегралуудыг шийдэхдээ бид дараах заль мэхтэй тулгардаг: бид ижил орлуулалтаас илэрхийлэх болно!

Жишээ 9

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Энэ бол та өөрөө шийдэх жишээ юм. Хариулт нь хичээлийн төгсгөлд байна.

Жишээ 10

Тодорхойгүй интегралыг ол.

Миний хайлтын хүснэгтэд хувьсагч солих дүрэм байдаггүйг зарим хүмүүс анзаарсан нь лавтай. Үүнийг санаатайгаар хийсэн. Дээрх жишээнүүдэд энэ дүрэм тодорхой харагдахгүй тул тайлбар, ойлголтод төөрөгдөл үүсгэх болно.

Одоо хувьсагчийг орлуулах аргыг ашиглах үндсэн үндэслэлийн талаар ярих цаг болжээ. Интеграл нь зарим функц болон түүний уламжлалыг агуулсан байх ёстой:(бүтээгдэхүүнд функцүүд байхгүй байж болно)

Үүнтэй холбогдуулан интегралыг олохдоо деривативын хүснэгтийг харах хэрэгтэй болдог.

Харж буй жишээн дээр бид тоологчийн зэрэг нь хуваагчаас нэгээр бага байгааг анзаарч байна. Деривативын хүснэгтээс бид зүгээр л нэг градусыг бууруулдаг томъёог олдог. Хэрэв та үүнийг хуваагч гэж нэрлэвэл тоологч нь сайн зүйл болж хувирах магадлал өндөр байна гэсэн үг юм.

Тоолуурыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах

Энэ бол хичээлийн эцсийн хэсэг боловч ийм төрлийн интегралууд нэлээд түгээмэл байдаг! Хэрэв та ядарсан бол маргааш уншсан нь дээр болов уу? ;)

Бидний авч үзэх интегралууд нь өмнөх догол мөрийн интегралтай төстэй бөгөөд тэдгээр нь дараах хэлбэртэй байна. (коэффициент , ба тэгтэй тэнцүү биш).

Өөрөөр хэлбэл, бид одоо тоологч дахь шугаман функцтэй болсон. Ийм интегралыг хэрхэн шийдэх вэ?

Жишээ 14

Болгоомжтой байгаарай, одоо бид ердийн алгоритмыг авч үзэх болно.

1) Маягтын интеграл өгөгдсөн бол эсвэл (коэффициент ба тэгтэй тэнцүү биш), дараа нь бидний хийх хамгийн эхний зүйл бол ... ноорог авах. Үнэн хэрэгтээ одоо бид жижиг сонголт хийх ёстой.

2) Бид хуваарьт байгаа илэрхийлэлийг (үндэс дор эсвэл үндэсгүй хамаагүй) дифференциал тэмдгийн дор энэ жишээнд дүгнэж байна:

3) Дифференциалыг нээнэ үү:

Интегралынхаа тоологчийг харцгаая.

Бүх зүйл арай өөр болсон ... Одоо бид дифференциалын үржүүлэгчийг сонгох хэрэгтэй бөгөөд үүнийг нээх үед бид дор хаяж . Энэ тохиолдолд тохирох үржүүлэгч нь:

4) Өөрийгөө хянахын тулд бид дифференциалаа дахин нээнэ:

Интегралынхаа тоологчийг дахин харцгаая: .
Энэ нь илүү ойрхон, гэхдээ бидэнд буруу нэр томъёо байна:

5) Бидний дифференциал:
- бид интегралд анх байсан нэр томъёог оноож өгдөг:

- хасах ( энэ тохиолдолд бид заримдаа хасах хэрэгтэй, эсрэгээр нь нэмэх хэрэгтэй)бидний "буруу" нэр томъёо:
– Бид хоёр тогтмолыг хаалтанд хийж, баруун талд дифференциал тэмдэг онооно.

- Хасах (зарим жишээнд та нэмэх хэрэгтэй)тогтмолууд:

6) Бид шалгаж байна:

Бид яг интегралын тоог авсан нь сонголт амжилттай болсон гэсэн үг.

Шийдлийн эцсийн загвар нь дараах байдалтай байна.

