18 27 интервалын дунд хэсэг нь утга юм. Жишээлбэл, интервалын цувааны арифметик дундаж

Төрөл бүрийн судалгааны үр дүнг статистикийн хувьд боловсруулахдаа олж авсан утгыг ихэвчлэн интервалын дарааллаар бүлэглэдэг. Ийм дарааллын ерөнхий шинж чанарыг тооцоолохын тулд заримдаа тооцоолох шаардлагатай байдаг дунд интервал- "төв сонголт". Үүнийг тооцоолох аргууд нь маш энгийн боловч хэмжилтэд ашигласан масштаб болон бүлгийн шинж чанараас (нээлттэй эсвэл хаалттай интервал) аль алинаас нь үүдэлтэй зарим онцлог шинж чанартай байдаг.

Заавар

Хэрэв интервал нь тасралтгүй тоон дарааллын хэсэг юм бол түүний дундыг олохын тулд арифметик дундажийг тооцоолох ердийн математик аргыг ашиглана уу. Хамгийн бага утга интервал(түүний эхлэл) дээд тал нь (төгсгөл) нэмээд үр дүнг хагасаар хуваана - энэ нь арифметик дундажийг тооцоолох нэг арга юм. Жишээлбэл, энэ дүрэм нь насанд хүрсэн үед хамаарна интервал X. Дунд насны гэж хэлье интервал 21-33 насны хооронд 27 жилийн тэмдэг байх болно, учир нь (21+33)/2=27.

Заримдаа дээд ба доод хязгаарын хоорондох арифметик дундажийг тооцоолох өөр аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. интервал. Энэ сонголтод эхлээд мужийн өргөнийг тодорхойлно - хамгийн их утгаас хамгийн бага утгыг хасна. Дараа нь гарсан утгыг хагасаар хувааж, үр дүнг мужийн хамгийн бага утгад нэмнэ. Жишээлбэл, доод хязгаар нь 47.15 утгатай, дээд хязгаар нь 79.13-тай тохирч байвал хүрээний өргөн нь 79.13-47.15 = 31.98 байна. Дараа нь дунд интервал 47.15+(31.98/2) = 47.15+15.99 = 63.14 тул 63.14 болно.

Хэрэв интервал нь ердийн тооны дарааллын нэг хэсэг биш бол түүнийг тооцоол дундашигласан хэмжих хуваарийн мөчлөг ба хэмжээсийн дагуу. Жишээлбэл, хэрэв бид түүхэн үеийг ярьж байгаа бол дунд үе интервалтодорхой хуанлийн огноо байх болно. Тэгэхээр төлөө интервал 2012 оны 1-р сарын 1-ээс 2012 оны 1-р сарын 31 хүртэл дунд цэг нь 2012 оны 1-р сарын 16 болно.

Ердийн (хаалттай) интервалаас гадна статистик судалгааны аргууд нь "нээлттэй" аргуудтай ажиллах боломжтой. Ийм мужуудын хувьд аль нэг хил хязгаарыг тогтоогоогүй болно. Жишээлбэл, нээлттэй интервалыг "50 ба түүнээс дээш насны" гэж тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд дунд хэсгийг аналогийн аргаар тодорхойлно - хэрэв тухайн дарааллын бусад бүх мужууд ижил өргөнтэй байвал энэ нээлттэй интервал нь ижил хэмжээтэй байна гэж үздэг. Үгүй бол та нээлттэй интервалын өргөний өөрчлөлтийн динамикийг тодорхойлж, өөрчлөлтийн үр дүнд үндэслэн түүний нөхцөлт өргөнийг гаргаж авах хэрэгтэй.

Статистикийн нэгтгэлийн нэгжийн шинж чанарууд нь утгаараа өөр өөр байдаг, тухайлбал, тухайн аж ахуйн нэгжийн ижил мэргэжлээр ажилладаг ажилчдын цалин ижил хугацаанд ижил биш байх, ижил бүтээгдэхүүний зах зээлийн үнэ, дүүргийн нутаг дэвсгэрт газар тариалангийн ургац ферм гэх мэт. Тиймээс, судалж буй нэгжийн нийт популяцид хамаарах шинж чанарын утгыг тодорхойлохын тулд дундаж утгыг тооцоолно.
Дундаж утга – Энэ бол зарим тоон шинж чанарын бие даасан утгуудын багцын ерөнхий шинж чанар юм.

Тоон үзүүлэлтээр судлагдсан хүн ам нь хувь хүний ​​үнэлэмжээс бүрдэнэ; Тэд ерөнхий шалтгаан болон хувь хүний ​​нөхцөл байдлын аль алинд нь нөлөөлдөг. Дундаж утгын хувьд хувь хүний ​​утгын хазайлтыг арилгана. Дундаж нь бие даасан утгуудын багцын функц болохоос бүхэл бүтэн нэг утгыг илэрхийлдэг бөгөөд түүний бүх нэгжид нийтлэг зүйлийг тусгадаг.