(1) Бид дээр дурдсан алгоритмын дагуу ноорог дээрх тоологчийг сонгоно. Сонголтыг зөв хийсэн эсэхийг шалгана. Интегралыг шийдвэрлэх зарим туршлагатай бол сонголт нь таны толгойд хийхэд хэцүү биш юм.

(2) Тоолуурыг хуваагч гишүүнд хуваа. Практик асуудлыг шийдвэрлэхэд энэ алхамыг орхигдуулж болно

(3) Шугаман байдлын шинж чанарыг ашиглан бид интегралуудыг тусгаарлана. Бүх тогтмолыг интеграл тэмдгийн гадна шилжүүлэхийг зөвлөж байна.

(4) Эхний интеграл нь үнэндээ хүснэгтэн хэлбэртэй байна (бид дараа нь хоёр дахь интегралыг авахдаа тогтмолыг нэмнэ). Хоёрдахь интеграл дээр бид бүрэн квадратыг сонгоно (бид өмнөх догол мөрөнд энэ төрлийн интегралуудыг судалж үзсэн).

Үлдсэн нь техникийн асуудал.

Эхлээд та өөрөө шийдэх хэд хэдэн жишээг хэлье - нэг нь илүү энгийн, нөгөө нь илүү төвөгтэй.

Жишээ 15

Тодорхой бус интегралыг ол:

Жишээ 16

Тодорхой бус интегралыг ол:

Эдгээр жишээг шийдвэрлэхийн тулд миний хүснэгтэд байхгүй чадлын функцийг нэгтгэх онцгой тохиолдол хэрэгтэй болно.

Таны харж байгаагаар фракцуудыг нэгтгэх нь маш хэцүү ажил бөгөөд та ихэвчлэн хиймэл техник, сонголтуудыг ашиглах хэрэгтэй болдог. Гэхдээ яах вэ...

Бутархай-рационал функцүүд гэж нэрлэгддэг бусад төрлийн бутархайнууд байдаг бөгөөд тэдгээрийг тодорхой бус коэффициентийн аргаар шийддэг. Гэхдээ энэ бол аль хэдийн хичээлийн сэдэв юм Бутархай рационал функцүүдийн интеграцчлал.

Зарим төрлийн интегралыг шийдвэрлэхдээ тэдний хэлснээр хувиргалт хийгддэг дифференциал тэмдгийн дор орох. Энэ нь хүснэгтэн интеграл олж авах, авахад хялбар болгохын тулд хийгддэг. Үүнийг хийхийн тулд дараах томъёог ашиглана: $$ f"(x) dx = d(f(x)) $$

Оюутнуудын боддог энэ чухал нюансыг би тэмдэглэхийг хүсч байна. Энэ арга нь хувьсагчийг солих (орлуулах) аргаас юугаараа ялгаатай вэ? Энэ нь адилхан, бичлэг дээр өөр харагдаж байна. Аль аль нь үнэн.

Томъёо

Хэрэв интеграл нь нэг нь нөгөөгийнхөө дифференциал болох хоёр функцийн үржвэрийг харуулсан бол дифференциал тэмдгийн доор хүссэн функцийг оруулна. Энэ нь дараах байдалтай харагдаж байна.

$$ \int f(\varphi(x)) \varphi"(x) dx = \int f(\varphi(x)) d(\varphi(x))=\int f(u) du $$ $$ u=\varphi(x)$$

Үндсэн чиг үүргийг нэгтгэн дүгнэх

Энэхүү шийдлийн аргыг амжилттай ашиглахын тулд та дериватив болон интеграцийн хүснэгтийг мэдэх хэрэгтэй. Дараахь томъёонууд нь тэдгээрээс гарна.

Шийдлийн жишээ

Тиймээс, бид нийтлэлд зарим төрлийн интегралуудыг дифференциал тэмдгийн доор оруулах замаар хэрхэн шийддэг талаар авч үзсэн. Бид ихэвчлэн нийтлэг энгийн функцүүдийн ялгааг санаж байсан. Хэрэв та тестийн даалгавраа өөрөө шийдэж чадахгүй эсвэл хангалттай хугацаа байхгүй бол бид танд аль болох түргэн тусламж үзүүлэх болно. Захиалгын маягтыг бөглөөд л бид тантай холбогдох болно.