Чанарын хувьд нэгэн төрлийн нэгжээс бүрдсэн популяцид тооцсон дундажийг гэнэ ердийн дундаж. Жишээлбэл, та тодорхой мэргэжлийн бүлгийн (уурхайчин, эмч, номын санч) ажилтны сарын дундаж цалинг тооцоолж болно. Мэдээжийн хэрэг, уурхайчдын сарын цалингийн түвшин нь тэдний мэргэшил, ажилласан хугацаа, сард ажилласан хугацаа болон бусад олон хүчин зүйлээс шалтгаалан өөр хоорондоо болон дундаж цалингийн түвшнээс ялгаатай байдаг. Гэсэн хэдий ч дундаж түвшин нь цалингийн түвшинд нөлөөлдөг гол хүчин зүйлсийг тусгаж, ажилтны хувийн шинж чанараас шалтгаалан үүссэн ялгааг арилгадаг. Дундаж цалин нь тухайн төрлийн ажилтны цалингийн ердийн түвшинг илэрхийлдэг. Ердийн дундажийг авахын өмнө тухайн хүн амын чанарын хувьд нэгэн төрлийн шинж чанарт дүн шинжилгээ хийх шаардлагатай. Хэрэв нийт хэсэг нь бие даасан хэсгүүдээс бүрддэг бол ердийн бүлгүүдэд (эмнэлэг дэх дундаж температур) хуваагдана.

Нэг төрлийн бус популяцийн шинж чанар болгон ашигладаг дундаж утгыг нэрлэдэг системийн дундаж. Жишээлбэл, нэг хүнд ногдох дотоодын нийт бүтээгдэхүүний (ДНБ) дундаж үнэ цэнэ, нэг хүнд ногдох янз бүрийн бүлгийн барааны хэрэглээний дундаж үнэ болон бусад ижил төстэй утгууд нь улсын ерөнхий шинж чанарыг эдийн засгийн нэгдсэн тогтолцоо болгон илэрхийлдэг.

Хангалттай олон тооны нэгжээс бүрдсэн популяцийн хувьд дундажийг тооцох ёстой. Энэ нөхцлийг дагаж мөрдөх нь олон тооны хууль хүчин төгөлдөр болохын тулд зайлшгүй шаардлагатай бөгөөд үүний үр дүнд хувь хүний ​​утгын ерөнхий хандлагаас санамсаргүй хазайлтыг харилцан хүчингүй болгодог.

Дундажуудын төрөл, тэдгээрийг тооцоолох арга

Дундаж төрлийг сонгохдоо тодорхой үзүүлэлт, эх сурвалжийн эдийн засгийн агуулгаар тодорхойлогддог. Гэсэн хэдий ч дундаж утгыг дундаж үзүүлэлтийн хувилбар бүрийг орлуулах үед эцсийн, ерөнхийлсөн эсвэл түгээмэл гэж нэрлэдэг утга нь өөрчлөгдөхгүй байхаар тооцоолох ёстой. тодорхойлох үзүүлэлт, энэ нь дундаж үзүүлэлттэй холбоотой. Жишээлбэл, маршрутын бие даасан хэсгүүдийн бодит хурдыг дундаж хурдаар солих үед тээврийн хэрэгслийн нэг цагт явсан нийт зай өөрчлөгдөх ёсгүй; аж ахуйн нэгжийн ажилчдын бодит цалинг дундаж цалингаар солих үед цалингийн сан өөрчлөгдөх ёсгүй. Иймээс тодорхой тохиолдол бүрт байгаа өгөгдлийн шинж чанараас хамааран судалж буй нийгэм, эдийн засгийн үзэгдлийн шинж чанар, мөн чанарт тохирсон үзүүлэлтийн зөвхөн нэг бодит дундаж утга байдаг.
Хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг нь арифметик дундаж, гармоник дундаж, геометрийн дундаж, квадрат дундаж, куб дундаж юм.
Жагсаалтад орсон дундаж үзүүлэлтүүд нь ангилалд хамаарна тайвшруулахдундаж ба ерөнхий томъёогоор нэгтгэгдэнэ:
,
судалж буй шинж чанарын дундаж утга хаана байна;
m – дундаж зэргийн индекс;
– дундажлаж буй шинж чанарын одоогийн утга (хувилбар);
n - шинж чанаруудын тоо.
Экспонент m-ийн утгаас хамааран дараахь төрлийн дундаж хүчийг ялгадаг.
үед m = -1 – гармоник дундаж;
m = 0 үед - геометрийн дундаж;
m = 1-ийн хувьд – арифметик дундаж;
хувьд m = 2 – язгуур дундаж квадрат;
м = 3 үед - дундаж куб.
Ижил анхны өгөгдлийг ашиглах үед дээрх томьёоны экспонент m их байх тусам дундаж утга нь их байх болно.
.
Тодорхойлох функцийн экспонент нэмэгдэх тусам дундаж чадлын энэ шинж чанарыг нэрлэнэ дундажийн олонхийн дүрэм.
Тэмдэглэгдсэн дундаж үзүүлэлт бүр нь хоёр хэлбэртэй байж болно: энгийнТэгээд жинтэй.
Энгийн дунд хэлбэрдундажийг анхдагч (бүлэглэлгүй) өгөгдлөөр тооцоход ашигладаг. Жинлэсэн хэлбэр– хоёрдогч (бүлэглэсэн) өгөгдөлд үндэслэн дундажийг тооцоолохдоо.

Арифметик дундаж

Популяцийн эзэлхүүн нь янз бүрийн шинж чанарын бүх хувийн утгуудын нийлбэр байх үед арифметик дундажийг ашигладаг. Хэрэв дундажийн төрлийг заагаагүй бол арифметик дундажийг авна гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Түүний логик томъёо нь дараах байдалтай байна.

Энгийн арифметик дундажтооцоолсон бүлэггүй өгөгдөл дээр үндэслэсэн томъёоны дагуу:
эсвэл,
шинж чанарын хувь хүний ​​үнэ цэнэ хаана байна;
j - утгаар тодорхойлогддог ажиглалтын нэгжийн серийн дугаар;
N – ажиглалтын нэгжийн тоо (хүн амын эзлэхүүн).
Жишээ.“Статистикийн мэдээллийг нэгтгэн дүгнэх, бүлэглэх” лекцээр 10 хүний ​​бүрэлдэхүүнтэй багийн ажлын туршлагыг ажигласны үр дүнг судлав. Багийн ажилчдын дундаж ажлын туршлагыг тооцож үзье. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Энгийн арифметик дундаж томъёог ашиглан бид бас тооцоолж болно он цагийн дарааллын дундаж, хэрэв шинж чанарын утгыг харуулсан хугацааны интервалууд тэнцүү бол.
Жишээ.Эхний улиралд борлуулсан бүтээгдэхүүний хэмжээ 47 дэн. нэгж, хоёр дахь нь 54, гурав дахь нь 65, дөрөв дэх нь 58 den. нэгж Улирлын дундаж эргэлт (47+54+65+58)/4 = 56 ден. нэгж
Хэрэв агшин зуурын үзүүлэлтүүдийг он цагийн дарааллаар өгсөн бол дундажийг тооцоолохдоо тэдгээрийг хугацааны эхэн ба төгсгөлийн утгын хагасын нийлбэрээр сольсон болно.
Хэрэв хоёроос дээш мөч байгаа бөгөөд тэдгээрийн хоорондын зай тэнцүү бол дундаж он цагийн томъёоны томъёог ашиглан дундажийг тооцоолно.

,
Энд n нь цаг хугацааны цэгүүдийн тоо юм
Өгөгдлийг шинж чанарын утгуудаар бүлэглэсэн тохиолдолд (өөрөөр хэлбэл, салангид вариацын тархалтын цувралыг бүтээсэн) -тэй арифметик дундаж жигнэсэншинж чанарын тодорхой утгуудын ажиглалтын давтамж эсвэл давтамжийг ашиглан тооцоолсон бөгөөд тэдгээрийн тоо (k) нь ажиглалтын тооноос (N) хамаагүй бага байна.
,
,
Энд k нь вариацын цувралын бүлгийн тоо,
i – вариацын цувралын бүлгийн дугаар.
a учраас бид практик тооцоонд ашигласан томъёог олж авна.
Тэгээд
Жишээ.Ажлын багуудын ажилласан дундаж хугацааг бүлэглэсэн эгнээнд тооцож үзье.
a) давтамж ашиглах:

б) давтамж ашиглан:

Өгөгдлийг интервалаар бүлэглэсэн тохиолдолд , өөрөөр хэлбэл арифметик дундажийг тооцоолохдоо интервалын тархалтын цуваа хэлбэрээр үзүүлсэн бөгөөд тухайн интервал дахь популяцийн нэгжийн жигд тархалтын таамаглалд үндэслэн интервалын дунд хэсгийг шинж чанарын утга болгон авна. Тооцооллыг дараах томъёог ашиглан гүйцэтгэнэ.
Тэгээд
интервалын дунд хаана байна: ,
хаана ба интервалуудын доод ба дээд хил (өгөгдсөн интервалын дээд хил нь дараагийн интервалын доод хилтэй давхцах тохиолдолд).

Жишээ. 30 ажилтны жилийн цалинг судалсны үр дүнд үндэслэн байгуулсан интервалын вариацын цувралын арифметик дундажийг тооцоолъё ("Статистикийн мэдээллийн хураангуй, бүлэглэлт" лекцийг үзнэ үү).
Хүснэгт 1 – Интервалын вариацын цувааны тархалт.

UAH эсвэл UAH
Интервал дахь шинж чанарын утгуудын тэгш бус хуваарилалтаас болж эх сурвалжийн өгөгдөл болон интервалын өөрчлөлтийн цувралд үндэслэн тооцсон арифметик утгууд давхцахгүй байж болно. Энэ тохиолдолд жигнэсэн арифметик дундажийг илүү нарийвчлалтай тооцоолохын тулд интервалын дундыг биш харин бүлэг тус бүрээр тооцсон энгийн арифметик дундажийг ашиглах хэрэгтэй. бүлгийн дундаж). Жигнэсэн тооцооллын томъёог ашиглан бүлгийн дунджаас тооцсон дундажийг гэнэ ерөнхий дундаж.
Арифметик дундаж нь хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.
1. Дундаж сонголтоос хазайлтын нийлбэр тэг байна:
.
2. Хэрэв опционы бүх утгууд А хэмжээгээр нэмэгдэж эсвэл буурч байвал дундаж утга ижил хэмжээгээр А-аар нэмэгдэж эсвэл буурна:

3. Хэрэв сонголт бүрийг B дахин ихэсгэж эсвэл багасгавал дундаж утга мөн адил хэдэн удаа нэмэгдэж, буурах болно:
эсвэл
4. Опционы үржвэрүүдийн давтамжуудын нийлбэр нь дундаж утгыг давтамжуудын нийлбэрээр үржүүлсэнтэй тэнцүү байна.

5. Хэрэв бүх давтамжийг аль нэг тоонд хувааж эсвэл үржүүлбэл арифметик дундаж өөрчлөгдөхгүй.

6) хэрэв бүх интервалд давтамжууд хоорондоо тэнцүү бол жигнэсэн арифметик дундаж нь энгийн арифметик дундажтай тэнцүү байна.
,
Энд k нь вариацын цувралын бүлгийн тоо.

Дундаж үзүүлэлтийг ашиглах нь түүний тооцооллыг хялбаршуулах боломжийг танд олгоно.
Бүх сонголтууд (x) эхлээд ижил А тоогоор буурч, дараа нь В дахин багассан гэж үзье. Хамгийн их давтамжтай интервалын дундын утгыг A гэж, интервалын утгыг (ижил интервалтай цувралын хувьд) B гэж сонгоход хамгийн их хялбаршуулсан болно. А хэмжигдэхүүнийг гарал үүсэл гэж нэрлэдэг тул дундажийг тооцоолох ийм аргыг нэрлэдэг арга замб нөхцөлт тэгээс омын лавлагааэсвэл мөчүүдийн арга зам.
Ийм хувиргалт хийсний дараа бид хувилбарууд нь -тэй тэнцүү байх шинэ вариацын тархалтын цувралыг олж авдаг. Тэдний арифметик дундаж, гэж нэрлэдэг Эхний захиалгын мөч,томъёогоор илэрхийлэгдэх ба хоёр дахь болон гурав дахь шинж чанарын дагуу арифметик дундаж нь анхны хувилбарын дундажтай тэнцүү, эхлээд А, дараа нь В дахин бууруулсан, өөрөөр хэлбэл.
Хүлээн авах бодит дундаж(эх цувралын дундаж) та эхний эрэмбийн моментийг B-ээр үржүүлж, А-г нэмэх хэрэгтэй:

Моментийн аргыг ашиглан арифметик дундажийг тооцоолохыг Хүснэгтийн өгөгдлөөр харуулав. 2.
Хүснэгт 2 – Үйлдвэрийн цехийн ажилчдыг ажилласан хугацаанд нь хувиарлалт

Эхний захиалгын мөчийг хайж байна . Дараа нь A = 17.5 ба B = 5 гэдгийг мэдэж, цехийн ажилчдын дундаж ажилласан хугацааг тооцоолно.
жил

Гармоник дундаж
Дээр дурдсанчлан, арифметик дундаж нь шинж чанарын дундаж утгыг түүний x хувилбарууд болон f давтамжууд нь мэдэгдэж байгаа тохиолдолд тооцоолоход ашигладаг.
Хэрэв статистик мэдээлэл нь хүн амын х сонголтын f давтамжийг агуулаагүй боловч тэдгээрийн бүтээгдэхүүн болгон танилцуулсан бол томъёог хэрэглэнэ. жинлэсэн гармоник дундаж. Дундажийг тооцоолохын тулд хаана гэж тэмдэглэе. Эдгээр илэрхийллийг арифметик жигнэсэн дундажийн томъёонд орлуулснаар бид гармоник жигнэсэн дундаж томъёог олж авна.
,
i (i=1,2, …, k) гэсэн интервал дахь үзүүлэлтийн шинж чанарын утгуудын эзлэхүүн (жин) хаана байна.

Тиймээс гармоник дундажийг сонголтууд өөрсдөө биш, харин тэдгээрийн харилцан уялдаатай байх тохиолдолд ашигладаг. .
Опцион бүрийн жин нэгтэй тэнцүү байх тохиолдолд, i.e. урвуу шинж чанарын бие даасан утгууд нь нэг удаа тохиолддог, хэрэглэсэн гармоник энгийн гэсэн үг:
,
нэг удаа тохиолддог урвуу шинж чанарын бие даасан хувилбарууд хаана байна;
N - тооны сонголт.
Хэрэв хүн амын хоёр хэсэгт гармоник дундаж байгаа бол нийт хүн амын нийт дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.

гэж нэрлэдэг бүлгийн дундаж жигнэсэн гармоник дундаж.

Жишээ.Валютын биржийн арилжааны үеэр эхний нэг цагийн дотор гурван хэлцэл хийгдсэн байна. Гривнигийн борлуулалтын хэмжээ, америк доллартай харьцах ханшийн талаарх мэдээллийг хүснэгтэд үзүүлэв. 3 (2 ба 3-р багана). Арилжааны эхний цагийн хувьд гривенийн ам.доллартай харьцах дундаж ханшийг тодорхойл.
Хүснэгт 3 – Валютын арилжааны явцын талаарх мэдээлэл

Долларын дундаж ханшийг бүх гүйлгээний явцад борлуулсан гривенийн дүнг ижил гүйлгээний үр дүнд олж авсан долларын дүнтэй харьцуулсан харьцаагаар тодорхойлно. Гривнягийн борлуулалтын эцсийн дүнг хүснэгтийн 2-р баганаас мэдэж байгаа бөгөөд гүйлгээ тус бүрээр худалдаж авсан долларын тоог гривенийн борлуулалтын дүнг түүний ханшаар (4-р багана) хуваах замаар тодорхойлно. Гурван удаагийн гүйлгээний явцад нийт 22 сая ам.доллар худалдан авсан байна. Энэ нь нэг долларын гривенийн дундаж ханш байсан гэсэн үг юм
.
Үүссэн үнэ цэнэ нь бодит, учир нь Бодит гривенийн ханшийг гүйлгээнд орлуулах нь гривенийн борлуулалтын эцсийн хэмжээг өөрчлөхгүй. тодорхойлох үзүүлэлт: сая грн
Хэрэв тооцоололд арифметик дундажийг ашигласан бол, i.e. hryvnia, дараа нь 22 сая доллар худалдан авах ханшаар. 110.66 сая грн зарцуулах шаардлагатай байсан нь үнэн биш юм.

Геометрийн дундаж
Геометрийн дундаж нь үзэгдлийн динамикийг шинжлэхэд ашиглагддаг бөгөөд дундаж өсөлтийн коэффициентийг тодорхойлох боломжийг олгодог. Геометрийн дундаж утгыг тооцоолохдоо шинж чанарын бие даасан утгууд нь түвшин бүрийн өмнөхтэй харьцуулсан гинжин утгын хэлбэрээр бүтээгдсэн динамикийн харьцангуй үзүүлэлт юм.
Энгийн геометрийн дундажийг дараах томъёогоор тооцоолно.
,
бүтээгдэхүүний тэмдэг хаана байна,
N – дундаж утгуудын тоо.
Жишээ.Бүртгэгдсэн гэмт хэргийн тоо 4 жилийн хугацаанд 1.57 дахин, үүний дотор 1-д 1.08 дахин, 2-т 1.1 дахин, 3-т 1.18, 4-т 1.12 дахин өссөн байна. Тэгвэл гэмт хэргийн тоо жилийн дундаж өсөлтийн хурд нь: , i.e. бүртгэгдсэн гэмт хэргийн тоо жилд дунджаар 12%-иар өссөн байна.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Жигнэсэн дундаж квадратыг тооцоолохын тулд бид тодорхойлж, хүснэгтэд оруулна. Дараа нь өгөгдсөн нормоос бүтээгдэхүүний уртын дундаж хазайлт нь дараахь хэмжээтэй тэнцүү байна.

Энэ тохиолдолд арифметик дундаж нь тохиромжгүй байх болно, учир нь Үүний үр дүнд бид тэг хазайлт авах болно.
Дундаж квадратын хэрэглээг өөрчлөлтийн хувьд цаашид авч үзэх болно.

Заавар

Хэрэв интервал нь тасралтгүй тоон дарааллын хэсэг юм бол түүний дундыг олохын тулд арифметик дундажийг тооцоолох математик аргыг ашиглана уу. Хамгийн бага утгыг (түүний эхлэл) дээд тал нь () нэмээд үр дүнг хагасаар хуваана - энэ нь арифметик дундажийг тооцоолох нэг арга юм. Жишээлбэл, энэ нь насанд хүрсэн үед хамаарна интервал X. Дунд насны гэж хэлье интервал 21-33 насны хооронд 27 жилийн тэмдэг байх болно, учир нь (21+33)/2=27.

Заримдаа дээд ба доод хязгаарын хоорондох арифметик дундажийг тооцоолох өөр аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. интервал. Энэ сонголтод эхлээд мужийн өргөнийг тодорхойлно - хамгийн их утгаас хамгийн бага утгыг хасна. Дараа нь гарсан утгыг хагасаар хувааж, үр дүнг мужийн хамгийн бага утгад нэмнэ. Жишээлбэл, доод нь 47.15 утгатай, дээд нь 79.13-тай тохирч байвал хүрээний өргөн нь 79.13-47.15 = 31.98 болно. Дараа нь дунд интервал 47.15+(31.98/2) = 47.15+15.99 = 63.14 тул 63.14 болно.

Хэрэв интервал нь ердийн тооны дарааллын нэг хэсэг биш бол түүнийг тооцоол дундашигласан хэмжих хуваарийн мөчлөг ба хэмжээсийн дагуу. Жишээлбэл, хэрэв бид түүхэн үеийг ярьж байгаа бол дунд үе интервалтодорхой хуанлийн огноо байх болно. Тэгэхээр төлөө интервал 2012 оны 1-р сарын 1-ээс 2012 оны 1-р сарын 31 хүртэл дунд цэг нь 2012 оны 1-р сарын 16 болно.

Ердийн (хаалттай) интервалаас гадна статистик судалгааны аргууд нь "нээлттэй" аргуудтай ажиллах боломжтой. Ийм мужуудын хувьд аль нэг хил хязгаарыг тогтоогоогүй болно. Жишээлбэл, нээлттэй интервалыг "50 ба түүнээс дээш насны" гэж тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд дунд хэсгийг аналогийн аргаар тодорхойлно - хэрэв тухайн дарааллын бусад бүх мужууд ижил өргөнтэй байвал энэ нээлттэй интервал ижил байна гэж үзнэ. Үгүй бол та өөрчлөлтийн олж авсан чиг хандлагад үндэслэн задгайгаас өмнөх интервалын өргөн, түүний нөхцөлт өргөний динамикийг тодорхойлох хэрэгтэй.

Эх сурвалжууд:

• нээлттэй интервал гэж юу вэ

Вариацийг судлахдаа - судалж буй популяцийн нэгжийн шинж чанарын бие даасан утгын ялгаа - үнэмлэхүй болон харьцангуй олон тооны үзүүлэлтүүдийг тооцдог. Практикт хэлбэлзлийн коэффициент нь харьцангуй үзүүлэлтүүдийн дунд хамгийн өргөн хэрэглэгддэг.

Заавар

Практикт хэлбэлзлийн коэффициентийг зөвхөн өөрчлөлтийн харьцуулсан үнэлгээнд ашигладаг төдийгүй популяцийн нэгэн төрлийн байдлыг тодорхойлоход ашигладаг болохыг анхаарна уу. Хэрэв энэ үзүүлэлт 0.333 буюу 33.3%-иас хэтрэхгүй бол шинж чанарын хэлбэлзэл сул, 0.333-аас дээш байвал хүчтэй гэж үзнэ. Хүчтэй хэлбэлзэлтэй тохиолдолд судлагдсан статистик популяци нь нэг төрлийн бус гэж тооцогддог бөгөөд дундаж утгыг энэ популяцийн ерөнхий үзүүлэлт болгон ашиглах боломжгүй; Өөрчлөлтийн коэффициентийн доод хязгаарыг тэг гэж үзнэ, дээд хязгаар байхгүй; Гэсэн хэдий ч шинж чанарын өөрчлөлт нэмэгдэхийн хэрээр түүний үнэ цэнэ нэмэгддэг.

Өөрчлөлтийн коэффициентийг тооцоолохдоо дундаж хазайлтыг ашиглах шаардлагатай болно. Энэ нь квадрат язгуур гэж тодорхойлогддог бөгөөд үүнийг та дараах байдлаар олж болно: D = Σ(X-Xsr)^2/N. Өөрөөр хэлбэл дисперс гэдэг нь арифметик дунджаас хазайсан дундаж квадрат юм. цувралын тодорхой үзүүлэлтүүд дундаж утгаасаа дунджаар хэр их хазайж байгааг тодорхойлдог. Энэ нь тэмдгийн хэлбэлзлийн үнэмлэхүй хэмжигдэхүүн тул тодорхой тайлбарлагдана.

Төрөл бүрийн судалгааны үр дүнг статистикийн хувьд боловсруулахдаа олж авсан утгыг ихэвчлэн интервалын дарааллаар бүлэглэдэг. Ийм дарааллын ерөнхий нэгтгэлийг тооцоолохын тулд заримдаа тооцоолох шаардлагатай байдаг дунд интервал- "төв сонголт". Үүнийг тооцоолох аргууд нь нэлээд энгийн боловч хэмжилтэд ашигласан масштаб болон бүлгийн шинж чанараас (нээлттэй эсвэл хаалттай цоорхой) аль алинаас нь үүдэлтэй зарим онцлог шинж чанартай байдаг.

Заавар

1. Хэрэв интервал нь тогтмол тоон дарааллын хэсэг юм бол түүний дундыг олохын тулд арифметик дундажийг тооцоолох ердийн математик аргыг ашиглана уу. Хамгийн бага утга интервал(түүний өмнөх үг) дээд тал нь (төгсгөл) нэмээд нийт дүнг хагасаар хуваана - энэ нь арифметик дундажийг тооцоолох аргуудын нэг юм. Насны хувьд энэ дүрэм үйлчилнэ гэж бодъё интервал X. Дунд насны гэж хэлье интервал 21-33 насны хооронд тэмдэг нь 27 настай байх болно, учир нь (21+33)/2=27.

2. Заримдаа дээд ба доод хязгаарын хоорондох арифметик дундажийг тооцоолох өөр аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байдаг. интервал. Энэ сонголтод эхлээд мужийн өргөнийг тодорхойлно - хамгийн их утгаас хамгийн бага утгыг хасна. Үүний дараа үүссэн утгыг хагасаар хувааж, нийт дүнг мужийн хамгийн бага утгад нэмнэ. Хэрэв доод хязгаар нь 47.15-ийн утгатай, дээд хязгаар нь 79.13-тай тохирч байвал хүрээний өргөн нь 79.13-47.15 = 31.98 болно гэж үзье. Дараа нь дунд интервал 47.15+(31.98/2) = 47.15+15.99 = 63.14 учир 63.14 болно.

3. Хэрэв интервал нь энгийн тооны дарааллын хэсэг биш бол түүнийг тооцоол дундашигласан хэмжих хуваарийн давтагдах чадвар, хэмжээсийн дагуу. Хэрэв бид түүхэн үеийг ярьж байгаа бол дунд үе гэж хэлье интервалтодорхой хуанлийн огноо байх болно. Тэгэхээр төлөө интервал 2012 оны 1-р сарын 1-ээс 2012 оны 1-р сарын 31 хүртэл дунд цэг нь 2012 оны 1-р сарын 16 болно.

4. Энгийн (хаалттай) интервалаас гадна статистик судалгааны аргууд нь "нээлттэй" аргуудтай ажиллах боломжтой. Ийм мужуудын хувьд аль нэг хил хязгаарыг тогтоогоогүй болно. Жишээлбэл, нээлттэй хугацааг "50 ба түүнээс дээш насны" гэсэн үгээр тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд дунд хэсгийг аналогийн аргаар тодорхойлно - хэрэв тухайн дарааллын бусад бүх мужууд ижил өргөнтэй байвал энэ нээлттэй интервал нь ижил хэмжээтэй байна гэж үзнэ. Эсрэг тохиолдолд та задгайгаас өмнөх цоорхойнуудын өргөний метаморфозын динамикийг тодорхойлж, метаморфозын үр дүнд үүссэн хандлагад үндэслэн нөхцөлт өргөнийг гаргаж авах хэрэгтэй.

Заримдаа өдөр тутмын үйл ажиллагаанд илрүүлэх шаардлагатай байж болно дундшулуун шугамын сегмент. Жишээлбэл, хэрэв та хээ, бүтээгдэхүүний ноорог зурах эсвэл модон блокыг хоёр тэнцүү хэсэгт хялбархан хөрөөдөх шаардлагатай бол. Геометр, өдөр тутмын бага зэрэг авхаалж самбаа нь аврах ажилд ирдэг.

Танд хэрэгтэй болно

• Луужин, захирагч; зүү, харандаа, утас

Заавар

1. Уртыг хэмжихэд бэлтгэсэн энгийн багаж хэрэгслийг ашиглана. Энэ бол олоход хамгийн хялбар арга юм дундсегмент. Сегментийн уртыг захирагч эсвэл соронзон хэмжүүрээр хэмжиж, үр дүнгийн утгыг хагасаар хувааж, сегментийн нэг төгсгөлөөс үүссэн нийлбэрийг хэмжинэ. Та сегментийн дунд тохирох цэгийг авах болно.

2. Сургуулийн геометрийн хичээлээс сурсан сегментийн дунд цэгийг олох илүү нарийвчлалтай арга байдаг. Үүнийг хийхийн тулд луужин, захирагчийг авч, захирагчийг шулуун талтай тохиромжтой урттай дурын объектоор сольж болно.

3. Луужингийн хөлийн хоорондох зайг сегментийн урттай тэнцүү эсвэл сегментийн хагасаас их байхаар тохируулна. Үүний дараа луужингийн зүүг сегментийн нэг төгсгөлд байрлуулж, сегментийг огтолж байхаар хагас тойрог зур. Зүүг сегментийн нөгөө үзүүр рүү шилжүүлж, луужингийн хөлний зайг өөрчлөхгүйгээр хоёр дахь хагас тойргийг ижил аргаар зөв зур.

4. Та сегментийн хоёр талд хагас тойргийн огтлолцох хоёр цэгийг хүлээн авсан. дундБидний олж мэдэхийг хүсч буй зүйл. Захирагч эсвэл хавтгай блок ашиглан эдгээр хоёр цэгийг нэгтгэнэ. Холбох шугам нь сегментийн дунд яг л дамжих болно.

5. Хэрэв таны гарт луужин байхгүй эсвэл сегментийн урт нь хөлнийх нь боломжит хэмжээнээс хэтэрсэн бол та хиймэл аргаар хийсэн энгийн төхөөрөмжийг ашиглаж болно. Үүнийг энгийн зүү, утас, харандаагаар хийж болно. Утасны үзүүрийг зүү, харандаагаар уяж, утасны урт нь сегментийн уртаас арай илүү байх ёстой. Луужингийн ийм хиймэл орлуулагчтай бол дээр дурдсан алхмуудыг дагахад л үлддэг.

Сэдвийн талаархи видео

Хэрэгтэй зөвлөгөө
Та ердийн утас эсвэл утсыг ашиглан самбар эсвэл блокны дунд хэсгийг маш нарийн тодорхойлж чадна. Үүнийг хийхийн тулд утас нь самбар эсвэл баарны урттай тохирч байхаар таслана. Үлдсэн зүйл бол утсыг хагасаар нугалж, хоёр тэнцүү хэсэгт хуваах явдал юм. Үүссэн хэмжилтийн нэг төгсгөлийг хэмжиж буй объектын төгсгөлд хавсаргаж, 2-р төгсгөл нь түүний дунд таарна.

Дундажийн хамгийн түгээмэл төрөл бол арифметик дундаж юм.

Энгийн арифметик дундаж

Энгийн арифметик дундаж гэдэг нь өгөгдөл дэх өгөгдсөн шинж чанарын нийт эзэлхүүнийг тухайн хүн амын тоонд багтсан бүх нэгжийн хооронд тэнцүү хуваарилахыг тодорхойлох дундаж нэр томъёо юм. Тиймээс, нэг ажилтанд ногдох жилийн дундаж бүтээгдэхүүн нь тухайн байгууллагын нийт ажилчдын дунд үйлдвэрлэлийн нийт хэмжээг тэнцүү хуваарилсан тохиолдолд ажилтан бүрийн үйлдвэрлэх бүтээгдэхүүний хэмжээ юм. Арифметик дундаж энгийн утгыг дараах томъёогоор тооцоолно.

Энгийн арифметик дундаж- Тухайн шинж чанарын бие даасан утгын нийлбэрийг нэгтгэсэн шинж чанаруудын тоонд харьцуулсан харьцаатай тэнцүү

6 ажилчдын баг сард 3 3.2 3.3 3.5 3.8 3.1 мянган рубль авдаг.
Дундаж цалинг ол

Шийдэл: (3 + 3.2 + 3.3 +3.5 + 3.8 + 3.1) / 6 = 3.32 мянган рубль.

Арифметик дундаж жигнэсэн

Хэрэв өгөгдлийн багцын хэмжээ их бөгөөд тархалтын цувааг илэрхийлж байвал жигнэсэн арифметик дундажийг тооцоолно. Бүтээгдэхүүний нэгжийн жигнэсэн дундаж үнийг ингэж тодорхойлдог: үйлдвэрлэлийн нийт өртөг (түүний тоо хэмжээний бүтээгдэхүүний нийлбэр нь бүтээгдэхүүний нэгжийн үнэ) нь үйлдвэрлэлийн нийт тоо хэмжээнд хуваагдана.

Үүнийг дараах томъёогоор төсөөлье.Жинлэсэн арифметик дундаж

.

Цехийн ажилчдын сарын дундаж цалинг ол

Нийт цалинг нийт ажилчдын тоонд хуваах замаар дундаж цалинг гаргаж болно.

Хариулт: 3.35 мянган рубль.

Интервалын цувааны арифметик дундаж

Интервалын вариацын цувааны арифметик дундажийг тооцохдоо эхлээд интервал тус бүрийн дундажийг дээд ба доод хязгаарын хагасын нийлбэрээр, дараа нь бүх цувралын дундажийг тодорхойлно. Нээлттэй интервалын хувьд доод буюу дээд интервалын утгыг тэдгээрийн зэргэлдээх интервалуудын хэмжээгээр тодорхойлно.Интервалын цувралаас тооцоолсон дундаж нь ойролцоо байна.

Жишээ 3

Дундаж утгыг тооцоолохдоо зөвхөн үнэмлэхүй төдийгүй харьцангуй утгыг (давтамж) жин болгон ашиглаж болно.

Арифметик дундаж нь түүний мөн чанарыг илүү бүрэн нээж, тооцооллыг хялбаршуулдаг хэд хэдэн шинж чанартай байдаг.

1. Давтамжийн нийлбэрийн дундаж үржвэр нь хувилбарын давтамжийн үржвэрийн нийлбэртэй үргэлж тэнцүү байна, i.e.

2. Янз бүрийн хэмжигдэхүүний нийлбэрийн арифметик дундаж нь эдгээр хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундажуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

3. Дунджаас шинж чанарын бие даасан утгуудын хазайлтын алгебрийн нийлбэр нь тэгтэй тэнцүү байна.

4. Дунджаас сонголтуудын квадрат хазайлтын нийлбэр нь бусад дурын утгын квадрат хазайлтын нийлбэрээс бага, i.e.